Nemegyensúlyi statisztikus zika

Átírás

1 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemegyensúlyi statisztikus zika Készült Sasvári László el adásai alapján

2 Tartalomjegyzék 1. A lineáris válasz elmélete A sztatikus lineáris válasz elmélete A dinamikai lineáris válasz elmélete A dinamikai válaszfüggvény Dinamikai válaszfüggvény a kvantummechanikában Energiareprezentáció Korrelációs függvények Összegszabályok Megmaradó mennyiségek válasza Id tükrözési invariancia Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok általános leírása Sztochasztikus folyamatok fogalma Markov-folyamatok Homogén Markov-folyamatok Diúziós folyamatok Valószín ségszámítási fogalmak összefoglalása A diúziós folyamat fogalma Fokker-Planck egyenlet Wiener-folyamat Gauss-típusú fehérzaj Langevin-egyenlet Ornstein-Uhlenbeck folyamat Általánosítás több változóra Brown-mozgás Klasszikus mozgás h tartályban, egy-dimenzióban A Brown-mozgás vizsgálata Mozgás harmonikus-oszcillátor potenciálban Master-egyenlet p 1 kielégíti a Master-egyenletet Stacionárius (egyensúlyi) megoldások Részletes egyensúly Id tükrözési invariancia Véges állapottér esete A Master-egyenlettel kapcsolatos zikai feladatok

3 TARTALOMJEGYZÉK H-tétel és alkalmazásai A H-tétel levezetése Alkalmazás a kanonikus sokaságra Metropolis algoritmus Függelék Fourier-transzformáció Néhány szó a disztribúciókról

4 1. fejezet A lineáris válasz elmélete Tekintsünk egy H Hamilton operátorral jellemzett kvantummechanikai rendszeret. Ha ezt megzavarjuk, akkor a megzavart rendszer H operátora: (1.1) H = H + δh. A δh zavar lehet id ben állandó. Ekkor tulajdonképpen azt vizsgáljuk, hogy hogyan változik a rendszer egyensúlyi állapota a zavar nagyságától függ en (pl. bekapcsolunk egy kis mágneses teret). Lényegében arról van itt szó, hogy ha f jelöli a zavart és B egy zikai mennyiséget, akkor B f B arányos az f zavarral, és az arányossági tényez χ, egy zavartól és id t l független állandó, amit sztatikus lineáris válasznak nevezünk. A zavar lehet id ben változó. Ekkor a válasz is változik, amit ebb l fakadóan dinamikai lineáris válaszfüggvénynek nevezünk. Most külön megvizsgáljuk a sztatikus és a dinamikai válasz esetét. Az átlagokat az els esetben a Boltzmann-eloszlással, a második estben pedig a s r ségoperátorral fejezzük ki. 4

5 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE A sztatikus lineáris válasz elmélete Általános megfontolások. Tekintsük azt az esetet, amikor δh id ben állnadó. Egy tetsz leges B zikai mennyiség egyensúlyi (Boltzmann) átlaga ekkor: (1.2) B = Tr [ e βh B ]. Tr [e βh ] A B zikai mennyiség zavarmentes egyensúlyi átlaga: (1.3) B = Tr [ e βh B ] Tr [e βh ] A B átlag kiszámításához e βh -t kell vizsgálnunk: { e βh (1.4) e βh = e β(h+δh) e βδh, ha [H, δh] =, = e βh S(β), egyébként. Az utóbbinál S() = 1 és ha δh =, akkor S(β) = 1. Maradva az utóbbi esetnél: S-re felírhatunk egy dierenciál, illetve egy azzal ekvivalens integrál egyenletet: / e β(h+δh) = e βh S(β) β (1.5) (H + δh) e} β(h+δh) {{} = He βh βh S(β) S(β) + e β e βh S(β) S(β) β = [ e βh δh e βh] S(β). A kapcsoszárójelben lév rész olyan, mint a Heisenberg-kép imaginárius id vel, így δh(β) := e βh δh e βh. Ezzel a dierenciálegyenlet végs formája: (1.6) S(β) β Ezt átírhatjuk integrál-egyenletté: (1.7) S(β) = 1 = δh(β) S(β), S(β = ) = 1. β δh(τ)s(τ)dτ, aminek megoldását a szukcesszív-approximáció módszerrel közelíthetjük: (1.8) S (β) = 1. S 1 (β) = 1 β δh(τ)dτ. β β τ S 2 (β) = 1 δh(τ)dτ + δh(τ) δh(τ )dτ dτ...

6 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 6 δh megválasztása. Most tételezzük fel, hogy a zavar alakja δh = Af, ahol A egy zikai mennyiség és f egy kicsi zavar er ssége. A kicsi itt azt jelenti, hogy O(f 2 ) elhanyagolható. Ekkor (1.9) S(β) = 1 + f β [ e τh Ae τh] dτ + O(f 2 ). Itt a kapcsos zárójelben lév részt A(τ)-val jelöljük, utalva a Heisenberg-képbeli alakra. Ennek segítségével kifejezhetjük B átlagát az f er sség zavar jelenlétében: ( ) ] β (1.1) B f = Tr [ e βh S(β)B ] Tr [e βh 1 + f A(τ)dτ B = ( )]. Tr [e βh S(β)] β Tr [e βh 1 + f A(τ)dτ Vizsgáljuk meg a nevez t: Tr e βh 1 + f β A(τ)dτ = Tr e βh + f Itt az integrandus valójában független τ-tól: β Tr [ e βh A(τ) ] dτ. Tr [ e βh A(τ) ] = Tr [ e βh e τh Ae τh] = Tr [ e τh e βh e τh A ] = = Tr [ e βh e τh e τh A ] = Tr [ e βh A ]. A nevez végleges alakja tehát Tr e βh + βf Tr [ e βh A ] = Tr [ ( e βh] 1 + βf Tr [ e βh A ] ) Tr e βh Ennek ismeretében B átlaga egyszer bb alakra hozható: (1.11) B f = (1 + βf A ) 1 B + f β = Tr [ e βh] (1 + βf A ). A(τ)B dτ. Ez tovább egyszer síthet, ha az els tagot sorba fejtjük (mértani sor): (1 + βf A ) 1 = 1 βf A + (βf A ) 2 (βf A ) 3 + (βf A ) }{{} O(f 2 ) Mivel O(f 2 ) elhanyagolható, azért (1.12) B f = (1 βf A ) B + f β A(τ)B dτ.

7 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 7 Ezt a szorzatot, ha kifejtjük, akkor megjelenik benne egy f 2 -es tag, amit elhanyagolhatunk. A fennmaradó részt átrendezve az alábbi összefüggéshez jutunk: (1.13) B f B = β A(τ)B dτ β A B f. A zavar által okozott átlag változás tehát lineárisan függ az f zavartól, és az arányossági tényez a zavarmentes átlagokból származtatható. A lineáris válasz. Vezessük be a következ jelölést: (1.14) χ BA := β A(τ)B dτ β A B. χ BA -t a A által keltett zavar B-re adott lineáris válaszának nevezzük. Gyakran el fordul, hogy a zavarmentes átlagokat nullának tekintjük, ami azt jelenti, hogy ha A és B tetsz leges zikai mennyiségek, akkor helyettük az A := A A és B := B B operátorokra térünk át. Ekkor ugyanis (1.15) B f = χ BA f, χ BA = β A(τ)B dτ. A χ válasznak van egy kiemelked en fontos tulajdonsága: (1.16) χ BA = χ AB. Bizonyítás. A(τ)B = Tr [ e βh e τh Ae τh B ] Tr e βh = Tr [ e τh Be βh e τh A ] Tr e βh = = Tr [ e βh e βh e τh Be βh e τh A ] Tr e βh = Tr [ e βh e (β τ)h Be (β τ)h A ] Tr e βh = B(β τ)a. Innen a τ := β τ helyettesítést használva kapjuk a fenti formulát: χ BA = β A(τ)B dτ = β B(β τ)a dτ = β B(τ )A dτ = β B(τ )A dτ = χ AB. Klasszikus eset. Ha A kommutál a H operátorral, akkor (1.17) A(τ)B = AB = BA χ BA = β AB. Ez nem más, mint a klasszikus alakja a válasznak: a két zikai mennyiség korrelációja megszorozva β-val. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha B kommutál a H operátorral.

8 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 8 Energiareprezentáció. Legyen H n = E n n, ahol { n } teljes ortonormált rendszer az állapotok Hilbert-terén. Ekkor e αh n = e αen n és m m = 1. m (1.18) Z := Tr e βh = n n e βh n = n e βen. Ekkor χ BA alakja az alábbi módon átírható: χ BA = 1 Z β Tr [ e βh e τh Ae τh B ] dτ = 1 Z β Tr [ Ae τh Be βh e τh] dτ = 1 Z β n Ae τh Be βh e τh n dτ = 1 Z n = 1 Z β β e βe n e τe n n Ae τh m m B n dτ n,m e βe n e τ(e n E m ) n A m m B n dτ n,m Itt az integrált könnyen kiszámíthatjuk, hiszen csak egyetlen tag függ τ-tól β e τ(e n E m ) dτ = { β, ha En = E m, e β(en Em) 1 E n E m, egyébként. Ezt a látszólag két különböz eredményt kezelhetjük egyben, hiszen az exponenciális függvény hatványsorából következik, hogy e β(en Em) 1 lim = β. E n E m E n E m Mindezek fényében felírhatjuk χ BA alakját energiareprezentációban: (1.19) χ BA = 1 Z n,m e βe m e βe n E n E m n A m m B n. Ebben a formulában a tört nem változik az n m csere esetén, aminek két látható következménye van: χ BA = χ AB, ezt már láttuk, de innen is kijön. χ BA = χ BA, azaz a válasz valós. δh megválasztásának általánosítása. Legyenek A 1, A 2,..., A N lineárisan független operátorok és f 1, f 2,..., f N kicsi zavarok (tehát bármely f i f j szorzat elhanyagolható), ekkor (1.2) δh := N A j f j. j=1

9 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 9 Ha ránézünk az S függvény (1.8) sorfejtésére, akkor az f j -k kicsisége miatt: (1.21) S(β) = 1 + N j=1 f j β A j (τ)dτ, ahol A j (τ) = e τh A j e τh. Ezzel végigszámolva egy tetsz leges B operátor (1.1) átlagát, a következ eredményt kapjuk: N β (1.22) B B = A j (τ)b dτ β A j B f j. j=1 Tegyük fel, hogy az A j operátorok zavarmentes egyensúlyi átlaga nulla. Ekkor az el bbi formula szerint (1.23) A i = N χ ij A j, ahol χ ij = χ Ai A j = j=1 β A j (τ)a i dτ. A χ ij mátrix természetesen valós, és (1.16) szerint szimmetrikus, azaz χ ij = χ ji, energiareprezentációbeli alakja pedig: (1.24) χ ij = 1 Z n,m e βe m e βe n E n E m n A j m m A i n. Most pedig megmutatjuk a χ ij mátrixnak még egy fontos tulajdonságát: (1.25) χ ij pozitív denit. Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy tetsz leges α R N \ {} esetén N i=1 j=1 Használjuk fel az energia-reprezentációs alakot N i=1 j=1 N α i χ ij α j = 1 Z n,m N α i χ ij α j >. e βem e βen E n E m N N n α j A j m m α i A i n. Itt 1/Z és az energiákat tartalmazó tört mindig pozitív, az utolsó két tag pedig egymás komplex konjugáltja, vagyis nemnegatív: 2 N N N n α j A j m m α i A i n = n α j A j m, n, m esetén. j=1 i=1 Mivel { n } teljes ortonormált rendszer, ezért ha minden n, m esetén n N α j A j m akkor N α j A j =, ami az A j operátorok lineáris függetlensége miatt, csak α = esetén teljesül. j=1 j=1 j=1 i=1 j=1 2 =, q.e.d.

10 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE A dinamikai lineáris válasz elmélete A dinamikai válaszfüggvény Zavarjunk meg egy rendszert valamilyen f(t) zavarral, és mérjük a B(t) zikai mennyiséget. Dinamikai válaszfüggvénynek egy olyan χ(t, t ) függvényt várunk, amelyre (1.26) B(t) = Alapvet követelmények. χ(t, t )f(t )dt. Teljesül a kauzalitás, azaz a mérhet mennyiség jelenlegi értéke csak a múltbeli értékekt l függhet: χ(t, t ) =, ha t > t. Van id eltolási invariancia, azaz teljesen mindegy, hogy mikor kapcsoljuk be a zavart, onnantól a lefutása mindig azonos, vagyis tekinthetjük úgy, hogy a zavart a t = -ben kapcsoljuk be: χ(t, t ) = χ(t t ). A válaszfüggvény valós. Közvetlen következmények. Legyen τ = t t, ekkor (1.27) B(t) = t χ(t t )f(t )dt = χ(τ)f(t τ)dτ. Írjuk fel a Fourier transzformáltat: (1.28) χ(ω) = Mivel χ(τ) = χ (τ) ezért 1 2π χ(τ)e iωτ dτ, χ(τ) = 1 2π χ(ω)e iωτ dω = χ(τ) = χ (τ) = 1 = ω ω 1 2π χ ( ω)e iωτ dω = 1 2π 2π χ(ω)e iωτ dω. χ (ω)e iωτ dω = χ ( ω)e iωτ dω, vagyis mivel a kezd és a végs formula között a reláció minden τ-ra fönnáll, ezért (1.29) χ (ω) = χ( ω). Ebb l viszont az következik, hogy (1.3) Re(χ(ω)) = Re(χ (ω)) = Re(χ( ω)) a valós rész páros, Im(χ(ω)) = Im(χ (ω)) = Im(χ( ω)) a képzetes rész páratlan.

11 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 11 A lineáris válasz tulajdonság a Fourier-transzformáltakra is fönnáll, hiszen B(ω) = B(t)e iωt dt = dt dτχ(τ)f(t τ)e iωt = (1.31) = dτχ(τ)e iωτ dtf(t τ)e iω(t τ) = dτχ(τ)e iωτ f(ω) = χ(ω)f(ω). Monokromatikus zavar. Monokromatikus zavarról akkor beszélünk, amikor f(t) = f ω e iωt. Ekkor (1.27) és az el bbi szerint B(t) = χ(τ)f(t τ)dτ = f ω e iωt χ(τ)e iωτ dτ = f ω χ(ω)e iωt = B(ω)e iωt. Vizsgáljuk meg az alábbi transz- Fourier-transzformálás komplex frekvenciákon formációt: χ(z) = χ(τ)e izτ dτ. Mivel e izτ = e i Re(z)τ e Im(z)τ és τ >, ezért χ(z)-nek nincs szingularitása a fels félsíkon (Im(z) > esetén), ezen a részen χ(z) analitikus, ha χ(τ) korlátos, akkor χ(z) is az, χ(z) még akkor is lehet analitikus, ha χ(τ) nem az. Fontos azonban látni, hogy az integrál elszáll Im(z) < esetén, vagyis az alsó félsíkon nincs értelmezve. Komplex függvénytanból ismeretes, hogy ha χ(z) analitikus, akkor χ(z) (1.32) dz =, z ω ahol C az alábbi kontúr: C

12 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 12 A fenti integrált részletesen kiírhatjuk a kontúr mentén: = ω δ R χ(ω ) ω ω dω + azaz némi egyszer sítés után = ω δ R π χ(ω ) ω ω dω + χ (ω + δe iϕ ) R ω + δe iϕ ω iδeiϕ dϕ+ R ω+δ χ(ω ) ω ω dω + i π ω+δ χ(ω ) π ω ω dω + χ ( ω + δe iϕ) π dϕ + i χ (ω + Re iϕ ) ω + Re iϕ ω ireiϕ dϕ, χ ( ω + Re iϕ) dϕ. Tegyük fel, hogy χ(z) tart nullához, mid n z tart végtelenhez. Ekkor R esetén egyrészt a legutóbbi egyenlet bal oldala, vagyis az integrál értéke, nulla marad mindvégig, másrészt a jobb oldal utolsó tagja nullába megy, így = ω δ χ(ω ) ω ω dω + ω+δ Tartsunk ez után δ-val nullához: ω δ = lim χ(ω ) δ + ω ω dω + χ(ω ) ω ω dω + i ω+δ π χ ( ω + δe iϕ) dϕ. χ(ω ) ω ω dω iπχ(ω) Az itt szerepl limeszt f érték-integrálnak is szokták nevezni, és P-vel jelölik. Így a végeredmény az úgynevezett Kramers-Kronig reláció: (1.33) P χ(ω ) ω ω dω = iπχ(ω). Ennek ki szokták írni külön a valós, és külön a képzetes részét: Re(χ(ω P )) ω ω dω = Re (iπχ(ω)) = π Im (χ(ω)), (1.34) Im(χ(ω P )) ω ω dω = Im (iπχ(ω)) = π Re (χ(ω)). E két egyenlet egymás Hilbert-transzformáltja, és fontos következményei vannak: A valós és képzetes részek egymásból kiszámíthatóak. Nem lehet a χ(ω) válaszfüggvény tisztán valós, vagy tisztán képzetes. A fenti formulák levezetése nem csak az általunk végigjárt úton lehetséges, ugyanis: Tichmarsh tétel. Az alábbi három állítás ekvivalens: f olyan függvény, ami egy t > -ra nem nulla függvény Fourier-transzformáltja. f a fels félsíkon analitikus. Fennáll f-re a Kramers-Kronig reláció.

13 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE Dinamikai válaszfüggvény a kvantummechanikában Az alábbiakban gyakran alkalmazzuk a következ matematikai összefügéseket: Tr [ a b A] = i,j a i b ja ji = i,j b ja ji a i = b A a, Tr [ a a ] = i a i a i = a 2. A s r ségoperátor mérési motivációja. Tételezzük fel, hogy egy ψ állapotban lév kvantummechanikai rendszeren egy M mérést végzünk. Ekkor a rendszer beugrik az M operátor valamelyik m i sajátállapotába, és a mér m szer a λ i sajátértéket mutatja. Ha nagyon sokszor el állítjuk ugyanezt a ψ állapotot, majd elvégezzük az M mérést, akkor megtudhatjuk, hogy mekkora p i valószín séggel ugrik a rendszer az m i állapotba. Feltételezzük, hogy a mérési-operátor sajátállapotai teljes ortonormált rendszert alkotnak a lehetséges állapotok Hilbert-terén, így ψ = i c i m i. Mi a c i együtthatókat mérésekkel nem tudjuk el állítani, ugyanis mindegyik hordoz egy komplex fázist is, amit mi nem mérhetünk. Annyit azonban tudunk, hogy p i = c i 2. Ez az összes információnk az eredeti állapotról, amit mérésekkel el állíthatunk. E hiányos tudásunk motiválja a s r ségoperátor bevezetését: ˆϱ := i p i m i m i. Nagyon fontos el nye az, hogy az M operátor ψ -re vonatkozó átlaga, vagyis a mérés átlaga, kifejezhet a s r ségoperátor segítségével: M ψ = ψ M ψ = i,j c i c j m i M m j = i p i λ i = Tr ˆϱM S r ségoperátor tiszta állapotban. s r ség operátor Az eredeti ψ állapothoz is rendelhet egy ˆϱ := ψ ψ. Az ilyen szituációt, tehát amikor létezik a Hilbert-térnek olyan eleme, amellyel a rendszer szóbanforgó s r ségoperátora kifejezhet ilyen alakban, nevezzük tiszta állapotnak. Ekkor természetesen, ha el állítjuk ˆϱ mátrixalakját a fenti M sajátállapotainak bázisán, akkor nem diagonálmátrixot kapunk, hisz ϱ ij = m i ˆϱ m j = c i c j, és tetsz leges A zikai mennyiségre teljesül, hogy A ψ = Tr ˆϱA.

14 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 14 S r ségoperátor kevert állapotban. Legyenek a { ψ α } állapotok tetsz leges normált elemei a Hilbert-térnek, tehát semmilyen ortogonalitási, vagy teljességi feltételnek nem kell, hogy eleget tegyenek, és a {p α } nemnegatív számok olyanok, hogy p α = 1. α Ekkor az ezekb l készített kevert állapot alatt az alábbi s r ségoperátort értjük: (1.35) ˆϱ := α p α ψ α ψ α. Ekkor egy tetsz leges A zikai mennyiség átlagát ebben a kevert állapotban így értjük (1.36) A := α p α ψ α A ψ α = Tr ˆϱA. A s r ségoperátor tulajdonságai ˆϱ önadjungált. Induljunk ki egy kevert állapotból. Ekkor Tr ˆϱ = α p α ψ α 2 = 1. Tr ˆϱ 2 1, ugyanis a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség szerint Tr ˆϱ 2 = α,β p α p β Tr [ ψ α ψ α ψ β ψ β ] = α,β p α p β ψ α ψ β ψ β ψ α = = α,β p α p β ψ α ψ β 2 α,β p α p β ψ α ψ α ψ β ψ β = 1. Egyenl ség pedig pontosan akkor teljesül, ha ˆϱ tiszta állapot. A s r ségoperátor mozgásegyenlete. Induljunk ki a kevert állapotból, és írjuk fel az egyes állapotok id fejl dését az id függ Schrödinger-egyenlet szerint: i t ψ α = H ψ α i t ψ α = ψ α H i t ( ψ α ψ α ) = (i t ψ α ) ψ α + ψ α (i t ψ α ) = = H ψ α ψ α ψ α ψ α H = [H, ψ α ψ α ]. Szorozzuk meg mindegyik egyenletet p α -val és összegezzünk α-ra: ) [ ] i t ( α p α ψ α ψ α = H, α p α ψ α ψ α Ha beírjuk a s r ségoperátort, akkor megkapjuk a von Neumann egyenletet: (1.37) i t ˆϱ = [H, ˆϱ]. Itt feltettük, hogy p α nem változik az id fejl dés során, vagyis az egyes ψ α tiszta állapotok statisztikai súlya minden id pillanatban azonos (ez azért jogos, mert a teljes kevert állapot, vagy másnéven sokaság id fejl dése az egyes tiszta állapotok id fejl dése miatt történik)..

15 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 15 Az id fejl dési operátor. Az id függ Schrödinger-egyenletnél most használjunk kezdeti feltételt is, és hagyjuk el a bra-cat jelölést az áttekinthet ség érdekében: Ennek leolvashatjuk a megoldását: t ψ α (t) = i Hψ α(t), ψ α (t = t ) = ψ α (t ). ψ α (t) = e i ~ H(t t ) ψ α (t ). Itt az operátor exponensét a hatványsor deniálja. Érdemes ezt külön jelölni: (1.38) U(t, t ) := e i ~ H(t t ). Mivel H önadjungált, ezért U(t, t ) unitér, vagyis az adjungáltja az inverze, ami egyenérték azzal, hogy a normát nem változtatja meg. Id függ Hamilton-operátor. Tegyük fel, hogy H = H(t), de önadjungált minden id pillanatban. Ekkor is a Schrödinger-egyenlet szabályozza az id fejl dést: i t ψ α (t) = H(t)ψ α (t), ψ α (t = t ) = ψ α (t ). Itt már nem írhatjuk fel exponens alakban az id fejl dés operátorát. Azt viszont megállapíthatjuk, hogy az id fejl dés nem változtat a skalárszorzaton (kihasználva H(t) önadjungáltságát): t ψ 1 (t), ψ 2 (t) = t ψ 1 (t), ψ 2 (t) + ψ 1 (t), t ψ 2 (t) = = i ~ H(t)ψ 1(t), ψ 2 (t) i ~ ψ 1(t), H(t)ψ 2 (t) =. Ez azt jelenti, hogy bár nem tudjuk felírni az id fejl dést exponens alakjában, de a skalárszorzat megmarad az id fejl dés során, vagyis az id fejlesztési operátor unitér: (1.39) ψ α (t) = U(t, t )ψ α (t ). Ezt beírhatjuk a Schrödinger-egyenletbe, így megkapjuk U(t, t ) egyenletét (1.4) i t U(t, t ) = H(t)U(t, t ), U(t, t ) = 1. Kevert állapotban egy tetsz - Az id fejl dési és a s r ségoperátor kapcsolata leges A zikai mennyiség átlaga a t id pillanatban: = α A t = Tr ˆϱ(t)A = p α ψ α (t), Aψ α (t) = α p α U(t, t )ψ α (t ), AU(t, t )ψ α (t ) = p α ψ α (t ), U + (t, t )AU(t, t )ψ α (t ) = α = Tr [ˆϱ(t )U + (t, t )AU(t, t )] = Tr [U(t, t )ˆϱ(t )U + (t, t )A], vagyis leolvashatjuk, hogy (1.41) ˆϱ(t) = U(t, t )ˆϱ(t )U + (t, t ). Ha ezt deriváljuk id szerint, és használjuk az id fejl dési operátor (1.4) egyenletét, akkor vissza kapjuk a von Neumann egyenletet id függ Hamilton operátor esetére is: (1.42) i t ˆϱ(t) = [H(t), ˆϱ(t)].

16 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 16 Id függ perturbációszámítás. Legyen H a zavar nélküli id ben állandó Hamiltonoperátor, és δh(t) a zavar operátora. H (t) = H + δh(t). Legyen U(t, t ) a H (t) operátor által generált id fejl dés, vagyis ezzel az operátorral teljesül a (1.4) egyenlet. Válasszuk le ebb l az id független operátor id fejl dését, így a kölcsönhatás által generált id fejl dés: (1.43) S(t, t ) = e i ~ Ht U(t, t )e i ~ Ht Ezt a formulát az motiválja, hogy ha δh(t) =, akkor H = H id független operátor, vagyis (1.38) szerint S(t, t ) = 1. Deriváljuk id szerint ezt a formulát: most használjuk a (1.4) egyenletet: t S(t, t ) = i HS(t, t ) + e i ~ Ht t U(t, t )e i ~ Ht = = i HS(t, t ) i e i ~ Ht (H + δh(t))u(t, t )e i ~ Ht. H és e i ~ Ht kommutálnak, így összegb l származó els tag i ~ HS(t, t ), vagyis ez kiesik. A fennmaradó részb l az alábbi eredményt kapjuk: (1.44) i t S(t, t ) = e i ~ Ht δh(t)u(t, t )e i ~ Ht = δh i (t)s(t, t ). Itt az i index az interaction-re utal, és (1.45) δh i (t) = e i ~ Ht δh(t)e i ~ Ht. Alakítsuk át a (1.44) dierenciálegyenletet integrálegyenletté. Ehhez csak le kell olvasnunk a (1.43) formulából a kezdeti feltételt: S(, t, t ) = 1, majd alkalmazzuk a (1.8) szukcesszív approximációt: (1.46) S(t, t ) = 1 i δh i (t )dt + O(δH 2 ). t Ebb l el állíthatjuk U(t, t )-t a (1.43) formula segítségével: (1.47) U(t, t ) = e ~ i Ht 1 i δh i (t )dt e~ i Ht. t t Átlagok kiszámítása. Tegyük fel, hogy δh(t) = Af(t), ahol f(t) =, ha t < t. Válasszuk a t -beli eloszlást a Boltzmann-eloszlásnak: (1.48) ˆϱ := ˆϱ(t ) = 1 Z e βh, Z = Tr e βh. Vezessünk be az operátorok egyensúlyi átlagára és id fejl désére jelölést: (1.49) C := Tr [ˆϱ C], C(t) := e i ~ Ht Ce i ~ Ht. t

17 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 17 Az id függ s r ségoperátor segítségével ki tudjuk számítani az id ben változó átlagokat, az id függés kifejezésére pedig használhatjuk (1.41)-t: B t = Tr [ U(t, t )ˆϱ U + (t, t )B ] = Tr [ˆϱ U + (t, t )BU(t, t ) ] = most használjuk fel U(t, t ) (1.47) perturbációs kifejtését: t = Tr ˆϱ e ~ i Ht 1 + i δh i (t )dt t t e~ i Ht Be ~ i Ht t 1 i δh i (t )dt e~ i Ht = t = Tr [ˆϱ B] i Tr (ˆϱ [B(t), δh i (t )]) dt + O(δH 2 ) = t most használjuk fel az (1.45) összefüggést és δh(t) választott alakját: t = Tr [ˆϱ B] + i Tr (ˆϱ [B(t), A(t )]) f(t )dt. t Tartsunk t a, ami azt jelenti, hogy valamikor a távoli múltban a rendszer egyensúlyban volt, és akkor kapcsoltuk rá az f(t) zavart. Így végeredményben azt kapjuk, hogy t i (1.5) B t B = [B(t), A(t )] f(t )dt. A válaszfüggvény. Legyen i (1.51) ϕ BA (t, t ) := [B(t), A(t )]. Ez még nem a keresett válaszfüggvény, mert a kauzalitás nem feltétlenül teljesül, az id eltolási invariancia azonban teljesül. Ehhez csak annyit kell meggondolni, hogy B(t)A(t ) = Tr A(t )B(t) = Tr [ˆϱ e i ~ Ht Be i ~ Ht e i ~ Ht Ae i ~ Ht ] [ˆϱ e i ~ Ht Ae i ~ Ht e i ~ Ht Be i ~ Ht ] = B(t t )A, = AB(t t ), vagyis ebb l következik, hogy i i (1.52) [B(t), A(t )] = [B(t t ), A] = ϕ BA (t t ). Vezessük be megfelel, azaz a kauzalitásnak eleget tev válaszfüggvényt: { (1.53) χ BA (t, t ϕba (t, t ), ha t > t, ) :=, ha t < t. Ezzel pedig felírhatjuk (1.5) végleges alakját: (1.54) B t B = χ BA (t, t )f(t )dt.

18 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE Energiareprezentáció Legyen H n = E n n, ahol feltesszük, hogy a sajátállapotok teljes ortonormált rendszert alkotnak a lehetséges állapotok Hilbert-terén. Ekkor i ϕ BA (t) = [B(t), A] = i [ ] e Tr βh (B(t)A AB(t)) = Z = i n,m [ n e βh Z ] e βh B(t) m m A n m A n n B(t) m. Z Itt a hátsó tagban végrehajtottunk egy n m cserét, ami az n-re és m-re történ összegzés miatt nem változtat az értéken. Használjuk ki az id függés (1.49) denícióját. E denícióban szerepl exponensek önmagukban unitér, és nem önadjungált operátorok. A fenti formulában azonban minden operátor eredend en a hátsó vektorra hat. Így amikor ezekb l az unitér operátorokból egyeseket az els vektorra alkalmazunk, akkor el tte adjungálnunk kell. Legyen ω mn := E m E ~ n, ezzel felírhatjuk az energiareprezentáció végleges alakját: (1.55) ϕ BA (t) = i e βe n e βe m e iωmnt n B m m A n. Z n,m Az energiareprezentáció Fourier-transzformáltja. A válaszfüggvény (1.53) de- níciója szerint χ BA (t) = ϕ BA (t) t > -ra, egyébként nulla. Így a dinamikai válaszfüggvény Fourier-transzformáltjáról megállapított általános tulajdonságok alapján nem meglep, hogy most Im(z) > esetén a Fourier-transzformálás egzaktul elvégezhet (hiszen ekkor megjelenik egy exponenciális lecsengés Im(z) miatt): vagyis maga a Fourier-transzformált: [ e e iωmnt e izt i(z ω mn)t dt = i(z ω mn ) (1.56) χ BA (z) = 1 e βe n e βe m Z n,m ] = i z ω mn, n B m m A n z ω mn. Ez a függvény bár majdnem az egész komplex számsíkon értelmezett, de csak Im(z) > esetén Fourier-transzformáltja a válaszfüggvénynek. Érdemes meggyelni, hogy e függvény pólusai, a ω mn pontok, a valós tengelyen vannak. Fourier-transzformált a valós számegyenesen. Az (1.56) egyenletb l a fels félsíkról közelítve megkaphatjuk a válaszfüggvényt a valós számegyenesen: χ BA (ω) = 1 e βe n e βe m Z n,m n B m m A n lim ε + 1 ω ω mn + iε.

19 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 19 Most használjuk fel a (3.1) határértéket: (1.57) χ BA (ω) = 1 e βe n e βe m n B m m A n Z n,m [ ( ) 1 P ω ω mn Ezt az egyenletet szétválaszthatjuk: (1.58) χ BA (ω) = 1 ~ n,m χ BA (ω) = π ~ n,m e βen e βem Z ( n B m m A n P ] iπδ(ω ω mn ). ) 1 ω ω mn e βe n e βe m Z n B m m A n δ(ω ω mn ) χ BA (ω) = χ BA (ω) + iχ BA (ω). Ez általában nem a válaszfüggvény valós és képzetes része, kivéve az A = B esetet. Viszont vegyük észre, hogy (1.59) χ BA (ω) z ω dω = πχ BA (z), vagyis χ BA (ω)-ból a teljes χ BA(z) el állítható Korrelációs függvények Vezessük be a korrelációs függvényeket: (1.6) S BA (t) := B(t)A, SBA (t) := AB(t). Ezek segítségével két újabb korrelációs függvényt értelmezhetünk, melyek közül az egyikkel már találkoztunk: (1.61) C BA (t) = 1 [ S BA (t) + 2 S ] BA (t), ϕ BA (t) = i [ S BA (t) S ] BA (t). A (1.55) formulából leholvashatjuk S BA és S BA energiareprezentációs alakját: (1.62) S BA (t) = n,m S BA (t) = n,m e βe n Z n B m m A n e iω mnt, e βe m Z n B m m A n e iω mnt. Fourier-transzformált. Most a Fourier-transzformációban t a teljes számegyenesen végigmegy, hiszen nem a válaszfüggvénnyel dolgozunk, továbbá csak valós frekvenciákra Fourier-transzformálunk, ami természetesen csak disztribúcióként értelmezhet eredményt ad, hiszen egy periodikus függvényt az egész számegyenesen nem lehet integrálni: } {{ } ez nem létezik ε + e i(ω ωmn)t dt = lim e i(ω ω mn)t e εt dt + e i(ω ωmn)t e εt dt =

20 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 2 = lim ε + [ 1 = lim ε + i { [ e i(ω ω mn)t e εt ] i(ω ω mn iε) ( 1 ω ω mn iε 1 ω ω mn + iε [ ] e i(ω ω mn)t e εt } + = i(ω ω mn + iε) )] = 2πδ(ω ω mn ), ahol az utóbbi végeredményhez felhasználtuk a (3.1) összefüggést. Ennek segítségével kifejezhetjük a Fourier-transzformáltakat: (1.63) S BA (ω) = 2π n,m S BA (ω) = 2π n,m e βen Z n B m m A n δ(ω ω mn ), e βem Z n B m m A n δ(ω ω mn ). Tudjuk, hogy ω mn = E m E ~ n, vagyis βe m = βe n β ω mn. Emellett tetsz leges f függvényre f(ω mn )δ(ω ω mn ) = f(ω)δ(ω ω mn ) hiszen akármelyik próbafüggvényre alkalmazzuk, ugyanazt az eredményt kapjuk. Ezekkel kapcsolat létesíthet S BA és S BA között: (1.64) SBA (ω) = e β~ω S BA (ω). Fejezzük ki most ennek ismeretében a másik két korrelációs függvényt is: (1.65) C BA (ω) = 1 2 S BA(ω) [ 1 + e β~ω], ϕ BA (ω) = i S BA(ω) [ 1 e β~ω]. Elég tehát csak egy korrelációs függvényt ismernünk, hiszen abból a másik három kifejezhet. vegyük észre, hogy ezek a formulák univerzálisak, mert minden zikai rendszerre, zavarra, mért mennyiségre alkalmazhatók. Fluktuáció-disszipáció tétel. alakját is megadhatjuk: ϕ BA (ω)-nak (1.58) felhasználásával egy másik fontos (1.66) ϕ BA (ω) = i e βe n e βe m n B m m A n 2πδ(ω ω mn ) = 2iχ Z BA(ω). n,m Ugyanakkor (1.65) szerint C BA (ω) ϕ BA (ω) = 1 + e β~ω 2i 1 e = ( ) β ω β~ω 2i coth. 2 E két eredményb l leolvasható, hogy ( ) β ω (1.67) C BA (ω) = coth χ 2 BA(ω), vagyis teljesül a uktuáció-disszipáció tétel.

21 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE Összegszabályok χ BA (ω) momentumai. ϕ BA (t) = i [B(t), A] = 1 2π Inverz Fourier-transzformálás és (1.66) segítségével: ϕ BA (ω)e iωt dω = i π Fejezzük ki ϕ BA (t) n-edik deriváltját (n ) a t = helyen: (1.68) d n ϕ BA (t) dt n = i1 n t= π Ez tehát az n-edik momentuma χ BA (ω)-nak. ω n χ BA(ω)dω. χ BA(ω)e iωt dω. Aszimptotikus kifejtés. Kihasználva, hogy a válaszfüggvény t > esetén ϕ BA -val egyenl, a komplex frekvenciás Fourier-transzformáltját átalakíthatjuk: χ BA (z) = χ BA (t)e izt dt = ϕ BA (t)e izt dt = mivel a ϕ BA korreláció t esetén kénytelen lecsengeni, alkalmazhatjuk a parciális integrálást [ e izt = iz ϕ BA(t) ] 1 iz dϕ BA (t) e izt dt = ϕ BA() 1 dt iz iz dϕ BA (t) e izt dt. dt A hátsó tagra újra és újra alkalmazhatjuk a parciális integrálást, így végeredményben a következ összeghez jutunk: ( ) n+1 i d (1.69) n ϕ BA (t) χ BA (z) = z dt n. t= n= Megmaradó mennyiségek válasza Egy B zikai mennyiség megmaradó, ha [B, H] =. Ekkor a B operátor egyensúlyi id fejl dése (1.49) alapján B(t) = e i ~ Ht Be i ~ Ht = B, vagyis nincs id függése, így a lineáris válasz (1.52) alapján i ϕ BA (t) = [B(t), A] = i Z Tr [ e βh (BA AB) ] = = i { [ Tr Be βh A ] Tr [ e βh AB ]} =, Z azaz megmaradó mennyiségnek nincs lineáris válasza. Természetesen, ha a perturbációs sorfejtésben tovább megyünk, négyzetes rendben már jelentkezhetnek járulékok.

22 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 22 A rendszer energiája. H minden rendszerben megmaradó, hiszen kommutál önmagával. Így feltéve, hogy a zavar továbbra is H (t) = H Af(t) alakú, vezessük le sorfejtés nélkül az energiaátlag megváltozását: d H t dt = Tr [ t ˆϱ(t)H] = itt most használjuk a (1.42) von Neumann egyenletet = i Tr [[H (t), ˆϱ(t)]H] = i Tr [(Hˆϱ(t) Aˆϱ(t)f(t) ˆϱ(t)H + ˆϱ(t)Af(t)) H] = mivel Tr [Hˆϱ(t)H] = Tr [ˆϱ(t)HH], ezért ezek a tagok kiesenek = i Tr [(ˆϱ(t)A Aˆϱ(t)) H] f(t) = Tr [ ˆϱ(t) i [H, A] ] f(t). A standard kvantummechanikából ismeretes, hogy ha egy A operátor nem hordoz explicit id függést, akkor Ȧ = ~ i [H, A]. Ezt felhasználva d H [ ] (1.7) t = Tr ˆϱ(t)Ȧ f(t) = Ȧ f(t). dt t Ez a formula tehát a rendszer energiájának id deriváltját, vagyis a zavar teljesítményét adja meg. Fermi-féle aranyszabály. Legyen A = B, és legyen a zavar koszinuszos: (1.71) f(t) = f ω cos(ωt) = f ω 2 Legyen χ = χ AA, így A t = χ(τ)f(t τ)dτ = f ω 2 e iωt ( e iωt + e iωt). χ(τ)e iωτ dτ + e iωt = f ω [ e iωt χ (ω) + e iωt χ(ω) ] = f ω [ e iωt χ (ω) + e iωt χ(ω) ]. 2 2 A zavar teljesítménye ekkor: χ(τ)e iωτ dτ = W ω = Ȧ f(t) = (iω) f ω [ e iωt χ (ω) e iωt χ(ω) ] f ω ( e iωt + e iωt) = t 2 2 ( ) 2 fω [ = (iω) χ( ω) χ(ω) + e i2ωt χ (ω) e i2ωt χ(ω) ]. 2 Ȧ Itt egy kis csalást követtünk el, ugyanis a fenti eredményben nem hanem t, t A t szerepel. Igazából itt arról van szó, hogy a derivált átlagát nem ismerjük, így azt

23 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 23 az átlag deriváltjával közelítjük. Vegyük most a kapott teljesítmény id átlagát. Az oszcilláló tagok id átlaga zérus, így ( ) 2 fω W ω = (iω) [χ (ω) χ(ω)] = ω f ω 2 Im [χ(ω)]. 2 2 (1.58) szerint A = B esetén Im [χ(ω)] = χ (ω). Ez utóbbit felhasználva eljutunk az úgynevezett Fermi-féle aranyszabályhoz: (1.72) W ω = 2π ( fω 2 ) 2 [ e βe n n,m Z e βe m Z ] n A m 2 (E m E n )δ [ ω (E m E n )]. Itt még azt is felhasználtuk, hogy ( ωδ ω E ) m E n = (E m E n )δ [ ω (E m E n )], hiszen bármelyik ϕ(ω) próbafüggvényre hattatva, tehát ϕ(ω)-val összeintegrálva, ugyanazt az értéket kapjuk. Érdemes bevezetni a (1.73) w mn := 2π ( ) 2 fω n A m 2 δ [ ω (E m E n )] 2 jelölést. Ezek az ún. id egységre jutó átmeneti valószín ségek, segítségükkel áttekinthet bb formát ölt az aranyszabály: W ω = [ e βe n ] w }{{} mn Z e βem (E m E n ). Z }{{} n,m }{{} m n átmenet valószín sége Id tükrözési invariancia n-állapot valószín sége m-állapot valószín sége m n átmenet energiája Id tükrözés a Schrödinger-egyenletben. Tekintsünk egy olyan rendszert, melynek Hamilton-operátora id független. Ekkor adott ψ(t ) = ψ kezdeti feltétel mellett egyértelm ψ megoldása van a Schrödinger-egyenletnek, és ekkor természetesen ψ egyértlem megoldása a konjugált Schrödinger-egyenletnek a ψ (t ) = ψ kezdeti feltétel mellett. Schrödinger-egyenlet ψ(t ) = ψ i t ψ = Hψ Konjugált egyenlet ψ (t ) = ψ i t ψ = Hψ Legyen T az id tükrözés operátora, azaz Tψ(t) = ψ( t). Ekkor t Tψ = T t ψ. Alkalmazzuk a T operátort a Schrödinger-egyenlet mindkét oldalára: i t Tψ = HTψ, vagyis azt kaptuk, hogy Tψ eleget tesz a konjugált egyenletnek. Mivel a megoldások egyértelm ek, és a konjugált egyenlet megoldása ψ, ezért a végeredmény: (1.74) Tψ = ψ, tehát ψ( t) = ψ (t).

24 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 24 Operátorok id tükrözése. Az operátorok zikai mennyiségekhez vannak társítva. Vannak olyan zikai mennyiségek, melyekre az id tükrözés nem hat. Ilyen a hely és az energia. Vannak azonban olyan zikai mennyiségek, amelyek az id tükrözésre el jelet váltanak. Ilyenek az impulzus, az impulzusmomentum, spin, árams r ség. Tehát ha egy A operátort id tükrözünk, akkor egy ε A A operátort kapunk, ahol ε A { 1, 1}. Ha az operátor id függést is hordoz, akkor TB(t) = ε B B( t). Korrelációk id tükrözése. Vizsgáljuk meg S BA (t) jelentését: S BA (t) = B(t)A, ahol A = A(). S BA (t) tehát azt jelenti, hogy a nulla id pillanatban bekapcsolt A mennyiség milyen hatással van a t id pillanatban a B mennyiségre. Ennek az id tükrözöttje a következ : a t id pillanatban bekapcsolt ε B B mennyiség milyen hatással van a nulla id pillanatban az ε A A-ra. Feltéve, hogy az id tükrözés szimmetriája a rendszernek, a két korrelációnak egyenl nek kell lennie: (1.75) S BA (t) = B(t)A = ε A ε B AB( t) = ε A ε B A(t)B = ε A ε B S AB (t). Itt még felhasználtuk az id eltolási invarianciát is. Teljesen hasonló eljárással a másik három korrelációs függvényre: (1.76) SBA (t) = ε A ε B SAB (t), C BA (t) = ε A ε B C AB (t), ϕ BA (t) = ε A ε B ϕ AB (t). Mivel a χ BA (t) válaszfüggvény ϕ BA (t)-vel egyenl t > -ra, egyébként nulla, ezért a válaszfüggvény is teljesíti ezt az összefüggést: (1.77) χ BA (t) = ε A ε B χ AB (t). Emellett ϕ BA teljesít mégegy összefüggést (1.78) ϕ BA (t) = i B(t)A AB(t) = ε Aε B i AB( t) B( t)a = ε Aε B ϕ BA ( t). A Fourier transzformáltak között is vannak összefüggések: ϕ BA (ω) = ϕ BA (t)e iωt dt = ϕ BA (t)e iωt dt + ϕ BA (t)e iωt dt = = ε A ε B ϕ BA (t)e i( ω)t dt + χ BA (ω) = ε A ε B χ BA ( ω) + χ BA (ω). Az alábbi módon összegezhetjük a végereményt, amiben (1.66)-t is felhasználjuk: (1.79) ϕ BA (ω) = χ BA (ω) ε A ε B χ BA(ω) = 2iχ BA(ω). Ebb l azt olvashatjuk le, hogy { 2i Im (1.8) ϕ BA (ω) = 2iχ χba (ω), ha ε A ε B = 1, BA(ω) = 2 Re χ BA (ω), ha ε A ε B = 1.

25 1. FEJEZET. A LINEÁRIS VÁLASZ ELMÉLETE 25 Ha ezt alkalmazzuk a (1.67) uktuáció-disszipáció tételre, akkor coth ( ) β~ω 2 Im χba (ω), ha ε A ε B = 1 (1.81) C BA (ω) = i coth ( ) β~ω 2 Re χba (ω), ha ε A ε B = 1 képzetes, páratlan függvény Itt a paritástulajdonságok alapja, hogy χ BA ( ω) = χ BA (ω). valós, páros függvény

26 2. fejezet Sztochasztikus folyamatok 2.1. Sztochasztikus folyamatok általános leírása Sztochasztikus folyamatok fogalma Tekintsük egy rendszert, amelyet valamilyen kezd állapotból elindítunk, majd különböz id pillanatokban mérést hajtunk rajta végre. Ennek eredményeként az alábbi mérési id sort kapjuk: Mikor mérünk? t n < t n 1 <... < t 2 < t 1 Mit mérünk? x n x n 1... x 2 x 1 Ha az adott rendszert újra és újra elindítjuk a kezd állapotból, majd újra megmérjük ugyanezekben az id pillanatokban, akkor újabb és újabb adatsorokat kapunk, amelyekb l eloszlásfüggvényeket készíthetünk. Megadhatjuk minden id pillanathoz a p 1 (x i, t i ) eloszlást, amely arról ad információt, hogy mekkora valószín séggel mérünk x i -t a t i id pillanatban. Természetesen ez az eljárás nem függ a mérési id pontok megválasztásától, választhatunk más id pontokat is. Aztán vizsgálhatunk együttes eloszlásokat is: általánosan arra kérdésre keressük a választ, hogy mekkora annak a valószín sége, hogy n mérésb l t 1 -ben x 1 -et, t 2 -ben x 2 -t,..., t n -ben x n -et mérünk? Ahhoz, hogy erre egy n-t l és a mérési id pontoktól független választ kapjunk, tekintsünk egy olyan X t valószín ségi változót, melyre (2.1) P(x 1 < X t1 < x 1 + dx 1, x 2 < X t2 < x 2 + dx 2,..., x n < X tn < x n + dx n ) = = p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n )dx 1 dx 2... dx n, ahol p n a keresett valószín séget jelöli. Az X t valószín ségi változót sztochasztikus folyamatnak nevezzük, ha n-t l és a mérési id pontok megválasztásától függetlenül teljesülnek az alábbiak Normáltság: (2.2) p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n )dx 1 dx 2... dx n = 1. 26

27 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 27 Komplementaritás: p (2.3) n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x i 1, t i 1 ; x i, t i ; x i+1, t i+1 ;... ; x n, t n )dx i = = p n 1 (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x i 1, t i 1 ; x i+1, t i+1 ;... ; x n, t n ). Itt természetesen feltettük, hogy a mérés x adatai valamilyen Ω R intervallumból veszik fel értékeiket. Ez az Ω halmaz az integrálások tartománya is. A lehetséges mérési adatok Ω halmazát állapottérnek nevezzük. Az el bb bevezetett X t sztochasztikus folyamat ún. folytonos állapotter sztochasztikus folyamat. Lehet azonban Ω diszkrét halmaz is. Ebben az esetben X t -t diszkrét állapotter sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Ilyenkor (2.4) P(x 1 = X t1, x 2 = X t2,..., x n = X tn ) = p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n ), továbbá itt is teljesülnie kell a folytonos esetben megkövetelt tulajdonságoknak: Normáltság: (2.5) x 1,x 2,...,x n Ω p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n ) = 1. Komplementaritás: p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x i 1, t i 1 ; x i, t i ; x i+1, t i+1 ;... ; x n, t n ) = (2.6) x i Ω = p n 1 (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x i 1, t i 1 ; x i+1, t i+1 ;... ; x n, t n ). Fizikai szempontból érdekes a várható érték, és a korrelációs függvény: (2.7) x t = Folytonos p 1 (x, t)xdx Ω x t x t = Ω 2 p 2 (x 1, t; x 2, t )x 1 x 2 dx 1 dx Markov-folyamatok x 1,x 2 Ω Diszkrét p 1 (x, t)x x Ω p 2 (x 1, t; x 2, t )x 1 x 2 Mekkora a valószín sége annak, hogy t 1 -ben x 1 -et mérünk, ha el tte t 2 -ben x 2 -t,..., t n -ben x n -t mértünk? Ez a kérdés tulajdonképpen a feltételes valószín ség megfogalmazása: (2.8) p(x 1, t 1 x 2, t 2 ;... ; x n, t n ) = p n(x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n ). p n 1 (x 2, t 2 ;... ; x n, t n ) Markov folyamatról akkor beszélünk, ha n-t l és a mérési id pontok megválasztásától függetlenül (2.9) p(x 1, t 1 x 2, t 2 ;... ; x n, t n ) = p(x 1, t 1 x 2, t 2 ) = p 2(x 1, t 1 ; x 2, t 2 ). p 1 (x 2, t 2 )

28 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 28 Most pedig megmutatjuk a Markov-folyamatoknak két nagyon fontos tulajdonságát: Állítás. Markov folyamatoknál, ha ismerjük a p(x, t x, t ), (t < t) feltételes valószín - séget és a p 1 eloszlást egy adott t pillanatban, akkor n-t l és a t -nál nagyobb mérési id pontok megválasztásától függetlenül az összes p n eloszlást ki tudjuk fejezeni. Bizonyítás. Ugyanis egyrészt a komplementaritás miatt t > t esetén (2.1) folytonos: p 1 (x, t) = diszkrét: Ω p 2 (x, t; x, t )dx = Ω p(x, t x, t )p 1 (x, t )dx, p 1 (x, t) = p 2 (x, t; x, t ) = p(x, t x, t )p 1 (x, t ). x Ω Másrészt a feltételes valószín ség és a Markov-folyamat deníciójából adódóan tetsz leges t t n < t n 1 <... < t 2 < t 1 id pontokat választva x Ω (2.11) p n (x 1, t 1 ; x 2, t 2 ;... ; x n, t n ) = p(x 1, t 1 x 2, t 2 )p n 1 (x 2, t 2 ; x 3, t 3 ;... ; x n, t n ) = = p(x 1, t 1 x 2, t 2 )p(x 2, t 2 x 3, t 3 )... p(x n 1, t n 1 x n, t n )p 1 (x n, t n ). Következmény. (2.1) alapján az alábbi határértékek következnek: (2.12) folytonos: lim t t p(x, t x, t ) = δ(x x ), diszkrét: lim t t p(x, t x, t ) = δ xx. Chapmann-Kolmogorov egyenlet. Markov-folyamatoknál tetsz leges t > t > t id pontokat választva folytonos: p(x, t x, t ) = p(x, t x, t )p(x, t x, t )dx, Ω (2.13) diszkrét: p(x, t x, t ) = p(x, t x, t )p(x, t x, t ). x Ω Bizonyítás. Folytonos esetben a komplementaritás miatt p 2 (x, t; x, t ) = p 3 (x, t; x, t ; x, t )dx. Most alkalmazzuk mindkét oldalon a (2.11) formulát: p(x, t x, t )p 1 (x, t ) = p(x, t x, t )p(x, t x, t )p 1 (x, t )dx. Ω Ω Osszuk mindkét oldalt p 1 (x, t )-vel, és készen is vagyunk. Diszkrét esetben ugyanígy. q.e.d. Markov-folyamatoknál tehát kiemelt szerepe van a p 1 (x, ) kezdeti eloszlás függvénynek, és a p(x, t x, t ) átmeneti-valószín ség függvénynek, ahol t > t. Ezekkel ugyanis az egész folyamat leírható. Gondoljuk meg még egyszer ezen függvények jelentését az állapotok segítségével:

29 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 29 p 1 (x, t) annak a valószín sége, hogy a rendszer a t id pillanatban az x állapotban van. Ha a rendszer a t id pillanatban az x állapotban volt, akkor a kés bbi t id pillanatban p(x, t x, t ) valószín séggel lesz az x állapotban. Ezekb l természetesen kézenfekv nek t nnek az alábbi normáltsági összefüggések: (2.14) kezdeti átmeneti Folytonos p 1 (x, )dx = 1 Ω p(x, t x, t )dx = 1 Ω Diszkrét p 1 (x, ) = 1 x Ω p(x, t x, t ) = 1 Az kezd állapot normáltsága következik a (2.2) illetve (2.5) normálási feltételekb l, az átmenet normáltsága pedig p 1 (x, t ) esetén következik a komplementaritásból: p 2 (x, t; x, t )dx p(x, t x, t Ω )dx = = p 1(x, t ) p 1 (x, t ) p 1 (x, t ) = 1. Ω Ezek után megadhatjuk a Markov-folyamatoknak egy (2.9)-vel ekvivalens denícióját: A q 1 (x, ) és q(x, t x, t ), t > t függvények Markov-folyamatot határoznak meg, ha teljesül a (2.14) normálás és a (2.13) Chapmann-Kolmogorov egyenlet. Ekkor a q 1 (x, t), t > függvényt a (2.1) írja le, és a q n függvényeket a (2.11) határozza meg. Az így bevezetett q 1 és q n függvények eleget tesznek a (2.2) illetve (2.5) normálási feltételnek a (2.14) miatt, továbbá eleget tesznek a (2.3) illetve (2.6) komplementaritási feltételnek a (2.13) Chapmann-Kolmogorov egyenlet miatt Homogén Markov-folyamatok Egy Markov-folyamatot homogénnek nevezünk, ha p(x, t x, t ) = p(x, t t x, ). Ez persze nem ugyanaz, mint a stacionárius eset, hiszen itt p 1 függhet id t l. Általában a következ jelölést használjuk p(x, t x ) := p(x, t x, ) x Ω p(x, homogenitás t x ) = p(x, t + s x, s), s > esetén. Érdemes meggondolni p(x, t x ) jelentését: ha a rendszer az x állapotban van, akkor p(x, t x ) valószín séggel lesz t id múlva az x állapotban. Homogén Markov-folyamatok tulajdonságai. Legyen adott egy p(x, t x ) átmeneti valószín ség (t > ) és p 1 (x, ) kezdeti eloszlású homogén Markov-folyamat (diszkrét esetben a továbbiakban n, m,... bet ket használunk az állapottér elemeinek jelölésére). Ekkor az alábbi tulajdonságok teljesülnek: El ször is tekintsük meg p 1 alakját a (2.1) alapján: (2.15) p 1 (x, t) = p(x, t x )p 1 (x, )dx p 1 (n, t) = p(n, t m)p 1 (m, ) Ω m Ω

30 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 3 A (2.13) Chapmann-Kolmogorov egyenlet alakja (t = s ill. t = t esetén): p(x, t + s x ) = p(n, t + s m) = (2.16) = Ω p(x, t x )p(x, s x )dx = = k Ω p(n, t k)p(k, s m) = = Ω p(x, s x )p(x, t x )dx = k Ω p(n, s k)p(k, t m) A (2.12) t = határérték most így néz ki: (2.17) p(x, x ) = δ(x x ) p(n, m) = δ nm A (2.14) normálások alakja: p 1 (x, )dx = 1, Ω (2.18) p(x, t x )dx = 1 Ω p 1 (n, ) = 1, n Ω p(n, t m) = 1 n Ω Végül folytonos esetben fenn kell állnia az alábbi természetes határfeltételeknek: (2.19) lim x ± p(x, t x ) =, p(x, t x ) lim x ± x =. Homogén és stacionárius Markov-folyamatok, ergodicitás Egy homogén Markov-folyamat akkor stacionárius (vagy egyensúlyi), ha p 1 id ben nem változik. Ha adott egy a fenti feltételeknek eleget tev p átmeneti valószín ség, akkor megkereshetjük ennek p 1 stacionárius megoldásait (2.15) segítségével: p 1 (x) = p(x, t x ) p 1 (x )dx, vagy p 1 (n) = p(n, t m) p 1 (m), t > esetén. m Ω Ω Azt mondjuk, hogy a p átmeneti valószín séggel meghatározott folyamat ergodikus, ha van olyan p 1 stacionárius eloszlás, hogy bármely p 1 eloszlás esetén lim p 1(x, t) = p 1 (x). t Ez akkor és csak akkor teljesül, ha x megválasztásától függetlenül lim p(x, t t x ) = p 1 (x). Ugyanígy értend diszkrét esetben is. Az ekvivalencia elegend sége a (2.15) egyenletb l a határátmenet képzésével p normáltsága miatt nyílvánvaló. A szükségesség belátásához pedig elég kiindulni egy p 1 (x, ) = δ(x x ) kezedeti eloszlásból, ezt ugyanis beírva a (2.15) egyenletbe, majd képezve a határátmenetet, megkapjuk a kívánt eredményt.

31 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 31 Az innitezimális operátor Legyen adott a p átmeneti valószín ség. Ekkor egy f függvény feltételes várható-értéke: (2.2) f(x)p(x, t x )dx = g t (x ) vagy f(n)p(n, t m)dx = g t (m). n Ω Ω Vezessük be a következ operátoros jelölést: t > esetén ˆT t f = g t. A ˆT t operátor jelzi tehát ezt a p-vel összeintegráló, vagy összeszummázó függvénym veletet. Bármennyire is rondának t nik, van néhány nagyon szép tulajdonsága ennek az operátornak. El ször is ˆT t lineáris. Másrészt (2.17) miatt ˆT f = f, vagyis ˆT = 1 egységoperátor. Végül pedig a (2.16) Chapmann-Kolmogorov egyenlet miatt ˆT t ˆTs = ˆT t+s = ˆT s ˆTt. Most vezessük be, az innitezimális operátort: (2.21) ˆTs = 1 + Âs + O(s2 )  = lim s ˆT s 1. s Ennek segítségével felírhatunk ˆT t -re egy dierenciál egyenletet, hiszen ˆT t+s = ˆT s ˆTt = [ 1 + Âs + O(s2 )] ˆTt  ˆT t = lim s ˆTt+s ˆT t s = d ˆT t dt. Itt ˆT t+s másik sorrendben is felbontható lenne, akkor azt kapnánk, hogy  ˆT t = d ˆT t /dt, vagyis  ˆT t = ˆT t Â. Összefoglalva: (2.22) d ˆT t dt =  ˆT t = ˆT t  és ˆT = 1 ˆT t = eât. Az innitezimális operátorral tehát felépíthet ek a ˆT t operátorok (amelyeket megfelel δ függvényekre alkalmazva visszakaphatjuk a p átmeneti valószín séget), vagyis az innitezimális operátor meghatározza a Markov-folyamatot.

32 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK Diúziós folyamatok Valószín ségszámítási fogalmak összefoglalása Legyen p(x) egy folytonos eloszlásfüggvény, azaz p(x) és p(x)dx = 1. R Momentumok (2.23) M n := x n = R p(x)xn dx Generátorfüggvény (2.24) Φ(z) = e zx = R ezx p(x)dx = Kumuláns generátorfüggvény (2.25) ln Φ(z) = l= z l l! M l l Φ(z) z l = M l z= l= z l l! K l, ahol K l = l ln Φ(z) z l Érdemes megjegyezni, a K l kumulánsok els tagjait (2.26) K = ; K 1 = M 1 = x ; K 2 = M 2 M 2 1 = x 2 x 2 =: σ 2 (x). Gauss-eloszlás (2.27) p(x) = z= 1 (x m)2 e 2σ 2 x = m, σ 2 (x) = σ 2, Φ(z) = e zm+ σ2 z 2 2 2πσ 2 A kumulánsok: K 1 = m, K 2 = σ 2, K n 3 =, és m = esetén a momentumok: {, ha l páratlan, M l = (l 1)σ l, ha l páros A diúziós folyamat fogalma O(t) A továbbiakban O(t) alatt olyan függvényt értünk, amelyre lim =. Legyen t t p(x, t x ), p 1 (x, ) egy homogén Markov-folyamat, melynek állapottere R, így az alábbi integrálások mindig -t l + -ig értend k. Ez a folyamat diúziós, ha (2.28) R (x x ) n p(x, t x )dx = Ebb l fakadóan nagyon kicsi t-kre v(x )t + O(t) n = 1, σ 2 (x )t + O(t) n = 2, O(t) n 3. p(x, t x ) e (x x +v(x )t) 2 2σ 2 (x )t Gauss-eloszlás.

33 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 33 A (2.17) miatt egy diúziós folyamat olyan, hogy Dirac-deltából indul, majd kezdetben Gauss-szer en folyik szét. A szétfolyás sebességét a szórás változásával tudjuk jellemezni (2.29) v szétfolyás (t) = dσ(x ) t dt = σ(x ) 2 t, vagyis kezdetben nagyon gyors a szétfolyás, majd fokozatosan lassul. Gyakran magát ezt a szétfolyást nevezik diúziónak. Azonban nem csak szétfolyás van egy diúziós folyamatban. A fenti Gaussnak az átlagértéke is eltolódik, méghozzá dv(x )t/dt = v(x ) sebességgel. Ezt szokták driftnek is nevezni. Az ábrán a középs vonal az átlagérték, amely v(x ) sebességgel tolódik el. Az alsó és fels görbe az átlag körüli szélesed szórás. Maga a pálya 1 az x -b l indul, majd tipikusan a (v(x )t σ(x ) t, v(x )t + σ(x ) t) intervallumból meríti értékeit a különböz t id pillanatokban. Ez általában folytonos és seholsem dierenciálható függvény. Ennek egyszer en az az oka, hogy ha dierenciálható lenne, akkor kell képpen sima lenne ahhoz, hogy visszafele is tudjunk következtetni, ami ellentmond a folyamat markovságának Fokker-Planck egyenlet Most levezetünk egy dierenciál-egyenletet, amit a diúziós-folyamatoknak teljesíteniük kell. Legyen p(x, t x ) egy diúziós folyamat, és f egy tetsz leges függvény. [ f(x)p(x, t + s x )dx = f(x) p(x, t x ) + s p(x, ] t x ) dx + O(s 2 ). t A (2.16) Chapmann-Kolmogorov egyenlet és az f függvény y-körüli sorfejtése szerint f(x)p(x, t + s x )dx = f(x)p(x, s y)p(y, t x )dydx = = [ f(y) + f (y)(x y) + 1 ] 2 f (y)(x y) p(x, s y)p(y, t x )dydx = számoljuk ki az utóbbi képlet x szerinti integrálját (2.28) alapján: [ = f(y) + f (y)v(y)s + 1 ] 2 f (y)σ 2 (y)s + O(s) p(y, t x )dy = 1 Ha az x pontban vagyunk, akkor p(x, t x ) valószín séggel leszünk t id múlva az x pontban. Ezt ismerjük. A pálya(t) az a függvény, ami azt mondja meg, hogy a t id pillanatban melyik pontban vagyunk. Ezt határolja be a p valószín ség.

34 2. FEJEZET. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK 34 használjuk a parciális integrálást a (2.19) természetes határfeltételekkel: = { [ f(y) p(y, t x ) + s ( v(y)p(y, t x ) ) ( + 2 σ 2 )]} (y) y y 2 p(y, t x ) dy + O(s). 2 A legels egyenlet jobb oldala, és ez utóbbi megegyeznek. Az utóbbiban áttérhetünk y-ról x-re. f(x)p(x, t x )dx mindkét egyenletben ott van, így kiesik, a fennmaradó részeket s-el osztva, majd s-el -hoz tartva O(s)/s és O(s 2 )/s elt nnek. Ami megmarad: f(x) p(x, [ t x ) dx = f(x) ( )] t x (v(x)p(x, t x )) + 2 σ 2 (x) p(x, t x ) dx. x 2 2 Mivel ez tetsz leges f(x)-re teljesül, ezért az integrandusoknak is meg kell egyezniük. Így jutunk a Fokker-Planck egyenlethez: p(x, t x (2.3) ) = [ ] t x [v(x)p(x, t x )] + 2 σ 2 (x) p(x, t x ). x 2 2 A levezetésb l (közvetlenül a parciális integrálás el tti formulából) leolvashatjuk a (2.1.3) részben deniált innitezimális operátort: Â = v(x) x + σ2 (x) 2 2 x. 2 Megjegyzés. Természetesen a diúziós folyamat deníciójában megengedhettük volna, hogy magasabb momentumok is arányosak legyenek t-vel. Ez ebben az egyenletben magasabb deriváltak megjelenését jelentené. Csakhogy kiderül, hogy az ilyen folyamatok már általában ugró folyamatok, vagyis nem írhatók le dierenciál egyenlettel. p 1 kielégíti a Fokker-Planck egyenletet A (2.15) mindkét oldalát deriváljuk t szerint és használjuk az el bbi (2.3) egyenletet: p 1 (x, t) = t ] p(x, t x )p 1 (x, )dx p(x, t x ) p 1 (x, )dx = t [ σ 2 (x) = [ v(x) + 2 x x 2 2 Itt (2.15) ismételt alkalmazásával az alábbi eredményre jutunk: (2.31) p 1 (x, t) t = x [ v(x)p 1 (x, t) x Érdemes észrevenni a következ t: (2.32) J(x) := v(x)p 1 (x, t) [ ] σ 2 (x) p 1 (x, t) x 2 p(x, t x )p 1 (x, )dx ]. [ ]] σ 2 (x) p 1 (x, t). 2 p 1(x, t) t = x J(x). J(x)-et valószín ségi árams r ségnek is nevezhetjük. Így a fenti egyenlet egy kontinuitási egyenlet. Ha megvizsgáljuk ezt az áramot, akkor az els tagja a konvektív, vagy drift áram, a második tagja a konduktív, vagy diúziós áram 2. 2 H tanban konduktív ármanak nevezik azt, amikor egy fém vezeti a h t, tehát h vezetés, és így h áram történik anyagi áramlás nélkül. Konvektív h áramról pedig akkor beszélünk, amikor a h gáz, vagy folyadék áramlása által terjed (pl. t z fölött a leveg kitágul, ritkább lesz, helyét hidegebb foglalja el, vagyis leveg által hordott h áramlás keletkezik). Itt most nem anyags r ség, hanem valószín ségs r ség szerepel az egyenletben, és látható, hogy a konvektív tag a valószín ség-s r ség "mozgása" által létrejöv áram, a konduktív tag, pedig e s r ség grandienséb l létrejöv áramlás.