III FOLYTONOS OPTIMALIZÁCIÓ
El szó Ebben a részben a folytonos optimalizáció néhány területét teintjü át Az elso ötetbe a játéelmélettel foglalozó nyolcadi fejezet erült: ebben a fejezetben a véges játéoat, a folytonos játéoat és az oligopol játéoat elemezzü A másodi ötetben fog megjelenni a sorbanállási modelleel és algoritmusoal, valamint a belsopontos lineáris programozási feladatoal foglalozó rész
8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) A muszai és a gazdasági életben gyaori az olyan helyzet, melyben több döntéshozó egymással ellentétes érdeeit ell gyelembe venni egyidejuleg, és a helyzet alaulása függ a döntéshozó döntéseitol Az ilyen helyzete elemzésére az egyi legnépszerubb módszer és modell a játéelméleten alapul Jelölje N a döntéshozó (a továbbiaban játéoso) számát, és minden = 1, 2,, N számra legyen P a -adi játéos és S a P játéos megengedett acióina halmaza Az s S elemeet P stratégiáina nevezzü S a P játéos stratégiahalmaza A játé tetszoleges lejátszásában minden játéos választ egy stratégiát, eor az s = (s 1, s 2,, s N ) vetort a játéoso szimultán stratégiavetorána hívju, ahol s S, = 1, 2,, N Minden játéos megfeleltet minden s S = S 1 S 2 S N szimultán stratégiavetorna egy valós számot Ez a valós szám minden játéos esetében teintheto úgy, mint egy hasznossági függvény értée, mely értéet a játéos a játé adott imeneteléhez hozzárendeli Ez a hasznossági függvény türözi az adott játéos értéelését a imenetelerol Legyen P tetszoleges játéos, eor ha f (s) jelöli ezt az értéet, aor az f : S R függvényt a P játéos izetofüggvényéne, az f (s) értéet P izetéséne, az ( f 1 (s), f 2 (s),, f N (s)) vetort pedig izetovetorna nevezzü Az N szám, az S halmazo, az f izetofüggvénye ( = 1, 2,, N) összessége teljes öruen meghatároz egy N személyes játéot A továbbiaban az N személyes játé jelölésére a G = {N; S 1, S 2,, S N ; f 1, f 2,, f N } jelölést fogju használni A G játé megoldása a Nash-egyensúly (a továbbiaban röviden egyensúly), amely egy olyan s = (s 1,, s N ) stratégiavetor, hogy minden -ra 1 s S ; 2 Minden s S -ra f (s 1, s 2,, s 1, s, s +1,, s N ) f (s 1, s 2,, s 1, s, s +1,, s N ) (81) Az 1 feltétel szerint az egyensúly -adi omponense megvalósítható stratégia P számára, míg a 2 feltétel szerint egyi játéos sem tudja növelni a izetését az által, hogy egyoldalúan eltér az egyensúlyi stratégiától Más szavaal, minden játéosna az az érdee, hogy tartsa az egyensúlyt, hiszen ha bármely játéos eltér (egyoldalúan) az egyensúlytól, aor anna a izetése nem no
81 Véges játéo 315 P 2 N C P 1 N C ( 2, 2) ( 1, 10) ( 10, 1) ( 5, 5) 81 ábra Fogoly dilemma 81 Véges játéo Egy G játéot végesne nevezün, ha minden S stratégiahalmaz véges so stratégiát tartalmaz 1 A legismertebb étszemélyes játé a fogoly dilemma, mely a övetezo példa tárgya 81 példa Fogoly dilemma A ét játéos ét fogoly, aiet egy súlyos buntett elövetéséne gyanújával vett orizetbe a rendorség, de az ügyészségne még nincs elég bizonyítéa a vádemeléshez A ét fogoly ét ülönbözo cellában van fogva tartva, így nem tudna egymással ommuniálni Az ügyészség célja, hogy rávegye a foglyoat a hatóságoal való együttmuödésre, abból a célból, hogy a szüséges bizonyítéo meglegyene a vádemeléshez Tehát N = 2, a stratégiahalmazo mindét játéos esetén ételemue: együttmuödni (C), vagy nem együttmuödni (N) Mindét játéossal ülön-ülön özölté, hogy ha csa az egyiü tesz vallomást, aor a vallomást tevo csa 1 éves, míg a mási 10 éves börtönbüntetést ap Ha mind a etten vallomást teszne, aor mindetten 5 éves börtönbüntetést apna, míg ha mindetten megtagadjá a vallomást, aor csa egy evésbé súlyos buncselemény miatt ítéli el oet, és mindetten 2 éves börtönbüntetést apna Mindét játéosna az a célja, hogy minimalizálja a börtönben töltött idot, vagy ami ezzel evivalens, maximalizálja a börtönben töltött ido ellentettjét A izetésvetoroat a 81 ábra tartalmazza, ahol P 1 stratégiáit a soro, míg P 2 stratégiáit az oszlopo tartalmazzá, és minden izetésvetorban az elso érté P 1 izetése, míg a másodi szám P 2 izetése A izetéseet összehasonlítva világos, hogy csa a (C, C) stratégiapáros lehet egyensúly, mivel A (C, C) stratégiapáros tényleg egyensúly, mivel Ebben a játéban egyetlen egyensúly van f 2 (N,N) = 2 < 1 = f 2 (N,C), f 1 (N,C) = 10 < 5 = f 1 (C,C), f 2 (C,N) = 10 < 5 = f 2 (C, C) f 1 (C,C) = 5 > 10 = f 1 (N,C), f 2 (C,C) = 5 > 10 = f 2 (C,N) Az egyensúly létezése általában nem garantált, és ha létezi egyensúly, aor sem feltétlenül egyetlen 1 A játé deníciója szerint a játéoso száma is véges A fordító
316 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) P 1 N C N (1, 2) (2, 4) P 2 C (2, 1) (0, 5) 82 ábra Játé, melyben nincs egyensúly 82 példa Játé, melyben nincs egyensúly Módosítsu a 81 ábra izetéseit úgy, ahogy az a 82 ábrán látható Könnyen látható, hogy a módosított játéban nincs egyensúly: f 1 (N,N) = 1 < 2 = f 1 (C,N), f 2 (C,N) = 4 < 5 = f 2 (C,C), f 1 (C,C) = 0 < 2 = f 1 (N,C), f 2 (N,C) = 1 < 2 = f 2 (N,N) Ha a izetése minden imenetelre megegyezne, aor több egyensúly is van a játéban: minden stratégiapár egyensúly 811 Leszámlálás Jelölje továbbra is N a játéoso számát, és a ényelmes jelölés edvéért jelölje s (1),, s(n ) a P játéos megengedett stratégiáit Tehát S = {s (1),, s(n ) } Egy s = (s (i 1) 1,, s(i N) N ) stratégiavetor pontosan aor egyensúly, ha minden = 1, 2,, N és minden j {1, 2,, n } \ i esetén f (s (i 1) 1,, s(i 1) j) 1, s(, s(i +1) +1,, s(i N) N ) f (s (i 1) 1,, s(i 1) 1, s(i ), s (i +1) +1,, s(i N) N ) (82) Vegyü észre, hogy véges játéo esetén (81) leegyszerusödi (82)-re A leszámlálás alalmazásaor ellenorizzü a (82) egyenlotlenséget az összes lehetséges s = (s (i 1) 1,, s(i N) N ) N-esre úgy, hogy megvizsgálju a (82) egyenlotlenség érvényességét minden -ra, minden j-re Ha az ellenorzés sieres, aor s egyensúly, ellenezo esetben s nem egyensúly Ha az ellenorzés alatt egy rögzített s -ra találun olyan -t és j-t, hogy (82) nem teljesül, aor s nem egyensúly, így elhagyhatju az ellenorzést minden további -ra és j-re Ez egy nagyon egyszeru algoritmus, mely N + 2, egymásba ágyazott, az i 1, i 2,, i N, és j változóat használó cilusból áll A szüséges összehasonlításo száma legfeljebb N N n (n 1) =1 =1 A gyaorlatban azonban az összehasonlításo száma ennél soal isebb lehet, hiszen ha (82) nem teljesül valamilyen j-re, aor az adott stratégiavetor esetén nem ell további összehasonlításoat tenni Az algoritmus pszeudoódja a övetezo:
81 Véges játéo 317 LESZÁMLÁL(s (i 1) 1,, s(i N) N ) 1 for i 1 1 to n 1 2 do * for i 2 1 to n 2 3 do * for i N 1 to n N 4 ulcs 0 5 for 1 to N 6 for j 1 to n 7 if (82) nem teljesül * 8 then ulcs 1 * 9 folytassu a 8-adi utasítással 10 if ulcs = 0 * 11 then * (s (i 1) 1,, s(i N) N ) egyensúly 12 print "A bemenet nem egyensúly" A övetezoben a étszemélyes játéoat (N=2) vizsgálju, és bevezetjü az (n 1 n 2 )- es A (1) és A (2) mátrixoat, melye elemei A (1) (i, j) = f 1 (i, j), illetve A (2) (i, j) = f 2 (i, j) Az A (1), A (2) mátrixoat izetomátrixona nevezzü Az ( s (i 1) 1, ) s(i 2) 2 stratégiavetor pontosan aor egyensúly, ha az (i 1, i 2 ) elem az A (1) mátrixban a saját oszlopában, és az A (2) mátrixban a saját sorában a legnagyobb Ha f 1 = f 2, aor a játéot zérusösszegu játéna nevezzü, és A (1) = A (2), tehát a játéot teljes öruen leírja A (1), a P 1 játéos izetomátrixa Ebben a speciális esetben az (s (i 1) 1, s(i 2) 2 ) stratégiavetor pontosan aor egyensúly, ha az (i 1, i 2 ) elem az A (1) mátrixban a saját oszlopában a legnagyobb, és a saját sorában a legisebb A zérusösszegu játéo egyensúlyára a nyeregpont elnevezés is használatos Világos, hogy ebben az esetben az egyensúly megtalálása a leszámlálás módszerével leegyszerusödi, hiszen csa egy mátrixszal ell foglalozni The simplied algorithm is as follows: NYEREGPONT 1 for i 1 1 to n 1 2 do for i 2 1 to n 2 3 ulcs 0 4 for j 1 to n 1 5 if a (1) ji 2 > a (1) i 1 i 2 6 then ulcs 1 7 folytassu a 12-edi sorban 8 for j 1 to n 2 9 do if a (2) i 1 j > a(2) i 1 i 2 10 then ulcs 1 11 folytassu a 12-edi sorban 12 if ulcs = 0 then "(s (1) i 1, s (2) ) egyensúly" i 2
318 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) 812 Véges fáal ábrázolt játéo Számos véges játé rendelezi azzal a tulajdonsággal, hogy ábrázolható olyan irányított véges fával, melyne a övetezo tulajdonságai vanna: 1 a fa gyöeres, és a játé ennél a csúcsnál ezdodi; 2 a fa minden csúcsához tartozi egy játéos, és ha a játé elér egy csúcsot, aor a csúcshoz tartozó játéos iválaszt egy élt, mely az adott csúcsból indul i, így dönt arról, hogy miént folytatódi a játé Eor a játé a iválasztott él végpontjánál folytatódi; 3 minden levélhez tartozi egy valós, N omponensu vetor, mely vetor tartalmazza az egyes játéoso izetéseit, ha a játé ebben a levélben ér véget; 4 minden játéos ismeri a fát, tudja, hogy mely csúcsohoz van rendelve, és tudja, hogy milyen izetése tartozna az egyes levelehez Például a sa játé rendelezi a fenti tulajdonságoal A saot ét játéos játssza (N = 2), a csúcso a lehetséges álláso a satáblán, egyszer a világossal játszó, egyszer a sötéttel játszó játéos szempontjából Adott csúcsból iinduló éle jelenti azoat a lépéseet, melyeet a csúcshoz rendelt játéos (ai lép) megtehet A levél olyan állás a satáblán, mellyel a játé véget ér A izetése az {1, 0, 1} halmazból való, ahol 1 azt jelenti, hogy világos gyozelmével, 0 azt jelenti, hogy döntetlennel, 1 azt jelenti, hogy sötét gyozelmével ért véget a játé 81 tétel Minden, véges fával ábrázolható játéna van legalább egy egyensúlya Bizonyítás Abból a célból bizonyítju itt be ezt a tételt, hogy egy pratius algoritmust mutassun az egyensúly megtalálására A bizonyítás indución alapul, melyet annyiszor ismétlün, amennyi a játé csúcsaina száma Ha a játéna csa egyetlen csúcsa van, aor értelemszeruen ez az egyetlen csúcs egyensúly Tegyü fel, hogy a tétel igaz minden olyan játéra, ahol a csúcso száma isebb, mint n (n 2), és nézzü azt a T 0 játéot, melyne n csúcsa van Legyen r 0 a T 0 játé gyöere, és legyene r 1, r 2,, r m (m < n) azo a csúcso, melyeet él öt össze r 0 -lal (r 0 gyereei) Jelölje T 1, T 2,, T m a T 0 olyan diszjunt részfáit, melye gyöerei r 1, r 2,, r m a sorrendne megfeleloen (tehát r 2 T 2 gyöere) Eor minden részfána evesebb, mint n csúcsa van, így mindegyine van egyensúlya (induciós feltevés) Tegyü fel, hogy P tartozi az r 0 csúcshoz, legyene e 1, e 2,, e m az egyes részfához tartozó egyensúlyona a P játéoshoz tartozó izetései (tehát a T m részfa egy egyensúlyában P -na e m a izetése), és legyen e j = max{e 1, e 2,, e m } Eor a P játéos az r j csúcsba lép a gyöérbol, és azután folytatódi a játé a T j részfában létezo egyensúllyal 2 Az elozo tétel bizonyítása egy dinamius programozás típusú algoritmust sugall, mely algoritmust visszafelé inducióna nevezün Az algoritmus iterjesztheto általánosabb esetre is, mely esetben a fána véletlen csúcsai vanna, melyebol a játé egy rögzített, diszrét eloszlásna megfeleloen véletlenszeruen folytatódi A fenti algoritmus a övetezoéppen mutatható be formálisan Tegyü fel, hogy a csúcso úgy vanna megszámozva (természetes számoal), hogy ha a j az i csúcs ráövetezoje, aor i < j A gyöérne a legisebb, az 1-es számot ell apnia, a legnagyobb szám 2 Nem minden egyensúly apható meg ezzel a módszerrel, de az ezzel a módszerrel apott egyensúlyo izetovetorai megegyezne egymással A fordító
81 Véges játéo 319 (n) az egyi levélhez tartozi Jelölje J(i) azon j csúcso halmazát, melyere van olyan él, mely i-bol j-be megy (i gyereeine halmaza) Minden i levél esetén J(i) üres halmaz Jelölje továbbá p (i) = (p (i) N ) a izetovetort, mely az i levélhez tartozi Végül, i-vel 1,, p(i) jelöljü azt a játéost, ai az i csúcshoz tartozi Az algoritmus az utolsó csúcsnál (n-nél) ezdodi, majd visszafelé lépeget n, n 1, n 2,, 2 és 1 sorrendben Vegyü észre, hogy n egy levél, és rendeljü hozzá a p (n) vetort Ha az algoritmusban a övetezo csúcs (i) is levél, aor rendeljü hozzá a p (i) vetort, ha i nem levél, aor eressü meg a legnagyobb értéeet a p ( j) i, j J(i) számo özül Tegyü fel, hogy a legnagyobb érté a j i csúcsban van, eor hozzárendeljü a p (i) = p ( j i) vetort az i csúcshoz, és továbblépün az i 1 csúcsba Miután minden p (n), p (n 1),, p (2) és p (1) vetort meghatároztun, a p (1) vetor tartalmazza a izetéseet az egyensúlyban, és az egyensúlyi út a övetezo csúcso mentén halad: 1 i 1 = j 1 i 2 = j i1 i 3 = j i2, amíg egy levélbe el nem értün Így megaptu az egyensúlyi utat Minden csúcsnál az összehasonlításo száma a csúcsból iinduló éle száma mínusz 1 Tehát az algoritmusban az összehasonlításo száma az éle száma mínusz n Az algoritmus pszeudoódja a övetezo FA-EGYENSÚLYA 1 for i n to 1 2 p ( j i) K i max{p (l) K i, l J(i)} 3 p (i) p ( j i) 4 addig nyomtassu az 1, i 1 (= j 1 ), i 2 (= j i1 ), i 3 (= j i2 ), sorozatot, amíg a végpontot el nem érjü 83 példa Véges fa A 83 ábrán egy véges fa látható Minden belso csúcsnál egy is ör látható, mely tartalmazza anna a játéosna a jelét, ai az adott csúcshoz tartozi A levelenél látható a izetovetoro Ebben a játéban három játéos van, tehát a izetovetorona három omponense van Eloször megszámozzu a csúcsoat úgy, hogy minden él iindulópontjána isebb legyen a száma, mint a végpontjána Ezeet a számoat tartalmazzá a csúcso alatt látható négyzete Minden i csúcs esetén igaz, hogy ha i 11, aor i levél, tehát a visszafelé induciót a 10-es számú csúcsnál ezdjü Mivel a 10-es csúcshoz P 3 tartozi, így a (2, 0, 0) és az (1, 0, 1) izetovetoro harmadi omponenseit ell összehasonlítanun, mivel ezen ét izetovetor tartozi azohoz a levelehez, melyebe megy él a 10-es csúcsból Mivel 1 > 0, ezért P 3 legjobb választása a 22-es csúcs Tehát j 10 = 22, és p (10) = p (22) = (1, 0, 1) Ezután a 9-es csúcsot vizsgálju meg A p (19) és a p (20) vetoro harmadi omponensét összehasonlítva világos, hogy P 3 a 20-as csúcsot választja, így j 9 = 20, és p (9) = p (20) = (4, 1, 4) Az ábrán a játéoso választásait a vastagított éle jelzi Az eljárást a fenti logia szerint folytatva a 8, 7,, 1 csúcsora, végül megapju az 1-es csúcshoz tartozó p (1) = (4, 1, 4) izetovetort, és az 1 4 9 20 egyensúlyi utat Gyaorlato 81-1 Egy vállalozó (E) belép a piacra, amelyet egy áruházlánc (C) tart ellenorzése alatt A ét szereplo vetéledése egy étszemélyes játé Az áruházlánc stratégiái a megengedés
320 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) 11 (1, 2, 0) 1 1 2 2 3 3 3 5 3 6 2 7 2 12 13 14 15 16 17 (2, 3, 3) ( 1, 1, 1) (2, 1, 2) (0, 0, 0) (2, 1, 3) ( 1, 1, 1) 8 18 (0, 3, 1) 2 4 3 9 19 20 (3, 2, 2) (4, 1, 4) 3 10 21 22 (2, 0, 0) (1, 0, 1) 83 ábra Egy játéfa (S), amior az áruházlánc megengedi, hogy a vállalozó muödjön a piacon, és az elutasítás (T), amior igyeszi iszorítani a vállalozót a piacról A vállalozó stratégiái a maradás (I), amior a vállalozó a piacon marad, és a ilépés (L), amior a vállalozó elhagyja a piacot A izetése a 84 ábrán látható Keressü meg az egyensúlyt 81-2 Egy vásárló egy három darabból álló észüléet vásárol a övetezo feltételeel: ha minden darab jó, aor a vevo zet az eladóna α forintot, egyébént az eladó zet a vevone β forintot Mielott az eladó eladná az árut, ellenorizheti bármely darabot, de az ellenorzés öltsége darabonént γ forint Teintsün egy étszemélyes játéot, ahol az eladó a P 1 játéos, stratégiái 0, 1, 2, 3 (az ellenorzött darabo száma), míg az áru a P 2 játéos, stratégiái 0, 1, 2, 3 (hány darab hibás) Mutassu meg, hogy ha feltesszü, hogy minden darab azonos valószínuséggel hibás, aor a 85 ábrán P 1 izetomátrixa látható
81 Véges játéo 321 I L S 2 5 T 0 5 A C játéos izetései I L S 2 1 T 0 1 Az E játéos izetései 84 ábra A 81-1 gyaorlat adatai 1-es játéos 0 1 2 3 2-es játéos 0 1 2 3 α β β β α γ 3 2 β γ 1 3 β γ γ α 2γ 3 1 β 5 3 γ 4 3 γ γ α 3γ 2γ 4 3 γ γ 85 ábra A 81-2 gyaorlat adatai L (5, 1) E S (2, 2) I C T (0, 0) 86 ábra A 81-5 gyaorlat játéa 81-3 Tegyü fel, hogy a 81-2 gyaorlatban bevezetett játéot úgy módosítju, hogy P 2 izetései P 1 izetéseine az ellentettjei Adju meg az α, β, γ paramétere függvényében az egyensúlyo számát Határozzu meg az egyensúlyt minden esetre 81-4 Tegyü fel, hogy a 81-2 gyaorlatban bevezetett játéban P 2 izetofüggvénye az áru értée (V, ha minden darab jó, egyébént 0) Van-e egyensúlya enne a játéna? 81-5 Nézzü a 86 ábrán látható fát, mely a 81-1 gyaorlatban bevezetett játé fája Keressü meg a fenti játé egyensúlyát visszafelé inducióval 81-6 Mutassu meg, hogy egy játéos esetében a visszafelé indució a lasszius dinamius programozási módszerre egyszerusödi 81-7 Tegyü fel, hogy egy véges fával ábrázolt játéban néhány csúcs úgynevezett véletlen csúcs, ami azt jelenti, hogy a játé egy ilyen csúcsból egy övetezo csúcsba valamilyen rögzített valószínuséggel folytatódi Mutassu meg, hogy ebben az általánosabb esetben is létezi egyensúly 81-8 Nézzü a 83 ábrán adott játéot Kétszerezzü meg P 1 izetéseit, változtassu ellentettjeire P 2 izetéseit, és ne változtassun P 3 izetésein Keressü meg enne a módosított játéna az egyensúlyát
322 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) 82 Folytonos játéo Azoat a játéoat, ahol az S stratégiahalmazo egy R n eulideszi tér összefüggo részhalmazai, és a izetofüggvénye folytonosa, folytonos játéona nevezzü 821 A legjobbválaszon alapuló fixpont módszere Algoritmius szemszögbol nagyon intuitív és nagyon hasznos a övetezoben újrafogalmazni az egyensúly fogalmát Minden P játéosra és minden s = (s 1, s 2,, s N ) S = S 1 S 2 S N stratégiavetorra deniálju a övetezo leépezést: B (s) = {s S f (s 1, s 2,, s 1, s, s +1,, s N ) = max t S f (s 1, s 2,, s 1, t, s +1,, s N )}, (83) amely P legjobb választásaina halmaza, a többi játéos rögzített (s 1, s 2,, s 1, s +1,, s N ) stratégiái mellett Vegyü észre, hogy B (s) nem függ s -tól, B (s) csa a többi játéos stratégiáitól, s l -tol ( l) függ Vegyü észre továbbá, hogy nincs garancia arra, hogy minden s S 1 S 2 S N esetén létezi a maximum (83)-ban Legyen S olyan részhalmaza S -ne, hogy B (s) nemüres halmaz minden -ra, minden s -ra Az s = (s 1, s 2,, s N ) szimultán stratégiavetor pontosan aor egyensúly, ha s, és s B (s ) minden -ra Bevezetve a B (s) = (B 1 (s),, B N (s)) legjobbválasz-leépezést, tovább egyszerusítheto az egyensúly fogalmána formalizmusa 82 tétel Egy s stratégiavetor pontosan aor egyensúly, ha s és s B(s ) Tehát az N személyes játéo egyensúlyi problémája evivalens azzal a problémával, hogy megtalálju egy halmazértéu leépezés xpontjait A xpont feladat számítási öltsége függ a xpont feladat típusától, méretétol és a választott számítási módszertol Az egyensúlyra vonatozó leggyarabban használt egzisztencia tétele olyan xponttételere támaszodna, mint a Brouwer-, a Kautani-, a Banach-, a Tarsi-féle xponttétel Bármely xpontereso algoritmus sieresen alalmazható egyensúlyo meghatározására A legnépszerubb egzisztencia tétel a Kautani-féle xponttétel egy nyilvánvaló alalmazása 83 tétel Ha egy N személyes játéra minden -ra teljesül, hogy 1 az S stratégiahalmazo egy véges dimenziós eulideszi tér nemüres, zárt, orlátos, onvex részhalmazai; 2 az f izetofüggvénye folytonosa S -en; 3 az f függvény onáv az s változó szerint, tehát rögzített (s 1,, s 1, s +1,, s N ) mellett f onáv függvény, aor a játéna van legalább egy egyensúlya 84 példa Elso étszemélyes játé Teintsün egy étszemélyes játéot (N = 2), ahol a stratégiahalmazo S 1 = S 2 = [0, 1], a izetofüggvénye f 1 (s 1, s 2 ) = s 1 s 2 2s 2 1 + 5, és f 2(s 1, s 2 ) =
82 Folytonos játéo 323 s 1 s 2 2s 2 2 + s 2 + 3 Eloször mindét játéos legjobbválasz-leépezéseit határozzu meg Mindét izetofüggvény lefelé nyitott parabola, melye csúcspontjai: s 1 = s 2 4 és s 2 = s 1 + 1 4 Minden s 1, s 2 [0, 1] esetén eze az értée megvalósítható stratégiá, tehát B 1 (s) = s 2 4 és B 2(s) = s 1 + 1 4 Tehát az (s 1, s 2 ) vetor pontosan aor egyensúly, ha omponensei ielégíti a övetezo egyenloségeet: s 1 = s 2 4 és s 2 = s 1 + 1 4 Könnyen látható, hogy az egyenlosége egyetlen megoldása: tehát (s 1, s 2 ) a játé egyetlen egyensúlya s 1 = 1 15 és s 2 = 4 15, 85 példa Tengeri csatorna Teintsü egy tengeri csatorna egy bizonyos részét a [0, 1] intervallumna P 2 egy tengeralattjáró, mely az s 2 [0, 1] helyen rejtozi P 1 egy repülogép, mely bombázhat bármely s 1 [0, 1] helyet A bombázó a tengeralattjáróna αe β(s 1 s 2 ) 2 árt ooz Így egy speciális étszemélyes játéot deniáltun, ahol S 1 = S 2 = [0, 1], f 1 (s 1, s 2 ) = αe β(s 1 s 2 ) 2 és f 2 (s 1, s 2 ) = f 1 (s 1, s 2 ) Ha rögzítjü s 2 -t, aor f 1 (s 1, s 2 ) felveszi maximumát az s 1 = s 2 helyen, tehát P 1 legjobbválasz-leépezése: B 1 (s) = s 2 P 2 minimalizálni aarja f 1 (s 1, s 2 )-t, mely aor övetezi be, ha s 1 s 2 a leheto legnagyobb Ebbol övetezi, hogy 1, ha s 1 < 1/2, B 2 (s) = 0, ha s 1 > 1/2, {0, 1}, ha s 1 = 1/2 Világos, hogy nincs olyan s = (s 1, s 2 ) [0, 1] [0, 1] vetor, hogy s 1 = B 1 (s) és s 2 B 2 (s), tehát nincs egyensúly 822 A Fan-egyenl tlenség alalmazása Deniálju a H : S S R összegzofüggvényt a övetezoéppen: H r (s, z) = N r f (s 1,, s 1, z, s +1,, s N ) (84) =1 minden s = (s 1,, s N ), z(z 1,, z N ) S -re, ahol r = (r 1, r 2,, r N ) > 0 tetszoleges, rögzített 84 tétel Az s S vetor pontosan aor egyensúly, ha minden z S -re H r (s, z) H r (s, s ) (85)
324 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Bizonyítás Eloször tegyü fel, hogy s egyensúly Eor a (81) egyenlotlenség teljesül minden -ra és minden s S stratégiára A (81) egyenlotlenségeine mindét oldalát megszorozva az r együtthatóal és összeadva oet a = 1, 2,, N értéere, megapju (85)-öt Most tegyü fel, hogy a (85) egyenlotlenség teljesül minden z S -re Tetszoleges -ra és tetszoleges s S -ra legyen z = (s 1,, s 1, s, s +1,, s N ), és alalmazzu (85)-öt A -adi tag ivételével minden tag egyenlo a ét oldalon, így törölheto, míg a megmaradó -adi tag azt mutatja, hogy a (81) egyenlotlenség teljesül Tehát s egyensúly Vezessü be a övetezo függvényt: φ(s, z) = H r (s, z) H r (s, s) Világos, hogy s pontosan aor egyensúly, ha φ(s, z) 0 (86) minden z S -re A (86) egyenlotlenséget Fan-egyenlotlenségne nevezzü A (86) egyenlotlenség átírható variációs egyenlotlenséggé (lásd ésobb a 829 pontban) vagy xpont feladattá A másodi átírási lehetoséget mutatju be itt Minden s S -re legyen Φ(s) = {z z S, φ(s, z) = max φ(s, t)} (87) t S Mivel φ(s, s) = 0 minden s S -re, így (86) egyenlotlenség pontosan aor teljesül, ha s Φ(s ), így s xpontja a Φ : S 2 S halmazértéu leépezésne Tehát minden xpontereso módszer alalmazható egyensúly számításra A xpont probléma számítási öltsége függ a xpont probléma típusától, méretétol és a választott számítási módszertol 86 példa Másodi étszemélyes játé Teintsü a 84 példát A mostani esetben: f 1 (z 1, s 2 ) = z 1 s 2 2z 2 1 + 5, f 2 (s 1, z 2 ) = s 1 z 2 2z 2 2 + z 2 + 3, így az összegzofüggvény formája r 1 = r 2 = 1 esetén: Tehát és H r (s, z) = z 1 s 2 2z 2 1 + s 1z 2 2z 2 2 + z 2 + 8 H r (s, s) = 2s 1 s 2 2s 2 1 2s2 2 + s 2 + 8, φ(s, z) = z 1 s 2 2z 2 1 + s 1z 2 2z 2 2 + z 2 2s 1 s 2 + 2s 2 1 + 2s2 2 s 2 Vegyü észre, hogy a φ függvény szigorúan onáv mind z 1 szerint, mind z 2 szerint, és φ szétválasztható változójú függvény φ stacionárius pontja: φ z 1 = s 2 4z 1 = 0 φ z 2 = s 1 4z 2 + 1 = 0 Mivel mindét jobb oldal megvalósítható, így az optimum z 1 = s 2 4 és z 2 = s 1 + 1 4
82 Folytonos játéo 325 A xpontban: melybol az egyetlen megoldás: s 1 = s 2 4 és s 2 = s 1 + 1, 4 s 1 = 1 15 és s 2 = 4 15 823 A KuhnTucer-feltétele megoldása Tegyü fel, hogy minden -ra S = {s g (s ) 0}, ahol g : R n R m az O S nyílt halmazon folytonosan differenciálható, vetor változójú és vetor értéu függvény Tegyü fel továbbá, hogy az f függvény s szerint folytonosan parciálisan deriválható O -n minden -ra, tetszoleges rögzített s 1,, s 1, s +1,, s N esetén Ha s = (s 1,, s N ) egyensúly, aor minden -ra s optimális megoldása a övetezo feladatna: f (s 1,, s 1, s, s +1,, s N ) max g (s ) 0 (88) Feltéve, hogy a Kuhn Tucer regularitási feltétele s esetén teljesülne, a megoldásna teljesítenie ell a Kuhn Tucer-féle szüséges feltételeet ( = 1, 2,, N): u 0 g (s ) 0 f (s) + u T g (s ) = 0 T u T g (s ) = 0, (89) ahol u egy m omponensu oszlopvetor, u T jelöli u transzponáltját, f az f s szerinti gradiens függvénye (mint sorvetor), és g a g függvény Jacobi-függvénye 85 tétel Ha s egyensúly, aor létezne olyan u vetoro, hogy (89) teljesül A (89) relációi minden = 1, 2,, N-re feltétele (általában nagy) rendszerét adja az ismeretlen s -ra és u -ra Ha létezi egyensúly, aor az egyensúlyna teljesítenie ell (89)- et Ha ráadásul minden -ra g minden omponense szerint onáv és f onáv s szerint, aor a Kuhn Tucer-feltétele elégségese is, tehát (89) minden megoldása egyensúly A (89) megoldásána számítási öltsége (89) típusától, és a választott módszertol függ Ha például (89) lineáris programozási feladat, melyet szimplex módszerrel oldun meg, aor a muvelete száma legrosszabb esetben exponenciális Egyedi eseteben azonban a megoldás soal evesebb muvelettel is meghatározható 87 példa Harmadi étszemélyes játé Teintsü ismét a 84 példa étszemélyes játéát Világos, hogy S 1 = {s 1 s 1 0, 1 s 1 0}, S 2 = {s 2 s 2 0, 1 s 2 0},
326 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) amibol apju, hogy Deriválás után ( ) ( ) s 1 s 2 g 1 (s 1 ) = és g 2 (s 2 ) = 1 s 1 1 s 2 ( ) ( ) 1 1 1 g 1 (s 1 ) =, 2 g 2 (s 2 ) =, 1 1 1 f 1 (s 1, s 2 ) = s 2 4s 1, 2 f 2 (s 1, s 2 ) = s 1 4s 2 + 1, tehát a Kuhn Tucer-feltétele a övetezo formában írható fel: u (1) 1, u(1) 2 0 s 1 0 s 1 1 s 2 4s 1 + u (1) 1 u (1) 2 = 0 u (1) 1 s 1 + u (1) 2 (1 s 1) = 0 u (2) 1, u(2) 2 0 s 2 0 s 2 1 s 1 4s 2 + 1 + u (2) 1 u (2) 2 = 0 u (2) 1 s 2 + u (2) 2 (1 s 2) = 0 Vegyü észre, hogy f 1 onáv s 1 szerint, f 2 onáv s 2 szerint, és minden feltétel lineáris, tehát enne a feltételrendszerne minden megoldása egyensúly Módszeresen vizsgálva az egyes lehetosége ombinációit, azt apju, hogy és Könnyen látható, hogy egyetlen megoldás van: s 1 = 0, 0 < s 1 < 1, s 1 = 1, s 2 = 0, 0 < s 2 < 1, s 2 = 1 u (1) 1 = u (2) 1 = u (1) 2 = u (2) 2 = 0, s 1 = 1 15, s 2 = 4 15 Túlcsordulás és többlet változóat bevezetve a Kuhn Tucer-feltétele átírható, mint egy nemnegatív rendszer A nemnegativitási feltétele elhagyható, ha a változóat úgy teintjü, mint valamely új változó négyzeteit, így a végeredmény egy plusz feltétele nélüli, (általában) nemlineáris egyenletrendszer Számos numerius módszer áll rendelezésre az ilyen egyenletrendszere megoldására 824 Visszavezetés optimumszámítási feladatra Tegyü fel, hogy az elozo alfejezet (89) feltételei teljesülne Teintsü a övetezo optimumszámítási feladatot, ahol = 1, 2,, N: N =1 ut g (s ) min u 0 (810) g (s ) 0 f (s) + u T g (s ) = 0
82 Folytonos játéo 327 A ét elso feltétel miatt a célfüggvény nem negatív, így az optimális érté sem negatív Ebbol övetezi, hogy (89)-ne pontosan aor van megengedett megoldása, ha (810)- ben a célfüggvény zéró Ebben az esetben bármely optimális megoldás teljesíti (89)-t 86 tétel Egy N személyes játéna csa aor van egyensúlya, ha (810)-ben a célfüggvény optimális értée nulla Ha ráadásul g minden omponense szerint onáv, és f s szerint onáv minden -ra, aor (810) minden optimális megoldása egyensúly Tehát egy N személyes játé egyensúlyána meghatározása visszavezetheto a (810) (általában) nemlineáris optimumszámítási feladat megoldására Bármely nemlineáris programozási módszer használható enne a problémána a megoldására (810) megoldásána számítási öltsége (810) típusától, és a választott módszertol függ Például, ha (810) egy lineáris programozási feladat, melyet a szimplex módszerrel oldun meg, aor a muvelete maximális száma exponenciális Egyedi eseteben azonban a megoldás soal evesebb muvelettel is meghatározható 88 példa Negyedi étszemélyes játé A 87 példa esetén az optimumszámítási feladat a övetezo formában írható fel: u (1) 1 s 1 + u (1) 2 (1 s 1) + u (2) 1 s 2 + u (2) 2 (1 s 2) min u (1) 1, u(2) 1, u(1) 2, u(2) 2 0 s 1 0 s 1 1 s 2 0 s 2 1 s 2 4s 1 + u (1) 1 u (1) 2 = 0 s 1 4s 2 + 1 + u (2) 1 u (2) 2 = 0 Vegyü észre, hogy az u (1) 1 = u (2) 1 = u (1) 2 = u (2) 2 = 0, s 1 = 1/15 és s 2 = 4/15 megoldás megengedett, a célfüggvény értée zéró, így egyben optimális megoldás is Ebbol övetezi, hogy megoldása (89)- ne, így a 86 tétel miatt egyensúly Véges játéo evert bovítése Korábban láttu, hogy egy véges játéna nem feltétlenül van egyensúlya Még ha egy véges játéna van is egyensúlya, és soszor játsszu le az adott játéot, aor is a játéoso szeretne bevezetni némi véletlenszeruséget az acióiba, abból a célból, hogy a többi játéost összezavarjá, illetve azért, hogy eressene egy sztochasztius értelemben vett egyensúlyt Ez a gondolat úgy modellezheto, hogy a játéoso stratégiáit valószínuség eloszlásoént vezetjü be, és a várható izetése leszne a izetofüggvénye A 81 alfejezet jelöléseit megtartju: N játéosun van, az S = {s (1),, s(n ) } halmaz a P játéos véges stratégiahalmaza Enne a véges játéna a evert bovítésében minden játéos egy a saját stratégiahalmazán értelmezett diszrét valószínuségeloszlást vesz, továbbá S elemeit a játé minden lejátszásában az adott diszrét eloszlás szerint választja Tehát P új stratégiahalmaza: S = {x x = (x (1),, x(n ) ), n i=1 x (i) = 1, x (i) 0 minden i-re}, (811)
328 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) mely halmaz elemei n omponensu valószínuségi vetoro P új izeto függvénye várható érté függvény: n 1 n 2 f (x 1,, x N ) = i 1 =1 i 2 =1 n N i N =1 f (s (i 1) 1, s(i 2) 2,, s(i N) N )x(i 1) 1 x (i 2) 2 x (i N) N (812) Vegyü észre, hogy az x = e természetes bázisvetor választással az eredeti tiszta stratégiához (s (i) ) tartozó izetés apható meg A evert bovítéssel apott játé folytonos játé, és a 82 tétel szerint van legalább egy egyensúlya Tehát ha adott egy véges játé, melyne nincs egyensúlya, aor a evert bovítéséne mindig van legalább egy egyensúlya, mely egyensúly az elozo alfejezetben ismertetett módszereel megapható 89 példa Ötödi étszemélyes játé Teintsün egy étszemélyes játéot (N = 2), ahol a 81 alfejezetben bevezetett A (1) és A (2) mátrixo (i, j) elemei f 1 (s (i) j) 1, s( 2 ) és f 2(s (i) j) 1, s( 2 ) Ebben a speciális esetben n 1 n 2 f (x 1, x 2 ) = a () i j x (1) i x (2) j = x T 1 A() x 2 ( = 1, 2) (813) Az S feltételei a övetezo formába írható át: n 1 + i=1 n 1 i=1 i=1 j=1 x (i) 0 (i = 1, 2,, n ), x (i) 0, x (i) 0 Tehát választhatju g -t a övetezoéppen: g (x ) = x (1) ḳ x (n ) n i=1 x(i) n i=1 x(i) (814) 1 + 1 A (810)-ben adott optimumszámítási feladat a övetezo feladatra egyszerusödi: 2 =1[ n i=1 u(i) x(i) + u (n +1) ( n j=1 x( j) 1) + u (n +2) ( n j=1 x(i) + 1)] min u (i) x (i) 0 (1 i n + 2) 0 (1 i n ) 1 T x = 1 x T 2 (A(1) ) T + v T 1 + (u(n 1+1) 1 u (n 1+2) 1 )1 T 1 = 0 T 1 x T 1 (A(2) ) + v T 2 + (u(n 2+1) 2 u (n 2+2) 2 )1 T 2 = 0 T 2, ahol v T = (u(1), u(n ) ), 1 T = (1(1),, 1 (n ) ) és 0 T = (0(1),, 0 (n ) ), = 1, 2 (815) Vegyü észre, hogy a fenti feladat egy vadratius programozási feladat A számítási öltség a választott módszertol függ Azt is vegyü észre, hogy a fenti probléma általában nem onvex, így lehetséges, hogy az optimum eresése során beragadun egy loális optimumba
82 Folytonos játéo 329 Bimátrix-játéo A étszemélyes véges játéo evert iterjesztéseit bimátrix-játéona nevezzü A 89 példában már vizsgáltun ilyen játéot A jelölés egységesítése érdeében a övetezo egyszerusíto jelöléseet vezetjü be: A = A (1), B = A (2), x = x 1, y = x 2, m = n 1 és n = n 2 A övetezoben azt mutatju meg, hogy a (815) feladat átírható olyan vadratius programozási feladattá, melyben csa lineáris feltétele vanna Teintsü eloször a célfüggvényt Legyene α = u (m+2) 1 u (m+1) 1, és β = u (n+2) 2 u (n+1) 2, eor a célfüggvény a övetezo formába írható át: v T 1 x + vt 2 y α(1t mx 1) β(1 T n y 1) (816) (815)-ben az utolsó ét feltétel szintén egyszerusödi: y T A T + v T 1 α1t m = 0 T m, x T B + v T 2 β1t n = 0 T n, amibol övetezi: Mivel v T 1 = α1t m y T A T és v T 2 = β1t n x T B (817) 1 T mx = 1 T n y = 1, felírhatju a célfüggvényt egy újabb formában: (α1 T m y T A T )x + (β1 T n x T B)y α(1 T mx 1) β(1 T n y 1) = α + β x T (A + B)y Tehát a övetezo vadratius programozási feladatot apju: x T (A + B)y α β max x 0 y 0 1 T mx = 1 1 T n y = 1 Ay α1 m B T x β1 n, (818) ahol a ét utolsó feltétel a v 1, v 2 vetoro nemnegativitásából és (817)-bol övetezi 87 tétel Az x, y vetorpár pontosan aor egyensúlya az (A, B) bimátrix-játéna, ha valamilyen α -ra és β -ra (x, y, α, β ) optimális megoldása a (818) feladatna Eor az optimumban a célfüggvény értée nulla
330 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Ez vadratius programozási feladat, ahol a számítási öltség a választott módszertol függ Általában nem onvex a feladat, így benneragadhatun egy loális optimumban Mivel tudju, hogy a globális optimumban a célfüggvény értée nulla, így ellenorizni tudju az optimalitást Ha A + B negatív szemidenit, aor a feladat onvex, tehát minden loális optimum globális is 810 példa Elso bimátrix-játé Válasszu A-t és B-t a övetezoéppen: ( ) 2 1 A = 1 1 és Eor tehát (818) a övetezo formát ölti: ( B = 1 1 1 2 ( A + B = ) 3 2 2 3 ), 3x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 3x 2 y 2 α β max x 1, x 2, y 1, y 2 0 x 1 + x 2 = 1 y 1 + y 2 = 1 2y 1 y 2 α y 1 + y 2 α x 1 x 2 β x 1 + 2x 2 β, ahol x = (x 1, x 2 ) T és y = (y 1, y 2 ) T A 87 tételbol tudju, hogy az optimális célfüggvényérté nulla, így minden megengedett megoldás, melyre a célfüggvény értée nulla, szüségszeruen optimális Könnyen látható, hogy ( ) ( ) 1 0 x =, y =, α = 2, β = 1, 0 1 ( ) ( ) 0 1 x =, y =, α = 1, β = 2, 1 0 ( ) ( ) 06 04 x =, y =, α = 02, β = 02 04 06 mind optimumo, tehát mindegyi meghatároz egy egyensúlyt Alalmazhatju (89)-et egyensúly eresésre Ahelyett, hogy megoldju a (818) optimumszámítási feladatot, megoldju az (89) feltételrendszert A bimátrix-játéo esetén a (89) feladat a övetezo formára egyszerusödi: x T Ay = α x T By = β Ay α1 m B T x β1 n x 0 m y 0 n 1 T mx = 1 T n y = 1, (819)
82 Folytonos játéo 331 mely feltételrendszer a vadratius programozási feladatnál látottaal analóg módon vezetheto le A (819) feladat számítási öltsége a választott módszertol függ 811 példa Másodi bimátrix-játé Teintsü ismét a 810 példát Helyettesítsü a (819) feltételrendszer elso és a másodi feltétele alapján α-t és β-t a harmadi és a negyedi feltételbe, eor 2y 1 y 2 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 y 1 + y 2 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2 x 1 x 2 x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2 x 1 + 2x 2 x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2 x 1, x 2, y 1, y 2 0 x 1 + x 2 = y 1 + y 2 = 1 Könnyen látható, hogy a 810 példában apott megoldáso ielégíti a fenti feltételrendszert, tehát egyensúlyo A bimátrix-játé egyensúlyi feladatát átírhatju evert változós feltételrendszerbe is Tegyü fel, hogy A és B minden eleme 0 és 1 özött van Ez a feltevés nem túl eros, hiszen lineáris transzformáció használatával A = a 1 A + b 1 1 és B = a 2 B + b 2 1, ahol a 1, a 2 > 0, 1 a csupa egyesebol álló m n-es mátrix Eor az egyensúly nem változi, és megfelelo a 1, b 1, a 2 és b 2 értée választásával az A és B mátrixo minden eleme a [0, 1] intervallumba esi 88 tétel Az x, y vetorpár pontosan aor egyensúly, ha valamilyen α, β számora és u, v nulla-egy vetorora teljesül, hogy 0 α1 m Ay 1 m u 1 m x 0 β1 n B T x 1 n v 1 n y x 0 m y 0 n 1 T mx = 1 T n y = 1 (820) Bizonyítás Eloször tegyü fel, hogy x, y vetorpár egyensúly, eor valamilyen α-ra, β-ra (819) teljesül Legyen u i = { 1, ha xi > 0, 0, ha x i = 0, és v j = { 1, ha y j > 0, 0, ha y j = 0 Mivel az A és B mátrixo elemei [0, 1]-bol való, így α = x T Ay és β = x T By szintén nulla és egy özöttie Vegyü észre, hogy melybol övetezi, hogy (820) teljesül 0 = x T (α1 m Ay) = y T (β1 n B T x),
332 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Most tegyü fel, hogy (820) teljesül Eor 0 x u 1 m és 0 y v 1 n Ha u i = 1, aor α e T i Ay = 0, és ha u i = 0, aor x i = 0 Tehát x T (α1 m Ay) = 0, melybol övetezi, hogy α = x T Ay A β = x T By egyenloség érvényessége hasonlóan mutatható meg, így (819) teljesül, tehát az x, y vetorpár egyensúly A (820) feladat számítási öltsége a választott módszertol függ 812 példa Harmadi bimátrix-játé A 810 példában bevezetett bimátrix-játé esetén (820) a övetezo formát ölti: 0 α 2y 1 + y 2 1 u 1 1 x 1 0 α + y 1 y 2 1 u 2 1 x 2 0 β x 1 + x 2 1 v 1 1 y 1 0 β + x 1 2x 2 1 v 2 1 y 2 x 1 + x 2 = y 1 + y 2 = 1 x 1, x 2, y 1, y 2 0 u 1, u 2, v 1, v 2 {0, 1} Vegyü észre, hogy a 810 példában adott három megoldás teljesíti a fenti feltételrendszert az u = (1, 0), v = (0, 1), u = (0, 1), v = (1, 0), és u = (1, 1), v = (1, 1) vetorpároal Mátrixjátéo Azoat a bimátrix-játéoat, ahol B = A, mátrixjátéona nevezzü, és egy A mátrixszal jelöljü Az ilyen játéora néha A mátrixjátéént fogun hivatozni Mivel A+B = 0, a (818)-bani vadratius programozási feladat lineáris: α + β min x 0 y 0 1 m x = 1 1 n y = 1 Ay α1 m A T x β1 n (821) A fenti feladatból látható, hogy az egyensúlyo halmaza onvex poliéder Vegyü észre, hogy (x, β) és (y, α) szétválasztható, amibol a övetezo eredmény vezetheto le 89 tétel Az x, y vetorpár pontosan aor egyensúlya az A mátrixjáténa, ha valamilyen α -ra, β -ra (x, β ) és (y, α ) optimális megoldásai a övetezo lineáris programozási feladatpárna: α min β min y 0 n x 0 m 1 T n y = 1 1 T mx = 1 Ay α1 m A T x β1 n (822)
82 Folytonos játéo 333 Vegyü észre, hogy az optimumban α + β = 0 Az α optimális értéét a mátrixjáté értééne nevezzü Ha a szimplex módszert alalmazzu (822) megoldására, aor a muvelete száma exponenciális Polinomiális algoritmussal (mint amilyen a belso pont módszer) a muvelete száma csa polinomiális 813 példa Elso mátrixjáté Teintsü a övetezo mátrixjátéot: 2 1 0 A = 2 0 3 1 3 3 A (822)-t erre a feladatra felírva: α min β min y 1, y 2, y 3 0 x 1, x 2, x 3 0 y 1 + y 2 + y 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 2y 1 + y 2 α 0 2x 1 + 2x 2 x 3 + β 0 2y 1 + 3y 3 α 0 x 1 + 3x 3 + β 0 y 1 + 3y 2 + 3y 3 α 0 3x 2 + 3x 3 + β 0 A szimplex módszerrel megaphatju a fenti feladatpár megoldását: α = 9/7, y = (3/7, 3/7, 1/7), β = 9/7, és x = (4/7, 4/21, 5/21) A (821) megoldását úgy is megaphatju, hogy lineáris feltétele bizonyos halmazána megengedett megoldását eressü meg Mivel (821)-ben az optimumban α + β = 0, x, y vetoro és α, β saláro pontosan aor alotna optimális megoldást, ha x, y 0 1 T mx = 1 1 T n y = 1 Ay α1 m A T x α1 n (823) A (823) megoldásához a szimplex módszer elso fázisa szüséges, mely a legedvezotlenebb esetben exponenciális számú muveletet igényel A gyaorlatban általában soal evesebb muvelet szüséges 814 példa Másodi mátrixjáté Nézzü megint a 813 példában bevezetett mátrixjátéot Ha erre a játéra (823)-at felírju, aor a övetezot apju: x 1, x 2, x 3, y 1, y 2, y 3 0 x 1 + x 2 + x 3 = y 1 + y 2 + y 3 = 1 2y 1 + y 2 α 2y 1 + 3y 3 α y 1 + 3y 2 + 3y 3 α 2x 1 + 2x 2 x 3 α x 1 + 3x 3 α 3x 2 + 3x 3 α
334 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Könnyen látható, hogy α = 9/7, x = (4/7, 4/21, 5/21) T, y = (3/7, 3/7, 1/7) T ielégíti a (89) feltételrendszert, tehát az x, y vetorpár egyensúly 825 A fitív lejátszás módszere Teintsün most egy A mátrixjátéot Az ezen alfejezetben tárgyalt módszer fo gondolata az, hogy lépésenént minden játéos meghatározza a saját legjobbválasz tiszta stratégiáját a mási játéos az elozoeben választott stratégiáina átlaga mellett Formálisan a módszer a övetezoéppen írható fel Legyen x 1 a P 1 játéos ezdeti (evert) stratégiája Válasszu úgy y 1 = e j1 -t, hogy teljesüljön x T 1 Ae j 1 Bármely további 2 lépésor legyen és válasszu x = e i -t úgy, hogy teljesüljön Eor legyen és válasszu y = e j -t úgy, hogy = min j {x T 1 Ae j} (824) y 1 = 1 1 (( 2)y 2 + y 1 ), (825) e T i Ay 1 = max i {e T i Ay 1} (826) x = 1 (( 1)x 1 + x ), (827) x T Ae j = min j {x T Ae j } (828) A fenti általános lépés megismétlése ( = 2, 3, )-ra ét sorozatot eredményez: {x }-t, és {y }-t Eor a övetezo eredményt apju: 810 tétel Az ({x }, {y }) sorozatpár tetszoleges torlódási pontja az A mátrixjáté egy egyensúlya Bizonyítás Mivel {x } és {y } valószínuségi vetoro, így orlátos, valós sorozato, tehát van legalább egy torlódási pontju 3 Tegyü fel, hogy az A mátrix m n-es (824)-ben mn szorzásra van szüségün (825)- ben és (827)-ben m + n szorzás és osztás van (826)-ban és (828)-ban mn szorzás van Ha L iterációs lépést teszün, aor az osztáso és szorzáso száma: mn + L[2(m + n) + 2mn] = Θ(Lmn) Az algoritmus pszeudoódja a övetezo (az algoritmusban ε > 0 a felhasználó által 3 Nem minden egyensúly apható meg ezzel a módszerrel, illetve van olyan egyensúlyi pont, amit csa aor talál meg ez a módszer, ha az egyensúlyból indul A fordító
82 Folytonos játéo 335 megválasztott hibaturés) FIKTÍV-LEJÁTSZÁS 1 1 2 legyen j 1 olyan, hogy teljesüljön x T 1 Ae j 1 = min j {x T 1 Ae j} 3 y 1 e j1 4 + 1 5 y 1 1 1 (( 2)y 2 + y 1 ) 6 legyen i olyan, hogy teljesüljön e T i Ay 1 = max i {e T i Ay 1} 7 x e i 8 x 1 (( 1)x 1 + x ) 9 legyen j olyan, hogy teljesüljön x T Ae j = min j {x T Ae j } 10 y e j 11 if x x 1 < ε and y 1 x 2 < ε 12 then ( ) x, y 1 egyensúly 13 else folytassu a 4-edi sorban 815 példa Harmadi mátrixjáté A fent tárgyalt módszert alalmazzu a 814 példában tárgyalt mátrixjátéra A módszer ezdo állapota: x 1 = (1, 0, 0) T 100 lépés után: x 101 = (0446, 0287, 0267) T és y 101 = (0386, 0436, 0178) T Ha ezeet az értéeet az egyensúlyhoz hasonlítju, aor azt tapasztalju, hogy az eltérés isebb, mint 0126, tehát a módszer lassan onvergál 826 Szimmetrius mátrixjátéo Az A mátrixjátéot, ahol A ferdén-szimmetrius, szimmetrius mátrixjáténa nevezzü Ebben az esetben A T = A és a ét lineáris programozási feladat (822)-ben megegyezi Ebbol övetezi, hogy α = β = 0 (a játé értée 0), és tetszoleges egyensúlyban a ét játéos stratégiái megegyezne Tehát a övetezo eredmény adódi 811 tétel Az x vetor pontosan aor egyensúlya az A szimmetrius mátrixjáténa, ha x 0 1 T x = 1 Ax 0 (829) (829) megoldásához a szimplex módszer elso fázisa szüséges, ahol a legedvezotlenebb esetben a muvelete száma exponenciális A gyaorlatban azonban általában soal isebb számú muveletre van szüség (829) megoldásához 816 példa Szimmetrius mátrixjáté Teintsü az A = Eor (829) a övetezo formát ölti: x 1, x 2 0 x 1 + x 2 = 1 x 2 0 x 1 0 ( 0 1 1 0 ) szimmetrius mátrixjátéot
336 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Könnyen látható, hogy az egyetlen megoldás: x 1 = 1 és x 2 = 0, ami az elso tiszta stratégia A övetezo fejezetben látni fogju, hogy egy lineáris programozási feladat evivalens egy szimmetrius mátrixjáté egyensúlyi problémájával, tehát tetszoleges módszer, amely egy szimmetrius mátrixjáté egyensúlyi problémájána megoldására alalmas, alalmas lineáris programozási feladat megoldására is, ezért az ilyen módszere a szimplex módszer alternatíváiént szolgálna A övetezoben azt mutatju meg, hogy a szimmetria nem túlságosan eros feltétel, mert tetszoleges mátrixjáté megfeleltetheto egy vele evivalens szimmetrius mátrixjáténa Teintsü az A mátrixjátéot, és szeresszü meg a övetezo ferdén-szimmetrius P mátrixot: P = 0 m m A 1 m A T 0 n n 1 n 1 T m 1 T n 0 Az A és P mátrixjátéo a övetezo értelemben evivalense Tegyü fel, hogy A > 0, ami nem túl eros feltétel, hiszen A elemeihez egy megfelelo onstanst hozzáadva A > 0 elérheto, és az egyensúlyo nem változna 812 tétel Legyen P szimmetrius mátrixjáté, melyet A mátrixjátéból aptun, eor igaz a övetezo ét állítás: u 1 Ha z = v egyensúlyi stratégiája a P szimmetrius mátrixjáténa, aor az x = λ (1/a)u, y = (1/a)v vetorpár egyensúlya az A mátrixjáténa, és az A mátrixjáté értée: v = λ/a, ahol a = (1 λ)/2 2 Ha az x, y vetorpár egyensúlya az A mátrixjáténa, és v az A mátrixjáté értée, aor a z = 1 x y 2 + v v vetor egyensúlya a P szimmetrius mátrixjáténa Bizonyítás Eloször tegyü fel, hogy z egyensúly a P szimmetrius mátrixjátéban (1 pont) Eor u 0, v 0, és Pz 0, tehát Av λ1 m 0 A T u + λ1 n 0 1 T mu 1 T n v 0 (830) Eloször megmutatju, hogy λ (0, 1), tehát a 0 Tegyü fel, hogy λ = 1, eor (mivel z valószínuségi vetor) u = 0 m és v = 0 n, ami ellentmond (830) másodi egyenlotlenségéne Ha λ = 0, aor 1 T mu+1 T n v = 1, és (830) harmadi egyenlotlensége miatt v-ne van legalább egy pozitív omponense, mely ellentmond (830) elso egyenlotlenségéne Most megmutatju, hogy 1 T mu = 1 T n v (830)-ból azt apju, hogy u T Av λu T 1 m 0, v T A T u + λv T 1 n 0
82 Folytonos játéo 337 A ét egyenlotlenséget összeadva apju, hogy v T 1 n u T 1 m 0 Ezt (830) harmadi egyenlotlenségével ombinálva apju, hogy 1 T mu 1 T n v = 0 Legyen a = (1 λ)/2 0, eor 1 T mu = 1 T n v = a, így mind x = u/a, mind y = v/a valószínuségi vetor, és (830)-ból övetezi, hogy: A T x = 1 a AT u λ a 1 n, Ay = 1 a Av λ a 1 m Legyene α = λ/a és β = λ/a, eor x, y vetorpár megoldása (822)-ne és α + β = 0, tehát x, y vetorpár egyensúlya az A mátrixjáténa A 2 pont hasonlóan látható be, itt nem részletezzü 827 Lineáris programozás és mátrixjátéo Ebben az alfejezetben megmutatju, hogy egy lineáris programozási feladatot meg lehet oldani úgy, hogy egy szimmetrius mátrixjáté egyensúlyi stratégiáit eressü meg Tehát tetszoleges olyan módszer, mely alalmas egy szimmetrius mátrixjáté egyensúlyaina meghatározására, alalmas a szimplex módszer iváltására Teintsü a övetezo primál-duál lineáris programozási feladatpárt: c T x max b T y min x 0 y 0 Ax b A T y c (831) Szeresszü meg a övetezo ferdén-szimmetrius mátrixot: 0 A b P = A T 0 c b T c T 0 u 813 tétel Tegyü fel, hogy z = v egyensúlya a P szimmetrius mátrixjáténa, és λ λ > 0 Eor x = 1 λ v és y = 1 λ u optimális megoldásai a (831) primál-duál feladatpárna (x a primálna, y a duálna) Bizonyítás Ha z egyensúly, aor Pz 0, azaz Av λb 0 A T u + λc 0 b T u c T v 0 (832) Mivel z 0 és λ > 0, így mind az x = (1/λ)v, mind az y = (1/λ)u vetor nemnegatív
338 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Osszu el (832) elso ét egyenlotlenségét λ-val, eor Ax b és A T y c, ahonnan övetezi, hogy x megengedett megoldása a primál feladatna, és y megengedett megoldása a duál feladatna (832) harmadi egyenlotlenségébol azt apju, hogy Tudju azonban b T y c T x b T y (x T A T )y = x T (A T y) x T c = c T x, tehát b T y = c T x, melybol az övetezi, hogy a primál feladat célfüggvénye x-ben és a duál feladat célfüggvénye y-ban egyenlo Eor az eros dualitási tétel miatt x optimális megoldása a primál feladatna és y optimális megoldása a duál feladatna 817 példa Lineáris programozás Teintsü a övetezo lineáris programozási feladatot: x 1 + 2x 2 max x 1 0 x 1 + x 2 1 5x 1 + 7x 2 25 Eloször fel ell írnun a feladatot mint primál feladatot Vezessün be ét új változót: x + 2 = { x2, ha x 2 0, 0 ülönben, x 2 = { x2, ha x 2 < 0, 0 ülönben és szorozzu meg a másodi egyenlotlenséget 1-gyel Eor a övetezo feladatot apju: Így ( 1 1 1 A = 5 7 7 A P mátrix pedig a övetezo lesz: P = 0 0 x 1 + 2x + 2 2x 2 max x 1, x + 2, x 2 0 x 1 x + 2 + x 2 1 5x 1 + 7x + 2 7x 2 25 ), b = 1 1 1 5 7 7 ( ) 1, c T = (1, 2, 2) 25 1 25 0 0 1 5 0 0 0 1 1 7 0 0 0 2 1 7 0 0 0 2 1 25 1 2 2 0
82 Folytonos játéo 339 828 A Neumann-módszer A tív lejátszás módszere egy iterációs algoritmus, ahol a játéoso minden lépésben hozzáigazítjá stratégiáiat a többi játéos stratégiáihoz Ez a módszer tehát úgy teintheto, mint egy diszrét rendszer megvalósulása, ahol a játéoso stratégiaválasztásai az állapotváltozó Neumann János a szimmetrius játéo esetére bevezetett egy folytonos megözelítést, ahol a játéoso folyamatosan módosítjá a stratégiáiat Ez a módszer alalmazható tetszoleges mátrixjátéra, hiszen amint orábban láttu bármely mátrixjáté evivalens egy szimmetrius mátrixjátéal Ez a módszer szintén használható lineáris programozási feladato megoldására, hiszen orábban láttu, hogy minden primál-duál feladatpár visszavezetheto egy szimmetrius mátrixjáté egyensúlyi problémájára Legyen a továbbiaban P n-edrendu ferdén-szimmetrius mátrix A P 2 játéos y(t) stratégiája egy függvény, mely a t 0 ido változótól függ Mielott a rendszer dinamiáját felírnán, bevezetjü a övetezo jelöléseet: u i : R n R, u i (y(t)) = e T i Py(t) (i = 1, 2,, n), φ : R R, φ(u i ) = max{0, u i }, Φ : R n R, Φ(y(t)) = n i=1 φ(u i (y(t))) (833) Oldju meg a övetezo nemlineáris ezdetiérté-feladatot tetszoleges y 0 -ra: y j (t) = φ(u j(y(t))) Φ(y(t))y j (t), y j (0) = y j0 (1 j n) (834) Mivel a jobb oldalon lévo ifejezés folytonos, így (834)-ne van legalább egy megoldása A jobb oldalon lévo ifejezés a övetezoéppen értelmezheto Tegyü fel, hogy φ(u j (y(t))) > 0 Eor ha P 2 az y(t) stratégiát választja, aor P 1 pozitív izetést tud elérni az e j stratégia választásával, mely választás negatív izetést eredményez a P 2 játéosna Ha azonban P 2 egyre úgy növeli y j (t)-t, hogy e j stratégiát választ o is, aor az e T j Pe j izetése nullává váli, tehát megno Ebbol övetezi, hogy P 2 érdee y j (t) növelése Pontosan ezt fejezi i a jobb oldali ifejezés elso tagja A másodi tag azt biztosítja, hogy y(t) valószínuségi vetor maradjon minden t 0-ra (834) jobb oldalána iszámításához minden t-re N 2 +N szorzásra van szüség A teljes számítási öltség függ a megoldás intervallumána a hosszától, a választott lépésnagyságtól, és a differenciálegyenletet megoldó módszer megválasztásától 814 tétel Tegyü fel, hogy t 1, t 2, egy szigorúan növeedo nemorlátos sorozat Eor az y(t n ) sorozat minden torlódási pontja egyensúlyi stratégia, és létezi egy olyan c onstans, hogy n e T i Py(t ) (i = 1, 2,, n) (835) c + t Bizonyítás Eloször azt ell megmutatnun, hogy y(t) valószínuségi vetor minden t 0-ra Tegyü fel, hogy valamilyen j-re és t 1 > 0-ra y j (t 1 ) < 0 Legyen t 0 = sup{t 0 < t < t 1, y j (t) 0}
340 8 Játéelmélet (Szidarovszy Ferenc) Eor y j (t) folytonossága és y j (0) 0 miatt y j (t 0 ) = 0, és minden τ (t 0, t 1 )-re, y j (τ) < 0 Az elozoebol övetezi, hogy minden τ (t 0, t 1 ]-re y j (τ) = φ(u j(y(τ))) Φ(y(τ))y j (τ) 0 A Lagrange-özépérté tétel miatt létezi τ (t 0, t 1 ), hogy y j (t 1 ) = y j (t 0 ) + y j (τ)(t 1 t 0 ) 0, ami ellentmondás Tehát y j (t) nemnegatív minden t 0-ra A övetezoben megmutatju, hogy n j=1 y j (t) = 1 minden t 0-ra Legyen f (t) = 1 n j=1 y j (t), eor n n n f (t) = y j (t) = φ(u j (y(t))) + Φ(y(t))( y j (t)) = Φ(y(t))(1 j=1 j=1 j=1 n y j (t)), j=1 tehát f (t) megoldása a övetezo homogén rendszerne: f (t) = Φ(y(t)) f (t) az f (0) = 1 n j=1 y j0 = 0 ezdetiérté mellett Tehát, minden t 0-ra f (t) = 0, ami azt jelenti, hogy y(t) valószínuségi vetor minden t 0-ra Tegyü fel, hogy valamilyen t 0 mellett y i (u i (y(t))) > 0 Eor d dt φ(u i(y(t))) = n p i j y j (t) = j=1 = n p i j [φ(u j (y(t))) Φ(y(t))y j (t)] j=1 n p i j φ(u j (y(t))) Φ(y(t))φ(u i (y(t))) j=1 (836) Szorozzu meg mindét oldalt φ(u i (y(t)))-vel, és adju össze az így apott egyenloségeet i = 1, 2,, n-re: n φ(u i (y(t))) d dt φ(u i(y(t))) = i=1 n i=1 n n p i j φ(u i (y(t)))φ(u j (y(t))) Φ(y(t))( φ 2 (u i (y(t)))) j=1 (837) Mivel P ferdén-szimmetrius, így az elso tag nulla Vegyü észre, hogy a fenti egyenloség a töréspont (ahol φ(u i (y(t))) deriváltja nem létezi) ivételével aor is érvényes marad, ha φ(u i (y(t))) = 0, így (836) igaz marad Most tegyü fel, hogy valamilyen pozitív t-re Φ(y(t)) = 0 Eor minden i-re φ(u i (y(t))) = 0 Mivel (837) átírható i=1 formába, ahol 1 d Ψ(y(t)) = Φ(y(t))Ψ(y(t)) (838) 2 dt n Ψ : R n R és Ψ(y(t)) = φ 2 (u i (y(t))), i=1