Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László 2014. február
Feladatok 1. Függvények határértéke 1. Legyen f valós-valós függvény. Fogalmazza meg környezetekkel és egyenlőtlenségekkel is az alábbi állításokat: f = 7; f = +. 2 1+0 f() = 1; (d) lim f =. + Adjon meg olyan konkrét függvényeket, amelyekre a fenti relációk teljesülnek. 2. A definíció alapján határozza meg az alábbi határértékeket: 1 ; 4 + 2 2 3 0 1 + 1 2 3 + 2 ; 2 1 + 2 2 + 1. M. Kritikus határértékek vizsgálata. Függvények határértékének a meghatározásánál szerencsés esetekben alkalmazhatjuk a határérték és a műveletek kapcsolatára vonatkozó (igen általános!) tételünket. Ezek az eredmények akkor használhatók, ha a tételben szereplő R- beli A+B, AB, A/B műveletek értelmezve vannak. Ha valamelyik művelet nincs értelmezve, akkor a megfelelő függvények határértékéről általában semmit sem mondhatunk. Ezeket a kritikus határértékeket röviden a (+ ) + ( ), 0 (± ), ± ±, 0 0 szimbólumokkal szoktuk jelölni. Ilyen esetekben a sorozatoknál már megismert módszert követhetjük: a kritikus határértéket valamilyen módon (alkalmas azonosságok felhasználásával) megpróbáljuk nem kritikus határértékre átalakítani. 3. Polinom határértéke. Legyen p() := α 0 +α 1 + +α n n ( R) polinom, ahol α 0,..., α n R és α n 0. Mutassa meg, hogy (a) minden a R esetén lim p() = p(a); a p() = sign (α n)(+ ), + (c) lim p() = ( 1)n sign (α n )(+ ). M. A (b) és (c) állítások tehát azt jelentik, hogy polinomok viselkedését a plusz/mínusz végtelen környezetében a polinom főtagja (az α n n tag, illetve még pontosabban az α n főegyüttható előjele és n paritása) határozza meg, azaz polinom határértéke a ± végtelenben megegyezik a főtag ± végtelenben vett határértékével. 4. Számítsa ki az következő határértékeket: 1 n 1 m 1 2 5 + 6 2 2 7 + 10 (d) lim + (m, n = 1, 2,...); ; + 3 + 2 2 + 11 + 2 ; (e) lim 2 + 3 + 2 + 2 3 + 2 3 7 2 + 5 1 ; 2 3 + 3 2 + 23 3 3 5 2 + 31 + 1. 2
5. Racionális törtfüggvények határértéke. Legyen p és q polinom, a R. Vizsgáljuk a következő határértéket: p() lim a q(). A lehetséges esetek: a = ±, a R; q(a) 0, q(a) = 0; egyoldali határértékek. 6. A gyöktelenítés technikájával határozza meg az alábbi határértékeket: 0 0 7. A lim 0 sin 0 sin a sin b 1 + 1 n 1 + 1 (n = 2, 3,...). ; 0+0 1 + 1 2 1 + 1 ; = 1 felhasználásával számítsa ki az alábbi határértékeket: (a, b R \ 0}); 1 cos ; 0 2 tg sin sin 5 sin 3 ; (d) lim. 0 3 0 sin 8. A hatványsorokra vonatkozó ismeretek alkalmazásával határozza meg a következő határértékeket: 1 cos ; 0 2 + e ; e ; e e 2 e (d) lim ; α e β (e) lim 0 sin 0 Gyakorló feladatok (α, β R). 9. Legyen f valós-valós függvény. Mit jelent az, hogy 2 f = 7; (c) (e) (g) lim f() = 1; 0 0 2 f 7; (d) lim f = +. 1+0 lim f() = 1; (f) lim f =. + + lim f() = + ; (h) lim f =. Környezetekkel és abszolút értékkel is fogalmazza meg ezeket az állításokat! Adjon meg olyan függvényeket, amelyekre a fenti relációk teljesülnek. 3
10. A definíció alapján határozza meg az alábbi határértékeket: 0 2 1 2 2 + 1 ; 2 2 + 5; 2 5 + 6 2 1 ; (d) lim 2 3 2 2 + 2 2 2 + 1. 11. Számítsa ki az következő határértékeket: ( 1 1 1 3 ) ( 1 ; 3 1 1 1 2 ) ; 3 1 ( n 1 1 m ) (m, n = 1, 2,...); n 1 m [ ] 1 (d) lim, ahol [] az R egész részét jelöli; 0 12. A gyöktelenítés technikájával határozza meg az alábbi határértékeket: 1 2 ; ( 2 + 1 ) ; 5 + 5 1 13. A lim 0 sin 0 sin 2 tg 5 ; m 1 n 1 (m, n = 2, 3,...); 2 (d) lim 0 5. 1 + 5 1 = 1 felhasználásával számítsa ki az alábbi határértékeket: 1 cos. (d) 0 2 ; 0 1 + sin cos 14. A hatványsorokra vonatkozó ismeretek alkalmazásával határozza meg a következő határértékeket: 1 cos ; 0 2 sin 0 tg ; + e ; (d) lim e ; e e 2 e (e) lim ; α e β (f) lim. 0 sin 0 4
2. Függvények folytonossága Feladatok 15. Mit jelent az, hogy az f R R függvény nem folytonos az a D f pontban? 16. Az f valós-valós függvény a D f pontbeli folytonossága ekvivalens-e a következővel δ R +, hogy ε R + és k δ (a) D f esetén f() f(a) < ε? 17. Határozza meg, hogy mely pontokban nem folytonos az 2 + 1, 1 f() := 3, 1 < < 1 2 1, 1 függvény. Döntse el, hogy ezekben a pontokban vajon folytonos-e jobbról, illetve balról? 18. Kiterjeszthető-e az f : R \ 0} R, f() = sin 1 függvény a 0 pontban folytonosan? 19. Határozza meg az alábbi függvények folytonossági, illetve szakadási helyeit, valamint a szakadási helyek típusát: 2 5 + 6, ha R \ 2, 5} (a) f() := 2 7 + 10 0, ha = 2, = 5; e 1, ha R \ 0} (b) f() := 1, ha = 0. 20. Az α R paraméter mely értékei esetén lesz mindenütt folytonos az 2 α 2, ha < 4 f() := α + 20, ha 4; függvény? 21. Az α R paramétertől függően határozza meg az 2 5 + 6, ha R \ 2, 5} f() := 2 7 + 10 α, ha = 2, = 5 függvény folytonossági, illetve szakadási helyeit, valamint a szakadási helyek típusát. 5
22. Bizonyítsa be, hogy minden páratlan fokszámú, valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. 23. Igazolja, hogy a következő egyenleteknek van legalább egy megoldása az I intervallumban, ha (a) 2 3 + 1 = 0, I = (0, 1); (b) ln = e 3, I = (1, 2). 24. Döntse el, hogy az f függvény egyenletesen folytonos-e, ha (a) f() = sin ( (0, 1)); (b) f() = ( 0). Gyakorló feladatok 25. Tegyük fel, hogy az f R R függvény folytonos az a D f pontban és f(a) > 0. Mutassa meg, hogy ekkor az a pontnak létezik olyan környezete, amelyben f csak pozitív értéket vesz fel. 26. Mely pontokban alábbi függvények: folytonosak az (a) f : R R, f() =, ha racionális, ha irracionális? (b) f : R R, f() = 1, ha racionális 1, ha irracionális; 27. Határozza meg, hogy mely pontokban nem folytonos az g() := ( 1) 3, < 0 ( + 1) 3, 0. függvény. Döntse el, hogy ezekben a pontokban vajon folytonos-e jobbról, illetve balról? 28. Az α R paraméter mely értékei esetén lesz mindenütt folytonos a következő függvény: α 2 + 4 1, ha 1 (a) f() := + 3, ha 1 < ; 1, ha > 0 (b) f() := e + 1 2 + α, ha 0? 6
29. Legyen f és g valós-valós függvény. (a) Lehet-e az f + g, fg, f/g függvény folytonos az a D f D g pontban, ha az f és a g függvénynek az a pont szakadási helye? (b) Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos, a g függvénynek pedig szakadása van az a D f D g pontban. Lehet-e az f +g, fg, f/g függvény folytonos a-ban? 30. Az α R paramétertől függően határozza meg az alábbi függvények folytonossági, illetve szakadási helyeit, valamint a szakadási helyek típusát: 7, ha R \ 7} (a) f() := 7 α, ha = 7; 2 + 64 (b) f() := + 4, ha R \ 4} α, ha = 4; 3, ha R \ 9} (c) f() := 9 α, ha = 9; e 1, ha R \ 0} (d) f() := 1, ha = 0. 31. Értelmezze az alábbi függvényeket a 0 pontban úgy, hogy ott folytonosak legyenek (a) f() := (1 + )n 1 ( R \ 0}, n N), (b) f() := 1 cos 2 ( R \ 0}). 32. Igazolja, hogy az f() := (1 + 2 )sign ( R) szakadásos függvénynek az inverze folytonos. 33. Igazolja, hogy az alábbi egyenleteknek van megoldása a jelzett I intervallumon: (a) = cos, I := (0, π/2); (b) 2 = + 1, I := (1, 2). 34. Mutassa meg, hogy az alábbi egyenleteknek van legalább egy megoldásuk: (a) e = 2 ; (b) 5 2 + 2 + 3 = 0. 35. Egy tibeti szerzetes egy nap reggel 7-kor elindul a kolostorból a szokott ösvényen a hegy tetején lévő szentélybe, ahova este 7-kor meg is érkezik. Másnap reggel 7-kor visszaindul ugyanazon az ösvényen a kolostorba, és este 7-kor visszaérkezik. Bizonyítsa be, hogy van olyan pont az ösvényen, amelyiken mindkét nap ugyanabban az időben haladt át. 7
36. Igazolja, hogy az (a) f() := sin ( ) (0, 1), (b) f() := sin 1 ( ) (0, 1) függvények egyenletesen folytonosak. 37. Bizonyítsa be, hogy ha a folytonos f : [0, ) R függvénynek van véges határértéke + -ben, akkor f egyenletesen folytonos. MEGJEGYZÉS: Több feladat megoldását és további feladatokat találhatnak a honlapomra feltett Analízisfeladat-gyűjtemény IV. segédanyagban. 8