1 Egydimenziós szórás, alagúteffektus

Átírás

1 Egydmezós szórás, alagúteffektus Potecál barrer I : x a V x V > II : a x III : x > Hullámfüggvéyek és áramsűrűségek E k m ψ I x Ae kx + Be kx 3 ψ III x Ce kx 4 j I x m Im ψi x dψ I x A k dx m k B m + m Im B Ae kx A Be kx }{{} j A k m j I j j r 6 j r B k m 5 7 Vsszaverődés reflexós együttható R j r j B A j III j t C k m 8 9 Áthaladás traszmsszós együttható T j t j C A j j r + j t R + T Hullámfüggvéy a potecálgáto E V α m ψ II x F e αx + Ge αx 3 Hullámfüggvéy llesztések és az együtthatók meghatározása ψ I a ψ II a Ae ka + Be ka F e αa + Ge αa 4 ψ I a ψ II a Ake ka Bke ka F αe αa Gαe αa 5 A α + k e ka + B α k e ka F αe αa 6 A α k e ka + B α + k e ka Gαe αa 7

2 ψ II ψ III F + G C 8 ψ II ψ III F G α kc 9 F α C α + k Gα C α k A α + k e ka + B α k e ka C α + k e αa A α k e ka + B α + k e ka C α k e αa 3 Ae α ka + B α k α + k eα+ka C 4 Ae α+ka + B α + k α k e α ka C 5 Ae α ka + B α k α + k eα+ka Ae α+ka + B α + k α k e α ka 6 A e α ka e α+ka [ α + k B α k e α ka α k ] α + k eα+ka 7 B A e α ka e α+ka α+k α k e α ka α k α+k eα+ka eαa e αa α+k α k e αa α k e ka α+k eαa e αa α+k k α k α e ka α+k eαa 8 B A k α e αa k + α k α e αa e ka 9 C A 4kα k + α k α e αa eα ka 3 k α e αa k α e αa R k + α k α e αa k α e αa + 4kα 3 k α k + α + 4kα 4k α k α e αa + k α s αa 3 4kα T k + α k α e αa + k α e αa 4kα 4kα 4kα + k α 33 e αa k α s αa + 4k α 34 + a b + + b a R + T 35

3 T + V s m E V a 4E E V 36 lm T E V + + mv a 37 E V T + V sh m V Ea 4E V E 38 m V Ea T 6E V E 8m V exp V Ea 39 3

4 Méréselmélet Helymérés Aak valószíűsége, hogy a részecskét a [x, x ] tervallumba találjuk w x, x x x ψ x dx ψ x ψ x dx 4 x x Megtalálás valószíűségsűrűség A helyoperátor sajátfüggvéye w x, x + dx P x dx 4 P x ψ x ψ x 4 x δ x x δ x δ x x x δ x 43 δ x ψ ψ x 44 P x ψ δ x δ x ψ 45 A mérés átlaga x x w x, x + dx x P x dx x ψ δ x δ x ψ dx 46 Impulzus mérés p w p, p + dp P p dp 47 P p ψ p ψ p 48 ψ p ϕ p ψ h p w p, p + dp p P p dp dx e px ψ x 49 p ψ ϕ p ϕ p ψ dp 5 Mérés eredméy hely lletve mpulzus sajátállapotba x x p p x δ x x dx x 5 p δ p p dp p 5 Általáosítás dszkrét spektrumú operátorra Az O megfgyelhető fzka meységet mérő kvatummechaka mérőeszköz szeparátor a ψ hullámfüggvéyt az O operátor valamely sajátállapota szert válogatja szét hullámfüggvéy redukcó. A mérés eredméy ezért mdg az O operátor valamely sajátértéke lesz. Egy megfgyelhető fzka meység operátoráak sajátállapotába tszta állapot a mérés eredméy az operátor megfelelő sajátértéke O ϕ o ϕ O ϕ o 53 4

5 3 Ha a redszer az O operátor sajátállapotaak szuperpozícója szuperpoált állapot, ψ c ϕ 54 ahol c ϕ ψ 55 akkor aak valószíűsége, hogy a mérés o értéket ad w c ϕ ψ ψ ϕ. 56 Nylvávaló, hogy a teljes mérés valószíűség w c ψ ϕ ϕ ψ ψ ψ Következméy: Az o megfgyelhető fzka meység méréséek átlaga a ψ szuperpoált állapotba: O ψ w o c o ψ ϕ ϕ ψ o 58 ψ o ϕ ϕ ψ ψ O ψ 59 A kvatummechaka átlagérték megegyezk a mérés átlaggal. A mérés eredméy dőfüggése d O dt Kvatummechaka dődervált O t ψ t O ψ t 6 ȯ t ψ t O ψ t + ψ t O ψ t 6 Hψ t O ψ t + ψ t O Hψ t 6 ψ t OHψ t ψ t HOψ t 63 ψ t OH HO ψ t ψ t [O, H] ψ t 64 d O dt do dt Az O fzka meység mozgásálladó, ha [O, H]. Ehrefest tételek ψ t do dt [O, H] 65 ψ t 66 H p m + V 67 dx dt [x, H] [ x, p ] m m [x, p ] p + p [x, p ] 68 m p p m dp dt [p, H] [p, V ] 69 [ ], V V F 7 5

6 3 Határozatlaság relácók Mérés eredméy szórása stadard eltérés O σ o O O w o O 7 c o O ψ ϕ o O ϕ ψ 7 ψ o O ϕ ϕ ψ ψ O O ψ 73 Megjegyzés: O ψ O ψ ψ O ψ 74 Sajátállapotba a szórás zérus, azaz a mérés determsztkus: O ϕ o 75 O ϕ ϕ O ϕ o 76 O ϕ O ϕ O ϕ 77 Szuperpoált állapot szórása véges: O ψ > Példa: ψ c ϕ + c ϕ 78 O ϕ o ϕ, O ϕ o ϕ, ϕ ϕ c, c, c + c O ψ O ψ c o + c o 79 o O c o o 8 o O c o o 8 O ψ c o O + c o O 8 c c 4 + c 4 c o o 83 c c o o 84 Vlágos, hogy O ψ csak abba az esetbe zérus, ha o o, azaz ϕ és ϕ egy degeerált sajátértékhez tartozó sajátállapotok. Heseberg-féle határozatlaság relácó: Legye A és B két megfgyelhető fzka meység operátora és C [A, B]. Ekkor a redszer bármely állapotába: A B C 85 Megjegyzés: A tétel szert, ameybe méréssorozatot végzük ugyaazo ψ állapotba preparált állapot az A és B megfgyelhető meységekre, akkor eze mérések mdegyke em végezhető el tetszőleges potossággal, lletve csak abba az esetbe, ha ψ [A, B] ψ. Mvel [p x, x] p x x, azaz egy részecske valamely helykoordátája és eze ráyú mpulzusa semmlye állapotba sem mérhető egyszerre tetszőleges potossággal. 6

7 Bzoyítás: f A A ψ, g B B ψ 86 A f f, B g g 87 A B f f g g f g ψ A B ψ 88 ψ A B B A + A B + B A ψ 89 ψ A B B A ψ + ψ A B + B A ψ 9 + ψ A B B A ψ ψ A B + B A ψ + ψ A B B A ψ ψ A B + B A ψ Mvel A B + B A hermtkus ψ A B + B A ψ ψ A B + B A ψ 9 és A B B A + A B B A ψ A B B A ψ ψ A B B A ψ 9 az utolsó két tag kajt egymást. Továbbá ψ A B + B A ψ 93 ezért A B ψ A B B A ψ. 94 Végezetül így ezzel a tételt bzoyítottuk. A B B A [A A, B B ] [A, B] C 95 Hullámcsomag A helyoperátor sajátállapotába x. Ez az állapot mpulzus reprezetácóba ϕ p h Az mpulzus várhatóértéke ebbe az állapotba dx δ x x e px e px h. 96 vszot az mpulzus mérése p dpe px pe px h h dp p 97 matt teljese határozatla. Kostruáljuk meg a p p h dpe px p e px h ψ x h dp p 98 dpϕ p e px 99 7

8 állapotot hullámcsomagot úgy, hogy Legye p p p C dppe p p /σ C p p C dppϕ p p dpp ϕ p σ. ϕ p Ce p p /4σ dpe p p /σ + dp p p e p p /σ }{{} 3 dpe p /σ p C σ dte t 4 p p dt t e t dte t dte t dy y e y Γ p p C σ π p C σ 4 π σ π Impulzus reprezetácóba a keresett hullámfüggvéy tehát dp p p e p p /σ σ π 5 π 6 dt t e t 7 dt t e t dy 3 ye y Γ π Γ 8 p p σ 9 ϕ p e p p /4σ σ π 4 koordáta reprezetácóba pedg: ψ x σ π 4 h e p x σ π 4 h dpe p p /4σ e px dpe p /4σ e px Felhaszálva, hogy adódk, hogy A valószíűségsűrűség a 4σ, b x σ π ψ x σ π 4 h π ds e as +bs a e b a 3 dpe p /4σ e px σ πe x σ 4 e x σ e px σ π 4 e p x x σ. 5 ψ x σ x σ π e 6 8

9 A hely mérés értéke és szórása x σ π 3 3 σ 3 4σ π x σ π dx x e x σ 4σ π π 4 x σ σ dx x e x σ 7 dx x e x σ t xσ 3 4σ 3 σ 3 π dt t e t 8 9 Ie következk, hogy a hullámcsomagra x p azaz a hely és mpulzus mérés szórásáak szorzata a Heseberg-féle határozatlaság relácó alsó határá va. 9

10 4 Időfüggetle Raylegh-Schrödger perturbácószámítás Perturbált Hamlto operátor H H + λw A perturbálatla Hamlto operátor spektrál-felbotása A perturbált stacoárus Schrödger egyelet H ε Ψ Ψ Határfeltétel Asatz a hullámfüggvéyre H + λw Ψ ε Ψ,,... 3 lm λ Ψ λ 4 lm λ ε λ 5 Ψ λ c λ Ψ + δψ λ 6 lm c λ és lm δψ λ 7 λ λ Szokásos választás Következméy c λ Ψ λ Ψ + δψ λ 8 δψ λ c λ Ψ Ψ δψ 9 A perturbált megoldás sorfejtése λ hatváya szert δψ λ k Ψ k Ψ Ψ k 3 k azaz a hullámfüggvéy perturbatív korrekcó ortogoálsak a perturbálatla állapotra, valamt ε ε + k λ k ε k 3 A 3 egyeletet felhaszálva Ψ H Ψ + λ Ψ W Ψ ε Ψ Ψ ε ε + λ Ψ W Ψ 3 33 majd a sorfejtéseket behelyettesítve ε + k k λ k ε k ε + λ k+ Ψ λ k ε k ε + k k W Ψk λ k Ψ W Ψ k 34 35

11 következk, hogy ε k Ψ W Ψ k k,, Specálsa, az elsőredű eergakorrekcó ε Ψ W Ψ 37 Elsőredű degeerált perturbácószámítás H m µ H Ψ ε Ψ µ Ψ µ + ε j jε j ε Ψ j Ψ j 38 Ψ Ψ + λ Ψ 39 m Ψ c ν Ψ ν 4 ν H + λw Ψ + W Ψ ε Ψ µ W Ψ ε m ν m ν ε + λε Ψ Ψ 4 + ε Ψ 4 43 Ψ µ Ψ Ψ µ W Ψ ν cν ε c µ 44 [ Ψ µ W Ψ ] ν ε δ µν c ν 45 W µν Ψ µ W Ψ ν 46 det W ε I 47 A hullámfüggvéy korrekcóak számítása H + λw H Ψ k k λ k Ψ k k λ k ε k k λ k Ψ k 48 H Ψ ε Ψ 49 H Ψ + W Ψ ε Ψ + ε Ψ 5 k + W Ψ k H ε Ψ k l ε l Ψ k l k,,... 5 W Ψ k + k l ε ε Ψ Ψ Ψ k W Ψ k + Q Ψ Ψ ε ε ε l Ψ k l 5 k l ε l Ψ k l 53 54

12 Q ε ε Ψ Ψ Ψ k Ψ Ψ Ψ k Ψ k 55 Ψ k A hullámfüggvéy elsőredű korrekcója: Q W Ψ k + k l ε l Q Ψ k l 56 Ψ Az eerga másodredű korrekcója: Q W Ψ ε Ψ W Ψ Ψ Ψ W Ψ ε ε Ψ W Ψ Ψ W Ψ ε ε

13 4. Elsőredű Stark-effektus A hdrogéatom elfajult ívóak felhasadása homogé elektromos tér jelelétébe. Példakét tektsük a égyszerese elfajult ívóját. A ulladredű hullámfüggvéyek: ψ r r e r a 3/ a Y ϑ, ϕ, 6 a ahol ψ m r r e r a Y 3a 3/ m ϑ, ϕ, 6 a Y ϑ, ϕ, Y ϑ, ϕ 4π 3 Y ϑ, ϕ 8π sϑe ϕ, Y ϑ, ϕ A perturbácó operátora z ráyú elektromos tér eseté: V r q E r eer cos ϑ A perturbácó mátrxelemebe vzsgáljuk a térszög szert tegrálokat: π π ψ V ψ s ϑdϑ 3 π s ϑdϑ cos ϑ π ψ V ψ m π s ϑdϑ π π s ϑdϑ 4π 3 cosϑ, 6 4π 3 8π sϑeϕ, 63 4π 3 eery ϑ, ϕ 64 dϕ Y ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ Y 3 π dϕ Y ϑ, ϕ Y π ϑ, ϕ 65 xdx 66 m ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ 67 dϕ Y ϑ, ϕ Y m ϑ, ϕ 4π δ m 68 a gömbharmokusok ortoormáltsága matt. A maradék mátrxelemebe először a ϕ-szert tegrált vzsgálva: ψ m V ψ m π π s ϑdϑ π így csak a ψ m V ψ m mátrxelemeket kell kszámíta: ψ V ψ ψ V ψ π π dϕ Y m ϑ, ϕ Y ϑ, ϕ Y m ϑ, ϕ 69 dϕe m mϕ πδ mm 7 cos 3 ϑ s ϑdϑ s ϑ cos ϑ s ϑdϑ hsze mdkét esetbe páratla függvéyt tegráltuk a [, ] tatomáyo. Az egyetle zérustól külöböző mátrxelem tehát: 4 V V, 3a 3 ee 8 3 a ee 8 3 a ee x 3 dx 7 x xdx 7 dr r r r 3 e r a a a dxx 4 x e x 4 3 3a ee

14 ugyas x e αx dx! α A szekulárs mátrx a hullámfüggvéyeket,,, sorredbe írva: λ V λ V λ, 75 λ melyek sajátértéke {λ, V + λ, λ V }. Következésképpe az elsőredű eergakorrekcók: E, { V 3a ee V 3a ee, E E, 76 azaz a perturbácószámítás első redjébe az eredetleg égyszerese elfajult ívó egy változatla eergájú kétszerese elfajult ívóra és két szmmetrkusa elhelyezkedő, egyszerese elfajult ívóra hasad fel. 4

15 5 Paul-egyelet Kétkompoesű hullámfüggvéy, drektösszeg Hlbert tér: ψ H L R 3 L R 3 77 ψ, ψ L R 3 : ψ ψ ψ 78 a, b C, ψ ψ ψ, ϕ ϕ ϕ : aψ + bϕ aψ + bϕ aψ + bϕ 79 ψ ψ ϕ ϕ ψ ϕ + ψ ϕ 8 Operátorok drektösszege: A, B L L R 3, L R 3 8 A B L L R 3 L R 3, L R 3 L R 3 8 A B ψ ψ Aψ Bψ 83 Ezzel le tudjuk ír a sp-függetle Hamlto operátor hatását: H p m + V r + µ B B L 84 Kvatummechaka várhatóérték: H H ψ ψ H ψ H ψ 85 ψ ψ A B ψ ψ ψ A ψ + ψ B ψ 86 Hogya hatak a sp-operátorok a drektösszeg Hlbert tére? S és H felcserélhetők: S L L R 3 L R 3, L R 3 L R 3 87 S σ, S αβ σαβ C 88 S ψ ψ S ψ + S ψ S ψ + S ψ 89 H H S ψ ψ H H S ψ + S ψ S ψ + S ψ S H ψ + S H ψ S H ψ + S H ψ 9 9 S H ψ H ψ S H H ψ ψ 9 S hermtkus: ϕ ϕ S ψ ψ ϕ S ψ + S ψ + ϕ S ψ + S ψ S S S S ϕ ψ + ϕ ψ + ϕ ψ + ϕ ψ S ϕ + S S ϕ ψ + ϕ + S ϕ ψ Mvel a Paul mátrxok öadjugáltak: és ezért, S S, S S, S S, S S, 96 ϕ ϕ S ψ ψ S ϕ ϕ ψ ψ 97 3 Hasolóa, a Paul mátrxok bztosítják, hogy az S operátorok a perdületek megfelelő felcsrélés relácókak teszek eleget. [σ, σ j ] ε jk σ k [S, S j ] ε jk S k 98 5

16 Külööse a sp-operátorok matt érdemes áttér a tezorszorzat ábrázolásra: χ C : χ, χ 99 ψ ψ L R 3 C H ψ ψ χ + ψ χ ψ ψ ϕ ψ χ ϕ χ + ψ χ ϕ χ + ψ χ ϕ χ + ψ χ ϕ χ ψ ϕ χ χ + ψ ϕ χ χ + ψ ϕ χ χ + ψ ϕ χ χ 3 }{{}}{{}}{{}}{{} ψ ϕ + ψ ϕ 4 potosa mt a drektösszeg ábrázolásba. Továbbá: lletve szokásos mátrxalakba: A A valamt S S S S azaz S S S S A L L R 3, L R 3 5 A C L L R 3 C, L R 3 C 6 A C ψ χ + ψ χ Aψ χ + Aψ χ 7 ψ ψ Aψ, 8 Aψ S : L C, C C 9 S χ S χ + S χ, S χ S χ + S χ S S S, S S S S S L R 3 S L L R 3 C, L R 3 C L R 3 S ψ χ + ψ χ ψ S χ + ψ S χ ψ S χ + S χ + ψ S χ + S χ S ψ + S ψ χ + S ψ + S ψ χ 3 ψ ψ S ψ + S ψ S ψ + S ψ am azoos a drektösszeg ábrázolásba bevezetett hatással, l. a 89 egyeletet., 4 Hamlto operátor ahol a sp gromágeses faktora: H H C + L R 3 gµ B B S, 5 g. 6 Mátrxalakba: H H + µ B B σ µ B B σ µ B B σ H + µ B B σ 7 6

17 Tömör írásmód a fetek tudatába!: H p m + V r + µ B B L + g S 8 Paul-egyelet t ψ r, t t ψ r, t p t ψ r, t Hψ r, t 9 m + V r + µ B B L + µb B σ µ B B σ µ B B σ p m + V r + µb B L + µb B σ ψ r, t ψ r, t z ráyú homogé mágeses tér eseté: t ψ r, t p t ψ m + V r + µb BL z + µ B B ψ r, t r, t p m + V r + µ B BL z µ B B ψ r, t t ψ p r, t m + V r + µ B BL z + µ B B ψ r, t t ψ p r, t m + V r + µ B BL z µ B B ψ r, t 3 Valószíűségsűrűség ρ r, t ψ r, t ψ r, t ψ r, t + ψ r, t 4 A sp dőfejlődése ahol A pályamometum dőfejlődése ahol dl dt ds dt [S, H] gµ B [S, S j ] B j 5 gµ B ε jkb j S k d L dt B M S 6 d S dt M S B 7 M S gµ B S 8 [L, H] [L, V ] + µ B [L, L j ] B j 9 [ r ], V + µ [ B ε jkb j L k r M V + L ] B 3 r V + M L B 3 M L µ B L 3 Teljes mpulzusmometum J L + S 33 d J dt r V + M B 34 M M L + M S 35 7

18 6 Időfüggő perturbácószámítás Időfüggő perturbácó H t H + W t 36 A perturbálatla Hamlto operátor sajátfüggvéye A perturbált redszer düggő Schrödger egyelete H Ψ ε Ψ 37 Ψ t e ε t Ψ 38 t Ψ t H + W t Ψ t 39 Határfeltétel lm Ψ t Ψ 4 t Kfejtés Ψ t e ε t c t Ψ 4 és a határfeltétel c δ 4 A kfejtést behelyettesítve az dőfüggő Schrödger egyeletbe ε c t + ċ t e ε t Ψ ε + W t c t e ε t Ψ 43 khaszálva a perturbálatla stacoárus sajátfüggvéyek ortoormáltságát ε k c k t + ċ k t e ε k t ε δ k + W k t c t e ε t 44 Dfferecálegyelet c t-re ċ k t W k t c t e ω k t 45 ahol és A dfferecálegyeletet ktegrálva Megoldás szukcesszív approxmácóval c k t c k + W k t Ψ k W t Ψ ω k ε k ε c r+ k t c r k + t t W k τ c τ e ω k τ dτ 48 W k τ c r τ e ωk τ dτ 49 c t δ Ψ t e ε t Ψ 5 8

19 Elsőredű megoldás c k t δ k + t W k τ e ωk τ dτ 5 Átmeet valószíűség k P k t Ψ k Ψ c t k t t W k τ e ωk τ dτ 5 Időbe perodkusa változó potecál, pl. elektromos tér t W r, t e E r cos ωt W r e ω t + e ω t 53 W r e E r 54 W k t W k e ω t + e ω t 55 W k Ψ k W Ψ e E W k τ e ω k τ dτ W k t W k e [ω k +ω]t ω k + ω + e[ω k ω]t ω k ω Ψ k r Ψ e E r k 56 e [ω k+ω]τ + e [ω k ω]τ dτ 57 W k e [ω k+ω]t/ s [ω k + ω t/] + e [ω k ω]t/ s [ω k ω t/] ω k + ω / ω k ω / P k t W k s [ω e[ωk+ω]t/ k + ω t/] ω k + ω / + e [ωk ω]t/ s [ω k ω t/] ω k ω / 6 ha t /ω csúcsok félértékszélessége pl. az emsszós csúcsra: ε k ε + ω abszorpcó 6 ε k ε ω dukált emsszó 6 ω k ω + ω k ω k t π E k t π 63 azaz az eergaváltozás bzoytalasága és a perturbácó dőtartama mérés dő között a határozatlaság relácóak megfelelő kapcsolat áll fö. A két spektráls csúcs szétválk P k t W k W k s αt πα dα t yαt s [ω k + ω t/] [ω k + ω /] s [ω k + ω t/] [ω k + ω /] t + s [ω k ω t/] [ω k ω /] + s [ω k ω t/] [ω k ω /] t 64 t 65 s y s αt y dy π lm t πα δ α 66 t 9

20 P k t W k π δ [ε k ε + ω] + δ [ε k ε ω] t 67 π W k δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω t 68 Ferm-féle arayszabály dőegységre jutó átmeet valószíűség P k t w k t 69 w k π W k δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω 7 t dőpllaatba bekapcsolt kostas perturbácóra, W r, t W r Θ t, w k π W k δ ε k ε 7 Aak valószíűsége, hogy a redszer az -k állapotból valamely másk állapotba jut: P t P k t w k t 7 k k Sűrű folytoos spektrum, pl. szórás állapotok vagy szlárdtestek sávja eseté w k δ ε ε k w k dε 73 k k azzal a közelítéssel élve, hogy w k helyettesíthető az ε k eergájú állapotoko vett átlagával π W ε k δ ε k ε + ω + δ ε k ε ω w k w ε k 74 π W δ ε k ε w k w ε δ ε ε k dε w ε D ε dε 75 k k ahol bevezettük a folytoos spektrum állapotsűrűségét D ε k δ ε ε k 76 w k k π W ε ω D ε ω + W ε + ω D ε + ω π W D ε 77 Dpólátmeetek kválasztás szabálya H-atomra x r s ϑ cos ϕ r s ϑ e ϕ + e ϕ 78 y r s ϑ s ϕ r s ϑ e ϕ e ϕ 79 z r cos ϑ 8

21 Ψ lm r L l r/r B e r/rb P lm cos ϑ e mϕ 8 ahol L l x az asszocált Laguerre-polomokat, P lm x pedg az asszocált Legedre függvéyeket jelöl. l m x lm L l r/r B L l r/r B rdr 8 a fet tegrálok zérustól kkülöbözőek a főkvatumszámra cs kválasztás szabály l m x lm l m y lm l m z lm π π π [ e m m +ϕ + e m m ϕ ] dϕ m m ± 83 [ e m m +ϕ e m m ϕ ] dϕ m m ± 84 e m m ϕ dϕ m m 85 l m x lm P l m cos ϑ P lm cos ϑ s ϑ d cos ϑ 86 P l m x P lm x x dx 87 mvel a P lm x függvéy partása l+m, és a fet tegrál csak abba az esetbe külöbözk zérustól, ha l +m l+m l +m +l+m 88 azaz l + m + l + m páros. Mvel ebbe az esetbe m + m páratla, következk, hogy l + l s páratla kell, hogy legye. A P lm x függvéyek rekurzós összefüggése matt azoba eél több s teljesül l l ±. Ugyaez áll fe az y és z mátrxelemere s.

22 7 Azoos részecskékből álló redszerek 7. Azoos részecskék redszeréek hullámfüggvéye Egyrészecske hullámfüggvéy sp-koordáta reprezetácóba ψ L R 3 C s+ ψ m s r χ s,m s ψ r, m s ψ 89 N azoos részecske hullámfüggvéye ψ N H N H H... H H }{{ ψ } N,,..., N 9 N szeres drektszorzattér Két részecske felcserélése P, j ψ N...,,..., j,... ψ N..., j,...,,... 9 P, j I 9 P, j ψ kψ k ± 93 Azoosság elve A megtalálás valószíűség varás két azoos részecske felcserélésére: ψ N ψ N P, j ψ N P, j ψ N 94 ll. bármely mérés eredméy s az: ψ N A ψ N P, j ψ N A P, j ψ N 95 ahol A tetszőleges hermtkus többrészecske operátor. Legye A φ φ, ahol φ H N. Ekkor ψ N φ φ ψ N P, j ψ N φ φ P, j ψ N 96 máskét Eek elégséges feltétele: φ ψ N ψ N φ φ P, j ψ N P, j ψ N φ. 97 ψ N ψ N P, j ψ N P, j ψ N 98 ψ N ψ N ψ N P, j ψ N P, j ψ N ψ N 99 tehát P, j ψ N c ψ N 3 ahol c / P, j ψ N ψ N. Nylvávaló, hogy c ± és ψ N P, j ψ N ±. 3 Osztályozás: ψ N bozook s,,... P, j ψ N ψ N fermook 3 s, 3,...

23 Hamlto operátor és Schrödger egyelet Ugyaakkor ψ N P, j ψ N választással Mt jelet a P, j H N P, j operátor: azaz t ψ N H N ψ N 33 t P, j ψ N P, j H N ψ N P, j H N P, j P, j ψ N 34 t ψ N H N ψ N tp, j ψ N H N P, j ψ N 35 [H N P, j H N P, j] ψ N 36 H N P, j H N P, j [P, j, H N ] 37 P, j H N, j P, j ψ N, j P, j H N, j ψ N j, H N j, ψ N, j 38 P, j H N, j P, j H N j, 39 tehát az azoos részecskék Hamlto operátora s szükségszerűe varás két részecske felcserélésére. Következméy: a hullámfüggvéy permutácós szmmetrája mozgásálladó: d dt ψ N P, j ψ N ψ N [P, j, H N ] ψ N 3 Paul elv: Az elektrook fermook, azaz egy többelektroos hullámfüggvéy atszmmetrkus a részecskék felcserélésére ézve. Atszmmetrkus hullámfüggvéy kostrukcója: ϕ a, ϕ b H L R 3 C Drektszorzat hullámfüggvéyek: ϕ a ϕ a, ϕ b ϕ b, ϕ a ϕ b, ϕ b ϕ a 3 egyszerűsített írásmóddal: ϕ a ϕ a, ϕ b ϕ b, ϕ a ϕ b, ϕ b ϕ a 3 Általáos hullámfüggvéy: ψ, c aa ϕ a ϕ a + c bb ϕ b ϕ b + c ab ϕ a ϕ b + c ba ϕ b ϕ a 33 Két részecske felcserélése: ψ, c aa ϕ a ϕ a + c bb ϕ b ϕ b + c ab ϕ a ϕ b + c ba ϕ b ϕ a 34 c aa ϕ a ϕ a + c bb ϕ b ϕ b + c ab ϕ b ϕ a + c ba ϕ a ϕ b 35 ugyaakkor ψ, ψ, c aa ϕ a ϕ a c bb ϕ b ϕ b c ab ϕ a ϕ b c ba ϕ b ϕ a 36 c aa c aa 37 c bb c bb 38 c ab c ba 39 3

24 azaz ψ, ϕ a ϕ b ϕ b ϕ a 3 ahol ψ, -t -re ormáltuk. Determás alakba: ψ, ϕ a ϕ b ϕ a ϕ b 3 Általáosítás: ϕ, ϕ,..., ϕ N H ortoormált függvéyek Ψ ϕ,ϕ,...,ϕ N,..., N N! P,...,N P P,..., N ϕ... ϕ N N 3 ahol P,..., N az,..., N természetes számok tetszőleges permutácója, melybe a felcserélések száma P. Slater determás: Ψ ϕ,ϕ,...,ϕ N,..., N ϕ ϕ ϕ N ϕ ϕ ϕ N N! ϕ N ϕ N ϕ N N Paul-féle kzárás elv: Az N egyrészecske hullámfügvéy drektszorzat teré kostruált N-részecske fermo hullámfüggvéybe mdegyk egyrészecske hullámfüggvéy csak egyszer fordul elő két fermo em lehet ugyaabba az egyrészecske állapotba. 33 Általáos hullámfüggvéy: {ϕ H, N} TONR ψ,..., N C,,..., N Ψ,,..., N,..., N 34,,..., N N l k Bozoredszer hullámfüggvéye ψ,..., N { ϕ H L R 3 C s+} TONR s,,,...,,..., N N Ψ B,,..., N,..., N N! C,,..., N Ψ B,,..., N,..., N 35 P,...,N P,..., N ϕ... ϕ N N 36 Betöltés szám reprezetácó Az egyrészecske hullámfüggvéyek drektszorzat teré kostruált hullámfüggvéyek átfogalmazása: Ψ F,,..., N l k,,...,, Ψ B,,..., N... N egyébkét k,...,n δ, k N 38 N 39 N 4

25 Ameybe az egyrészecske hullámfüggvéyek az egyrészecske Hamlto operátor sajátfüggvéye: H ϕ ε ϕ 33 akkor,,...,,... a H N,..., N H H... H N 33 függetle N-részecske Hamlto-operátor sajátfüggvéye, E N ε 33 N sajátértékkel. 7. Két kölcsöható elektro: Hélumatom Hamlto operátor H, H, + V, 333 H, H + H 334 H m ke r, 335 V, ke r r 336 Egyelektro hullámfüggvéyek H φ lms ε φ lms 337 ε 4 m ke 4 Ryd Alapállapot s állapotokból képzett Slater determás ϕ a r, m s φ,,, r, m s φ s r χ ϕ b r, m s φ,,, r, m s φ s r χ ψ s, φ s r φ s r [ χ χ χ χ ] M a hullámfüggvéy sp-függő részéek a jeletése? Össz-spoperátor: S S + S 34 [S, S j ] 343 [S, S j ] ε jk S k 344 S S + S + S S S + S + S zs z + S + S + S S

26 ] S z [χ χ χ χ [ S z + S z χ ] χ χ χ χ χ + χ χ 346 S χ χ S + S + S z S z + S + S + S S + χ χ χ χ χ χ 348 χ χ + χ χ 349 S χ χ + χ χ 35 [ ] S χ χ χ 35 Következméy: χ,, [ ] χ χ χ χ az S és S z operátorok közös sajátfüggvéye egyarát zérus sajátértékkel S, M S szglet két-sp állapot A hélumatom eze közelítő alapállapotát paraállapotak evezzük Parahélum ψ s, φ s r φ s r χ,, 35 H, ψ s, E s ψ s, 353 E s 8 Ryd 354 M az alapállapot eerga a perurbácószámítás első redjébe? E ψ s s, V, ψ s, 355 φ s r φ s ke r r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r 356 ke s r s r r r d 3 r d 3 r C s > 357 Ez az eergakorrekcó egy s r töltéseloszlás klasszkus elektrosztatkus eergája. 7.. Gerjesztett állapotok s és s állapotokból képzett Slater determások [ ψs s, φ s r φ s r χ χ φ s r φ s ] r χ χ 358 [ ψs s, φ s r φ s r χ χ φ s r φ s ] r χ χ 359 ψs s 3, [φ s r φ s r φ s r φ s r ] χ χ 36 ψs s 4, [φ s r φ s r φ s r φ s r ] χ χ 36 6

27 Célszerű az első két hullámfüggvéy következő leárkombácót képez ψs s, ψ s s, ψs s, 36 φ s r φ s r + φ s r φ s r χ χ χ χ 363 s s, ψ s s, + ψs s, 364 φ s r φ s r φ s r φ s r χ χ + χ χ 365 ψ Ekkor ugyas köye belátható, hogy a két-elektro hullámfüggvéyek sp-függő kompoese mde esetbe az S és S z operátorok közös ortoormált sajátfüggvéye χ S,MS, χ S,MS, χ χ χ χ χ χ + χ χ szglet állapot aszmetrkus χ S,MS, χ χ trplet állapotok szmetrkus χ S,MS, χ χ és bevezetve az ugyacsak ortoormált szmmetrkus és atszmmetrkus térfüggő kompoeseket, φ + s s r, r φ s r φ s r + φ s r φ s r 367 φ s s r, r φ s r φ s r φ s r φ s r 368 a két-elektro hullámfüggvéyek a következő alakra egyszerűsödek most már elhagyva a jelölést 366 ψ s s, φ + s s r, r χ,, 369 ψ s s, φ s s r, r χ,, 37 ψ 3 s s, φ s s r, r χ,, 37 ψ 4 s s, φ s s r, r χ,, 37 Eze állapotok a H, perturbálatla Hamlto operátor degeerált sajátfüggvéye, H, ψs s, E s sψs s, 373 E s s 4 + Ryd 5 Ryd Az elektrook között Coulomb kölcsöhatás operátora sp-függetle, ezért - fgyelembevéve, hogy a spfüggvéyek ortoormáltak - a perturbácó operátora dagoáls, így az elsőredű eergakorrekcók valamt, 3, 4 E, s s ψs s, V, ψ s s, 375 φ + s s r, r ke r r φ+ s s r, r d 3 r d 3 r 376 E, s s ψs s, V, ψ s s, 377 φ s s r, r ke r r φ s s r, r d 3 r d 3 r 378 7

28 A trplet állapotok továbbra s degeeráltak maradak, de a szglet és trplet állapotok eergája külöböz fog. Vzsgáljuk meg az eergakorrekcók jeletését: φ ± s s r, r ke r r φ± s s r, r d 3 r d 3 r 379 φ s r φ s r ke r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r 38 + φ s r φ s r ke r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r ± φ s r φ s r ke r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r ± φ s r φ s r ke r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r Az első két tag a korábba látott klasszkus kölcsöhatás eergát adja C s s ke s r s r r r d 3 r d 3 r 38 a másodk két tagak vszot cs klasszkus megfelelője. Mvel azoos argumetummal két külöböző hullámfüggvéy szerepel bee, ezt kcserélődés tegrálak evezzük K s s ke φ s r φ s r r r φ s r φ s r d 3 r d 3 r R 38 és a szglet-trplet eergafelhasadást pot ez a tag adja E,szglet s s C s s + K s s 383 E,trplet s s C s s K s s 384 Megjegyzés: sp-model kapcsolat ES C + K ES C K 385 E S C S S + K 386 H sp S, S C + K S + S K C K K S S 387 H J S S 388 J K 389 A hélumatom gerjesztett állapotaak vzsgálatakor persze azt s fgyelembe kell ve, hogy az s és p állapotokból képzett Slater determások s a perturbálatla Hamlto operátor 5 Ryd eergához tartozó sajátalterébe vaak. Eze állapotok azoba az L összpályampulzussal redelkezek, így em keveredek a fet tárgyalt L összpályampulzusú állapotokkal. 8