Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének minusz egyszeese: F i = V() i = V = V i i Az előző kifejezésből leolvashatjuk, hogy az eő ebben az esetben minig az oigó felé, vagyis a mozgás centuma felé mutat. Tekintsünk most két tömegpontot, amelyek kölcsönhatnak valamilyen móon egymással. A közöttük fellépő eő nyilvánvalóan a két tömegpontot összekötő egyenessel páhuzamos lesz, vagyis a potenciális enegiájuk csak a közöttük lévő távolságtól függ. A ensze Lagange függvényét a következőléppen íhatjuk fel: (1) L = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 V( 1 2 ). (2) Vezessük be a tömegközépponti és eltív kooinátákat: R = m 1 1 +m 2 2 m 1 +m 2, = 1 2. (3) Fejezzük ki az új kooinátákkal az eeeti helyvektookat: 1 = R+ Hatáozzuk meg a sebességeket is: v 1 = V+ m 2 m 1, 2 = R. (4) m 1 +m 2 m 1 +m 2 m 2 m 1 v, v 2 = V v. (5) m 1 +m 2 m 1 +m 2 A Lagange függvény az új változókkal a következő alakú lesz: L = 1 2 MV2 + 1 2 mv2 V(), (6) ahol M = m 1 + m 2 és m = m1m2 m 1+m 2, az u.n. eukált tömeg. Az új változókkal felít Lagange függvény alakjából leolvashatjuk, hogy a tömegközéppont kooinátája ciklikus változó, vagyis nem szeepel explicit móon a Lagange függvényben. Ez annyit jelent, hogy a ensze tömegközéppontja egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. A továbbiakban válasszuk le a tömegközéppont mozgását és vizsgálóásainkat kolátozzuk a elatív kooinátákkal leíható mozgása: L = 1 2 mv2 V(). (7) 1
Vizsgáljuk meg, hogy milyen megmaaó mennyiségeink lesznek: az előző Lagange függvény invaiáns a fogatásokkal és az iőbeli eltolásokkla szemben, vagyis a L = p peület és az E = 1 2 mv2 + V() enegia megmaa a mozgás soán. x φ L A peület megmaaásából következik, hogy a test síkmozgást végez. Az ábáól leolvasható, hogy a = v t elmozulás minig meőleges az m v peülete: L = 0. Kooináta x és y tengelyét válasszuk a mozgás síkjába és téjünk át polá kooinátáka: y x = cos(ϕ) y = sin(ϕ) Fejezzük ki a Lagange függvényt a polá kooinátákkal: L = 1 2 mṙ2 + 1 2 m ϕ2 V(). (8) A ϕ változótól független a Lagange függvény, vagyis a L ϕ = m2 ϕ = l (9) mennyiség mozgásállanó lesz. Fejezzük ki a ϕ-t tatalmazó tagot a Lagange függvényből l segítségével: Íjuk fel a ensze enegiáját: L = 1 2 mṙ2 + l2 V(). (10) 2m2 E = 1 2 mṙ2 + l2 +V(). (11) 2m2 Fejezzük ki a sebességet az enegiából: ( ( )) t = 2 E V()+ l2 m 2m 2 (12) Szeetnénk meghatáozni a tömegpont (ϕ) pályáját. Ehhez fejezzük ki az iő szeinti eiváltját: t = l ϕ = ϕ ϕ m 2 (13) és helyettesítsük be az előző egyenletbe ( ( )) l ϕm 2 = 2 E V()+ l2 m 2m 2. (14) 2
l 2 2m ( E ( V()+ l2 2m 2 )) Innen integálással kaphatjuk meg a ϕ() függvényt. a ϕ() = 0 = ϕ (15) l 2 2m ( E ( )) (16) V()+ l2 2m 2 Most téjünk vissza az enegia 11 számú képletéhez. Ebből nyilvánvaló, hogy ) E (V()+ l2 2m 2 0 (17) kifejezésnek pozitívnak vagy nullának kell lennie. A záójelben lévő tagot effektív potenciálnak nevezzük. Tekintsük pélaként a V = α potenciált és ábázoljuk az effektív potenciált a távolság függvényében: 10 8 6 V eff 4 2 E 2 0 E 1-2 0 0.5 1 1.5 2 min min max Ha az enegia, amelyet a kezeti feltételek hatoznak meg, E 1, akko az előző feltétel csak akko teljesül, ha a centumtól mét távolság min és max között változik: min max. Ha az enegia pozitív, E 2, akko csak egy alsó kolát létezik a távolsága. 3
max min Tehát ha E < 0 (E 1 ), akko a mozgás az ábán satíozott teülete kolátozóik, míg E 0 (E 2 ) esetében csak egy alsó kolát létezik, amelynél közelebb a centumhoz nem keülhet a tömegpont mozgás közben. A 16 számú integállal kaphatjuk meg a szöget a távolság függvényében. Ha az integált min és max között végezzük el 2n-sze, akko visszajutunk a kissebik sugaú köe, nem feltétlenül a kiinulási pontba. Csak akko keülünk vissza a kező pontba, ha az integál étéke 2π egésszámú többszööse lesz: max 2n min l 2 2m ( E ( V()+ l2 2m 2 )) = 2mπ. (18) Ilyen tulajonságú potenciál a V = α és V = β2. A bolygómozgás az első kategóiába esik, a tömegvonzás potenciálja 1/-el aányos. Ebben az esetben, amint azt a továbbiakban megmutatjuk, a zát pálya egy elipszis lesz. 2. Bolygómozgás A bolygómozgás esetén a centumban a nagy tömegű nap helyezkeik el, amely köül keing a bolygó vonzó potenciálban, amely foítottan aányos a centumtól mét távolsággal: V() = α. (19) A 16 számú egyenletet integálása helyett megmutatjuk, hogy ilyen potenciál esetén létezik még egy megmaaó mennyiség, amelyet Runge-Lenz vektonak hívunk: A = p L mα. (20) A továbbiakban megmutatjuk, hogy a Runge-Lenz vekto iő szeinti eiváltja eltünik. Előszó hatáozzuk meg a p L vekto iő szeinti eiváltját. A lvezetéshez használjuk fel a Newton egyenletet: F = ṗ, ahol az eőt a potenciális enegia negatív gaienséből kaphatjuk meg. A mi esetünkben: ṗ = F = V = Használjuk ki, hogy a peület mozgásállanó, tehát L = 0. α 2 (21) t (p L) = ṗ L = α 2 L (22) 4
Használjuk fel a peület efinícióját: L = m ṙ: t (p L) = α ( 2 (m ṙ) = mα (ṙ) ṙ 2 ) 3 (23) Az előző egyenletből vizsgáljuk meg a ṙ tagot: A fenti azonosságot kihasználva : ṙ = 1 2t () = 1 2t 2 = ṙ. (24) (p L) = mα t ṙ ) 2 (ṙ = mα (, (25) t ) vagyis a Runge-Lenz vekto iő szeintei eiváltja nyilvánvalóan eltünik: ( p L mα ) = 0. (26) t Tehát a bolygómozgás esetén van egy új mozgásállanónk, amely nem nyilvánvaló a Lagange függvény szimetiájából. Ehhez a mennyiséghez is tatozik egy szimmetia csopot, az O(4), a négyimenziós Eukliészi té fogatásaiból álló csopot, amellyel szemben a ensze invaiáns. A pálya megszekesztéséhez használjuk fel az új megmaaó mennyiségünket: A = (p L) mα = Acos(ϕ) (27) ahol ϕ a Runge-Lenz vekto és a helyveto által bezát szög. Használjuk ki a hámas szozat pemutációs tulajonságait: vagyis Az (ϕ) pályát egyszeűen kifejezhetjük: (p L) = ( p)l = L 2, (28) L 2 mα = Acos(ϕ). (29) = L 2 /mα. (30) cos(ϕ) 1+ A mα A fenti egyenletben áismehetünk egy kúpszelet egyenletée. 5