GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. halmaz, az "okos emberek" nem. Jelek:,, {...},, :=,,, \ 2. Nevezetes halmazok: R, Q, Z; N = {0,, 2,...}, N + = {, 2,...} 3. Halmaz megadása: (i) Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. (ii) Más halmazokból. M veletekkel: A B, A B, A \ B. Venn-diagram. Pl: "A bp-i egyetemek" Példa: A := {3, 2, 2}, B := {3, 4}. Adjuk meg az A B, A B, A\B halmazokat! Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} Példa: adjuk meg elemeivel az A := {x R : x páros egész szám és 2 < x < 7} halmazt! II. Elemi logika. 0. Jelek:,,!,,,. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. Pl.: A. "Mo. f városa Róma." Ez mat. állítás, és hamis. B. "Budapest szép város." Ez nem mat. állítás. Az els ellenkez je (azaz tagadása): A = "Mo. f városa nem Róma", ez igaz állítás. 2. Fontos szabályok. (i) (A B) = ( B A). Vigyázat! (A B) ( A B). Példák: (Ha havazik, akkor hideg van) = (Ha nincs hideg, akkor nem havazik). De: (Ha nem havazik, akkor nincs hideg.) (Ha n 4-gyel osztható, akkor páros) = (Ha n páratlan, akkor nem osztható 4-gyel). De: (Ha n nem osztható 4-gyel, akkor páratlan.) (ii) Tagadás. (a) de Morgan: (A vagy B) = ( A és B), (A és B) = ( A vagy B) Pl.: (írok vagy olvasok) = (nem írok és nem olvasok) (írok és olvasok) = (nem írok vagy nem olvasok) (b) Kvantorok: legyen T egy tulajdonság (pl. T (x)= "x pozitív"). Ekkor: ( x T (x)) = ( x T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); Pl. (minden rovar bogár) = (van olyan rovar, amely nem bogár) (van olyan üvegem, ami színes) = (minden üvegem színtelen) ( x T (x)) = ( x T (x))
(c) Következtetés tagadása: el bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: (Ha valaki magyar, akkor pesti) = (Minden magyar pesti) = (Van olyan magyar, aki nem pesti) Pl.: (Ha n pozitív egész, akkor n is pozitív egész) = (Minden n pozitív egész esetén n is pozitív egész) = (Van olyan n pozitív egész, hogy n nem pozitív egész) 3. Más összetett állítások. Példa. Igaz állítás-e: "A napot mozogni látjuk, mert a Föld forog." Igaz, mert az állítás szerkezete "A és B és (A B)", és mindhárom részállítás igaz. 4. Szükséges, elégséges feltétel fogalma B A esetén: B A-nak elégséges, A B-nek szükséges feltétele. Példa: az, hogy (A) valaki élt 999-ben, annak, hogy (B) látta a napfogyatkozást, szükséges, de nem elégséges feltétele. Itt B A, de A B. 2
Házi feladatok.. Tagadjuk! "Vagy észak felé kell indulnunk, vagy vissza kell fordulnunk." "Esik az es és fúj a szél." "Minden puha szilva kukacos." "Van színtelen virág." "Minden krétai hazudik." "Ha egy szilva puha, akkor kukacos." "Ha egy csónak felborul, akkor az evez i eltörnek." "Ha x valós szám, akkor x 2 pozitív." "Ha egy természetes szám páros, akkor 0-ra végz dik." 2.Döntsük el az alábbi állításokról, hogy (i) igaz-e az els fele, a második fele, ill. ha mindkett igaz, akkor igaz-e a következtetés. (Relációanalízis) (ii) igaz-e az egész összetett állítás. a. "Magyarország éghajlata szárazföldi, mert közel van az Atlanti-óceánhoz." b. "Hazánk népessége fogy, mert a születések száma alacsony és a halálozásoké magas." c. "Ausztria jelent s idegenforgalommal rendelkezik, mert az EU tagállama." 3. Döntsük el, szükséges, elégséges, ill. szükséges és elégséges feltétele-e (i) annak, hogy valakinek jogosítványa van, az, hogy elmúlt 4 éves? (ii) annak, hogy x pozitív szám, az, hogy x 2 pozitív szám? (iii) annak, hogy x 2 4, az, hogy x legalább 2 és legfeljebb 2? (iv) annak, hogy egy természetes szám 0-ra végz dik, az, hogy páros? 4. Egy társaságról tudjuk, hogy aki vidéki, az vonattal jött. Az alábbiakból melyikben lehetünk biztosak? (i) Aki nem vidéki, az nem vonattal jött. (ii) Aki vonattal jött, az vidéki. (iii) Aki nem vonattal jött, az nem vidéki. 5. (i) Legyen A := {n N + : n 3}, B := {n N + : 2 n 4}. Adjuk meg elemeikkel az A, B, A B, A B, A \ B halmazokat! (ii) Egy könyvtárban 67 ember dolgozik. Angolul tud 47, németül 35, mindkét nyelven 23 munkatárs. Hány f nem tud sem angolul, sem németül? (Útmutatás: rajzoljuk fel a Venn-diagramot, és írjuk bele a megfelel számokat.) (iii) Egy sportklubnak atlétika- és fociszakosztálya van. A klub 30 tagjából 3 tagja az atlétika- és 20 a fociszakosztálynak. Hányan tagok mindkett ben? (Útmutatás: hasonlóan, mint el bb.) 3
2. Elemi számolások, százalékszámítás. Algebrai alapismeretek.. Feladatok abszolút értékkel, esetszétválasztás. Abszolút érték fogalma: a := a, ha a 0 és a, ha a 0. Pl.: 2 = 2 = 2. Példák: (i) Mely x R számokra áll fenn az x 3 = 8 egyenl ség? Ha x 3 0, azaz x 3, akkor x 3 = 8 megoldása ; ha x 3 0, azaz x 3, akkor 3 x = 8 megoldása -5. Azaz, a és -5 számokra. (ii) Legyen a R, R > 0. Igazoljuk, hogy az {x R : x a R} halmaz azonos az [a R, a + R] (ún. a körüli R sugarú) zárt intervallummal! (Az x a és x a esetek szétválasztásával oldjuk meg.) 2. Százalékszámítás. (A B-nek s százaléka, ha A = B s 00.) Példák.. Egy ember 7.000 eurót zetett foglalóként egy ház vásárlásánál. Mennyibe került a ház, ha ez az egész összeg 20 %-át tette ki? F = H 20, azaz 7.000 = H 0.2 = H/5, így H = 5 7.000 = 85.000 euróba. 00 2. Ha egy áru ÁFÁ-ja 25%, hány százaléka a nettó ár a bruttónak? 00 25 = 0.8 része, azaz 80%-a. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 0 k alakban, ahol r < 0 és k Z. Pl. Egy elem atomsúlya S, ha mól (azaz 6 0 23 = 600...0 db, ez az Avogadro-szám) atom tömege S gramm. Ha a szén atomsúlya 2, mennyi egy szénatom tömege? 2 = S = 6 0 23 x gramm, így x = 2 6 0 23 = 2 0 23 gramm. 4. Fontos szimbólum: Példák: n k= Írjuk fel -val: 5. Fontos kifejezések. n k=m := + +... +, k 2 n a k := a m + a m+ +... + a n. 2 + 4 +... + 2 = 6 2k. 6 k 2 := 4 2 + 5 2 + 6 2, k=4 Polinom: a változó egyes hatványainak számszorosait adjuk össze. Pl.: egyváltozós: x 4 x2 2 + ; kétváltozós: x2 y 3 x2 2 + xy 4 Algebrai tört: polinomok hányadosa. k= Feladat: alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! (a) x y x2 y 2 = (x y)xy x(x2 y 2 ) = x2 y xy 2 (x 3 xy 2 ) = x2 y x 3 x xy x 2 y x 2 y x 2 y (b) További példák: x y x+y, x+y x y a a b b+, u 3 u 2 + u 2. 4 = y x y (x, y 0)
6. Gyöktelenítés: ha egy a b kifejezést beszorzunk ( a + b)-vel, akkor ( a) 2 ( b) 2 = a b lesz. Pl. nevez gyöktelenítése: 3 3 2 = 3 ( 3+ 2) 3 2 = 3 + 6. Házi feladatok.. (a) Igazoljuk: ha a R, b 0, akkor: a b b a b. (b) Mely x R számokra áll fenn, hogy x 5 2? Ábrázoljuk is a kapott x-ek halmazát. (c) Mivel azonos az {x R : x 2 3} halmaz: az {x R : x 3} vagy {x R : x 3} halmazzal? Mindegyiket ábrázoljuk! 2. (a) Egy autó eredeti ára 9000 euró volt, de csökkentették 7200 euróra. Hány százalékos volt az árcsökkenés? (b) A tej tömegének 7,3 %-a tejszín, a tejszín tömegének 62 %-a vaj. Mennyi vaj lesz 5 l tejb l? Hány liter tejb l készült 5 kg vaj? ( liter tej kb kg.) (c) Évi hány százalékkal kellene az USA-nak csökkentenie károsanyag-kibocsátását, hogy 3 év alatt 27,%-os legyen a csökkenés? 3. (a) Az ún. Planck-hossz az elvileg legkisebb mérhet hosszúság, kb..6 0 35 méter. Az ún. Planck-id a legrövidebb mérhet id tartam, egy fotonnak ennyi id re lenne szüksége, hogy a kb. 3 0 8 m/s fénysebességgel megtegyen egy Planck-hossznyi távolságot. Számítsuk ki a Planck-id t. (b) Egy átlagos feln tt hány lépéssel kerüli meg a Múzeumkertet? Információk: egy :5000 méretarányú térképen az út 3,8 cm, az átlagos lépéshossz 75 cm. 4. Igaz-e? (a) ( n (b) a k ) c = n a k c a m, a m+,..., a n, c R k=m k=m n k 2 = n (j + ) 2 = n (k + ) 2 n 2 k=2 j= k= 5. Alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! (a) x y xy 2 2x+y x 2 y (b) k2 kl k2 l+kl 2 k 2 +kl k 2 l 2 (c) x+ x x 2 x+2 8 + 4 x 2 (d) Polinommá alakítható-e az alábbi algebrai tört? x 4 y 4 (x+y)(x 2 +y 2 ) (ahol x y). 6. (a) Számítsuk ki 8+ 2 8 2 pontos értékét. (b) Igazoljuk, hogy 250 nem egészen 0.0-gyel nagyobb 2500 = 50-nél! 5
I. Bevezetés. Egyenlet megoldása: 3. Egyenletek Módszere: egyenletrendezés, azaz az összefüggés egyszer sítése, törtek és gyökös kifejezések megszüntetése, az ismeretlen átrendezése egy oldalra. a helyes megoldás elve: ekvivalens átalakítások. Hibalehet ségek: gyök elvesztése, vagy hamis gyök. a megoldások száma: nem feltétlenül egy, lehet több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Példák. (i) Mely x R esetén x 2 = 4? (ii) Mely x R esetén x = x? x = ±2. (Nem elég x = 2, akkor elvesztenénk a -2-t.) Megoldás: A gyök miatt eleve csak x 0 lehet, így ekvivalens átalakítás: x = x 2. Most egy nem ekvivalens átalakítás: osztunk x-szel, így x =. Ez csak x 0 esetén jó, így x = 0-t is meg kell nézni, ez is megoldás. (iii) Mely x R esetén x = x? Nem ekvivalens átalakítás: ha x megoldás, akkor x = x 2. Ebb l, mint az el bb, x = vagy 0. Visszahelyettesítve: csak x = 0 jó. II. Lineáris (els fokú) egyenletek Megoldása: rendezzük ax = b alakra (ahol a, b R adott, x =?); ha a 0, akkor x = b/a. Ha a = 0, akkor b = 0 esetén x R jó, b 0 esetén megoldás (ez már az átrendezés el tt is kiderülhet).. Mely x R esetén igaz, hogy (a) 2x + 7 = 9 x ; (b) 3x 6 = 3(x 2)? 2 2. Egy motorcsónak sebessége állóvízben 6 km/h. Ugyanannyi id alatt tesz meg árral szemben 3 km-t, mint árral 5 km-t. Mekkora sebességel folyik a folyó? (Az egyenlet: ha a folyó sebessége x, akkor a csónaké árral, ill. árral szemben 6+x, 5 ill. 6 x. Az id =út/sebesség képlet alapján tehát = 3. Átrendezve 6+x 6 x 5(6 x) = 3(6 + x) lineáris, ezt megoldva x = 4 km/h.) III. Másodfokú egyenletek. Alakja: ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c R, a 0). Megoldóképlet: Példák: x,2 = b± b 2 4ac 2a ; a valós megoldások száma 2, v. 0. (a) x( x) = 2. Átrendezve: x 2 x 2 = 0, a képletb l x = és 2. (b) (x 3)2 = 8. Ez kifejtve a fenti alakú, azaz másodfokú. Itt azonban ez fölösleges, 2 egyszer bb az átszorzás után gyököt vonni: (x 3) 2 = 6, azaz x 3 = ±4, azaz x = 7 és. (A megoldóképlet is így jön ki.) 6
IV. Egyenletek törtekkel (racionális törtfüggvényekkel): a (közös) nevez vel felszorozva polinomot kapunk. Ha ez els - vagy másodfokú, akkor a fenti módon megoldható. Példák:. Lineárisra visszavezethet : (i) x + x = 3 (x ) 2x + 2 = 3x 3 x = 5. 2 (ii) x + x = 3 2 (x ) x + x = ±3 2. Ha a jobb oldal + 3, akkor a fent kapott 5 a megoldás. 2 Ha a jobb oldal 3, akkor átszorozva 2x + 2 = 3x + 3 x =. 2 5 2. Másodfokúra visszavezethet : 2x 2 + 3x + 5 x = x + (x ) 2x 2 + 3x + 5 = x 2 x 2 + 3x + 6 = 0. V. Paraméteres egyenletek: valamely állandó(ka)t nem rögzítünk, ennek függvényében nézzük, mik a megoldások. Pl.:. Az x + 2 = p x + 4 egyenletnek mely p R paraméter esetén van megoldása? Rendezve: (p )x + 2 = 0. Így, ha p = : nincs megoldás, ha p : x = 2/( p) egyetlen megoldás. Pl. ha p = 2, akkor x + 2 = 2x + 4, azaz x = 2 a megoldás; ha p =, akkor x + 2 = x + 4, ez az, amikor nincs megoldás. 2. Mely p R esetén hány megoldása van és mely(ek)? (Átrendezve másodfokú lesz.) x x + x + x = p 7
Házi feladatok.. Adjuk meg x 3 = x összes x R megoldását! 2. Mely x R esetén igaz, hogy (a) 4x + 0 = 2x; (b) 2 3 x + 0 = x 5 + 36 5 ; (c) 7x + 4 = 7(x + 2); (d) 5(x 2) = 5x +? 3. (a) Hány kg sót kell adni 00 liter 40%-os sóoldathoz, hogy 65%-os oldatot kapjunk? (b) Hány éves az a tölgyfa, amely 60 év múlva 5-ször annyi id s lesz, mint 20 évvel ezel tt volt? 4. (a) Oldjuk meg az x 2 x 6 = 0 egyenletet. (b) A v 0 kezd sebességgel felfelé hajított test t id alatt s = v 0 t g 2 t2 utat tesz meg, ahol g 0. Mennyi id alatt repül felfelé 2 métert a 7 m/s kezd sebességgel felhajított test? (Vigyázat: a két gyökb l a kisebb kell, miért? Mit jelent a másik?) 5. Oldjuk meg: (a) 2x + 3 4 x = 5 3 ; (b) x + 3 = 7 x 2 2 ; (c) 2 x = 7 x + 3 ; (d) x 2 2x + = x+2. 6. (a) A p R paraméter értékét l függ en hány megoldása van a p(p )x+ = p 2 egyenletnek? (b) A b R paraméter értékét l függ en hány valós megoldása van az x 2 +bx+ = 0 egyenletnek? (c) Mutassuk meg, hogy bármely a, b R esetén az (x a)2 = 2b 2 egyenletnek van 2 megoldása; hány van? x (d) A p R paraméter értékét l függ en van-e, és mi a megoldása az 4 x = p egyenletnek? 8
4. Hatványozás, logaritmus, egyenletrendszerek I. Hatványozás, logaritmus. (a) Ismétlés. (i) a n := a n, a 0 =, a n := n a, a m n := n a m. (ii) Ha a > 0, a, b > 0, akkor x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. Nevezetes alapok: lg b := log 0 b; ln b := log e b (ún. természetes alapú logaritmus, ahol e 2.7, def. kés bb). Feladat: adjuk meg az alábbi számok pontos értékét (számológép nélkül): 9 2 ; 4 3 2 ; 8 4 3 ; log 2 4; log 2 2 ; log 4 2; log 5 ; 2 log 2 3 ; 6 log 4 3 ; 3 2 log 3 4 ; lg 00. (b) Exponenciális és logaritmusos egyenletek. Fel kell használni: deníciók; az exp és log függvények szigorú monotonitása, így egy értéket egyszer vesznek fel: a u = a v u = v, log a u = log a v u = v. azonosságok: a x+y = a x a y, a x y = ax, (a x ) y = a xy ; a y x log a xy = log a x + log a y, log = log a y a x log a y, log a (y c ) = c log a y, log a x = log b x log b a.. Oldjuk meg: (a) 3 2x 5 = 3 ; (b) log 2 x = 5; (c) lg(3x 4) = lg(x + ); (d) x + log 2 = 3; (e) ln(x + 4) ln(2x ) = x 2. Egy tenyészetben a baktériumok számát a t id pontban N(t) = N 0 2 0.25 t képlettel írhatjuk le (folytonos közelítéssel), ahol N 0 millió a kezdeti mennyiség a t = 0 id pontban, és az id t órákban mérjük. Hány óra alatt lesz a baktériumok száma a kezdeti mennyiség (a) 8-szorosa; (b) K-szorosa (ha K > adott szám)? II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Oldjuk meg a "beszorzás azonos együtthatóra" módszerével! Hány megoldás van? Eredmények: 2x + 6y = 9 3x 4y = 7; 9x 3y = 6 6x 2y = 4; x y = 5 8x + 8y = 2. (3, ) egyértelm ; sok (öszefügg egyenletek); nincs. 2 9
Házi feladatok.. (a) Adjuk meg az alábbi számok pontos értékét (számológép nélkül): 4 3 2 ; 9 2 ; 8 2 3 ; log 3 9; log ; log 3 3 3 3; log 9 3; log 7 ; 5 log 5 3 ; 25 log 5 3 ; 5 2 log 5 9 ; lg(0 4 ); lg 000000; log 2 (2 π log ); log 2008 π + log 2008 π 2008 π ; log 2008 π. (b) Melyik nagyobb (számológép nélkül), log 2 3 vagy log 4 8? (c) Hogyan számítható ki számológépen 7 2 a lg x és 0 x funkciók segítségével? 2. Oldjuk meg: (a) 5 x+ = ; (b) 25 372x 3 = ; (c) log 3 x = 2; (d) lg(5x 4) = lg x; x + 2 (e) log 9 x = 3; (f) log 3 = 2; (g) ln(x + 3) + ln(x 3) = 2 x 3 3. Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát a t id pillanatokban egy id ben csökken exponenciális függvény írja le: N(t) = N 0 e λt, ahol N 0 az N értéke t = 0 pillanatban, λ > 0 az ún. bomlási állandó, e 2, 7. Számítsuk ki az (N 0 -tól független) T felezési id t, azaz, amelyre bármely t 0 esetén N(t + T ) = N(t) 2, (a) ha λ = ln 2 00, azaz N(t) = N 0 2 t 00 ; (b) általában (λ függvényében)! 4. Oldjuk meg! Hány megoldás van? 3x + 3y = 9 4x + 2y = 0; 5x + 3y = 8x 2y = 5; 7x y = 3 4x 2y = 6; x 2y = 3x 6y = 3; 4x y = 5 8x + 2y = 2. (Eredmények: (2,), (, - ), (0,3), sok (öszefügg k), nincs.) 2 2 0
5. Mátrixok, vektorok. (a) Gyakoroljuk az A+B és A B mátrix, ill. az Ax vektor kiszámítását, tetsz legesen felírt A és B mátrixokkal és x vektorral! (A 2 2 esetre kétszer, az egyik esetben az A = I mátrixszal; a 3 3 esetre egyszer.) (b) Igazoljuk a denícióból, hogy (c) Mutassuk meg, hogy az ( 5 3 2 ) ( x y ) = ( 2 ) ( 5 3 2 { 5x + 3y = 2 2x + y = alakban! ) és ( 3 2 5 ) egymás inverzei! lineáris egyenletrendszer (LAER) felírható (d) Szorozzuk be a fenti LAER-t a mátrix (b) pontban kapott inverzével, és ellen rizzük, hogy a kapott vektor koordinátái valóban megoldásai a LAER-nek! 2. Determináns kiszámolása. Gyakoroljuk tetsz legesen felírt mátrixokkal: a 2 2 esetre kétszer; a 3 3 e- setre legalább egyszer, ugyanazt Sarrus-szabállyal és az els sor szerint kifejtve is végigszámolva. ( ) 2 3. Számítsuk ki az A := mátrix sajátértékeit, és adjuk meg az összes, ill. 2 3 egy-egy konkrét sajátvektort! (Eredmények: sajátértékek 4 és, egy-egy sajátvektor ( 2 ) és ( ).)
Házi feladatok.. (a) Számoljuk ki az A + B és A B mátrixokat, ill. az Ax vektort, ha ( ) ( ) ( ) 3 4 A =, B =, x =. 2 3 3 4 (b) Ellen rizzük az IA = A = AI azonosságot az A = ( ) a b 2. (a) Legyen A =, det(a) 0. Igazoljuk, hogy A = c d ( ) 3 4 (b) Számítsuk ki a fentib l a 2 3 hogy az valóban inverz! 3. Determináns kiszámolása. (a) (b) 3 4 2 3 =? 3 2 0 =? 3 5 2 =? 3 (Sarrus-szabállyal, ill. az els sor szerint kifejtve is) 3 2 0 2 3 4 5 =? 0 3 2 3 2 0 2 3 4 5 det(a) mátrixra! ( d b ) c a mátrix inverzét, és ellen rizzük a denícióból, =? 4. Számítsuk ki az alábbi mátrixok sajátértékeit, és adjunk meg egy-egy konkrét sajátvektort! ( ) ( ) 2 3 A =, B =. 2 3 2 ( ) ( ) Eredmények: A: 4 és, és, ill. B: ± ( ) 3 6, 2 ±. 6. 2
6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Ismétlés. Vektor fogalma. Egy P pontot gyakran azonosítunk az OP vektorral. Vektor megadása: sor vagy oszlop. Pontok távolsága síkon ill. térben, polárkoordináták. Szögek értelmezése radiánban (dimenziótlan), szögfüggvények. Írjuk fel az alábbi szögek radián értékét, ill. sin, cos és (ha van) tg értékeiket: 0, 30, 45, 60, 90, 50, 80, 270, 360. Periodikusság: sin α = sin(α + 2kπ) (k Z), és cos-ra is. Példa: a Föld sugarának meghatározása. Eratoszthenész meggyelése: ha a Nap Syenében pontosan delel (kútban tükröz dik), akkor a 800 km-re lev Alexandriában 7, 2 -os szögben esik be. Ebb l a sugár 800 km/tg 7, 2 800/0, 263 6334 km. (Elemibb út: 7, 2 = 360 /50, így a kerület 800 50= 40 000 km.) Háromszög további adatai 3 adatból (sin- és cos-tétel). Sin-tétel: a sin α = b sin β = c sin γ. Cos-tétel. Mi lesz (c 2 = a 2 + b 2 )-tel, ha a derékszöget elrontjuk? c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. II. Feladatok. (Spec. esetek: γ = π/2 Pith.; γ = 0 c = a b.). (a) Milyen messze van a (3,-4) síkbeli pont az origótól? (b) Mekkora a (2,-3) és (7,9) síkbeli pontok távolsága? (c) Mekkora a (2,,-) és (4, -2, ) térbeli pontok távolsága? 2. (a) Mekkora egy derékszög háromszögben az a befogó, amely 45 -os szöget zár be a mellette lév 0 cm hosszú átfogóval? (b) Mekkora egy derékszög háromszögben az az átfogó, amely 60 -os szöget zár be a mellette lév 3 cm hosszú befogóval? (c) Egy 40 m hosszú híd egyik hídf jénél állva a másik parton álló lámpaoszlopot a híddal 30 -os szöget bezáró irányban látjuk. Milyen messze van a lámpaoszlop a másik hídf t l? (Feltesszük, hogy a híd és a part is egyenes, és mer legesek egymásra.) 3. Adjuk meg az (,- 3), a (0,3) és a (2,2) pontok polárkoordinátáit. 2 2 4. (a) Egy háromszög egyik oldala 0 cm hosszú, a csúcsainál lév szögek 60 és 45. Mekkora a másik két oldal? (b) Egy 60 -os útelágazástól A falu 7 km-re, B falu 4 km-re van (egyenes úton, rajz). Mekkora A és B távolsága? (kb. 6,08 km) 5. (a) Számítsuk ki néhány tetsz legesen felírt vektor skaláris szorzatát! (Két-két 2 és 3 dimenziós példa.) (b) Számítsuk ki két-két tetsz legesen felírt 3 dimenziós vektor vektoriális szorzatát! 3
Házi feladatok.. (a) Mekkora a (2,-) és (5,3) síkbeli pontok távolsága? (b) Mekkora az egységkocka testátlója? 2. (a) Egy 0 -os emelked n megtett út végén egy autó km-órája 2500 m-vel mutat többet. Mennyivel került magasabbra? (b) Egy 000 m magas fennsíkon állva az Ararát 40 km-re lév csúcsát vízszinteshez képest 6 -os szögben látjuk. Ez alapján milyen magas a csúcs tengerszint felett? (c) Egy egységnégyzet alapú négyzetes oszlopot elmetszünk egy 30 -os szögben emelked síkkal. Mekkora a síkmetszet területe? 3. (a) Adjuk meg az (, 3), a (-4,0) és a (-,-) pontok polárkoordinátáit. (b) Jelölje r és ϕ a síkbeli pontok polárkoordinátáit. Ábrázoljuk az r = 2, ϕ = π 4 koordinátájú pontot, ill. a C := {(r, ϕ) : r =, ϕ [0, 2π)} halmazt! 4. (a) Egy 45 -os útelágazástól A város 0 km-re, B város 5 km-re van egyenes úton. Mekkora A és B távolsága? (b) Egy A-ból induló egyenes f útról a 3. km-nél jobbra 5 -os szögben ágazik el egy szintén egyenes út. Ezen 6 km után érünk B-be. Milyen messze van légvonalban A és B? (c) A Föld-Hold távolság 382,5 ezer km. Egy üstökös a Földr l nézve a Holddal 73 -os, a Holdon lév rállomásr l nézve a Földdel 06 -os szöget zár be. Milyen messze van a Földt l? 5. Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris és a (c)-(d) esetben vektoriális szorzatát! (a) a = (, 2), b = (7, ); (b) a = (, 2), b = (3, ); (c) a = (, 2, 0), b = (3, 4, ); (d) a = (3,, 2), b = (, 4, 2). 6. Számítsuk ki az alábbi vektorok által bezárt szöget! (Útmutatás: cos γ = a b, ebb l egyértelm γ [0, π].) a b (i) a = ( 3, + 3), b = (4, 4); (ii) a = (, 2), b = (6, 3). 7. Mutasuk meg a kiszámítási képletb l, hogy bármely térvektorra a a = 0. 4
7. Függvények I. Kompozíció fogalma (x g(x) f(g(x)), "két gép egymás után"). Példák.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! (a) f(x) := x + 4 x 4 és g(x) := x2 ; (b) f(x) := x 2 + e x és g(x) := 3x; (c) f(x) := x 2 és g(x) := x; (d) f(x) := x 3/2 és g(x) := x ; (e) f(x) := 2x és g(x) := 3x; (f) f(x) := 2x 3 és g(x) := x +. 2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! f(x) := 0 x, g(x) := x és h(x) := x 2. 3. Szemléltessük az alábbi példákon, hogy általában f g g f! (a) f(x) := x 2 és g(x) := x + ; (b) f(x) := sin x és g(x) := 2x. 4. Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! (a) f(g(x)) = e 2x, (b) f(g(x)) = ln(x 2 ), (c) f(g(x)) = (x 3) 2, (d) f(g(x)) = sin 2 x, (e) f(g(x)) = 4 + x, (f) f(g(x)) = 3x. 5. Az f(g(h(k((x)))) = + cos 2 x kompozíciófüggvény esetén adjuk meg, melyik az f, g, h ill. k függvény! II. Inverz fogalma: ha f injektív, akkor y f (y) az f(x) = y egyenl ség egyetlen x megoldása (y R f esetén). (A képlet kiszámítása után persze áttérhetünk x változóra!) Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! (a) f(x) := x 3 2x + (x R, x /2); (b) f(x) := 4 + 3 2x (x R); (c) f(x) := (e 3x + 4) 2 III. Függvények ábrázolása. (x R).. Elemi függvények. (Hatvány, exp, log: ismételjük át az 5. el adás III.(a)-(b) rajzait. Sin, cos grakonja.) Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f(x) := x 6, x 5, x 5/2, x 4/3, x 2/3, x /4, x /2, ( 3 2 )x, ( 2 5 )x, 4 x, lg x. 2. f(x) + c, f(x + c), c f(x), f( x), f(c x) ábrázolása, pl. a sin-függvényen. 3. Egyes térer sségek leírhatók az f(r) := c függvénnyel, ahol c > 0 állandó. r 2 Ábrázoljuk az f függvényt pl. c = 2 esetén! 5
Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! (a) f(x) := x2 + x és g(x) := ex ; (b) f(x) := x 2 és g(x) := sin x + 2; (c) f(x) := 2 x és g(x) := log 2 x; (d) f(x) := x és g(x) := x + 3. 2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! f(x) := 4x, g(x) := x és h(x) := 2 x +. 3. Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! (a) f(g(x)) = cos 3x, (b) f(g(x)) = ln(sin x), (c) f(g(x)) = (x + 5) 3/2, (d) f(g(x)) = e x. 4. Az alábbi kompozíciófüggvények esetén adjuk meg sorrendben a kompozíció tagjait! (a) cos 2 4x, (b) 3x 2, (c) ( + x 2 ) 5/2, (d) 0 2x. 5. Igaz-e az alábbi függvényekre, hogy f g = g f? (a) f(x) := cos x és g(x) := x 2 ; (b) f(x) := e x és g(x) := ln x. 6. Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! (a) f(x) := 2x + (x R, x ); (b) f(x) := 5 2 x 2 +6 (x R). x 7. Mutassuk meg, hogy az f(x) := x 2 2x függvénynek nincs inverze, de az (, ) félegyenesre vett lesz kítésének már van. 8. Egy gáz állapotegyenlete pv = 0.02T, ahol p, V és T rendre a nyomás, térfogat és h mérséklet. Ábrázoljuk (a) (b) V = 0.0 rögzített térfogat esetén a p(t ) függvényt; T = 00 rögzített h mérséklet esetén a p(v ) függvényt! 9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f(x) := x 3/2, (x + ) 2, (x ) 2/3, (2x ) 3/4, (x + 4), cos 3x, 3 cos x, 2 x, 3 x, ln x, log 2 (3 x) 6
8. Végtelen számsorozatok. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat (a n ). Példa: az (/n) sorozat:, /2, /3... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije a sorozatnak? Sorozat határértéke: lim a n = A R, ha ε > 0 N = N(ε) N + : n > N esetén a n A < ε. A paraméterek jelentése: ε hibahatár (akármilyen kicsi lehet), N küszöbindex. A sorozat tehát bármilyen kis hibahatáron belül megközelíti A-t elég nagy n-re. A " N = N(ε) N + : n > N esetén" kitétel lazábban: "elég nagy n-re". Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor (a n ) konvergens. 2. Példák. Írjuk fel az els néhány tagot, és rajzoljuk fel szemléletesen a számegyenesen mind a sorozatot, mind a limeszt. Az els kett nél ellen rizzük a denícióból a látható limeszt, a többire hasonló lenne, de nem számoljuk ki. Az absztrakt deníciót ezután nem használjuk, a cél ehelyett majd csak az lesz, hogy a szemlélet számára világossá tegyük a fogalmat. (a) a n := 0. Itt a n n 0 = < ε, ha n >, azaz ha N = N(ε) olyan egész, n ε melyre N, akkor n > N esetén < ε. ε n Pl. ha ε = 0 6, akkor N = 0 6 jó küszöbindex: n > 0 6 esetén < n 0 6. (b) a n := n 2 0. Mint fent: a n 0 = n 2 < ε, ha n > ε, azaz most olyan N = N(ε) egész lesz jó küszöbindex, melyre N ε. Pl. ha ε = 0 6, akkor N = 0 3 jó küszöbindex. (c) a n := n2 + n 2 = + n 2. (d) a n := 2 n 0. (e) a n := ( 2 )n 0. ("Ugrálva" tart.) (f) a n := 5 n (konstans sorozat) limesze is 5. (g) Nem minden sorozat konvergens. Pl. a n := ( ) n : nincs határértéke (divergens). 3. M veletek: ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lim(a n + b n ) = A + B, lim(a n b n ) = A B, lim(a n b n ) = A B, ha B 0: lim an b n = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. (Szemléletesen mindez azért igaz, mert elég nagy n-re a n A és b n B.) Példák: lim 2n+ 3n 5 = lim 2+ n 3 5 n 4. mint határérték. = 2 3 ; lim 5 + n = 5. Def.: lim a n = +, ha K > 0 esetén N = N(K) N + : n > N esetén a n > K. (Azaz ha K > 0 esetén "elég nagy n-re" a n > K.) 7
Hasonlóan, lim a n =, ha K < 0 esetén "elég nagy n-re" a n < K. Pl.: a n := n 2 +, mert adott K > 0 esetén n 2 > K, ha n > K. Továbbiak (elég szemléltetni): a n := 2 n ; a n := ( 2) n -nek végtelen limesze sincs. 5. Fontos határértékek: +, ha α > 0; lim n α =, ha α = 0; 0, ha α < 0; lim q n = +, ha q > ;, ha q = ; 0, ha q < ;, ha q. Példák: lim n = lim n /2 = +, lim 3 n = lim n /3 = 0, lim( 2 3 )n = 0, lim 4 n = lim( 4 )n = 0, lim 3 n = +. 6. Szabályok végtelen limeszre. (i) Rendezés: ha lim a n = + és n-re b n a n, akkor lim b n = +. (Hasonlóan -re, ha b n a n.) Példa: lim ( ) n 2 + n + 2n n + 3 n +, mert bn := n 2 +... a n := n 2 +. (ii) M veletek. Összegsorozat: ha lim a n = + és lim b n R vagy +, akkor lim(a n + b n ) = + ; ha lim a n = és lim b n R vagy, akkor lim(a n + b n ) = ; ha lim a n = + és lim b n = (v. fordítva): lim(a n + b n ) bármi lehet. Példák: lim(n 2 +2n) = +, lim( n n) =, lim[ (n+) 2 (n 2 +2n) ] =, lim [ (n + 8) n ] = 8. Az utóbbiaknál rossz lenne "(+ ) (+ ) = 0". Szorzatsorozat: ha lim a n = + és lim b n = B > 0 vagy +, akkor lim(a n b n ) = + ; ha lim a n = + és lim b n = B < 0 vagy, akkor lim(a n b n ) = ; ha lim a n = + és lim b n = 0: lim(a n b n ) bármi lehet. (Ha lim a n = : ugyanezek fordított el jelekkel.) Példák: lim ( + n ) 2n = +, lim n 3 2 n = +, lim 2 n n = 2. (Az utóbbinál rossz lenne "(+ ) 0"-ra eredménynek (+ ) vagy 0.) Reciproktáblázat: lim a n = + vagy 0 0 + (:= 0 és a n > 0) 0 (:= 0 és a n < 0) lim a n = 0 nem tudjuk + Példák: lim n 2 +2n hányados: lim n4 n + 3 = 0, lim 7. Racionális törtfüggvények limesze. n + 3 n 2 = + ; = +, lim 4 n 2 = 7 (rossz lenne " 0 = ). n 2 0 n Formálisan ". Módszer: a legnagyobb kitev j taggal egyszer sítünk. Példák: lim n2 +2n 3n 2 +n 5 = 3, lim n n 2 + = 0, lim 4n3 n 2 +2n = +. 8
Házi feladatok.. Az a n := 2n+5 sorozat milyen index tagjai közelítik meg a határértékét 0 4 -nél n nagyobb pontossággal? 2. Létezik-e, ha igen, mennyi? (Ismert limeszek + a szabályok alapján lehet megoldani.) (a) lim n, lim 3 n, lim n 3/2, lim( 4 3 )n, lim( 3 4 )n, lim( 2 3 )n, lim( 3) n, lim( π )n (b) lim ( 2 + 3 n ) ( 4 n 2 ), lim 3+ 2 n 5 n 3. (c) lim ( 2+ 3 n n), lim ( (n+2) 2 (n+) 2), lim n3 4 n n, lim( 2 n 3) n 2, lim ( n 2 +4n+3 ), lim ( n 2 4n + 3 ), lim ( n 4 + 2 + 3 n), lim( )n n 2. (d) lim 3n+5 7n 4, lim n2 + n 2, n2 lim, lim n2 +3, 2n+3 2 n 3 lim 2n2 n 3n 2 +0n, lim( n + ) ( 2 n n 2 ). 9
9. Végtelen sorok. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példák: (a) (rajzon, számegyenesen): + 2 + 4 +... + 2 n +... = 2. (b) /3 tizedestört-alakja. Mit jelent az, hogy 0, 333...? Végtelen sor összege. Egy sort konvergensnek deniáltunk, ha az s n := n a k szeletek sorozata konvergens; k= ekkor a sor összege lim s n. (Más indext l is indulhat.) Célok: egy adott sor konvergens-e; ha lehet, számítsuk ki az összegét. 2. Fontos példák. (a) A q n mértani sor. q n := lim s n = lim n k=0 (Pl. az el bb, q = /2.) Ez q < esetén konvergens, és (0 indext l vett) összege q k = lim qn+ q = q, azaz + q + q2 +... = q. Ha q, akkor a sor divergens. Példák: 2 i. n = ( 2 3 n 3 )n = = 3, hiszen q = 2 = 2 <. 2 3 3 3 ii. + +... = ( 2 4 8 2 )n = = 2, hiszen q = = <. 3 2 2 iii. iv. 2 n +3 n 5 n = 2 n + 3 n = 5 n 5 n 2 5 ( 5 3 )n divergens, hiszen q = 5 3 számokat adunk össze.) v. vi. + 2 + 3 5 ( 5 3 )n divergens, hiszen q = 5 = 5 3 3 ( ) n 3n = ( 3 5 n 5 )n = + 3 5 = 25 6. >. (Itt a sorösszeg +, hiszen -nél nagyobb = 5 8, hiszen q = 3 5 <. Vigyázat, nem tagonként szorzunk! Azaz pl. nem vii. Legyen q < adott szám, N adott egész. >. (Vigyázat: hiába q <!) n=n ( ) n 5 n q n =? 3 n.... megoldás: q N + q N+ + q N+2 +... = q N ( + q + q 2 +...) = qn q. 2. megoldás: n=n (b) Hipergeometrikus sor: q n = n= q n N, n α q n = qn q q = qn q. ahol α > 0 rögzített szám. Áll. (biz. nélkül): α > esetén konvergens, α esetén divergens. Pl. divergens (ezt láttuk az ea-n), de pl. konvergens. n= n n= 3. Konvergenciavizsgálat: egy adott a n sor konvergens-e? (Itt nem muszáj kezd indexet írni, mert nem számít.) 20 n 2
(a) Szükséges feltétel: a n 0. (b) Kritériumok. Példák: (Nem elégséges, pl. a n := /n.) Gyökkritérium. Ha lim n a n =: q: q < absz. konv., q > div. Hányadoskritérium. Ha lim a n+ a n =: q: " Ha van ilyen q, akkor ugyanaz jön ki mindkét kritériummal (amelyre elég nagy n-re a n c q n ); a hányadoskritériumot általában könnyebb kiszámolni! Ha ezek nem m ködnek (pl. mert q = ), akkor mással próbálkozunk, pl. ha felismerjük, hogy hipergeom. sor, akkor α-tól függ en konv. vagy div.; ha a n konvergens, akkor a n is konvergens; ha nem teljesül a szükséges feltétel, azaz ha a n 0, akkor a sor div. (i) n 2 2 n konv.-e? Hányadoskritérium: (ii) ( ) n n(n+) 3 n konv.-e? Hányadoskritérium: (iii) ( ) n 5 n 3 n konv.-e? Hányadoskritérium: a n+ a n = (n+)2 2 n+ 2n n 2 = ( + n )2 2 2 < konv. a n+ a n = (n+)(n+2) 3 n+ 3 n n(n+) = n+2 n 3 3 < konv. a n+ a n = 5n+ 3 n+ 3n 5 n = 5 3 > div. Észrevétel: ez egy divergens geometriai sor, q = 5 mellett. (Már néztük is.) 3 a Megj.: fontos az abszolút érték! (Rossz megoldás: n+ a n = 5 < konv.) 3 (iv) konv.-e? n 3 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Mivel hipergeom. sor, ahol a kitev α = 3 >, így konv. (v) ( ) n konv.-e? n 2 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Abszolút értéke hipergeom. sor:, amely α = 2 > miatt konv. az eredeti sor is konv. n 2 Házi feladatok.. Konvergens-e a sor? Ha igen, mennyi az összege? (a) (b) 3 n (c) 3 n (d) 3 n 2 n (e) 4 n 4 n 2 n 4 n (g) (2-t l indul!) (h) 3 n 3 n+2 n=2 ( ) n 4 n (f) ( 2) n 2. Értelmezzük és bizonyítsuk be a szemléletesen ismert 0.999... = egyenl séget! 3. Konvergens-e a sor? (a) n 5 n (b) n 3 2 n 3 n (c) n 5 7 n 6 n (d) (2n+)(2n+3) 4 n (e) ( ) n n 2 n 2 (f) 2 3n+0 (g) 3 n (h) ( ) n 3 n (i) (j) n (k) ( ) n2 +3n 3 2n+ n! 2 n (n+)! n 4 n 3 (l) ( ) n (m) ( ) n n 2
0. Egyváltozós függvények deriválása. A derivált fogalma és geometriai jelentése példákon. (i) Vezessük le: f(x) := x 2 dierenciálható bármely a-ban, éspedig f (a) = 2a. Rajzoljuk fel az a-beli érint t, és szemléltessük, hogy f (a) értéke ennek meredeksége. Pl. az a = pontban: f () = 2, azaz az -beli érint meredeksége 2. Az érint egyenlete: meredeksége 2. l( + h) = f() + f ()h = + 2h, ez átmegy (, )-en és Ennek jelentése közelítés szempontjából: f() = l() =, és kis h-ra f( + h) l( + h), azaz ( + h) 2 + 2h. Ez az f lineáris közelítése a = körül. (Konkrétan most az is látszik, hogy h 2 -et hagytuk el.) (ii) Deriváltfüggvény: f (x) = 2x (x R). (iii) Példák nem deriválható függvényre (csak a geometriai jelentést szemléltessük): f(x) := x az a = 0 pontban: nincs érint, mert töréspontja van; f(x) := 3 x az a = 0 pontban: nincs véges meredekség érint. 2. A továbbiakban a deriváltfüggvény kiszámításával foglalkozunk, azaz f(x) képletéb l f (x) képletét állítjuk el. Felidézend (ld. ea): f(x) := x α, e x, ln x, sin x, cos x deriváltja. Jelölés: f (x) helyett néha ( f(x) ) -t írunk, pl. (e x ) = e x. 3. Deriválási szabályok (ea-ról felidézend ). (i) Összeg, szorzat, hányados deriváltja. Pl. deriváljuk: e x + sin x, x, x 2 x3/2 4 ln x, x 2 sin x, x 3 e x ln x, 3x sin x x2. cos x 3x 4, x sin x, (ii) Kompozícióderivált (ea-ról felidézend ). Néhány spec. esete: ( ) (g α ) = αg α g, pl. (g 2 ) = 2gg, g = g, g 2 (ln g) = g g, (eg ) = e g g, ( f(cx) ) = c f (cx), pl. ( f( x) ) = f ( x), ( f(x 2 ) ) = f (x 2 ) (2x). Több tagra: ( f(g(h(x))) ) = f (g(h(x)) g (h(x)) h (x) (láncszabály). Példák: sin(x 2 ), sin 2 x, e cos x, ln( + x 2 ),, sin 2x, cos x e x, (2x + ) 3, 3x, x + x 2,, x deriváltja. cos(x 3 ) esin2 (iii) Néhány alkalmazás (vezessük le): tg x =, cos 2 x ctg x =, sin 2 x sh x = chx, ch x = shx, th x =, ch 2 x cth x = (ln x ) = negatív x-re is. x 22 sh 2 x.
Ha a > 0, akkor (a x ) = ( e ln a x) = e ln a x ln a = a x ln a. Ha a > 0, a, akkor (log a x) = ( ) ln x ln a =. x ln a (iv) Szorzatderivált több tagra. Vezessük le: (fgh) = f gh + fg h + fgh (stb). Pl.: (x e x sin x) 4. Inverz deriváltja: y = f(x) esetén (f ) (y) = f (x). Példa: legyen x [ π, π ], és y = sin x [, ]. Ekkor cos x 0, így 2 2 arc sin y = cos x = sin 2 x = y 2. Hasonlóan jön ki: arc tg y = +y 2. 5. Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/ benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: f(x) := x α, a x, log a x, sin x, cos x, (tg x, ctg x), arc tg x, sh x, ch x, (th x, cth x) deriváltját. (A többi arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. Házi feladatok.. Adjuk meg f(x) := x 3 érint jének meredekségét az (, ) pontban. Írjuk fel az érint egyenletét. Mely c, d R mellett érvényes a legjobb ( + h) 3 c + dh lineáris közelítés h 0 esetén, és mi köze ennek az a = pontbeli deriválthoz, ill. érint höz? 2. f (x) =?, ha f(x) =... x 4, x 3, x,, x ( ) x, 3x 5 4x 2 + 2 x 2 3 x, 2 x, x, 4 3 cos x 5 sin x, e x sin x, x 5 cos x, xe x, x ln x, x 2 x+ log 2 x,, sin x, x, x 2 4x 3, x 2, shx, x sin x cos x, x 2 4 x cos x ln x chx x 3/2 ln( x), ln( 4x), ln(x 2 +3x 4), ln cos x, e x, e x2 2, (x+) 5/2, (3x+) 5/2, cos 4x, tg x, ctg x, lg( 5x), e x sin x, 2 + x2, ( x 2 ) 5/2, +x 4, x x,,, ( x) 2 +x 2 +x 2 x e +x 2,, 2x, x ln, xe 2x, ln(x + + x ( x 2 ) 3/2 e 2x + +x +x 2 ), arcsin x, arc tg(x 2 ), arc tg x, x arc tg x ln + x 2 2. 3. (a) Legyen c > 0 állandó, f(x) := ln(cx). f (x) =?, hogyan függ ez c-t l és miért? (b) (x x ) =? Útm.: x x = e ln x x. x, 23
. Függvények határértéke és a végtelen. Taylor-polinom és -sor. I. Limeszek ± -ben. (Csak szemléltetünk, deníciók csak el adáson.). Limeszek hatványfüggvényekkel. (Hasonló, mint sorozatoknál.) (a) f(x) := x 2k és f(x) := x 2k+ (k N + ) grakonja, limesze ± -ben. (b) Valós α-ra lim x + xα rendre +, vagy 0, ha α > 0, = 0 vagy < 0. (c) Polinomoknál a f együttható számít: pl. lim x + (x3 3x 2 0) = lim x + x3 ( 3 0 ) = +. x x 3 lim (20 + x + 9x2 x 4 ) = lim x + ( x4 + 9x 2 + 20) = lim x + x4 ( + 9 x 2 + 20 x 4 ) =. (d) Rac. törtfüggvények: a legnagyobb kitev j taggal egyszer sítünk. 2x+5 (Mint a sorozatoknál.) Pl. lim = 2. x + 3x 4 3 2. Exp és log függvények limesze. Leolvasható az ismert grakonokról: pl. a > esetén lim x + ax = +, II. Taylor-polinomok. lim x ax = 0; Cél: polinommal közelíteni f(x)-et. lim log x + a x = +, lim log x 0 + a x =. Pl. ha sin x-et polinommal közelítjük, akkor tetsz leges értéke közelít leg kiszámítható (míg a pontos érték nem), a számológép is ezt teszi. A megfelel közelítések az ún. Taylor-polinomok (ld. el adás): T n (x) := n k=0 f (k) (a) n! (x a) k = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a) 2 +... + f (n) (a) n! (x a) n. Megj.: T n (a) = f(a), T n(a) = f (a),..., T n (n) (a) = f (n) (a). Tehát az a pontban egyre jobban simul f-hez, ha n-et növeljük. Példák az a = 0 pontban: (a) e x esetén T (x) = + x,..., T n (x) = + x + x2 2! +... + xn n!. T 2 (x) = + x + x2 2! (rajzzal), (b) f(x) := + x esetén f (x) = 2 (+x) /2, f (x) = 4 (+x) 3/2, így f(0) =, f (0) = 2 és f (0) = 4. Ebb l T 2(x) = + x 2 x2 8. 24
III. Hatványsorok, Taylor-sor.. Hatványsorok konvergenciája.. példa: tekintsük a x n = + x + x 2 +... formális sort, ahol x R. Ekkor hatványfüggvényeket adunk össze, ezért ezt a sort hatványsornak hívhatjuk. Kérdés: mely x esetén konvergens? Tudjuk a választ (x helyett q-val láttuk): ha x <. (A sor összegét is tudjuk:, ez most az összegfüggvény.) x Általában: hatványsornak egy c n x n Kérdés: mely x R esetén konvergens? 2. példa: sort hívunk, ahol a c n -ek adott számok. (n+) 3 n x n. Ekkor a n := (n+) 3 n x n mellett a n+ a n = (n+2) 3 x (n+) 3 x. Tehát: ha 3 x <, azaz ha x <, akkor konvergens a sor. Ha x >, akkor 3 3 divergens. Ha x =, akkor még nem tudjuk. 3 Megj.: ez általában is így van (lásd ea.): (i) R R + (lehet R = + is), hogy a sor konvergens, ha x < R, és (véges R esetén) divergens, ha x > R. (ii) Az x = ±R pontokban a sor lehet konv. és div. is. Mostantól a ( R, R) ún. nyílt konvergenciaintervallumot fogjuk keresni. A példában ez ( 3, 3 ). 2. Taylor-sor. Itt találkozik a két fogalom (hatványsor, ill. Taylor-polinom): (i) A hatványsoroknál a sor adott, és azt néztük, mely x-re értelmezhet összegfüggvény. Fordítva: adott függvény melyik hatványsor összege? (ii) Mit tesz a Taylor-polinom, ha n? Mindkett re a válasz: a Taylor-sor, k=0 f (k) (a) n! (x a) k. Taylor-sorba fejtés: (a szummákat néhány els taggal is szemléltessük) (a) Ismert sorok: ha x <, akkor x = x R esetén e x = (b) Szorzás, hatvány: ha x R: x e 2x = x n, cos x = n! pl. ( ) n x2n (2n)!, x n ; 2 n x n+ n!, ha x < : +x = sin x = ( ) n x2n+ ( ) n x n. (2n+)!. Megj.: egy függvény Taylor-sorát gyakran nem tudjuk felírni, mert a szükséges f (n) (x) képletek elbonyolódnak. Adott n-re viszont a Taylor-polinom mindig felírható, mint közelítés, és ez bármilyen pontos lehet, ha n elég nagy. 25
Házi feladatok.. Adjuk meg az alábbi határértékeket! lim x + lim x + 3 x, lim x + (x4 00x 3 ) 3x 2 +2x x 2 4, lim x + x. x 2 + lim x ex, lim x + e x, lim x e x, lim log x 0 + 2 x, 2. Írjuk fel az alábbi függvények adott Taylor-polinomjait az a = 0 pont körül: (a) f(x) := e 2x esetén T 2 (x), (c) f(x) := ch x esetén T 4 (x), (b) f(x) := sin x esetén T 3 (x), (c) f(x) := 4 x esetén T 2 (x). 3. Adjuk meg az alábbi hatványsorok nyílt konvergenciaintervallumát. 4 n x n, x 2n 4 n, ( ) n xn, n(n+) 4. Fejtsük Taylor-sorba a 0 pont körül: Ha x R: f(x) := e x, f(x) := x 2 sin x, ha x < : f(x) := x 2. 2 n x n n!. 26