Numerikus módszerek 6. Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása
|
|
|
- Zita Tóth
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere
2 Vetoranalízis, összefoglaló. Differenciáloperátoro Legen : R n R differenciálató salárfüggvén, vetorfüggvén. n n E : R R differenciálató Az függvén gradiense: grad :,,..., vetorfüggvén n E E Az E : E, E,..., En függvén divergenciáa: div E :... E n salárfüggvén n E Az E : E, E, E3 függvén rotációa: 3 E E E 3 E E rot E :,, vetor 3 3 A Laplace-operátor: :... salárfüggvén rot grad 0 div rot E 0 div grad div E div E E grad n
3 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d d n 3
4 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d n d d div grad d grad n d d n 4
5 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n 5
6 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n Legen E : grad v, aor div E divgrad v div grad v grad grad v v grad grad v. A Gass-tételt alalmazva: v d grad grad v d divgrad v d grad grad v d grad v n d grad grad v d v d n 6
7 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n 7
8 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n Az. Green formla szerint: vd grad grad v d vd n és v szerepcseréével: v v d grad v grad d d n Kivonva ezt az előző egenlőségből, az állítás adódi. 8
9 9 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green 3. tétele D-ben: d d n d n log log Megegzés: a log : V függvén esetén mindenütt armonis, azaz 0 V.
10 Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 0
11 Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Elliptis egenlete: f Poisson-egenlet; a f = 0, aor Laplace-egenlet Általánosabb elliptis egenlet: div grad f Stacionáris ővezetés; eletromos árameloszlás; szivárgás; széleltette áramlás seél tavaban Konveció-diffúzió-reacióegenlet: v grad div grad d f Stacionáris transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban
12 Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Parabolis egenlete: t D f diffúziós egenlet Általánosabb parabolis egenlet: t div grad f Konveciós-diffúziós egenlet: t v grad div grad f Transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban
13 Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Hiperbolis egenlete: c t f llámegenlet Hllámteredés 3
14 Melléfeltétele elliptis egenletere: peremfeltétele előírása a tartomán peremén. vag Diriclet-féle peremfeltétel előírása a tartomán peremén. vag Nemann-féle peremfeltétel n és eg lineáris ombinációána előírása a tartomán peremén 3. vag Robin-féle n peremfeltétel A perem eges darabain aár ülönböző típsú peremfeltétel is teető evert peremfeltétel. Szabad felszín probléma 4
15 Melléfeltétele parabolis és iperbolis egenletere: ezdeti- és peremfeltétele Térváltozó szerint: peremfeltétele időfüggő is leet Idő szerint: ezdeti feltétel parabolis egenlete esetén: előírása eg t t 0 időpillanatban iperbolis egenlete esetén: és előírása eg 0 t t t időpillanatban A melléfeltételeel ellátott parciális differenciálegenletne általában egértelmű megoldás létezi. 5
16 Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 6
17 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Modellfeladat: f a 0, a 0, b R téglalapon, : 0 a peremen..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént: f, c sin sin a b A Forier-egüttató: c 4 ab a b 0 0 f, sin sin a b dd 7
18 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort:, c a b sin sin a b Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. 8
19 9 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort: sin sin, b a b a c Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. b a b a a b b a b a sin sin sin sin sin sin sin sin ezért, sin sin sin sin, f b a c b a c b a b a A téglalap peremén pedig 0, mert itt 0 sin sin b a.
20 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Megegzése: A Forier-sorfetés és Forier-sor-iértéelés realizálása FFT-vel történet. sa téglalaptartomán esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális tartománora pl. örre. sa Poisson-egenlet esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális differenciálegenletre. 0
21 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen. Alapötlet: Boríts le a tartománt derészögű egenözű ráccsal, és a rácspontoban a deriváltaat özelítsü véges differencia sémáal. A Laplace-operátor özelítése ötpontos centrális sémával: 4 ~ E S W N S N W E Íg a rácspontra felírt diszrét egenlet: E S W N f 4 mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő rácspontra. A tartomán peremére eső rácspontoban előírt peremfeltétel.
22 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere A v n Nemann-peremfeltétel diszretizálása: Naiv megoldás a özelítés csa elsőrendű: n W ~, innen a perempontra: W v Javított másodrendű özelítés: S N W v f 4
23 3 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere 3 O W, és f, innen 3 O f W -t centrális sémával özelítve: O S N : 3 O f S N W aonnan: O f S N W
24 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri. Diret módszere: nagon műveletigénese. Egszerű iterációs módszere: általában lassúa. A perem özelítése drva. A megoldandó fő probléma: az egenletrendszer gors megoldása. 4
25 5 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen Alapötlet: Boríts le a tartománt eg cellarendszerrel, és integrál az egenletet minden eges cellán: d n d Ezetán már csa a normális iránú deriváltna az eges cellaoldala mentén vett integrálait a flsoat ell özelíteni pl. cella-özépponti differenciasémáal: E S W N E S W N d n f d f d 4 ~ ~ Íg a cellára felírt diszrét egenlet: E S W N f 4, mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő cellára. A tartomán peremére illeszedő cellában előírt peremfeltétel.
26 6 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere A módszer nagméretű, rita mátriú egenletrendszert ad. Enne gors megoldása problematis. De: Nem feltétlen szüséges téglalapcelláat alalmazni, íg obban leet a peremre illeszedni. sa elsőrendű deriváltaat flsoat ell özelíteni, másodrendűeet nem. A Nemann-peremfeltétel diszretizálása soal egszerűbb. Ha pl. a cella eleti oldala a peremre illeszedi, és ott E v n előírt, aor a eleti cellaoldalra vett fls számítató. v v d n E S W N E S W N 3 ~ A cellára felírt diszrét egenlet: v f E S W N 3
27 Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: 7
28 Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: Legen ~ eg özelítő megoldása az A = f egenletne. Aor a pontos megoldás előáll ~ w alaban, aol w avító tag megoldása a maradéegenletne: Aw f A~ Ha w megatározása nem pontos, aor íg a megoldás eg úabb özelítését ap. 8
29 Módszere elliptis egenletere. Kétálós módszer Legen X H eg H lépésözű drva áló, X pedig eg lépésözű finom áló. Diszretizált feladato: asonlóan: A f ill. AH H fh B g ill. H BHH gh. Az eges áló özti átvitele: A étálós algoritms lépései: R : X X H leszűítés a drva álóra, P : X H X iteresztés a finom álóra Elősimítás: ~ : B~ g végreatása néánszor Drvaálós orreció: ~ : ~ PwH, aol A ~ H wh R f A Utósimítás: ~ : B ~ g végreatása néánszor 9
30 Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. 30
31 Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Kaszád módszer: Lemegün a legdrvább szintre, és ott pontosan megold a feladatot: : ~ A f A finomabb szinteen csa az előző szintről átozott megoldásoat avít: ~ : ~ P átozatal ~ : B ~ g simítás, néánszor =,3,,L 3
32 Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Mltigrid cils MG: iteratív avítás Teles mltigrid algoritms FMG: nem iteratív 3
33 Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Mltigrid cils rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: ~ : MG, ~, f A f : A finomabb szinteen: átozatal az előző szintről: ~ : ~ P elősimítás: ~ : B g végreatása néánszor maradé iszámítása: r : f A ~ mltigrid cils végreatása csa -szer vag étszer V-cils ill. W-cils a maradéegenletre az eggel drvább álón: w : MG, w, R r. A ezdeti özelítés leet 0. drvaálós orreció: ~ : ~ P w tósimítás: MG, ~, f : B ~ g 33
34 Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Teles mltigrid algoritms rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: A finomabb szinteen: ~ : P FMG, f FMG, f : MG, ~, f ~ A f : FMG, f : 34
35 Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Megegzése: A simítás feladata: a iba nagfrevenciás omponenseine erőteles csöentése nem a gors onvergencia. A iba alacsonfrevenciás omponenseit a drvaálós orreció csöenti. Műveletigén: az ismeretlene számána első atvánával arános Általánosítató nemlineáris feladatora is Fll Approimation Sceme 35
36 Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, 0 a peremen. Legene,,..., N adott bázisfüggvéne, és,,..., N adott tesztfüggvéne., mele szintén eltűnne a peremen. Keressü a megoldást : alaban. Mindét oldalt -val szorozva és integrálva: N N grad grad d f d,,..., N Másodrendű deriválta nem fordlna elő! 36
37 Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri a bázis- és a tesztfüggvéneet alalmasan megválasztva Diret módszere: nagon műveletigénese. A perem özelítése ellően finom leet. Az elemstrtúra létreozása azonban ülön probléma. 37
38 Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere 38
39 Módszere elliptis egenletere. A perem-integrálegenlet módszer Modellfeladat: U f eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott 3.Green-formla: elöle U : U, v : n, aor minden belső -beli z pontban: U z z n z d log z v d log z f d A obb oldal tagai: ettősréteg potenciál, egszerű réteg potenciál, logaritmis potenciál. Alapötlet: Legen eg perempont; z mellett iszámít mindét oldal limeszét, íg eg integrálegenletet apn, melben az ismeretlen függvéne és v csa a peremen értelmezette. 39
40 A perem-integrálegenlet módszer A logaritmis és az egszerű réteg potenciál foltonosa z szerint. lim z z z Ha foltonos, aor a ettősréteg potenciál limesze: n d n d aol a perem belső törésszöge az perempontban. 40
41 A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: K Rv Lf aol Rv : log n K : v d, Lf d :, log f d 4
42 4 A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: Lf Rv K aol d f Lf d v Rv d n K log :, log :, : Elvégezve i. a z atárátmenetet: d f d v d n log log és innen a perem-integrálegenlet már adódi.
43 A perem-integrálegenlet nmeris megoldása olloációs módszerrel Legene,,..., N adott peremfüggvéne,,,... N adott peremponto olloációs ponto. Legegszerűbb választás: a peremet rácspontoal N részre bont, és legen az a függvén, mel a -adi szaaszon azonosan, mástt zérs. Keressü -t és v-t ezen függvéne lineáris ombinációaént: N N ~, v ~ v Ezeet a perem-integrálegenletbe elettesítve, és az egenlőséget az,,... N perempontoban megövetelve, az ismeretlen egüttatóra lineáris egenletrendszert nerün: N K N R v Lf K : K, R : R,,..., N Ez N db egenlet. A peremfeltétele további N egenletet adna. 43
44 A perem-integrálegenlet módszer Nmeris ellemző A perem-integrálegenlet özelítő megoldása csa peremen elelezett rácspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Diszretizálás tán a apott egenletrendszer mérete soal isebb, mint véges differencia módszer alalmazása esetén, de a rendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. A mltigrid tecnia itt is alalmazató, és ez tovább csöenti a műveletigént. 44
45 Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere Modellfeladat: U 0 eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott ~ ~,..., ~, N adott ülső ponto forrásponto,,..., M, M, M,..., N adott peremponto olloációs ponto. : log alapmegoldás, aor 0 N U : ~ Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató: 45
46 46 Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere ~ : N U Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató:,...,, ~,,..., ~ N M M n U n M U N N
47 Az alapmegoldáso módszere Nmeris ellemző A módszer csa peremen elelezett olloációs pontoat és ülső forráspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Rendívül egszerűen programozató. Az egenletrendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. Az egenletrendszer mátria általában nagon rosszl ondícionált: minél távolabb vanna a forrásponto a peremtől, annál rosszabbl ondícionált a mátri. 47
48 Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 48
49 Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Modellfeladat: D f a 0, a 0, b R téglalapon t Peremfeltétel: := 0 a peremen minden t 0 esetén. Kezdeti feltétel: 0,, 0,..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént minden t 0 esetén: f t,, c tsin sin a.lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a ezdeti feltételt is: 0, a sin sin a 3.lépés: Keressü a megoldást is szinszos Forier-sor alaban, egelőre ismeretlen Forieregüttatóal: t,, tsin sin a b b b 49
50 Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Beelettesítve a feltételezett megoldást a differenciálegenletbe: t D t D a b t sin sin a Az egenlet megoldását nerü, a az Forier-egüttatófüggvéne ielégíti az alábbi özönséges differenciálegenletet és ezdeti feltételt: b t D 0 a a b t c t Speciálisan, a a c függvéne onstanso a obboldali f függvén nem függ az időtől: c t D a c D e Dt D f Poisson- Ez esetben a ezdeti feltétel atása gorsan lecseng, és a megoldás tart a egenlet megoldásáoz. : a b 50
2. Potenciálos áramlások. Potenciálos áramlások. Alkalmazási példák Dr. Kristóf Gergely Department of Fluid Mechanics, BME 2015.
. Potenciálos áramláso Dr. Kristóf Gergel Department of Fluid Mechanics, BME 05. Potenciálos áramláso Nugvó térből eredő áramlás potenciálos mindaddig, amíg a falon eletező örvénesség bele nem everedi.
A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
A CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
Kettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének
1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
Zh-k összpontszáma Vizsga Zh+vizsga Jegy
Zh- összpontszáma 1 4 5 6 7 8 9 Vizsga Zh+vizsga Jeg Matematia A vizsga megoldása Név: 1 június 18, 9-11, Építőmérnöi BSc sza Neptun ód: Az utolsó három feladatból összesen el ell érni %-ot! 1 (a ( pont
Kalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás
15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása
Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere Kedet
Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Proporcionális hmérsékletszabályozás
Proporcionális hmérséletszabályozás 1. A gyaorlat célja Az implzsszélesség modlált jele szoftverrel történ generálása. Hmérsélet szabályozás implementálása P szabályozóval. 2. Elméleti bevezet 2.1 A proporcionális
Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.
0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az
Speciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)
A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi
SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET
SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás:
beütésszám. előadás TARTALOMJEGYZÉK Az alfa-bomlás Az exponenciális bomlástörvény Felezési idő és ativitás Poisson-eloszlás Bomlási sémá értelmezése Bomlási soro, radioatív egyensúly Az a bomlás: A Z X
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Galjorkin módszerek Spektrális módszer
Galorin módszere Spetrális módszer Előadó: Szépszó Gabriella szepszo.g@met.hu 07. otóber 6. Véges ülönbséges módszer Legyen a vizsgálandó függvény egy egyváltozós függvény: f=f) A 0 L intervallumon vizsgálódun
( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +
4 85 Impliit Euler módszer A diszretizáiós elöléseet szálv z impliit Euler módszer l: dott : Motiváió: A derivált özelítésére gr szálu dierei ádost: Felszálv z egeletbe: Ie átredezve vgis eg impliit ormulát
9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
PHD DISSZERTÁCIÓ. Az akusztooptikai kölcsönhatás komplex, 3D modellje és kísérleti vizsgálata. Mihajlik Gábor
PHD DISSZERTÁCIÓ Az ausztooptiai ölcsönhatás omple, 3D modellje és ísérleti vizsgálata Mihajli Gábor Témavezet: dr. Barócsi Attila Budapesti Mszai és Gazdaságtudománi Egetem Atomfizia Tanszé BME 014 Tartalom
4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
Tizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN
Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti
A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.
9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön
VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
Neurális hálózatok. Nem ellenőrzött tanulás. Pataki Béla. BME I.E. 414,
Neurális hálózato Nem ellenőrzött tanulás Patai Béla BME I.E. 414, 463-26-79 patai@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/patai Nem ellenőrzött tanulás (Klaszterezés ) Az eseteet szoásos módon
9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
Y speciális feltételeket kielégítő függvények. Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális)
.3. Variációszámítás.3.. A funcionál fogalma X tetszőleges halmaz f: X R leépezés funcionál.3.. Variációszámítás fogalma Y speciális feltételeet ielégítő függvénye f: Y R leépezéseivel foglalozi. egyen
NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.
A kardáncsukló tengelei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredmént, eg körülfordulásra. 3 330 270 2 210 1 150 A kardáncsukló hajtott tengelének szögelfordulása
9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok
Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
2D grafikai algoritmusok
D grafiai algoritmuso A quadtree/octtree algoritmus A floodfill algoritmus Belső vag ülső pont? Baricentrius oordinátá Körüljárási irán eldöntése Animáció A quadtree/octtree algoritmus Legen Ω 0 R eg négzet,
Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
A Poisson-egyenletre alkalmazott multigrid mo dszer
A Poisson-egyenletre alkalmazott multigrid mo dszer Szakdolgozat I rta: Klimaj Bettina Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakira ny Te mavezeto : Dr. Ga spa r Csaba egyetemi tana r Numerikus Analı
1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Szervomotor pozíciószabályozása
Szervomotor pozíciószabályozása 1. A gyaorlat célja Egyenáramú szervomotor pozíciószabályozásána tervezése. A pozíció irányítási algoritms megvalósítása valós iben. A pozíció szabályozás tranzienséne archiválása,
Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
A feladatok megoldása
A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,
Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése
echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.
1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz
Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz
1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus
. Elsó olgoat témájául solgáló utatásoat egrést még a buaesti Silártestfiiai Kutatóintéet munatársaént etem maj eg utatással fejlestéssel foglaloó magáncég (& Ultrafast asers Kft.) olgoójaént jelenleg
Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.
zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1
Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása
Ezt kell tudni a 2. ZH-n
Ezt ell tudni a. ZH-n Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet A sebességi együttható nyomásfüggése 1 Sebességi együttható nyomásfüggése 1. unimoleulás bomlás mintareació: H O bomlása H O + M = OH + M uni is
következô alakúra: ax () = 4 2 P 1 . L $ $ + $ $ 1 1 2$ elsô két tagra a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget, kapjuk hogy + cos x
Tigonoetius egenlôtlensége II ész 7 90 a) a in = ezt ao veszi fel ha = Hozzun özös nevezôe alaítsu át a övetezô alaúa: a () = sin cos sin cos + = sin + sin bin = ezt ao veszi fel ha = Mivel b ()> 0 a egadott
2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni Gábor, mérnök tnár) Erők eredője, fölbontás.1. Péld dott eg erő és eg egenes irán-egségvektor:
9. évfolyam feladatai
Hómezővásárhely, 015. április 10-11. A versenyolgozato megírására 3 óra áll a iáo renelezésére, minen tárgyi segéeszöz használható. Minen évfolyamon 5 felaatot ell megolani. Egy-egy felaat hibátlan megolása
Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény
Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
Másodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR
10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)
Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása
Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta
Matematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
Többváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL
01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása.
6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS A mérés célja: ismeredés a villamos elven möd ontathmérel; exponenciális folyamat idállandójána meghatározása. Elismerete: ellenállás hmérséletfüggése; ellenállás és feszültség mérése;
A hidegzömítés alapesetei és geometriai viszonyai a 4.6. ábrán láthatók. 4.6. ábra A hidegzömítés alapesetei, zömítés (l/d) viszonyai
Animáció - Hiegzömítés Ismételje át a zömítés tanult jellemzőit! Gyűjtse i és tanulmányozza a hiegzömítés alapeseteit! Rajzolja le a hiegzömítés alapeseteit! Jegyezze meg a megengeett zömítési viszony
5 3 0,8 0,2. Számolja ki a 3
Megoldási útmutató, eredménye A feladato megoldásaor mindig ismételje át a feladatban szereplő fogalma definícióit. A szüséges fogalma, definíció: valószínűségi változó, diszrét-, folytonos valószínűségi
7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció
STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó
BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május
Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)
6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit
Analízis IV. gyakorlat, megoldások
Analízis IV. akorlat, meoldások BSc matematikatanár szakirán /. tavaszi félév. Differenciáleenletek Határozzuk me az alábbi differenciáleenletek összes, valamint a meadott feltételeket kieléítő meoldásait!.
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
Halmazok Egész számok
Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív