Fejezetek a Matematika

Átírás

1 Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet szeptember 14.

2 A történelem előtti idők

3 A Lebombói csont (kb. i.e , Afrika)

4 Az Ishangói csont i.e (20000 évnél is régebbi lehet, Afrika)

5 A számadók figurái i.e. 4000, (University of Texas, Austin)

6 A számadók figurái i.e. 3300, (Musée du Louvre, Párizs)

7 A számadók agyagba burkolt figurái i.e (Royal Ontario Museum, Torontó)

8 A számadók agyagba burkolt figurái i.e (Royal Ontario Museum, Torontó)

9 Babilon

10

11 Matematikai szövegek két korszakból származnak:

12 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e )

13 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e )

14 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek

15 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853).

16 Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e ) Szeleukida-kor (kb. i.e ) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853). A behisztuni sziklán lévő háromnyelvű felirat (óperzsa, elámi és babilóni), amely lehetővé tette az ékírás megfejtését (1830-as évek).

17 Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

18 Óbabilon (XIX-XVI. század)

19 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése

20 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya

21 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve

22 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád

23 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb agyagtáblával

24 Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi ( ) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb agyagtáblával Ékírásos táblák matematikai szöveggel

25

26 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

27 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

28 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

29 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

30 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

31 Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l A 10 jele a sarokpa nt. 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

32 VAT kb. i.e , (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k

35

36 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette.

37 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.

40 Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette. VAT 7858 Vorderasiatisches Museum, Berlin ( A tíz szorzótáblája. )

41

42 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat.

43 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.

47 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám?

48 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? =

49 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? = = 4809

50 Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? = = = =

51 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9.

52 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:

56 Otto Neugebauer ( ) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: = 4809 = 1, 20, = = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára: 1, 0, 4 = 3604

57

58 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)

61 YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e ) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.) (6x + 2) (6x + 2) = 60 7

62

63 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.

66 BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15. A megoldandó egyenlet modern feĺırásban: ax 2 + bx = c, ahol a = 11, b = 7 és c = 6; 15 =

67 A feladat megoldása az alábbi:

68 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45.

69 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30.

70 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15.

71 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete.

72 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30.

73 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk.

74 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk?

75 A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk? [A válasz] 0; 30, a négyzet oldala 0; 30.

76 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac.

77 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2.

78 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4.

79 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4.

80 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4.

81 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t.

82 (1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t. ac + b (7) Osszuk el a-val, és a válasz x = 2 /4 b/2. a

83 YBC 7289 Yale Egyetem, Babiloni Gyűjtemény

84 Hogyan számolták ki (pozitív) számok négyzetgyökét? A Yale Egyetem babiloni gyűjteményének YBC 7289-es agyagtábláján szerepel a 2 alábbi közeĺıtő értéke: 1; 24, 51, 10 (= = ). Mivel 2 = , ezért 2 1; 24, 51, 10 < 0,

85 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval:

86 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2)

87 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3)

88 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).

89 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).

90 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik,

91 Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik, b n a n < b n+1 a n+1

92 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították:

93 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus)

94 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100)

95 Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb , az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100) Isaac Newton ( )

96 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek:

97 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b,

98 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a,

99 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b,

100 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a,

101 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.

102 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek:

103 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b,

104 Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b, x ± y = a, x 2 + y 2 = b.

105 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket

106 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2,

107 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2,

108 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1,

109 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1, n = 1 n(n + 1), 2

110 Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, n = 2 n + 2 n 1, n = 1 n(n + 1), ( n 2 = ) 3 n ( n).

111 Az x 2 + y 2 = z 2 (diofantoszi) egyenletnek eleget tevő (pitagoraszi) számhármasokat az x = p 2 q 2, y = 2pq, z = p 2 + q 2 képletek segítségével találták meg.

112 Plimpton 322 Columbia Egyetem, New York (Plimpton-gyűjtemény)

113

114 Geometria

115 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél,

116 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel,

117 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe,

118 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2,

119 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata,

120 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h,

121 Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h, négyzetes alap- és fedőlapú csonkagúla térfogata: 1 2 (a2 + b 2 )h.

122