8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel), a redszer midvégig ott marad. Stabil egyesúlyi helyzet: ha a redszer kezdetbe eek az egyesúlyi helyzetek a közelébe va és em túl agy a sebessége, akkor sohasem távolodik el messzire. A kietikai eergia az általáos sebességek másodfokú függvéye, általába homogé másodfokú függvéye; és az erőkek va poteciálja. Legye az egyesúlyi helyzet az origó: q ==q és legye itt a poteciál ulla. L q,, q, q,, q = a q,, q i j q i q j V q,, q i, j = szimmetrikus T q, q 0 Feltesszük, hogy q 0 0,, q stabil egyesúlyi helyzet és a q 0 0,, q agyok, akkor q i t q 0 Vehetjük q 0,, q 0 -ak kezdősebességek em túl T q, q= i, j= a i j 0 q i q j a j i [ a i j k q k ] kostas q k q i q j q O3 V q=v 0 [ V k= q k ] q b kl =b lk [ V k, l q k q l ] q 0 stabil q k! q k q l O3 q 0 egyesúlyi helyzet [ V q k ] q Sorba fejtve a kietikai eergiát és a poteciált az egyesúlyi helyzet körül, és a másodikál magasabb hatváyokat elhayagolva kapjuk a Lagrage-függvéy ú. harmoikus közelítését: L= i, j= a i j q i q j i, j= b q q = i j i j A q, q Bq, q Itt az A mátrix pozitív defiit, mert a kietikai eergia midig pozitív, és a B mátrix pozitív defiit, mert az egyesúlyi helyzet stabil, továbbá midkét mátrix szimmetrikus. A mozgásegyeleteket az Euler-Lagrage egyeletek felírásával kapjuk: d dt q i q i i=,, d dt = a q i j q j, i j= = b q i j q j i j=
a q b q i j j i j j i=,, csatolt rezgések j= Keressük olya megoldásokat, amikor mide koordiáta azoos frekveciával és azoos fázisba rezeg. q i t=u i cos t q i t= si t q i t= cos t j= j= [ a i j u j b i j u j ] cos t leoszthatuk vele b i j a i j u j u B A u u= u Általáosított sajátérték-probléma: det B A=k sajátértékek :,, 0 sajátvektorok : u,, u homogé lieáris egyeletredszer, amely mátrix-jelöléssel: oszlopvektor Defiíció: Bilieáris: Au, v = def. i, k a i k v k =u T A v A u u, v = A u, v A u, v A u, v = Au, v Mivel A= A T (szimmetrikus), ezért Au, v = Av, u szimmetrikus bilieáris függvéy. Komplexre: A u, u = A u, u = i, k a i k u k valós Bizoyítás: i, k a i k u k =? a i k i,k Ha A0 Au, u 0 u 0 u=ai b, u =a i b stb. Au, u u k = a k i u k = a i k u k i,k
B u= A u u 0 v -re B u, v = Au, v u T B v = u T A v v T B u= v T A u B u= A u v T B u= v T A u Ha A és B szimmetrikus és B u= A u és B u'=' A u',akkor ha ', akkor Au, u ' (az u és u' sajátvektorok A-ortogoálisak) B u, u ' = Au, u ' B u ', u=' Au ', u ' Au, u ' Au, u' A külöböz ő sajátértékekhez tartozó sajátvektorok A-ortogoálisak. Állítás: valós Bizoyítás: tegyük fel, hogy komplex; B A u u 0 vegyük a komplex kojugáltját B A u A u, u elletmodás = valós Ha a -k valósak u-k is valósak u T / B u= A u = Bu, u Au, u 0 u 0 Ezek alapjá: Sajátértékek: = 0 Sajátfrekveciák:,, Sajátvektorok: u,, u valósak A u, u, ha, általába feltehető (ortogoalizálással és ormálással elérhető), hogy: A u i, u j, ha i j A u i, u j = i=,, (ú. A-ortoormált bázis) Számoljuk ki: B u i, u j = i i j u j T / B = i A B u j, u i = i A u j, u i i j = i i j 3
Vezessük be új Q,,Q koordiátákat (koordiáta traszformáció): q i = j = j ; q i = j j Lagrage-függvéy az új koordiátákkal: L= A j = j k = j = u j, k Q k A u j, u k j = jk Q k u k B j j = j = j k L j u j, k Q k u k = Q k B u j, u k = j j k A kietikai eergia és a poteciális eergia az új koordiátákba tiszta égyzetes tagokból áll (ics csatolás). Az új koordiátákba a rezgések egymástól függetleek. L j = Q j j A mozgásegyeletek: = j = ; = j = j Mozgásegyelet: j j=,, Az új koordiátákat ormálkoordiátákak evezzük, amelyek időfüggése: = 0 cos j t j 0, j kezdőfeltételekből határozható meg Az eredeti koordiáták időfüggése a koordiáta traszformáció szerit adódik: q i = u j i Q 0 j cos j t j j = Egy mechaikai redszer tetszőleges rezgését a stabil egyesúlyi helyzet körül előállíthatjuk ormálrezgések lieáris kombiációjakét (szuperpozíciójakét). Megfelelő kezdőfeltételekkel elérhetjük, hogy mide koordiáta azoos frekveciával (valamelyik ormálfrekveciával) és azoos fázisba rezegje. Az ilye rezgést a redszer ormálrezgéséek hívjuk. Állítsuk elő a koordiátatraszformáció iverzét! q i = j = j j = a l i u l q i l,i= 4
Bizoyítás: q= u j j = A q= A u j j= u k T A q= u k T A u j j = A u k, q= j = A u k, u j =Q k k j Q k = A u k, q= a i l u k i q l i= l = 8.. Szimmetrikus 3-atomos molekula lieáris rezgései A B A T = m ẋ M ẋ m ẋ 3 = m q M q m q 3 V = k x x b k x 3 x b = k q q k q 3 q b=x, 0 x, 0 = x 3, 0 x, 0 q =x x, 0 ; q =x x, 0 ; q 3 = x 3 x 3, 0 3 3 T = i = j= a q q i j i j A= m 0 0 0 M 0 k k k 0 k k 0 0 m ; B= k k 0 k m k 0 u k k M k u 0 k k m 3= 0 0 0 u 5
A sajátértékeket a karakterisztikus egyelet gyökei adják (triviálistól eltérő megoldás (sajátvektor) akkor és csak akkor létezik, ha az egyeletredszer determiása ulla): k m [ k M k m k ]k [ k k m] k m k k m k M 4 m M k k k m k m k M m M k m m M k mm A gyökök (sajátfrekveciák): ; = k m ; 3 = k mm = k m M m m M A sajátvektorok:. I. k u k u 0 u 3 u =u = = II. k u k M u k u 3 u III. 0 u k u k u 3 u =u 3 = Normálás -re: A u, u =m M m = = = mm mm u mm mm Ez em vibráció (rezgés), haem traszláció. A molekula mit egész egyees voalú egyeletes mozgást végez. Ez az eset kiküszöbölhető az m x M x m x 3 egyelettel (az origót a tömegközéppotba helyezzük) a valódi rezgésekre -es mátrixot kapuk.. = k m I. 0 u k u 0 u 3 u k M II. k u k m u k u u =u 3 3 III. 0 u k u 0 u 3 A u, u =m M 0m = 6
= m = u = 0 m 0 m 3. 3= k mm m M k mm I. k M u k u 0 u 3 II. III. k u 0 u k u k mm k m u k u 3 k m M u k u k u k m M u 3 u =u 3 = M m u = k k mm M u 3 A u 3, u 3 =m M m M m = = m m M u = 3 m m M m M Általába -atomos molekula esetébe 3 koordiáta a traszlációhoz, 3 koordiáta a rotációhoz tartozik, vagyis a valódi vibrációk száma 3-6. (Lieáris molekulák esetébe 3-5.) 7
8.3. Feladatok 8.3.. l hosszúságú súlytala rúd alsó végét csuklóval a talajhoz rögzítjük, és a rudat midkét oldalo k direkciós erejű, egyformá összeyomott, egyees rugóval támasztjuk ki, melyek a csuklótól d távolságra éritkezek a rúddal. A csukló csak a rúd és a rugók által meghatározott síkba való mozgást eged meg. A rúd másik végére m tömegű testet helyezük. Határozzuk meg a stabil egyesúlyi helyzetet külöböző terhelések eseté, valamit a kis rezgések frekveciáját! 8.3.. Írjuk le két csatolt iga mozgását! Útmutató: a két egyforma iga midegyike egy súlytala l hosszúságú rúdból és a felfüggesztett m tömegből áll, a rudakat h mélységbe egy k álladójú gyege rugóval kötjük össze. A kicsiyek tekitett kitérési szögek és. a) Írjuk fel a Lagrage-függvéyt kis szögekre! b) Oldjuk meg a mozgásegyeleteket: határozzuk meg a sajátrezgéseket (ormálrezgéseket)! c) Elemezzük a megoldásokat! 8.3.3. Egy kör meté három m tömegű test mozoghat. A testeket egyforma rugók kötik egymáshoz a kör meté. Mekkorák a redszer sajátfrekveciái, és milye mozgások tartozak ezekhez? 8.3.4. Egy tömegpot az x, y függőleges síkba az x=b si, y=b cos görbe meté mozoghat. a) Mutassa meg, hogy az origó körüli kis rezgések frekveciája 4 b g! b) Mutassa meg, hogy agy amplitúdók eseté is ugyaekkora a frekvecia! 8.3.5. Az l hosszúságú súlytala rúd vízszites tegelyű csuklóval kapcsolódik az szögsebességgel forgó függőleges tegelyhez, másik végéremtömegű testet erősítettek. a) Írja fel a Lagrage-függvéyt! b) Írja fel a mozgásegyeleteket! c) Határozza meg és ábrázolja az egyesúlyi 0 helyzet körüli kis rezgések 0 =a cos t frekveciájáak függését az -tól! 8