1 Relativisztikus kvantummechanika

Átírás

1 Relatvsztkus kvantummechanka. Lorentz transzformácó A négydmenzós tér-dő vektorok x = {x μ } =(x,x,x 3,x 4 )=(r,ct) () halmazán (Mnkowsk tér) a skalárszorzatot a következőképpen értelmezzük: (x, y) =r c t = x μ g μν y ν = x T gy, () ahol a T felső ndex a transzponálást jelöl és g a metrkus tenzor: g = = gt. (3) (Homogén) Lorentz transzformácónak nevezzük a Mnkowsk tér skalárszorzattartó, valós értékű, lneárs transzformácót: x 0 = ax, (4) melyre tehát (ax, ay) =(ax) T g (ay) =x T a T ga y = x T gy. (5) Innen a T ga = g ga T g = a, (6) amből det a T det (g)det(a) =det(g), (7) azaz det (a) = det (a) =± (8) adódk. A valód Lorentz transzformácókra det (a) =, a nem valód Lorentz transzformácókra det (a) =. Egy általános Lorentz transzformácót a = e ε (9) alakban felvéve, a g = I relácó matt fennáll, hogy azaz gε antszmmetrkus mátrx, melyből következk, hogy ge εt g =e gεt g =e ε gε T g = ε (gε) T = gε, (0) ε ε ε 3 ε 4 ε ε ε 3 ε 4 ε 3 ε 3 ε 33 ε 43 ε 4 ε 4 ε 34 ε 44 ε = = ε ε ε 3 ε 4 ε ε ε 3 ε 4 ε 3 ε 3 ε 33 ε 34 ε 4 ε 4 ε 43 ε 44 0 ε ε 3 ε 4 ε 0 ε 3 ε 4 ε 3 ε 3 0 ε 34 ε 4 ε 4 ε 34 0, (). () Látható, hogy a Lorentz transzformácókat 6 szabad paraméterrel írhatjuk le. (3 paraméter a koordnátatengelyek relatív orentácóját, 3 paraméter pedg a két nercarendszer relatív sebességét határozza meg.)

2 A metrkus tenzor használatát megkerülhetjük úgy, hogy bevezetjük az x = gx =(r,ct) (3) négyesvektorokat, ahol g =. (4) Ekkor vszont a Lorentz transzformácó mátrxa ã =( g) a g, (5) ll. ε=( g) ε g. (6) Az () és (4) egyenletekből adódk, hogy 0 ε ε 3 ε 4 ε = ε 0 ε 3 ε 4 ε 3 ε 3 0 ε 34. (7) ε 4 ε 4 ε 34 0 Ebben a reprezentácóban, melyet a továbbakban használn fogunk, ezért a hullámos jelölést elhagyjuk, egy nfntezmáls Lorentz transzformácót megadhatunk a következő módon: x 0 =(I + ε) x vagy x 0 μ = x μ + ε μν x ν, (8) ahol ε μν = ε νμ,ε j R (, j =,, 3),ε j4 R (j =,, 3) és ε μν. (9) A relatvsztkus energa-mpulzus összefüggést, r E = m c 4 + c ³p q A + qφ c, (0) ahol m a részecske nyugalm tömege, átírhatjuk a K T K = K μ K μ = m c () Lorentz-nvaráns alakba, ahol K = p q c A, p = µ p, E c, A =(A,φ). () A relatvsztkus kvantummechanka feladata az, hogy a () összefüggésnek megfelelő, Lorentz-nvaráns állapotegyenletet vezessen be úgy, hogy a hullámfüggvényre és operátorokra krótt kvantummechanka axómák (pl. valószínűség értelmezés, felcserélés relácók) érvényben maradjanak.. A Klen-Gordon egyenlet A nem-relatvsztkus kvantumelmélettel összhangban meg szeretnénk őrzn a koordnáta és a kanonkus mpulzus operátorok felcserélés relácóját, [p μ,x ν ]= ~ δ μν, (3) ezért koordnáta reprezentácóban a négyesmpulzus operátort a következőképpen defnáljuk, p μ = ~ µ ~ μ p =, ~ c t. (4)

3 Innen a knetkus mpulzus operátora K = µ ~ q c A, c (~ t qφ), (5) amt formálsan behelyettesítve a Lorentz-nvaráns () egyenletbe a Klen-Gordon egyenletet nyerjük: " µ~ q # c A c (~ t qφ) ψ (r,t)= m c ψ (r,t). (6) Az A (r,t)=0,φ(r,t)=0esetben a fent egyenlet a c t ψ (r,t)= ψ(r,t)= m c ψ (r,t) (7) ~ alakra redukálódk, ahol bevezettük a = c t = μ μ (8) ún. D Alambert operátort. Időtől független vektor- és skalárpotencálra a hullámfüggvényt a szokott ψ (r,t)=ψ(r)exp µ ~ Et (9) alakban keresve, nyerjük az dőtől független Klen-Gordon egyenletet: " µ~ q # c A c (E qφ) + m c ψ (r) =0. (30) Szabad részecskére a ~ c E + m c ψ (r) =0 (3) egyenlet megoldása a µ ψ (r) =exp ~ pr (3) síkhullám, ahol c p + m c 4 E =0 (33) a (0) egyenletnek megfelelően. A Klen-Gordon egyenlet a H-atomra A (r) =0,φ(r) = Ze /r megoldható és az energa sajátértékeket /c szernt sorfejtve kapjuk, hogy E n ' mc m Ze ~ n + m Ze 4 µ 3 4~ 4 n 4 c 4n +..., (34) + ahol n és a nem-relatvsztkus tárgyalásban megsmert fő- és mellékkvantumszámok. Látható, hogy a H-atom energaszntjenek durvaszerkezetét (Balmer-tag) jól kaptuk vssza, a fnomszerkezetre vszont a Klen-Gordon egyenlet a kísérleteknek ellentmondó predkcót ad. Még komolyabb problémába ütközünk, ha a hullámfüggvény valószínűség értelmezésén alapuló koontnutás egyenletet próbáljuk levezetn. A (7) egyenletet konjugálva, ψ (r,t)= m c ~ ψ (r,t), (35) majd ψ (r,t)-vel balról beszorozva, ugyanakkor a (7) egyenletet ψ (r,t)-vel balról beszorozva és az így nyert két egyenletet egymásból kvonva nyerjük, hogy ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t)=0, (36) 3

4 amt tovább átalakíthatunk a formában. Innen a valószínűségsűrűség ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) c t ψ (r,t) ψ (r,t) t ψ (r,t) = (ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t)) c t (ψ (r,t) t ψ (r,t) ψ (r,t) t ψ (r,t)) = 0 (37) és az áramsűrűség ρ (r,t)= ~ mc (ψ (r,t) t ψ (r,t) ψ (r,t) t ψ (r,t)) = ~ mc Im (ψ (r,t) tψ (r,t)) (38) j (r,t)= ~ m (ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t) ψ (r,t)) =Re ³ψ (r,t) p (r,t) m ψ (39) defnícójával valóban adódk, hogy t ρ (r,t)+ j (r,t)=0. (40) Míg az áramsűrűség defnícója megegyezk a Schrödnger egyenlet alapján nyert kfejezéssel, a valószínűségsűrűségé különbözk attól. A problémát az jelent, hogy ρ (r,t) nem poztív defnt. Ugyans az dőben másodrendű Klen-Gordon egyenletben a t ψ (r,t)-re, amnek nncs fzka jelentése, ψ (r,t)-től független kezdet feltétel róható k. Könnyen belátható, hogy zérustól különböző skalárpotencált s megengedve a Klen-Gordon egyenlet sajátállapotaban ρ (r,t)= E qφ mc ψ (r), (4) am negatív energás megoldásokra (pl. szabad részecskére E = p m c 4 + p c ) vagy E>0 és gen erős potencál esetén, E<qφ, negatív valószínűségsűrűséghez vezet. Ezenkívül a hullámfüggvény skalár volta matt nncsen lehetőség spn értelmezésére sem, így a Klen-Gordon egyenlet - amnt azt a kvantumtérelmélet megmutatta - a nulla spnű részecskék (pl. π-mezonok) téregyenlete..3 A Drac egyenlet Láttuk tehát, hogy a Klen-Gordon egyenlet valószínűség értelmezését az akadályozta meg, hogy benne az dődervált négyzete szerepelt. Ezért Paul Drac (98) nyomán a hullámfüggvény mozgásegyenletében p μ lneárs funkconálját engedjük meg (az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenletét később tárgyaljuk) ( + γ μ p μ ) ψ =0, (4) ahol az és γ μ operátorok felcserélhetők a p μ operátorokkal. Ezt úgy nterpretálhatjuk, hogy a ψ hullámfüggvény a négyzetesen ntegrálható függvények Hlbert-terének (ahol a p μ operátorok hatnak) és egy új szabadság fokokat reprezentáló Hlbert-tér (ahol az és γ μ operátorok hatnak) drektszorzatának eleme. Szeretnénk ugyanakkor, ha érvényben maradna a relatvsztkus energa-mpulzus összefüggés, amt a következő kvantummechanka várhatóérték fejez k, hψ p μ p μ + m c I ψ =0, (43) ahol I az előbb említett új Hlbert tér egységoperátora. A (4) egyenlet alapján fennáll, hogy hψ + + γ + μ p μ ( + γμ p μ ) ψ =0, (44) 4

5 következésképpen a (43) egyenlet tetszőleges hullámfüggvényre teljesül, ha megköveteljük a következő operátor egyenlőséget, + + γ + μ p μ ( + γν p ν )= + + γ + μ + + γ μ pμ + γ + μ γ ν p μ p ν A konstans tagból adódk, hogy = p μ p μ + m c I. (45) + = m c I = rmci, (46) ahol r egy egységny abszolút értékű komplex szám. A későbbekben látn fogjuk, hogy a γ μ operátorok választhatók hermtkusnak (am egyébként a Hamlton operátor hermtkusságát s bztosítan fogja), így a p μ ben lneárs tag "együtthatója" mc (r + r) γ μ, am trválsan eltűnk, ha r = ±. Válasszuk önkényesen az r = értéket, azaz = mci. (47) A p μ operátorok felcserélhetőségét s fgyelembe véve a harmadk tagot a következőképpen alakíthatjuk át, γ μ γ ν p μ p ν = (γ μγ ν p μ p ν + γ ν γ μ p ν p μ ) (48) = ((γ μγ ν + γ ν γ μ ) p μ p ν + γ ν γ μ [p ν,p μ ]) (49) = (γ μγ ν + γ ν γ μ ) p μ p ν. (50) Ahhoz, hogy a fent kfejezés p μ p μ -vel legyen egyenlő, teljesülne kell a következő antkommutácós relácóknak, γ μ γ ν + γ ν γ μ =δ μν I. (5) Ebből egyúttal az s következk, hogy γμ = I. (5) A fent csererelácókat teljesítő operátorok ún. Clfford algebrát alkotnak. Drac egyenlete szabad részecskére (γ μ p μ mc) ψ =0 (53) vagy (γ μ μ + κ) ψ =0 (54) alakú, ahol bevezettük a κ = mc/~ jelölést (Compton hullámszám) és az egységoperátort (amennyben az egyértelműség nem kívánja meg) a továbbakban explcte nem írjuk k..4 A Drac mátrxok.4. A γ μ mátrxok dmenzója Állítás: A γ μ operátorok véges, n dmenzós ábrázolásara fennáll, hogy n páros. Bzonyítás: () Belátható, hogy bármely γ μ operátor nyoma zérus. Ugyans μ 6= ν esetén, Trγ μ =Trγ μ γν =Trγ ν γ μ γ ν = Trγνγ μ = Trγ μ, (55) ahol felhasználtuk a nyomképzés cklkus tulajdonságát. () Mvel γμ = I, γ μ lehetséges sajátértéke vagy. Tételezzük fel, hogy m sajátérték és n m sajátérték. Ekkor, Trγ μ = m (n m) =m n =0, (56) tehát n páros. 5

6 .4. Egy ks ábrázoláselmélet A γ μ operátorok és az azok szorzatából képzett operátorok csoportot alkotnak. Vzsgáljuk meg először azt az esetet, amkor csak a μ =, ndexeket engedjük meg. Ekkor egy nyolcelemű csoportot kapunk, amt Paul csoportnak nevezünk. A csoport szorzattáblája G () = {±I,±γ, ±γ, ±γ γ }, (57) I γ γ γ γ I γ γ γ γ I I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I I I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I γ γ γ γ γ γ γ I γ γ γ γ I. (58) Egy G csoport konjugált osztálya C G, ha g G és c C c 0 C, hogy c 0 g = gc, azazcg = gc. A fent szorzattábla alpján ellenőrzhető, hogy G () -nek 5 konjugált osztálya van, mégpedg {I}, { I}, {γ, γ }, {γ, γ }, valamnt {γ γ, γ γ }. Következésképpen G () -nek 5 rreducbls reprezentácója van, melyek dmenzója n ( =,,...,5) úgy, hogy 5X n =8. (59) = Ez csak úgy lehetséges, hogy 4 rreducbls reprezentácó egydmenzós és rreducbls reprezentácó kétdmenzós. Mvel az egydmenzós reprezentácók kommutatívak, csak a kétdmenzós reprezentácó teljesíthet a Clfford algebra felcserélés relácót. A kétdmenzós rreducbls reprezentácó egy lehetséges -es mátrx ábrázolása, Γ () (±I) =± µ 0 0 µ, Γ () 0 (±γ )=± 0, (60) µ Γ () 0 (±γ )=± 0 µ, Γ () 0 (±γ γ )=± 0. (6) Ez azt jelent, hogy kétdmenzóban (μ, ν =, ) a négyzetgyökvonás lnearzálása s µ µ µ (p + p ) = p 0 + p 0 0 (6) alakban írható. A háromdmenzós Paul csoport, G (3) = {±I,±γ, ±γ, ±γ 3, ±γ γ, ±γ γ 3, ±γ γ 3, ±γ γ γ 3 }, (63) 6 elemű és 0 konjugált osztálya van, {I}, { I}, {±γ }, {±γ }, {±γ 3 }, {±γ γ }, {±γ γ 3 }, {±γ γ 3 }, {γ γ γ 3 }, { γ γ γ 3 }, (64) ezért az rreducbls reprezentácók dmenzóra teljesülne kell, hogy 0X = n =6. (65) 6

7 Innen adódk, hogy 8 egydmenzós és kétdmenzós rreducbls ábrázolás van, melyekből természetesen megnt csak a kétdmenzósak teljesíthetk a Clfford algebrát. Belátható, hogy az egységmátrx és az smert Paul mátrxok, Γ (3) (I) = µ 0 0, Γ (3) (γ )=σ = µ 0 0, (66) Γ (3) (γ )=σ = µ 0 0, Γ (3) (γ 3 )=σ 3 = µ 0 0, (67) G (3) hű ábrázolását generálják. A háromdmenzós lnearzálás probléma megoldása tehát s µ µ µ µ (p + p + p 3 ) = p 0 + p 0 + p (68) A négydmenzós Drac csoport, G (4) = {±I, ±γ {z} μ, ±γ μ γ ν {z} {z } 8 ( μ<ν 4), ±γ μ γ ν γ λ {z } 8 ( μ<ν<λ 4), ±γ {z} 5 }, (69) ahol γ 5 = γ γ γ 3 γ 4, (70) összesen 3 elemet tartalmaz és 7 konjugált osztálya van, {I}, { I}, {±γ μ, {±γ 5, {±γ μ γ ν {z} {z } {z } {z } {z } 4 6 ezért az rreducbls ábrázolások dmenzóra fennáll, hogy 7X = (μ <ν), {±γ μ γ ν γ λ (μ <ν<λ), {z }, (7) 4 n =3. (7) Két lehetőség adódk: () egydmenzós és 5 kétdmenzós rreducbls ábrázolás ( +5 4=3) vagy () 6 egydmenzós és négydmenzós rreducbls ábrázolás (6 + 6=3). Könnyen belátható azonban, hogy ( μ 4 esetén) kétdmenzós ábrázolásokkal nem teljesíthetők az (5) relácók, ezért csak a négydmenzós rreducbls ábrázolás egyeztethető össze a Clfford algebrával! Aγ μ operátorok egy lehetséges 4 4-es mátrxreprezentácója (standard ábrázolás), Γ (4) (γ j )= µ 0 σj σ j 0 ahol I a -es egységmátrx. Ugyans, (j =,, 3) és Γ (4) (γ 4 )= Γ (4) (γ )Γ (4) (γ j )+Γ (4) (γ j )Γ (4) (γ )= µ I 0 0 I, (73) µ 0 σ σ 0 µ 0 σj σ j 0 µ 0 σj σ j 0 µ 0 σ σ 0 = µ µ σ σ j + σ j σ 0 I 0 =δ 0 σ σ j + σ j σ j, (74) 0 I valamnt Γ (4) (γ j )Γ (4) (γ 4 )+Γ (4) (γ 4 )Γ (4) (γ j )= µ 0 σj σ j 0 µ µ µ I 0 I 0 0 σj + 0 I 0 I σ j 0 = µ , (75) 7

8 és, trválsan, ³ µ Γ (4) I 0 (γ 4 ) =. (76) 0 I A négydmenzós lnearzálás probléma megoldása tehát p pμ p μ I 4 = γ μ p μ, (77) ahol a γ μ operátorokat már azonosítottuk a fent 4 4-es mátrxábrázolásokkal. A Drac egyenletben szereplő hullámfüggvények következésképpen (mnmálsan) négykomponensűek: ψ (r,t) ψ (r,t)= ψ (r,t) ψ 3 (r,t). (78) ψ 4 (r,t) Megjegyezzük, hogy a γ 5 Drac mátrx µ µ 0 σ 0 σ γ 5 = σ 0 σ 0 {z } σ σ 3 µ µ 0 σ3 I 0 = σ I {z } 0 σ 3 σ 3 µ 0 I I 0. (79).5 Az elektromágneses térrel kölcsönható részecske mozgásegyenlete Elektromágneses tér jelenléte esetén a Drac egyenletbe a p μ kanonkus mpulzusok helyett a K μ knetkus mpulzusokat írjuk, (γ μ K μ mc) ψ =0. (80) A nem-relatvsztkus esethez hasonlóan vzsgáljuk meg a Drac egyenlet nvarancáját a A 0 = A + Λ, φ 0 = φ c tλ A 0 μ = A μ + μ Λ (8) mértéktranszformácóval szemben! Mvel K 0 μ = K μ q c μλ = ~ µ μ q ~c A μ q ~c μλ, (8) a γμ Kμ 0 mc ψ 0 =0 (83) egyenlet µ γ μ μ q ~c A μ q ~c μλ + κ ψ 0 =0 (84) alakban írható. Nylvánvaló, hogy a hullámfüggvény µ q ψ 0 = ψ exp ~c Λ (85) transzformácója kelégít a (84) egyenletet. Ugyans µ μ q µ q ~c μλ ψ exp ~c Λ µ q =exp ~c Λ μ ψ, (86) és utána az az exponencáls kfejezéssel egyszerűsítve a (80) Drac egyenlethez jutunk. A (85) transzformácó teljes mértékben ekvvalens a nem-relatvsztkus esetben levezetett mértéktranszformácóval! 8

9 A K μ operátorok smert alakját behelyettesítve a (80) egyenletbe kapjuk, hogy γ ³p q A + γ 4 µ ~ c c t q c φ mc ψ =0, (87) melyet cγ 4 gyel balról szorozva, h cγ 4 γ ³p q A +( ~ t + qφ)+γ 4 mc ψ =0 c, (88) majd az dő szernt derváltat külön kezelve nyerjük a következő egyenletet, h ~ t ψ = cγ 4 γ ³p q A + qφ + γ 4 mc ψ. (89) c Vezessük be az α γ 4 γ és β γ 4 mátrxokat. Az α k mátrxok alakja, µ µ µ α k = I 0 0 σk 0 σk = 0 I σ k 0 σ k 0, (90) míg a β mátrx nylvánvalóan β = µ I 0 0 I. (9) Az új mátrxokkal az dőfüggő Dracegyenletaz h ~ t ψ = cα ³p q A + qφ + βmc ψ c, (9) alakot ölt, melyből az ~ t ψ = Hψ (93) analóga alapján leolvashatjuk a Hamlton operátor relatvsztkus kfejezését, H = cα ³p q A + qφ + βmc, (94) c mely az α és β mátrxok smeretében nylvánvalóan hermtkus. A staconárus hullámfüggvényt ψ (r,t)= ψ (r)exp ~ Et alakban keresve a Hamlton operátor sajátérték problémájához, azaz az dőtől független Drac egyenlethez jutunk h Hψ (r) = cα ³p q A + qφ + βmc ψ (r) =Eψ (r). (95) c.6 A kontnutás egyenlet Induljunk k a Drac egyenlet ~ t ψ = cα ³p q A ψ + qφψ + βmc ψ (96) c alakjából. Az adjungált egyenlet ~ t ψ + = c ³ p q c A ψ + α + qφψ + + mc ψ + β, (97) ahol ψ + =(ψ,ψ,ψ 3,ψ 4), (98) és felhasználtuk, hogy pψ h + = ~ ψ,... = ~ ψ,... = pψ +.Azelsőegyenletetψ + -szal balról, a másodkat ψ-vel jobbról beszorozva, majd az így nyert két egyenletet egymásból kvonva kapjuk, hogy ~ ψ + t ψ + t ψ + ψ = c ψ + αpψ + pψ + αψ (99) t ψ + ψ + cψ + αψ =0, (00) 9

10 amből a megtalálás valószínűség és áramsűrűség megfelelő defnícójával, ρ = ψ + ψ és j = cψ + αψ, (0) a t ρ + j =0 (0) kontnutás egyenlet kapható. Nylvánvaló, hogy ρ poztív defnt, tehát a Drac egyenlet által leírt részecskére alkalmazható a kvantummechanka valószínűség értelmezése. Később belátjuk, hogy a j μ = j,cρ = cψ + γ 4 γ μ ψ (03) négyes áramsűrűségvektor valód négyesvektor és a így a kontnutás egyenlet a kovaráns μ j μ =0 (04) alakban írható, azaz tetszőleges nercarendszerben érvényes..7 A Drac egyenlet Lorentz nvarancája Írjuk k a (80) Drac egyenletet részletesen, µ ~ γ μ μ q c A μ (x) mc ψ (x) =0. (05) Homogén Lorentz transzformácó, a = e ε,ε μν = ε νμ, (06) x 0 μ = a μν x ν, μ 0 = x ν x 0 ν = a μν ν,a 0 μ (ax) =a μν A ν (x), (07) μ hatására a Drac egyenlet a µ γ μ a μν μ q ~c A μ (x) mc ψ 0 (ax) =0 (08) alakot ölt, ahol ψ 0 (ax) a transzformált hullámfüggvény. Bevezetve a hullámfüggvény T transzformácóját, melyet a γ μ -hez hasonlóan 4 4-es mátrxszal reprezentálunk, ψ 0 (ax) =T ψ (x), (09) a (08) egyenletet a µ γ μ a μν μ q ~c A μ (x) T mct ψ (x) =0 (0) alakban írhatjuk. A (05) egyenlet segítségével elmnálva az mct ψ (x) tagot a µ (T γ μ γ ν a νμ T ) μ q ~c A μ (x) ψ (x) =0 () összefüggést nyerjük. Tetszőleges hullámfüggvény és négyespotencál esetén ez csak úgy teljesülhet, ha megköveteljük a T γ μ γ ν a νμ T 7 =0 () egyenlőséget, azaz T γ μ T = γ ν a νμ. (3) Khasználva, hogy a T = a, a fent összefüggés átírható a alakra. T γ μ T = a μν γ ν (4) 0

11 Állítás: A (3) egyenlet megoldása T = e 4 ε μν γ μ γ ν. (5) Bzonyítás: Vezessük be az nfntezmáls τ transzformácót, T = e τ. (6) Az smert operátor azonosság (Hadamard lemma) szernt, e τ γ μ e τ = γ μ +[τ,γ μ ]+! [τ,[τ,γ μ]] + 3! [τ,[τ,[τ,γ μ]]] (7) Ugyanakkor γ ν a νμ = γ ν (e ε ) νμ = γ μ + γ ν ε νμ +! γ νε νμ + 3! γ νε 3 νμ (8) Könnyen belátható, hogy a két fent sorfejtés azonosságát a másodk, azaz elsőrendben nfntezmáls, tagok egyenlősége, [τ,γ μ ]=γ ν ε νμ, (9) bztosítja. Ugyans ekkor teljes ndukcóval bzonyítható, hogy [τ,[τ,...[τ,γ μ ]]] = γ ν ε n νμ, (0) {z } n ahol n az egymásba ágyazott kommutátorok számát jelöl. Mvel n =-re a fent állítás defnícó szernt teljesül, csak azt kell belátnunk, hogy [τ,[τ,[τ,...[τ,γ μ ]]]]= τ,γ ν ε n νμ =[τ,γν ] ε n νμ = γ r ε rν ε n νμ = γ r ε n rμ. () {z } n Ezek után bzonyítjuk, hogy a (9) egyenlet megoldása τ = 4 ε μνγ μ γ ν.aγ μ mátrxok antkommutátor relácója alapján ugyans: τγ μ = 4 ε rsγ r γ s γ μ = 4 ε rsγ r γ μ γ s + ε rμγ r = 4 ε rsγ μ γ r γ s ε μsγ s + ε rμγ r = γ μ τ + γ s ε sμ, () ahol az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy ε μν = ε νμ. Mvel 4 ε μνγ μ γ ν = 8 ε μνγ μ γ ν + 8 ε νμγ ν γ μ (3) = 8 ε μν (γ μ γ ν γ ν γ μ )= 8 ε μν [γ μ,γ ν ] (4) a T transzformácó a formában s írható, ahol T = e ~ S μνε μν (5) S μν = ~ 8 [γ μ,γ ν ], (6) a hullámfüggvény Lorentz transzformácójának nfntezmáls generátora..8 Fzka mennységek Lorentz transzformácója, a Drac adjungált Az O hermtkus operátorral megadott fzka mennységnek egy adott ψ állapotban a Mnkowsk téren értelmezett sűrűsége, O (x) =ψ (x) + Oψ (x). (7)

12 O (x) Lorentz transzformácóval szemben vselkedésének vzsgálatához célszerű bevezetn a hullámfüggvény Drac adjungáltját, ψ (x) =ψ (x) + γ 4, (8) mellyel O (x) =ψ (x) γ 4 Oψ(x). (9) Így pl. a valószínűségsűrűség és az áramsűrűség ll. a négyes áramsűrűség rendre a (x) =ψ (x) γ 4 ψ (x),j k (x) =cψ (x) γ k ψ (x) (k =,, 3), (30) j μ (x) = j (x),c (x) = cψ (x) γ μ ψ (x), (3) formában írhatók. Segédtétel: Bármely Lorentz transzformácóra T + γ 4 = γ 4 T. (3) Bzonyítás: T + γ 4 = e τ + γ 4 = X n=0 τ + n γ4 (33) n! τ + = 4 ε μνγ ν γ μ = 4 ε μνγ μ γ ν (34) = X ε j γ γ j X ε 4 4γ γ 4 X ε 4 4γ 4 γ τ + γ 4 = 4 = 4,j=,,3 = X,j=,,3 X,j=,,3 X,j=,,3 = γ 4 4 ε j γ γ j 4 ε j γ γ j γ 4 4 ε j γ 4 γ γ j 4 X,j=,,3 ε j γ γ j + 4 =,,3 X =,,3 X =,,3 X =,,3 X =,,3 ε 4 γ γ 4 4 ε 4 γ γ 4 γ 4 4 ε 4 γ 4 γ 4 γ 4 ε 4 γ 4 γ + 4 =,,3 X =,,3 X =,,3 X =,,3 X =,,3 ε 4 γ 4 γ ε 4 γ 4 γ γ 4 ε 4 γ 4 γ γ 4 ε 4 γ γ 4 = γ 4 τ (35) T + γ 4 = τ + γ4 = τ + γ 4 τ = γ 4 τ... τ + n γ4 = γ 4 ( τ) n (36) X n=0 Következésképpen az O (x) sűrűség transzformáltja, τ + n X γ4 = γ 4 n! n! ( τ)n = γ 4 e τ = γ 4 T. (37) n=0 O 0 (ax) =ψ 0 (ax) + Oψ 0 (ax) =[T ψ (x)] + OT ψ (x) = ψ (x) + T + OT ψ (x) =ψ (x) + T + γ 4 γ 4 OT ψ (x) = ψ (x) + γ 4 T γ 4 OT ψ (x) = ψ (x) T γ 4 OT ψ (x). (38)

13 .8. A négyes áramsűrűségvektor A (3) és (38) egyenletek alapján, jμ 0 (ax) =cψ (x) T γ μ T ψ (x) = cψ (x) (a μν γ ν ) ψ (x) =a μν cψ (x) γν ψ (x) = a μν j ν (x), (39) tehát a négyes áramsűrűség vektorként transzformálódk. Ebből azonnal következk, hogy a (x) = c j 4 (x) megtalálás valószínűségsűrűség nem nvaráns a Lorentz transzformácóra nézve. Belátható továbbá, hogy a ψψ és ψγ 5 ψ skalár, ψγ μ γ 5 ψ vektor, valamnt, hogy ψγ μ γ ν ψ kétndexes tenzor..8. A Drac egyenlet tükrözés szmmetrája A Mnkowsk térben a koordnáta tengelyek tükrözését az x 0 = x ( =,, 3), x 0 4 = x 4 (40) transzformácó írja le. Mvel K μ s ugyanígy transzformálódk, írhatjuk, hogy ( γ K + γ 4 K 4 mc) ψ 0 =0. (4) Ezt tovább átalakítva kapjuk γ 4 (γ K + γ 4 K 4 mc) γ 4 ψ 0 =0 (4) (γ K + γ 4 K 4 mc) γ 4 ψ 0 =0 (43) azaz a hullámfüggvény ψ 0 = γ 4 ψ (44) transzformácója mellett a Drac egyenlet nvaráns marad a tükrözésre. Vzsgáljuk meg a korábban bevezetett mennységek vselkedését a tükrözésre: (ψ 0 ) + ψ 0 = ψ + γ 4 γ 4 ψ = ψ + ψ (45) Ezek valód skalárok. Továbbá, ψ 0 ψ 0 =(γ 4 ψ) + ψ = ψ + γ 4 ψ = ψψ. (46) ψ 0 γ 5 ψ 0 = ψ + γ 5 γ 4 ψ = ψ + γ 4 γ 5 ψ = ψγ 5 ψ, (47) amt pszeudóskalárnak nevezünk. Ugyanígy belátható, hogy ψ 0 γ ψ 0 = ψγ ψ és ψ 0 γ 4 ψ 0 = ψγ 4 ψ, (48) tehát j μ = cψγ μ ψ polárs vagy normál vektor, valamnt ψ 0 γ γ 5 ψ 0 = ψγ γ 5 ψ és ψ 0 γ 4 γ 5 ψ 0 = ψγ 4 γ 5 ψ, (49) azaz ψγ μ γ 5 ψ ún. axálvektor..9 Térbel forgatások és a spn Csoportelmélet tanulmányankból emlékszünk, hogy egy n tengely körül ϕ szögű térbel forgatás mátrxa, R (ϕ, n) =exp( nxϕ), (50) ahol (X k ) j = ε jk (k =,, 3). (5) 3

14 Az nfntezmáls Lorentz transzformácó mátrxa tehát, ε j = ε jk n k ϕ (, j =,, 3), (5) ε μ4 = ε 4μ =0 (μ =,, 3, 4). (53) Ezért a 4-dmenzós Hlbert-téren értelmezett nfntezmáls transzformácó, τ = 4 ε μνγ μ γ ν = 4 ε jkγ j γ k n k ϕ = ~ nsϕ, ahol vagy S = ~ 4 jkγ j γ k, (54) S = ~ 4 γ γ, (55) lletve komponensenként kírva, S = ~ γ γ 3, S = ~ γ 3γ, S 3 = ~ γ γ, (56) Nézzük meg az S mátrxok felcserélés relácót: µ µ ~ ~ [S,S ]= [γ γ 3,γ 3 γ ]= (γ γ 3 γ 3 γ γ 3 γ γ γ 3 ) (57) µ ~ = γ γ = ~S 3, (58) és ugyanígy, [S,S 3 ]=~S, [S 3,S ]=~S (59) azaz [S,S j ]=~ε jk S k. (60) A térbel forgatás S nfntezmáls generátora a négydmenzós Hlbert téren, ahogy várn lehetett, egy mpulzus momentum operátor, amt spnnek nevezünk. M ennek a spnnek az értéke? S = ~ 4 γ γ 3 γ γ 3 = ~ 4 I (6) és ugyanígy S = S3 = ~ I, (6) 4 tehát S = 3~ 4 I = ~ s (s +)I = s =. (63) A Drac egyenlet által leírt hullámfüggvény komponenset a térbel forgatásokkal hatására egy -es sajátértékű mpulzusmomentum (spn) operátor transzformálja. Ezt úgy értelmezzük, hogy az elektron s = spnnel rendelkezk. Érthető, hogy a Klen-Gordon egyenletnél, ahol a hullámfüggvény skalár (egykomponensű) volt, nem beszélhettünk spnről. A γ μ mátrxok standard ábrázolásat használva, S = ~ 4 γ γ = ~ µ µ 0 σ 0 σ (64) 4 σ 0 σ 0 = ~ µ σ σ 0 = ~ µ σ 0 = ~ 4 0 σ σ 0 σ Σ, (65) ahol µ σ 0 Σ =. (66) 0 σ Ez megnyugtató abból szempontból, hogy a Paul egyenletben a ~ σ-t vezettük be a spn operátoraként. 4

15 .9. A teljes mpulzusmomentum A hullámfüggvény transzformácója térbel forgatásra tehát, ψ 0 (R (ϕ, n) r,t)=exp µ ~ nsϕ ψ (r,t) (67) lletve ψ 0 (r,t)=exp µ ~ nsϕ ψ (R ( ϕ, n) r,t). (68) Számítsuk k ψ (R ( ϕ, n) r,t)-t egy nfntezmáls forgatásra: ψ (r ϕn r,t) ' ψ (r,t) ϕ (n r) ψ (r,t)=ψ(r,t) ϕn (r ) ψ (r,t) (69) = ψ (r,t) ~ ϕn r p ~ ψ (r,t)= I ϕnl ψ (r,t), (70) ll. véges forgatásra ψ (R ( ϕ, n) r,t)=exp µ ~ nlϕ ψ (r,t). (7) Következésképpen a négykomponensű hullámfüggvény (teljes) transzformácója a térbel forgatásokkal szemben, ψ 0 (r,t)=exp µ ~ njϕ ψ (r,t), (7) azaz a relatvsztkus kvantumelméletben a térbel forgatások nfntezmáls generátora a teljes mpulzusmomentum operátor. A Drac egyenlet J = L + S (73) ~ t ψ = Hψ (74) alakja különös jelentőségű, mert a nem-relatvsztkus tárgyalással teljesen analóg módon lehetőséget ad valamely O operátor kvantummechanka dőderváltjának kszámítására, do dt = [H, O], (75) ~ és ezáltal annak megállapítására, hogy az adott operátorhoz rendelt fzka mennység mozgásállandó vagy sem. Gömbszmmetrkus potencál esetén a nem-relatvsztkus esetben láttuk, hogy az mpulzusmomentum L = r p (76) mozgásállandó volt. Nézzük meg, hogy fennáll-e ez a relatvsztkus esetben s! Zérus vektorpotencált véve a Hamlton operátor H = cαp + βmc + qφ (77) alakú. Ekkor [H, L ]= cαp + qφ, ε jk x j p k, (78) hszen L kommutál βmc -tel. (Az L operátor a négyesvektorok terén egységoperátorként hat, ezért valójában L I-t kellene írnunk.) A fent kommutátort két részre bontva, [cα l p l,ε jk x j p k ]=cε jk α l [p l,x j p k ]=cε jk α l ([p l,x j ] p k + x j [p l,p k ]) {z } {z } ~ δ 0 lj = ~c α p (79) 5

16 kapjuk, hogy [qφ, ε jk x j p k ]=qε jk [φ, x j p k ]=qε jk ([φ, x j ] p k + x j [φ, p k ]) {z } {z } 0 ~ kφ = ~q (r φ), (80) [H, L] = ~ c α p q (r φ), (8) melyből centráls potencálra csak a másodk tag tűnk el. Relatvsztkus esetben centráls potencálra a mpulzusmomentum nem mozgásállandó! Bzonyítjuk, hogy centráls potencál esetén a teljes mpulzusmomentum J = L + S (8) mozgásállandó, ahol a spn-operátor. Ugyans S = ~ Σ = ~ µ σ 0 0 σ [H, S ]= ~c [α lp l, Σ ]= ~c p l [α l, Σ ]=, (83) = ~c µ 0 p σl l σ l 0 µ µ µ σ 0 σ 0 0 σl 0 σ 0 σ σ l 0 = ~c µ p l 0 [σ l,σ ] [σ l,σ ] 0 = ~cε lk p l µ 0 σk σ k 0 = ~c α p. (84) így tehát dj = q (r φ) =r F, (85) dt ahol F = (qφ) az erő. A fent összefüggés szernt a Drac egyenlet által leírt részecskére ható forgatónyomaték a teljes mpulzusmomentum dőderváltjával egyezk meg, am centráls potencál esetén valóban zérus..0 A szabad elektron (vázlat) Zérus vektor- és skalárpotencál esetén a (95) egyenlet, µ mc I cσp cσp mc ψ (r) =Wψ(r), (86) I megoldását kereshetjük a alakban. Behelyettesítés után a mátrx sajátértékegyenletet kapjuk, ahol ψ (r) =Ue kr = H (k) = u u u 3 u 4 ekr (87) H (k) U = WU (88) µ mc I ~cσk ~cσk mc. (89) I 6

17 Nemtrváls (U 6= 0)megoldás csak akkor létezk, ha a szekulárs mátrx determnánsa, det (W H (k)), eltűnk. Khasználva a (σk)(σk) =k I azonosságot, W mc W + mc (~ck) =0. (90) Innen a szabad részecske energája q W = ± m c 4 +(~ck) (9) értékeket vehet fel. A megoldásokat részletesen a gyakorlaton vzsgáljuk: tt csak annyt jegyzünk meg, hogy k =0esetén (álló részecske) mndkét poztív és mndkét negatív energás megoldásokból a koordnátarendszer bármely tengelyére vonatkoztatva határozott, ±~/ spnű állapotok keverhetők k, hszen µ µ mc I 0 σ 0 0 mc, =0 I 0 σ ( = x, y, z). (9) Mozgó részecske esetén (k 6= 0), µ µ mc I ~cσk σk 0 ~cσk mc, =0, I 0 σk (93) ezért a megoldások a h = Σk (94) k ún. helctásoperátor sajátértékevel (±) ndexelhetők. Úgy s megfogalmazhatjuk, hogy ekkor a spnnek a haladás rányára eső vetülete vesz fel ±~/ értéket. A negatív energás megoldások értelmezéséről ll. következményeről (Drac vákuum, párkeltés, poztron) Apagy Barnabás: Kvantummechanka egyetem jegyzetének oldalán olvashatunk.. A Paul-Schrödnger egyenlet származtatása: az elektron saját mágneses momentuma Most vzsgáljuk meg, hogy az elektron spnje mlyen formában jelenk meg a Drac egyenletben, azaz mlyen járulékot szolgáltat az részecske energájához. A Drac egyenletet kovaráns alakját (γ μ K μ + mc)- vel balról beszorozva, (γ ν K ν + mc)(γ μ K μ mc) ψ = γν γ μ K ν K μ + m c ψ =0, (95) majd az összegzésben a μ = ν ll. μ 6= ν tagokat elkülönítve a K μ K μ + m c I + X μ6=ν γ ν γ μ K ν K μ ψ =0 (96) egyenlethez jutunk. Láthatjuk, hogy az első két tag a Klen-Gordon egyenletet adja, míg a harmadk tagot a következőképpen alakíthatjuk át X (γ ν γ μ K ν K μ + γ μ γ ν K μ K ν )= X (γ ν γ μ + γ μ γ ν ) K ν K μ + γ μ γ ν [K μ,k ν ] {z } μ6=ν μ6=ν =0 = γ γ j [K,K j ]+γ 4 γ [K 4,K ], (97) Khasználva a a knetkus mpulzusok korábban levezetett felcserélés relácóját és a spn (54) defnícóját, γ γ j [K,K j ]= ~q c ε jk γ γ j B k = q c SB = ~q ΣB, (98) c 7

18 másrészt α = γ 4 γ felhasználásával, γ 4 γ [K 4,K]= α µ ~c t qc φ, ~ qc A µ φ + c ta = ~q c α a Kμ K μ + m c I ~q c µ ~q = α c [ t,a]+ ~q c [,φ] = ~q αe. (99) c (ΣB αe) ψ =0 (00) egyenletet nyerjük, ahol tehát explcten megjelennek a mágneses ndukcóhoz és elektromos térerősséghez közvetlenül kapcsolódó tagok. Hogy ezen tagok jelentését közelebbről lássuk, vzsgáljuk meg a fent egyenlet nem-relatvsztkus határesetét! Ehhez a K μ K μ + m c = ³ p q c A + µ ~ c t + q c φ + m c (0) kfejezés jobboldalának másodk és harmadk tagját alakítjuk át: µ ~ m c + c t + q c φ = mc c (~ t + qφ) mc + (~ t + qφ) ' m mc ~ t + qφ, (0) ahol khasználtuk, hogy egy poztív energás (a továbbakban csak ezzel foglalkozunk), staconárus megoldás esetén vezető rendben, (~ t + qφ) ψ (r,t)=(w qφ) ψ (r,t) ' mc ψ (r,t). (03) Az egyszerű átrendezések után kapott egyenlet, µ ~ t ψ = mc + ³p q A + qφ I ~q (ΣB αe) ψ m c mc, (04) staconárus megoldását a µ ψ (r,t)=ψ(r)exp E + mc t ~ (05) alakban keresve W E + mc jutunk az µ ³p q A + qφ I ~q (ΣB αe) ψ = Eψ m c mc (06) egyenlethez, mely joggal teknthető a Paul-Schrödnger egyenlet négykomponensű változatának. Könnyen tudjuk azonosítan a H S = M S B (07) spn-paramágneses tagot, ahol az elektron saját mágneses momentuma M S = ~e mc ~ S = μ B ~ S, (08) ahogy azt korábban ntutív módon ll. a kísérlet tények nyomán bevezettük. Belátható továbbá, hogy a négykomponensű megoldás valójában egy kétkomponensű megoldásra vezethető vssza Ã! eψ ψ = ψ e, (09) µ ³p q A + qφ I ~q σ (B + E) eψ = E 0 ψ e m c mc, (0) mely már csak az elektromos térerősség közvetlen megjelenése matt különbözk a két-komponensű Paul- Schrödnger egyenlettől. Az ~q mcσe tagról azonban megmutatható, hogy az qφ potencáls energa mellett elhanyagolható. 8

19 . Nem-relatvsztkus közelítés: knetkus energa korrekcó, Darwn-tag és a spn-pálya kölcsönhatás Ebben a fejezetben tovább relatvsztkus korrekcókat találunk a Paul-Schrödnger egyenlethez azáltal, hogy a nem-relatvsztkus átmenetben megtartjuk az /c -tel arányos tagokat s. A h cα ³p q A + qφ + βmc ψ = Wψ () c staconárus Drac egyenlet megoldását bontsuk fel két (egyenként két-komponensű) részre, µ χ ψ =, () ϕ ahol χ és ϕ az ún. nagy- és kskomponens. Írjuk k részletesen a () egyenletet: µ µ µ W mc qφ cσk χ 0 cσk W + mc = qφ ϕ 0 W mc qφ χ cσkϕ =0, (3) W + mc qφ ϕ cσkχ =0. (4) A ϕ kskomponens kfejezhető a (4) egyenletből, Először az W + mc qφ ' mc közelítés alkalmazzuk, ϕ = W + mc qφ cσkχ. (5) ϕ = σkχ. (6) mc Ezt vsszahelyettesítve a (3) egyenletbe és használva a korább E = W mc jelölést, valamnt alkalmazva a σ l σ k = δ lk + ε lkj σ j és K K = ~q E qφ = m (σk)(σk) E qφ m K + ~q mc Bσ c B összefüggéseket, χ = E qφ m K (K K) σ χ m (7) χ =0, (8) a χ nagykomponensre a szokásos Paul-Schrödnger egyenletet kapjuk a spn-paramágneses járulékot s beleértve, Eχ= H P χ, (9) ahol bevezettük a Paul-Schrödnger Hamlton operátort, H P = m (σk)(σk)+qφ = m K + qφ + ~q Bσ. (0) mc Lépjünk túl ezen a közelítésen! A ϕ = µ mc ' mc + E qφ mc cσkχ µ E qφ mc cσkχ, () kfejezést mételten vsszahelyettesítve a (3) egyenletbe kapjuk, hogy (E qφ) χ = µ m σk E qφ mc σkχ, () 9

20 ll. a fent egyenlete átrendezve és khasználva H P defníxóját, Eχ = H P χ 4m σk (E qφ) σk χ c = H P χ 4m (σk)(σk)(e qφ) χ c 4m σk [E qφ, σk] χ c = H P χ mc (H P qφ)(e qφ) χ 4m σk [σk,qφ]. c (3) A (3) egyenlet másodk tagja /c rendg közelíthető mnt H M = mc (H P qφ) χ ' 8m 3 c K4 χ. (4) Ez a járulék a relatvsztkus tömegnövekedést (knetkus energa korrekcót) írja le, hszen E qφ = p m c 4 + K c mc ' K m 8m 3 c K (5) Nézzük meg, hogy ez a korrekcó mennyben befolyásolja a hdrogén atom energaszntjet a Schrödngerféle perturbácószámítás elsőrendjében: H 0 = p m Ze r, E (0) n = m Ze ~ n = mc α Z n, (6) ahol α = e /~c = ~/mca 0 a fnomszerkezet állandó, H = p4 8m 3 c = µh mc 0 + Ze r à = mc H0 Ze! Ze +H 0 + r r. (7) Innen δe () n m = hn m H n m = mc µ ³ E (0) n +E (0) n À Ze r n m {z } E n (0) + Z e 4 r À n m {z } Z /[a 0 n3 ( +/)] = µ 34 mc m c 4 α 4 Z4 n 4 + α4 m c 4 Z 4 n 3 = ( +/) µ µ µ = mc Zα Zα n n n +/ 3 4 {z }, (8) E n (0) azaz a korrekcó α nagyságrendű ésafőhéjak mellékkvantumszám ( ) szernt felhasadását eredményez. Ez az eredmény egyébként megegyezk a Klen-Gordon egyenletből kapott sajátenerga /c rendű közelítésével. Foglalkozzunk most a (3) egyenlet harmadk tagjával: 4m σk σ [K,qφ]= c 4m c K [K,qφ] 4m σ (K [K,qφ]) c (9) A jobboldalon álló első kfejezés az ún. Darwn taghoz ad járulékot, mellyel a későbbekben foglalkozunk. A (9) kfejezés másodk tagját tovább alakítjuk, (K [K,qφ]) = ε jk K j [K k,qφ]=[ε jk K j K k,qφ] ε jk [K j,qφ] K k = ([K,qφ] K) {z } {z } ~ q c B {z } =[p,qφ] =0 0

21 4m c σ p,qφ K = ~ 4m σ ([ (qφ)] K). c Staconárus elektromágneses térre szorítkozva, ezt a korrekcót H sp = ~ 4m σ (qe K) (30) c alakban írhatjuk, amt a spn-pálya kölcsönhatással azonosítunk. Centráls potencálra, dφ (r) E = φ (r) = dr r r (3) és a knetkus mpulzus kfejezésében a q c A tagot elhanyagolva ugyans H sp = ~q dφ (r) 4m c σ r p = d (qφ (r)) r dr m c LS, (3) r dr adódk, amt az M L = μ B ~ L pálya mágneses momentum és M S = μ B ~ S spn mágneses momentum operátorok segítségével (μ B = e~/mc, q = e, V (r) =qφ (r)) átírhatunk a H sp = dv (r) e M r dr L M S (33) formába. Ennek elsősorban nagyobb rendszámú elemek esetén ll. szlárdtestekben a kötött (atommaghoz közel) pályák spn-pálya j = ± felhasadásában van szerepe. Mágneses anyagokban ugyancsak elsősorban a spn-pálya kölcsönhatás felelős az ún. magnetokrstályos anzotrópa jelenségéért. Vzsgáljuk meg a H-atom energaszntjenek korrekcóját spn-pálya kölcsönhatás következtében a perturbácószámítás elsőrendjében. Ehhez a H = Ze m c LS (34) r3 perturbáló operátort átírjuk a H = Ze J 4m c r 3 L S (35) alakra és a perturbálatlan hullámfüggvényeket a J, J z, L,ésS közös sajátfüggvényeként vesszük föl, n,, j, m j = X µ C j, m j ;, m m s n;, m, À sà m,m s, (36) m s =± ahol C j, m j ;, m m s a Clebsh-Gordan együtthatók és j = ±.Ekkor, δe () n,,j,m j = Z~ e À µ 4m c r 3 j (j +) ( +) 3 n 4, (37) valamnt À µ Z r 3 = n na 0 felhasználásával, δe () n,,j,m j = Z~ e µ Z m c n na 0 Ném algebra átalakítás után, j (j +) ( +) 3 4 ( +) ( +) 3 + (38) ( +) 3 {z } E n (0) ( Zα n ) = j= + + = + n j (j +) ( +) 3 4 ( +) ( +) + 3 ( +) 3 4 ( +) ( +) + = + = j +. (39) ( +)( +) (40), (4)

22 + ( +) 3 4 ( +) ( +) j (j +) ( +) 3 4 = = (4) ( +) ( +) j= ( +) = + = + j +, (43) µ µ δe () Zα n n,,j,m j = E n (0) n + n j +. (44) Ezt az eredményt összevonva az energaszntek relatvsztkus knetkus energakorrekcójával, adódk, hogy µ µ δe () Zα n n,,j,m j = E n (0) n j +/ 3, (45) 4 am megegyezk a H-atom Drac egyenletből nyert sajátenergájának /c -rendű korrekcójával... A normálás szerepe A Paul-Schrödnger egyenlet relatvsztkus korrekcóra tett fent meggondolások akkor lennének maradéktalanul érvényesek, ha a χ nagykomponenst teknthetnénk az elektron állapotát meghatározó normált hullámfüggvénynek. Nem szabad azonban elfelednünk, hogy a teljes (négykomponensű) hullámfüggvényt kell normálnunk, azaz Z Z d 3 rψ + ψ = d 3 r χ + χ + ϕ + ϕ =. (46) A kskomponens normája ezért Z Z = d 3 rϕ + ϕ ' Z 4m c ' Z 4m c µ Z d 3 rχ + + K 4m c χ = d 3 rχ + σk σk χ d 3 rχ + K χ, (47) d 3 rχ + S χ S, (48) ahol a normált nagykomponenst χ S -sel jelöltük. /c rendben: χ S = µ+ K 8m c χ = χ = µ K 8m c χ S. (49) Ez azt jelent, hogy egy normált (kétkomponensű) hullámfüggvénnyel dolgozva a hányzó kskomponens (ϕ) normáját az K 8m c operátor hatásával vehetjük fgyelembe /c rendg. Az előző fejezetben levezetett /c -rendű HamltonoperátortH-val jelölve, ez azt mplkálja, hogy Eχ S = µ+ K 8m c amből ugyancsak /c rendg az Eχ S ' Eχ = Hχ, (50) H µ K 8m c χ S, (5) µ K H + 8m c,h χ S (5) egyenletet kapjuk. Látható, hogy az egyetlen újabb /c -rendű korrekcóhoz akkor jutunk, ha a kommutátorba a qφ operátort helyettesítjük, mvel a több járulék vagy kesk vagy /c-ben magasabb rendű korrekcót szolgáltat. Kezeljük ezt a tagot együtt a (9) jobboldalának első tagjával, H D = 4m c K [K,qφ]+ K 8m c,qφ = 8m ([K,qφ] K K [K,qφ]) (53) c = ~ ~ 8m [K, [K,qφ]] = c 8m [, [,qφ]] = c 8m (qφ), (54) c

23 amt Darwn-tagnak nevezünk, melynek nncsen klasszkus magyarázata. Eredete arra vezethető vssza, hogy az elektron nem teknthető pontszerű részecskének, hanem egy h/mc (Compton hullámhossz) lneárs méretű tértartományban rezeg (Ztterbewegung). A Ztterbewegung a poztív és negatív energás állapotok között nterferenca következménye: a klasszkus elmélet erről valóban nem ad számot. Mvel a qφ = Ze /r Coulomb potencálra, Z δe () n m H D (r) = Ze ~ π m δ (r), (55) c d 3 r ψ n m (r) H D (r) = Ze ~ π m c R n (r =0)=0, (56) ahol R n (r) a radáls valószínűségeloszlás. Pontszerű magot tekntve, a H-atom energaszntjehez a Darwn-tag tehát nem ad járulékot. A valóságban, azaz az atommag véges méretét fgyelembevéve, azonban az s pályák energaszntjet α rendben felfelé tolja el. Összefoglalva tehát, a Drac egyenlet /c -rendű sorfejtésével a (H P + H M + H D + H sp ) χ = E mc χ (57) sajátértékegyenlethez jutottunk, ahol χ a normált kétkomponensű hullámfüggvény, H P = m K ~q Bσ + qφ, (58) mc a Paul-Schrödnger Hamlton operátor, H M = 8m 3 c K4, (59) a knetkus energa relatvsztkus tömegnövekedés következtében fellépő korrekcója, H D = ~ 8m (qφ), (60) c a Darwn tag, mely a potencáls energa klasszkus analógával nem rendelkező korrekcója és a spn-pálya kölcsönhatás. H sp = ~q 4m σ (E K) (6) c.. A nemrelatvsztkus áramsűrűség származtatása Nézzük meg, hogy m a kapcsolat a relatvsztkusan származtatott áramsűrűség és annak korábban megsmert nemrelatvsztkus formája között. Most csak a vezető rendű tagokat vzsgáljuk, ezért elegendő használnunk a ϕ ' σk mc χ (6) közelítést. Ezért j = cψ + αψ = c χ +,ϕ + µ 0 σ = c χ + σϕ + ϕ + σχ σ 0 = ³ χ + σ (σk) χ + m µ χ ϕ h (Kχ) + σ σχ. (63) σ (σk) =σ σ j K j =(δ j + ε jk σ k ) K j = K + (K σ) h (Kχ) + σσ =(K j χ) + σ j σ =(K χ) + (Kχ) + σ (64) 3

24 Továbbá: j = ³ χ + Kχ +(Kχ) + χ + ³ χ + (K σ) χ (Kχ) + σχ. (65) m m χ + Kχ = ~ χ+ χ q c Aχ+ χ (Kχ) + χ = ~ χ + χ q c Aχ+ χ j nr ³ χ + Kχ +(Kχ) + χ = ~ h m m χ+ χ q mc χ+ Aχ, (66) am tehát megegyezk a nemrelatvsztkus eredménnyel. Ugyanakkor χ + (K σ) χ = ~ χ+ ( σ) χ q c χ+ (A σ) χ h (Kχ) + σχ = ~ χ+ σχ q c χ+ (A σ) χ j m ³ χ + (K σ) χ (Kχ) + σχ m = ~ χ + ( σ) χ + χ + σχ = ~ m χ+ σχ = c e χ+ M S χ (67) jelent az új tagot, mely a spn-mágnesezettséghez kapcsolódk M S = ~e mc σ. A megfelelő töltésáram ej m (r,t)=c rot M S (r,t), (68) ahol M S (r,t)=χ + (r,t) M S χ (r,t) (69) az elektron spnje matt fellépő mágnesezettség sűrűség. 4