Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében, továbbá n + { n } esetén n 5 n + = fennáll. Jelöljük f-fel a függvényt! Ekkor D f = R \ { 5}, azaz a függvény a egy környezetében valóban értelmezve van. = n + n 5 n + = n + 5 n + = + 5 + = 7 = Megoldás Cauchy definíciója alapján): Igazolandó, hogy ε > 0 esetén δ > 0, úgy, hogy 0 < < δ esetén f értelmezve van -ben, továbbá f ) < ε. f ) = + 5 + = 5 + ) < ε ε < 5 + ) < ε ε5 + ) < < ε5 + ) Innen a két relációt kettébontjuk. Az első reláció: 0ε 8ε < A második reláció: 8ε < + 0ε) 8ε + 0ε < < 0ε + 8ε 0ε) < 8ε + ε < 0, esetén < 8ε + 0ε Ábrázoljuk a két relációnak eleget tevő értékeket számegyenesen!
8ε +0ε +8ε 0ε jó lenne δ-nak!. ábra. Alkalmas delták helyzete a számegyenesen 8ε + 0ε + 8ε = = 8ε + 0ε + 0ε + 0ε + 8ε + 8ε + 0ε = = 8ε 0ε 0ε 0ε A két kifejezés közül a felső a kisebb, ezért ez alkalmas is δ-nak. ) Határozzuk meg az alábbi függvények határértékeit! + a) + + b) c) π + ) sin ) π cos d) sin π Megoldás: a) A nevezőben lévő gyökjelet az a b = a b) a + b) nevezetes azonosság segítségével eináljuk, így a + ) tényezővel le lehet egyszerűsíteni: + ) + ) + 9 + = ) = + + ) + ) = = ) b) A számlálóban lévő gyökjelet nevezetes azonosság segítségével kiküszö- =
böljük, majd az tényezőt bevisszük a gyökjelek alá: + ) + ) + + + ) ) + ) + + + ) = [ + ) ) ] = = = + ) + + ) = 8 {}}{ [ + ) )] + 8 + + + 8 + = 8 = + 8 + + + 8 + c) A változó transzformációjával 0-hoz tartó határértékké alakítunk: sin ) π sin z = ) = π cos z 0 cos z + π Addíciós összefüggések segítségével tovább alakítunk úgy, hogy ne 0 0 alakú legyen a határérték: = z 0 sin z cos z + sin z sin z = cos z z 0 sin z sin z cos z 8 sin z ) = = z 0 cos z sin) ) = z 0 cos z sin z cos ) = z d) A függvényt a tört bővítésével sin alakú határértékké alakítjuk át: sin π = π sin π π = π ) Határozza meg a következő függvények bal és jobb oldali határértékét az adott helyen! a) + 0 = b) ) 0 =
Megoldás: a) Jobb oldali határérték: Változótranszformációval 0-hoz tartó határértékké alakítunk = h h > 0) helyettesítéssel: 0 + = h 0 + h Bal oldali határérték: A módszer hasonló, azonban itt a transzformációs összefüggés = + h, ahol h > 0. = 0 +0 + = h 0 + h = b) Itt is változótranszformációt végzünk: +0 0 ) = h 0 ) = h 0 h = + h) = + ) Vizsgálja meg az alábbi függvényeket folytonosság szempontjából! a) + 0 + b) + c) sin Megoldás: a) A számlálót és a nevezőt szorzattá alakítjuk: + 0 + = ) + 5) ) ) Ennek a függvénynek az értelmezési tartománya D f = R \ {,}, ezen a halmazon folytonos. Egyenként megvizsgáljuk azokat a pontokat, ahol a függvény nem folytonos. Az 0 = -ben vett bal és jobb oldali határértékek: ) + 5) +0 ) ) = 7 = 7 = f ), 0
azaz f ) = 7. Ezért a függvénynek itt hézagpontja van. Az 0 = -ben vett bal és jobb oldali határértékek: ) + 5) +0 ) ) = + ) + 5) 0 ) ) = Itt tehát nem létezik határérték, a függvénynek = -ben lényeges szingularitása van. Ez ráadásul pólus, mert mindkét oldali határérték abszolútértékben. b) A függvény nem értelmezett, ha = 0. Mivel + = 0 sosem teljesül, ezért ez nem szűkíti tovább a D f -t.) Az értelmezési tartomány tehát D f = = R \ {0}. Ezen a halmazon a függvény folytonos. Az = 0-ban a bal és jobb oldali határértékek: 0+0 + = 0 0 0 + = Tehát a függvénynek = 0-ban lényeges szingularitása van. c) A függvény nem értelmezett, ha sin = 0. Ez akkor áll fenn, ha: = kπ = kπ k Z A függvény értelmezési tartománya tehát D f = R \ { kπ k Z}. A további vizsgálatot a k -mas osztási maradéka szerint végezzük el. Ha k = t,t Z: f ) = π t)+0 ) = π t) 0f Hasonlóan a többi esetben: π π πt+0 πt 0 sint = + sin t = f ) = t+)+0 πt+ π +0 sint = + ) = t+) 0f πt+ π 0 sin t = 5
π π f ) = t+)+0 πt+ π +0 sin t = + f ) = t+) 0 πt+ π 0 sin t = Látható ezek alapján, hogy minden szakadási helyen pólusa van a függvénynek. 5) Határozza meg a következő függvények aszimptotáinak egyenletét! a) 5 ) + ) b) Megoldás: a) Az aszimptota m + c alakú egyenes, ahol f ) m = ± c = [f ) m], ± illetve olyan függőleges = 0 egyenes, melyre 0 f ) = ±. Ebben a példában D f = R, ezért függőleges aszimptota nincs. f ) = 0 = m ± [f ) m] = ± = c Vagyis egy vízszintes aszimptota van, egyenlete y =. b) Az értelmezési tartomány D f = R\{0}. Belátjuk, hogy = 0-ban aszimptotája van a függvénynek: = f ) = +, 0+0 0 0 vagyis az = 0 egyenes valóban aszimptota. Keressünk nem függőleges aszimptotát! ± ) = = m A másik aszimptota tehát az y = egyenes. = = 0
) Van-e valós megoldása az 5 + = egyenletnek? Megoldás: Az f ) = 5 + függvény folytonos. Könnyen ellenőrizhető, hogy f 0) = < 0, valamint f 5) = > 0, így Bolzano tétele szerint [,5] : f ) = 0, azaz a fenti egyenletnek van valós gyöke. 7) Mivel egyenlő az alábbi kifejezés: sin arcsin 5 + arcsin 5 ) Megoldás: Addíciós tétellel: sin arcsin 5 + arcsin 5 ) = = sin arcsin 5 5 cos arcsin + sin arcsin 5 cos arcsin 5 = = 5 + 5 8 + 5 = = 5 5 5 8) A következő példákban a függvények határértékeinek meghatározásának leggyakoribb módszereit mutatjuk be egy-egy példával. a) A számláló és nevező szorzattá alakítása után: + 0 = ) + 5) ) + ) = + 5 + = + 5 + = 7 b) A számlálóban eináljuk a négyzetgyököt, ezután könnyen adódik a határérték: + + 0 = 0 + + + + + + + + = + + = 0 + + + ) = + 0 + + + = c) Szorzattá alakítás és egyszerűsítés után: 8 5 + = 8 = 8 + + = 8 8 5 + + + = 8 = 8 8 ) + + ) ) ) = = 8 = 7
d) sin alakú határértékre visszavezethető a tört bővítésével: sin 5 sin5 = 5 0 0 5 = 5 e) Szintén sin alakra vezet, ha felhasználjuk a tangens definícióját: tg 0 = 0 sin cos = f) A tangens definícióját felhasználva három egyszerűbb határérték szorzatára bomlik fel: tg sin 0 sin = 0 sin cos = sin 0 cos cos A *-gal jelölt egyenlőség bizonyítása: cos 0 = sin 0 = = = 0 g) Racionális törtfüggvény határértéke -ban: 5 + + = = 0 sin cos ) cos ) = sin ) = 5 + + = 5 h) Két szögfüggvény különbségére vonatkozó nevezetes azonosság segítségével két sin alakú határértéket kapunk: cos cos 0 = sin + 0 sin 7 sin 0 7 = 0 = sin = sin 7 7 sin 0 = i) A cos -et argumentumú szögfüggvényekkel felírva egyszerűsíthető a tört: π cos cos sin j) Helyettesítéses határérték: cos = sin π cos sin ) = + + + = cos π + sin ) = ) = ) = + 8
A helyettesítés képlete: + =, amiből átrendezéssel: = u. u Ezzel a határérték: = + u [ = + u u) ) u ] + ) = e = u u u e k) Rendőr-elv alkalmazása: + ) = + ) A gyökjel alatti mennyiséget alulról és felülről becsüljük, felhasználva, hogy + ) = e, kapjuk: < + ) < Itt = =, ezért az eredeti függvényre is f ) =. l) Helyettesítéses határérték: ) + = + ) = + ) ) = + A helyettesítés: u =, vagyis = u +. Ezzel a zárójelben lévő kifejezés határértéke: [ + ) u ] + = e u u u) ) + De e = +, tehát = +. m) A tangens definíciója, és a szögfüggvények transzformációjával: π ) π ) sin π π tg = π cos = ) π sin π sin = ) n) Racionális törtfüggvény határértéke esetében a nevező legnagyobb fokszámú tagjával egyszerűsítünk: 5 + 8 + + = 5 + 8 + + = 5 8 9
o) sin típusú határértéket kapunk, ha bővítünk 5-szel: sin8 0 tg 5 = sin 8 0 8 5 tg5 = 8 5 9) Számoljuk ki a következő függvényhatárértékeket. 0 0 0 π 0 0 sin 00 sin ) arcsin 0 arctg ) sin 0 sin cos 0 cos cos cos 0 0 cos sin + 0 e 0 lncos ) + 7 0 0 + ) + + e 0 sin ) + sin ) 0 ) + e ) 0 0 ) + sin ) ctg 0 tg) tg π ln + arcsin) 0) Az f : R R, f) = sin függvénynek létezik-e határértéke a + -ben? ) ) Az f : R R, f) = ++ + f) és f)-et. függvény esetén számoljuk ki a ) Számoljuk ki a következő határértékeket: + + + + + ) + + + sin cos ) sin + sin ) ) + {, ha Q ) Igazoljuk, hogy az f : R R, f) =, ha R \ Q, úgynevezett Dirichlet függvénynek egyetlen pontban sincs határértéke. Tehát sehol sem folytonos. 0
) Folytonos-e az f : R R, f) = {} függvény, ahol {} az törtrészét jelöli. 5) Vizsgáljuk a következő függvények folytonosságát: sin f : R R, f) =, 0, 0, = 0, > 0, g : R R, g) = 0, 0 {, 0, h : R R, h) =, = 0. sin ) Folytonos-e az f : R R, f) =, 0, 0, = 0 függvény?