Végslm analízis óravázlat Készíttt: Dr Pr Balázs Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék 3 fbruár 7
Copyright Dr Pr Balázs Mindn jog fnntartva Ez a dokumntum szabadon másolható és trjsztht Módosítása és krskdlmi forgalomba krülés csak a szrz írásbli ngdélyévl lhtségs -mail: prbalazs@szhu
Tartalomjgyzék Rugalmasságtani alapok 5 Dformálható tst kinmatikája 5 Az lmozdulások lírása 5 Az alakváltozások lírása 6 3 Kompatibilitási gynlt Fszültségi állapot 3 Tst gynsúlya 3 Bls r k Cauchy-hipotézis 4 3 Fszültség tnzor 5 4 Egynsúlyi gynltk 7 3 Anyaggynlt 9 3 Hook-törvény 9 4 A rugalmasságtani fladat kit zés 4 Skaláris gynltk 4 Ismrtln függvényk 43 Prmfltétlk A rugalmasságtani fladat közlít mgoldása Alapfogalmak Kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Statikailag lhtségs fszültségmz 3 3 Virtuális lmozdulásmz 3 4 Az lmozdulásmz variációja 4 A rugalmasságtan nrgia lvi 4 A virtuális munka lv 4 Virtuális lmozdulás lv 7 3 Potnciális nrgia minimuma lv 8 4 agrang-fél variációs lv 3 3 A Ritz-módszr 34 3 Elmozdulásmz n alapuló végslm módszr flépítés 4 3 Végslm csomópontjainak lokális sorszámozása 4 3 ináris közlít függvényk 4 3 Négy csomópontú lm 4 3 Nyolc csomópontú lm 4 33 Az lmozdulásmz közlítés gy végslmn 43 34 Az alakváltozások közlítés gy végslmn 44 35 A fszültségmz közlítés gy végslmn 47 36 Az alakváltozási nrgia közlítés gy végslmn 48 37 Küls r k munkájának közlítés gy végslmn 5 37 Flülti r k munkája 5 37 Térfogati r k munkája 5 373 Küls r k munkája 5 38 Egy végslm potnciális nrgiája 5 39 Csomópontok globális sorszámozása 5 3
3 A tljs szrkzt csomóponti lmozdulásvktora 53 3 A tljs szrkzt mrvségi mátrixa és thrvktora 53 3 Kinmatikai prmfltétlk gylmbvétl 56 3 Mgfogások 56 3 Kinmatikai trhlés 58 33 A csomóponti lmozdulásvktor mghatározása 59 4 Kigészítésk: numrikus intgrálás 59 4 Numrikus intgrálás, Gauss-kvadratúra 59 5 Mchanikai modllk a végslm módszrbn 59 5 Spciális trhlésk 59 5 Rugalmas ágyazás 59 5 H mérséklt-változásból származó trhlés 59 5 Rúdszrkztk 59 5 Brnoulli-fél rúdlmélt 59 5 Elmozdulás állapot 6 53 Alakváltozás állapot 6 54 Fszültségi állapot 6 55 Anyagtörvény 6 56 Húzott-nyomott hajlított-nyírt és csavart rúd-végslm 6 57 Csomóponti lmozdulás vktor 63 58 Alakfüggvényk mghatározása 63 59 Egy végslm alakváltozási nrgiája 66 5 Küls r k munkája gy végslmn 69 5 Végslmk összkapcsolása 76 5 A tljs szrkzt potnciális nrgiája 76 53 A rugalmasságtan D-s fladatai 79 53 Sík alakváltozás fladat 79 53 Általánosított síkfszültség fladat 79 533 Tnglyszimmtrikus fladat 79 4
Rugalmasságtani alapok Dformálható tst kinmatikája Az lmozdulások lírása A kinmatika a tstk mozgását, alakváltozását írja l, és nm krsi a mozgást vagy alakváltozást létrhozó okokat Olyan alapvt kinmatikai összfüggéskt próbálunk mgfogalmazni a matmatika szközivl, amlyk alkalmazásánál tljsn lénygtln a vizsgált tst mért és alakja Tkintsünk gy ttsz lgs flültkkl határolt tstt, amly a kzdti hlyztéhz képst lmozdult, alakja mgváltozott lásd ábra Az ábrán az alábbi jlöléskt használtuk: kzdti hlyzt χ r pillanatnyi hlyzt Q u Q r r z x O y ábra Tst pontjainak lmozdulása r a dformálatlan tst pontjaiba mutató vktor r a dformált tst pontjaiba mutató vktor r x x + y y + z z r x x + ỹ y + z z ahol x x x, y, z ỹ ỹ x, y, z z z x, y, z 5
u lmozdulás vktor, a dformálatlan tst gy anyagi pontjából Q a dformált tst ugyanazon anyagi pontjába Q mutató vktor ahol u r r x x x + ỹ y y + z z z u x + v y + w z u u x, y, z v v x, y, z w w x, y, z χ r gy vktor-vktor függvény, amly mgadja a dformálatlan tst pontjainak lképzését a dformált tst pontjaira Ez a függvény nm fltétlnül lináris! χ r χ x, y, z r Mgjgyzés: a vktor-vktor függvény gy vktort gy másik vktorra képz l Az alakváltozások lírása χ r P Q r u + u u Q P r r r z x O y Az alakváltozás értlmzés ábra A tst alakváltozása r A dformálatlan tstn értlmztt vktor, a Q pontból a Q pont lmi környztébn lév P pontba mutató vktor r A dformált tstn értlmztt vktor, a Q pontból a Q pont lmi környztébn lév P pontba mutató vktor, ahol a Q és Q valamint a P és P ugyanannak az anyagi pontnak a hlyét jlöli a dformálatlan és dformált tstkn Például: χ r P r P 6
vagy ugyan z másként χ r Q + r r Q + r Kérdés: Mkkora a u, ha r és r ttsz lgs? Az ábrából lolvasható, hogy Sorfjtés a lináris tagokig bzárólag r + r + u + u r + r r + r + u + u χ r + [ χ r + r χ r] r r r + r + u χ r r r }{{ + u } + r + u χ r + r r + χ x χ χ x + y + y z z + A továbbiakban fltétlzzük, hogy az alakváltozást lgnd lsz a lináris tagokig bzárólag lírni Ez azt jlnti, hogy az gymástól távolabb lév pontok alakváltozása nm bfolyásolja gymást Emiatt a közlít lg gynl jlt lhagyva gyszr n csak gynl ségt írunk r + u χ χ χ x + y + x y z z fladat Bizonyítsuk b, hogy χ x x x x + χ x x x x + χ y y y y + χ z z z z χ x x x x + χ y y y y + χ z z z z χ χ χ x x x x + y y y y + z z z z χ x x + χ y y + χ z z χ χ y y y y + z z z z x x + y y + z z χ r + u x x + χ y y + χ z z x x + y y + z z χ x x + y y + z z x x + y y + z z χ r r 7
ahol a χ a χ vktormz gradins Mivl χ r r r + u r r r r r r r + u r r r + u r r r r I r + u r r r + u r r azaz r + u r + u r r Az gyszr sítés után marad a u u r r dníció Az lmozdulás függvény gradinsét driválttnzornak nvzzük u r u D D u x x + u y y + u z z u u u [ ] x y z D v v v xyz x w x y w y z w z Az D flbontása szimmtrikus és frdén szimmtrikus részr D D + D T + D D T } {{}} {{} A Ψ tétl bizonyítás nélkül Ha u, v, w, azaz az lmozdulások nagyon kicsik, akkor az A jó közlítéssl az alakváltozást írja l, a Ψ pdig a tngly körüli szöglfordulást A az alakváltozási tnzor, Ψ a forgató tnzor A driválttnzor szmlélttés u D r A r + Ψ r A r hlyér írjuk b a Q pont lmi környztébn lév x, y és z gymásra páronként mr lgs gységvktorokat lásd 3 ábra u x A x + Ψ x α x + β x Egy v vktormz gradinsér szokásos jlölésk még a grad v v v r 8
u y A y + Ψ y α y + β y u z A z + Ψ z α z + β z A u x, u y és u z vktorok az x, y és z gységvktorok végpontjainak lmozdulását jlntik α z βz u z z β x y α y Q u x u y β y x α x 3 ábra Driválttnzor szmlélttés: gységvktorok végpontjainak lmozdulása A forgás szmlélttés A mrv tst szr lfordulás nm bfolyásolja sm a tstn blül ébrd bls r kt lásd a 9 Hook-törvényt, sm a tst alakváltozási nrgiáját lásd 3 tétl Szmléltssük a tngly körüli forgást ψ y β z ψ x ϕ x ϕ y z ϕ y Q ψ y β x ψ x βy ψ z ϕ z x ϕ x ϕ z y ψ z 4 ábra Forgás szmlélttés Egy Q pontból induló ttsz lgs n irányú gységvktor végpontjának lmozdulása a forgásból adódóan β n Ψ n, 9
ahol [ ] Ψ xyz v Könnyn blátható, hogy u x y w u x z u v y x u w z x v w z y w v y z β n Ψ n ψ n ψ z ψ y ψ z ψ x ψ y ψ x Amnnyibn a kzdti xyz és a tst gy anyagi pontjának lmi környztévl gyütt forgó x y z koordináta-rndszrk tnglyi csak kicsit térnk l gymástól, azaz ψ x w y v z ψ y u z w x ψ z v x u y akkor ψ x sin ϕ x ϕ x ψ y sin ϕ y ϕ y vagyis ψ z sin ϕ z ϕ z β n ϕ n ahol ϕ ϕ x x + ϕ y y + ϕ z z a mrvtst szr lfordulást líró vktor A ϕ abszolút érték a szöglfordulás nagyságát adja mg ϕ ϕ Az alakváltozások szmlélttés [ ] A xyz v A továbbiakban csak az alakváltozásokkal foglalkozunk u + v u + w y x z x u x + u x y w + u x z w v y + v y z v + w z y w z vagy tömörbbn A u + u Ezt az gynltt szokás kinmatikai vagy gomtriai gynltnk is nvzni Ez az gynlt trmt kapcsolatot az lmozdulások és az alakváltozások között Szmléltssük az alakváltozásokat
ε y α z γ xz γ yz z α x γ zx x Q y γ xz α y γ zy γ yx ε x ε y 5 ábra Alakváltozás szmlélttés Ha a kzdtbn gységnyi hosszúságú szakaszok hossza csak kis mértékbn változik mg és a koordináta-tnglyk kzdtbn kilncvn fokos szög csak kis mértékbn csökkn vagy növkszik, azaz és u y + v x u x v y v z + w y w z w x + u z akkor a fajlagos nyúlások az ε x u x ε y v y ε z w z összfüggéskkl, a szögtorzulások pdig a γ xy u γ yx arc tg y + v u x y + v x γ yz v γ zy arc tg z + w v y z + w y γ zx w γ xz arc tg x + u w z x + u z összfüggéskkl kaphatók [ ] ε x γ xy A γ yx ε y xyz γ zx γ zy ε z γ xz γ yz
Mivl az általunk vizsgált stkbn mindig kis alakváltozások fognak l fordulni, a közlít lg gynl jl hlytt az gynl ség jlt használjuk [ ] ε x γ xy γ xz A γ yx ε y γ yz xyz γ zx γ zy ε z fladat Ismrjük gy tst pontjainak lmozdulását líró χ r függvényt ahol γ gy skalár paramétr χ r x + γy x + y y + z z Szmléltss az lmozdulást gy gységnyi oldalú kockán Rajzolja mg a dformálatlan és dformált kockát l l-, oldalt- és flülnéztbn Sgítség: lgyn a kocka gyik csúcsa a koordinátarndszr origója, három bb l a csúcsból induló él pdig lgyn a koordinátarndszr három tngly Határozza mg az alakváltozási tnzort és írja fl az xyz koordinátarndszrbn a tnzor mátrixát Milyn összfüggés található a γ paramétr és a szögtorzulások között? 3 Határozza mg a forgató tnzort és írja fl az xyz koordinátarndszrbn a tnzor mátrixát Milyn összfüggés található a γ paramétr és a mrv tst szr lmozdulást líró ϕ szög között? 3 Kompatibilitási gynlt Szorozzuk mg a kinmatikai gynltt jobbról és balról is vktoriálisan a nabla oprátorral Az A u + u u + }{{ } u A gynltt kompatibilitási gynltnk nvzzük Az alakváltozási mz kompatibilis, ha tljsíti a kompatibilitási gynltt Az kinmatikai gynlttl l állított alakváltozási mz mindig kompatibilis, azaz a kompatibilitási fltétl automatikusan tljsül Mgjgyzés: Az uklidszi trt az jllmzi, hogy bnn gy tst párhuzamos ltolása transzláció függtln az útvonaltól Ha nm-uklidszi térbn próbálnánk az alakváltozásokból visszaállítani az lmozdulásokat, nm kapnánk gyértlm rdményt Ezért nm ngdjük mg, hogy a tér, amlybn az lmozdulásokat és alakváltozásokat lírjuk nm-uklidszi lgyn Ezt a fltétlt a kompatibilitási gynlttl tudjuk biztosítani
Fszültségi állapot Tst gynsúlya Er k gynsúlya Nyugalom stén a tstr ható r k gynsúlyban vannak, azaz rd jük nulla F A tstr ható r kt két csoportra lht osztani lásd: 6 ábra Az gyik csoportba azok az r k A V dv da n p r f r 6 ábra Tst flülti és térfogati trhlés tartoznak, amlyk a tstr a flültén krsztül hatnak Ezk a koncntrált, vonal mntén és flültn mgoszló trhlésk Mivl a valóságban a pontszr és vonal mntén mgoszló trhlésk mindig a pont és a vonal kis környztébn fllép flültn mgoszló trhlésk mchanikai modllji rd i, mondhatjuk hogy a tst flültér ható r k mind flült mntén mgoszló r t jlntnk F A p r da A ahol p r az r hlyvktorú gységnyi flültr jutó trhlés flült mntén mgoszló trhlés intnzitása, A a tst flült A másik csoportot a térfogati trhlésk jlntik, amikor az r nm a tst flültén, hanm közvtlnül a tst blsjébn hat F V f r dv V ahol f r az r hlyvktorú gységnyi térfogatra jutó trhlés térfogaton mgoszló trhlés intnzitása, V a tst térfogata Ilyn például a gravitációs r, vagy a thttlnségi r k Az gynsúlyt matmatikailag a F F A + F V pda + fdv 3 képlttl tudjuk lírni, amit tkinthtünk az gynsúlyi gynlt intgrál alakjának is A V 3
Nyomatékok gynsúlya Ha gy tst gynsúlyban van, akkor a tstr ható r knk a tér gy ttsz lgs P pontjára flírt nyomatéka nulla Az gyszr ség kdvéért lgyn most a ttsz lgs pont az O origó M O r pda + r fdv 4 A V Ezt tkinthtjük úgy mint a nyomatékok gynsúlyának intgrális alakja Bls r k Cauchy-hipotézis Egy tstt, amlyr küls r k hatnak, képzltbn vágjunk ktté gy ttsz lgs n normálisú, P anyagi ponton átmn síkkal lásd 7 ábra Vizsgáljuk mg a kttévágás után kapott két rész gynsúlyát Blátható, hogy az lmtsztt flültn fllép r k nagysága és iránya függ az lmtsztt flült normálisától Ha az gész tst gynsúlyban volt, akkor az gys részi is ρ n da P n n ρ n da P 7 ábra gynsúlyban vannak, azaz az gész tstr ható r k és az gys részkr ható r k összg különkülön is nulla Ebb l kövtkzik, hogy az lmtsztt flültn az gyik és a másik tstr ható r k összg nulla ρ r, n da + ρ r, n da 5 A s A s ahol a ρ r, n vagy gyszr bb jlöléssl ρ n r az gységnyi flültn fllép bls r t jlnti Mivl az gys részk gynsúlyban vannak, azaz a tstkt alkotó összs anyagi pont is gynsúlyban 4
van, az 5 összfüggésnk mindn gys, az A s flültn lév anyagi pontra is tljsülni kll ρ r, n + ρ r, n da ρ r, n ρ r, n A s 3 Fszültség tnzor Most nézzük mg, hogy gy tst gy lmi térfogatának gynsúlya milyn fltétlkkl tljsül Továbbra is mondhatjuk, hogyha gy tst gynsúlyban van, akkor az t alkotó lmi térfogatok is külön-külön gynsúlyban vannak Mtszünk ki a tstb l gy lmi térfogatot úgy, hogy az lmi térfogat flülténk gy rész lgyn a tst küls flült A számítások lvégzéséhz célszr úgy mgválasztani az lmi térfogatot, hogy az ttraédr alakú lgyn 8 ábra Írjuk fl az lmi A V n p r da 8 ábra térfogatra ható küls és bls r k gynsúlyát lásd 9 ábra z ρ x ρ y h dv n p n y da ρ z x 9 ábra p da + ρ x da x + ρ y da y + ρ z da z + f dv p da ρ x da x ρ y da y ρ z da z + f dv 5
Az gyszr ség kdvéért használjuk a kövtkz jlöléskt: ρ x : ρ x ρ y : ρ y ρ z : ρ z p da ρ x n x da ρ y n y da ρ z n z da + f dv da x da y da z p da ρ x x n da ρ y y n da ρ z z n da + f dv da x da y da z p da ρ x x nda ρ y y nda ρ z z nda + f dv p da ρ x x + ρ y y + ρ z z nda + f dv A dv lmi térfogatot ki tudjuk fjzni a da lmi flült és a ttraédr h magasságának a sgítségévl Ezzl az lmi térfogat gynsúlya így írható dv da h 3 p da ρ x x + ρ y y + ρ z z nda + f h 3 da Osszuk l mindkét oldalt a da lmi flülttl da p ρ x x + ρ y y + ρ z z n + f h 3 Tartsunk a ttraédr h magasságával nullához: h Ami marad: ahol F a fszültségi tnzor vagy p ρ x x + ρ y y + ρ z z n F F ρ x x + ρ y y + ρ z z F r ρ x r x + ρ y r y + ρ z r z vagyis a fszültségi tnzor a hly függvény Az lmi da flültr ható trhlés így kifjzht a fszültségi tnzorral p r F r n 6 Fszültségtnzor szmlélttés gységvktorokkal Szorozzuk mg az F fszültségtnzort rndr az x, y és z 6
4 Egynsúlyi gynltk Térjünk vissza ismét az r k gynsúlyának 3 intgrál alakjához pda + fdv A V Hlyttsítsük b bb a fszültségi tnzorra kapott 6 összfüggést F nda + fdv A V Alkalmazzuk az ls tagra a Gauss-tétlt F dv + fdv F + f dv V V V Mivl az intgrálási tartomány ttsz lgs, az intgrál csak akkor lht nulla, ha a zárójls kifjzés mindig nullával gynl F + f 7 Ezt nvzzük az r kr vonatkozó gynsúlyi gynltnk F + f ρ x x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z + f x x + f y y + f z z ρ x x + ρ y y + ρ z z + f x x + f y y + f z z σx x x + τ yx x y + τ zx x z τxz + z x + τ yz z y + σ z Ez gynérték a σx x + τ xy y + τ xz + + τxy y x + σ y y y + τ zy y z z z + f x x + f y y + f z z z + f τyx x x + x + σ y y + τ yz z + f y τzx x + τ zy y + σ z z + f z z σ x x + τ xy y + τ xz z + f x τ yx x + σ y y + τ yz z + f y + y + skalár gynltrndszrrl τ zx x + τ zy y + σ z z + f z 7
Most vizsgáljuk mg a nyomatékok 4 gynsúlyát r pda + r fdv A V Szintén hlyttsítsük b a 6 összfüggést r F nda + r fdv A V és alkalmazzuk a Gauss-tétlt r F dv + r fdv r F + r f dv V V V Mivl az intgrálási tartomány ttsz lgs, az intgrál csak akkor lht nulla, ha a zárójls kifjzés mindig nullával gynl r F + r f Alakítsul át az ls tagot a szorzat driválási szabályának flhasználásával r F + r F + r f Emljük ki az r vktorral történ vktoriális szorzást F r F + r + f A zárójls kifjzés a 7 gynltnk mgfll n nulla Alakítsuk tovább a maradék gynltt r F x x + y y + z z ρ x x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z vagyis x ρ x x x + y ρ x y y + z ρ x z z x ρ x + y ρ x + z ρ x x σ x x + τ yx y + τ zx z + y τ xy x + σ y y + τ zy z + z τ xz x + τ yz y + σ z z τ yx z τ zx y + τ xy z + τ zy x + τ xz y τ yz x τ zy τ yz x + τ xz τ zx y + τ yx τ xy z τ zy τ yz τ xz τ zx τ yx τ xy Ez gybn azt is jlnti, hogy a fszültségi tnzor szimmtrikus A nyomatékok gynsúlyának dirnciális alakját zk alapján az F F T 8 gynl séggl fjzhtjük ki 8
3 Anyaggynlt 3 Hook-törvény Az anyaggynlt a szilárd tst küls bhatásokkal szmbni vislkdését írja l Itt csak mchanikai hatásokat tárgyaljuk gyn olyan az anyaggynlt, hogy: a vizsgált tst vislkdés lgyn izotrop, az anyagtörvény csak kis alakváltozások mlltt adja mg kll pontossággal a tstbn kltkztt fszültségkt, az alakváltozások és bls r k fszültségk között a kapcsolatot írja l lináris függvény A fnti tulajdonságokat a Hook-fél anyagtörvény tljsíti tétl bizonyítás nélkül Ha gy anyag izotop tulajdonságú, csak kis alakváltozásoknak van kitév ε és γ és a kltkztt fszültség arányos az alakváltozással, akkor az alakváltozási tnzor és a fszültségi tnzor kapcsolatát a F E + ν A + ν ν A II un Hook-törvény adja mg, ahol E az anyag rugalmassági- vagy Young-modulusza, ν a Poissontényz, A I az alakváltozási tnzor ls skalárinvariánsa, I pdig az gységtnzor Írjuk fl a Hook-törvényt drékszög Dscarts-fél koordinátarndszrbn σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz E ε x γ xy γ xz + ν γ yx ε y γ yz + ν τ zx τ xy σ z γ zx γ ν ε x + ε y + ε z zy ε z Ha a vizsgált tst gynsúlyban van, akkor a fszültségi tnzor 8 miatt csak 6 db függtln skalár koordinátát jlnt σ x E ε x + ν + ν ν ε x + ε y + ε z σ y σ z E + ν E + ν ε y + ε z + τ xy τ yz τ zx ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z E + ν γ xy E + ν γ yz E + ν γ zx 9 9
4 A rugalmasságtani fladat kit zés A rugalmasságtani prmérték fladat kit zéséhz az alábbi gynltkr van szükség: Kinmatikai gynlt Egynsúlyi gynltk A u + u F + f Anyaggynlt Hook-törvény 4 Skaláris gynltk F Nézzük mg a fnti gynltk skalár koordinátáit F F T E A + ν + ν ν A II Kinmatikai gynltk Egynsúlyi gynltk ε x u x ε y v y ε z w z γ xy u y + v x γ yz v z + w y γ zx w x + u z σ x x + τ xy y + τ xz z + f x τ yx x + σ y y + τ yz z + f y τ zx x + τ zy y + σ z z + f z
Anyagtörvény σ x σ y σ z Összsn 5 db skalár gynlt 4 Ismrtln függvényk Elmozdulás koordináták E ε x + + ν E + ν E + ν ε y + ε z + τ xy τ yz τ zx ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z ν ν ε x + ε y + ε z E + ν γ xy E + ν γ yz E + ν γ zx u x, y, z, v x, y, z, w x, y, z, fajlagos nyúlások szögtorzulások normálfszültségk csúsztató fszültségk ε x x, y, z, ε y x, y, z, ε z x, y, z, γ xy x, y, z, γ yz x, y, z, γ zx x, y, z, σ x x, y, z, σ y x, y, z, σ z x, y, z, Összsn 5 db skalás fügvény 43 Prmfltétlk τ xy x, y, z, τ yz x, y, z, τ zx x, y, z Osszuk fl a vizsgált tst flültét két részr lásd ábra Az gyik flültn A u lgyn adott az lmozdulás, míg a másik flültn A p lgyn ismrt a trhlés A két flültr történ flosztás lgyn olyan, hogy A u A p A és A u A p A prmfltétlkt a flosztásnak mgfll n tudjuk l írni: Kinmatikai prmfltétl Dinamikai prmfltétl u r u r F r n p r r A u r A p
A p A u n ábra Prmfltétlk A rugalmasságtani fladat közlít mgoldása Alapfogalmak Kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz dníció Egy lmozdulásmz t kinmatikailag lhtségsnk nvzünk, ha folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható a hly szrint a tst V térfogatán, kilégíti a kinmatikai prmfltétlkt a tst A u flültén Jl: u u r u x, y, z Kinmatikailag lhtségs alakváltozás: Prmfltétlk: Kinmatikailag lhtségs fszültségmz : F A u + u u u E + ν A + r A u ν ν A II A kinmatikailag lhtségs fszültségmz az gynsúlyi gynltkt és a dinamikai prmfltétlt általában nm légíti ki A V térfogaton általában: és az A p flültn általában: F + f F n p Ha az gynsúlyi gynltk és a dinamikai prmfltétl is kilégülnk, akkor az u a ténylgs mgoldás u u Egy prmérték fladatnál végtln sok kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz állítható l, azonban zk közül csak gy van, amly a prmérték fladat ténylgs mgoldását adja
Statikailag lhtségs fszültségmz 3 dníció Egy fszültségmz t statikailag lhtségsnk nvzünk, ha kilégíti az gynsúlyi gynltkt a tst V térfogatán kilégíti a dinamikai prmfltétlkt a tst A p flültén Jl: F F r F x, y, z Prmfltétlk: Az gynsúlyi gynlt: F n p F + q Statikailag lhtségs alakváltozási mz : Ā + ν E F ν + ν F I I A statikailag lhtségs alakváltozási mz és a bl l számítható statikailag lhtségs lmozdulásmz a kompatibilitási gynltkt és a kinmatikai prmfltétlkt általában nm légíti ki Ā és u u Ha a kompatibilitási gynlt és a kinmatikai prmfltétlk is tljsülnk, akkor F x, y, z F x, y, z a fladat ténylgs mgoldása Egy prmérték fladatnál végtln sok statikailag lhtségs fszültségmz állítható l Ezk közül csak gy van, amly a prmérték fladatnak a ténylgs mgoldása 3 Virtuális lmozdulásmz 4 dníció gyn u és u két kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Virtuális lmozdulásmz nk nvzzük a δ u : u u különbséggl dniált függvényt A dnícióból kövtkz n a virtuális lmozdulásmz az alábbi tulajdonságokkal rndlkzik folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható, a kinmatikai prmn az érték nulla 3
4 Az lmozdulásmz variációja 5 dníció gyn u a rugalmasságtani fladat gzakt mgoldása és u gy kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz Az lmozdulásmz variációjának nvzzük a különbséggl dniált függvényt δ u : u u A dnícióból kövtkz n az lmozdulásmz variációja az alábbi tulajdonságokkal rndlkzik folytonos függvény, lgnd n sokszor driválható, a kinmatikai prmn az érték nulla A rugalmasságtan nrgia lvi A virtuális munka lv Az F statikailag lhtségs fszültségmz a dníciójából adódóan kilégíti az gynsúlyi gyn- A u A p n ábra A rugalmas tst prmfltétli: mgfogások és trhlésk ltt: F + f Szorozzuk mg zt az gynltt az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz vl, majd intgráljuk a tst V térfogatán u F + u f dv V ahol lflé mutató nyíllal jlöltük, hogy a nabla oprátor mlyik tagra hat A szorzat driválási szabályának flhasználásával, azaz hogy u F u F + u F 4
a fnti intgrál átalakítható u F u F + u f dv V Végzzük l a középs tagon a driválást u F u ρx x + ρ y y + ρ z z x x + y y + z z u x ρx x + ρ y y + ρ z z x + u y ρx x + ρ y y + ρ z z y + + u z ρx x + ρ y y + ρ z z z u x ρ x + u y ρ y + u z ρ z Az utolsó sor gyszr bb flírása érdkébn gy új szorzás m vltt dniálunk 6 dníció Tnzorok kétszrs skaláris szorzásán a kövtkz m vltt értjük : Kövtkzmény A B : tr A T B B A tr B T A tr A T B A B Kövtkzmény A B tr A T B tr A B T A T B T Kövtkzmény a b c d tr b a c d tr b a c d a c tr b d a c b d Kövtkzmény Ha [ ] a a a 3 A a a a 3 a 3 a 3 a 33 és [ ] b b b 3 B b b b 3 b 3 b 3 b 33 akkor [ ] A B tr AT B a b + a b + a 3 b 3 a b + a b + a 3 b 3 a b 3 + a b 3 + a 3 b 33 tr a b + a b + a 3 b 3 a b + a b + a 3 b 3 a b 3 + a b 3 + a 3 b 33 a 3 b + a 3 b + a 33 b 3 a 3 b + a 3 b + a 33 b 3 a 3 b 3 + a 3 b 3 + a 33 b 33 A tr trac tnzorokon értlmztt függvény a tnzor f átlójában lév lmink összgét adja mg Például tr A A I 5
a b + a b + a 3 b 3 + a b + a b + a 3 b 3 + a 3 b 3 + a 3 b 3 + a 33 b 33 vagyis a két mátrix azonos hlyin lév lmit összszorozzuk, és a szorzatokat összadjuk Ez a számítási módszr hasonló a vktorok skaláris szorzásánál használt ljáráshoz 3 Ezk alapján írhatjuk, hogy u x ρ x + u y ρ y + u z ρ z u x ρ u x x x + y ρ u y y y + z ρ z z z u x ρ u x x x + y ρ u y y y + z ρ z z z + u + x ρ u y x y + y ρ u z y z + z ρ x z x + u + y ρ u x y x + z ρ u y z y + x ρ z x z u x x + u y y + u z z ρx x + ρ y y + ρ z z D F F D Az D kinmatikailag lhtségs driválttnzor flbontható gy szimmtrikus és gy frdén szimmtrikus részr D A + Ψ Ezt flhasználva kapjuk, hogy F D F A + Ψ F A + F Ψ A második tagban használjuk ki hogy F szimmtrikus, Ψ pdig frdén szimmtrikus F Ψ F T Ψ T F Ψ Ha gy skalár szám gynl saját maga mínusz gyszrsévl, akkor z a skalár szám a nulla, vagyis F Ψ Ezk alapján F D F A Visszatérv a virtuális munka lvéhz írhatjuk, hogy V u F F A + u f dv 3 Szokásos a vktorok közötti gyszrs skaláris szorzást és a tnzorok mátrixok közötti kétszrs skaláris szorzást bls szorzat-nak is nvzni 6
Bontsuk fl a zárójlt u F dv F A dv + u fdv V V Alkalmazzuk az ls tagra a Gauss-tétlt u F n da V F A dv + u fdv A V Ez a virtuális munka lvénk általános alakja Azért virtuális munka lv, mrt nm gy valódi lmozduláson végztt munkát ad mg Alkalmazzuk a virtuális munka lvét a rugalmasságtani prmérték fladatra A vizsgált tst flült két részb l áll: az A u flültn az lmozdulás adott, az A p flültn pdig a trhlés Ennk mgfll n bontsuk két részr a flülti intgrált F A dv u F n da u p da u fdv V V A u A p V Virtuális lmozdulás lv Az l z kbn lvzttt virtuális munka lvét írjuk fl két különböz kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r F A dv u F n da u p da u fdv V A u F A dv u F n da A p V u p da u fdv V A u majd vonjuk ki kt gymásból F A A dv A p u u p da V u u fdv ahol V a virtuális lmozdulásmz, A p u u δ u V A A u + u u + u u u + u u δ u + δ u δa pdig a virtuális alakváltozás Így a virtuális lmozdulás lv a kövtkz alakú lsz F δadv δ u p da δ u fdv V A p Ezt szokás a fladat gyng alakjának is nvzni 4 V 4 A 4 fjztbn flírt parciális dirnciál-gynltrndszr pdig az r s alak A gyng alakban csak azt kövtljük mg, hogy az gynlt intgrál értlmbn tljsüljön 7
3 Potnciális nrgia minimuma lv 7 dníció Egy tst potnciális nrgiáján értjük az alakváltozási nrgiájának és a küls r k munkájának a különbségét Π p : U W k ahol U az alakváltozási nrgia, W k a küls r k munkája 3 tétl bizonyítás nélkül Ha gy V térfogatú tstbn csak kis alakváltozások lépnk fl, és tst anyaga linárisan rugalmas, akkor az alakváltozási nrgia az U F AdV V összfüggéssl számítható, ahol F a fszültségi tnzor, A pdig az alakváltozási tnzor 4 tétl Ha gy V térfogatú tstbn csak kis lmozdulások lépnk fl, akkor a tstn a küls r k által végztt munka az alábbi módon számítható W k u p da + u f dv A p V ahol p az A p flült pontjaiban az gységnyi flültr jutó trhlés, f a V térfogaton blül az gységnyi térfogatra jutó trhlés, u az anyagi pont lmozdulása Vagyis Π p Π p [ u r] F AdV u p da u f dv V Vgyük észr, hogy a potnciális nrgia gy másik függvénynk, az u r lmozdulás függvénynk a függvény, értékkészlt pdig a valós számok halmaza Az olyan függvénykt, amlyk változója gy másik függvény, értékük pdig gy skalár szám, funkcionál nak nvzzük A funkcionálok matmatikai vizsgálatával a funkcionál analízis foglalkozik 5 tétl Az összs kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t vizsgálva a ténylgs mgoldás stébn a tljs potnciális nrgiának minimuma van A p Π p [ u ] Π p [ u] Bizonyítás Induljunk ki az virtuális lmozdulásmz dníciójából δ u u u u u + δ u Mivl a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz k szabadon mgválaszthatók, lgyn az u az gzakt mgoldás és az u gy ttsz lgs kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz u u és u u 8 V
u u + δ u Az így kapott δ u virtuális lmozdulásmz mggyzik az lmozdulásmz variációjával Az gyzést a kés bbikbn fl fogjuk használni Számítsuk ki a kinmatikailag lhtségs alakváltozási tnzort A u + u u + δ u + u + δ u u + u + δ u + δ u A + δa A δa δ u + δ u tagot az alakváltozási tnzor variációjának nvzzük Határozzuk mg a kinmatikailag lhtségs fszültség tnzort a Hook-törvény sgítségévl F E A + ν + ν ν A II E [ A + ν A I ] I + ν ν E [ A + δa + ν ] A + δa I I + ν ν E [ A + + ν E + ν [ A + ν ] A I I + E ν + ν ν ] ν A II + E + ν [ δa + [ δa + ν ] δa I I ν ] ν ν δa II F + δf δa + ν ν δa II a fszültségi tnzor variációja Hlyttsítsük b a kinmati- ahol az δf E +ν kailag lhtségs lmozdulásmz t a potnciális nrgiába F A dv u p da Π p [ u ] Π p [ u + δ u] u f dv V F + δf A + δa dv A p u + δ u p da V u + δ u f dv V F AdV A p u p da V u f dv + + V A p F δa + δf A dv V δ u p da δ u f dv + V + A p δf δa dv V Alakítsuk át a δf A szorzatot δf A V E δa + ν + ν ν δa II A 9
E E δa A + + ν + ν ν ν δa I I A A I E E ν δa A + δa I + ν + ν ν δa I A I E δa A + ν + ν ν IA I δa F F δa Hlyttsítsük b zt a kinmatikailag lhtségs potnciális nrgia képltéb Ha mgvizsgáljuk az így kapott összfüggést, érdks dolgot vhtünk észr Π p [ u ] Π p [ u + δ u] F AdV u p da u f dv + + V A p V Π p F δadv δ u p da δ u f dv + V A p V + V δπ p δf δa dv δ Π p Az ls sor a potnciális nrgiát adja az gzakt mgoldás stér A második sort a potnciális nrgia ls variációjá nak is szokás nvzni, ami tulajdonképpn mggyzik a virtuális lmozdulás lvébn szrpl kifjzéssl 5, zért az érték nulla A harmadik sorban lév mnnyiség a potnciális nrgia második variációja nvt visli, ugyanis bbn l fordulnak az lmozdulásmz variációjának második hatványai is Határozzuk mg az l jlét δf δa E + ν δa + E E δa δa + + ν + ν ν ν δa II δa ν ν δa I I δa δa I E + ν δ α x x + δ α y y + δ α z z δ α x x + δ α y y + δ α z z + + E ν + ν ν δa I E + ν δ α x δ α x + δ α y δ α y + δ α z δ α z + E ν + ν ν δa I átható, hogy z a kifjzés nagyobb vagy gynl mint nulla, amnnyibn E és < ν <,5, azaz δ Π p δf δa dv 5 Az gzakt ténylgs fszültségmz gybn statikailag lhtségs fszültségmz is V 3
Ebb l kövtkzik, hogy igaz a vagy Π p [ u ] Π p [ u] Π p Π p gynl tlnség, vagyis a potnciális nrgiának az gzakt mgoldás stén minimuma van Mgjgyzés: A potnciális nrgia minimuma lv csak abban az stbn használható, ha a vizsgált rndszrbn nm lép fl disszipáció 4 agrang-fél variációs lv A agrang-fél variációs lv a tljs potnciális nrgia minimuma lv variációs mgfogalmazása 6 tétl A tljs potnciális nrgiának az gzakt mgoldás stébn széls érték minimuma van A széls érték minimum létzésénk szükségs fltétl a tljs potnciális nrgia ls variációjának lt nés δπ p A széls érték minimum létzésénk légségs fltétl az, hogy a tljs potnciális nrgia második variációja nagyobb mint nulla δ Π p > Egy funkcionál ls illtv második variációját például a Gâtaux-fél jtsd: gató driválttal tudjuk kiszámítani gyn F [f x] gy funkcionál, amlynk változója az f x függvény Vgyünk az f x gy kis δf x mgváltozását variációját, szorozzuk b az α valós számmal és adjuk hozzá az f x-hz Az így kapott függvényt hlyttsítsük b a funcionálba Ezk után fjtsük sorba az F [f x + αδf x] funkcionált az f x körül d F [f x + αδf x] F [f x + αδf x] α + F [f x + αδf x] d f x + αδf x αδf x + α + d F [f x + αδf x] d f x + αδf x α δf x + α F [f x] + d dα F [f x + αδf x] dα d f x + αδf x αδf x + α + d d dα F [f x + αδf x] α d f x + αδf x dα d f x + αδf x α δf x + F [f x] + d F [f x + αδf x] dα α+ α + d d dα F [f x + αδf x] dα dα d f x + αδf x α δf x + α F [f x] + d F [f x + αδf x] dα α + α 3 d dα F [f x + αδf x] α + α
ahol kihasználtuk, hogy dα d f x + αδf x d f x + αδf x dα δf x δf x 8 dníció Egy F függvény vagy funkcionál Gâtaux-fél n-dik driváltján a D n F [x, δx] F x + αδx n kifjzést értjük 9 dníció Egy F funkcionál ls variációja mggyzik a Gâtaux-fél ls driváltjával δf : DF [x, δx] d F x + αδx dα dn dα dníció Egy F funkcionál második variációja mggyzik a Gâtaux-fél második driváltjával δ F : D F [x, δx] F x + αδx d dα α α α Ezk alapján könnyn blátható, hogy δπ p DΠ p [ u, δ u] F δadv δ u p da δ u f dv V A p V és δ Π p D Π p [ u, δ u] V δf δa dv 3 fladat Számítsuk ki az ls és második Gâtaux drivált sgítségévl a potnciális nrgia ls és második variációját A 6 tétl bizonyítása hasonlóan végzht l, mint a 5 tétl bizonyítása Flmrülht a kérdés, hogy a potnciális nrgia minimuma lvb l kapott mgoldás kilégíti- a rugalmasságtan gynltrndszrét? A kérdés mgválaszolásához alakítsuk át a δπ p kifjzést δπ p F δadv δ u p da δ u f dv V F δddv A p V δ u p da δ u f dv V F A p δ u dv V δ u p da δ u f dv V A p V 3
δ u F dv δ u p da δ u f dv V δ u F dv A p δ u F dv V δ u p da δ u f dv V V δ u F nda δ u F dv A p V δ u p da δ u f dv A p V δ u F n p da A p δ u V F + f dv A p A számítás során flhasználtunk néhány korábban már lvégztt átalakítást Mivl a vizsgált tst V térfogata, A flült valamint az lmozdulásmz δ u variációja ttsz lgs, a fnti kifjzés csak akkor nulla, ha a zárójlbn álló mnnyiségk nullával gynl k V F + f és F n p Ezk alapján mgkaptuk, hogy a potnciális nrgia minimuma lv tartalmazza az gynsúlyi gynltt és a dinamikai prmfltétlt Ha a kinmatikailag lhtségs lmozdulások közül a szóba jöht összs függvényt gylmb vsszük, akkor gzakt mgoldást kapunk, mrt A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz kilégíti a kinmatikai gynltt és a kinmatikai prmfltétlkt A δπ p agrang-fél variációs lv pdig tartalmazza az gynsúlyi gynltt, a dinamikai prmfltétlt, valamint az anyagtörvényt Az az u, amlynél a Π-nk minimuma van, kilégíti a rugalmasságtan gynltrndszrét, thát gzakt mgoldás Ha a kinmatikailag lhtségs lmozdulások közül nm vsszük gylmb a szóba jöht összs függvényt, akkor közlít mgoldást kapunk Annál jobb a közlítés, minél több szóba jöht függvényt vsszünk gylmb * * * Egy f f x, x, x 3,, c, c, c 3, függvény mgváltozásán vagy tljs dirnciálján a kövtkz t értjük df f dx + f dx + f dx 3 + x x x 3 ugyanzn függvény variációja pdig a δf f c δc + f c δc + f c 3 δc 3 + kifjzés, ahol x, x, x 3, a függvény változói, c, c, c 3, pdig a függvény paramétri A függvény dirnciálját a változók kis mgváltozásával kapjuk, míg a variációt a paramétrk kis mgváltoztatásával állíthatjuk l Azokban a pontokban, ahol az f függvény érték adott, a variációnak l kll t nni Például a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz stét tkintv és u u δ u r A u r A u 33
3 A Ritz-módszr A rugalmasságtani fladat gy lhtségs közlít mgoldását kapjuk, ha az u lmozdulásmz t n számú paramétrt l tsszük függ vé u u c, c, c 3,, c n Ha n végs szám, akkor nm biztos hogy az összs szóba jöht kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t gylmb vttük Ha bhlyttsítjük az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t a Π p potnciális nrgiába, a potnciális nrgia a c, c, c 3, paramétrk függvény lsz Π p Π p c, c, c 3, Képzzük zk után a Π p potnciális nrgia variációját δπ p Π p c δc + Π p c δc + Π p c 3 δc 3 + A agrang-fél variációs lv szrint a Π p potnciális nrgia ls variációja nulla Ha a Π p kinmatikailag lhtségs potnciális nrgiára írjuk l azt, hogy az ls variációja lgyn nulla, akkor az u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t csak közlít lg kapjuk mg Minél több paramétrt alkalmazunk, annál jobb lsz z a közlítés Mivl a c, c, c 3, paramétrk gymástól függtlnk, a δπ p gynlt csak úgy áll fnn, ha Π p c i i,, 3, Ez a c, c, c 3, paramétrkr gy n darab gynltb l álló algbrai gynltrndszrt jlnt 4 fladat Határozzuk mg az ábrán látható bfogott tartó középvonalának alakját, a nyírór t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényébn másodfokú közlítés alkalmazásával l, I x, E és f y adott y A f y l I x, E B z ábra Bfogott tartó alakváltozásának és igénybvétlink számítása Mgoldás: Írjuk fl a tartó potnciális nrgiáját Az alakváltozási nrgia kiszámításánál lhanyagoljuk a nyírásból származó tagot lásd: Mchanika-Szilárdságtan tankönyv U σ z ε z dv y R E y dv E R R y da dz V V l A σ z ε z 34 I x
EI x κ dz l ahol κ R a rúd görbült Gomtriából ismrt, hogy gy görb görbült arányos a görb ívkoordináta szrinti második driváltjával Itt a kérdéss görb a rúd alakváltozott középvonala lsz, amlyt a v v z lmozdulás koordinátával tudunk matmatikailag lírni, az ív-koordinátának pdig közlít lg a z koordináta fll mg A rúd alakváltozási nrgiája így írható U l d v EI x dz dz A vonal mntén mgoszló trhlés munkájára a W k v z z f y z dz v z f y dz l u fdv l adódik A támasztó r nk nincs munkája a bfogás miatt v z Közlítsük a tartó középvonalának lmozdulását a v z c + c z + c z polinommal A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz nk ki kll légítni a kinmatikai prmfltétlkt, azaz a bfogásnál a rúd nm mozdulhat l függ lgsn v z c + c + c c illtv a rúd középvonalának érint j a bfogásnál vízszints kll hogy maradjon dv dz c + c c z Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r adódik Hlyttsítsük b zt a potnciális nrgiába Π p U W k v z c z l l EI x c dz + c z f y dz A c paramétrt abból a fltétlb l tudjuk mghatározni, hogy a potnciális nrgia ls variációja nulla ami gynérték a δπ p dπ p dc gynlttl Végzzük l a kijlölt m vltkt Mivl a c paramétr és a z koordináta gymástól függtlnk, a driválás és az intgrálás sorrndj flcsrélht Célszr bb l bb a driválást lvégzni 4EI x c dπ l p dc l dz +f y l l EI x c dz + l z f y dz z l 3 dz 4EI x c l + f y 3 l 3 3 35
Ebb l a c kifjzht A rúd középvonalának lmozdulása c f yl EI x v z f yl EI x z Ismrt, hogy lásd: Mchanika-Statika és Mchanika-Szilárdságtan tankönyvk dt y dz f y dm hx dz T y A hajlítónyomaték függvényr kapjuk a M hx I x E R Eκ Mhx d v z EI x dz f yl 6 konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nm igaz, mivl itt másodfokú függvénynk klltt volna kijönni A nyírór r a Ty z dm hx dz a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig az f y z dt y dz azonosan nulla függvénykt kapjuk, pdig az f y trhlés adott volt Az igénybvétlkr és trhlésr vonatkozó gynltk azért nm tljsültk, mrt az általunk választott másodfokú polinomot tartalmazó kinmatikailag lhtségs mgoldás nm tartalmazta az gzakt mgoldást Ezért csak közlít mgoldást kaptunk 5 fladat Oldjuk mg a 4 fladatot harmadfokú közlítéssl! Ábrázoljuk a v z, Ty z és z függvényt! Mhx Mgoldás: A potnciális nrgia ugyan úgy néz ki, mint a 4 fladatnál Π p l d v EI x dz dz + Az lmozdulásmz t most harmadfokú polinommal közlítjük A prmfltétlk miatt és l v z c + c z + c z + c 3 z 3 v z f y dz v z c + c + c + c 3 3 c dv z dz Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz c + c + 3c 3 c z v z c z + c 3 z 3 Hlyttsítsük b zt a potnciális nrgiába Ehhz szükség lsz a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz második driváltjára d v z dz c + 6c 3 z 36
Bhlyttsítv kapjuk, hogy Végzzük l a kijlölt m vltkt Π p Π p l l l EI x c + 6c 3 z dz + l EI x c + c c 3 z + 8c 3z dz + [ Π p EI x c z + 6c c 3 z + 6c 3z 3] [ l + c z 3 3 c z + c 3 z 3 f y dz c z + c 3 z 3 f y dz + c 3z 4 4 Π p EI x c l + 6c c 3 l + 6c 3l 3 c l 3 + 3 + c 3l 4 4 A potnciális nrgiának széls érték van a lgjobb közlítés stén, vagyis Π p EI x 4c l + 6c 3 l + f yl 3 c 3 Π p EI x 6c l + c 3 l 3 + f yl 4 c 3 4 Ez két algbrai gynltt ad a c és c 3 paramétrkr A paramétrkt az gynltrndszrt mgoldva kaphatjuk mg c 5f yl és c 3 f yl 4EI x EI x vagyis a rúd középvonalának lmozdulását közlít függvény ] l f y f y alakú lsz A hajlítónyomatékra az v z 5f yl z + f yl z 3 4EI x EI x függvény, a nyírór r a a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig a M hx z EI x d v z dz 5f yl f yl z T y z dm hx z dz f y z függvény adódik ht látni, hogy a dinamikai prmfltétl nm tljsül, vagyis a kapott mgoldás nm gyzik mg az gzakt mgoldással 6 fladat Oldjuk mg a 4 fladatot ngydfokú közlítéssl! Ábrázoljuk a v z, T y z és M hx z függvényt! Mgoldás: A potnciális nrgia ugyan úgy néz ki, mint a 4 fladatnál Π p l d v EI x dz dz + Az lmozdulásmz t most ngydfokú polinommal közlítjük f yl l v z f y dz v z c + c z + c z + c 3 z 3 + c 4 z 4 37
A prmfltétlk miatt és v z c + c + c + c 3 3 + c 4 4 c dv z dz Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz c + c + 3c 3 + 4c 4 3 c z v z c z + c 3 z 3 + c 4 z 4 Hlyttsítsük b zt a potnciális nrgiába Ehhz szükség lsz a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz második driváltjára d v z dz c + 6c 3 z + c 4 z Bhlyttsítv kapjuk, hogy Π p l Végzzük l a kijlölt m vltkt Π p l EI x c + 6c 3 z + c 4 z l dz + c z + c 3 z 3 + c 4 z 4 f y dz l EI x c + 8c 3z + 7c 4z 4 + c c 3 z + 7c 3 c 4 z 3 + 4c c 4 z dz + Π p EI x [ c z + 6c 3z 3 + 7c 4z 5 5 Π p EI x c l + 6c 3l 3 + 7c 4l 5 5 ] l [ + 6c c 3 z + 8c 3 c 4 z 4 + 8c c 4 z 3 c z 3 + 3 c z + c 3 z 3 + c 4 z 4 f y dz + c 3z 4 4 + c 4z 5 5 + 6c c 3 l + 8c 3 c 4 l 4 + 8c c 4 l 3 c l 3 + 3 + c 3l 4 4 + c 4l 5 5 A potnciális nrgiának széls érték van a lgjobb közlítés stén, vagyis Π p EI x 4c l + 6c 3 l + 8c 4 l 3 + f yl 3 c 3 Π p EI x c3 l 3 + 6c l + 8c 4 l 4 + f yl 4 c 3 4 Π p 44c4 l 5 EI x + 8c 3 l 4 + 8c l 3 + f yl 5 c 4 5 5 Ez három algbrai gynltt ad a c, c 3 és c 4 paramétrkr A paramétrkt az gynltrndszrt mgoldva kaphatjuk mg c f yl, c 3 f yl és c 4 f y 4EI x 6EI x 4EI x vagyis a rúd középvonalának lmozdulását közlít függvény alakú lsz A hajlítónyomatékra az v z f yl 4EI x z + f yl 6EI x z 3 f y 4EI x z 4 ] l f y f y függvény, a nyírór r a M hx z EI x d v z dz f yl f ylz + f y z T y z dm hx z dz f y l f y z f y l z 38
a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig a f y z f y függvény adódik ht látni, hogy a dinamikai prmfltétl tljsül, vagyis a kapott mgoldás mggyzik az gzakt mgoldással 7 fladat Határozzuk mg az 3 ábrán látható kéttámaszú tartó középvonalának alakját, a nyírór t és a hajlítónyomatékot a z koordináta függvényébn másod- és harmadfokú stlg még magasabb fokú közlítés alkalmazásával l, I x, E, F és M adott A nyírásból származó alakváltozási nrgiát hanyagoljuk l Ábrázoljuk mindgyik v z, T y z és M hx z függvényt! y F I x, E M A B C z l l l D 3 ábra Kéttámaszú tartó alakváltozásának és igénybvétlink számítása Mgoldás: Másodfokú közlítés v z c + c z + c z A kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz nk ki kll légítni a kinmatikai prmfltétlkt, azaz a csuklós és görg s támasznál a rúd nm mozdulhat l függ lgsn v z c + c + c c v z l c l + c 4l c lc Ezk alapján a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz r a krsztmtsztk szöglfordulására pdig a v z c z l z ϕ x d dz v z c z l adódik Az alakváltozási nrgiát hasonlóan számíthatjuk mint a 4 fladatban U A küls r k munkáját síkbli rúdszrkztknél általában a W k i l EI x c dz n F yi v i + M xj ϕ xj összfüggéssl kaphatjuk mg, ahol F yi az i-dik r, v i az i-dik r támadáspontjának az r irányával párhuzamos lmozdulása, M xj a j-dik koncntrált nyomaték, ϕ xj a j-dik koncntrált nyomaték támadáspontjánál a rúd krsztmtszténk szöglfordulása, n a koncntrált r száma és m pdig a koncntrált nyomatékok száma Bhlyttsítv a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmz t a küls r k munkájára az j Wk c l l l F c 3l l M v B F By ϕ Dx M Dx 39
mnnyiség adódik Hlyttsítsük b az így kapott alakváltozási nrgiát és küls r k munkáját a potnciális nrgiába Π p U W k l EI x c dz + c l l lf + c 3l l M A c paramétrt abból a fltétlb l tudjuk mghatározni, hogy a potnciális nrgia ls variációja nulla ami gynérték a δπ p dπ p dc gynlttl Végzzük l a kijlölt m vltkt Mivl a c paramétr és a z koordináta gymástól függtlnk, a driválás és az intgrálás sorrndj flcsrélht Célszr bb l bb a driválást lvégzni Ebb l a c kifjzht 4EI x c A rúd középvonalának lmozdulása A hajlítónyomaték függvényr kapjuk a dπ 3l p EI x c dz l F + 4lM dc 3l dz l F + 4lM EI x c l l F + 4lM 3l c lf 4M EI x v z lf 4M EI x z l z Mhx d v z EI x dz lf 4M 6 konstans függvényt, ami nyilvánvalóan nm igaz, mivl itt szakaszonként lináris függvénynk klltt volna kijönni A nyírór r a a vonal mntén mgoszló trhlésr pdig az azonosan nulla közlít függvénykt kapjuk Harmad- és ngydfokú közlítés: T y z dm hx dz f y z dt y dz 8 fladat Számítsuk ki B, C, D krsztmtsztk súlypontjainak az lmozdulását és a krsztmtsztk szöglfordulását a 4 és 7 fladatoknál a Btti- vagy Castigliano-tétl alkalmazásával! Hasonlítsuk össz az rdménykt a Ritz-módszrrl kapott mgoldásokkal! 4
4 3 5 8 6 7 4 3 4 ábra 3 Elmozdulásmz n alapuló végslm módszr flépítés 3 Végslm csomópontjainak lokális sorszámozása 3 ináris közlít függvényk Az lmozdulásokat közlít függvényk mgválasztásának szmpontjai Az ismrtln paramétrk lgynk a csomópontokban lév lmozdulás koordináták Ez azt jlnti, hogy annyi függvényt kll l állítani, ahány paramétrünk van Ezn blül gy függvénynk úgy kll kinézni, hogy gy adott csomópontban az érték lgyn gy, a többibn viszont nulla Így a hozzá tartozó csomóponti lmozdulás koordináta nm bfolyásolja a többi csomópont lmozdulását Ugyanzkkl a függvénykkl lgyn lírható a tst gomtriája is, ahol a paramétrk szrpét a csomópontok koordinátái játsszák izoparamtrikus végslm A közlít függvényk lgynk könnyn numrikusan intgrálhatók Az intgráláshoz az un Gauss-kvadratúrát lásd 4 fjzt fogjuk használni, ami a ; intrvallumon mgadott függvénykr alkalmazható Ez azt jlnti, hogy a közlít függvényk értlmzési tartománya is z az intrvallum kll hogy lgyn 3 Négy csomópontú lm 3 Nyolc csomópontú lm Ha a fnti fltétlkhz még azt is hozzávsszük, hogy a közlít függvényk lgynk linárisak, a függvénykt l tudjuk állítani Jlöljük az i-dik csomóponthoz tartozó közlít függvényt N i ξ, η, ζ-val Ha a függvény lináris, akkor N i ξ, η, ζ a i + a i ξ + a i3 η + a i4 ζ + a i5 ξη + a i6 ηζ + a i7 ζξ + a i8 ξηζ alakban írható A csomópontok lgynk rndr a ξ ±, η ± és ζ ± koordinátájú pontokban Nézzük mg példaként a ξ, η és ζ koordinátájú, nyolcadik csomóponthoz tartozó függvényt A 3 fjztbn mgadott fltétlkt az alábbi módon tudjuk tljsítni N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 a 83 a 84 + a 85 + a 86 + a 87 a 88 4
N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 a 83 a 84 a 85 + a 86 a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 + a 83 a 84 + a 85 a 86 a 87 a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 + a 83 a 84 a 85 a 86 + a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 a 83 + a 84 + a 85 a 86 a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 a 83 + a 84 a 85 a 86 + a 87 a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 + a 8 + a 83 + a 84 + a 85 + a 86 + a 87 + a 88 N 8 ξ, η, ζ a 8 a 8 + a 83 + a 84 a 85 + a 86 a 87 a 88 Írjuk fl zt az gynltrndszrt mátrixos alakban A mgoldás: a 8 a 8 a 83 a 84 a 85 a 86 a 87 a 88 a 8 8, a 8 8, a 83 8, a 84 8, a 85 8, a 86 8, a 87 8, a 88 8 A N 8 ξ, η, ζ függvény így írható N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ ξη + ηζ ζξ ξηζ 8 Kis átalakítás után N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ 8 Hasonló gondolatmnttl kapható a többi függvény is Itt csak a végrdményt közöljük N ξ, η, ζ ξ η ζ 8 N ξ, η, ζ + ξ η ζ 8 N 3 ξ, η, ζ + ξ + η ζ 8 N 4 ξ, η, ζ ξ + η ζ 8 N 5 ξ, η, ζ ξ η + ζ 8 N 6 ξ, η, ζ + ξ η + ζ 8 N 7 ξ, η, ζ + ξ + η + ζ 8 N 8 ξ, η, ζ ξ + η + ζ 8 4
33 Az lmozdulásmz közlítés gy végslmn Els lépésbn az lmozdulásmz t gy lmn közlítjük A vizsgált lm sorszáma lgyn, térfogata pdig V A számítások lvégzéséhz célszr bb lsz az lmozdulásvktort oszlopmátrixként flírni u r u x, y, z x + v x, y, z y + w x, y, z z u x, y, z u x, y, z v x, y, z w x, y, z r V 3 Az gyszr ség és célszr ség kdvéért az lmozdulás lírásához a végslmhz kötött ξηζ koordináta-rndszrt fogjuk használni Ehhz szükségünk lsz az xyz és ξηζ koordináta-rndszrk közötti transzformáció átmnt lírására Használjuk a líráshoz a 3 fjztbn tárgyalt közlít függvénykt x ξ, η, ζ y ξ, η, ζ z ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ x i i n N i ξ, η, ζ yi 3 i n N i ξ, η, ζ zi 4 i ahol x i, yi és zi az -dik végslm i-dik csomópontjának x, y és z koordinátája A rugalmasságtani fladat mgoldásához valamilyn variációs lvt vagy gyng alakot fogunk használni, amlybn az lmozdulásmz az ls dlgs ismrtln Az lmozdulásmz t szintén a 3 fjztbn tárgyalt közlít függvénykkl írhatjuk l u x, y, z u x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ u ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ qxi i n v x, y, z v x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ v ξ, η, ζ N i ξ, η, ζ qyi n w x, y, z w x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ, z ξ, η, ζ w ξ, η, ζ N i ξ, η, ζ qzi ahol q xi, q yi és q zi az -dik végslm i-dik csomópontjának x, y illtv z irányú lmozdulása i i 43
vagy lmozdulás paramétr Ezt mátrixos alakban a u v w u ξ,η,ζ 3 N N N n N N N n N N N n Nξ,η,ζ 3 3n q x q y q z q x q y q z qxn qyn q zn q 3n vagy rövidn az u ξ, η, ζ N ξ, η, ζ q kifjzéssl írhatjuk 34 Az alakváltozások közlítés gy végslmn [ ] ε x γ xy A r γ yx ε y xyz γ zx γ zy ε z ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx γ xz γ yz ε x,y,z 6 r V ε x, y, z u y v z w x u x v y w z + v x + w y + u z x y z y x z y z x 6 3 u v w u x,y,z 3 ε x x, y, z ε y x, y, z ε z x, y, z γxy x, y, z γyz x, y, z γzx x, y, z 6 Az gyszr ség kdvéért a driválások jlölésénél lhagytuk az x, y és z koordináták fls indxét, ami a végslm sorszámára utalna Ez nm okoz gondot, mivl nnk a jlölésnk csak a közlítés l állításánál van jlnt ség Nyilván mindgyik végslmhz ugyan az a globális koordináta tartozik A -4 transzformációs függvénykt flhasználva fl tudjuk írni az alakváltozásokat 44
úgy is mint a ξηζ koordináták függvényit x y z y x z y z x ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε x,y,z 6 3 N 6 ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε ξ,η,ζ 6 x y z y x z y z x 6 3 u v w u ξ,η,ζ 3 N N N n N N N n N N N n Nξ,η,ζ N 3 3n N n x x x N N N n y y y N N N n z z z N N N N N n N n y y y y y y N N N N N n N n z y z y z y N N N N N n N n z x z x z x B ξ,η,ζ 6 3n ε ξ, η, ζ u ξ, η, ζ N ξ, η, ζ q B ξ, η, ζ q B ξ,η,ζ q x q y q z q x q y q z qxn qyn q zn q q x q y q z q x q y q z qxn qyn q zn 3n q Az N ξ, η, ζ mátrix lmink xyz koordináták szrinti driváltjait a láncszabály alkalmazásával kaphatjuk mg 3n N i ξ, η, ζ x N i ξ, η, ζ y N i ξ, η, ζ ξ N i ξ, η, ζ ξ ξ x + N i ξ, η, ζ η η x + N i ξ, η, ζ ζ ζ x ξ y + N i ξ, η, ζ η η y + N i ξ, η, ζ ζ ζ y 45
N i ξ, η, ζ z N i ξ, η, ζ ξ vagy tömörbbn, mátrixok sgítségévl írva ahol a N i ξ,η,ζ x N i ξ,η,ζ x N i ξ,η,ζ x ξ z + N i ξ, η, ζ η η z + N i ξ, η, ζ ζ ζ z ξ x ξ y ξ z J η x η y η z ξ x ξ y ξ z ζ x ζ y ζ z η x η y η z ζ x ζ y ζ z N i ξ,η,ζ ξ N i ξ,η,ζ η N i ξ,η,ζ ζ az un Jacobi mátrix invrz Problémát jlntht, hogy a ξ, η és ζ x, y és z szrinti driváltjait közvtlnül nm tudjuk kiszámítani, mivl az x ξ, η, ζ, y ξ, η, ζ és z ξ, η, ζ függvénykt ismrjük A ξ x, y, z, η x, y, z és ζ x, y, z függvényk gys stkbn nm biztos hogy flírhatók, zért n is vizsgáljuk kt Ha az xyz és ξηζ közötti lképzés nm lfajuló, akkor a Jacobi mátrix invrtálható Bizonyítható, hogy J x ξ x η x ζ 9 fladat Számítsa ki a J J szorzatot A J mátrix lmit az -dik végslmn a -4 képltk flhasználásával ki tudjuk számítani x ξ, η, ζ n N i ξ, η, ζ x i ξ ξ x ξ, η, ζ η x ξ, η, ζ ζ y ξ, η, ζ ξ y ξ, η, ζ η y ξ, η, ζ ζ z ξ, η, ζ ξ z ξ, η, ζ η i n i n i n i n i n i n i n i 46 y ξ y η y ζ z ξ z η z ζ N i ξ, η, ζ x i η N i ξ, η, ζ x i ζ N i ξ, η, ζ yi ξ N i ξ, η, ζ yi η N i ξ, η, ζ yi ζ N i ξ, η, ζ zi ξ N i ξ, η, ζ zi η
z ξ, η, ζ ζ n i N i ξ, η, ζ zi ζ fladat Számítsa ki a 5 ábrán látható gységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm Jacobi mátrixát a ξ, η, ζ, a ξ, η, ζ és a ξ, η, ζ koordinátájú pontokban Jlölj mg zkt a pontokat az ábrán z 8 5 4 ζ 6 y η ξ 7 x 3 5 ábra Egységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm fladat A 5 ábrán látható gységnyi oldalhosszúságú, kocka alakú végslm 7-s számú csomópontjának z irányú lmozdulása qz7,mm, 6-os számú csomópontjának x és y irányú lmozdulása qx6,mm és qy6,3mm, a többi csomóponti lmozduláskoordináta pdig nulla Számítsa ki az ε oszlopvktor lmit a ξ, η, ζ, a ξ, η, ζ és a ξ, η, ζ koordinátájú pontokban 35 A fszültségmz közlítés gy végslmn [ ] F r σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx xyz σ x,y,z 6 E +ν E +ν E +ν σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ε x + ν ε y + ν ε z + ν ν ν ν E +ν γ xy E +ν γ yz E +ν γ zx r V σ x, y, z ε x + ε y + εz ε x + ε y + εz ε x + ε y + εz E +ν ν E +ν ν E +ν ν σx x, y, z σy x, y, z σz x, y, z τxy x, y, z τyz x, y, z τzx x, y, z 6 ν ε x + νε y + νεz νε x + ν ε y + νεz νε x + νε y + ν εz E +ν γ xy E +ν γ yz E +ν γ zx 47
E + ν ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z ν ν ε x + ν ν ε y + ν ν ε z γ xy γ yz γ zx ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν E ν ν ν + ν C 6 6 σ x, y, z σ ξ, η, ζ C ε ξ, η, ζ C B ξ, η, ζ q ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ε ξ,η,ζ 6 36 Az alakváltozási nrgia közlítés gy végslmn valamint F A σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx σ T ε ε T σ σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx U F AdV ε T σ dv V V q T T q B ξ, η, ζ T C B ξ, η, ζ q dt J dξdηdζ dv B ξ, η, ζ T C B ξ, η, ζ dt J dξdηdζ K U T q K q Osszuk a mrvségi mátrixot és a csomóponti lmozdulásvktort lmit blokkokra aszrint, hogy mlyik csomóponthoz tartoznak qx q y q q z q q x q qy q qz 3 q 4 qxn q qyn n qzn 3n 3n q 48
ahol q i q xi q yi qzi 3 Hasonló jlöléssl a mrvségi mátrix is flírható Kxx Kxy Kxz Kxx Kxyn Kxzn Kyx Kyy Kyz Kyx Kyyn K yzn Kzx Kzy Kzz Kzx Kzyn K zzn K Kxx Kxy Kxz Kxx Kxyn Kxzn Kyxn Kyyn Kyzn Kyxn Kyynn Kyznn Kzxn Kzyn Kzzn Kzxn Kzynn Kzznn K K K 3 K K K 3 3n 3n K 3 K 3 K 33 K n K n K 3n K n K K n n3 3n 3n K nn ahol K ij Kxxij Kxyij Kxzij Kyxij Kyyij Kyzij K zxij K zyij K zzij 3 3 Ezzl az alakváltozási nrgia az U q T K q [ T T T T T ] q q q q q 3 4 n K K K 3 K n K K K 3 K n K 3 K 3 K 33 K n3 K n K n K 3n K nn q q q 3 q 4 q n alakban is írható 49
37 Küls r k munkájának közlítés gy végslmn 37 Flülti r k munkája blátható, hogy valamint p r p x x, y, z x + p y x, y, z y + p z x, y, z z p x x, y, z p x, y, z p y x, y, z p z x, y, z 3 u p up x + vp y + wp z u T p up x + vp y + wp z r A p Könnyn Tgyük fl, hogy a trhlés a végslm ζ flültén lép fl A flülti r k munkája Wk p u p da u x, y, z T p x, y, z da T q A p A p T q T N ξ, η, ζ p ξ, η, ζ J A ξ, η, ζ dξdη da N ξ, η, ζ T p ξ, η, ζ J A ξ, η, ζ dξdη f p ahol da dξ ξ dη η r r dξ dη ξ η r ξ r η dξdη x ξ x + y ξ y + z x ξ z η x + y η y + z η z dξdη x y ξ η y x z x z + ξ η ξ η x z y z y + ξ η ξ η z y x dξdη ξ η x y ξ η y x z x + ξ η ξ η x z y z + ξ η ξ η z y dξdη ξ η J A ξ, η, ζ dξdη 5