A résztartományok módszere bonyolult csőtápvonalak analízisére

Átírás

1 VESZÉLY GYULA BME Eléleti Villaosságtan Tanszék A résztartoányok ódszere bonyolult csőtápvonalak analízisére BTO l.st A résztartoányok ódszerénél a bonyolult keresztetszetű és kitöltésű csőtápvonalat részekre daraboljuk. Feltételezzük, hogy a résztartoányokban a vágási vonal entén villaos vagy ágneses falat elhelyezve egoldható a hulláegyenlet. Az eredeti feladat egoldását a résztápvonalak egoldásaiból rakjuk össze. A ódszer egy speciális változatát Bahiana és Sullin alkalazta először []. Inhoogén dielektrikual töltött csőtápvonalat két részre vágnak, a vágási vonal entén az egyik résztápvonalat villaos fallal, a ásik résztápvonalat ágneses fallal zárják le, és eghatározzák a résztápvonalak ódusait. A résztápvonalak újraegyesítésekor a vágási vonal entén fellépő tangenciális villaos tér, illetve ágneses tér csatolást hoz létre a résztápvonalak tere között. Figyelere éltó, hogy a ódszer ne vezet be a odusoktól független gerjesztő teret a közös határon. Ebből következik, hogy az egyik résztápvonalat indig villaos fallal, a ásikat indig ágneses fallal kell lezárni. A részüregek ódszerét erősen csatolt üregrendszerek analízisére Reiter alkalazta [2]. A részüregek nyílásait villaos fallal lezárva ódusrendszerük eghatározható. Az apertúrák terét külön sorfejtő függvényrendszerrel írja fel. Az apertúrák tere csatolást létesít a részüregek ódusai között. Aennyiben az üreg sajátrezgéseit akarjuk eghatározni, a ódszer az apertúra-tér együtthatóira vonatkozó hoogén algebrai egyenletrendszere vezet. Reiter az üregrendszer helyettesítő koncentrált paraéterű hálózatát is egadja. A jelen cikkben isertetett ódszer csőtápvonalakra alkalazza a résztartoányok ódszerét. A résztápvonalak terétől független felületi sorfejtő függvényrendszert használ, ennyiben tér le [l]-től. [2]-től a különböző célkitűzésen kívüli eltérés abban áll, hogy egy új, vektoriális variációs forulából kiindulva a Ritz-ódszer segítségével nyerjük a csatolt távvezetékegyenleteket. Megutatjuk, hogy a résztartoányok ódusrendszerét ennyiben kell ódosítani a szokásos ódusokhoz képest, továbbá, hogy a ódusrendszert általában ki kell egészíteni egy hoogén, tengelyirányú ágneses térrel. Végül két egyszerű példát utatunk be, aelyeknél a ódszer az egzakt diszperziós egyenlethez vezet.. A variációs forula A hosszirányban hoogén csőtápvonalat aelynek keresztetszetét az egyszerűség kedvéért csak Beérkezett: 972. II..4. két részre vágtuk az. ábra utatja. Egyes probléáknál (pl. szalagvonal) lényeges, hogy a vágási vonal entén végtelen vékony fészalagok is elhelyezkedhetnek. =VC oi < Feltételezzük, hogy. ábra [H53-VBJI a) a résztápvonalak vágási vonalon kívüli határai két, általában egyástól különböző ortogonális koordinátarendszer koordináta vonalai, b) a vágási vonal indkét rendszerben koordinátavonal, c) a koordinátarendszerek indegyikében a Helholtz egyenlet szeparálható. Tekintsük az alábbi funkcionált: F^, H v E 2, E s ) = a> ( E * + Hf^HJ da + + i ^(Etv l xh -H*v l XE + jjn (E XH*)dl^ijn {É : sxh*)dl + Cj +j jn^etxhjdl + ü) j(e*e 2 É 2 + H*v 0 H 2 +/ ^(É*VtXH. i -H*v ( XE 2 + / j n 2 (É 2 X Ht) dl - / J" n 2 ( s X H*) dl + C 2 Cfí + ijx( *xií 2 )dz-

2 HÍRADÁSTECHNIKA XXIII. ÉVF. 2. SZ. /? j(hf kxe Ef-kxH-^dA -P j(h*.kxe 2 ~Et'kXH 2 ) á () ahol E v H v E 2 a résztápvoualak elektroágneses tere, E s a vágási vonal entén felvett tangenciális elektroos tér, /? a fázistényező, a csillag koplex konjugáltat jelöl. A funkcionál variációját képezve igazolható, hogy iniuát az alábbi feltételek ellett éri el:. 'E v H x kielégíti az első két Maxwell-egyenletet Afben és a határfeltételeket CÍ^Cj entén. 2. E 2 kielégíti az első két Maxwell-egyenletet.A 2 -ben és a határfeltételeket C' 2 =C 2 entén. 3. Etf E s 4. E 2T =E S 5. H T =H 2T ahol a T index tangenciális koponenst jelöl. Nyilvánvaló tehát, hogy az () funkcionál iniuának egkeresése ekvivalens a Maxwell-egyenletek határfeltételéket is kielégítő egoldásával az összetett rendszerben. Az () funkcionál a [4], [5] irodaloban található kifejezések kiegészítése felületi tagokkal. 2. A Rayleigh Ritz ódszer Elvben tetszőleges résztápvonal-tereket használhatunk az () f unkcionálban, ég a határfeltételeket se kell kielégíteni. Az egyetlen egkötés, hogy a résztápvonalak ágneses terének a vágási vonal entén létezzék a tangenciális koponense, ert ez biztosítja a csatolást (. () ben az apertúrára vett felületi integrálokat). Egy lehetséges választás, hogy a résztápvonalakat a vágási vonal entén villaos fallal zárjuk le, és a teret ódusok szuperpozíciójaként állítjuk elő. A ódusrendszer résztápvonalankénti ortogonalitása jelentősen egyszerűsíti a későbbi átrix-űveleteket. A sorfejtő ódusrendszer csakne azonos a jól isert csőtápvonal ódusokkal, csupán két egjegyzést kell tennünk. Egyrészt, ivel valaennyi ódusnak a kiszáítandó, közös fázistényezővel kell terjedni, ne szabad a z szerinti deriváltakból adódó fázistényezőket az egyes ódusok sajátértéke segítségével kiküszöbölni. Másrészt a ódusrendszert ki kell egészíteni egy fiktív ódussal, a z irányú és z irányban terjedő, a transzverzális síkban hoogén ágneses térrel. Ez a hulláegyletet és a határfeltételeket nyilván kielégíti, de önállóan ne létezhet a csőben, ivel a hozzá tartozó villaos térerősség zérus. A TM ódusokat göbölyű, a TE ódusokat szögletes zárójellel jelölve a sorfejtések az résztápvonalra H * = Éa=2Uitf + ZU e í [ n, (2) '. i Hti - 2 h(i)h(i) + 2 > i J (3) E 7Í = -j 2 i^khri-f*) Ö>K 0. (4) U oi4 ^72 U {kle n -P) 0, ](Ofi 0 A x jco/j- 0y (A 2 résztápvonalra vonatkozó kifejezések indexcserével nyerhetők.) Itt U és I a ódusfeszültségek és ódusáraok, e és h a vektoriális ódusfüggvények, 0 a sajátfüggvény [3]. A hoogén ágneses teret önkényesen noráltuk, ait később egindokolunk. A / tranzverzális koponenst, a z longitudinális koponenst jelent. A korábban ondottak szerint (4)- ben és (5)-beu a zárójeles ennyiségeket ne szabad sajátértékekkel helyettesíteni, ert 3 ost ne az egyes ódusok fázistényezője. Továbbá ügyelni kell arra, hogy a ódusfeszültségek és ódusáraok kapcsolatát egadó hulláipedanciában ugyancsak a eghatározandó fázistényező szerepel. A vágási vonal entén a teret valailyen, a feladathoz alkalas teljes függvényrendszer segítségével adjuk eg. (5) E ls =2V é s, (6) Ezs = 2 W n9s- (?) Ha a (2) (7) egyenleteket (l)-be helyettesítjük a funkcionál a sorfejtő függvények együtthatóinak függvényévé alakul: F(ü 9 I l t U 2, 2, V, W,) = Ű*!^ + + ÍÍQjW + ŰfP.V+Í^W* + Ű^V* + Ű*B 2 U 2 + +Í*X 2 I 2 + * Q 2 W + tí*p 2 V + Í 2 Q 2 W* + Ű 2 P 2 V* - - ^E'U, - PV*E\ - Í*E'U 2 - pű*e%, (8) ahol U(, / a ódusfeszültségekből és ódusáraokból alkotott oszlopvektor (ezek első elee U 0i ill. 7 0( ), X és B az ekvivalens távvezetékek soros reaktanciáiból és párhuzaos szuszceptanciáiból alkotott diagonál-átrixok, aelyek eleei pl. az tápvonalra x 0 =o, X ( í ) =^ 0 - ^ COf, hl / A l H fí -r Jö n= Cü(Jl, n^ toe 9 0 i CO[X 0 {He rl -py (9) (0)

3 Ull. VIÍÍZISLY GT.: K&ii V VRT J vlán YOK MÓDSZERE CSŐTÁPVONALAK ANALÍZISÉRE V és W a vágási vonal entén felvett tér együtthatóiból képzett oszlopvektor, E' olyan diagonálátrix, elynek első elee zérus, a többi. A hulláos felülvonás transzponálást jelent. A P X és Q X csatoló átrixok eleei (a 2 résztápvonalra az eredény indexcserével nyerhető): Cú(l 0 -j^ J ni(fi*nxk)dl, () P i = - Qfa-P*) ro í Xk n n ) <U, (2) Oo = 0, J Qin - j Í<Ps e^dl. (3) (4) Látható, hogy zérus a TM ódusokra, íg Q i csak olya ódusokra különbözik zérustól, aelyek villaos térerősségének van /íj irányú koponense a vágási vonal entén. A átrixalgebrai űveletek egyszerűsítése végett a következő száítások során úgy tekintjük, intha X 0 7í0 és E' egységátrix volna, és a végeredény hoogén ágneses térre vonatkozó tagjaiban alkalazzuk az X 0 -<-0 határenetet és a j3 = 0 helyettesítést. Képezve (8)-nak a konjugált együtthatók szerinti deriváltját az alábbi egyenleteket nyerjük =0, (5) =0, (6) B a u 2 +p 2 v-/a a = =0, (7) =0, (8) =0, (9) =0. (20) (8)-nak a (konjugálatlan) együtthatók szerinti deriváltja a fenti egyenletrendszer konjugáltját adja - -ra. A (5) (8) egyenletek csatoló tagokat tartalazó távvezeték-egyenletek, íg a (9) és (20) egyenletek a vágási vonalon a koplex Poynting vektor zérus voltát fejezik ki. A (5) (20) egyenletekhez tartozó deterináns zérussal egyenlővé téve, kapjuk a terjedési tényezőket eghatározó algebrai egyenletet: -jse Pl -/JE 0 0 Qi B 2 /SE 0 p /SE x 2 o Qi 0 Q P =0. (2) 3. A deterináns egyenlet egyszerűsítése Iseretes [6], hogy a (2) hiperátrix deterinánsa F A B C ] =- A. CA- B. (22) oj A kiadódó diszperziós görbék terészetesen etszhetik a csatolatlan ódusok diszperziós görbéit, illetve azok néelyikével teljesen egybeeshetnek. Ilyenkor A =0 és (2)-ből beláthatóan V=W = 0, vagyis csatolás nincs és az eredő tér a résztápvonalterek egyszerű egyás ellé helyezéséből adódik. Ezeket az eseteket ost következő egoldásunkból kizárjuk. Az A-ban szereplő átrixokat D-vel és F-el jelölve kapjuk, hogy 0 -í D A~ = i-p o (23) IP F. 0 F-i Bevezetve a X 2i B 2i - P 2 diagonálátrixokat D - az alábbi forába írható 0" /3E" D- J : o Gx./SE (26) Bx 0" "X 2 /3E" 0 G 2 j3e B 2 (24) (25) (27) (22), (23), (26) és (27) felhasználásával (2) az alábbi végső alakra hozható Qi G i B iqi L^iGxQx PiGiXxPx Q G B Q /?Q G P L/3P 2 G 2 Q P^X^J -0 (28) A (28) egyenlet algebrai egyenlet, aelyből a keresett fázistényező eghatározható. Könnyen belátható, hogy a deterináns érete (N W +N V )X X(N W + N V ), ahol N w és N a vágási vonal entén felvett tér longitudinális és transzverzális részében szereplő sorfejtő függvények száa. Abban, hogy a végeredény ilyen töör alakra hozható nagy szerepe van a (2)-ben szereplő B és X átrixok diagonál voltának, ai a résztápvonalódusok ortogonalitásának következénye. A hoogén ágneses tér a (28) egyenlet részátrixainak csak a jobb alsó sarkában szerepel. A korábban ondottak szerint a diagonálátrixok szorzatának első, a hoogén ágneses térhez tartozó elee: X n 5 = 0. (29) Igazolhatjuk a hoogén ágneses tér noráló faktorának önkényes felvételét is. A 38

4 382 HÍRADÁSTECHNIKA XXIII. ÉVF, 2. SZ. rp _L P 0 * i) -'o 0 TI (30) alakú tagoknak () szerint a szálálója is, (0)-nek az (l)-ből való száraztatása szerint a nevezője is a noráló faktor négyzetét tartalazza. A noráló tényező nagyságától tehát a végeredény független. 4. Két egyszerű példa A beutatott apparátust elsősorban szalagvonalanalízis céljára dolgoztuk ki. A vonatkozó eredényeket egy későbbi dolgozatban közöljük. Az alábbi példák csupán az isert eredényekkel való kapcsolat kiutatását és azt szolgálják, hogy a hoogén ágneses tér szerepére ráutassunk. a) Állítsuk elő az axb éretű négy szögkeresztetszetű csőtápvonal TE 0 ódusait két darab a/2xb éretű csőtápvonal ódusaiból (2. ábra) Ezek az egyesített rendszer TE 0 ódusait adják páratlan -re. Páros -re a egoldást ne kapjuk eg, ert akkor az eredő diszperziós görbe teljesen egybeesik a csatolatlan diszperziós görbével és ilyenkor (22)-ben A = 0. Páros -re az eredő tér a résztápvonalak terének csatolásentes egyás ellé helyezésével adódik. (33)-ban a szögletes zárójel első tagja a hoogén ágneses térből szárazik, ez a tag a ctg függvény z=0 körüli Laurent-sorának főrészét adja. b) Határozzuk eg egy dielektroos hasábbal terhelt négyszögkeresztetszetű csőtápvonal y-tól független egoldásaihoz tartozó diszperziós egyenletet (3. ábra). Mint iseretes [7] az LSE 0 ódusok a TE 0 ódusokkal azonosak. y a 2. ábra 3. Á 2 \H53-VB2\ Ebben az esetben Q = 0 és a tér y-tól való függetlensége iatt a vágási vonal entén felvett tér konstans : Ekkor (28) egyszerűsödik: p2 $*=Vfa. (3) p2 +^0- + 2^4^= - (32) Az itt szereplő kifejezéseket (9), (0), () és (2) alapján kiszáítva (32) az alábbi alakú lesz: ahol (33) ~«a 3. ábra X \H53-VB3\ Ugyanúgy, int az a) példában elegendő konstans transzverzális csatoló tér felvétele. A (32) egyenlet ost is érvénjres lesz, a benne szereplő kifejezések kiszáítása után az 2(A -/3') a d egyenletet nyerjük, ahol 2(A- 0 %-^) k -[j (34)-et figyelebe véve (37) átírható a fkf^ ctg [YkfT 2 (a-d)] + (37) A szögletes zárójel a contagens függvény " 2z 2 2CtgZ=l+^,., = Z 2 l 2 7l 2 parciális-tört felbontása alapján így írható yaf^.ctg laa ^=0, aiből azt kapjuk, hogy a egoldások l$-p = \ l, = l, 3, 5, (34) (35) (36) alakba, ai az LSE 0 egyenlete [7]. + /A e r -/3 2 ctg (fi&~^pd) = 0 (37)-et kissé átrendezve: + k2 e r -p (38) ódusokat egzakt diszperziós 2 ^ 2 2,5. = 0. (39) A szuában álló tagoknak pólusa van a csatolatlan odusok fázistényezőinél. A szögletes zárójel

5 DR. VESZÉLY GY.: RÉSZTARTOMÁNYOK MÓDSZERE CSŐTÁPVONALAK ANALÍZISÉRE első tagjának aely a hoogén ágneses térhez tartozik pólusa van a hoogén ágneses tér, a fiktív ódus fázistényezőjénél". Valóban a hoogén ágneses tér nulla sajátérték esetén elégíti ki a transzverzális hulláegyenletet. 5. Következtetések A beutatott száítási ódszer egyik előnye, hogy viszonylag kis éretű deterinánshoz vezet. Szalagvonal esetében végzett előzetes száítások azt utatják, hogy sokszor N v =l, N w = l esetén is jó közelítést kapunk, ai 2x2-es deterinánst jelent. A parciális tört alakban való előállítás ásik előnye, hogy ozgó" sorfejtést tesz lehetővé, adott frekvenciasávban indig csak a doináns résztápvonalódusokat kell figyelebe venni. Erre [2] is felhívja a figyelet a csatolt üregek esetén. Ügy véljük, hogy ez lehetőséget ad a szalagvonalak agasabb ódusainak eghatározására, ai ezideig egoldatlan. A közölt ódszer néhány általánosítási lehetősége: a) A résztápvonalakat a vágási vonal entén ágneses fallal zárjuk le. Ilyenkor (l)-ben az apertúra tagokban E-^-H cserét kell végrehajtani. Szalagvonalaknál ez kis éretű szalag esetén előnyös. b) Ha az eredő tér szétesik LSE és LSM ódusrendszerre, célszerű a résztápvonalakban LSE és LSM ódusokkal száolni. LSE ódusokra (4) szerint Q 0. c) Ha e és (vagy) n heretikus tenzor () stacionárius arad. Ilyenkor (2)-ben B és X ne lesz diagonális, tehát (28) érvényét veszti, azonban (2) alapján js eghatározható. Köszönetnyilvánítás Köszöneteet fejeze ki dr. Fodor György tanszékvezető egyetei tanárnak a kézirat igen gondos átnézéséért és értékes egjegyzéseiért. IRODALOM [] Bahiana, L. C. and Sullin, L. D.: Goupling of odes in unifor coposite waveguides, IRE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-8, No. 4. (960) [2] Reiter, G.: Solution of field equations for strongly coupled cavity systes, Proc. of the 965 URSI Syposiu on "Elektroagnetic Wave Theory", Pergaon Press, London, 967. [3] Csurgay Á. Markó Sz.: Mikrohulláú passzív hálózatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 965. [4] Berk, A. D.: Variational prlnciples for electroagnetic resonators and waveguides, IRE Trans. Antennás and Propagation, AP-4 pp. 04-, (956). [5] English, W. J.: Vector variational solutions of inhoogeneously loaded cylindrical waveguide structures, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT 9 pp. 9-8, (97). [6] TaHMaTxep, í>. P.: Teopaa MaTpHii, H3fl. Hayica, MoCKBa, 966. [7] Harrington, R. F.: Tie-haronic electroagnetic fields, McGraw-Hill, New York, 96.