PHD DISSZERTÁCIÓ. Az akusztooptikai kölcsönhatás komplex, 3D modellje és kísérleti vizsgálata. Mihajlik Gábor

Átírás

1 PHD DISSZERTÁCIÓ Az ausztooptiai ölcsönhatás omple, 3D modellje és ísérleti vizsgálata Mihajli Gábor Témavezet: dr. Barócsi Attila Budapesti Mszai és Gazdaságtudománi Egetem Atomfizia Tanszé BME 014

2 Tartalom A PhD utatás rövid összefoglalója irodalmi átteintéssel... 4 Bevezetés... 7 Az AO ölcsönhatás... 7 Az AO eszözö alalmazásai... 8 Az AO ölcsönhatás elméleténe bevezetése tézispont az AO fénterjedés modellezése I A számolás lépései...17 Homogén anizotrop fénterjedés számítása...19 Inhomogén anizotrop fénterjedés számítása 1. módszer...1 Ellenrzése...3 Néhán szimulációs eredmén...4 Az 1. módszer továbbfejlesztése, hog a onvergencia gors maradjon tetszleges ristálorientáció esetén. módszer...9 Szimulációs eredméne...31 Konlúzió tézispont az AO fénterjedés modellezése II...38 A módszer általánosítása arra az esetre, ha a vizsgált özeg optiailag atív...39 Az AO ölcsönhatás szimulációja optiailag atív özeg esetén...4 Konlúzió tézispont a fén töréséne vizsgálata AO ristálban...48 Bevezetés...49 A féntörés számolása...49 A mérési berendezés...51 A vizsgálato eredménei...5 Diszusszió...54 Konlúzió tézispont a omple AO ölcsönhatás vizsgálata...58 Bevezet...59 Az ausztius hullámterjedés számolása Vizsgálat a féndiffració szögfüggéséne mérése az AO szn és D számolása Vizsgálat a Bragg-szöge frevencia-függéséne mérése és D szimulációja...65 Diszusszió a D- és 3D szimuláció és a mérés eltéréseine vizsgálata...65

3 A ezdeti hanghullámfront (IAWF, initial acoustic wavefront) vizsgálata...66 Az inverz ausztooptiai módszer (IAOM) Vizsgálat az AO sz részletes 3D vizsgálata Vizsgálat az AO defletor részletes 3D vizsgálata...68 A 4. vizsgálat eredménei...70 Diszusszió...79 Konlúzió...80 Összefoglalás...8 Irodalomjegzé...84 Saját publiáció...84 További hivatozáso

4 A PhD utatás rövid összefoglalója irodalmi átteintéssel Az ausztooptiai (AO) ölcsönhatás özel eg évszázada ismert, az alalmazásai az elmúlt ötven évben válta igazán jelentssé. Az ausztooptiai ristál a modern tudomán és a csúcstechnia garan alalmazott, alapvet eleme, mivel egedülálló elnöel rendelezi. A szélesör alalmazás és számos tudomános utatás alapját épez eszöz pontos numerius leírása azonban mind a mai napig hiánzi. Az AO ölcsönhatás elméleti vizsgálatáról számos tudomános publiáció és önv íródott, a teljesség igéne nélül például [6-56]. Az, hog nincs öztü olan, ameli megísérelné a jelenség pontos számolását, részben érthet is, hiszen húsz évvel ezeltt a számítógépe erre még nem volta alalmasa. A méréssel leginább összehasonlítható eredmént az ún. csatolt-hullám egenlete módszere [3, 4] ad, ami lénegében eg 1D analitius modell, mel a fént is és a hangot is töéletes síhullámna ezeli. A diffracióna mind a hang-teljesítmén függését, mind a beesési szögtl való függését jellegre helesen írja le, ezért igen fontos eredmén. A valóságban azonban sem a hang, sem a fén nem töéletes síhullám, ezért a rengeteg tudomános ci nem adja, és nem is adhatja pontos leírását a ölcsönhatásna. Az AO eszözöel foglalozva egrészt az a tapasztalatun, hog léptennomon fontos érdése merülne fel, mele megválaszolása csa eg pontos szimulációval lehetséges. Másrészt úg látom, hog az AO eszözö tovább optimalizálhatóa volnána, amelne szintén az a legfontosabb feltétele, hog a diffraciós hatásfoot pontosan meg tudju jósolni adott ultrahangelt és egéb paramétere mellett. PhD utatásom ezdetén célul tztem i eg minél pontosabb AO modell létrehozását. A pontos modell alotóelemeit nég tézispontra csoportosítottam, mindegi tézispontot ülön, eg-eg fejezetben mutatom be. A szimulációna a övetez fiziai jelenségeet ell számolnia: (I) - a fén terjedése anizotrop, optiailag atív, inhomogén özegben, (II) - a fén törése az izotrop anizotrop, optiailag atív sípárhuzamos határfelületeen, (III) - a hang által létrehozott inhomogén törésmutató-tenzor eloszlása, ausztiusan anizotrop özegben. Az inhomogén özeg itt nem tetszleges inhomogenitást jelent, hanem csa olat, ami elfordul az AO eszözöben, enne pontosítása a övetez fejezetben történi. 4

5 A fén terjedésére vonatozó (I) számolást nem egszerre, hanem több lépésben valósítottam meg: (Ia) - a fén terjedése anizotrop, homogén özegben, (Ib) - a fén terjedése anizotrop, inhomogén özegben, (Ic) - a fén terjedése anizotrop optiailag atív, homogén özegben, (Id) - a fén terjedése anizotrop, optiailag atív, inhomogén özegben. Eleinte eredetileg az (Ia) - (Ib) helett az izotrop homogén-inhomogén esettel foglaloztam. Hónapoon át próbáloztam eg viszonlag pontos özelít megoldás eresésével az izotrop esetre, számos módszert dolgoztam i özelít sorfejtése alalmazásával, de még a salár-hullámegenlet számolása is pontossági érdéseet vetett fel, ráadásul a módszere nagon ompliálttá válta a ülönféle sorfejtési tago megjelenésével, hasonlóan Ciattoni és Yariv eredménéhez [57]. Több olléga is a Green-tenzoros [58-65] módszert ajánlotta. Ezenél a vetori hullámegenlet számolása történi inhomogén, izotrop esetben, mégis ez egrészt a diffració hatásfoára vonatozó orlát miatt, másrészt a onvergencia sebessége miatt (nagméret számolási térfogat) sem tnt ígéretesne. A so siertelen módszer után ipróbáltam, ha nem az izotrop, hanem az anizotrop esetet számolom, és a vetori hullámegenlet megoldását eresem, azaz az (Ia)-t és (Ib)-t. A szairodalomban számos publiációt találtam az (Ia) ülönféle számolására [66-76], mele soszor elég bonolulta. Az 1. tézispontban, ennél lénegesen egszerbb, általános, pontos numerius módszert vázolo fel a problémára. Megdöbbent tapasztalat volt, hog az anizotrop formalizmus segítségével sierült találnom megoldást az (Ib) számolásra is, amel természetesen izotrop esetre is mödi. Az els tézispontban bemutatott módszere az (Ia) és (Ib)-re adna onvergens megoldást. Az els módszer izotrop esetben optimális (ott onvergál gorsan). A másodi módszer örülbelül étszer aora mveletigén, viszont a onvergenciája anizotrop esetben is mindig gors marad, tetszleges ristálorientáció esetén. Fontos eredménne tartom, hog megmutatom a módszere onvergenciáját (szemben számos más szerzvel, hasonló téma esetén). A másodi tézispontban a orábbi módszer továbbfejlesztését mutatom be, ami által már az optiai ativitás pontos számolása is lehetvé vált, nevezetesen (Ic) és (Id). A szairodalomban szintén rengeteg ci foglalozi az optiai forgatással, más szóval az optiai ativitással és anna mérésével, ismét a teljesség igéne nélül például [77-87]. Azonban az optiai tengellel nem párhuzamos esetben mindez nem tárgalható pontosan az (Ic) és a (II) pontos számolása nélül, és nem találtam olan szerzt, ai az (Ic)-t vag (II)-t pontosan számolná. 5

6 A harmadi tézispontban a nag gaorlati jelentség TeO AO ristál optiai forgatásána vizsgálata szerepel. A tárgaláshoz bemutatom (II) megoldását, amit a forgatás részletes mérése és iértéelése övet. Végül az utolsó tézisponthoz apcsolódóan, a (III) számolása esetén is hasonló mondható el, mint az eleben. Bár so tudomános muna foglalozi a (III) modellezésével, például [88-98], nem tudo olanról, amel a hullámhosszhoz viszonított ilen nag térfogat esetén pontosan számolná az ausztius vetori hullámegenletet. A negedi tézispontban összefoglalom a (III) pontos megoldására vonatozó módszeremet, illetve anna összeépítését az (I)-et és (II)-t számoló programoal. Az íg létrejött, egedülállóan pontos és általános AO modellt eg összetett ísérleti módszerrel igazolom. Mindegi tézisponthoz tartozi tudomános folóiratban publiált ci. A PhD utatásom során nújtott segítségéért öszönettel tartozom dr. Maá Pál onzulensemne és dr. Barócsi Attila témavezetmne. 6

7 Bevezetés Az AO ölcsönhatás 19-ben jósolta meg Brillouin az ausztius hullám hatására történ féndiffraciót, megfelel ölcsönhatási özeget feltételezve [6]. Elsént Debe és Sears, illetve Lucas és Biquard igazolta ísérleti úton a jelenséget 193-ben [7-8]. Ezt öveten az AO ölcsönhatásna inább elméleti jelentsége volt, egészen a lézer felfedezéséig. A lézer megjelenése (~1960) magával vonta az AO eszözö rohamos fejldését, illetve alalmazásaina maráns bvülését. F alalmazás a fén iránána változtatása (defletor), a fén modulálása és a jelfeldolgozás. Mind a ristálnövesztés, mind az ultrahangelt technológiájána fejldése nagban hozzájárult az AO eszözö jelents fejldéséhez. Az AO ölcsönhatás a diffratált rende száma szerint többféleéppen viseledhet: Bragg-, illetve Raman-Nath tartománt ülönböztetün meg attól függen, hog az ún. Klein-Coo paraméter (Q) meora értéet vesz fel. Q = L z K a /, (1) ahol L z a ölcsönhatási hossz, K a az ausztius hullámszám és a özegben a fén hullámszáma. Ha Q<<1, a ölcsönhatás a Raman-Nath tartomán szerint történi, ilenor magasabb rende is ialaulna a diffració során. Q>>1 esetén Braggdiffració történi, a diffratált rend 1. foú, a magasabb rende elhanagolhatóa. Elfordulhat továbbá a öztes eset, amior a diffració nem sorolható egértelmen az egi tartománhoz sem. 1. ábra. A Raman- és a Bragg tartomán szerinti diffració. Az utóbbiban csa az els rend jelents A Bragg ölcsönhatást leíró Bragg-feltétel: d = i K a, () 7

8 ahol d a diffratált-, i a bees naláb hullámvetora, és K a az ausztius hullámvetor. Bragg-szög alatt azt a beesési szöget értjü, amelhez tartozó hullámvetor ielégíti a Bragg-feltételt. Az ausztooptiai eszözö olan optiai rácsot azon belül is fázis rácsot alotna, ahol a rácstávolság az ausztius hullámhosszal egenl. A ölcsönhatás egi f ülönlegessége éppen az, hog a hangfrevenciát, ezáltal a rácstávolságot nag sebességgel, számítógéppel lehet vezérelni. Anna ellenére, hog a törésmutató relatív megváltozása a hang hatására igen icsi, általában evesebb, mint ezrelé, mégis, a diffraciós hatásfo az elsrendben meghaladhatja a 90%-ot (Bragg-tartomán). Az AO eszözö alalmazásai Az AO eszözö túlnomórészt a Bragg-tartománban mödne, ami alól ivételt jelentene eges q-apcsoló és módus-csatoló. Összefoglalóan, a Bragg-ölcsönhatásna nég alapvet tulajdonsága van, amit ülönösen ihasználna az eszözöben (lásd alább). Néhán eze özül mindegi eszözben jelen van, mint például a frevencia-eltolás, amel mind a modulátoroban, mind a defletoroban létrejön: d = i F a, (3) ahol d a diffratált, i a bees naláb frevenciája, F a az ausztius frevencia. Az eszözö özti ülönbség fént abból adódi, hog az adott alalmazás szempontjából mel tulajdonságona érdemes jobban szerepet apniu, és melene evésbé. 1. Fénelhajlás. A szög szerinti iránváltozás arános az ausztius frevenciával, ezt az alapelvet használjá i a defletoroban. A defletoroal lehetvé váli a fénnaláb iránána gors változtatása. Régebben még szennereben is használtá, ez mára már egáltalán nem öltséghatéon megoldás. Jelenleg ígéretes alalmazás például a 3D miroszóp [99], mellel lehetvé váli eg él idegsejt roncsolásmentes 3D felvétele.. Az amplitúdó (intenzitás) modulációnál azt használjá i, hog a diffratált intenzitás a hangteljesítmén függvéne. Modulátoro (q-apcsoló) mödne ezen az elven. 3. Frevencia-eltolás (frequenc shift). A frevencia-eltolás anna eredméneént jön létre, hog a ölcsönhatás során a hang frevenciájána 1-ese hozzáadódi a bees naláb frevenciájához. Bármel AO eszöz használható frevencia-eltolásra. 4. Hangolható, hullámhossz szerinti szrés. Széles spetrális tartománú fénforrás hullámhossz szerinti szeletálása valósítható meg, mivel csa egetlen hullám- 8

9 hossz elégíti i a Bragg-feltételt. Meghatározó tulajdonság a szeletivitás gors állíthatósága. Az ausztooptiai eszözöne több olan egedülálló tulajdonsága van, ami nélülözhetetlenné teszi több alalmazásban. Meghatározó, hog az ausztius hullám frevenciája és intenzitása nag sebességgel változtatható. Defletorént tüörrel helettesíthet, azonban mind sebességben, mind opás-otogás szempontjából soszor a mozgó türö alul maradna az AO eszözöel szemben. Hasonló mondható el a sz és modulátoro apcsán is, az AO cellá relatíve magas öltségét soszor ven fedezi az elnü, a nagfoú linearitás *, és rendívül jó vezérelhetség. Emiatt is alalmazzá az iparban, csúcstechnológiában, és számos élvonalbeli tudomános ísérletne nélülözhetetlen eleme például [99-109]. Az évi émiai Nobel díjat a femtoémiai utatásoért adtá, ameleet szintén az AO modulátoro segítségével valósította meg [ ]. Az AO ölcsönhatás elméleténe bevezetése A fén eg eletromágneses hullámjelenség, amit uganazo az elméleti alapelve írna le, mint ami meghatározza az összes eletromágneses sugárzást. Az eletromágneses sugárzás eg ölcsönösen csatolt vetor hullám, eg eletromos- és eg mágneses-tér hullám. Enne ellenére számos optiai jelenséget le lehet írni a salár hullámelmélettel, amelben a fén egetlen salár hullámfüggvénnel leírható. A fén ezeléséne ezt a özelít módját nevezi salár hullámoptiána, vag egsze- en csa hullámoptiána. Amior a fén eg olan tárgon eresztül, és örül terjed, amelne a méretei messze meghaladjá a fén hullámhosszát, a fén hullámtermészete nem nilvánul meg ülönösebben, ezért a viseledés ielégíten leírható olan sugaraal, mele teljesítene néhán geometriai szabált. A fénne ezt a modelljét sugároptiána hívjá. Szigorú értelemben véve, a sugároptia a hullámoptia azon határesete, ahol a hullámhossz infinitezimálisan icsi. * Az AO eszözö linearitása ét esetben jelents. Az egi, ha az ultrahangeltre apcsolt gerjeszt feszültsége alacsona, tehát is hangteljesítméne vanna. Eor E 1 (r,t) jelölje a diffratált térersséget, ha a meghajtó feszültség U(t) = A 1 ep(f 1 t); és E (r,t) jelölje a diffratált teret, ha a meghajtó feszültség U(t) = A ep(f t); továbbá E(r,t) jelölje a ugnacsa a diffratált térersséget, ha U(t) = A 1 ep(f 1 t) + A ep(f t). Eor E = E 1 + E. Természetesen a linearitás tetszleges számú ülönböz gerjesztfrevencia esetén érvénes marad. A fén is lehet több frevenciájú (nem monoromatius.) Az említett eseten túl, az AO sz és eltér hangfrevenciá esetén a linearitás nag hangteljesítménenél is igen jól teljesül. 9

10 A fén eletromágneses elmélete, más szóval az eletromágneses optia tehát általánosabb a hullámoptiánál, és ez utóbbi is általánosabb a sugároptiánál. A lasszius optia eretein belül az eletromágneses optia jelenti a fén legteljesebb tárgalását. Vanna bizonos optiai jelensége, jellemzen vantummechaniai természe- e, amele nem magarázhatóa lassziusan. Eze a jelensége a vantumeletromágneses elmélettel írható le, más szóval a vantum-eletrodinamiával. Az elméletre vantumoptia néven is szota hivatozni. Az AO ölcsönhatás során nem jellemze a vantumos effetuso, ezért adódi, hog a legáltalánosabb leíráshoz elegend az eletromágneses optiai tárgalás. Mivel ez is igen omple, ezért felmerül a érdés, hog vajon szüséges-e eg ilen öszszetett elmélet használata, nem elégséges-e a hullám- vag aár a sugároptia? Valóban, észült tudomános ci [], amel a sugároptián eresztül, az eionálegenlet alapján vizsgálja a ölcsönhatást. Anna ellenére, hog az íg apott eredméne összehasonlíthatóa a tapasztalatoal, nilvánvaló, hog nem teljesülne a szüséges övetelméne a onzevens és pontos számoláshoz. Hasonló mondható el a hullámoptia esetén is. Egrészt, a diffració feltétele a megfelel polarizációjú nalábo számolása, ami a hullámoptiával nem lehetséges. Másrészt, az ausztius hullám által létrehozott helfügg törésmutató-eloszlás olan sn változi, hog a salár hullámegenlet özelítés nem ielégíten pontos. Tehát ijelenthet, hog az AO ölcsönhatás pontos számolásána szüséges és elégséges tárgalása az eletromágneses optia eretein belül lehetséges. A fén eletromágneses elmélete a Mawell-egenleteen alapul, és iegészül a megfelel anagi egenleteel. Az AO eszözöben nincsene szabad töltéshordozó és áramo, íg a Mawell-egenlete a övetez alaot ölti: D 0, (4) B 0, (5) B E, t (6) D H, t (7) ahol D az eletromos eltolási vetor, B a mágneses indució vetor, E az eletromos- és H a mágneses térersség vetora. Mind a nég menniség valós vetor függvén, egszerre függene az idl és a helvetortól. Ha az eletromágneses tér monoromatius, aor az eletromos- és mágneses tér összes omponense az idne harmonius függvéneént írható fel: E ( r, t ) Re{ E ( r ) ep( i t 0 )}, (8) 10

11 H ( r, t ) Re{ H ( r ) ep( i t 0 )}, (9) ahol E(r) és H(r) a omple amplitúdói rendre az eletromos- és mágneses terene, 0 a fén örfrevenciája. A D, és B omple amplitúdó hasonlóan definiálhatóa a D, és B valós függvénebl. Az anagi egenlete az AO ölcsönhatás esetén B( r) 0 H ( r). (10) - Izotrop özegben: D( r) 0( r) E( r), (11) - uganez anizotrop özegben: D( r) 0( r) E( r), (1) ahol a relatív dieletromos tenzor, amine a oordinátavetortól való függése azt jelenti, hog a özeg inhomogén. Az anizotrop tehát azt jelenti, hog a D eltolási vetor és az E vetor özött a apcsolat lineáris, de a ét vetor általában nem párhuzamos. Jellegzetes ettstör természete miatt garan hívjá az anizotrop szinonimájaént a özeget ettstörne. A jelenség ristáloban fordul el, ezért a hétöznapi gaorlatban nem találozun vele, uganaor az AO eszözöben manapság jóformán csa anizotrop ristáloat alalmazna. Bár elfordul természetes örülméne özt létrejött ettstör ristál, a gaorlati alalmazásora mesterségesen elállított, nag tisztaságú, és ezért igen öltséges ristáloat használna. Megmutatható, hog valós és szimmetrius, amenniben nincs abszorpció (ami tipiusan igen jól teljesül az AO özegeben). Ezért ftengel-transzformációval diagonális alara rendezhet. Ha a diagonális ala mindhárom eleme ülönböz értéet vesz fel, aor optiailag éttengel anizotrópiáról van szó, ha pedig étféle érté szerepel, aor a özeg optiailag egtengel. A ettstör ristálo többsége az utóbbi csoportba tartozi. (Ha a diagonális mindhárom eleme egenl, aor a özeg izotrop.) Az összefüggéseet behelettesítve a Mawell-egenletebe, adódi, hog i B, (13) E 0 i ( r E. (14) B 0 0 ) 0 A (13) és (14) egenletebl felírható a fénterjedés hullámegenlete: 11

12 0 E ) ( r) E 0, (15) c ( ahol felhasználtam a c 0 0 = 1 összefüggést, és az egenlet tovább alaítható a 0 = 0 /c behelettesítésével. A levezetés során feltételeztem, hog az inhomogenitást hordozó eloszlás idben állandó, csa a heloordinátától függ. Ez igen jó özelítés, hiszen az ausztius frevencia so nagságrenddel isebb a fén frevenciájánál. Uganaor, éppen az idfüggetlen dieletromos tenzor eloszlás /(r)/ használatával mutatható meg a (3) frevenciaeltolódás, például a [110] alapján (a dolgozatban bemutatott szimuláció is uganezt az eredmént adja). Az optiai ativitás Az optiai ativitás elméleti bevezetése azon alapul, hog eges anagoban a D és E özötti összefüggés eltér (1)-tl, a apcsolat pontosabb felírásához a ét menniség függéséne sorfejtésére van szüség. és D( r) 0 E( r) P( r), (16) 0 P i Pi 0( ije j ij E j...), (17) ahol az összegzés az Einstein-féle onvencióval történi. A (17) jobb oldalána másodi tagja a felels a már bevezetett ettstör tulajdonságért, és a harmadi tag írja le az optiai ativitást. A magasabb rend tago oozzá a nemlineáris viseledést, ami az AO eszözöben nincs jelen, tehát a sorfejtés többi tagja szüségtelen. Míg az (és ij ) valós és szimmetrius tenzor, addig a ij -ra vonatozó megszorításo egáltalán nem egszere. Átnéztem a szairodalom optiai ativitásra vonatozó elméleteit, többféleféle megözelítés van, ezebl igeeztem a lehet legáltalánosabb esetet teinteni. Általában igaz, hog ij valós, és els ét indeével való felcserélésre antiszimmetrius az optiai ativitás esetén (ha a helett a hullámvetort használjá, aor ij épzetes!). A legegszerbb eset, ha ij -t egetlen salárral helettesíti, eor a (17) egenlet 3. tagja a övetez alaú: g E. A mási megözelítés [3] szerint, általánosabb, ha a ( g l) E alaot használju, ahol l a terjedési iránvetor és g eg szimmetrius épzetes mátri, ez ftengel-transzformációval diagonális alara rendezhet az tenzorhoz hasonlóan. Optiailag egtengel özeg esetén a diagonális ala három eleme uganúg étféle értéet vesz fel. A hullámegen- 1

13 letben a terjedési irán definiálását csa a hullámvetor által lehet bevezetni (l ), továbbá felhasználva, hog i =, adódi az eltolási vetorra: D( r) 0[ ( r) E( r) ( g) E( r)], (18) ami a legáltalánosabb tárgalása az ativitásna és ielégíti az antiszimmetriára vonatozó feltételt. (A g giráció tenzor uganolan szimmetria tulajdonsággal rendelezi, mint a dieletromos tenzor.) Az optiailag egtengel özeg sajátpolarizációi Amenniben a özeg optiailag egtengel, anizotrop, nem atív, homogén, továbbá eg adott (, ) omponens általános polarizációjú monoromatius síhullámot szeretnén terjeszteni, aor általában nem lehet olan z omponenst hozzárendelni, ami pontosan leírná a terjedést. Azonban az említett omple amplitúdót egértelmen fel lehet bontani ét sajátpolarizációs összetevre, hog azohoz ülönülön már hozzárendelhet eg-eg z omponenssel jellemzett sajáthullám, ami helesen leírja a z-iránú terjedést: ~ ~ ~ A A ep[ i( z)] A ep[ i( )]. (19) 1 1, z, zz A (19) egenletben szerepl egi hullámszám iránfüggetlen, azaz 1 onstans, ezért ezt ordináriusna hívjá. A hozzátartozó A 1 sajátpolarizációt ordinárius polarizációna hívjá. A mási sajátpolarizáció esetén a hullámszám nem állandó, hanem a terjedési irán függvéne, enne meghatározása összetettebb, ezt etraordináriusna hívjá. A étféle terjedési sebesség oozza a látvános ettstör tulajdonságot. Optiailag egtengel anag esetén a diagonális alaú dieletromos tenzor elemei: [ n, o n o, n e ]. Az n o és n e a terjedési irántól független állandó, az ordinárius polarizáció terjedési sebessége ténlegesen az n o törésmutatóval jellemezhet, az izotrop esethez hasonlóan itt is igaz, hog a hullámvetor hossza: 0 /(cn o ). Azonban az etraordinárius polarizáció terjedése nem írható le n e -vel. Az ausztius hullámterjedés Foltonos özeg esetén definiálni lehet a özeg pontjaira az elmozdulásmezt. A t 0 idpillanatban r helen található tömegpont elmozdul, és a t idpillanatban az r' (r, t) = r + u(r, t) helen lesz megtalálható. Az elmozdulást jellemz u vetormezt elmozdulásmezne nevezi. A foltonos özege ét meghatározó mennisége a feszültségtenzor (T) és a deformációtenzor (S). A deformációtenzor definíciója: 13

14 S l 1 u l ul. (0) Ha a özeg potenciálos (), azaz a loális deformációs állapotna egértelm függvéneént adható meg a deformációs energiasség, aor a feszültségtenzor egértelmen megadható a deformáció függvéneént: T Kis deformáció esetén -t sorba fejtve apju, hog: ij T ( S ) / S. ij l l T ij T ij Tij ( 0) Sl (1) Sl 0 Mivel deformálatlan állapotban nincsene feszültsége, az els tag zérus. Kis itérése esetén elegend a lineáris özelítés, amibl a Hooe-törvén adódi: T c S, () ij ijl l ahol a c ijl a Hooe-tenzor (értéét a (1) egenletben a differenciálhánados adja meg), és az összegzés ezúttal is az Einstein-féle onvenció szerint történi. A négindees tenzor indeeine páronénti felcserélésével szemben szimmetrius, íg nem 81 db független elem van, hanem jóval evesebb. Ezért érdemes bevezetni [3] alapján eg összevont indeelési rendszert: ij vag 3 31 vag 13 1 vag 1 I (3) amellel a Hooe-törvén a övetez alaot ölti: T c S. (4) I IJ J Az összevont indeeléssel a ik differenciáloperátor: / / z / ik 0 / 0 / z 0 /. (5) 0 0 / z / / 0 (A Lj éppen ik transzponáltja.) A özeg tömegpontjaira vonatozó mozgásegenlet alaja íg a övetez lesz: T u, (6) ik K és (0) helett írható, hog i 14

15 S L u. (7) Lj j A (4), (6) és (7) egenletebl a hullámegenlet felírható: c u / t u. (8) ik KL Lj j i Az összevont indeeléssel a hullámegenletben szerepl tenzoro már étindeese, íg a mátriszorzás egszer szabálai szerint történhet az összegzés. Az anizotrop AO ölcsönhatás Az AO ölcsönhatás során a dieletromos tenzor megváltozi a deformáció (S l ) hatására, de ezúttal a változást hagománosan a dieletromos tenzor inverzére szoás felírni: 1. (9) megrzi valós és szimmetrius tulajdonságát, ezért hasonlóan indeelhet. Íg az AO ölcsönhatásra adódi, hog p S, (30) I IJ J ahol az indeellipszoid megváltozását jelöli, nem a Laplace-operátort. p IJ neve fotorugalmassági tenzor, ez általában eg nem szimmetrius mátri (szemben c IJ -vel), azonban a ristálszimmetria rendszerint itt is jelentsen csöenti a független eleme számát. 15

16 1. tézispont az AO fénterjedés modellezése I. Létrehoztam és algoritmiusan teszteltem eg olan numerius módszert, amel a Mawell-egenleteen alapuló optiai hullámterjedést számolja az ausztooptiai (AO) ölcsönhatás leírására. A módszer elne a nag pontosságú, gors és általános számolás, amihez hasonló nem található a szairodalomban. Az általánosság azt jelenti, hog a ristál anizotrópiája tetszleges lehet (optiailag eg-, éttengel vag izotrop, és a ristál optiai tengele is tetszleges iránú lehet), a bees fénnaláb általános eloszlású (például Gauss-naláb), monoromatius (de legalábbis véges so hullámhosszú), a számolt özeg be- és ilép síja párhuzamos, az inhomogenitás icsi, de a diffraciós hatásfo tetszlegesen nag lehet, aár telítésbe is mehet. A módszer feltételezi továbbá, hog refletálódó nalábo nem jönne létre, és hog a fénterjedés számolásána iránára merlegesen a periodius peremfeltétel alalmazható. A feltétele az AO ölcsönhatás során nagon jól teljesülne, ezért az említett elnöet nem orlátozzá. A tézisponthoz apcsolódó publiáció: [1,, 3] 16

17 A számolás lépései A cél az adott feladatra a Mawell-hullámegenlet pontos megoldásána iszámolása. Látható, hog bizonos megoldási módszere ivitelezhetetlene. Például a teljes térben a Mawell egenlete iintegrálása az id függvénében, azaz az FDTD (finite difference, time domain) módszer nem oldható meg véges idn belül, a hullámhosszhoz viszonított nag térfogat miatt. Monoromatius fénforrást használva a tér ep( i ) idfüggést mutat. Eor a Mawell-egenletebl a bevezetben szerepl (15) idfüggetlen (stead state) omple hullámegenlet adódi: ( E ) ( r) E 0. 0 Ez csupán egetlen frevenciájú fénhullámot ír le, mindez mégsem jelent léneges megszorítást, mivel ülönböz frevenciára a Mawell-egenlete linearitása miatt az idfügg tér összeadható. A dieletromos-tenzorra igaz, hog ( r) B ( r) és ( r) B, (31) ahol B a háttérre (bacround) vonatozó helfüggetlen dieletromos tenzor. Az AO ölcsönhatás esetén a térbeli eloszlására jellemz térfrevencia (pontosabban hullámszám) határozottan isebb a fén hullámszámánál (máséppen írva: hang > fén ). Emiatt nem jönne létre refletálódó nalábo a terjedés során * (ez feltételént szerepel a tézispontban). További övetezmén, hog eg megfelelen megválasztott számolási iránban (ez legen a z-tengel, és legen özel párhuzamos a bees naláb hullámvetorával ** ) a (15) hullámegenlet számolható. Ez szintén nag önnebbség, 0 t * Két indolást ado arra vonatozólag, hog nem jönne létre refletálódó nalábo. Az egi inább elméleti: a diffració feltétele, hog teljesüljön az (1) Bragg-feltétel. Mivel a hanghullámhossz jóval nagobb a fénhullámhossznál, ezért a hang hullámvetora határozottan isebb a fén hullámvetorától. Az utóbbiaat beírva az (1)-be látható, hog csa nagon soszoros diffració esetén történhetne a térfogatban refleió, ami nem reális. A mási indo, hog a mérésben sem tapasztalun refletálódó naláboat. ** Két oa is van anna az elvárásna, hog a bees naláb irána legen özel párhuzamos a z-tengellel. Az els, hog bár a refletálódó nalábo számolásáról le ell mondani, de isebb szög diffracióat minél általánosabban érdemes számolni. Tehát, ha nagobb szöget zár be a naláb a z-tengellel, majd diffratálódi, aor ez a szög tovább nhet, és ezáltal romli a modell alalmazhatósága. A mási o, hog a Fourier-transzformáció használatánál feltétel a periodius peremfeltétele használata. Ez fiziailag azt jelenti, hog a naláb iszélesedése nem haladhatja meg a periódustávolságot. Ha nagobb szöget zár be a terjedés a z-tengellel, aor csa nagobb periódustávolság mellett lehet elérni, hog a naláb a számolási tartománon belül maradjon. 17

18 mert nem ell a teljes térfogatban eg rita mátriszal reprezentált rendszert iterálni a pontos megoldáshoz. Azonban a másodrend parciális differenciálegenlet-rendszer számolása még íg is igen lassú. A számolás megönnítése több lépésben történi. Az els, hog a parciális derivált mennisége számolása nem a véges differencia, véges elem módszereel történi, hanem a Fourier-transzformáció segítségével. Ez egszerre jelent evesebb mveletet, és nag pontosságot. A mintavételi-tétel alapján uganis, ha a mintavételezési frevenciával enhén túllépjü a frevencia határt, aor a ívánt függvén pontosan eláll. Emiatt tehát elegend isebb felosztás az és tengele mentén, és mindez nag pontosság mellett adódi! A Fouriertranszformáció alalmazhatóságána a feltétele a periodius határfeltétel teljesülése, ami a periodicitás távolságána növelésével elérhet. A számolás megönnítéséne további lépései összetettebbe, ez a övetezben erül ifejtésre. A iinduláshoz érdemes teinteni a differenciálegenlete legegszerbb alaját, illetve legsibb numerius özelítését. Legen adott a övetez ezdeti érté probléma: /z u(z) = F(z, u), (3) ahol a ezdeti feltételre teljesül, hog u(0) = a, (33) és a 0 z L tartománon eressü u értéét. Az Euler-módszer értelmében u-t a övetez reurzív módon özelíthetjü: u(z+d) = u(z) + d F(z, u(z)). (34) Ha az L hosszú tartománt n darabra osztju, aor a lépéstávolság d = L/n. A módszerrl bizonított, hog a felosztás növelésével a megoldás onvergál az egzat megoldáshoz. Bár a módszer igen szemléletes és egszer, a onvergenciára vonatozó bizonítás [111] lénegesen bonolultabb. Általában is igaz, hog a ompliáltabb differenciálegenlet megoldó módszere bizonítása igen összetett. A továbbiaban nem fogo az alalmazott módszer onvergenciájára egzat bizonítást adni, de töreszem a helesség minél szemléletesebb bemutatására. Felhasználom, hog eg G(,, z) függvén megadása evivalens a G ~ (,, z), az - és szerinti Fouriertranszformált megadásával. Megmutatható, hog magasabb rend és összetettebb lineáris differenciálegenletrendszere visszavezethete a bemutatott ezdeti érté problémára. Ehhez hasonlóan, ha az általánosított változót azonosítju az: 18

19 E(,, z) ( z) : (35) z E(,, z) függvéneel, aor a reurzív éplet alaja a övetez lesz: E(,, d) E(,,0) d z E(,,0) z E(,, d) z E(,,0) d z E(,,0) (36) Eg adott 0 z d térrészben, ha nincsene refletálódó nalábo, aor a z E(,,0) nem hordoz többlet információt. (Ha vanna, aor segítségével számolható a refletálódó nalábo mennisége.) Ezért esetünben elég, ha a léptetésnél számolt peremfeltétel egedül a E(,, 0) menniség. Fontos iemelni, hog z E(,, z) a formula szerint z-ben lineárisan változi (36b), övetezésépp az E (,, d) becslése d -tel arános hibatagot eredménez (36a). Emiatt a onvergencia elégséges feltétele, hog a (36a) egenlet alapján történ számolás z-ben elsrendig legen pontos. Elször arra az esetre erül ismertetésre a számolás, ha a özeg homogén, majd az inhomogén eset bemutatása övetezi. Mindét esetben a térersség ismertne feltételezett a z = 0 síban, és a cél a tér meghatározása a z = d síban. Homogén anizotrop fénterjedés számítása Ha a özeg homogén anizotrop ( ( r) 0), aor E h (,, d) meghatározása E h (,, 0)-ból a Fourier-transzformációval tetszleges d-re számolható, az egetlen megszorítás d-re, hog még igaz maradjon az (, )-ra vonatozó periodius határfeltétel. Eor a hullámegenlet: ( E ) E 0. (37) h 0 B h A 'h' inde jelöli, hog a özeg homogén. A Fourier-transzformáció szemléletesen síhullámora való bontást jelent. Egetlen síhullámra: ~ E h E h ep( ir). (38) Íg a hullámegenlet tovább egszersödi: ~ ~ E E 0. (39) h 0 B h A (39) egenletbl adott és esetén z -re nég érté adódi, az íg elálló hullámvetoro az elre és hátra haladó, ordinárius és etraordinárius síhullámo hullám- 19

20 0 vetorai. Mivel a terjedés során refletálódó nalábo nem eletezne, ezért csa a ét pozitív z érté releváns. Az ordináriust 'o'-val, az etraordináriust 'e'-vel jelölöm, uganíg a többi polarizációfügg menniséget is. A hullámvetorohoz tartozó ), ( o e és ), ( e e polarizációs iráno szintén (39)-ból határozhatóa meg (a sajátérté-sajátvetor számoláshoz hasonló módon). A számolás során további feltétel, hog a z = 0-ban a téreloszlás, E h vag h E ~, pontosan ismert. E h és h E ~ özti apcsolat a Fourier-transzformáció: E h (,, 0) = 4 ) ( ep 0),, ( ~ h d d i z E. (40) Ahhoz, hog a téreloszlást i lehessen számolni a z > 0 síban, a h E ~ -t fel ell bontani a lehetséges polarizáció szerint: e e o o e o h e E e E E E E ~ ~ : ~ ~ ), ( ~. (41) o E ~ és e E ~ meghatározása h E ~ -ból: ), ( ~ ), ( ~ ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ~ ), ( ~,, 1,,,, h h e o e o e o E E e e e e E E. (4) Íg a tér meghatározható: 4 ), ( ep ) ( ep ), ( ~ ),, ( oz o h d d z i i E z E ez e 4 d d z ), ( i ep ) i( ep ), ( E ~. (43) A bemutatott módon a tér tetszleges homogén anizotrópia esetén pontosan számolható egetlen lépésben (nég darab D Fourier-transzformációval), azaz a özeg lehet optiailag egtengel (uniaial), éttengel (biaial) vag aár izotrop. A polarizációs iránvetoro bevezetésével elerültem a paraiális vag más hasonló özelítés használatát. A módszer rövidsége és egszersége miatt adódi, hog bizonára máso is használjá, de enne nem leltem nomára. Ehelett a talált [69-76] cieben soszor egészen bonolult elméleteet találtam, amele csa valamilen speciális esetet számolna, érthetetlenne találom, hog az idézett cieben mi a tudománosan értées eredmén.

21 Inhomogén anizotrop fénterjedés számítása 1. módszer A özeg inhomogén és anizotrop, azaz a (31) egenletben ( r) 0. A számoláshoz a homogén özeg esetén a hullámegenlet megoldását továbbra is E h -val jelölöm, az inhomogén esetben E-vel, a ett ülönbségét pedig E i -vel: E E h E i. (44) Továbbra is az a gondolatmenet, hog a E(,, 0)-ból ell meghatározni d távolságra lév síban E(,, d)-t, azonban itt feltételezem, hog a d lépéstávolság icsi, a pontos értée a onvergencia sebességétl függ. A (15) és (37) egenleteet egmásból ivonva adódi, hog: E i E i ( r) E h ( r) Ei, (45) 0 B 0 0 Az E i és szerinti Fourier-transzformáltját a övetez alaban eresem: ~ E ( i, b (, ) c (, ), z) b(, ) z c (, ) ep( iozz). (46) bz(, ) cz(, ) A (46) egenlet jobboldalána ét tagját röviden rendre E i,b -ne és E i,c -ne jelölöm. Íg a tér hat paraméter-függvénnel illeszthet. Újra felírva a (45)-et: E i E i ( r) E h ( r) Ei, b ( r Ei, c 0 B ). (47) A c vetor bevezetésére azért van szüség, mert inhomogén térrészben, adott és esetén elfordulhat, hog a tér nem esi az e o, e e polarizációs iráno által ifeszített síba. Emiatt elegend, ha a c vetor irána merleges e o ra és e e -re, azaz az irána adott (e c ), csa a nagsága ismeretlen (c): c(, ) c(, ) ec (, ). (48) Máséppen fogalmazva, az E i,c tag bevezetés azért szüséges, hog z = 0-ban a peremfeltétel pontosan i legen elégítve nulladrendben. Az elsrend egezést az E i,b tag biztosítja. A (47) egenlet implicit E i -re nézve. A jobboldal els tagja a peremfeltételebl adott. A másodi tag z-ben lineáris. Ezért, ha a E i,c értée is ismert, aor is lépéstávolság esetén a másodi tag elhagása z-ben másodfoú hibát eredménez a (47) egenlet megoldása során. Ez a (36) egenlet apcsán említette miatt megtehet, az 1

22 elhagás nem aadálozza a onvergenciát. A (47) megoldásához az egenletet ét részre bontom: ahol E E M ( ), (49) i 0 B i r M ( r) 0 ( r) E h 0 ( r) Ei, b 0 ( r) Ei, c. (50) E i,b elhanagolásával M(r) egszersödi: M ( r) 0 ( r) Eh 0 ( r) E i, c. (51) A (45) egenlet megoldása a (49) és (51) egenlete alapján történi. E h és E i,c meghatározása a peremfeltételebl egértelmen adódi, tehát M(r) eg onstans, amelet érdemes az alábbi alaban özelíteni: z icsi oz i( ) d d 4 ~ M (,, z) M (,,0)ep( i z)ep, (5) ~ amel eg nulladrendben pontos özelítés és M (, ) az M(,, 0) Fouriertranszformáltja. Az (5) egenletet és (46)-ot behelettesítve (49)-be a b, b és b z függvéne egértelmen számolhatóa. Az elmondotta alapján, a számolt térersség a felosztás növelésével a Mawell-egenlete pontos megoldásához onvergál! Felvetdi, hog a E i,c tag számolása a peremfeltételbl felesleges hibát visz a számolásba, mivel eg léptetés során a 0 z d térfogatelemben az E i,c menniség meghatározható a hullámegenletbl is. A meghatározáshoz azonban eg újabb egenletre van szüség, ami az els Mawell-egenletbl (3) adódi: D 0. (53) Az (53) evivalens a hullámegenlet divergenciájával, a övetez egenletre vezet: ( E ) M ( ). (54) 0 B i r Mivel (5) alapján M(r)-t nulladrendben özelítettem, ezért az (54) jobboldalána a z szerinti parciális deriváltja nem lesz pontos (a divergencia ifejtésénél). Ezért az E i,c tagot eszméni pontossággal nem tudom a hullámegenletbl meghatározni ennél a tárgalásnál (a övetez fejezetben ez ezelhetvé váli). Azonban jó özelítés az (51)-ben, hog ( r ) 0 (mivel a hanghullámhossz jóval nagobb a fénhullámhossznál), amibl a ( E B i) 0 (55)

23 özelít egenlet adódi. Az (55) segítségével az E i,c illesztése a peremfeltételehez elerülhet, azohoz csupán az ordinárius és etraordinárius polarizációat szüséges illeszteni. Eor adott és esetén nég saláregenlet van (a (49) baloldala egen- az (51) jobboldalával, és az (55) egenlet), és nég ismeretlen, b, b, b z és c. A megoldás abban ülönbözi a orábbi gondolatmenettl, hog E i,c sem ismert, ezért például iteráció alalmazására van szüség. Az iteráció els lépéseént E i,c -t nullána teintem, az egenleteet megoldom, ezáltal a nég függvén értée adódi eredménül. Az iteráció övetez lépéseént a M(r) értée az (51) alapján újraszámolható. Mivel azonban E i,c értée igen icsi E h -hoz viszonítva, ezért még sincs szüség valódi iterációra, elegend az els lépés is (becslés alapján is, és a számolás szerint is). E i,c tehát számolható a térfogatból és a peremfeltételbl is. Az elbbi esetben eg özelítést és eg iterációt ell alalmazni (mivel csa az els iterációs lépést számolom, ezért ez is eg özelítés), ami hátránna tnhet a másodi esettel szemben. A tapasztalat mégis az, hog az említett özelítése egészen elhanagolható hibát eredménezne, eln viszont, hog érezheten (~0%-al) gorsabb íg a számolás. Ráadásul a fejezet övetez részében uganez a módszer (. módszer) már úg alalmazható, hog az (54) egenletnél nem történi özelítés. Ellenrzése A szimuláció helességét az AO ölcsönhatás számolására igeeztem minél több módon leellenrizni. Az ellenrzéseet nem azért tartottam ritius fontosságúna, hog biztos lege a módszer helességében, hiszen az a levezetésbl öveteztethet, hanem inább azért, mert hiába lehet az elv heles, ha a program egetlen elírást is tartalmaz, aor az egész modell hibás lesz. Természetesen ez a veszél általában jellemz a szimulációs munára, ezért nagon fontos a ülönös odafigelés. Az adott esetben szüség volt arra, hog minden megtett lépés eltt-alatt eg programozástechniai apaszodót, ellenrzési lehetséget eresse a lehetséges hibá iszrésére. Természetesen az ellenrzésen túlmutató cél a ölcsönhatás pontos megismerése. Valami olasmit ell tehát leellenrizni, amit nem ismerün pontosan. Mint a PhD utatás összefoglalójánál említem, igen so publiáció foglalozott az AO ölcsönhatás vizsgálatával [6-56], tehát van néhán fontos elv, amine teljesülnie ell, ezeet alalmaztam az els tézispont esetén az ellenrzéshez. A másodi tézispontnál ét eltér számolási módszer a f összehasonlítási elv. A legobjetívebb összehasonlítási alap a valóság, a ísérleti összehasonlítás a harmadi és negedi tézispontnál váli lehetségessé. A legfontosabb elméleti ellenrzési ponto a övetez volta: 3

24 1. ellenrzés az energiamegmaradásra iránul. A levezetésbl látható, hog az energiamegmaradás egáltalán nem része a matematiai modellne, az egedül a Mawell-egenlete heles számolásából övetezi. A számolási eredménebl az a tapasztalat adódott, hog bár az energia-magmaradás pontosan nem teljesül, csa a felosztás növelésével onvergál a heles viseledéshez. Ez a tapasztalat megersítette a szimuláció helességét.. ellenrzés az ismert egéb fiziai törvénszersége vizsgálata. Eze özül legrelevánsabb az ún. Bragg-feltétel. Ha a Bragg-feltételt ielégíti a bees naláb szöge (más szóval, a Bragg-szöggel egenl), aor várju a maimális diffraciós hatásfoot. Mindezt a modell helesen visszaadja. A szimulációban eg olan törésmutatóváltozást modellezün, ami ideális, töéletes síhullám. (Például a 11 (a) ábrán jól látható.) 3. A Bragg-szög beesés esetén a nemlineáris viseledés. Ismert, hog Braggszögben bees naláb diffraciója csöen, ha bizonos érté fölé növeszi a hangamplitúdó [110]. Ehhez hasonlóan, ha a hang-amplitúdó állandó, de a ölcsönhatási hossz változi, aor uganúg megfigelhet, hog bizonos távolság után az els rend intenzitása csöen. Ez is teljesen a váraozásna megfelelen történt. (A bemutatott példáon jól látható a jelenség.) 4. A Bragg, illetve Raman-Nath tartomán elülönülése a Q fator értéétl füg- en szintén visszaadja a bevezetben ismertetett viseledést. 5. Kisszög elforgatással szembeni invariancia. Azt ellenriztem, hog az - tengel örüli elforgatással szemben változi-e a számolás. A oordináta rendszer megválasztásánál az a szempont, hog a z-tengel, amel mentén a számolás történi, legen özel párhuzamos a bees fénnalábbal. Azonban a f szempont az az, hog ne történjen refleió a z-hez viszonítva (ne legen negatív z ), ami nem szigorú megszorítás, hiszen a diffració összes rendje néhán foos szögtartománt ölel fel. Ezért énelmes mozgástér van a oordináta rendszer megválasztásánál. 10 -os elforgatása az összes fiziai menniségne (bees naláb, optiai tengel, hang-síhullám stb.) függetlenül hagta a diffraciót (az is épp 10 -al fordult el), az eredmén ezúttal is teljesítette a váraozást. Néhán szimulációs eredmén A modellezett paramétere: A hullámhossz váuumban: 0 = 633 nm, a özeg anizotróp, optiailag egtengel, a ét fajta törésmutató: n o =.59 és n e =.41. Az optiai tengel az -z síban fe- 4

25 szi, a z-tengelhez viszonított szöge: = 3. A fénnaláb Gauss-naláb, a nalábderé sugara: W 0 = 46.7 m, a nalábderé a ölcsönhatási térfogat ezd síjában helezedi el. A számolt térfogat mérete: L = 0.8 mm, L = 0.4 mm, L z =.5 mm, amele rendre az, és z iránú iterjedése. A feltételezett törésmutató tenzor eloszlás (r) ideális síhullám: ( r) A sin( K ), 0 ahol A = , és a TeO esetén a níró iránú ausztius hullám által eltett törésmutató tenzor irán : Az ausztius hullámhossz a hullámvetorral ifejezve: /K = m. Amibl a Klein-Coo paraméter: Q = 54. Mint látható, néhán szabadon választható menniség nem ere számúna van megadva (W 0, A és /K). Enne az az oa, hog az ilen mennisége származtatotta, az eredeti mennisége ausztooptiai szempontból fontosabba (pl. F, a hang frevenciája), azonban az itt tárgalt optiai modell esetén az eredeti mennisége nem relevánsa. A továbbiaban uganíg szerepelne majd nem ere számú paramétere, amele elvileg szabadon választhatóa volnána. (A [, 3] cieben is eze a paramétere szerepelne.) A számolás geometriája ésbb a 6. ábrán is látható. A féndiffració a z-tengel mentén ábrázolva A. ábrán látható a z oordináta függvénében a fén terjedéséne a diffraciós rendjei. Az (a) esetben a számolás 100 lépésben történt, míg a (b) esetben 500 lépésben. A beesési szög 0.75, ami az adott beállítás esetén özel esi a Bragg-szöghöz. A orábban felsorolt elméleti ellenrzési elve özül az els, az energiamegmaradás onvergenciája látható az ábráon. Bár pontosan nem teljesül az energiamegmaradás, a felosztás növelésével onvergál az ideális onstanshoz az összteljesítmén a számolási iránban. A számolás,, és z szerint rendre N, N, és N z egész számora történi. A számolási id arános az N N N z szorzattal. D számolás esetén N = 1. Ha a hang töéletes síhullám, és az ausztius hullámvetor (K) az -z síba esi (ami soszor igen jól teljesül), aor a D számolás igen pontos. Tipius 3D felosztás: N = 10, N = 6 és N z = 500. Eor a futtatás eg dual-core intel 3GHz-es processzorral b. 10 másodpercig tart. 5

26 A felosztás finomításáról. Az összintenzitás változásából látható, hog a onvergencia nem töéletes. Az a tapasztalat, hog a felosztás (N z ) -os növelése éppen isebb hibát ooz a összintenzitás változásban. A [] ciben részletesen elemzem, hog bár az energiamegmaradás hibája érzéelhet, mégis, a diffraciós hatásfo I diff ( z) gorsan onvergál. Az intenzitás hibájána részletes elemzése a 8. ábrán jól I ( z) látható. A 31. oldalon indoolom, hog miért lehet fordítottan arános apcsolat a számolás hibája és a felosztás özött (nag N z esetén). (a) (b). ábra. A diffratált rende a z oordináta függvénében. Az intenzitás a ezdeti intenzitáshoz viszonított aránban szerepel. A számoláshoz használt felosztás lépéstávolsága (a) 5 m és (b) 5 m 6

27 A valós- és a -térbeli intenzitás-eloszláso A 3. ábrán a ezdeti (z = 0) intenzitás-eloszlás látható a hel függvénében. 3. ábra. A ezdeti (z = 0) intenzitás-eloszlás látható a hel függvénében, (a) a teljes számolási tartománon, (b) a folt örnezetére nagítva (a) 7

28 (b) (c) 4. ábra. A ezdeti (z = 0) intenzitás-eloszlás látható a -síon (a), a végs (z = L) intenzitás-eloszlás látható nulladrendben (b), elsrendben (c). Az intenzitáso egsége tetszleges, csa az egmáshoz viszonított értée relevánsa A 4. ábrán a ezdeti (z = 0) és végs (z = L) intenzitás-eloszlás látható a -síon. Megfigelhet, hog ha az elsrendet a K vetorral eltolju és hozzáadju a nulladrendhez, aor nagjából a ezdeti eloszlást apju meg. Mindez jól egezi a bevezetben említett, d = i K összefüggés alapján várttal. A 4. (b) ábrán megfigelhet az úgnevezett iürülés (depletion) jelensége, amior a naláb özepe jobban, míg a ét széle evésbé diffratálódi. A számolásoból egértelmen adódi, hog csupán az elsrend diffració jelen- s, a másodrende elenésze. Mindez szintén jól egezi a váraozással, miszerint eora Klein-Coo paraméter esetén (Q = 54) a diffració a Bragg-tartomán szerint viseledi (lásd bevezet). A övetez példában a hanghullámhosszat tízszeresére változtattam, és az egszerbb ábrázolás végett a L, L és W 0 értéét háromszorosára növeltem, íg a Klein-Coo paraméter: Q = 0.54, továbbá = -1,34. Az 5. ábrán jól látható, hog ezúttal magasabb rend diffració is megjelenne, azaz a Raman-Nath tartomán szerint történi a diffració. 8

29 5. ábra. A terjed fén intenzitása látható a z = 4 mm síban (a), illetve a z oordináta függvénében (b). A (b) ábrán a pontozott vonal jelöli az (a) ábra helét. A Klein-Coo paraméter század aora, mint a 4. ábrán, ezért több diffraciós rend jeleni meg. Az intenzitás egsége tetszleges Az 1. módszer továbbfejlesztése, hog a onvergencia gors maradjon tetszleges ristálorientáció esetén. módszer A bemutatott eljárás (1. módszer) részletes elemzése eg hiánosságot mutat: adott pontosság eléréséhez a szüséges számolási felosztás megn anizotrop özegben bizonos eseteben, azaz lecsöen a onvergencia sebessége. A probléma feloldásához a (46) helett E i fourier-transzformáltját ét ülönböz fázistagú omponenssel özelítem: 9

30 ~ E ( i, c b z ep( i z) c b z ep( i z), z) E E. (56) io ie o o ( oz az ordinárius- és ez az etraordinárius hullámvetor z omponense. oz, c o, b o, ez, c e és b e a (, ) függvénei.) E io egenl az (56) egenlet jobboldalána els tagjával. A hullámegenlet orábban használt (49) alaja: E E M ( ), i 0 B i r Az (56) bevezetése miatt M(r)-t másépp ell felírni. A hullámegenlet (56)-tal történ megoldásához M(r)-t is ét összetevént özelíem, eg ordinárius és eg etraordinárius fázistaggal: ~ ~ M o M e ~ ~ M (,, z) M o ep( iozz) M e ep( iezz) epi ( ) d d 4 z icsi ~ ~ M oz M ez (57) Az (57) egenlet jobboldalána els tagját jelölje M o, a másodiat pedig M e : M = M o +M e. (58) Bár az (56) formula evidensne tnhet, az igazán fontos része az ötletne az az, hogan lehet E i -t a peremfeltételehez illeszteni. Nevezetesen, hogan lehet M(r) térfrevencia omponenseit pratiusan a ét ülönböz fázistagú M o és M e összegere bontani. E h felosztása triviális, azonban M(r) tartalmazza a (r) tenzort, ami viszont függ a helvetortól! M o és M e meghatározásához (illesztéséhez) ét vetor egenlet szüséges. Eze a övetez: az (51) és (57) egenlete baloldalána egenlsége a (59) z = 0-ban, az (51) és (57) egenlete baloldalána z-szerinti parciális (60) deriváltjána egenlsége a z = 0-ban. Ahog E i egedül M-bl erül meghatározásra, hasonlóan E io és E ie is csa a rendre azonos inde M o és M e -tl függ, azaz E io és E ie egmástól függetlenül számolható! Mivel az (57) z-ben nullad- és elsrendben pontos, ezért az (54) egenlet pontosan számolható, azaz az E i,c ezúttal pontosan meghatározható a térfogatból, a peremfeltételbl elegend csupán az ordinárius és etraordinárius polarizációjú tér (E h ) számolása. Íg az (56) és (57) egenleteet (49)-be és (54)-be helettesítve értéet apun b o, b o, b oz, b e, b e, b ez, c o és c e paraméterere minden (, ) esetén, ezáltal E i -t sierült meghatározni. /A c iránát a (48) egenlet definiálja, csa a hossza ismeretlen./ oz e e ez 30

31 Bár a peremfeltétel illesztéséhez nincs szüség se b z -re, se a c vetorora, mégis szüséges a használatu a hullámegenlet onzevens számolásához a térrészben. Az (57) egenlet tehát illesztés eredméneént áll el, amel a számolt térre másod- és magasabb rendben soal isebb hibát ad, enne a övetezméne, hog a onvergencia sebesség nem csöen le semeli esetben. A onvergencia sebességét értelemszeren a legnagobb hibatag mértée határozza meg, jelen esetben ez az (51) egenletben az E i,b tag elhagásából adódó z-ben másodrend hiba. Ez azért nem csöenthet tovább, mert ugan iterációval például pontosítható volna eg lépés hibája, de aor módosítani ellene az (56) özelítést is, hog z-ben magasabb rend tagoat is tartalmazzon. Ez valójában igencsa elbonolítaná a módszert. Adott számolási hosszon (L) a tartománt egenöz felosztással n részre osztva, továbbá feltételezve, hog az íg apott lépéstávolság (L/n) icsi annira, hog a hiba már arános (L/n) -tel, aor az n darab lépés összes hibáját összeadva (L/n) nagságrend lesz. Látható tehát, hog ha a számolási lépése hibája összeadható, aor a z- ben másodrend hiba a teljes L tartománon a felosztással (n) fordítottan arános hibát eredménez, megfelelen nag n esetén. Az elemzés azt mutatja, hog ezzel az általánosítással a modell tetszleges iránú ausztius hullám esetén már gorsan onvergál. Az inhomogén anizotrop hullámegenletet aor is pontosan számolja a modell, amior a ülönböz polarizációjú hullámo (ordinárius, etraordinárius) terjedési sebessége eltér (ha a terjedés irána az optiai tengellel nagobb szöget zár be). A orábban bemutatott ellenrzésehez hasonlóan, ez esetben is ritius fontosságú volt a szimuláció helességéne folamatos leellenrzése. Mivel az els és másodi módszer csa a onvergencia sebességében tér el, ezért az egmáshoz való onzisztenciáju önnen ellenrizhet: uganazon bemen paramétereel történ számoláso esetén az eredménne is meg ell egeznie. Egúttal, néhán ellenrz elv által, további példáon mutatom meg a szimuláció váraozás szerinti viseledését. Szimulációs eredméne A modellezett paramétere: A hullámhossz váuumban: 0 = 633 nm, a özeg anizotróp, optiailag egtengel, a ét fajta törésmutató: n o =.59 és n e =.41. Az optiai tengel az -z síban feszi, a z-tengelhez viszonított szöge: = 9. A fénnaláb Gauss-naláb, a nalábderé sugara: W 0 = 08.6 m, a nalábderé a ölcsönhatási térfogat ezd síjá- 31

32 ban helezedi el. A számolt térfogat mérete: L = 1. mm, L = 0.6 mm, L z = 30 mm, amele rendre az, és z iránú iterjedése. A beesési szög: = 8,8. A feltételezett törésmutató tenzor eloszlás (r) ideális síhullám: ( r) A sin( K r), ahol 0 A = , és Az ausztius hullámhossz a hullámvetorral ifejezve: /K = m. Amibl a Klein-Coo paraméter: Q = L z K / = 650. A K vetor is az -z síban feszi, az - tengellel = 6 szöget zár be. A számolás sémája a 6. ábrán látható. 6. ábra. A számolás geometriája. A ferde csío szimbolizáljá az ausztius síhullámot. Minden feltüntetett vetor az -z síban feszi, az -tengel merleges az ábra síjára. A beesési sí párhuzamos az - síal. K a jelöli az ausztius hullámvetort, e opt.t. az optiai tengel iránát. jelöli a ezdeti hullámvetor szögét a z tengellel, az optiai tengel szögét a z tengellel, továbbá jelöli az ausztius hullámvetor és az tengel által bezárt szöget. A továbbiaban ismertetem az els és másodi módszer összehasonlítását a onvergencia szempontjából. A ezdeti fénnaláb hullámvetora ielégíti a Braggfeltételt. Mindét módszer esetén eg nag (30 mm /0 000 lépés) és eg jóval isebb (30 mm/1000 lépés) felosztással számolt diffraciós hatásfo-görbe látható a 7. ábrán. Az (a) ábrán a is felosztású számolás szerepel. Látható, hog az els módszer itt mennivel rosszabb eredmént ad, uganaor a (b) ábrán, a nag felosztású megoldáso annira jól egezne, hog a megfelel görbé az ábrán fedi egmást. Egéb paraméter beállítás esetén is uganez a tapasztalat adódi, a másodi módszer soal gorsabban onvergál, míg megfelelen nag felosztás esetén a ét módszer eredméne megegezi. 3

33 (a) (b) 7. ábra. Az AO diffració számolásaina összehasonlítása látható az els- és a másodi módszer használata esetén. (a) a lépéstávolság: d = 30 m, (b) d = 1.5 m. I nd : nem diffratált intenzitás (nulladrend), I d : diffratált intenzitás (elsrend), I: összintenzitás. A 7. ábrát szemlélve felvetdi a érdés, hog hog miért elég ennire látvános onvergencia eléréséhez a fén hullámhosszánál soal nagobb hossziránú lépésöz? A (46) illetve (56) egenlete f elne, hog a z-szerinti s oszcillálást az eponenciális tago hordozzá, amelhez a b és c vetoro egfajta burológörbét jelentene (az egdimenziós függvéne szóhasználatával élve). Emiatt lehetvé váli a hullámhosszat meghaladó lépéstávolság esetén is a ielégít pontosságú onvergencia. A onvergencia sebesség gaorlati vizsgálatához érdemes elemezni az összintenzitás változását. Csa a Mawell-egenlete pontos megoldása esetén várható el bizo- 33

34 nosan az energiamegmaradás teljesülése. Amenniben az összintenzitás nem állandó, aor az eltérés számolása segítheti a onvergencia becslését. Bevezete eg R I salár menniséget, amel az eltérése abszolút értéét integrálja a szimuláció során: R I 1 I L 0 0 di dz N = dii / I0 i1, (61) ahol I 0 a ezdeti összteljesítmén, di i pedig az i. lépésben az összintenzitás változása. A 8. ábrán R I -t az egenöz lépéstávolság függvénében ábrázoltam (a lépéstávolság fordítottan arános az N felosztással). A fénterjedés paraméterei nem változta. Adott felosztás mellett az els módszer használata esetén az R I értée többszöröse anna, mint a másodi módszer számolása esetén. A másodi módszerrel R I lineárisan változi a lépéstávolság függvénében (ha a nullad- és elsrend z omponense icsit tér el, aor az els eset is lineáris). Az els módszer megoldásnál mindez jó özelítéssel eg hiános másodfoú függvén: (ad+b)d (d a lépéstávolság) és b > ábra. Az R I menniség értée a lépéstávolság függvénében az els- és a másodi módszerrel számolva. A ollineáris terjedés számolása A ollineáris AO ölcsönhatás esetén a fén és a hang hullámvetoro is szöget zárna be, eor várható a leglassabb onvergencia (mivel a törésmutató eloszlás gorsan változi a számolási iránba, és a sajátpolarizáció terjedési sebessége jelen- sen ülönbözi), ezért itt ülönösen érdees a onvergencia mértée. A számolási paramétere eg része változi csa meg az elehez épest, eze a övetez: 34

35 A beesési szög.6, az optiai tengel az -tengellel párhuzamos. A számolási hossz, L z =.5 mm,. A feltételezett törésmutató tenzor eloszlás amplitúdója: A(r), ahol A = , és Az ausztius hullámhossz a hullámvetorral ifejezve: /K = 4.14 m, a Klein- Coo paraméter: Q = 58. A K vetor a z-tengellel párhuzamos. A megadott paramétereel teljesül a Bragg-feltétel. A 9. ábrán a ollineáris paraméter diffraciós hatásfo látható a számolási távolság függvénében, a ét eltér módszerrel számolva. Háromféle egenöz felosztással végeztem számolást, eg viszonlag nag lépéstávolsággal (NLF,.5 mm-en 500 lépésben), és ét lénegesen isebb lépéstávolsággal:.5 mm-en 8000 (KLF) és lépésben (KLF). Míg a másodi módszer esetén már a is felosztás is jól özelíti a nagobb felosztású számolást ((a) ábra), addig az els módszerrel csa a legnagobb felosztás ad jó özelítést. Ezúttal is csa a onvergencia sebességében mutatozi ülönbség, de abban jelents az eltérés. (a) 35

36 (b) 9. ábra. A ollineáris AO diffració számolásaina összehasonlítása látható a másodi- (a) és az els módszer használata esetén (b). Az NLF (nag lépéstávolságú felosztás) esetén a lépéstávolság, d = 5 m, KLF esetén (is lépéstávolságú felosztás) d = 0.31 m, és KLF-nél (legisebb lépéstávolságú felosztás) d = m. I nd : nem diffratált intenzitás (nulladrend), I d : diffratált intenzitás (elsrend), I: összintenzitás. Konlúzió Az els tézispontban elsént a homogén, anizotróp özegben történ fénterjedés pontos számolására hoztam létre eg numerius módszert. A módszer fontos elne, hog tetszleges lépéstávolságra egetlen lépésben számolja a téreloszlást (amenniben teljesül az (, )-ra vonatozó periodius határfeltétel). Ezt öveten ét módszert mutattam be arra az esetre, ha a özeg enhén inhomogén (az AO ölcsönhatásra jellemz módon). A numerius módszere által számolt megoldás pontosan ielégíti a Mawell-egenleteet (amenniben a lépéstávolság tart nullához), ezáltal eg egészen egedülálló megoldó módszert hoztam létre az AO ölcsönhatás számolására. Nem történt olan özelítés, ami a megoldás pontatlanságát eredménezné. Nem szorítoztam a paraiális özelítésre, a diffració mértéére sincs fels orlát. Az eljárás a vetori hullámegenletet oldja meg, tehát salárözelítés sem történi. A ristál orientációja is tetszleges lehet. Az inhomogén esetet számoló els módszer elne, hog b. fele aora a mveletigéne. Hátrána a onvergencia sebességével van abban az esetben, amior az eredeti és a diffratált rende hullámvetoraina z omponense jelentsen eltér, és nagobb szöget zárna be az optiai tengellel. Ez azt jelenti, hog bár a pontos megoldáshoz onvergál az eljárás, de a szüséges z-tengel szerinti minimális felosztás nagságrendeel megnöveszi és uganíg a szüséges számolási id is. Izotrop esetben ez nem fordul el, eor a onvergencia mindig gors marad. 36

37 A másodi módszer igen hatéonan üszöböli i az els módszer hiánosságát. Az elemzés és a futtatáso azt mutatjá, hog ezzel az általánosítással a modell tetszleges iránú ausztius hullám esetén már gorsan onvergál. A onvergencia nag sebessége nem meg a orábban felsorolt általánosság és pontosság rovására, továbbra sincs szüség paraiális vag egéb özelítésere. Bár a modell elssorban az AO ölcsönhatás számolására jött létre, bármel más jelenség esetén, ahol teljesül az enhe inhomogenitás feltétel, és nem jön létre refletálódó naláb, ott a fénterjedés szimulációjára jól alalmazható, legen az inhomogenitás aár holografius, termius vag például émiai eredet. 37

38 . tézispont az AO fénterjedés modellezése II. Az els tézispontban vázolt módszert továbbfejlesztettem, arra a nag gaorlati jelentség esetre, ha a vizsgált özeg optiailag atív. A numerius módszer ez által az AO ölcsönhatásban a fén terjedését pontosan, gorsan és igen általánosan tudja számolni. A továbbfejlesztés nem csa azért releváns, mert a szairodalomban gaorlatilag hiánzi az optiai ativitás és az AO ölcsönhatás egüttes tárgalása, hanem azért is, mert az ativitás érdemben befolásolja a diffratált intenzitást, és az AO eszözö többségében a özeg optiailag atív. A tézisponthoz apcsolódó publiáció: [3] 38

39 A módszer általánosítása arra az esetre, ha a vizsgált özeg optiailag atív Az eddig bemutatott numerius módszere célja a (15) és (31) egenleteel definiált probléma megoldása. Azonban az AO özegne használt anago özül több optiailag atív, íg azoat a (15) egenlet nem írja le pontosan. Ilen anag például a leggarabban alalmazott TeO ristál is. A (18) egenlet felhasználásával a hullámegenlet pontos alaja eor: ( E ) ( r) E ( g ) E 0, (6) 0 0 Látható, hog az egenlet még összetettebbé vált. Fontos tén azonban, hog a g tenzor helfüggetlen és értée igen icsi: g (r). Perturbációs megoldás a (6) hullámegenletre Elsént a legézenfevbbne adódó módon, úg oldottam meg a feladatot, hog a plusz tagot perturbációént vettem figelembe, hasonlóan az inhomogenitást leíró taghoz. Az (51) egenlet új alaja: g E h ( r Ei, c g Ei c M ( r) 0 ( r) E h 0 0 ) 0,. (63) Az egenlet adott síhullám esetén tovább alaítható: h ~ i r ~ i r g E he 0 ( r) Ei, c i 0 g E i, ce M ( r) ( r) E i 0 0. (64) A másodi és negedi tag eresztszorzatot tartalmaz, amelet mátriszal lehet helettesíteni. A helettesítés mátria legen g ': [ g ], (65) azaz g' v = ( g )v, tetszleges v vetorra. (66) Íg adódi: ~ ~ ( i r i r M r) 0 ( r) E h i0 g E he 0 ( r) Ei, c i 0 g E i, ce, (67) 39

40 Íg tulajdonéppen étféle tag adódi: eg r-tl, és eg -tól függ. Ez utóbbi nem ooz többlet nehézséget, mivel a számolás során úgis minden lépésben át ell térni ~ az M (, ) felírásához a (, ) síba. Íg néhán átalaítással a probléma visszavezethet az eredeti feladatra. Ezzel az új, optiai ativitást leíró tagot mint perturbációt vettem figelembe. A módszer egetlen hátrána, hog a növev perturbációs tag lassítja a onvergenciát. Azaz uganaora pontossághoz nagobb felosztás szüséges, több számolás (ahhoz épest, mintha nem lenne ativitás). Ha nincs jelen hanghullám ( ( r) 0 ), aor is szüség van a z-tengel szerinti felosztásra, amel szerinti lépéseben számol a modell (míg orábban ezt egetlen lépésben lehetett számolni). Gorsított megoldás a (6) hullámegenletre Látható, hog a giráció tenzor nem függ a heloordinátától. Felmerül tehát a ganú, hog homogén esetben vajon számolható-e eg lépésben pontosan, adott d távolságra lev síban a tér eloszlása, ahol d nem infinitezimális. A megoldandó egenlet eor: ( E ) E ( g ) E 0 (68) h 0 B h 0 h Továbbra is síhullámo összegeént eresem a megoldást. Egetlen síhullám esetén: E E ep( ir). A homogén hullámegenlet ~ íg: h h ~ ~ ~ E E i ( g ) E 0 (69) h 0 B h 0 h (39)-hoz hasonlóan z -t most is és függvéneént ellene megapni. A (69)-et olan alara lehet, rendezni, amel eg 33-as mátri és E ~ h vetor szorzata, és a mátri másodrendig tartalmazza a hullámvetor elemeit: T T ~ ( ) I 0 B i0 g' E h 0, (70) ahol I az egségmátri, és g' a (65)-ben bevezetett, vetorszorzásból épzett mátri ala. Az egenletne aor van nem triviális megoldása, ha a mátri determinánsa nulla. Adott és esetén egedül z ismeretlen, íg a feltétel z -ben negedfoú egenletre vezet. Az egenlet nég göe adja az elre és hátra haladó ét-ét saját polarizáció hullámvetorána z omponensét. A sajátpolarizáció iránát is a (70) egenletbl lehet meghatározni, z adott értéét visszahelettesítve az egenletbe a zárójeles rész sajátvetora adja a eresett menniséget. A sajátpolarizáció nem azonosa a ettstör ristálonál definiált ordinárius és etraordinárius polarizáció- 40

41 al: a sebességü az optiai tengellel párhuzamosan terjedve enhén eltér, és cirulárisan polárosa ellentétes forgásiránnal, ez a magarázata az úgnevezett polarizáció-forgatásna. Ha a haladás irána az optiai tengellel szöget zár be, aor a sajátpolarizáció elliptiusan polárosa (nag szög esetén özel lineárisan polárosa). A sajátpolarizáció elnevezésére az ordinárius és etraordinárius helett rendre 'a' és 'b' polarizációat használom. Az els tézispontban szerepl levezetés a homogén özegben történ fénterjedésre aadál nélül általánosíthatóvá vált az optiai ativitás esetére, mivel minden menniség uganúg elállítható és függvénében. A tér tehát ~ ~ ~ E (, ) E E h a b ~ : E a e a ~ E e b b alaban számolható a (43) egenletne megfelelen, az 'o' és 'e' indeeet felváltja rendre az 'a' és 'b'. A f ülönbség, hog az elliptius polarizáltság miatt az e a, e b iráno omple vetoro leszne, ami nem ooz nehézséget. Íg sierült gorsítani az optiailag atív, anizotrop, homogén özegben a fénterjedés számítását, mindez egetlen lépésbl áll, nincs szüség a már ismert perturbáció-számításra (homogén özegben). Az inhomogén özegben való fénterjedés számolásánál ezúttal is ihasználom, hog a homogén özeg terjedés már megoldott. Hasonlóan a orábbi esethez, amior a özeg nem volt atív, lénegében uganazt a perturbációs módszert alalmazom. Az ordinárius és etraordinárius polarizáció helett itt is az a és b sajátpolarizációat használom a perturbációban, a számoláshoz ez esetben tehát a b a, b b, c a és c b egüttható-vetoroat érdemes bevezetni, melene a meghatározása jelenti a hullámegenlet megoldását: ~ E ( i, c b zep( i z) c b z ep( i z) (71), z) E E. (7) ia ib a Az ativitást leíró tagot beírva a hullámegenletbe adódi, hog: E E ( g ) E M ( ) i 0 B i 0 i r a, (73) ahol M(r)-re az (51) egenlet érvénes. A hullámegenlet divergenciájára adódi, hog: ( ) 0 g B E i 0 E i M ( r). (74) A (49) és (54)-bl álló egenletrendszert ezúttal a (73) és (74) egenlete helettesíti. az b b bz 41

42 A (7), (73), (74) és (51) egenleteet behelettesítve (57)-be adódna a b és c paramétere értéei (az (57) egenletbe is a, b indeelést használva e, o helett). A c vetoro iránát eddig az e o és e e iráno által ifeszített sí merlegese adta, jelen esetben e c e a e b, ami omple egségvetorora is orret definíció. Íg végül értéet apun b a, b a, b az, b b, b b, b bz, c a és c b paraméterere minden (, ) esetén, ezáltal E i -t sierült meghatározni. Az egenletrendszer, a hullámvetoro és a polarizációs iráno megváltozta, mégis minden uganúg számolható, mint az el fejezetben lett bevezetve. Bár az inhomogenitás a orábbiahoz hasonlóan perturbációs módon van figelembe véve, az ativitás azonban nem. Ezért az optiai ativitás jelenléte nem lassítja le a szimulációt, és íg lénegesen gorsabb, mint az els megoldásom uganerre a problémára. Uganaor sierült az összes jó tulajdonság megrzése, mint a pontosság és nag onvergenciasebeség. Az AO ölcsönhatás szimulációja optiailag atív özeg esetén A szimuláció futtatásához az els lépés a g tenzor értééne a meghatározása. A özeg továbbra is TeO, az optiai hullámhossz 633 nm. A szairodalomban nem találtam hiteles adatot a g tenzorra, csupán a optiai forgatásra. A g tenzor az dieletromos tenzorhoz hasonlóan szimmetrius, pozitív definit 33-as mátri, azaz tengel-transzformációval diagonális alara hozható, ahol a fátló ét független elemet tartalmaz: (g 11, g 11, g 33 ). A vizsgálataimból az az érdees tapasztalat adódott, hog a g 33 -mal szemben g 11 értée egáltalán nem befolásolta a fénterjedést, ivéve, ha az utóbbi értéét több nagságrenddel megnöveltem (ami fiziailag nem reális). Enne oa a övetez. A síhullám fénterjedés optiailag atív, homogén özegben a (70) egenlet alapján számolható. A g tenzor nagságrendeel isebb B -nél, tulajdonéppen az a furcsa, hog egáltalán létezi bármilen mérhet hatása. A (70) egenlet zárójeles részéne determinánsát nullává téve (ami a sajátpolarizáció meghatározásához szüséges), a g 33 ad elsrend járuléot, g 11 -ne viszont csa magasabb rend hatvána jeleni meg, ami ezért elhanagolható. Ezért a továbbiaban g 11 értéét nullána teintem, és íg g 33 értée már egértelmen ifejezhet az optiai forgatásból, g 0 33, (75) ahol 0 a fén hullámhossza váuumban. Az optiai forgatás,, fiziailag azt jelenti, hog egségni vastagságú, párhuzamos falú özegben, ahol az optiai tengel merleges a falara, továbbá a terjedés is merleges az oldalara, a bees lineárisan polá- 4

43 ros nalábhoz épest a ilép polarizáció meora szöggel fordul el (radiánban ifejezve). A szairodalomban értéére (TeO, 633 nm) a övetez menniségeet találtam: 87, 86.9 és Ezebl önénesen a leghitelesebbne vélt 86.9 értéet választottam i, amihez a g 33 = érté adódi. További szimulációs paramétere Ismét csa azoat a paramétereet adom meg, amele eltérne a fejezet els példájában használtatól. A beesési szög 1.70, az optiai tengel az -z síban feszi, a z-tengellel 3 szöget zár be. A ezdeti polarizáció ordinárius, a számolási hossz, L z = 5 mm. A feltételezett törésmutató tenzor eloszlás amplitúdója: A(r), ahol A = , és Az ausztius hullámhossz a hullámvetorral ifejezve: /K = 9.09 m, a Klein- Coo paraméter: Q = 108. A K vetor az -tengellel párhuzamos. Az optiailag atív özeg AO ölcsönhatás számolására a ét fajta módszer által apott eredméneet összehasonlítom, az összehasonlításhoz uganazoat a ezdeti értéeet adom meg. A mérésben önnen létrehozható, lineáris polarizációjú ordinárius és etraordinárius polarizáció-eloszlásoat ado meg a bemenetne az a és b polarizáció helett. (A gorsított megoldó módszer esetén a ezdeti teret a és b polarizációs felosztásra transzformálom.) A 10. (a) ábrán az optiai ativitás nélüli AO ölcsönhatás intenzitásviszonai láthatóa a z-tengel függvénében. A diffraciós hatásfo 80% fölötti. A 10. (b) és (c) ábráon uganaz minden beállítás, ivéve, hog az optiai ativitás tagot is számolja a szimuláció. A (b) ábra a perturbációs módszerrel, míg a (c) ábra esetén a gorsított módszerrel történi az ativitás számolása. Mindét ábrán étféle felosztással történt a számolás: eg nag lépéstávolságú- (NL, d = 5 mm/100), és eg özepes lépéstávolságú felosztással (NL, d = 5 mm/400, a nag lépéstávolság a hiba szemléltetéséhez ellett). Jól látható a (c) ábrán, hog a gorsított módszer esetén már a is felosztás is igen jól özelíti a pontos megoldást, míg a perturbációs módszer esetén (b) ez nem mondható el. Végül a (d) ábrán egszerre látható mindét módszerrel számolt megoldás, a felosztás is lépéstávolságú (KL, d = 5 mm/1600). Látható, hog a felosztás növelésével a ét módszer egazon eredménhez onvergál, és hog a gorsított módszer onvergenci- 43

44 ája gorsabb. Az utóbbi módszer elne még jelentsebb, ha az inhomogenitás is mérté, illetve, ha a ristál hossza nagobb. (a) (b) (c) 10. ábra. Az optiai ativitás számolásána összehasonlítása a perturbációs módszerrel (PM, (b) és (d)) és a gorsított módszerrel (GM, (c), (d)) nag, özepes és is lépéstávolságú felosztásoal (NL, NL, KL). I nd : nem diffratált intenzitás (nulladrend), I d : diffratált intenzitás (elsrend), I: összintenzitás. NL: d = 50 m, NL: d = 1.5 m, KL: d = 3.15 m. Az egszer példán eresztül megmutattam, hog a ét ülönböz matematiai módszer uganazt a végeredmént adja, ami az el fejezetben elmondotta alapján fontos ellenrzési lehetsége nem is elssorban az elméletne, mint inább a precíz programozásna. A onvergencia és pontosság érdésén túl, fontosna tartom iemelni azt az egértelm tapasztalatot, ami a 10. (a) és (d) ábrá összehasonlításából jól látható, hog az optiai ativitás érdemben befolásolja a diffració mértéét! (d) Az optiailag atív özeg esetén a diffraciós hatásfo vizsgálata a beesési szög és a z oordináta függvénében A 11. (a) ábrán a diffraciós hatásfo látható a beesési szög és a z oordináta függvénében. A özeg nem optiailag atív, a iinduló naláb polarizációja 44

45 ordinárius. A maimális diffraciós hatásfoo a Bragg-szöge esetén adódna (az ábrán feete foltonos vonallal jelölve), ami fontos eredmén, az els fejezetben említett ellenrz elve egie erre vonatozi. A 11. (b) ábrán minden bemen paraméter uganaz, azzal a ülönbséggel, hog a özeg optiailag atív. A 10. ábrához épest itt talán még szembetbb az optiai ativitás hatása. Megváltozta a maimumo értéei és a hozzáju tartozó beesési szöge is. Ez utóbbira egszer magarázat, hog a () Bragg-feltétel megváltozott, mivel a a és b sajátpolarizációs hullámvetoro nem azonosa a orábbi uganilen o és e menniségeel, tehát a Bragg-feltételne továbbra is eleget tesz a számolt tér. A 1. (a) ábrán ábrázolom a 11. ábrá z oordináta szerinti maimumát, azt az esetet is ábrázoltam, ha a ezdeti polarizáció etraordinárius. A 1. (b) ábrán már csa az atív özeg maimális diffraciós hatásfoai látható. A 1. ábrán megfigelhet, hog nolc ülönböz szög esetén adódi maimuma a görbéne, ami egértelmen azzal hozható összefüggésbe, hog a megfelel sajátpolarizáció ezúttal saját maguba is tudna diffratálni! Bár a diffració mértée isebb, gaorlati jelentsége ezért cseélebb, de a fent idézett szairodalomban például [6-56] nem találtam erre utalást, pedig a mérésben mindez jól mérhet (lásd 4. tézispont, 18 és 19. ábrá), és fontos segítséget jelentett a ristál-orientáció pontos meghatározásánál. (a) 45

46 (b) 11. ábra. A diffraciós hatásfo látható a beesési szög és a z oordináta függvénében. Az (a) esetben a özeg nem optiailag atív, (b) esetben igen. A bees naláb mindét esetben tisztán ordinárius. A feete görbe vonal jelöli Bragg-szöge esetén a diffraciós hatásfoot, a Bragg-szögeet a () egenletbl számoltam. A Bragg-szöge számolásánál az optiai ativitást nem vettem figelembe. (a) 46

47 (b) 1. ábra. A maimális diffraciós hatásfo a beesési szög függvénében (a maimális értée a 0 z 5 mm tartománra vonatozna). Az (a) ábrán a függleges foltonos vonal jelöli a Bragg-szögeet, ha az optiai ativitás nincs figelembe véve, a függleges pontozott vonal, ha az ativitás is figelembe van véve a () egenlet megoldásánál. A (b) ábrán a függleges foltonos vonal jelöli a Braggszögeet, ha a diffraciós átmenet más sajátpolarizációba történi (ab, ba), függleges pontozott vonal pedig, ha a naláb azonos sajátpolarizációba diffratálódi (aa, bb). Konlúzió A másodi tézispontban az els tézispont fontos továbbfejlesztését mutattam be és teszteltem algoritmiusan. A továbbfejlesztéssel a módszer az optiai ativitást is számolni tudja. Amenniben a özeg homogén, úg egetlen lépésben számolható a téreloszlás a ezdeti sítól L távolságban lev síban; ha a özeg inhomogén, aor az els tézispontnál elmondotta igaza maradna: az ativitás számolása nem ooz sem lassabb onvergenciát, sem isebb pontosságot. A továbbfejlesztés által a numerius módszer az AO ölcsönhatásban a fén terjedését pontosan, gorsan és igen általánosan tudja számolni. Az optiai ativitás pontos számolása fontos, mert az AO ölcsönhatást érdemben befolásolja, amint a bemutatott példá alapján ez jól látható, továbbá, mivel a leggarabban használt ölcsönhatási özeg, a TeO optiailag atív. A szairodalomban nem találtam olan munát, amel aár egszerbb tárgalás mellett egszerre vizsgálná az AO diffraciót és az optiai ativitást. 47

48 3. tézispont a fén töréséne vizsgálata AO ristálban Eg olan numerius módszert dolgoztam i és teszteltem algoritmiusan, amel a Mawell-egenleteen alapuló féntörést számolja arra az esetre, ahol a fén be- és ilépési síja párhuzamos. A módszer elne ezúttal is a nag pontosságú, gors és igen általános számolás, amihez hasonló nem található a szairodalomban. Az általánosság uganazt jelenti, mint az el tézisponto esetén. A módszert továbbfejlesztettem arra az esetre is, ha a be- és ilép felületeen párhuzamos, homogén véonrétege helezedne el. A numerius módszer segítségével eg ísérleti módszert mutattam be az optiai ativitás pontos mérésére. He-Ne lézert alalmazva (633nm) az optiai forgatás menniségét, illetve anna egfajta szórását publiáltam TeO -ra, megmutattam, hog a módszer alalmas az inhomogenitás egfajta mérésére. Mind ísérlettel, mind a szimuláció segítségével megmutattam, hog párhuzamos falú TeO ristál esetén (amel optiailag atív és anizotrop özeg) az áthaladó lézernaláb intenzitása flutuál a beesési szög függvénében. A tézisponthoz apcsolódó publiáció: [4] 48

49 Bevezetés Az els ét tézispontban bemutattam az AO ölcsönhatás esetén a fénterjedés részletes numerius modelljét. A teljes optiai modellhez szüséges még a fén töréséne a számolása a be- és ilép felületen. Ezúttal is a célitzésem az általános esetre vonatozó és a Mawell-egenleteen alapuló pontos számolás. A utatás f célja az AO ölcsönhatás szimulációja, amihez minél többféle ísérleti ellenrzés alalmazására töreedtem. Az AO eszözö anaga leggarabban a TeO, amel optiailag atív, azaz polarizáció-forgató. A féntörés számolása Ebben a fejezetben bemutatom a iapcsolt AO cella polarizáció-forgatására vonatozó elméleti és ísérleti vizsgálataimat. A számolás továbbra is a Fourier-optiára alapul, mind a törés, mind a fén terjedése a Mawell-egenleteetet számolja. Továbbra sincs szüség a paraiális özelítésre, továbbá a bees naláb is általános lehet, nem csa egetlen síhullám, például Gauss-naláb. A ristálon a fén be- és ilépési felülete párhuzamosa. A ristál anizotrópiája tetszleges lehet (optiailag eg-, éttengel vag izotrop, és a ristál optiai tengele is tetszleges iránú), a özeg lehet optiailag atív vag sem. A oordináta rendszert pratiusan úg veszem fel, hog a beesési sí épp az (,, z = 0) legen, míg a ilépési sí az (,, z=l), ahol L a özeg (ristál) hossza. Mivel a belép- és ilépfelületei párhuzamosa, továbbá a cella iapcsolt állapotban van, ezért a fén terjedése egetlen lépésben adódi, igen gorsan a (43) egenlet alapján (az 'o' és 'e' indeeet felváltja rendre az 'a' és 'b'). Ha a ét felület nem párhuzamos, aor a ilép felületen a diszrét felosztás minden pontjára ell számolni a teret, ami lénegesen számolásigénesebb. Ha például a ilépési sí rácspontjai feloszthatóa olan nem túl nag számú (n) csoportra, ahol eg csoporton belül a rácsponto távolsága a belépési sítól megegezi (L i, i=1,...,n), aor minden csoportra ülön elvégezve a (43) integrált, a mveletigén éppen a csoportszám-szorosára (n). A szimulációban a modellezett fén Gauss-naláb, amelne értée a mintavételi pontoban analitiusan önnen számolható a ristál beesési síjában. Nem merleges beesés esetén oordináta-transzformációval adódi a bemen térersség eloszlása. A ristál eltt és után a özeg leveg. A féntörés számolásához fel ell írni a ülönböz (, ) párohoz a térersségeet a térben a levegre: 49

50 E(,, z 0) ~ E (, ) (, ) ep ( ) ep, (, ) si esi i i si z z 50 d d ~ E (, ) (, ) ep ( ) ep, (, ) sr esr i i sr z z 4 d d + { uganez a pi és pr polarizációra } (76) A (76) egenletben az 's' a merleges (függleges) polarizációra utal, a 'p' a párhuzamos (vízszintes) polarizációt jelenti, 'i' a bees nalábot, míg 'r' a visszaver nalábot szimbolizálja. Paraiális özelítésben az s és p polarizációat önn szemléletesen definiálni, jelen esetben azonban nem csa merleges beesést aarun pontosan számolni, íg az s és p polarizációt egértelmvé ell tenni. (A felület normálisa a [0, 0, 1] vetor.) Az e pi polarizáció irána legen: a i [0, 1, 0], e si irána: i e pi, e pr polarizáció irána: r [0, 1, 0], és az e si irána: e. A (76) egenlethez ezúttal is minden (, )-ra el ell végezni a számítást. Az egszerség edvéért a továbbiaban nem jelölöm ezt a függését a változóna, csa hangsúlozom, hog étváltozós függvéneel dolgozun. Elhagom a Fouriertranszformáltságot jelz fels hullámot is. Tehát a bemeneten adott E si és E pi, melebl meg ell határozni E sr -t, E pr -t, E a -t és E b -t. Az ismeretlene meghatározása a Mawell-egenletebl a peremfeltétele illesztésével: ahol E E B B B si si, si, si, si, E E B B sr, sr, sr, sr, E E B B 1 ) ( 0 pi, pi, pi, pi, si E E B B E pr, pr, pr, si pr, E E B B a, a, a, a, E E B B b, b, b, b, r pr 4, (77) { uganez a pi, sr, pr, a és b polarizációra } (78) A (78) minden polarizációra eg-eg vetoregenletet jelent. Mindegi egenlet definiálja a mágneses indució megfelel polarizációjána az iránvetorát, amel ezáltal pontosan meghatározott. Ezen túl a (78) egenlete megadjá az adott polarizáció esetén az eletromos térersség és mágneses indució vetoro hosszána aránát. Íg az összes polarizációs iránvetor ismert, nolc darab vetor hossza az ismeretlen: E sr, E pr, E a, E b, B sr, B pr, B a és B b. Rendelezésre áll nolc darab lineáris egenlet: (77) és a (78) utolsó nég egenlete, íg eg lineáris egenletrendszer adó-

51 di, és a eresett nolc omple amplitúdó egértelmen meghatározható. (A (78) els ét egenletével a bees naláb mágnese indució vetorai határozhatóa meg a bees naláb eletromos térersség vetoraiból, ez utóbbi mennisége ismerte.) A ilépésnél egészen hasonló eset van azzal a ülönbséggel, hog más az eges nalábo sajátpolarizációja. Ez az egenlete megoldhatóságát nem befolásolja. A mérésben a ristál hossza elegenden nag (és a refleió elegenden icsi) ahhoz, hog a ilép felületrl visszaver naláb hatása elhanagolható legen a belép felületen, ezért a többszörös visszaverdési effetust nem vettem figelembe. (A (77) egenlete eredetileg a H vetorra vonatozna, azonban nem mágneses anago esetén, ahol B = 0 H, a (77) heltálló.) Véonréteg modellezése A módszert általánosítottam arra az esetre, ha a felületen több egmással párhuzamos homogén véon réteg van jelen, például bevonato. Eor minden véon rétegre nég ülönböz polarizációt ell figelembe venni: az elre és hátra haladó s és p polarizációat (anizotrop réteg esetén a és b). Íg minden újabb réteg nolccal növeli az ismeretlene számát, uganaor minden újabb határfelület a (77) és (78) egenletehez hasonlóan nolc függést ad, ameleel a rendszer egértelmen megoldható. (Véon rétegnél tehát a visszaver naláboat is figelembe ell venni.) A mérési berendezés Az optiai forgatás mérése az 1. ábrán látható elrendezésben történt. A ristál paraméterei 13. ábra. Az optiai forgatás méréséne ísérleti elrendezése A ristál eg TeO AO defletor, (Gooch&Housego, gártási szám: 0611) Hossza (L): mm. A gári specifiáció alapján az optiai ablao által bezárt szög isebb, mint 0.07 (= 4), a felülete minsége /4 vag jobb, ahol = 633 nm. Az optiai tengel helzete: az (, z) síban feszi, a beesési síal 6.97 szöget () zár be. A lézer típusa Coherent He-Ne (633nm), a nalábsugár 0.38 mm. 51

52 A mérésben alalmazott forgatóasztal forgási tengele a ristál belép ablaána síjában van, amellel párhuzamosan a ristál függlegesen és vízszintesen mozgatható. Ez lehetvé teszi a naláb pozíciójától való függés mérését, a beesési szög és a bees naláb pozíciója (X, Y) három egmástól független menniség, amele szabadon változtathatóa. Az eltolási pontosság 0.03 mm, a szögpontosság A mérés során a vízszintesen (p) polarizált lézer polarizációját a ristál elforgatja, amine a függleges (s) vetületét engedi át a polarizátor, ezt méri a detetor. A ristál függleges tengel () örüli mechaniai elforgatásától (azaz a beesési szögtl) függen ülönböz mértében forgatja el a polarizációs síot. A ristál mechaniai elforgatása digitális léptetmotorral történi. Mind a léptetmotort, mind a detetorról érez jelet uganaz a számítógép ezeli. Ez egszerre biztosít nag pontosságot és viszonlag gors mérést (eg elforgatási iránba történ mérés eg perc). Adott beállítás esetén eg mérés önnen reproduálható, az eredméne nem változna. A motor léptetése a detetor-jel iolvasásához szinronizált, a sebesség beállítása a pontossághoz és alacson zaj viszonhoz optimalizált. A vizsgálato eredménei A 14. (a) ábrán a detetoron mért intenzitás látható a ristál mechaniai elforgatásána a függvénében, a naláb ülönböz függleges (Y) pozíciói mellett. A 14. (b) ábrán a modellezett intenzitás látható. A ülönböz görbé ülönböz g 33 értéehez tartozna. Az optiai forgatás helfüggéséne a méréséhez iválasztottam eg optimális szöget: = 15 (eor a terjedési irán is szöget zár be az optiai tengellel), amelet rögzítve a mért intenzitás az Y oordináta függvénében látható a 15. (a) ábrán. Uganez a menniség látható a 15. (b) ábrán (X, Y) függvénében. 5

53 14. (a) ábra. A mért intenzitás a beesési szög függvénében, ülönböz függ leges nalábpozíció esetén. A vízszintes pozíció rögzített, X = 6 mm 14. (b) ábra. A számolt intenzitás a beesési szög függvénében, a g tenzor ülönböz értéeinél. A hozzáju tartozó optiai forgatás értée fentr l lefelé, rendre: = /mm; /mm és /mm 53

54 15. (a) ábra. A mért intenzitás a naláb függleges pozíciójána a függvénében. A beesési szög és a vízszintes pozíció rögzített, = 15, X = 6mm 15. (b) ábra. A mért intenzitás a naláb függleges- és vízszintes pozíciójána a függvénében. A beesési szög rögzített, = 15 Diszusszió A mérési eredméneet elemezve szembeötl, hog a ülönböz beesési pontoban a polarizáció annira ülönbözen fordul el anna ellenére, hog a beesési sí és a ilép sí párhuzamos. Ha ez utóbbi tulajdonság nem teljesülne, az magarázhatná az eltéréseet. Az adott beállításban a polarizáció-elfordulás özel 90 milliméterenént, ezért nagjából 0.5 mm hosszülönbség oozna hasonló mérté eltérést a forgatásba. A be- és ilépfelület sí tulajdonságána és a párhuzamosságuna ilen mérté- töéletlensége már szabad szemmel vizsgálva is önnen érzéelhet volna. A részletes vizsgálat határozottan izárja, hog a párhuzamosság hibája oozná a mérési 54

55 eltéréseet, a ét említett felület egmással 3 szögpercet zár be, a visszaver naláb divergenciájában nincs növeedés, azaz a felülete nag pontossággal sí alaúa. Az egetlen lehetséges magarázat, hog a ristál térfogata nem töéletesen homogén a törésmutató- és giráció tenzor elemeire vonatozóan. Bár a ristál iváló minség, az enhe inhomogenitás jelenléte nem váratlan. Eg töéletesen homogén ristálban a nalábterjedés nem látható oldalról, ez esetben a fénszórás megfigelhet, még ha igen is mérté is. Megvizsgáltam az AO diffraciót a mért defletor esetén. Az elsrend diffraciónál mért fén-zaj (a cella iapcsolt állapotában mért diffració) 5-6 nagságrenddel volt isebb a bees naláb intenzitásánál. Íg felmerül a érdés, hog ilen is inhomogenitás oozhat-e ennire jelents eltérést a forgatásban? A válasz igen, oozhat. A polarizáció forgatás valójában eg igen apró ténez hatására jön létre, mivel a giráció tenzor nég nagságrenddel isebb, mint a permittivitás tenzor. Jelen esetben a giráció tenzor átlagosan evesebb, mint 1 %-al változott meg (15. (b) ábra). Az optiai forgatás a ét függetlenül terjed sajátpolarizációjú naláb interferenciájána az eredméne. Mindét polarizáció elliptiusan poláros, amior párhuzamosa az optiai tengellel, aor cirulárisan polárisa és a terjedési sebességü 0.01 %-al tér el. Az ausztooptiai effetusnál azonban nincs ilen interferencia, a diffracióban az egi polarizáció eg mási polarizációba úg diffratálódi, hog özben az irána is megváltozi. Ezért az állandó inhomogenitás hatása az ausztooptiai ölcsönhatásban alig mérhet, gaorlati jelentsége nincs. Megvizsgáltam, hog a Gauss-naláb esetleges töéletlensége mennire befolásolhatja az optiai forgatást, a szimuláció lehetvé teszi uganis eltér eloszlású iinduló nalábo számolását. A Fourier-térben (vag -térben) a naláb intenzitáseloszlása jól özelíti a Gauss-eloszlást, ami önnen mérhet a távoltéri épen, ezért az ebbl adódó hiba hatása elhanagolható. Másrészrl, ha a omple amplitúdó fázisa változi a (, ) függvénében, az egáltalán nem befolásolja az optiai forgatás mértéét (homogén, párhuzamos falú özeg esetén). Eze alapján övetezi, hog a mérésben használt lézer töéletlensége nem oozhatja a forgatás szabáltalan viseledését. A 15. ábra alapján az inhomogenitást valószínleg mechaniai feszültség oozza. Ez által az inhomogenitás foltonos jellege önnen magarázható. Visszatérve a 14. (b) ábrához, az inhomogenitást a szimuláció nem számolja, mivel az nem ismert (a teljes térben pontosan ellene ismerni). Mégis, a forgatást leíró g 33 paraméter értéét eg sz tartománon belül változtatva a homogén özeg szimulációja esetén, a számolt intenzitás szórása jól egezi a mért értéeel. 55

56 Eszméni egezést várné, ha pontosan uganazt az inhomogenitást modellezném. Természetesen a fénterjedés nem töéletesen uganaz, ha a törésmutató eg átlagos érté örül ingadozi, vag, ha az végig pontosan az átlagérté a terjedési út során. A ülönbség a ét eset özött ismét eg hibát eredménez. Ezt figelembe véve úg találom, hog a mérés és a számolás jól egezi, hibahatáron belül. A módszer lehetvé tette, hog meghatározzam az optiai forgatást, és anna egfajta szórását. A 14. és 15. ábrá alapján a giráció tenzor meghatározó eleme, g 33 = ( )10-4. Az optiai tengellel párhuzamosan a polarizáció forgatás értée = ( ) /mm. 16. ábra. A polarizátor nélül mért és számolt intenzitás a beesési szög függvénében. Az intenzitás igen sz tartománban változi A övetez lépésben megismételtem az els mérést azzal a ülönbséggel, hog a lineáris polarizátort ivettem a rendszerbl (16. ábra). Ebben az esetben a mérés nehézsége az intenzitás ingadozásána a esen tartomána, amel néhán százaléa az összintenzitásna. Emiatt itt a mérés hibájána nagobb a hatása (az inhomogenitás mellett), mind a bees naláb intenzitásána az ingadozása, mind a detetor hibája örül-belül 0.3%. Bár az inhomogenitás ennire jelents, az intenzitás mért és számolt alaja hasonló. A leginább megegez paramétere a fázisa és a frevenciája az intenzitás változásána. Az ingadozás itéréséne a nagságrendje is hasonló. Uganaor az intenzitás burológörbéje jobban eltér. Úg vélem, hog az eltérése a orábban részletezett hibából eredne. Érdees iemelni ezt a is mérté, de határozott oszcillálását az intenzitásna a beesési szög függvénében. Izotrop-izotrop özeghatár esetén nem tapasztalun hasonló effetust. A jelenség azon alapul, hog anizotrop, homogén özegben a ét független sajátpolarizáció függetlenül terjed, a törésnél azonban már nem függetlene! Az effetus jól mutatja, hog a (77) egenlet nem hagható i vag egszersíthet 56

57 tovább. (Izotrop-izotrop törésnél az s és p polarizáció függetlenül törne, számolásu emiatt lénegesen egszerbb, lásd Fresnel-egüttható.) Konlúzió A harmadi tézispont apcsán eg új módszert mutattam be, amellel pontosan számolható az optiai forgatás, ha a bees és ilép felülete párhuzamos sío. Ezt a feltételt leszámítva általános is, hiszen ezúttal sincs szüség a paraiális özelítésre, a naláb általános eloszlású lehet. A Mawell-egenleteet számolom mind a törésnél, mind a terjedésnél, továbbá a özeg anizotrop és aár több véonréteg is boríthatja a felületeet. A szimulációt méréseel hasonlítottam össze, amit részletes hibaelemzés övetett. Összességében megállapítható, hog a számolás hibahatáron belüli pontossággal írja le a jelenséget, ezáltal empirius alátámasztását adja az elméletne. A hiba f forrása a ristál inhomogenitásából adódi, amel az ausztooptiai ristál rendeltetésszer mödését egáltalán nem befolásolja, uganaor az optiai forgatás meghatározása eg ézenfev módszert jelent az inhomogenitás mérésére. A bemutatott elméleti- és ísérleti módszerrel meghatároztam és publiáltam a TeO optiai forgatását, illetve anna egfajta szórását He-Ne lézer esetén (633nm). Mind ísérlettel, mind a szimuláció segítségével megmutattam, hog párhuzamos falú TeO ristál esetén (amel optiailag atív és anizotrop özeg) az áthaladó lézernaláb intenzitása flutuál a beesési szög függvénében, szemben az izotrop esetet leíró Fresnel-egenlettel, ahol az áthaladási egüttható a Brewster szög eltt és után monoton változna. 57

58 4. tézispont a omple AO ölcsönhatás vizsgálata Létrehoztam és algoritmiusan teszteltem eg olan numerius módszert, amel a nem ollineáris AO cellában a homogén, anizotrop ausztius hullámterjedést számolja nag pontossággal. Az ausztius hullámterjedést számoló modellt összeépítettem az 1 3. tézispontban bemutatott optiai modelleel, íg az AO ölcsönhatás omple szimulációját hoztam létre. A létrejött AO modell a nem ollineáris AO eszözöet nag általánossággal írja le, a orábban említett nag pontosság mellett: mind az optiai, mind az ausztius hullámterjedés számolása a megfelel anizotrop, vetori egenlete alapján történi, 3D-ban. Hasonló modellt a szairodalomban orábban nem publiálta. A bemutatott omple AO modell helességét ísérletileg igazoltam. A tézisponthoz apcsolódó publiáció: [5] 58

59 Bevezet Az els három tézispont az AO ölcsönhatás teljes optiai részét pontosan számolja, az egetlen hiánzó elem a hang számolása. Ebben a fejezetben bemutatom az ausztius hullámterjedés részletes modelljét. Ezúttal is a pontosság volt a legfontosabb szempont. Azt a célt tztem i, hog minden olan hatás legen figelembe véve, ami nem elhanagolható, egedüli ivétel, hog nem veszem figelembe a melegedés hatására ialauló inhomogenitásoat. Az optiai- és a hang szimuláció összeépítésével az AO ölcsönhatás egedülállóan pontos, gors és igen általános modelljét észítettem el. A szimuláció helességét méréseel szándéoztam igazolni, amelhez igeeztem minél inább étséget izáró mérési módszereet alalmazni. Az igazolást nehezíti a nagszámú ismeretlen mérési paraméter, amine iüszöbölésére részletes méréssorozatot végeztem, és módszert dolgoztam i az ismeretlen paramétere becslésére. Az ausztius hullámterjedés számolása Az ausztius hullámterjedés modellezésénél egészen hasonló érvelés mondható el, mint az els fejezetben az optiai rész esetén. Mindez értelemszeren abból övetezi, hog a megfelel hullámegenlete matematiailag igen hasonlóa. A pontos megoldást ezúttal is az idfügg hullámegenlet számolásával, az FDTD módszerrel lehetne a legézenfevbben eresni. Ez itt sem ivitelezhet a teljes térfogatban tipius cellaméretre és frevenciára (1 mm - 10 cm, MHz). Ezúttal is érdemes egetlen gerjeszt frevenciát iválasztani, amire a hullámegenlet idfüggetlenné tehet (több gerjesztési frevencia esetén pedig a linearitás miatt a számolt törésmutató eloszláso szuperponálhatóa). Az idfüggetlen hullámegenlet megoldása továbbra is problematius a rendívül nagszámú rácspont miatt. A jól ismert végesdifferencia vag végeselem módszereel való megoldás (a rácsponto özti apcsolatot eg ritamátri-szal reprezentálva) [11-113] szintén megoldhatatlan, mivel a számolandó rácsponto száma nagságrendileg ~10 10 db. A fénterjedéshez hasonlóan, a probléma feloldását az jelenti, ha a peremfeltétele megengedi, hog a számolás ne egszerre történjen a teljes térfogatban, hanem iválasztható eg optimális hullámterjedési irán, amel szerint a parciális differenciálegenlet (PDE) iintegrálható. Íg elérhet, hog a számolás véges idn belül lefusson. Az ilen módszere hátrána, hog nem veszi figelembe a ristál oldallapjaiól a hangrefleióat, vag legalábbis ompliált iterációt övetel a refleió becslése. Azonban so esetben, például a mérésben bemutatott nem-ollineáris AO sz és 59

60 AO defletor esetén, a vizsgálataim szerint az ilen refleió hatása jelentételen, elhanagolásu indoolt (a 80. oldal 3. beezdésében indoolom). Az említett lefuttatható számolási módszer többféleéppen is ivitelezhet. Eze özül a legpontosabbna és egúttal számolási idben is a legoptimálisabbna a Fourier-transzformáción alapuló módszert találom, mivel íg a rácspontoon a parciális deriválta is pontosan számolható (amenniben teljesül a mintavételezési feltétel). Az ausztius hullámterjedést eg másodrend PDE írja le, amel ezáltal pontosan számolható. További eln, hog a rácsponto özött a mennisége pontosan interpolálhatóa. Erre egrészt azért van szüség, mert a fénterjedés számolásához a számolási síban -t és /z t igen pontosan ell ismerni, másrészt pedig a fénterjedés és a hangterjedés oordinátarendszere nem esi egbe, tipiusan icsit isebb szöget zár be, mint 90. Eg ultrahangelt hatásána a iszámolása a ~10 cm 3 -es defletor térfogatában, 100MHz-es ausztius frevencia esetén eg 4 GHz-es, 4 magos asztali számítógépen b. eg napot vesz igénbe. A törésmutató változását leíró információ, amit el ell tárolni, terabte-os nagságrend. Az AO sz vag isebb hangfrevencia esetén isebb felbontás is elegend a mintavételezési feltétel teljesítéséhez 3D-ben, íg ezene a számolása gorsabb. A megoldandó hullámegenlet a bevezetben ismertetett (8): ik c KL Lj u j = /t u i, Bevezetve az elmozdulásra az U i (r) omple amplitúdót, eg gerjesztési örfrevencia esetén írható: u i (r,t) = Re{U i (r) ep(it)}, (79) Kihasználom, hog ausztiusan a özeg homogén, a hullámterjedést síhullámo összegeént írom fel. Eor egetlen K hullámvetor által jellemzett síhullámiránra: K ik c KL K Lj U j = U i, (80) amelne bal oldala ifejtve, csoportosítva és visszatérve a hagomános jelöléshez: K ik c KL K Lj U j = A K A K... A z K K U. (81) Az A mátrio a c KL Hooe-tenzor elemeibl adódna. A hullámegenlet tovább írható: A K... 1 A K A K K I 6 z U = 0. (8)

61 Látható, hog homogén, anizotrop esetben az ausztius hullámegenlet alaja hasonló az optiai megfeleljéhez, mint például a (39) vag a (70) egenlete. A (8) egenletne aor van megoldása, ha a zárójeles rész determinánsa nulla. Ha adott (K, K )-nal jellemzett síhullám terjedését aarju számolni, aor csupán K z értée ismeretlen. Az említett determináns íg K z -ben hatodfoú egenletre vezet, ami is (K, K ) értée esetén három elre- és három hátrahaladó sajátpolarizáció terjedését írja le. Nag K vag K esetén az egenletne leszne irreális megoldásai is e.g. Re{K z }>0 és Im{K z }<0, amibl övetezi, hog bizonos peremfeltétele nem jöhetne létre. Az említett zérus determinánsértéehez tartozó sajátvetoro adjá meg a megfelel sajátpolarizációs iránoat. Az egenlet megoldása a (43) egenlettel analóg módon történi, az egetlen léneges ülönbség, hog háromféle sajátpolarizáció van. Mivel a hang terjedése a vetori hullámegenlet megoldásán alapul, ezért például a hang ersen anizotrop viseledését (amior a hullámvetor és az energiaterjedési irán etrém nag szöget zár be) a modell pontosan teljesíti bármilen utólagos orreció nélül. Az AO ölcsönhatás optiai részét az 1-3. fejezet tartalmazza. Íg az ausztius hullámterjedés modelljéne létrehozásával, és anna az optiai szimulációval való összeépítésével, létre jött a omple AO modell. Továbbá lehetvé vált mindhárom modell ísérleti leellenrzése. A TeO fiziai egütthatói meghatározásána a érdése Az el fejezetben a mérési módszer lehetvé tette az optiai forgatás pontos meghatározását. Ezúttal is az volt a szándéom, hog a mérésbl a ülönböz egütthatóra és paraméterere a szairodalomban fellelhetnél pontosabb értéet apja. A nehézséget az oozza, hog eg adott cella esetén az ultrahangelt iránát nem lehet változtatni. A hanghullám véges iterjedése ellenére ers síhullám jelleget mutat, ezért az iránfügg viseledést leíró anizotrop egütthatóról evés információt tudun apni. (A probléma áthidalását számos, ülönböz orientációjú AO cella mérése jelentheti.) Ez az oa anna, hog az elneldést nem tudtam anizotrop módon figelembe venni: arra sem a szairodalom, sem a mérés révén nem adódott megbízható adat. Uganazon oból adódi, hog adott cella orientáció esetén az izotrop hangelneldés is igen pontos eredmént ad. Enne értéét a mérésbl határoztam meg. Egészen hasonló mondható el a Hooe-tenzor (c KL ) apcsán is, amelre bár pontosabb értée vanna az irodalomban, pontosságu mégis érdéses [3, 4]. A mérés- l a hangsebességre aptam pontos értéet (egetlen iránba), amivel nem tudom a 61

62 hét független omponens értéét meghatározni, csa eg függést tudo özöttü adni, a többi értéet a szairodalomból vettem [3]. A fotorugalmassági tenzor esetén a tenzor független elemeibl ett ad (p 44, p 66 ) csupán járuléot az általun vizsgált níró iránú ausztius polarizáció esetén, de ebbl a ettl p 66 hatása nagságrendeel isebb, ezért elhanagolható járuléot ad. A mérési elrendezés A szimuláció helességét méréseel szándéoztam igazolni, minél inább étséget izáró mérési módszere alalmazásával. Anna ellenére, hog ülönféle mennisége számolása vált lehetségessé: (a térersség polarizációja, fázisa, az eges rendere ülön-ülön, helfüggés a teljes térfogatban), ha eze mérése nem lehetséges, nem tudom ellenrzésre felhasználni azoat. Jól és relatíve önnen mérhet menniség a diffratált rend intenzitásána, polarizációjána mérése ülönböz mennisége függvénében: beesési szög, hangfrevencia, hangteljesítmén, bees naláb polarizációja és pozíciója (a belép ablaon). Megvizsgáltam a diffració hatásfoát a hangteljesítmén függvénében. Kis teljesítmén esetén a hatásfo arános a hangteljesítménnel, és csa nag teljesítméne esetén változi meg a lineáris viseledés. Hiába próbáltam elemezni a hatásfo függését egszerre a teljesítméntl és például a beesési szögtl, alig apható többlet információ (bár tén, hog ezt a nemlineáris viseledést a Bragg-szög özelében helesen visszaadta a számolás). Ezért a továbbiaban ifejezetten is hangteljesítméneet, a lineáris viseledést tanulmánoztam. Ezáltal elerültem a ristál melegedését is egúttal. A vizsgálataim tárga eg özepes minség sz és az a iváló minség defletor, amelne a polarizáció forgatását részletesen imértem (3. tézispont). Mindét ristál anaga TeO. Elsént az AO szt vizsgáltam, majd amior a cella minsége aadálozta a pontosabb vizsgálatot, áttértem az AO defletor vizsgálatára. Az elsnél az optiai tengel 3.51 szöget zár be az ultrahangelt síjával, a defletor esetén ez a szög 9.5. A mér rendszer is azonos az el fejezetben bemutatottal, az eltérés, hog itt csa az els rendet mértem (17. ábra). (A naláb pozíciója (X, Y) a bees felületen függetlenül változtatható a beesési szögtl ()). A méréshez használt lézer is uganaz, mint a 3. fejezetben használt: He-Ne (633 nm), a nalábderé-sugár 0.38 mm. 6

63 17.ábra. A mérési elrendezés 1. Vizsgálat a féndiffració szögfüggéséne mérése az AO szn és D számolása Elsént a szt vizsgáltam, a szimulációban D számolást alalmaztam mind a hang, mind a fénterjedésnél (18. ábra). Külön mértem a függleges és vízszintes polarizációat. Az ultrahang frevenciája 40 MHz. 63

64 18.ábra. A szn mért és modellezett diffraciós hatásfoo a beesési szög függvénében ülönböz polarizációjú bees naláb esetén. A P polarizátor ebben a mérésben nem szerepel A. tézisponthoz apcsolódóan megmutattam, hog optiai ativitás esetén az a és b sajátpolarizáció saját maguba is diffratálna, csa lénegesen isebb intenzitással. Maimum nolcféle diffració lehetséges els rendben: mind a bees, mind a diffratált naláb lehet függleges vag vízszintes, illetve a diffració lehet +1. vag 1. rend. Az enhén elliptius a és b sajátpolarizáció helett a lineáris polarizációat mérem. A szimulációban alalmazott ultrahangelt szélessége megegezi a mért értéel: 0 mm. A szairodalomban fellelhet egetlen eredmén a diffració beesésiszög-függésére a csatolt hullámegenlete módszerén alapul [3, 4], ahonnan a sinc -es szögfüggés adódi. A sinc függvén, amel periodiusan elhelezed zéruspontoal rendelezi, láthatóan nem pontos. Ezzel szemben a modell helesen adja meg a fcsúcso maimumána heleit, és viszonlag jól a minimumo heleit is. Relatíve jól egezi a fmaimumo nagsága mind a nolcféle diffraciós átmenet esetén, ezért itt a polarizáció is viszonlag jól egezne. Más modelle nem számoljá a ölcsönhatást ilen általános módon. Kevésbé jól egezi a mellémaimumo nagsága, inább a nagságrendjü heles. Megállapítható, hog a D modell 64

65 néhán dolgot helesen leír, lénegesen jobban, mint a orábbi analitius eredméne, azonban nem elégséges.. Vizsgálat a Bragg-szöge frevencia-függéséne mérése és D szimulációja A övetezben egéb frevenciáon megismételtem az el mérést. Az eredméne egészen hasonlóna adódta. Az AO szn mért és modellezett nolcféle csúcs hele látható a ülönféle gerjeszt-frevenciá esetén a 19. ábrán. 19.ábra. A szn mért és modellezett Bragg-szöge a nolc ülönböz els rend diffració esetén az ausztius frevencia függvénében Látható, hog egéb frevenciá esetén is jól egezi a mért- és számolt Braggszöge értée. Az 1. és. vizsgálatot megismételtem a defletorral is. Az eredmén ezúttal is hasonló lett, azonban itt a fcsúcs alaja nem szovános, mint a 5. ábrán látható. (Továbbá a defletor esetén b. 100 MHz alatt csa hatféle diffraciós átmenet fordul el 1. rendben, mint ahog a 19. ábrán b. 40 MHz alatt is csa hatféle átmenet van.) Diszusszió a D- és 3D szimuláció és a mérés eltéréseine vizsgálata Az 1. és. vizsgálat azt mutatja, hog a D modell bizonos menniségeet pontosabban leír, mint más numerius modelle, azonban vanna íg is jól mérhet eltérése. Ezért modelleztem a 3D-ban mind a hang-, mind a fénterjedést is. Bár az els 65

66 váraozás az volt, hog a 3D omple modell pontos lesz, az eredméne csa részben teljesítetté ezt. Igaz, hog a Bragg-csúcso (a nolc fmaimum) értée függ az X és Y értétl is. Igaz továbbá, hog a függés jól egezi a mért függéssel, azonban nem egezett hibahatáron belül, és nem magarázta a hatásfo szögfüggéséne viseledését sem lénegesen jobban. Anna ellenére, hog az AO sz ultrahangeltjéne téglalap alaját a 3D modell már tartalmazza. A vizsgálataimból egértelmen adódott, hog az eltérés meghatározó oa az, hog a ezdeti hanghullámfront nem egenletes eloszlású. Az eredmén nem túl meglep, az eletróda töéletes vezetépessége, zéró impedanciája idealisztius feltételezés, amel a defletor vizsgálatánál, például a 3. ábrán jól látszi. A ezdeti hanghullámfront (IAWF, initial acoustic wavefront) vizsgálata Elsdleges célom az volt, hog megmutassam a modell helességét, mivel elméleti úton igazna találom, ezért azt mérés is támassza alá. Az a tapasztalat, hog a diffració hatásfoa függ a -tól, X-tl és Y-tól. Uganaor a ezdeti hanghullámfront nem egenletes eloszlású. Ezért azt gondoltam, hog ha valahog meg tudnám becsülni az IAWF-et, ami eg D menniség, aor az ísérleti alátámasztása lenne a szimulációna, mivel a mérend menniség (, X, Y) 3D menniség. Ez megalapozott, a mért (, X, Y) értée számotteven több információt tartalmazna, mint amenni a peremfeltételhez szüséges. Uganaor az IAWF vizsgálata eredeti célomnál fontosabb lehet, hiszen anna ideális beállítása (az ultrahangeltn eresztül) hozzájárhat az AO eszözö optimalizálásához. Az inverz ausztooptiai módszer (IAOM) A fenti ooból igen so energiát, több évni intenzív munát fordítottam arra, hog megvalósítsa eg olan eljárást, ami a diffraciós hatásfo (, X, Y) függésébl visszafelé megpróbálja megbecsülni az IAWF-et. A becsléshez iválasztottam az egi polarizációs átmenet diffraciót. Az inverz ausztooptiai módszer, IAOM, egi lénege, hog a orábbi néhán nap-hét idl lerövidíti néhán másodpercperc idre adott IAWF esetén a hatásfoo, (, X, Y) iszámolását. A gors számolás lehetvé teszi, hog eg iterációs módszerrel úg változtassam az IAWF-et, hog a mért és számolt hatásfoo megegezzene. A gors számolást pedig az teszi lehetvé, hog lineáris (is hangteljesítmén) tartománban a diffraciós szóródási folt téreloszlása lineáris apcsolatban van az IAWF-fel. Ezért az IAWF-et független báziselemere bontva, minden báziselemhez iszámoltam az E d,folt (, X, Y,, )-t az 66

67 eredeti omple AO modellel, íg végül eg jóora adatbázis eletezi, és lehetvé váli a gorsítás. A gorsítás ára, hog a báziselemehez tartozó E d,folt (, X, Y,, ) eloszláso igen számolásigénese, a defletor esetén ez több hónap volt, egszerre több számítógépen számolva. Az iterációs rész végrehajtása is több hétig tart. Mivel folt ~ (, X, Y) ~ E,, d, folt ezért a orábbi lineáris rendszer ersen nemlineárissá váli ( nem lineáris apcsolatban van az IAWF-al). Ebbl adódi, hog eg (, X, Y)-hez nem csupán eg IAWF tartozi, hanem több, méghozzá igen so (szürjetív leépezés). Ez aor sem javul, ha más polarizációs átmenet diffraciót is bevono a vizsgálatba (hog bijetív leépezés legen). Ez sajnos megnehezíti, hog öveteztetni lehessen az ultrahangelt pontos viseledésére. 3. Vizsgálat az AO sz részletes 3D vizsgálata Ezúttal tehát a hatásfo-szög függvént igen so Y értére lemértem (a teljes tartománon, egenletes osztásözzel) a szn, X 1 = 6 mm, X = 11 mm esetén. A eresés olan IAWF-re vonatozott, amel ielégíti a mérési adatoat. Mindét X esetén találtam olat, ami viszonlag jól özelíti a mért adatoat ülön-ülön, azonban olat nem találtam, ami egszerre mindét X érté esetén hasonló egezést adott volna. A Bragg-szög esetén az illesztett IAWF-fel apott ( Bragg, X, Y) egezése viszonlag jó volt, azonban egéb szöge esetén az eltérés a mérési hibánál egértelmen nagobb volt. Ez újabb érdést vetett fel, mi oozza az eltérést? Az elmélet, és minden orábbi vizsgálat szerint a modell heles. Az, hog van olan IAWF i, amelre szim (, X i, Y) = mér (, X i, Y) viszonlag teljesül, szintén megersíti a szimuláció helességét, hiszen a mért (, Y) értée száma is lénegesen nagobb az IAWF független elemeine a számánál. Az eltérésere a magarázatot abban látom, hog a özepes minség AO cella inhomogenitása túl nag. Az inhomogenitás érdésével iemelten foglalozi az el- fejezet, ahol több módszert is említe az inhomogenitás becslésére. Összességében elmondható, hog az eddig említett, özepes minség sz inhomogenitása lénegesen nagobb, mint az el fejezetben mért defletoré. Azonban a szabáltalan viseledést itt nem a törésmutató inhomogenitása oozza. Ezt úg tudom becsülni, hog a iapcsolt állapotú cella diffracióját összehasonlítom a beapcsolt cella esetén az illesztés hibájával off < szim mér, az elbbi határozottan isebb az utóbbinál. Úg vélem, hog a problémát a Hooe-tenzor inhomogenitása oozza, amel menniség az ausztius hullámterjedést határozza meg. Ez az inhomogenitás evés- 67

68 bé drasztius, a diffracióra való hatása soal enhébb, egfajta fázistolást eredménez. Ezért tudtam eg X i -re soal jobban ielégíteni a feltételeet, mint ettre. (Kiapcsolt AO cella esetén eg igen is intenzitású fénszórás tapasztalható, egfajta zaj, ami a szög függvénében rendezetlenül ugrál. Mégis, a mérésben az ilen zaj nem túl nag, hanem a diffració a szög függvénében viszonlag foltonosan változi (lásd 18. ábra). Tehát a iapcsolt cella szög függvénében, elsrend diffració iránában mért fénzajához ( off ) viszonítva enhébb a hatás.) 4. Vizsgálat az AO defletor részletes 3D vizsgálata Az inhomogenitás megléte, és szignifiáns hatásána felismerése eredménezte azt, hog a 3. fejezetben tanulmánozott, iváló minség AO cellán ismételjem meg az el, 3. vizsgálatot. A ísérlethez választott ausztius frevencia 100 MHz, és a mérési hele: X 1 = 3 mm, X = 8 mm. Az Y-szerinti felosztás a 18. mm-es tartománon egenletes, 0. mm-es osztásözöel (0.8 mm 19 mm, 9 db). A () szög szerinti felosztás a 1.5 tartománon 1300 lépésben történi. Az ultrahangelt a 0. ábrán látható. Mint orábban említettem, iapcsolt cella esetén is mértem diffraciót ( off ). Teintettel arra, hog is hatásfooat mértem (<1.%), ezért off -ot levontam a mért hatásfoból. 0.ábra. A mért defletor ultrahangeltje. Balról az els hatszög alaú eletróda van csa gárilag csatlaoztatva 68

69 A polinom alaú (P) IAWF Mivel az ultrahangelt is iváló minség, ezért els lépésben a mért adatora eg egszer IAWF-ot illesztettem, a terület alaja eg három paraméterrel rendele- hatszög, lásd a 1. ábrát. Az IAWF omple amplitúdója -szerint eg harmadfoú polinom, illetve eg lineáris fázistolás szorzata: S(, ) = (q 0 + q 1 + q + q iq 4 )ep(iq 5 ). A lineáris fázistolás azért ell, mert a ristál orientációja [1 *, 1, 0] nem töéletesen merleges a cella vízszintes síjára, hanem is szöget zár bevele, 0.1. A q 4 paraméter eredméneént a fázistolás nem teljesen lineáris, hanem Y-nal enhén növeszi a meredeség abszolút értée. A p 1 paraméter mentén az IAWF onstans (a hatszög területén belül). Az illesztéssel meghatározott p paramétere a 17. táblázatban szerepelne. Az illesztett P IAWF a 1. ábrán látható (a szimmetriatengelen ábrázolva). A bemutatott módon, néhán paraméter segítségével jellemeztem az IAWF-et. A mért mes (, X i, Y) hatásfoo egezése az illesztéssel ( sim ) a övetez pontban látható (3-5. ábrá.). 1.ábra. Az illesztett P IAWF paraméterei. (a) Az ultrahangelt hatszög alajána paraméterei. (b) Az illesztett P IAWF abszolút értée és fázisa a szimmetriatengel mentén. Mint látható, a hatszög határai issé elmosódotta, hog deriválható legen a p i paramétere szerint. Az abszolút érté félértészélessége = p +p táblázat. A P IAWF hatszög alajána illesztett paraméterei [mm] p 1 p p 3 Illesztés 1.350, Miroszópos mérés 1.350, , ,005 Érdemes iemelni, hog az illesztett paraméterei az eletródána gaorlatilag megegezne a méréssel, p és p 3 hibája az IAOM-nél használt báziselem méretével (= a diszrét felbontás egsége) egezi (p 1 -et a D számolásból határoztam meg). 69

70 A nagfelbontású (HR, high resolution) IAWF A mérése iértéelésénél látható, hog a P IAWF-tal számolt hatásfoo nem adta hibahatáron beüli egezést, amibl övetezi, hog a valóságban az IAWF nem annira lassan változó függvén, mint eg harmadfoú polinom. Ezért a továbbiaban eg összetettebb, foltonos IAWF-t erestem, a mérési adato pontosabb ielégítéséhez. Ez esetben a omple paramétere száma (A paramétere száma onnan adódi, hog a 17.4 mm 1.35 mm terület téglalap 1 mm -e 50 pielre van osztva.) Az összetettebb viseledést oozhatjá például az ultrahangelt felületén lév fémszála, ameleet bizonára a jobb vezetépesség elérése érdeében forrasztotta oda a gártó (0. ábra). Az illesztett HR IAWF abszolút értée, és fázisa a. ábrán látható.. ábra. Az illesztett HR IAWF abszolút értée (a) tetszleges egségeben és fázisa (b). Itt fontos hangsúlozni, hog az illesztett IAWF nem azonos a ténleges ilen menniséggel, mivel több IAWF is tud uganolan szim (, X i, Y) menniséget épezni A 4. vizsgálat eredménei A ( Bragg, X, Y) görbé A Bragg-szögben ( = Bragg ) mért diffraciós hatásfo a függleges pozíció (Y) függvénében a AO ölcsönhatás fontos 3D jellemzését adja, ezáltal léneges eleme a vizsgálatna. A mérés általában viszonlag egszeren, aár manuálisan is ivitelezhet. Sajnos azonban a defletor esetén eg drasztiusan változó jel adódi a mért hatásfohoz a Bragg-szög özelében, lásd 5. ábra. A hozzáadódó jel a föld eletróda által létrehozott ausztius hullám hatására jön létre. Ez a szimulációban triviális módon leválasztható, az eliminálás a mérésben azonban már orántsem olan evidens, ezáltal megnehezíti a pontos illesztést. Az illesztéshez szüség van a föld eletróda hatása nélüli hatásfo becslésére *, lásd 3. ábra. (A becslésre azért van szüség, mert * Az alalmazott módszer azon alapul, hog a szimuláció szerint a Bragg-szög özelében a hatásfo görbe lassan változó, és ezért ahhoz polinom jól illeszthet (. ábra, lila görbé). A Bragg-szögtl távolabb (0,5 ) az említett hatás már elhanagolható. Alacson foszámú polinom esetén a gorsabban változó jel leválsztható. A probléma az, hog az additív jelne van evésbé gorsan változó 70