2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének kiszámítására vonatkozó tételek 7.) Végtelen, mint határérték 8.) Torlódási pont 9.) Nevezetes határérték

Miért fontosak a sorozatok? Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma a határérték, mely viszonylag könnyen megérthető a (szám)sorozatok tanulmányozásával.

A sorozat definíciója 1.) A sorozat egy speciális függvény. 2.) A sorozat valós számok egymásutánja: 1; ½; 1/3; ¼; 1/5; A matematikában használatos a sorozat szó akkor is, amikor az elemek nem valós számok(algebrai kifejezések, függvények stb.). 3.) Mi csak a valós számsorozatokkal foglalkozunk.

A sorozat definíciója A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű: a: N R függvényt valós számsorozatnak (röviden sorozatnak) nevezzük. A sorozat jelölésére az (a n ) szimbólumot használjuk. A sorozatot mindig végtelen sok elemből állónak értelmezzük (általában az analízisben). A véges sok elemű sorozat általános értelemben vett, vagyis a végtelen sorozat része (általában a gyakorlatban).

A sorozat megadása 1.) Szóbeli közléssel: A sorozatot az egész számok négyzetei alkotják (0; 1; 4; 9; 16; ) 2.) A sorozat egy részének konkrét megadásával: (0; 2; 4; 6; 8; ) 3.) Képlettel, azaz megadjuk az általános (n edik) tagot: a n = 5 2n 2

A sorozat megadása 4.) Rekurzióval: megadjuk a sorozat néhány kezdő tagját, majd előírjuk, hogyan kell a sorozat bármely tagját az előzőek ismeretében kiszámítani a 1 =a 2 =1; a n =a n 1 +a n 2 (n= 3,4, ) (Fibonacci sorozat)

A sorozatok szemléltetése 1.) A sorozat egy speciális függvény, így szemléltethetjük koordináta rendszerben. n + 2 a n = n ( )

A sorozatok szemléltetése 2.) Számegyenesen megjelöljük a sorozat tagjait és az így kapott pontsorozatot tekintjük a sorozat képének. ( ) 1 b n = n

Műveletek sorozatokkal

Sorozatok tulajdonságai: MONOTONITÁS 1.) Az (a n ) sorozat monoton növekedő, ha minden n N esetén fennáll: a n a n+1. 2.) Az (a n ) sorozat szigorúan monoton növekedő, ha minden n N esetén fennáll: a n < a n+1. 3.) Az (a n ) sorozat monoton csökkenő, ha minden n N esetén fennáll: a n a n+1. 4.) Az (a n ) sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden n N esetén fennáll: a n > a n+1.

Monotonitás vizsgálata Az a n+1 a n különbség vagy az a n+1 /a n hányados vizsgálatával ( n N esetén)

Példa: sorozat monotonitásának vizsgálata Vizsgálja meg a következő függvények monotonitását: 1 a n = n b n c n = 3 2 n 1 = 2n 2 +2

Sorozatok tulajdonságai: KORLÁTOSSÁG 1.) Az (a n ) sorozatot alulról korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz létezik k R úgy, hogy k a n, minden n N esetén. 2.) Az (a n ) sorozatot felülről korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz létezik K R úgy, hogy K a n, minden n N esetén. 3.) Az (a n ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Korlátosság megjegyzések Ha egy sorozat korlátos, akkor végtelen sok korlátja van, hiszen minden alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát, és minden a felső korlátnál nagyobb szám is felső korlát.

Pontos alsó / felső korlát 1.) Az (a n ) alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját az (a n ) sorozat pontos alsó korlátjának vagy infimumának mondjuk, jele: inf (a n ) 2.) Az (a n ) felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját az (a n ) sorozat pontos felső korlátjának vagy supremumának mondjuk, jele: sup (a n )

Sorozat maximuma / minimuma 1.) Az (a n ) sorozat minimuma a sorozatnak az az a m0 tagja, amelyre minden n N esetén teljesül, hogy a m0 a n. 2.) Az (a n ) sorozat maximuma a sorozatnak az az a m0 tagja, amelyre minden n N esetén teljesül, hogy a m0 a n.

Példa monotonitás és korlátosság vizsgálatára Vizsgálja meg az l n = 1/n 2 sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából!

Konvergencia definíciója A korlátosság vizsgálatát célszerű konvergencia vizsgálatával. összekötni a 1.) Konvergens: összetart, közös cél felé halad. 2.) A sorozatok közül néhánynál észrevehetjük, hogy a tagok egy vagy több szám körül sűrűsödnek, torlódnak, konvergálnak.

Konvergencia definíciója Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens és határértéke az A R szám, ha minden ε>0 hoz létezik N N (ε tól függő) szám úgy, hogy a n A <εminden n > N esetén. 1.) Azt, hogy az a n sorozat határértéke az A szám így jelöljük: lim a n n = 2.) A fenti jelölés mellett szokás még alkalmazni az a n A (n ) jelölést is. A

Definíciók 1.) Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat divergens, ha nem konvergens. 2.) Az (a n ) sorozatot nullsorozatnak nevezzük ha konvergens és határértéke a 0.

Példa Bizonyítsa be, hogy az (a n ) sorozat konvergens és határértéke 2. a n 2n + 4 = n + 1

Határértékhez kapcsolódó tételek 1.) A határérték mindig egyértelmű. 2.) Minden konvergens sorozat korlátos. 3.) Ha az (a n ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos, akkor konvergens és lim n a = sup( a n 4.) Ha az (a n ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és lim a = inf( a n n n n ) )

Példa monotonitás, korlátosság és határérték Jellemezze az (a n ) sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából és adja meg a sorozat határértékét: a n 1 = 1 + n n

Sorozatok határértékének kiszámítására vonatkozó tételek 1.) Legyenek (a n ) és (b n ) konvergens sorozatok. Ekkor az (a n b n ) is konvergens és lim n (a n b n ) = (lim n a n ) (lim n b n ) 2.) Ha az (a n ) konvergens sorozatok és lim n (b n ) 0. Ekkor az (a n /b n ) sorozat is konvergens és lim n (a n / b n ) = lim n a n / lim n b n

Sorozatok határértékének kiszámítására vonatkozó tételek 3.) Legyen (a n ) és (b n ) konvergens sorozatok. Ekkor az (a n +b n ) is konvergens és lim n (a n +b n ) = lim n (a n ) + lim n (b n ) 2.) Ha az (a n ) konvergens sorozat és lim n a n =0, továbbá (b n ) korlátos, akkor lim n (a n b n ) = 0. 4.) Legyen az (a n ) konvergens sorozat és λ R. Ekkor a (λ a n ) soroat is konvergens és lim n (λ a n ) = λ(lim n a n )

Végtelen, mint határérték 1.) Az (a n ) sorozat a + be divergál, ha minden m R esetén létezik N N (m től függő) küszöbindex, hogy a n >m minden n > N re. Jele: lim n a n = +. 2.) Az (an) sorozat a be divergál, ha minden k R esetén létezik N N (k tól függő) küszöbindex, hogy a n < k minden n > N re. Jele: lim n a n =.

Példa divergens sorozatokra 1) A természetes számok 1, 2, 3,, n, sorozata a végtelenbe divergál. 2) A 2, 4, 8,. 2 n, sorozat a végtelenbe diverál. 3) A 2, 4, 6,, 2n,. sorozat a mínusz végtelenbe divergál.

Tételek 1.) Ha az (a n ) sorozat minden eleme pozitív és lim n a n =0, akkor lim n 1 a n = 2.) Ha az (a n ) sorozat minden eleme negatív és lim n a n =0, akkor lim n 1 a n =

Nevezetes határértékek

Határozza meg a sorozatok határértékét! 3n 1.) a n = 2 n 2 2n + 3 + 3n + 3 2n + 2 2.) b n = 2 3n 3n + 3 2n + 2 3.) c n = 2 3n 3n + 3 3 4.) d n = 3 3 3 2 3n 2n + 2 + 3n + 3

Határozza meg a sorozatok határértékét! 5.) e n 3 = 1 + n n 6.) f n 2n 1 2 = 1 3n 7.) g n = 2 + 1 2n 1 n 2

Határérték összefoglalás Sorozat alakja 1.) polinom 2.) polinom/polinom számláló fsz = nevező fsz számláló fsz < nevező fsz számláló fsz > nevező fsz Megjegyzés A legmagasabb fokszámú tag együtthatójának előjele szerint ± A legnagyobb fokszámú tagok együtthatóinak hányadosa A határérték nulla A határérték a legmagasabb fokszámú tagok előjelétől függően ±

Határérték összefoglalás Sorozat alakja 3.) exponenciális kifejezést tartalmazó 4.) gyökös kifejezést tartalmazó 5.) gyök kifejezés /gyök kifejezés Törtté alakítjuk Megjegyzés Meg kell vizsgálni, hogy a számlálóban és a nevezőben milyen a gyökkitevő A.) Ha azonos: közös gyök alá vonjuk őket B.) Ha különböző, akkor a számlálóban és a nevezőben is az n nek annyiadik hatványát emeljük ki, amennyi az adott gyökkitevő

Határérték összefoglalás Sorozat alakja 6.) (1+1/n) n alakú kifejezés Megjegyzés Nevezetes határérték