Spin-dominált gravitációs hullámformák Fisher-mátrix analízise

Átírás

1 Spin-dominált gravitációs hullámformák Fisher-mátrix analízise TDK dolgozat Kövér Krisztina Fizika BSc szakos hallgató Témavezet k: Dr. Gergely Árpád László, egyetemi tanár Dr. Mikóczi Balázs, tudományos munkatárs Szegedi Tudományegyetem Elméleti és Kísérleti Fizikai Tanszék Szeged 2017

2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Fisher-mátrix analízis Metódus, elméleti háttér Analízis egyszer hullámformákon Spines fekete lyuk kett sök dinamikája körpálya közelítésben Bázisok meghatározása, azok id fejl dése Euler-szögek id fejl dése Az α inklináció A φ n felszálló csomó hossza A ψ c szög Spin-szögek id fejl dése A κ i spin polár szög A ψ i spin azimutális szög A gyorsulásvektorok meghatározása Frekvenciafügg spin-dominált hullámforma Id függ spin-dominált hullámforma, vezet rendben A vezet rend spin-domiált hullámforma Dinamikai egyenletek spin-dominált esetben Id átlagolt egyenletek Transzformáció frekvenciatérbe Antennafüggvények Spin-dominált hullámforma Fisher-analízise Összefoglalás, további tervek Köszönetnyílvánítás 39 1

4 8. Függelék Kutatási feladatok bemutatása Dinamika - kiegészítés

5 1. fejezet Bevezetés Az els gravitációelmélet Newton nevéhez köthet. A Newton-féle gravitációs potenciál Poisson-egyenletet teljesít, azaz a gravitáció terjedési sebességére végtelent ad. Gyenge gravitáció leírására alkalmas ugyan, ám a bolygók, például a Merkúr perihélium precessziójára már nem ad a meggyelésekkel egyez értéket, és a GPS m ködtetésére is alkalmatlan. A jelenleg érvényesnek elfogadott gravitációelmélet az Einstein féle általános relativitáselmélet. Ebben a gravitációs perturbációk hullámegyenletet teljesítenek, amelyb l a gravitáció terjedési sebességére a fénysebességet kapjuk. Einstein relativitáselmélete egy évszázada jósolta meg a gravitációs hullámok létezését. Az elmélet szerint a gravitációs hullámok a térid görbületének h ab perturbációi. Gyenge tér közelítés esetén a g ab metrikájú térid a η ab metrikájú Minkowski térid perturbációjaként tekinthet g ab = η ab + h ab, valamint h ab << 1 és c h ab << 1. A perturbáció a h ab = 16πG T ab 1 2 g abt inhomogén hullámegyenletet teljesít, ahol = a a 1.1 a D'Alambert operátor, G a gravitációs állandó, T ab az anyag és gravitációtól különböz energiaformák energiaimpulzus tenzora, T pedig annak a spúrja. Földi meggyelés esetén jogos a gyenge tér közelítés, ugyanis a földi tér jó közelítéssel Minkowski azaz sík. A gravitációs hullámok sem okoznak ebben nagy változást, ugyanis a Földig megtett hosszú út alatt, az amplitúdójuk jelent s mértékben lecsökken. Például a 2015 szeptemberében detektált GW els gravitációs hullám [1] mintegy 400 Mpc távoli forrástól érkezett, ott mintegy 3 naptömegnyi energia felszabadulással járt, azonban a földi detektorokban csak a proton méretének ezredrésznyi változását okozta. A gravitációs hullámok legf bb forrásai kompakt kett s rendszerek, azaz neutron csillag - neutron csillag, neutron csillag - fekete lyuk, fekete lyuk - fekete lyuk kett sök. Ennek oka az hogy a gravitációs sugárzás kvadrupól jelleg sugárzás, azaz létrejöttéhez a kvadrupól momentum jelent s változása szükséges rövid id alatt, mint a kompakt 3

6 kett s rendszerekben. De forrás lehet akár egy aszimmetrikus szupernóva robbanás, vagy egy egyenetlen felszín gyorsan forgó neutroncsillag körülbelül 1mm-es felszíni magasságváltozás a neutroncsillag esetében már hegynek számít. Közvetett igazolást a gravitációs hullámok létezésére a Hulse-Taylor kett s pulzár [2] pályaperiódusa csökkenésének mérése adott, ami összhangban volt azzal, hogy a számítások szerint a gravitációs hullámok mennyi energiát vinnének el a rendszerb l, és így mennyivel kell csökkennie a pályaperiódusnak. Fizikusok és mérnökök több mint 30 éves munkájának köszönhet en a gravitációs hullámok közvetlen detektálására is sor került az Advanced LIGO detektorokkal szeptember 14-én [1], majd ezt követ en decemberben is detektáltak egy újabb hullámot [3]. A detektálási módszer [4] az úgynevezett matched ltering technikán alapszik. El ször a kett s rendszerek dinamikájából elméleti úton számítják a gravitációs hullámok mérend alakját. Ezt követ en a zajjal terhelt jelben illesztéssel keresik a már korábban el állított hullámformákat. Detektálásról akkor beszélünk, ha mind a két jelenleg m köd LIGO detektorban megjelenik ugyanaz a jel. A detektálásnak nem csak az az igazán nagy jelent sége, hogy igazolja a gravitációs hullámok létezését. Hanem az is, hogy amikor majd a jelenlegi kett nél több detektorral észleljük ket, a források paramétereinek meghatározása lehet séget teremt egyéb észlelésekkel való összevetésre. Várhatóan a felszabaduló nagyenergiájú gravitációs hullámok a környezetükkel való kölcsönhatás során létrehoznak nagyenergiájú részecskéket és elektromágneses sugárzást mely rádió-, infra-, látható-, ultraibolya-, röntgen- vagy gamma-tartományban észlelhet. Szintén érdekes, hogy gravitációs hullámokkal az els csillagok megszületése el tti id kb l is szerezhet információ, mely az Univerzum struktúráinak kialakulása szempontjából érdekes. A detektált jel alakja a kibocsájtó rendszer tulajdonságainak a függvénye. Azaz megfelel zikai és matematikai eszközökkel a kett s rendszer zikai paraméterei meghatározhatóak. Viszont mint minden mérés, ez is hibával terhelt. Ezt a hibát nem tudjuk a mérés többszöri reprodukciójából származtatni, ugyanis a detektálás, még ha több detektorral történik is, egyszeri. Így más statisztikai eszközöket kell alkalmaznunk a paraméterek hibáinak a becslésére, és ez a Fisher-mátrix analízis [5]. A dolgozat célja a Fisher-mátrix analízis elsajátítása és alkalmazása az SZTE Gravitációs csoport által bevezetett spin-dominált hullmáforma SDW [6] vezet rend alakjára. A dolgozat szerkezete a következ. A második fejezetben áttekintjük a Fisheranalízis elméleti hátterét és annak metódusát [7] alapján, és elvégezzük néhány részeredményének reprodukcióját. Ezt követ en a spin-dominált hullámforma analíziséhez szükséges eszközöket dolgozzuk ki. A harmadik fejezetben el állítjuk [8], [9], [10] és [11] módszereit követve a 4

7 spin-dominált kompakt kett sök dinamikáját körpálya közelítésben, felírjuk a hullámforma paramétereinek fejl dési egyenleteit, és ezeknek kiszámoljuk a szekulárisan egy pályaperiódusra vett átlagolt alakját. Az így kapott explicit hullámformát a negyedik fejezetben a stacionárius fázis közelítés segítségével frekvenciatérbe transzformáljuk [12], [13] és [14] alapján. Megadjuk a detektor, a hullám polarizációjának és forrásnak relatív helyzetét megadó antennafüggvényeket [15], [16]. Miután minden szükséges eszközt el állítottunk, az ötödik fejezetben elvégezzük az SDW plusz és keresztirányú polarizációjára a Fisher-mátrix analízist. Megvizsgáljuk, hogy a paraméterek relatív hibái hogyan változnak az össztömeg, a tömegarány, a látóirány szögének illetve a domináns spin nagyságának változására. Az analízist egy detektoros mérésre végezzük. 5

8 6

9 2. fejezet Fisher-mátrix analízis 2.1. Metódus, elméleti háttér A Fisher-mátrix analízis egy Bayes-statisztikai módszer, paraméterek hibáinak és a paraméterek közötti korrelációk becslésére. Az analízis használata széles körben elterjedt azon problémák esetén, ahol paraméterbecslés szükséges, azaz nem speciálisan gravitációs hullámok analíziséhez fejlesztett matematikai eljárás. Az analízis feltétele, hogy a vizsgálandó jelalakot frekvenciafügg alakban adjuk meg, melyet jelöljünk hf-fel. Amennyiben a kezdeti jelalak id függ, és nem frekvenciafügg, Fourier-transzformáció segítségével a jelalakot frekvenciatérbe transzformáljuk. Ezt követ en az analízis els lépéseként el kell állítanunk a Γ ab Fisher-információs mátrixot, mely deníció szerint H ab Γ ab = 2 df S f Itt H ab = h h + h h, ahol λ λ a λ b λ b λ a a a jelalakban megjelen valamely paraméter, h a jelalak komplex konjugáltja, S f pedig a detektor zajfüggvénye. A számunkra szükséges információkat a Σ ab kovariancia-mátrix hordozza, mely a Fisher-mátrix inverzeként áll el : Σ ab = Γ ab A kovariancia-mátrix diagonális elemei megadják az egyes paraméterek négyzetes középértékeit λ a = Σ aa, 2.3 a paraméterek közötti korrelációrókról pedig az o-diagonális elemek adnak informáci- 7

10 ót: c λaλ b = Σ ab /2 Σ aa Σ bb A korrelciók a [-1,1] tartományon értelmezettek, és akkor beszélünk er s korrelációról ha c λaλ b 1. Az egyes paraméterek közötti esetleges er s korreláció azt vonja maga után, hogy a paramétereknek létezik olyan lineárkombinációja, amely pontosabban meghatározható, mint az egyes paraméterek önmagukban korrelációs ellipszis. A jel/zaj viszonyt SNR = signal to noise ratio az integrállal számíthatjuk. SNR 2 = 4 0 h f 2 df 2.5 S f 2.2. Analízis egyszer hullámformákon Az analízis metódusának elsajátítása érdekében, elvégezzük a [7] cikkben található három egyszer bb hullámforma Fisher-analízisének reprodukcióját. A reprodukció során a G gravitációs állandót és a c fénysebességet egynek vesszük, és minden más paramétert másodperc egységekben adunk meg, melyre a váltószám naptömegre például 1M = 4, s. A hullámformákat mindhárom esetben a h f = Af 7/6 e iψ 2.6 alakban adjuk meg, ahol A a gravitációs hullám amplitúdója, Ψ a fázisa. Az amplitúdót a következ modellekben függetlennek tekintjük a többi paramétert l, így az a jel/zaj viszony és a detektor zajfüggvényének ismeretében 2.5 alapján az amplitúdó az összefüggéssel számítható. A = SNR f 7/3 Sf df 1/2 2.7 Zajfüggvényként használjuk az [7] irodalom 2.1 összefügése által a LIGO detektorra megadott { f0 [ 4 ]} 2 f S f = S f empirikus zajfüggvényt, ahol S 0 = Hz 1 és f 0 = 70Hz. f Az analízis során az integrálok határaira közelítést alkalmazunk, így az alsó integrálási határ esetén 0-ról áttérünk f min -re, a fels integrálási határként pedig -r l 8

11 pedig f max -ra a következ módon. A zajfüggvény érvényessége 10Hz fölött van, ugyanis ez alatt a szeizmikus rezgésekb l fakadó zaj végtelennek tekinthet S f ha f < 10Hz, így f min = 10Hz. A fels határt a kett s összeolvadás el tti körfrekvenciájából származtatva adhatjuk meg, amely a legbels stabil körpálya ISCO = innermost stabil circle orbit deníciójából f max = 6 3/2 Gπm/c 3 1, ahol m = m1 +m 2 az össztömeg. Els ként tekintsünk egy hullámformát newtoni N közelítésben, mely esetben a fázis Ψ N = 2πft c φ c π πMf 5/3, 2.9 ahol M a chirp-tömeg, mely deníció szerint M = m 1 m 2 3/5 m 1 + m 2 1/5, t c az "összeolvadás" id pontja, φ c pedig integrálási konstans. Az analízis paramétertere legyen P N = {ln A, ln M, t c, φ c }. Az amplitúdónak és a chirp-tömegnek a logaritmusát vesszük, így ezen paramétereknek az abszolút hibáit kapjuk. Az SNR=10 választás esetén, a hibákra és korrelációkra kapott eredményeket az 2.1 táblázat tartalmazza. M 1 [M ] M 2 [M ] M/M [%] t c φ c c Mtc c Mφc c tcφc 1,4 1,4 0, ,42 0,25-0,501-0,719 0,856 1,4 10 0, ,49 0,29-0,553-0,740 0, , ,55 0,31-0,581-0,752 0, , ,60 0,33-0,605-0,763 0, , ,69 0,36-0,633-0,776 0, táblázat. A kapott eredményeken látjuk, hogy a chirp-tömeg egy kifejezetten jól mérhet mennyiség, hibája nagyobb tömegek esetén is csak alig néhány ezred százalék. A tömegek növekedésével a hibák növekv tendenciát mutatnak, a korrelációk pedig er södnek az egyes paraméterek között. Az amplitúdó hibája, melyet nem tartalmaz a táblázat, minden esetben 0,1 értéket vesz fel, illetve korrelációja a többi paraméterrel nulla. Ez összhangban van a várakozásainkkal, ugyanis a problémát úgy fogalmaztuk meg, hogy az amplitúdó nem függ a többi paramétert l. A második vizsgált hullámforma az els kiegészítése az els rend posztnewtoni PN járulékkokal illetve a vezet rend uszálytaggal. Ekkor a fázis Ψ P N = 2πft c φ c π πMf 5/3 [ µ ] x 16πx 3/2, m ahol új változók a µ = m 1 m 2 /m redukált tömeg és az x = πmf 2/3. A paramétertér kiegészül a redukált tömeggel, így P P N = {ln A, ln M, ln µ, t c, φ c }. Az amplitúdót továbbra is független paraméternek tekintjük. Az analízis eredményét a 2.2 tartalmazza. 9

12 M 1 [M ] M 2 [M ] M/M [%] µ/µ [%] t c φ c c Mµ c φcµ 1,4 1,4 0,0040 0,41 0,71 1,28 0,906 0,979 1,4 10 0,0204 0,54 1,01 1,64 0,927 0, ,0207 0,42 1,24 1,88 0,934 0, ,114 1,52 1,44 2,02 0,954 0, ,235 2,44 1,77 2,30 0,964 0, táblázat. Az eredményeken látjuk, hogy a tömegparaméterek hibái az össztömeg növekedésével nagyságrendekkel n nek. A hibák mellett a tömegparaméterek korrelációja is er s, amib l az következik, hogy a két tömegparapéter, az M és µ egymás lineárkombinációjaként határozhatók meg. Harmadik jelalakként kiegészítjük a második jelalakot a vezet rend spin-pálya SO = spin-orbit kölcsönhatási taggal. A fázis így Ψ SO = 2πft c φ c π πMf 5/3 [ µ ] x 4β 16π x 3/2, m ahol új paraméter a β dimenziómentes spin paraméter. A paramétertér, amelyre az analízist végezzük P SO = {ln A, ln M, ln µ, β, t c, φ c }. Az analízis eredményét a 2.2 tartalmazza. M 1 [M ] M 2 [M ] M/M [%] µ/µ [%] β t c φ c c Mµ c Mβ c µβ 1,4 1,4 0,034 9,68 1,24 1,13 4,09-0,988 0,993-0,9991 1,4 10 0,191 15,27 1,99 2,04 6,25-0,990 0,994-0, ,207 12,18 1,58 2,76 7,75-0,991 0,995-0, ,069 76,65 11,41 3,53 9,27-0,992 0,994-0, , ,9 26,69 4,74 11,50-0,956 0,995-0, táblázat. Az eredményeken látjuk, hogy a vezet rend spin-pálya kölcsönhatási tag bevezetésével a becsült hibák már nem túl nagy össztömeg esetén is drasztikusan romlanak. A spin megjelenése a jelalakban tehát az egyes paraméterek jól meghatározatóságát lerontja. Mindhárom hullámforma analíziséhez a szükséges programot a Mathematica szimbolikus programnyelv segítségével írtuk meg. 10

13 3. fejezet Spines fekete lyuk kett sök dinamikája körpálya közelítésben Ahhoz, hogy a kompakt kett sök által keltett gravitációs hullámokra konkrét összefüggéseket tudjunk megadni, azaz hogy eljussunk arra a pontra, hogy a fenti hf jelalakokhoz hasonló formulákat kaphassunk, el ször az adott kett s dinamikai egyenleteinek fejl dését kell meghatároznunk. Ehhez bázisokat kell megadnunk, amelyekben a rendszert vizsgáljuk, és meg kell határoznunk ezek fejl dését az id ben. Ezt követ en meghatározzuk a szögegyenletek evolúcióját Bázisok meghatározása, azok id fejl dése A rendszer vizsgálatához két síkot kell el ször meghatároznunk: a Ĵ teljes impulzusmomentum irányára mer leges alapsíkot, és az ˆ pálya-impulzusmomentum irányára mer leges pályasíkot. A két sík metszésvonala az ˆl irány, amit felszálló csomónak nevezünk. Az ˆl deníció szerint ˆl = Ĵ ˆ / sin α, ahol α a két sík által bezárt szög. A Ĵ teljes impulzusmomentum iránya 2PN rendig állandónak tekinthet [8]. Az ˆ iránya id ben változik, így az ˆl iránya sem állandó. A síkokat, és az elkövetkez kben deniált bázisokat a 3.1 ábra szemlélteti. Els bázisként tekintsük azt az esetet, amikor a ẑ-tengely irányának a Ĵ irányát választjuk. Ekkor a megszokott ˆx és ŷ irányokat meghagyva inerciális bázist kapunk melyet jelöljünk K i = ˆx, ŷ, Ĵ -vel. A következ ekben az ˆx-tengely irányának válasszuk az ˆl felszálló csomó irányát, a ẑ-tengelyét pedig el ször a Ĵ-nek, másodszor az ˆ -nek. Az els esetben a harmadik bázisvektor ˆk = Ĵ ˆl, és a bázis K J = ˆl, ˆk, Ĵ. A második esetben a harmadik bézisvektor ˆm = ˆ ˆl, a bázis pedig K L = ˆl, ˆm, ˆ. A negyedik bázis meghatározásánál viszont problémákba ütközünk. Általános esetben a kett sök egymás körül excentrikus pályán keringenek. 11 Ekkor a rendszerhez

14 3.1. ábra. A kett s rendszert jellemz paraméterek a K J és K L bázisokban: Ĵ a teljes impulzusmomentum iránya, ˆ a pálya-impulzusmomentum iránya, Ŝ1 és Ŝ2 az egyes spinek irányát jelölik, ˆl a felszálló csomó iránya. A felszálló csomótól mérve a Ĵ-re mer leges síkban φ n szögre az ˆx irány, az ˆ -re mer leges síkban ψ c szögre az ÂC irány található. χ c az ÂC és az ˆr irányok által bezárt szög. κ i -k és ψ i -k i = 1, 2 a spin polár- és azimutális szögek. egy plusz jól deniált bázist rendelhetünk, ugyanis az ˆx-tengely irányának kijelölhetjük az  N Laplace-Runge-Lenz vektor irányát, amit a periasztronhoz rögzítünk, azaz χ p = arcsin A N r, ahol χ p a valódi anomália. Így a koordinátarendszerünk K A =  N, ˆQ N, ˆ lenne, ahol ˆQ N = ˆ  N. Az összeolvadás el tti gravitációs hullámok születésekor azonban a kett s egymás körül már közel körpályán kering, ṙ = r = 0. Ekkor az így választott bázis jól-deniáltsága elromlik, körpálya esetén nem tudunk periasztront deniálni. Megoldásként új bázist adunk meg, amelyben a Laplace-Runge-Lenz vektort mi rögzítjük, és a továbbiakban  C -vel jelöljük. A választásunk a következ : ˆ továbbra is a ẑ-tengely irányába mutasson és ˆ és  C teljesítse az alábbi feltételeket: A C = 0, 3.1 Ȧ C =

15 A bázis harmadik vektora ˆQ C = ˆ  C. Így az összeolvadáskori állapotok leírására a bázisunk K C =  C, ˆQ C, ˆ. A feltételekb l látszik, hogy amennyiben ˆ elmozdul  C irányába, úgy  C ugyanolyan mértékben elmozdul az ˆ -el ellentétes irányba. Az ˆ -nek a ˆQ C irányú elmozdulása  C -t változatlanul hagyja. Összegzésként: kaptunk egy inerciális és három neminerciális bázist, és most meghatározzuk a továbbiakban szükséges bázisvektorok evolúciós egyenleteit. Tekintsük a K C bázist. Az r vektort ebben a bázisban r =r cos χ c  C + sin χ c ˆQ C összefüggéssel adhatjuk meg, általánosan r =x i f i, ahol f i az i-edik bázisvektor. Az ˆ pálya-impulzusmomentum deníciója [8] cikk alapján ahol µ a redukált tömeg. 3.3 = µr v, 3.4 Deriváljuk id szerint 3.4-t, így kapjuk, hogy d = µr a = dt L d N ˆ + dt ˆ, 3.5 ahol a = 3 i=1 a if i, ahol a i a relatív gyorsulásvektor komponensei. Ebb l átrendezéssel és a megfelel tagok kifejezésével megkapjuk a K C bázis fejl dési egyenleteit, amelyek a következ k: d dt ˆ = µr a 3 sin χ c  C cos χ c ˆQ C, 3.6 d = µr a 3 sin χ cˆ, 3.7 d dt ˆQ C = µr a 3 cos χ cˆ. 3.8 A három egyenlet egy egyenlettel is helyettesíthet az ḟ i = Ω A,circ f i 3.9 alakban, ahol Ω A,circ = a 3 µr cos χ c  C + a 3 µr sin χ c ˆQ C Az  C és az r vektor iránya által bezárt χ c szög fejl dési egyenletéhez való eljutáshoz deriváljuk az r vektort, amelyre kapjuk egyszer, hogy ṙ =ẋ i f i + x i ḟ i, másszor a 13

16 3.3 alak deriváltjait. Felhasználva 3.4 és 3.9 egyenleteket felírhatjuk, hogy µr = ẋi f i + x i Ω A,circ f i, 3.11 amelybe behelyettesítve a 3.10 és a [9] cikk 15 összefüggéseket, átrendezés után a χ c szög fejl désére a összefüggést kapjuk. χ c = µr Amire még szükségünk lesz, a K L bázis ˆl és ˆm bázisvektorainak id fejl dése a K C rendszerhez viszonyítva. A K L bázisból a K C bázist az ˆ irány körüli ψ c szöggel való forgatással kapjuk, így a két bázisvektor a K C bázisban felírva ˆl = cos ψc  C sin ψ c ˆQ C 3.13 és ˆm = sin ψ c  C + cos ψ c ˆQ C Az ˆl és ˆm bázisvektorok id fejl déséhez deriváljuk 3.13 és 3.14 egyenleteket id szerint, így kapjuk, hogy d = dtˆl ψ d c sin ψ c  C + cos ψ c ˆQ C + cos ψ c sin ψ c ddt ˆQ C 3.15 dtâc = cos ψ c Ω A,circ ψ cˆ  C sin ψ c Ω A,circ ψ cˆ ˆQ C = Ω A,circ ψ cˆ ˆl és d dt ˆm = ψ d p cos ψ c  C sin ψ c ˆQ C + sin ψ c + cos ψ c ddt ˆQ C 3.16 dtâc = cos ψ c Ω A,circ ψ cˆ ˆQ C + sin ψ c Ω A,circ ψ cˆ  C = Ω A,circ ψ cˆ ˆm. Bevezetve az jelölést 3.15 és 3.16 a és Ω L = Ω A,circ ψ cˆ 3.17 d dtˆl = Ω L ˆl 3.18 d dt ˆm = Ω L ˆm

17 alakban adhatóak meg. A K i K J K L K C koordináta bázisok közötti transzformációt a φ n, α és ψ c Euler-szögek teszik lehet vé sorrendben z-, x- és z-tengely körüli forgatások segítségével, ahol az egyes R forgatásmátrixok a következ k: R z φ n = R x α = és R z ψ c = cos φ n sin φ n 0 sin φ n cos φ n 0, cos α sin α, sin α cos α cos ψ c sin ψ c 0 sin ψ c cos ψ c Ezek segítségével felírva az R φ n, α, ψ c teljes transzformáció mátrixát, egyszer mátrixszorzással kapjuk, hogy R φ n, α, ψ c = R ψ c R α R φ n 3.23 cos ψ c cos φ n + sin ψ c cos α sin φ n cos ψ c sin φ n + sin ψ c cos α cos φ n sin ψ c sin α = sin ψ c cos φ n + cos ψ c cos α sin φ n sin ψ c sin φ n + cos ψ c cos α cos φ n cos ψ c sin α, sin α sin φ n sin α cos φ n cos α amely összhangban van a [8] irodalommal Euler-szögek id fejl dése Az α inklináció Az inklináció szöge deníció szerint cos α = Ĵ ˆ, melyet id szerint deriválva kapjuk, hogy sin α α = Ĵ d dt ˆ, 3.24 ahol felhasználtuk azt, hogy Ĵ megmaradó mennyiség 2PN-ig. Felhasználva 3.10-et a 3.24 egyenletben sin α α = Ω A,circ ˆ Ĵ = sin α Ω A,circˆl

18 Az inklináció id fejl dése a 3.25 és 3.13 egyenletek alapján a következ : α = a 3 µr cos χ c + ψ c A φ n felszálló csomó hossza A φ n szög id fejl dését [8] C. fejezete alapján eljárva határozzuk meg, azaz az r = r 1, 0, 0 vektor K i K J K L K C koordináta transzformációját használjuk fel alapján az r transzformációjára kapjuk, hogy x cos ψ c + χ c cos φ n + sin ψ c + χ c cos α sin φ n y = r cos ψ c + χ c sin φ n + sin ψ c + χ c cos α cos φ n z sin ψ c + χ c sin α Magához az id fejl déshez a χ c szögnél látottak alapján indulunk el, azaz felhasználjuk a pálya-impulzusmomentum 3.4 denícióját, melyet osztunk µr 2 tel, így µr 2 = 1 r 2 r ṙ A 3.28 összefüggéshez felhasználva 3.27 egyenletet és id deriváltját, és bevezetve a ψ c + χ c = ψ jelölést, a következ összefüggéshez jutunk: sin α sin φ n cos ψ sin φ n sin ψ cos α + sin 2 ψ cos φ n = µr ψ 2 sin α cos φ n + α cos ψ cos φ n sin ψ cos α sin 2 ψ sin φ n cos α sin ψ cos ψ sin α sin α sin ψ cos ψ cos φ n + sin ψ cos α sin φ n + φ n sin α sin ψ cos ψ sin φ n + sin ψ cos α cos φ n, 3.29 sin 2 α sin 2 ψ 1 melyb l annak érdekében, hogy ne vektoregyenleteink legyenek, négyzetreemeléssel kapjuk, hogy L 2 N µ 2 r = ψ φ n cos α + φn sin α cos α + α sin ψ Felhasználva, hogy z = cos α, trigonometrikus átalakításokkal kapjuk, hogy µr = ψ φ 2 n cos α φn sin α cos ψ + α sin ψ tan α cos ψ Az 3.31 összefüggést négyzetre emelve és így egyenl vé téve a 3.30 összefüggéssel 16

19 kapjuk, hogy 0 = [ φn sin α cos ψ + α sin ψ 1 + tan 2 α cos 2 ψ + 2 tan α cos ψ ψ φ ] n cos α φn sin α cos ψ + α sin ψ Mivel 2 tan α cos ψ ψ φ n cos α 0, a 3.26 összefüggést és a korábbi ψ c + χ c = ψ helyettesítésünket felhasználva, a φ n id fejl désére a φ n = a 3 µr sin ψ c + χ c sin α 3.33 összefüggés áll el A ψ c szög A ψ c szög id fejl déséhez felhasználjuk a φ n szögre kapott eredményeket. Visszaírva a 3.33 összefüggést a 3.31 egyenletbe, és felhasználva a 3.12 egyenletet, kapjuk, hogy µr sin ψ c + χ c ψ c = a tan α 3.3. Spin-szögek id fejl dése A κ i spin polár szög Deníció szerint κ i = arccos Ŝi ˆ. Ezt dierenciálva és felhasználva [9] cikk B33 összefüggését, miszerint d dtŝi = Ω i Ŝ i, illetve a már fentebb látott d dt ˆ = Ω A,circ ˆ összefüggést, kapjuk, hogy sin κ i κ i = Ω A,circ Ω i ˆ Ŝ i Ennek az összefüggésnek a konkrét kiszámításához szükségünk van még arra, hogy meghatározzuk az Ω i -t, mely [8] - 56 alapján Ω i = Ω SO i + Ω SS i Ω SO i = G 4 + 3ν3 2i Ω SS i = GS [ j 3 c 2 r 3 + Ω QM i 3.36 L 2c 2 r 3 N ˆ, ] ˆr Ŝ j ˆr Ŝ j, Ω QM i = 3Gm jq i ˆr Ŝ r 3 i ˆr. S i 17

20 ahol, SO a spin-pálya, SS a spin-spin, QM pedig a kvadrupól-monopól kölcsönhatásból származó tagot jelöli. Továbbá a kifejezésekben ν = m 2 /m 1 1 a tömegarány, S i = G c m2 i χ i = G c m2 ην 2i 3 χ i 3.37 az i-edik spin nagysága, χ i az kett s i-edik tagjának [0,1] intervallumon értelmezett dimenziómentes spinparamétere, η = µ/m a szimmetrikus tömegarány, Q i = G2 c 4 wχ2 i m 3 i 3.38 a kvadrupól-monopól skalár, amelyben w = 1 forgó feketelyukak esetén. Fel kell írnunk még az Ŝ i vektort, amely a K L rendszerben Ŝ i = sin κ i cos ψ iˆl+sin κi sin ψ i ˆm+cos κ iˆ a [8] cikk 30 összefüggése alapján. Ŝ i a K C rendszerben 3.13 és 3.14 felhasználásával Ŝ i = sin κ i [ cos ψ c ψ i  C sin ψ c ψ i ˆQ C ] + cos κ iˆ Az ˆr és az Ŝ i vektorok skaláris szorzata: Mindezek felhasználásával az Ω i -kre kapjuk, hogy ˆr Ŝ i = sin κ i cos χ c + ψ c ψ i Ω SO i = G 4 + 3ν3 2i L 2c 2 r 3 N ˆ, 3.41 Ω SS i = G2 m 2 η { ν 2j 3 χ c 3 r 3 j sin κ j [3 cos χ c cos χ c + ψ c ψ j cos ψ c ψ j  C + ] } + 3 sin χ c cos χ c + ψ c ψ j + sin ψ c ψ j ˆQ C cos κ j ˆ Ω QM i = 3G2 ηm 2 wχ r 3 c 3 i sin κ i cos χ c + ψ c ψ i cos χ c  C + sin χ c ˆQ C. Megjegyzés: A [9] cikk B34 Ω SS i a helyes összefüggésekt l [17]. és Ω QM i összefüggései egy 1/2-es szorzóban eltérnek Az Ω i -k meghatározása után 3.35 összefüggéshez szükségünk van még az ˆ és Ŝ i vektorok keresztszorzataira, mely ˆ Ŝ i = sin κ i [ sin ψ c ψ i  C + cos ψ c ψ i ˆQ C ] Ezt követ en a κ i -okra kapjuk, hogy: κ i = Ω i  C sin ψ c ψ i + Ω i ˆQ C cos ψ c ψ i 3.43 µr a 3 sin χ c + ψ c ψ i 18

21 amely az 3.41 összefüggéseket felhasználva a különböz kölcsönhatási tagokra lebontva: κ SO i = a 3 µr sin χ c + ψ c ψ i, 3.44 κ SS i = G2 m 2 η c 3 r 3 ν 2j 3 χ j sin κ j [3 cos χ c + ψ c ψ j sin χ c + ψ c ψ i sin ψ i ψ j ] a 3 µr sin χ c + ψ c ψ i, κ QM i = 3G2 ηm 2 r 3 c 3 wχ i sin κ i cos χ c + ψ c ψ i sin χ c + ψ c ψ i 3.46 a 3 µr sin χ c + ψ c ψ i A ψ i spin azimutális szög ˆm Ŝ Deníció szerint ψ i = arctan i. A kifejezésnek a tangensét véve, majd id szerint ˆl Ŝ i dierenciálva kapjuk, hogy d d dt ˆm Ŝ i + ˆm dtŝi 1 + tan 2 ψ i ψ i ˆl Ŝ i = d 1 + tan 2 ψ i ψ i ˆl Ŝ i + tan ψ i Ŝ i 3.47 dtˆl d + tan ψ iˆl, dtŝi d = ˆm tan ψ iˆl 3.48 dtŝi d + dt ˆm tan ψ d i Ŝ i. dtˆl Felhasználva 3.18, 3.19 és d dtŝi = Ω i Ŝ i összefüggéseket, kapjuk, hogy 1 + tan 2 ψ i ψ i ˆl Ŝ i = ˆm tan ψ iˆl Ω i Ŝ i ] + [Ω L ˆm tan ψ i Ω L ˆl Ŝ i, 3.49 ahol ˆl Ŝ i = sin κ i cos ψ i, így sin κ i ψ i = [sin ψ c ψ i  C + cos ψ c ψ i ˆQ C ] Ω i Ω L Ŝ i A kifejezés explicit felírásához szükségünk van Ω L keresztszorzásnál alkalmazandó alakjára, mely [9] cikk 30 összefüggése alapján Ω L = a 3 µr [ cos χ c  N + sin χ c ˆQ N + sin χ c + ψ c tan α 19 ˆ ], 3.51

22 illetve a következ két vektori szorzatra: Ω i Ŝ i = Ω L Ŝ i = a 3 µr [Ω i ˆQ N cos κ i + Ω i ˆ sin κ i sin ψ c ψ i ] ÂN ] + [Ω i ˆ sin κ i cos ψ c ψ i Ω i  N cos κ i ˆQ N [ sin κ i Ω i  N sin ψ c ψ i + Ω i ˆQ N cos ψ c ψ i ] ˆ, {[ sin χ c cos κ i + sin κ i sin ψ c ψ i sin ψ ] c + χ c  N tan α + [ sin κ i cos ψ c ψ i sin ψ ] c + χ c cos χ c cos κ i ˆQ N tan α sin κ i sin χ c + ψ c ψ i ˆ }. Az így kapott 3.52 és 3.53 kifejezéseket visszaírva az 3.50 egyenletbe, sin κ i -vel való leosztás és trigonometrikus átalakítások után ψ i = Ω i ˆ + ] [Ω i ˆQ C sin ψ c ψ i Ω i  C cos ψ c ψ i cot κ i a 3 µr [cot α sin ψ c + χ c cot κ i cos χ c + ψ c ψ i ], amelyb l a 3.41 egyenlet segítségével kapjuk, hogy 3.54 ψ i SO = G 4 + 3ν3 2i µr L 2c 2 r 3 N a 3 [cot α sin ψ c + χ c 3.55 cot κ i cos χ c + ψ c ψ i ], ψ i SS = G2 m 2 η ν 2j 3 χ c 3 r 3 j { cos κ j sin κ j cot κ i [3 cos χ c + ψ c ψ j 3.56 cos χ c + ψ c ψ i cos ψ j ψ i ]} µr a 3 [cot α sin ψ c + χ c cot κ i cos χ c + ψ c ψ i ], ψ QM i = 3G2 ηm 2 c 3 r 3 wχ i sin κ i cot κ i cos 2 χ c + ψ c ψ i 3.57 a 3 µr [cot α sin ψ c + χ c cot κ i cos χ c + ψ c ψ i ] A gyorsulásvektorok meghatározása Az relatív gyorsulásvektor a különböz járulékokból adódó gyursulások összegeként áll el, amely vezet rendben a 2PN-es járulékokat elhanyagolhatjuk [9] B9 alapján a = a P N + a SO + a SS + a QM Körpályaközelítésben a gyorsulásvektorok z-komponensét kell meghatároznunk, ugyanis fent láttuk, hogy ebben az esetben ez az egyetlen komponens játszik szerepet az összefüggéseinkben. 20

23 Els lépésként az 3.3 helyvektort id szerint dierenciálva meghatározzuk a v sebességvektort, amely v= ṙ = ṙ cos χ c  C + sin χ c ˆQ C +r + d sin χ c χ c  C + cos χ c dtâc + + cos χ c χ c ˆQ C + sin χ c d dt ˆQ C Mivel körpályaközelítésben ṙ = 0, felhasználva 3.7 és 3.8 összefüggéseket, a sebességvektor jelen alakja v =r χ c cos χ c ˆQ C sin χ c  C Szükségünk lesz még a sebességvektor hossznégyzetére, amely 3.12 felhasználásával: v 2 = r 2 χ 2 c = L2 N µ 2 r A továbbiakban meghatározzuk a gyorsulásokra vonatkozó összefüggéseket a különböz járulékok esetén. 1PN rendben a gyorsulásokra felírható összefüggés [9] cikk B10 összefüggés alapján melyb l látjuk, hogy a P N = Gm [ η Gm c 2 r 2 r tekintve, hogy az ˆr vektor z-irányú komponense zérus η v 2 ]ˆr, 3.62 a P N 3 = 0, 3.63 A spin-pálya kölcsönhatásból származó gyorsulási tag [9] cikk B12 összefüggése alapján a SO = G2 m 2 η c 3 r 3 2 k=1 4ν 2k χ k { 3LN 2µr ˆL } N Ŝ k ˆr v Ŝ k Az explicit felíráshoz szükséges ˆ Ŝ k = cos κ k 3.65 és v Ŝ k = L N [cos κ k cos χ c  C + sin χ c ˆQ C µr ] sin κ k cos χ c + ψ c ψ k ˆ

24 összefüggések felhasználásával az SO rend gyorsulás z-irányú komponense Spin-spin kölcsönhatásból származó gyorsulási tag [9] cikk B13 összefüggése alapján a SO 3 = G2 m 2 η c 3 r 3 2 4ν 2k χ k r χ c sin κ k cos χ c + ψ c ψ k k=1 a SS = 3G3 m 3 η χ c 4 r 4 1 χ 2 {[Ŝ1 Ŝ 2 + ˆr Ŝ 2 Ŝ1 + amely a felhasználandó 3.40 és kifejezésekkel explicit alakban felírva a z-irányban. ] 5 ˆr Ŝ 1 ˆr Ŝ 2 ˆr } ˆr Ŝ 1 Ŝ2, 3.68 Ŝ 1 Ŝ 2 = sin κ 1 sin κ 2 cos ψ 2 ψ 1 + cos κ 1 cos κ a SS 3 = 3G3 m 3 η c 4 r 4 χ 1 χ 2 [sin κ 2 cos χ c + ψ c ψ 2 cos κ 1 + sin κ 1 cos χ c + ψ c ψ 1 cos κ 2 ] 3.70 A kvadrupól-monopól kölcsönhatási tagból származó gyorsulási tag [9] cikk B13 összefüggése alapján a QM = 3G3 m 3 η 2c 4 r 4 2 w k ν 2k 3 χ 2 k k=1 {[ ] 2 } 1 5 ˆr Ŝ k ˆr+2 ˆr Ŝ k Ŝk melyhez felhasználva az 3.40 összefüggést, a z-irányú komponens Ezzel meghatároztuk a spines feketelyuk kett sök dinamikáját körpálya közelítésben. a QM 3 = 3G3 m 3 η 2c 4 r w k ν 2k 3 χ 2 k sin 2κ k cos χ c + ψ c ψ k k=1 22

25 4. fejezet Frekvenciafügg spin-dominált hullámforma 4.1. Id függ spin-dominált hullámforma, vezet rendben A vezet rend spin-domiált hullámforma A spin-dominált hullámforma [6] azon esetekre került bevezetésre, ahol a kompakt kett st alkotó objektumok tömegaránya kicsi ν 1 : 30. Általános esetben a kett sök bespirálozáskori dinamikai egyenleteit egy kis ε = Gm/c 2 r paraméter körüli posztnewtoni sorfejtés segítségével kaphatjuk. Spin-dominált esetben viszont be tudunk vezetni egy újabb kis paramétert a következ módon. Tekintsük spinnagyságok arányát, mely [6] irodalom 1 egyenlete alapján S 2 S 1 χ 2 χ 1 ν 2, 4.1 mely összefüggésb l láthatjuk, hogy amennyiben m 2 << m 1, a második spin elhanyagolható. Ezt követ en felírható még az egyes spin és a pálya-impulzusmomentum aránya, [6] cikk 2 összefüggése: S 1 ε 1/2 ν 1 χ 1, 4.2 amelyen látszik, hogy kis tömegarány esetén a spin dominál a pálya-impulzusmomentum felett - innen kapta a hullámforma a nevét -, és bevezetésre kerül a ξ = ε 1/2 ν második kis paraméter. A hullámformában az els PN rendig, csak az SO járulékok jelennek meg, az SS és QM járulékok nem. A hullámforma alakja ebben az esetben a h + és h polaricáziókat 23

26 tekintve a h+ = A h β 1 h 0β alakban adható meg, ahol A =2Gmνε/c 2 D L, D L a luminozitás távolság, a különböz járulékok pedig 4h 0 + = [ c ±0 1 sin 2 θ 2 cos Φ 2± +, ] 2k ± sin κ 1 sin 2θ sin Φ 1± +6 sin 2 κ 1 sin 2 θ cos Φ, 4.4 2h 0 = [ c ±0 1 cos θ sin Φ 2± +, ] 2k ± sin θ sin κ 1 cos Φ 1±, 4.5 2h 0β + = [ c ±0 2 sin 2θ sin Φ 1± +, +k ± sin κ 1 sin 2 θ 2 ] cos Φ 2± 3 sin 2κ 1 sin 2 θ cos Φ, 4.6 h 0β = +, [ k ± cos θ sin κ 1 sin Φ 2± +c ±0 2 sin θ cos Φ 1± ], 4.7 ahol Φ = 2ψ, Φ 1± = φ n ± 2ψ és Φ 2± = 2φ n ± 2ψ jelöléseket a fázisokra, illetve k ± = cos κ 1 1, c ±0 1 = 2k ± sin 2 κ 1, c ±0 2 = k ± 2 sin 2 κ A fentiek alapján a h + és h polarizációk a következ alakban írhatók fel h + = A 4 h = A 2 [ A ± cos Φ 2± + B ± sin Φ 1± + C cos Φ ], 4.9 +, [ ] A ± sin Φ 2± + B ± cos Φ 1±, , 24

27 ahol az egyes mennyiségek: A ± = c ±0 1 sin 2 θ 2 + 2c ±0 2 sin 2θ, B ± = 2k ± sin κ 1 sin 2θ + sin 2 θ 2, C = 3 sin 2 κ 1 sin 2κ 1 sin 2 θ, 2 A ± = c ±0 1 cos θ + 2k ± cos θ sin κ 1, B ± = 2 k ± sin κ 1 + c ±0 2 sin θ Dinamikai egyenletek spin-dominált esetben Mint ahogy azt fentebb láttuk, vezet rend spin-dominált esetben a dinamikát a nagyobbik spin uralja k=1, ebb l következ en csak az SO járulékok jelennek meg az egyenletekben, illetve ψ 1 = π/2. Így a gyorsulás: a 3 = a SO 3 = G2 m 2 η 4ν L N χ c 3 r 3 1 µr sin κ 1 cos χ c + ψ c π Ennek segítségével megadhatjuk a spin-dominált rendszer dinamikai fejl dési egyenleteit, melyekhez ha felhasználjuk, hogy cos x π/2 = sin x, sin x π/2 = cos x és β 1 = κ 1 α β 1 = κ 1 α, az egyes paraméterekre vonatkozó összefüggések: α inklináció: α SO = G2 m 2 η c 3 r 3 4ν χ 1 sin κ 1 sin χ c + ψ c cos χ c + ψ c, 4.13 φ n felszálló csomó hossza: φ SO n = G2 m 2 η 4ν sin 2 ψ c + χ c χ c 3 r 3 1 sin κ 1, 4.14 sin α ψ c szög: ψ SO c = G2 m 2 η 4ν sin 2 ψ c + χ c χ c 3 r 3 1 sin κ 1 tan α, 4.15 κ 1 spin polárszög: κ SO 1 = G2 m 2 η c 3 r 3 4ν χ 1 sin κ 1 sin χ c + ψ c cos χ c + ψ c, β 1 az egyes spin és a teljes impulzusmomentum által bezárt szög: β SO 1 =

28 A kapott összefüggéskb l látjuk, hogy vezet rendben, amíg csak az SO járulékokat kell gyelembe vennünk κ SO 1 = α SO 1, ami alapján vezet rendben alkalmazhatjuk a κ 1 = α szöghelyettesítést Id átlagolt egyenletek A fenti pillanatnyi egyenletekre még el kell végeznünk az egy periódusra való átlagolást ahhoz, hogy a számunkra szükséges fejl dési egyenleteket kapjuk. Az átlagolást deníció szerint a következ összefüggés adja meg: f = 1 T 2π ahol a T radiális periódus, felhasználva a 3.12 összefüggést T = 2π 0 0 f χ c χ c dχ c χ c dχ c = 2π µr Felhasználva, hogy 2π 0 sin x + c cos x + c dx = 0, κ 1 és β 1 átlagaira 0-át kapunk. A 2π 0 sin 2 x + c dx = π összefüggés felhasználásával: d dt φso n = 1 G 2 m 2 η 4ν sin κ 1 χ 2 c 3 r 3 1 sin α, 4.19 d dt ψso c = G2 m 2 η 4ν sin κ 1 χ 2c 3 r 3 1 tan α Felhasználva, hogy ε = Gm/c 2 r v 2 /c 2 és µrv, kapjuk, hogy illetve d SO φ n = η c 3 dt 2 Gm ε3 4ν sin κ 1 χ 1 sin α, 4.21 d SO ψ c = η c 3 dt 2 Gm ε3 4ν sin κ 1 χ 1 tan α, 4.22 Gm ε = ṙ c 2 r 2 ṙ-hoz felhasználva [16] cikk 4.12 összefüggését, illetve bevezetve a ξ kis paramétert és akörül a kifejezéseket sorba fejtve: ε = 4 ξc 3 ε 11/ ε 3724χ1 ε 3/2 sin κ 1, 105 Gm 4.24 d SO φ n = 1 c 3 sin κ 1 dt 2 Gm ε3 χ 1 4 5ξε 1/2, sin α 4.25 ψ = χ c + d dt ψ SO c = c3 Gm ε3/2 + φ n cos α Felhasználva a már fentebb említett κ = α relációt, a spin-dominált hullámformára 26

29 vezet rendben a következ szekuláris fejl dési egyenleteket kapjuk: ε = 64 νc 3 ε 5 5 Gm, 4.27 c 3 φ n = 1 2 Gm ε3 χ 1 4 5ν, 4.28 ψ = c3 Gm ε3/2 + φ n cos κ Transzformáció frekvenciatérbe A frekvenciatérbe való transzformációhoz els ként vegyük az [6] cikk 7 és 5 összefüggéseit, felhasználva azt a közelítést, hogy kis tömegarány esetén µ νm. Ekkor egyszer t c t alakra való átrendezéssel kapjuk, hogy t c t = 5Gm 1 256c 3 ν ε 4 = 5c5 Gm 5/3 ω 8/3, ν ahol ω = πf a pálya körfrekvencia, ahol az f a gravitációs hullám frekvenciája körpályára. A fenti egyenletb l ε-t kifejezve és azt visszahelyettesítve 4.28 és 4.29 összefüggésekbe, majd ezeket id szerint integrálva kapjuk φ n t-re és ψ t-re, hogy φ n t = φ nc + 53/4 32 c 3 Gmν 3 1/4 t c t 1/4 χ 1 4 5ν, 4.31 c ψt = ψ c 5 5/8 3 5/8 ν 3/8 t c t 5/8 mg +φ n cos κ ahol φ nc és ψ c integrálási konstansok. Ezt követ en a 4.30 összefüggést visszaírva a φ n t és ψ t-re kapott összefüggésekbe, megkapjuk azok fázistól függ alakját: φ n f = φ nc + 5c2 4ν 1 5 χ 1, /3 128 πgmf c 5 ν 1 ψf = ψ c 32 πgmf 5/ ν 1 5 χ 1 cos κ 1 4c 3 πgmf 7/ Miután megadtuk a fázisok frekvenciafügg alakját, meg kell határoznunk a hullámforma alakját is frekvenciatérben, melyhez a [7] és [13] cikkekben látottak alapján 27

30 járunk el. Tekintsük a A sin Φ, A cos Φ harmonikus függvényeket, melyekre feltesszük, hogy A/A Φ és Φ Φ 2 itt eltekintünk A és Φ id függését l. Ekkor a ΨT = 0 stacionárius fázis közelítés SPA = stationary phase approximation ezeknek a függvényeknek a Fourier transzformáltjaira alkalmazva: F [A sin Φ] F [A cos Φ] A[fT ] 2π 2 Ψ[fT ] eiψ[f T ]+ π 4, 4.35 A[fT ] 2 2π Ψ[fT ] eiψ[f T ] π 4, 4.36 ahol a T nyeregpont teljesíti a stacionárius fázis közelítés feltételét. Az 4.3 hullámforma vezet rend alakjában megjelennek a Ψt = 2πtf Φt, 4.37 Ψ 1± t = 2πtf Φ 1± t, Ψ 2± t = 2πtf Φ 2± t. fázisok, így jelen esetben öt feltételünk van: ΨT = 0 és Ψ1,2± T 1,2± = 0, melyek alapján f = Φ 1,2± T /2π. Így az 4.37 összefüggésekb l az SPA feltételek felhasználásával kapjuk, hogy 2 ψt = 2πf, 4.38 φ n T 1± ± 2 ψt 1± = 2πf, φ n T 2± ± 2 ψt 2± = 2πf Ezek az összefüggések öt T, T 1± és T 2± nyeregpontot szolgáltatnak, viszont mi a vezet T nyeregpontot alkalmazzuk egyedül a továbbiakban, tekintve, hogy a T 1± és T 2± nyeregpontok T -nek kis korrekciói. Így az egyetlen SPA feltételt az 4.38 összefüggés adja, amely egyenérték a 4.30 összefüggéssel, tehát a vezet nyeregpont T = 5c5 Gm 5/3 πf 8/ ν Szükségesek még a fázisok második deriváltjai a T nyeregpontban, melyek ΨT = 2 ψt, Ψ 1± T = φ n T 2 ψt, Ψ 2± T = 2 φ n T 2 ψt,

31 így a frekvenciafügg fázisok a következ k: ahol Ψ = Ψ c 2ψf, Ψ 1± = Ψ c φ n f 2ψf, Ψ 2± = Ψ c 2φ n f 2ψf, 4.43 Ψ c = 2πft c G 5/3 c 5 5m 5/3 128ν πf 5/ A h + és h frekvenciatérben felírt alakja a stacionárius fázis közelítéssel h + = Ā [A ± 2π 8 Ψ 2± [ft ] eiψ 2± π 4 +, +B ± 2π Ψ 1± [ft ] eiψ 1±+ π 4 ] 2π +C π Ψ[fT ] eiψ 4, 4.45 h = Ā [ A ± 2π 4 Ψ 2± [ft ] eiψ 2±+ π 4 +, +B ± 2π Ψ 1± [ft ] eiψ 1± π 4 ], 4.46 ahol most már minden korábban id függ függvény illetve változó az f Fourier frekvencia függvénye. Az Ā = 2Gmνεf/c2 D L a frekvenciafügg amplitúdó, melyben D L a luminozitás távolság, εf-et pedig 4.27 integrálásával kapjuk felhasználva a 4.30 összefüggést melyb l ε f = G2/3 m 2/3 fπ 2/3 c 2, 4.47 Ā = 2 G5/3 m 5/3 ν c 4 D L fπ 2/

32 A hullámforma egyszer bb alakra való hozásának érdekében a fázisok explicit alakjainak beírásával átalakítjuk a gyökös kiejezéseket, így a h + és h új alakjai: h + = A 8 h = A 4 [ A ± ±1 δ 1 ± cos κ 1 1/2 e iψ 2± π 4 +, 1 1/2 +B ± ±1 δ 2 ± cos κ 1 e iψ 1±+ π 4 ] +C 1 δ cos κ 1 1/2 e iψ π 4, 4.49 [ A ± ±1 δ 1 ± cos κ 1 1/2 e iψ 2±+ π 4 +, 1 1/2 ] +B ± ±1 δ 2 ± cos κ 1 e iψ 1± π 4, /2 5 ahol A G 5/6 ν 1/2 = 2 96 c 3/2 D L π 2/3 m5/6 f 7/6, 4.51 valamint bevezetjük a következ jelölést: δ = c 3 Gmπfχ 1 4 5ν Antennafüggvények Miután meghatároztuk a gravitációs hullám h + és h polarizációs állapotait frekvencia térben, meg kell határoznunk a h, detektor által érzékelt jel alakját, amely h = F + h+ + F h 4.53 alakban adható meg, ahol az F + és F úgynevezett antennafüggvények. Ezek a [16] cikk 4.25 összefüggései alapján a következ alakúak: F + = cos 2 θ N cos 2φN cos 2ι cos θ N sin 2φ N sin 2ι, F = cos 2 θ N cos 2φN sin 2ι + cos θ N sin 2φ N cos 2ι Az 4.54 és 4.55 összefüggésekben θ N és φ N a kompakt kett s elhelyezkedését rögzít szögek a detektor rendszeréb l nézve, azaz az ˆN látóirányt kijelöl szögek, ι pedig a polarizációs szög, amelyet a gravitációs hullám polarizációs tengelye és a gömbi polár koordinátarendszerben vett ˆθ konstans azimut zár be. Az antennafüggvények explicit megadásához, mint látjuk, ki kell fejeznünk a ι polarizációs szöget. Ehhez az 4.1 ábrán láttott módon vegyünk fel egy a detektorhoz rendelt K D = x, ỹ, z koordináta bázist, ahol a detektor karjai az x- és az ỹ-irányokban 30

33 4.1. ábra. Az ábrán láthatjuk a detektor rendszerében a Ĵ teljes impulzusmomentum irányát, és φ J, illetve a forrás pozícióját megadó ˆN látóirányt, amelyet a θ N és φ N szögek melyet a θ J jelölnek ki. A Ĵ és ˆN irányok θ szöget zárnak be ez a szög szerepel hullámformában. állnak. Vegyünk fel még két irányt a detektor rendszerében: az ˆN látóirányt, és a Ĵ teljes impulzusmomentum vektor irányát, mely 2PN rendig állandónak tekinthet. E két irányról tudjuk a fentiek alapján, hogy cos θ = Ĵ ˆN. A két irány a detektor rendszerében gömbi polár koordinátákat használva sin θ N cos φ N ˆN = sin θ N sin φ N, 4.56 Ĵ = cos θ N sin θ J cos φ J sin θ J sin φ J cos θ J Így a ˆN és Ĵ skaláris szorzatából összefüggést nyerünk a θ szögre a detektor rendszerében, mely cos θ = cos θ J cos θ N + sin θ J sin θ N cos φ J φ N

34 Másfel l tekintsünk egy, a gravitációs sugárzáshoz rendelt K R rendszert, melyben a gravitációs hullámok terjedési iránya az ˆN látóiránnyal párhuzamosan történik. Ennek a rendszernek a bázisvektorai a [16] cikk 4.22-es összefüggései alapján e R x = ˆN cos θ Ĵ, sin θ 4.59 e R ỹ = Ĵ ˆN sin θ, 4.60 e R z = ˆN A ι polarizációs szögre a [16] cikk a következ két deníciót adja: cos ι = ˆθ e R x 4.62 és tan ι = ˆN Ĵ z, 4.63 Ĵ z Ĵ ˆN ˆN z melyek segítségével meg tudjuk adni a ι szög explicit alakját. Amennyiben a 4.62 összefüggésb l indulunk ki, akkor a gömbi polárkoordinátarendszer ˆθ azimutszögét fel kell írnunk a detektor bázisvektoraival, amely deníció szerint ˆθ = cos θ N cos φ N x+ cos θ N sin φ N ỹ sin θ N z Az e R x irány kifejtése e R x = 1 sin θ sin θ N cos φ N cos θ sin θ J cos φ J sin θ N sin φ N cos θ sin θ J sin φ N, 4.65 cos θ N cos θ cos θ J melyhez felhasználva az 4.58 összefüggést, trigonometrikus átalakításokkal megkapjuk a ι szög koszinuszát: cos ι = cos θ J sin θ N cos θ N sin θ J cos φ J φ N, 4.66 sin θ mely segítségével az antennafüggvények expliciten megadhatóak. 32

35 5. fejezet Spin-dominált hullámforma Fisher-analízise Az analízishez a [18] által az 1. táblázatban megadott Advanced LIGO zajfüggvényt használjuk, amely 4, S f = S 0 f f 5 + f 0 f f f f f 0 4 f f 0, 5.1 ahol S 0 = Hz, f 0 = 215Hz, a zajfüggvény alsó érvényességi határa pedig f min = 20Hz. A hullámforma tisztán h polarizációs állapotát vizsgáljuk, melyet azzal a feltétellel tehetünk meg, hogy az antennafüggvényekre fennáll, hogy F = 1 és F + = 0. Ez az állapot a látóiránynak a detektor rendszerében vett megfelel megválasztásával érhet el. Az analízis paramétertere legyen P = ln D L, ln m, ln ν, χ 1, cos κ 1, cos θ. Négy típusú beállítást vizsgálunk meg, ahol valamely kiválasztott paramétert változtatjuk egy bizonyos intervallumon, míg a többit változatlanul hagyjuk. Els ként két különböz m 1 tömeg esetén nézzük meg a hibákat és a korrelációkat, ahol a látóirány szögét változtatjuk. Az m 1 = 45M választással a kapott eredményeinket a 5.1 tartalmazza. Az m 1 = 90M esetén a 5.2 táblázatban találhatóak az eredményeink. Amit a két esetben látunk az, hogy az m, ν, χ 1 és cos κ 1 viszonylag jól becsülhet mennyiségek, hibájuk a 10 2 nagyságrend tartományba esik. A cos θ hibájának mértéke függ attól, hogy milyen alapértéket választottunk, hibája nagyságrendek között változik. Minnél közelebb esik a látóirány a teljes impulzusmomentum irányához, annál jobban becsülhet a látóirány szöge. A D L mennyiség hibája viszonylag nagy, 1 nagyságrendbe es. Az össztömeg növelésével a hibák kis mértékben romlanak, mint a bevezet modellekben is. A két tömegparaméter közötti korreláció er s, egyhez tart, 33

36 cos θ D L /D L m/m ν/ν χ 1 cos κ 1 cos θ c mν c mχ1 c νχ táblázat. Az els analízis során az m 1 = 45M, m 2 = 1M, χ 1 = 1, cos κ 1 = 1 4 beállítást vettük, mialatt a cos θ át változtatjuk. míg a tömegparaméterek más paraméterekkel nem mutatnak er s korrelációt. cos θ D L /D L m/m ν/ν χ 1 cos κ 1 cos θ c mν c mχ1 c νχ táblázat. Az els analízisünkhöz hasonlóan jelen esetben is a cos θ paramétert változtattuk. A további paraméterek értéke a beállítás során: m 1 = 90M, m 2 = 1M, χ 1 = 1, cos κ 1 = 1 4. Másodszor azt az esetet vetük, hogy az m 1 értékét változtattuk, a kapott értékeket az 5.3 táblázat foglalja össze. m 1 [M ] D L /D L m/m ν/ν χ 1 cos κ 1 cos θ c mν c mχ1 c νχ táblázat. Második típusú analízisként az m 1 tömegparamétert változtatjuk. Az állandó paraméterek kezdeti értéke: m 2 = 1M, χ 1 = 1, cos κ 1 = 1, cos θ = 0, 6. 4 Harmadik esetben a dimenziómentes spinparaméter hibákra gyakorolt hatását vizsgáltuk A χ 1 növelésével a paraméterek becsülhet sége javul, a tömegparaméterek hibái két nagyságrenddel csökkenek, mialatt χ 1 értékét szinte a teljes értelmezési tartományán változtatjuk. Negyedik típusként olyan eseteket vizsgáltunk, ahol a ν redukált tömeget választottuk állandónak, 5.5 és 5.6 táblázat. A kapott értékeken azt látjuk, hogy a hibák az 34

37 χ 1 D L /D L m/m ν/ν χ 1 cos κ 1 cos θ c mν c mχ1 c νχ táblázat. Harmadik típusként a χ 1 dimenziómentes spinpmaraméter értékét módosítjuk. További paraméterek értéke: m 1 = 30M, m 2 = 1M, cos κ = 1 4, cos θ = 3 2. össztömeg változtatásával számottev en nem változnak, egy adott paramétert tekintve azonos nagyságrend ek. m 1 [M ] m 2 [M ] D L /D L m/m ν/ν χ 1 cos κ 1 cos θ / / / táblázat. A negyedik típusban az m 1 és m 2 tömegeket változtatjuk úgy, hogy a tömegarányt a ν = 1 30 értéken tartjuk. A további paraméterek értékei: cos κ = 1 4, cos θ = 0, 6, χ = 1. m 1 [M ] m 2 [M ] c mν c mχ1 c νχ / ,5 17/ / táblázat. A negyedik típusú analízishez tartozó korrelációk értékei. Az analízist a h + polarizációra végezve hasonló eredményeket kapunk. 35

38 36

39 6. fejezet Összefoglalás, további tervek A dolgozatban megismertük a Fisher-mátrix analízis eljárásának alapjait, hogy hogyan állítjuk el a Γ ab Fisher-információs mátrixot, mely inverzének, a Σ ab kovarianciamátrixnak diagonális elemei megadják az egyes paraméterek relatív négyzetes középértékeit, az o-diagonális elemei pedig az egyes paraméterek közötti korrelációk mértékét. Bemutattunk néhány példát egyszer hullámformák analízisére. A példákból azt a következtetést vonhattuk le, hogy vannak a rendszernek a gravitációs jelalak alapján jól meghatározható mennyiségei, mint például a chirp tömeg és egy bizonyos össztömeghatárig a redukált tömeg. Viszont láttuk azt is, hogy a vezet rend spin-pálya kölcsönhatási tag megjelenésével a hibák drasztikusan romlanak, a korrelációk pedig er södnek, közel egyhez tartanak. Célunk a spin-dominált hullámforma Fisher-mátrix analízise volt. Ez a hullámforma különböz tömeg fekete lyukak, vagy neutron csillag - fekete lyuk kett s rendszeréb l származó gravitációs hullámot ír le. A spin dominált hullámformának kilenc paramétere van, ebb l a jelenlegi dolgozatban hat paraméternek a D L luminozitás távolság, az m össztömeg, a ν tömegarány, az S 1 -hez tartozó χ 1 dimenziómentes spinparaméter, cos κ 1 a pálya-impulzusmomentum és az S 1 spin által bezárt szög koszinusza és cos θ a látóirány szögének koszinusza végeztük el a Fisher-mátrix analízisét. Elemzésünk azt mutatta, hogy az m és ν tömegparaméterek jól becsülhet ek, hibájuk általánosan 10 2 nagyságrendbe esik. Hasonlóan jó becslést kaphatunk a χ 1 és cos κ 1 paraméterekre is, a cos θ mennyiség hibáira 10 1 nagyságrend értékeket kapunk. A D L luminozitás távolság az eredmények szerint tipikusan rosszul mérhet mennyiség, hibája rikán esik 1 alá. A korrelációkat tekintve a két tömegparaméter között er s korrelációt tapasztalunk c mν 1. Az egyes tömegparaméterek más paraméterekkel nem mutatnak er s korrelációt, viszont értékük nagy skálán változik ahhoz képest, hogy c [ 1, 1], így még további vizsgálatuk szükséges. A hullámformát jellemz további 3 paraméter, a t c, φ nc, ψ c integrálási konstansok vizsgálatának bevonása az analízis során elvégzend integrálásban instabilitásokat okoz. Jelenleg ennek okát vizsgáljuk. 37

40 Az analízist egyetlen detektorra végeztük el, terveinkben szerepel kiterjesztése a jelenleg m köd két LIGO detektor esetére. A munkából a teljes paramétertérre való kiterjesztés után publikáció készül, a spindominált hullámforma magasabb rend járulákainak fegyelembevétevel. 38

41 7. fejezet Köszönetnyílvánítás Szeretném megköszönni Dr. Gergely Árpád Lászlónak a bizalmat és a lehet séget, hogy elkezdhettem a gravitációs csoportban tevékenykedni. Köszönöm Dr. Mikóczi Balázsnak munkám során az útmutatást és a türelmet, hogy mikor kerestem mindig szakított id t a kérdéseimre. Köszönöm Tápai Mártonnak a sok hasznos technikai tanácsot és segítséget. És szeretném megköszönni a családomnak a támogatást és bíztatást. 39

42 40

43 8. fejezet Függelék 8.1. Kutatási feladatok bemutatása A következ kben bemutatom a témavezet imt l kapott kutatási feladatomat és az általam elvégzett munkát. A dolgozat célja a vezet rend spin-dominált hullámforma SDW Fisher analízise volt. Így els ként el kellett sajátítanom ennek a statisztikai eljárásnak az elméleti hátterét és metódusát, aminek segítségével lehet ségünk van magából a hullámformából megbecsülni az egyes paraméterek relatív hibáit és az azok közötti korrelációkat. Ehhez a [7] irodalom már közölt eredményeit tanulmányoztam és reprodukáltam. Ezt követ en el készítettük az implicit alakban ismert hullámformát az analízishez. Az id függ explicit hullámforma felírásához szükség volt a kompakt kett s rendszer dinamikájának körpálya közelítésére. El ször az [8] és [9] irodalmakban megjelent excentrikus esetben vett dinamikát újraszámoltam, ezzel megismerve a származtatási módszert ennek során kijavítottam egy elírást. A használt bázisban az excentrikus esetnek rosszul deniált a körpálya határesete, így Tápai Mártonnal közösen új bázisban származtattuk az SDW dinamikát körpálya közelítésben. A hullámforma-paraméterek fejl dési egyenleteinek meghatározásához posztnewtoni sorfejtést használtunk. A Fisher analízishez szükséges, hogy megadjuk a jelalak Fourier transzformáltját, hogy az frekvenciafügg legyen. A Fourier transzformáció el állítását stacionárius fázis közelítés segítségével végeztem [13] alapján. Ezután meghatároztam a detektor, a hullám polarizációjának és a forrásnak a relatív helyzetét megadó antennafüggvényeket [15] és [16] alapján, az általunk használt rendszerhez igazodva. Végül egy Mathematica program megírásával elvégeztem az SDW két polarizációs állapotára h + és h a Fisher analízist különböz tömeg kett sökre és szögbeállításokra. Az eredményeket elemezve arra jutottam, hogy az SDW a spin paraméterek nagyobb pontosságú meghatározására alkalmas. 41