1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:"

Átírás

1 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Hammurapi korának algebrája. Klukovits Lajos SZTE TTIK Bolyai Intézet 013. február Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai viszonyok ellenére. Kevés ásványi nyersanyag, pusztító árvizek: özönvizek. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től: 1 Dzsarmo (Kurdisztán) kb. 150 lakos, Jerico (Palesztina) kb. 000 lakos 6000 körül, 3 Ur (Dél-Mezopotámia) kb (!) lakos 800 körül. Az itt élő népek 1. 1 Az őslakók ismeretlenek. Az első ismert bevándorlók a SUMEROK. 3 Nem tudjuk merről jöttek, 4 biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeurópai népek családjába. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. / 44 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Az itt élő népek. 1 Városállamokat alapítottak, a IV. évezred végén összeolvadtak az őslakókkal. 3 Megbízható régészeti (írásos) források kb. 750-től vannak, zömmel a városállamok harcairól a hegemóniáért. 4 Például Uruk Kis, és Ur Lagas tól Ur, a kor legnagyobb lakosságú városa, hegemóniája körül Lagas a vezető hatalom, az első társadalmi reform: Urukagina a kistermelők érdekében, majd az első kísérlet egységes birodalom létrehozására körül Sarrukin (Szargon) vezetésével AKKÁD hódítók, az első sémi nép e tájon. Átveszik és terjesztik a sumér kultúrát. Az itt élő népek kultúrája. 1 Ismeretlen eredetű képírás. 600 körül: a Gilgames eposz, az első irodalmi alkotás. 3 Özönvíz legendák. 1 Mintegy 50 ilyen legenda ismert. Görögök: Zeusz bosszúja az emberi romlottság miatt. 3 Maják: A gyékényen ülő bölcsek könyve. 4 A klasszikus bibliai történet. 4 Fontos találmányaik. 1 fazekaskorong, lovak használata, 3 ló vontatta kerekes járművek. 5 Kezdetleges, helyiértékes jegyeket is hordozó, számírás: jele az 1-nek és a 10-nek, meg a 60 hatványainak volt. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

2 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred első harmadában Néhány történelmi mérföldkő Hammurapi törvényoszlopa körül több hullámban újabb, nomád, hódító sémi népek jönnek: (ismét) akkádok, elámiak, amurok/amoriták és mások. Letelepednek, újabb városokat alapítanak, köztük BABILONT. Gyors lakosságcsere, a sumer holt nyelv lesz, az akkád válik általánosan használttá. 3 A XVIII. század elején HAMMURAPI megalapítja az Óbabiloni Birodalmat. 4 Hammurapi törvényei, a XVIII. vagy a XIX sz. elején találták meg a törvényoszlopát Susa-ban (a források sok eltérő dátumot tartalmaznak). 5 Ma is érvényes és használt matematikai eredmények körül a hettita hódítók megdöntik a birodalmat. Rövidesen a kassuk is jönnek, elterjesztik a lótenyésztést. 7 Asszir hódítók. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred első harmadában A Behistum kőtábla. Néhány történelmi mérföldkő Írásos emlékek. 1 Az első számottevő leletegyüttes: Asszurbanipal asszir uralkodó Ninive-i könyvtára A Behistum kőtábla megtalálása: 3 perzsa, asszir és méd nyelven tudósít I. Dareiosz perzsa uralkodó Kambüzesz fölötti győzelméről 4 A perzsa ismeretében megfejtették a másik kettőt, majd az asszir alapján az akkádot. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

3 Mezopotámiai aritmetika. Aritmetika A mezopotámiai számírás. Aritmetika A mezopotámiai számírás az Óbabiloni Birodalom korában. 60-as alapú következetesen helyiértékes számírást alkalmaztak. Mindössze két jelet használtak: saját jele az 1-nek és a 10-nek volt. Hiányossága: nem volt jele a számjegy hiányának. Egy példa. < < < A számjegyek írása. Az 1 jele, az ék : Nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát jelölhette. A 10 jele, a sarokpánt : Ez szolgált a 60 bármely egész kitevős hatványa tízszeresének jelölésére is. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 < Ha egész szám, akkor lehet például = 53.05, vagy = 5.405, vagy akár = 95 is. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 A mezopotámiai számírás. Aritmetika DE ők hatvanados törtekkel is számoltak. Újabb hiányosság: hatvanados vessző nincs. A lehetséges jelentések száma növekszik. Törtek. Néhány lehetséges jelentés: = = , Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 A mezopotámiai számírás. Neugebauer ötlete. Aritmetika A 60-as számrendszerben megadott számok decimális jegyekkel való föĺırására Neugebauer adott meg egy módszert: a 60-ados jegyeket decimálisan írjuk, és vesszővel választjuk el egymástól. A hatvanados-vesszőt pontosvesszővel jelöljük. Így az előbbi számok a következőképp írhatjuk: Az átírás = 1, 10, 0, 5 = 53.05, = 1, 30, 5 = 5.405, = 1; 10, 0, 5 = Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

4 Másodfokú egyenlet. Az eredeti szöveges megoldás. 1. Feladat. (Szenkereh). Hosszúság és szélesség. A hosszúságot és a szélességet összeszoroztam, és így megkaptam a területet. Amennyivel pedig a hosszúság meghaladja a szélességet, azt hozzáadtam a területhez, és 3, 3 [-at kaptam]. Hosszúság és szélesség összeadva pedig 7. Mi a hosszúság, szélesség, terület? Az eredmény közlése. 7 3, 3 az összegek 15 a hosszúság 1 a szélesség 3, 0 a terület Eljárásod ez legyen: 7-et, a hosszúság és a szélesség összegét 3, 3-hoz add hozzá; 3, 30 [az eredmény]. -t a 7-hez add hozzá; 9 [az eredmény]. 9-ből letöröd a felét; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-ből; 0; 15 a különbség. 0; 15 négyzetgyöke 0; 30. Az első 14; 30-hoz add hozzá a 0; 30-at: a hosszúság 15. 0; 30-at a második 14; 30-ból kivonsz: a szélesség 14. Azt a -t, amit a 7-hez hozzáadtál, 14-ből, a szélességből levonod: 1 a végleges szélesség. A 15 hosszúságot és a 1 szélességet összeszoroztam. 15-ször 1 [az] 3, 0 [ennyi a] terület. A 15 hosszúság a 1 szélességen mennyivel nyúlik túl? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a területhez adj hozzá: 3, 3[-at kapsz]. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Elemzés 1. Elemzés. Mai jelölésekkel az egyenletrendszert kapjuk. xy + x y = 3, 3 x + y = 7 A számolás második lépéséből látszik, hogy az y szélesség helyett egy új y = y + szélesség bevezetésével kapjuk, hogy xy = 3, 30 x + y = 9. Az eredeti megoldás lépései és következményei ezen egyenletrendszer alakításában. Párhuzamos számolás , 3 = 3, 30 xy = 3, = 9 x + y = 9 9 : = 14; 30 14; 30 14; 30 = 3, 30; 15 3, 30; 15 3, 30 = 0; 15 x + y = 14; 30 ( ) x + y = 3, 30; 15 ( ) x + y xy = 0; 15 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

5 Elemzés 3. Elemzés 4. Párhuzamos számolás. (x ) + y 0; 15 = 0; 30 xy = x y = 0; 30 14; ; 30 = 15 x + y + x y = x = 15 14; 30 0; 30 = 14 x + y x y = y = = 1 y = y = 1 Az 1. Feladat megoldásának összegzése. Mai szimbolikával a szöveges probléma egy alakú egyenletrendszerre vezet. xy = P x + y = a Ennek megoldásakor bevezettek egy új w határozatlant (a két eredeti határozatlan számtani közepétől való eltérést), amelynek révén egyhatározatlanossá vált a probléma: Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Elemzés 5. Másodfokú egyenletek. Az 1. Feladat megoldásának összegzése. x = 1 a + w y = 1 a w, w = (1 a ) P. Mit kellene ehhez tudni? Egyrészt ismerniük kellett az alábbi azonosságokat: Fontos megjegyzések. Hangsúlyozni kell, hogy formulákat kizárólag a mai olvasó könnyebbségére írtunk és írunk föl. Nyomatékosan hangsúlyozzuk, hogy a korabeli írnok minden probléma megoldását szövegesen írta le. (a + b) = a + ab + b (1) (a b) = a ab + b, () másrészt tudniuk kellett négyzetgyököt vonni. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

6 További másodfokú egyenletek.. Feladat. VAT Megoldandó az egyenletrendszer. Megoldás. xy = P x y = d Most a határozatlanok számtani közepére vezettek be új határozatlant, mi w-vel jelöljük. x = w + d, y = w d, ahol w = (d ) + P. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 További másodfokú egyenletek. Előretekintés. A két ismertetett feladat megoldási módszere szerepel I.sz. 50 körül élt alexandriai Diophantosz Aritmetikájában, mint az összeg és különbség módszere. További problémák: 8. Probléma: Megoldandó az egyenletrendszer. x + y = S = 1, 40 x + y = a = 50 A számolás az mutatja, hogy a második egyenlet négyzetéből kivonták az első egyenletet, és ezzel ugyanolyan egyenletrendszert kaptak, mint az 1. Feladatban szereplő, s az ott megismert módon a Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február 13. / Probléma. w = formulák által leírt úton haladtak. S ( a ), x = a + w, y = a w, 9. Probléma. A második egyenlet most x y = d = 10 alakú, s a megoldás az előbbiekhez hasonló formulákkal adható meg. w = S + x = w + d, y = w d. ( ) d, Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

7 . Probléma. Kivontam a négyzetet a területéből és az 14, 30. Az eredeti megoldás. Vedd az 1-et [az együtthatót] és osszad két részre. A 0; 30-at szorozd önmagával, az 0; 15. Ezt add hozzá a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [négyzet]gyöke 9; 30. Ezt add hozzá a 0; 30-hoz, amit önmagával szoroztál. Ez 30, ami a négyzet [oldala].. Probléma elemzése. A probléma az x x = 14, 30 egyenlet, egy x ax = b alakú egyenlet, megoldását kívánja. Látható, a bal oldalt teljes négyzetté alakították (a () azonosság alkalmazása), és a ma mérlegelvnek nevezett módszert alkalmazták. Az utóbbi első alkalmazását az 1930-as évekig a I.sz. VIII. században élt al-khwarizminek tulajdonították. A számolás eredménye. Az x ax = b alakú egyenlet megoldása: x = 1 a + (1 ) + b Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Itt a gyökképlet? 7. Probléma. A négyzet hétszereséhez hozzáadtam a terület tizenegyszeresét és ez 6; 15. A megoldás elve. A egyenletet kell megoldanunk. 11x + 7x = 6; 15 Ismét négyzetté alakították az egyenlet bal oldalát, de ehhez előbb 11-gyel megszorozták az egyenlet, azaz a egyenlettel dolgoztak., 1x + 1, 17x = 1, 8; 45 A megoldás mai jelölésekkel. A megoldandó egyenlet alakú. Számolásuk az formulával írható le. ax + bx = c x = 1 ( ) b ca + b a Észrevétel. Az előbbi két megoldás azt tanúsítja, hogy tulajdonképpen ismerték a másodfokú egyenletek gyökképletét, hiszen aszerint számoltak. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

8 Még néhány feladat módszereik erejének demonstrálására. Világos azonban, hogy NEM a KÉPLETET ismerték, hanem azt az eljárást, amivel az megkapható. 14. Probléma. Két négyzetem területét összeadtam, [az] 5,5. A második négyzet [oldala] kétharmada az első négyzet[é]nek és még 5. A megoldás 1. Ha x, y jelöli a két négyzet oldalát, akkor az egyenletrendszert kell megoldani. x + y = 5, 5 y = 0; 40x + 5 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 BM 13901/ Probléma. A második egyenletből y-t az elsőbe helyettesítve, a 1 x + a x = a 3 alakú másodfokú egyenletet kapunk. DE, e módszer a behelyettesítés bevezetését szintén al-khwarizminek tulajdonították. A megoldás. Az agyagtáblán található számolás ezt a vélekedést is cáfolja, ugyanis a következőképp számoltak: 1 + 0; 40 0; 40 = 1; 6, 40, 5 0; 40 = 3; 0, 5, = 5, 0 Ez pedig nem más, mint azon egyenlet együtthatói kiszámítása, amit az emĺıtett behelyettesítéssel kapunk, azaz x + (0; 40x + 5) = 5, 5. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

9 BM 13901/14. BM 13901/14. A megoldás 3. Rendezve (1 + 0; 40 )x + 5 0; 40x = 5, 5 5 = 5, 0. Ezen egyenlet megoldását az alábbi számolásokkal végezték el: 1; 6, 40 5, 0 = 36, 6; 40, 3; 0 3; 0 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. A megoldás 4. (erdeti) A gyöknek és annak, amit önmagával szoroztál a különbsége 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 6, 40 reciprokával, megkapod az egyik négyzetet [a négyzet oldalát], ami 30. A másik négyzet [oldala] pedig 5. Megjegyzés. Hasznos lehet az érdeklődők számára a reciprok meghatározása hatvanados tört alakban, mi nem részletezzük. Az azonban világos, hogy korrekt megoldást kaptak. Ezután megadták a 36, 17; 46, 40 négyzetgyökét, ami 46; 40, majd így folytatták. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 BM 13901/14. A mezopotámiai algebra. Elemzés. Világos, hogy a behelyettesítés után kapott ax + bx = c alakú egyenletet előbb a-val megszorozták, ismét egy olyan lépés, aminek első alkalmazását al-khwarizminek szokás tulajdonítani, majd az egyenlet bal oldalát teljes négyzetté alakították, (ax + b) = ac + b. ezután gyökvonással kapták a megoldást: ac + b x = b. a Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Tanulságok. Az Óbabiloni Birodalom írnokai ismerték az (1) és () azonosságokat. Ismerték már az al Khwarizminek tulajdonított al-muqabla és al-jabr módszert. Minden olyan (pozitív együtthatós) másodfokú egyenletet meg tudtak oldani, amelyiknek volt pozitív gyöke (két pozitív gyök esetén csak a nagyobbikat adták meg). Így az egyenletek 3 típusával foglalkoztak: x + px = q x = px + q x + q = px Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

10 A mezopotámiai algebra. A mezopotámiai algebra. Egy igazi gyöngyszem A szöveges probléma a egyenletrendszerre vezet. 0; 0(x + y) + 0; 1(x y) = 15 xy = 10, 0 E feladatot tartalmazó, a Yale Egyetem gyűjteményében őrzött, agyagtábla csak egy töredék, a feladat megoldása már hiányzik róla. Az előbbiekben ismertetett megoldási technikák közül azonban több is kínálkozik. Ötletek. 1 A második egyenletből kifejezzük az egyik határozatlant, majd behelyettesítjük azt az elsőbe. Ez azonban teljes harmadfokú egyenletre vezet, ami eddigi ismereteink szerint már meghaladja a korabeli ismereteket. Egy másik lehetőség az, hogy a második egyenlet 4 0; 1-szeresét hozzáadva az első egyenlethez az 0; 0(x + y) + 0; 1(x + y) = 6, 55 (x + y)-ban másodfokú egyenletet kapjuk, amely már kezelhető lehetne az ismert módszerekkel. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 A mezopotámiai algebra. Elemzés 1. 1 Csak speciális, például x 3 = A, vagy x 3 + x = B alakú harmdfokú egyenleteket tartalmazó táblák ismeretesek. A teljes harmadfokú egyenletek bizonyos típusainak megoldására először a közel három évezreddel későbbi iszlám matematikusok adtak meg geometriai módszereket. E lehetőséget így el kell vetnünk. Ez az út elképzelhető ugyan, de véleményem szerint kevéssé valószínű. Nem ismertek (még) e módszert tartalmazó táblák. A mezopotámiai algebra. Elemzés. Neugebauer egy ötlete, amely jól illeszkedik gondolkodásmódjukhoz: vezessünk be két új határozatlant, a következő meggondolással. Számos feladatban szerepel a határozatlanok összege vagy különbsége, és a határozatlanok szorzata. Itt az a többlet, hogy mind az összeg, mind a különbség szerepel. Mindkét esetben célszerű volt új határozatlanként az eredetiek számtani közepét, és az attól való eltérést bevezetni. Most is tegyünk így, azaz alkalmazzuk az x = u + v y = u v helyettesítéseket. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

11 A mezopotámiai algebra. Négyzetgyökvonó algoritmus Egy megmaradt kérdés. Elemzés 3. A helyettesítésekkel az egyenletrendszert kapjuk, 0; u + 0; 4v = 15 u v = 10, 0 amely már könnyen megoldható, csak a második egyenletből v - et az elsőbe kell helyettesítenünk, vagy a második egyenlet 0; 4-szeresét hozzá kell adnunk az elsőhöz. Ez annak ellenére szimpatikus ötlet, hogy más ismert feladatoknál csak egy új határozatlant vezettek be, míg itt egyszerre kettőt kellene. Hogyan számolták ki (pozitív) számok négyzetgyökét? A Yale Egyetem gyűjteményének YBC 789-es agyagtábláján szerepel a kiszámítása 3 hatvanados tört helyiértékre: 1; 4, 51, 10. E szám decimálisan közeĺıtőleg 1, , ami csak kb nel tér el a helyes értéktől. Ezt a pontosságot a reneszánsz kor vége felé tudták újra elérni az európai, valamint az iszlám matematikusok. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 A négyzetgyökvonás. Négyzetgyökvonó algoritmus A négyzetgyökvonás. Négyzetgyökvonó algoritmus Iterációs eljárás. a-t akarjuk meghatározni. 1. lépés: Válasszunk egy a 1 közeĺıtést, a második legyen a b 1 = a a 1. lépés: Legyen a = a1+b1, és b = a a. Világos, hogy a és b között van, valamint a 1 b 1 > a b Az eljárást a kívánt pontosság eléréséig kell folytatni, de hány lépés kell. Iterációs eljárás. A konvergencia gyorsaságát mutatja, hogy ha értékét az előbbi módon az a 1 = 1 kezdő értékkel számoljuk, akkor az a 5 értéke megegyezik azzal a számmal amit a mai általánosan használt zsebkalkulátorok szolgáltatnak. A pontosság kb Az utóélet. Ezen algoritmust a későbbi korok számos tudósnak tulajdonították. Olvashatunk róla úgy, mint a I.e között élt tarrentumi Archytas (az utolsó nagy pitagoreus ), a I.sz. 100 körül élt alexandriai Heron eljárása, de úgy is, mint Newton algoritmusa. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44 Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Intézet) Algebra történet 013. február / 44

Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából

Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából (Kr.e. XVIII. század) Mikor és hol születtek az első említésre érdemes matematikai eredmények az ókori folyammenti kultúrákban? - Egyiptom: a Kr.

Részletesebben

Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából

Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából Másodfokú egyenletekre vezető feladatok Hammurapi korából (Kr.e. XVIII. század) Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet Alegtöbb tudományban az egymást követő generációk lerombolják azt, amit elődeik építettek.

Részletesebben

Fejezetek a Matematika

Fejezetek a Matematika Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2012. szeptember 14. A történelem előtti idők A Lebombói csont (kb. i.e. 35000, Afrika) Az Ishangói csont

Részletesebben

A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.

A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 8. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve

Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Középkori matematika

Középkori matematika Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Mi az, hogy egyenlet. Megoldhatók-e az egyenletek. Mi az, hogy egyenlet. Mi az, hogy egyenlet. Számokat keresünk 3.

Mi az, hogy egyenlet. Megoldhatók-e az egyenletek. Mi az, hogy egyenlet. Mi az, hogy egyenlet. Számokat keresünk 3. A probléma Megoldhatók-e az egyenletek. Időutazás a matematika 4000 éves történetében. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. november 24. Egy egyszerű definíció. Egy vagy több olyan matematikai objektumot

Részletesebben

1 NEM, mert az csupa elavult, ma már egyszerűen mosolyra fakasztó. 2 Talán IGEN, bár az csak színes, érdekes epizódokat, történeteket

1 NEM, mert az csupa elavult, ma már egyszerűen mosolyra fakasztó. 2 Talán IGEN, bár az csak színes, érdekes epizódokat, történeteket Bevezetés. Érdemes-e tudománytörténettel foglalkozni? Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből. Bevezető Gondolatok. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 2. Négy lehetséges válasz. 1 NEM,

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Számológép nélkül! százasokra:,,zsinór ; ezresekre:,,lótuszvirág ; tízezresekre:,,ujj ; százezresekre:

Számológép nélkül! százasokra:,,zsinór ; ezresekre:,,lótuszvirág ; tízezresekre:,,ujj ; százezresekre: Számológép nélkül! Manapság az iskolában a matematika órán szinte mindenhez megengedett a számológép használata. Persze mindezen a mai világban már meg se lepődünk, hiszen a mindennapi tevékenységeink

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A görög klaszikus kor.

A görög klaszikus kor. Történeti áttekintés. Történeti mérföldkövek A görög klaszikus kor. Logisztika (aritmetika) és számelmélet. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 4. A folyammenti kultúrák hanyatlása a II.

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Dr. Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet. Bolyai Nyári Akadémia július

Dr. Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet. Bolyai Nyári Akadémia július A számfogalom alakulásának néhány lépése az ókortól a XX. század közepéig. Dr. Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet Bolyai Nyári Akadémia Szováta 2006. július 6-22. A legtöbb tudományban mindegyik generáció

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok.

Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 8. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Szinte minden oldalról természetes, nehezen

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek 1.

Magasabbfokú egyenletek 1. Magasabbfokú egyenletek. XVI XVIII. század. Előzmények. Csak pozitív együtthatókat megengedve a következő három típussal kell foglalkozni (azt már az iszlám matematikusok is tudták, hogy hogyan lehet megszabadulni

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... A feladatsor jellemzői

IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... A feladatsor jellemzői IV.3. GONDOLJ, GONDOLJ... Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ezek felhasználása szöveges feladatok megoldásánál. Előzmények Egyenletek, egyszerűbb algebrai

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 11. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 11. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 06. április. A -. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz. Tegyük fel, hogy az egyes csapoknak külön-külön,, órára

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A -Y és a Y- átalakítás bemutatása. Kiss László április havában

A -Y és a Y- átalakítás bemutatása. Kiss László április havában A -Y és a Y- átalakítás bemutatása Kiss László 2011. április havában -Y átalakítás ohmos ellenállásokra Mint ismeretes, az elektrotechnikai gyakorlatban többször előfordul olyan kapcsolási kép, ami a megszokott

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Az európai civizáció kezdete (a nem görög területeken). Az európai algebra kezdete. Az első egyetemek. A folyammenti kultúrák kora.

Az európai civizáció kezdete (a nem görög területeken). Az európai algebra kezdete. Az első egyetemek. A folyammenti kultúrák kora. Az európai civizáció kezdete (a nem görög területeken). Az európai algebra kezdete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. március 6. A folyammenti kultúrák kora. Kevés kivétellel primitív törzsek lakják,

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9 Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Csuklós szerkezetek reakciói és igénybevételi ábrái. Frissítve: példa: A 12. gyakorlat 1. feladata.

Csuklós szerkezetek reakciói és igénybevételi ábrái. Frissítve: példa: A 12. gyakorlat 1. feladata. 1. példa: A 12. gyakorlat 1. feladata. Számítsuk ki a reakcióerőket! Rajzoljuk meg a nyomatéki ábrát! Megjegyzés: A támaszok vízszintesen egy vonalban vannak. 1 / 20 2. példa: Számítsuk ki a reakcióerőket!

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

A kezdetek. Az Ókori Meopotámia matematikája. A III. évezred. IV.-III. évezred.

A kezdetek. Az Ókori Meopotámia matematikája. A III. évezred. IV.-III. évezred. A kezdetek. Az Ókori Meopotámia matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 015. szeptember 15.-. Neolitikum Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai viszonyok ellenére.

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben