T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék
|
|
- Csilla Illésné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 T T A Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék
2 A függvény fogalma, tulajdonságok Függvény megadása Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Monotonitás Szélsőértékek Paritás Periódus f : A B
3 Fontosabb függvénytípusok Hatványfüggvények Eponenciális függvények Logaritmikus függvények Trigonometrikus függvények Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények
4 Hatványfüggvények Az n függvényeket, ahol n valós szám hatványfüggvényeknek nevezzük. Példák pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényekre f ( ) f ( ) f ( ) 3
5 R, f()=a (Animáció)
6 Példák negatív egész kitevőjű hatványfüggvényekre Függvény: Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Növekedés Szélsőérték 1 f ( ) 1 nullától különböző valós szám f () nullától különböző valós szám nincs szigorúan monoton csökkenő, ha <0; szigorúan monoton csökkenő, ha >0 nincs f ( ) 1
7 Példák közönséges tört kitevőjű hatványfüggvényekre!!! A közönséges törtek tizedestört alakja: véges végtelen, szakaszos Értelmezés: Ha egy pozitív szám, n pedig egy pozitív páros szám vagy tetszőleges valós szám, n pedig egy pozitív páratlan szám és n = y, akkor azt mondjuk, hogy az y n-edik gyöke. Jelölés: n y y 1 n
8 f ( 3 4 ) f ( ) f() f() !!! Hatványozás azonosságai
9
10 Az n = y típusú egyenletekben (y ismert, ismeretlen) a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete: Ha y<0, akkor nincs megoldás. Példa 4 = -3 Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa 4 = 0 megoldása: =0 Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa 4 = 16 megoldásai: 1 =-, = Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa 3 = -8 megoldása: =-.
11 Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek (Sokszínű matematika, 9. osztály 46. oldal) n-ed fokú polinom: P()=a n n +a n-1 n-1 + +a 1 + a 0, ahol a n,..,a 0 rögzített valós számok és a n 0 (: főegyüttható). Ha P( 0 )=0, akkor 0 a P() polinom zérushelye. Példák: A P()= polinom egy teljes harmadfokú polinom. A Q()= polinom egy hiányos negyedfokú polinom.
12 P()= 4 - <-1 =-1-1<<0 =0 0<<1 =1 > ( -1)=0
13 Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom Másodfokú egyenlet Diszkrimináns Megoldóképlet Gyöktényezős alak Másodfokú egyenlőtlenségek (a 0) a + b + c 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 a + b + c < 0 a > 0 a < 0
14 Eponenciális és logaritmikus függvények R, f()=a (a>0, a 1) R +, f()=log a (a>0, a 1) 0<a<1 esetén sz. m. cs., a>1 esetén sz. m. n. 0<a<1 esetén sz. m. cs., a>1 esetén sz. m. n. f 1 ()= f()= 1 f ()=log 1 a > 1
15 R, f()=0.5 0< a < 1 R +, f()=log 0.5 f()= f 1 ()=0.5 log f ()=log log 0.5 log !!! Logaritmus azonosságai
16 Eponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek Az eponenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szerepel. A legegyszerűbb eponenciális egyenlet: a f() =b alakú, ahol a>0, b>0 és f valamilyen adott valós függvény. Példa: +3 =11 =8 =log 8 =3 +3 =11 +3=log 11 =-3+log 11 lg11 3 log lg Ha a 1, akkor f() = log a b ami már nem eponenciális egyenlet.
17 Ha a=1, akkor két eset van: b=1 vagy b 1. Ha a=1 és b=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Példa: 1 1 Ha a=1 és b 1, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Másik ilyen alaptípus az a f() = a g(), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények. Ha a=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Példa: Ha a 1, akkor mindkét oldal a alapú logaritmusát véve az f()=g() egyenlethez jutunk. Példa:
18 megoldás valós nincs , Példa: Oldja meg a egyenlőtlenséget! 3 3
19 Példa: 1, , 1 : vagy megoldás Oldja meg a egyenlőtlenséget!
20 Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! log Feltétel: > 0 log log 0.5 log log 0.5 log Megoldás: 0< 8!!! log nem ugyanaz, mint log 0.5 (+3) 0
21 Függfénytranszformáció f()= (-3) - +3 f 1 ()= f ()=(-3) f 3 ()=(-3) - f 4 ()= (-3) - f()= (-3) - +3
22
23 1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs. (0,01) -.cs. (0,5) - 3.cs. (0,1) -3
24 . feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. 3 log 3 3 log log 3 ( )
25 3. feladat: Melyik függvény grafikonja lehet? f()= y A B C D 1.cs log 3 log 3 ( 1).cs. y cs. y
26 4. feladat: Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza. A B C D 1.cs. 6 0.cs cs. 6 0
27 5. feladat:az egyenlőtlenség megoldáshalmaza. A B C D 1.cs cs cs. lg( 1) 0
28 A szinusz és koszinusz függvények Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják. sin cos 1 A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a 1 3 0,,,, 1 értékek valamelyikével egyenlők.
29 A szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 360 Radián: egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik Összefüggés fok és radián között : 180 = (rad)
30 II. I. A szinusz függvény III. IV.
31 A koszinusz függvény
32 Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Monotonitás f()=sin() Szig.mon.növ., ha Szélsőérték Szig.mon.csökk, ha A minimumok helye: ; értéke: -1 paritás periódus A maimumok helye: ; értéke: 1 Páratlan, azaz sin (-)= -sin()
33
34 Tangens és kotangens függvény értelmezése Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő:
35 A tangens függvény: f()=tg() (cos() 0) A kotangens függvény: f()=ctg() (sin() 0)
36 Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely f()=tg() Monotonitás Szig.mon.növ., ha Szélsőérték paritás periódus nincs Páratlan, azaz tg (-)= -tg() π
37 Összefüggések derékszögű háromszögben Alkalmazás: Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. a = csin, b = ccos
38 Összefüggés a trigonometrikus függvények között
39 Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, sin b, sin Megoldás: a, ( rad), ( rad) 4 k, ahol k egész szám 4 l, ahol l egész szám 4 b, l, k, ahol ahol l k egész egész szám szám
40 Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, cos 3 b, cos 3 Megoldás: a, 1 30 ( rad), 6 k, ahol k 6 11 l, ahol egész szám l egész szám ( rad) b, 1 k 6, ahol k egész szám l, 6 ahol l egész szám
41 Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, cos 0 b, cos 1 Megoldás: a, 90 ( rad), k, ahol k egész szám 3 l, ahol l egész szám... m, ahol m egész szám ( rad) b, k, ahol k egész szám
42 Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! Megoldás: sin 1 5 k k 6 6 ahol k egész szám
43 Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! Megoldás: tg 1 k k 4 ahol k egész szám
44
45 Mintafeladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs. cos cs. sin cs. cos
46 1. feladat 1.cs. cos 0 A B C D.cs. sin 3 3.cs. cos 5 6
47 . Feladat : Adja meg az egyenletnek azt a megoldását, melyre 0! A B C D 1.cs. tg 3 3.cs. ctg 1 3.cs. tg 3
48 3. Feladat : Adja meg a függvény zérushelyét az első síknegyedben! A B C D 1.cs. sin.cs. cos 3.cs. ctg
49 4. Feladat : Adja meg a függvény periódusát! A B C D 1.cs..cs. 3.cs. sin cos 3 ctg
50 5. Feladat : Az alábbiak közül melyik értéket veheti fel az f függvény a 3 ; 4 intervallumon! A B C D 1.cs..cs. 3.cs. f ( ) sin f ( ) cos f ( ) tg
51
52 Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága Az P 1 =( 1,y 1 ) és a P =(,y ) pontok távolsága: Két pont által meghatározott vektor Az P 1 =( 1,y 1 ) és a P =(,y ) pontok által meghatározott vektor:
53 Vektor hossza és szöge A vektor hossza: A vektor szöge (az tengely pozitív felétől pozitív forgásirányban mért szög amennyiben v 0):
54 Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két pontot: ( 1,y 1 ) és (,y ) az értéket az egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük. Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az formulát értjük. y = m(- 0 ) + y 0 m: meredekség (iránytangens) ( 0,y 0 ): az egyenes egy pontja
55 y = m(- 0 ) + y 0 y = m +b ahol b= -m 0 + y 0 b: tengelymetszet
56 Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból 1. Két pont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: ( 0,y 0 ) és ( 1,y 1 )! (Feltételezzük, hogy 0 1 ), így az egyenes egyenlete:
57 . Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: ( 0,y 0 ), egy irányvektora (v,v y )! (Feltételezzük, hogy v 0), így az egyenes egyenlete: Szokásos a v y - v y= v y 0 - v y 0 alakra való átírás.
58 3. Egy pont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: ( 0,y 0 ), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B 0), így az egyenes egyenlete: Szokásos az A + By = A 0 + By 0 alakra való átírás, illetve az A + By+C =0 alak, ahol C=-( A 0 + By 0 ). Speciális helyzetű egyenesek egyenlete a b Az egyenes egyenlete: y=a Az egyenes egyenlete: =b
59 Szakasz felezőpontja Az ( 1; y 1 ) és az ( ; y ) pontokat összekötő szakasz felezőpontja: F ; y 1 1 y Példa Legyen P=(;-4), Q=(3;1). Ekkor a PQ szakasz felezőpontja: Háromszög súlypontja Az A=( 1; y 1 ), B=( ; y ), C=( 3; y 3 ) csúcspontú háromszög súlypontja:
60 Szakasz általános osztó pontja Legyen P 1 =( 1; y 1 ), P =( ; y ) két pont, ezek helyvektorai legyenek rendre p1 és p. A szakaszt m:n arányban osztó P pont helyvektora legyen p, a P koordinátái (;y). Ha P 1 P:PP =m:n, akkor n1 m m n y ny1 my m n
61 Kör egyenlete Az K=(u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete: Magyarázat: (-u) + (y-v) = R d(k,p)=r, így u y v R Példa: Határozza meg az -8+y +1y-6=0 egyenletű kör középpontját és sugarát! Megoldás: [ -4+y +6y-3]=0-4+y +6y-3= y +6y+9-9-3=0-4+4+y +6y+9-16=0 (-) +(y+3) =16 Középpont: (,-3) Sugár: 4
62 Kúpszeletek (a) ellipszis (b) parabola (c) hiperbola
63 Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságösszege a két adott pont távolságánál nagyobb állandó.
64 ELLIPSZIS F1, F : fókuszok a: nagy féltengely b: kis féltengely c: lineáris ecentricitás O: centrum c b a a b y 1
65 A HIPERBOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságkülönbsége abszolút értékben a két adott pont távolságánál kisebb pozitív állandó. F1, F : fókuszok a: valós féltengely b: képzetes féltengely c: lineáris ecentricitás O: centrum a b c a b y 1
66 A PARABOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy adott v egyenesétől (vezéregyenes) és egy v-re nem illeszkedő F pontjától (fókuszpont) vett távolsága egyenlő.
67
68 1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az A(1,) és B(3,1) pontokon áthaladó egyenes egyenlete A P(-,3) ponton áthaladó v(1,-5) irányvektorú egyenes egyenlete A P(-,3) ponton áthaladó n(1,-5) normálvektorú egyenes egyenlete
69 . feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Legyen A(5,-1), B(,-1). Az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja Az A(1,-), B(0,), C(,6) csúcsokkal rendelkező háromszög súlypontja Legyen A(-,1), B(4,-5). Az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja
70 3. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az +y=-3 egyenes meredeksége A -5y=1 egyenes egy irányvektora A 3+y= egyenes egy normálvektora
71 4. feladat A B C D 1.cs..cs. A P(3,5) pontnak az - y=5 egyenletű egyenestől való távolsága Az -y=5 és az -y=10 egyenesek távolsága 3.cs. Az -y= és a 3+y=5 egyenesek metszéspontja
72 5. feladat: A B C D 1.cs. Az +y =5 kör középpontja.cs. 3.cs. Az (-1) +(y-) =5 kör középpontja Az (+) +(y-3) =5 kör középpontja
73 Geometriai alapok térelemek térelemek kölcsönös helyzete szögek térelemek hajlásszöge térelemek távolsága euklideszi alapszerkesztések
74 Alapfogalmak és jelölések A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C,... P, Q,... X, Y, Z latin nagybetű; egyenes: a, b, c,... p, q,..., y, z latin kisbetű; sík: S,T,.. latin nagybetű
75 Térelemek kölcsönös helyzete Két egyenes lehet metsző párhuzamos kitérő
76 Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző párhuzamos
77 Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet az egyenes illeszkedik a síkra
78 az egyenes párhuzamos a síkkal
79 az egyenes döfi a síkot
80 3 sík kölcsönös helyzete
81 3 sík kölcsönös helyzete
82 Szögek A szög: olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.(ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa. A szögmérés mértékegysége a fok, 1 o - a teljes szög 360-ad része. A szögeket nagyság szerint a következő csoportokba soroljuk:
83 Szögek teljesszög : α eyenesszög : β nullszög : γ hegyesszög : δ derékszög : ε tompaszög : ζ homorúszög : η α = 360 o β = 180 o γ = 0 o 0 o < δ < 90 o ε = 90 o 90 o < ζ <180 o 180 o < η < 360 o
84 Térelemek szöge Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90 o.
85 Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel párhuzamos két egyenes szögét értjük. e e ' S f f '
86 Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a S a'
87 Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük.
88 Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is. (a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)
89 Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. Két pont távolsága a két pontot összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.
90 . Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük..
91 Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mért távolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető.
92 Egymással párhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.
93 Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.
94 Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük.
95 Euklideszi szerkesztések Az euklideszi szerkesztés lehetőségei: Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.
96 szakasz felező merőleges szerkesztése szögfelező szerkesztése külső pontból a körhöz húzott érintők szerkesztése
97 Háromszögek A háromszögek csoportosítása: szögei szerint hegyesszögű derékszögű tompaszögű oldalai szerint egyenlő oldalú egyenlő szárú általános
98 Háromszögekre vonatkozó néhány állítás A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. A háromszög külső szögeinek összege 360. A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai szögfelezők oldalfelező merőlegesek magasságvonalak, magasságpont súlyvonalak, súlypont középvonalak
99 Általános háromszögekre vonatkozó tételek l háromszög kerülete háromszög területe (magassággal, beírt kör sugarával, Héron képlet, trigonometrikus területképlet) szinusz tétel a b = sin α Héron sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) koszinusz tétel c = a + b abcos (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.)
100 Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek Pitagorasz-tétel Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c = a + b Pitagorasz
101 magasságtétel Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt m c = c 1 c befogótétel Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a = c c C b m a A c1 c c B
102 Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két végpontját a körvonal bármely másik pontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör középpontja mindig az átfogójának felezőpontja lesz. Az átfogó a kör átmérője. O
103 Példa Egy kisméretű test a függőleges iránnyal α=30 -os szöget bezáró AB vezetőrúd mentén mozoghat. A testhez az ábrán látható módon egy rugót erősítünk. Amikor a test az A pontban van, akkor a rugó megnyúlása nulla. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test a B pontban van? (a=0,7 m és h=0,5 m) A a 1 a=l 0 P h l B l a h ah cos 1 l 0,7 0,5 l l l0 0,34m. 0,7 0,3 cos10 1,09 l 1, 04m
104 A kör geometriája A kör (körvonal) azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az adott pont a kör középpontja, az adott állandó a kör sugara. Kerület: R Terület: R
105 A kör részei szelõ átmérõ sugár körszelet körcikk kerületi szög középponti szög érintõ húr körgyûrû
106 Az alábbi ábra egy vaslemezből kivágott idomot mutat. A lemez vastagságát, a vas sűrűségét jelöli. Számítsa ki az idom tömegét!
107
108 1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont 1.cs. Téglalap területe A B C D.cs. r sugarú kör területe 3.cs. r sugarú kör kerülete
109 . feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az a oldalú négyzet átlójának hossza A 3 cm és 4 cm oldalakkal rendelkező téglalap átlója Egy téglalap hosszabbik oldala 1 cm, átlója 13 cm. A rövidebb oldal
110 3. feladat A B C D 1.cs. Téglatest térfogata (élei: a,b és c).cs. r sugarú gömb felszíne 3.cs. r sugarú gömb térfogata
111 4. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 4 cm hosszúak. A háromszög köré írt kör sugara Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szárai 13 cm-esek. A háromszög területe Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 cm hosszúak. A háromszög területe
112 5. feladat: A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Egy körbe és a kör köré is egy-egy szabályos háromszöget írunk. Mennyi a két háromszög területének aránya? Egy 5 cm sugarú kör két párhuzamos húrja 14 cm és 40 cm hosszú. Határozzuk meg a közöttük lévő távolságot, ha a középpont a két húr között van! Adott P pontból adott körhöz húzott érintő és szelőszakaszok merőlegesek egymásra. Az érintőszakasz 1 cm, a szelő P ponthoz közelebb eső szelete 10 cm. Határozzuk meg a kör sugarát!
113
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
Részletesebben3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenBevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenSíkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
RészletesebbenMatematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )
Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
Részletesebbenc.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
Részletesebben1. Halmazok uniója. 2. Halmazok metszete. A halmaz: Elemek összessége.
1. Halmazok uniója A halmaz: Elemek összessége. A halmazokat meg lehet adni: Az elemek felsorolásával pl.: A:= {1,2,4,7,14,28} A halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával; pl.: A:={28 pozitív osztói}
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenOSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
RészletesebbenÓra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenGyakorló feladatsor a matematika érettségire
Gyakorló feladatsor a matematika érettségire 1. Definiálja két halmaz unióját és metszetét!. Mit értünk mértani sorozaton? Adja meg egy tetszőleges mértani sorozat első öt elemét! 3. Mondja ki Pitagorasz-tételét!
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
Részletesebben