Bojtár Imre. Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára.

Átírás

1 Bojtá Ime MECHANIKA - MSc Elektonikusan letölthető előadásvázlat építőménök hallgatók számáa Kiadó: BME Tatószekezetek Mechanikája Tanszék Budapest ISBN

2 BEVEZETÉS Ez az előadásvázlat a BME Építőménöki Kaán az MSc képzésben oktatott Mechanika-MSc című tantág előadásainak anagát tatalmazza követve a 4 hetes képzésben elhangzott legfontosabb tudnivalókat Célja hog a hallgatók számáa vezéfonalat nújtson a tág alapjainak elsajátításához Az anag összeállításánál a szakmai tágak igéneit tekintettem a legfontosabbnak A moden szekezettevezési eljáásoknak az építőménöki gakolatban is ege inkább szükségük van a nemlineáis viselkedés leíásáa alkalmas numeikus módszeeke ezek használatához pedig a mechanikai hátté ismeete szükséges Ebben a jegzetben a nemlineáis feladatok vizsgálatához szükséges elméleti alapok összefoglalása található Ismetetem a nag alakváltozások követéséhez szükséges alakváltozási- és feszültségtenzookat bemutatok néhán fontos anagmodellt észletesen tágalom az alapvető mechanikai egenletek eős- és genge alakját és a kétféle felíási mód közötti kapcsolatot Az eő- és elmozdulásmódsze alapelveinek bemutatása után a feszültségfüggvének használatán alapuló számítási mód segítségével a pontosan megoldható alapfeladatok családját tágalom majd ezt követően észletesen bemutatom a hajlított geendák lemezek és héjak különböző változatainak alapvető egenleteit Köszönöm a Tatószekezetek Mechanikája Tanszék minden dolgozójának szíves tanácsát és megjegzését Külön köszönet illeti d Tanai Tibot d Gáspá Zsoltot d Bagi Katalint d Kovács Flóiánt és Bibó Andást fontos és hasznos észevételeikét Fontos megemlíteni azt is hog a ajzokat Vilmos Zoltán építőménök hallgató készítette Mottó: Wi müssen wissen Wi weden wissen /Tudnunk kell tehát tudni fogunk/ David Hilbet 6

3 Előadás: Matematikai és mechanikai alapok A jegzet anagának megétését segíti ha az eges mechanikai tatalmú észek tanulmánozása előtt áttekintjük hog milen matematikai eszköztáa lesz szükségünk Az előadásvázlat anagának tanulása előtt nomatékosan javasoljuk a jegzet Függelékének tanulmánozását Fontosságuk miatt külön is felhívjuk a figelmet háom olan matematikai művelete illetve tétele ameleke az egész anagban gakan lesz szükségünk Ezek a következők: alapműveletek tenzookkal gadiensképzés Gauss integáltétele Mechanikai alapfogalmak A legfontosabb matematikai alapfogalmaka tötént hivatkozás után a nemlineáis mechanikai feladatok vizsgálatához szükséges fogalmak tágalását kezdjük el Mivel általános esetben tetszőleges jellegű mozgások leíását kell majd megoldanunk ezét a mechanikai alapfeltételek ögzítése után előszö a mechanikai mozgások követésée alkalmas leíási módokat kell majd megismenünk Alapfeltevések Eg ménöki szekezet vizsgálatának módját alapvetően befolásolja anagának modellezése A valóságban minden anag atomok (molekulák) halmazából áll és sziládsági tulajdonságait végső soon az dönti el hog ezek az elemi észecskék milen eősen és milen tébeli endezettséggel kapcsolódnak egmáshoz Eg hamadik alapvető ténező a mikoszekezetben lévő hibák száma és eloszlása Ez azt jelenti hog igazán pontos infomációink csak akko lesznek eg anag mechanikai viselkedéséől ha a külső hatásoka adott választ az anag elemi észecskéinek szintjén keessük Tudásunk és numeikus lehetőségeink - mai szintjén azonban ezt a módszet nem tudjuk alkalmazni gakolati feladatok megoldásáa Éppen ezét olan egszeűsítést kell alkalmaznunk ami a lehetőségek szeint megpóbálja legalább közelítőleg figelembe venni az elemi stuktúa jellegzetességeit Ma a leggakabban alkalmazott ilen közelítés a kontinuum-modell éppen ezét a következőkben mi is ezt fogjuk alkalmazni Ennek a modellezésnek az a célja hog az anag (szilád test vag foladék) makoszintű viselkedéséől adjon a lehetőségek szeint pontos leíást A kontinuummechanika legfontosabb alapfeltevése az hog a mechanikai vizsgálat tágát képező testet (aká szilád anag aká foladék) kontinuum-számosságú pontok ( anagi észecskék anagi pontok ) halmaza alkotja A test minden mechanikai jellemzője (tömeg fizikai jellemzők stb) leíható a kontinuumot alkotó ponthalmaz tében és időben foltonos függvéneivel A kontinuumnak tekintett test belsejében vag peemén csak véges számú geometiai vag sziládságtani diszkontinuitást (epedés luk záván stb) engedünk meg ezek a kontinuummechanika szokásos eljáásaival még kezelhetők A kontinuummechanika időbeli változásokat vizsgál A jellegzetes állapotok definiálásához példaként tekintsünk eg olan (tetszőleges dimenziójú) testet amelet a t = Ez lehet eg valóban szilád test de lehet eg adott téfogatú foladék is 6

4 időpillanatban Ω állapotú belső tatománnal és Γ peemmel jellemezhetünk (lásd az ábát): ába: Kiindulási és pillanatni állapot A test Ω-lal jellemzett (t = időhöz tatozó) helzetét a továbbiakban kezdeti állapotnak (vag kiindulási konfiguáció -nak) fogjuk nevezni A mechanikai egenletek megfogalmazásához feltétlenül szükségünk lesz eg olan helzete is amihez viszonítva fel tudjuk íni azokat Ezt hívják a mechanikában hivatkozási állapotnak (vag más néven efeencia konfiguáció -nak) Ebben a jegzetben hacsak külön fel nem hívjuk a figelmet az ettől való eltéése az egszeűség kedvéét feltételezzük hog a kezdeti (kiindulási) és a hivatkozási (efeencia) állapot mindig megegezik! Eg hamadik endszet alkothatunk annak feltételezésével hog általános esetben a vizsgált anagi test defomálatlan állapota különbözik mind az időbeli folamatokat jellemző kezdeti mind az alapegenletekhez szükséges hivatkozási állapottól A vizsgálatok egszeűsítése miatt most ettől a különbségtételtől is eltekintünk a defomálatlan állapotot szintén azonosnak tekintjük a kezdeti konfiguációval A test mechanikai állapotának a külső hatások miatt bekövetkező változása az időben lejátszódó folamat Eg tetszőleges t időpontbeli állapothoz tatozó helzetet jellemeztünk a fenti ábán Ω jellel Temészetesen a hozzá tatozó peem is változott ezt jelöltük most Γ - val Ezt a helzetet hívják a mechanikában pillanatni állapotnak (eges szezők defomált állapotként említik) A defomálatlan állapot létének feltételezése temészetesen eős egszeűsítés hiszen eg testnek soha nincs ilen helzete a valóságban Ennek ellenée mechanikai modelljeinkben elfogadjuk ezt met a vizsgálni kívánt külső hatások okozta változásokat mindig jelentősebbnek gondoljuk az eedetileg is meglévő defomációkhoz képest 6 4

5 A kezdeti és a pillanatni konfiguációhoz tatozó anagi pontok koodinátáit az ábán jelképesen X és koodinátákkal jelöltük A két állapot közötti változást (magának a testnek =Φ Xt függvén jellemzi az u elmozdulás-függvénnel leíható időbeli mozgását) az ( ) A továbbiakban ezeknek a változóknak az ételmezésével foglalkozunk Eule - és Lagange 4 -koodináták Mechanikai feladatok jellemzésée a kezdeti és pillanatni konfiguációkban kétféle koodináta-endszet használunk Az egiket a kezdeti a másikat a pillanatni állapothoz ögzítjük úg ahog az előbbi pontban láttuk a/ Az X= X i e i endsze a továbbiakban az anagi pont helzetét jelöli a kezdeti (hivatkozási) állapotban étéke nem változik az időben A mechanikában ezt anagi vag más néven Lagange-koodinátáknak nevezik b/ Az = i e i endsze jelzi az anagi pont helzetét a pillanatni állapotban Ennek tébeli vag más néven Eule-koodináta a neve A mozgás jellemzésée a két bázis közötti kapcsolatot leíó függvént kell megadnunk Ee a céla szolgál az = Φ( Xt) () összefüggés amel a test (a test pontjainak) tanszfomálását végzi a hivatkozási állapotból a pillanatni állapotba A kétféle koodináta-endsze és a közöttük felíható tanszfomáció illusztálásáa bemutatunk eg egszeű példát Legen eg defomált D test metszetének alakja az ábán látható paalelogamma A kezdeti alak eg L L oldalhosszúságú téglatest volt ennek D metszetét vékon vonallal ábázoltuk ába: Koodinátatanszfomáció Leonhad Eule (77 78) svájci számazású matematikus a legnagobb tudósok egike Életéől lásd a tanszéki honlapon levő életajzot: Eule és a kihajlás vizsgálata 4 Joseph Louis Lagange (eedeti nevén Giuseppe Lodovico Lagangia 76-8) olasz számazású de élete nag észében Fanciaoszágban élő kiváló matematikus 6 5

6 A (síkbeli) változást az időfüggő θ ( t) =ω t szögváltozás okozza itt ω az ismetnek (és konstansnak) feltételezett szögsebesség t pedig az idő Az eedetileg vízszintes szálak az elmozdulás soán is vízszintesek és változatlan hosszúságúak maadnak A hamadik iánban a méet változatlan maad Hatáozzuk meg eg X Ω pont időfüggő helzetét t=π / 4 ésω= esetén Legenek a vizsgált pont koodinátái t = -nál a következők: [ / / ] L L A keesett tébeli (Eule) koodináták: = X + tg θ X = ( L + L ) / P P P = X = L P P = X = P P A mechanikai folamatok modellezésének különböző lehetőségei / () A nemlineáis mechanikai jelenségek matematikai leíásáa alapvetően két különböző lehetőségünk van Ha egenleteinkben a független változók az anagi koodináták és az idő függvénei akko anagi vag más néven Lagange-féle leíási módól beszélünk ha pedig a független változók a tébeli koodináták és az idő akko tébeli vag más néven Eule-féle leíási módot használunk A kétféle leíási mód elméletileg teljesen egenétékű a gakolati számításoknál (például a végeselemes modellezésnél) azonban jelentős különbségek adódhatnak a kétféle technika között Bá éles hatát megszabni nem lehet met sokféle szempontot kell figelembe venni a választásnál de a szilád testek nemlineáis feladatainál többnie a Lagange- míg áamlástani poblémáknál legtöbbszö az Eule-féle leíásmódot használják 5 Elmozdulás sebesség és gosulás A következőkben megadjuk azokat az alapvető összefüggéseket amelek segítségével a testek mozgásának mechanikai jellemzői számíthatók Elsőként az elmozdulás függvénének számítását mutatjuk be Az elmozdulásokat az eges anagi pontoknál a kétféle bázis koodinátáinak a különbsége fogja megadni (megadjuk indees alakban is): u= - X= Φ( X t) Φ( X) u X t= u e u =φ ( X t) X () ( ) i i i i j i Az elmozdulások ismeetében a sebesség függvéne is számítható Anagi (Lagange) leíásmód esetén a tanszfomáló függvén idő szeinti deiválása egszeűen végehajtható mivel a Lagange-koodináták nem függnek az időtől Ezt a műveletet az anagi változók idő szeinti deiválásának vag övidebben anagi idő szeinti deiválásnak (vag más néven anagi deiválásnak) nevezzük Φ( X t) u( X t) v( X t) = uɺ = = (4) t t 5 Létezik olan numeikus technika is amel mindkettőt egszee használja mi azonban az MSc képzésben ezzel nem foglalkozunk ez a későbbi PhD-tanfolamok témája 6 6

7 A következő mozgásjellemző a gosulás függvéne Ha itt is az anagi idő szeinti deiváltat használjuk akko az eedmén a következő: v( X t) u( X t) a( X t) = vɺ = = (5) t t A gosulás-függvén számítását megadjuk aa az esete is amiko a sebességfüggvént tébeli koodinátákkal fejezték ki Ilen esetben a tébeli koodinátákkal felít v( t ) sebességfüggvént előszö a Lagangekoodináták segítségével kell megadni ehhez pedig az =Φ( Xt ) tanszfomáló függvént használjuk Íg az új alak: v( Φ( X t) t ) és most má alkalmazhatjuk az anagi idő szeinti deiválást figelembe véve a láncszabál szeinti deiválást: Dv i( t) v i( t) v i( t) Φ j( X t) v i v i = + = + v Dt t t t j j j (6) A v / t tagot hívják tébeli idő szeinti deiváltnak Tenzo alakban is felíjuk uganezt a deiválást: i ( ) ( ) Dv t v t v = + v v= + v ( gad v) T (7) Dt t t Példaként megadjuk a sebességfüggvén (bal) gadiensének tenzoát kétdimenziós esete észletesen is (háomdimenziós esete uganilen módon számítható): T v v v = ( gad v) = (8) v v Megjegezzük hog ez a számítási módsze általánosítható: ha például eg tébeli f t skalá vag eg (ugancsak Eule-változókat használó) koodinátákkal felít ( ) σ ( t) tenzo deiválását kell elvégezni az anagi idő szeinti deiváltak a következők i j lesznek: Df f f f f = + vi = + v f = + v gad f Dt t t t i Dσ i j σ i j i j σ σ v σ = + k = + v σ = + v gad σ Dt t t t Defomációgadiens 6 -tenzo: k (9) () A nemlineáis mechanika alakváltozás- és feszültségtenzoainak előállításához szükségünk lesz a Lagange- és az Eule-koodináták közötti diffeenciális kapcsolata Ezt az összefüggést Φ T F= = = ( Φ) = gad Φ () X X alakban szokták megadni ahol a nabla opeáto nulla indee az anagi koodináták szeinti deiválása utal 7 Az F tenzot defomációgadiens-tenzonak hívják matematikailag ez a 6 Eges könvekben alakváltozás-gadiensnek is nevezik 6 7

8 Φ ( Xt ) mozgásfüggvén Jacobi 8 -mátia Ez a nemlineáis mechanika egik legfontosabb tenzoa Megjegezzük hog igen gakoi alkalmazása miatt a továbbiakban sokszo öviden csak gadiens-tenzo néven említjük Ez az elnevezés matematikailag temészetesen nem pontos de eléggé eltejedt Ha eg hivatkozási állapotot leíó endszeben a dx hosszúságú elemi vonaldaab új hosszát a pillanatni koodináta-endszeben kívánjuk meghatáozni akko ee a céla a gadienstenzot használva az alábbi összefüggést kapjuk: d= F dx () Fontossága miatt a defomáció-gadiens tenzot észletesen is felíjuk Deékszögű koodináta-endszeben elemei a következők: X Y Z F = () X Y Z z z z X Y Z Uganez hengekoodináta-endszeben: R RΘ Z β β β F = (4) R RΘ Z z z z R RΘ Z A gadiens-tenzo deteminánsát J-vel jelöljük a továbbiakban mechanikai számításokban többnie Jacobi-detemináns néven fogunk á hivatkozni: J = det(f) (5) Ee a deteminánsa például akko is szükség lesz amiko a kétféle endszeben számított (például téfogati teületi) integálok közötti kapcsolatot kell megteemtenünk: f dω= f J dω (6) Ω Ω Megjegezzük hog a Jacobi-detemináns anagi idő szeinti deiváltját is használni fogjuk a mechanikai alapegenletek átalakításako A láncszabált alkalmazva: DJ J = J& = : F & (7) Dt F A detemináns gadiens-tenzo szeinti deiválásánál felhasználjuk a Függelék (F5) alatti J T képletét: = J F Ezt behelettesítve és felhasználva a Függelék (F4)-es képletét: F 7 Megjegezzük hog ebben az előadásvázlatban a bal gadienst fogjuk használni de tudnunk kell hog a szakiodalom ebben nem egséges 8 Cal Gustav Jacob Jacobi (84 85) német matematikus Elsősoban lineáis algebával és függvéntannal foglalkozott 6 8

9 DJ T T T T = J& = J F : F= & J F : LF = JF F : L = J I:gad v= Dt (8) Φ( X t) = J t( gad v) = J div v ahol L = F = FF & t X Megjegezzük hog az alatti képlet felhasználásával a defomáció-gadiens tenzo számítása kicsit másképpen is felíható: u= - X = u+ X= Φ( X t) (9) Ezt figelembe véve: F= = gad ( X+ u( X t) ) = I+ gad u= I+ H () X Az ebben az egenletben szeeplő H tenzot elmozdulás-gadiens tenzonak szokás nevezni (I az egségtenzot jelenti) A defomáció-gadiens tenzo használatáa bemutatunk eg egszeű kétdimenziós példát Legen a kétfajta bázis közötti kapcsolat (a tanszfomációs függvén) a következő: = 4 X X = + X X Az Ω tatománt a következő ábán látható egségoldalú négzet jelenti A vázlaton feltüntettük az Ω tatománt is A kezdeti konfiguációban eg egségni hosszúságú a a pillanatni konfiguációban pedig eg ugancsak egségni hosszúságú b vektot vettünk fel: ( a = b= [ ] ) ába: Gadiens-tenzo alkalmazása 6 9

10 Hatáozzuk meg a gadiens-mátiot és invezét valamint a pillanatni konfiguációban a a kezdeti konfiguációban pedig b vektoának étékét Mátijelöléseket fogunk használni Az () képlet felhasználásával a következőt kapjuk: 5 5 F = F = Az eges vektook: / / a= F a = = a = 5 / / 5 5 b = F b= b 4 = = Nanson 9 -képlet A későbbiekben a feszültségtenzook számításánál lesz szükségünk az anagi és a pillanatni endszeben vizsgált elemi teülethez tatozó nomálisok közötti kapcsolat felíásáa Ezt az összefüggést hívják Nanson-képletnek: n da= J n F da () Bizonításához endeljünk vektookat az elemi tatománokhoz: da = n da da = n da () Eg elemi téfogat a két különböző bázisban: dv= da d = J dv = J da dx () 6 Mivel d = F dx íg ndaf dx= J nda d X (4) Innen endezés után adódik a Nanson-képlet A mechanikai mozgás vizsgálatához szükséges feltételek: A mozgások vizsgálatához kapcsolódó legfontosabb alapfogalmak bemutatása után összefoglaljuk a tanszfomáló függvén léneges tulajdonságait: - A Φ( X t) függvén minden esetben foltonosan diffeenciálható kell hog legen íg a függvén egételmű kapcsolatot teemt a efeencia és a pillanatni állapot között (fizikai jelentés: nincsenek szakadások) - A Jacobi-deteminánsnak mindig pozitív ( J> ) étékűnek kell lennie (fizikai jelentés: véges téfogat nem tűnik el) Meevtestszeű fogás és eltolódás 9 Edwad John Nanson (85 96) angol matematikus

11 Eg test mozgásának különleges esete az az állapot amiko a testben a mozgás soán semmilen megnúlás vag szögtozulás nem keletkezik Ezt a mozgásváltozatot hívjuk meevtestszeű helváltoztatásnak A mechanikai modellezésben mindig két hatás kombinációjaként vizsgáljuk eg meevtestszeű eltolódás és eg hasonló fizikai tatalmú elfodulás összegeként: ( X t) = R( t) X+ T ( t) (5) ahol az T vekto a meevtestszeű eltolódást míg az R( t) X tag a meevtestszeű elfodulást jelzi Az otogonális R tenzot T R R=I (6) a nag mozgásokhoz tatozó fogató (vag otációs) tenzonak nevezik A fogató tenzook segítségével íható le két egmáshoz képest elfogatott bázis közötti tanszfomáció Például eg tenzo oda-vissza töténő tanszfomálása a következőképpen hajtható vége: ˆ T ˆ T D= R DR D= R DR (7) Szögsebesség A fogó mozgás hatásának leíásához szükségünk lesz a szögsebesség definiálásáa is Ehhez a szögsebességtenzot fogjuk használni azt pedig az alábbi módon definiáljuk A meevtestszeű mozgás idő szeinti deiválását felíva: & ( X t) = R& ( t) X+& T ( t) (8) és ebbe a képletbe behelettesítve a Lagange-koodináták helébe az Eule-változókat az alábbi egenlethez jutunk: v= & = R& R T ( T) + & T = Ω ( T) + & T (9) ahol Ω a fedén szimmetikus szögsebességtenzo Példa Eg háomszög háom saokpontjának mozgásegenletei a következők ( a és b ismet állandók): 4 ába: Háomszög elfogatása Az első ába a t = a második a t = időponthoz tatozó állapotot mutatja π t π t ( t) = ( t) = ( t) = ( + at) cos ( t) = ( + at)sin 6

12 π t π t ( t) = ( + bt)sin ( t) = ( + bt) cos ; Számítsuk ki a defomáció-gadiens tenzot és vizsgáljuk meg hog milen a és b mellett lesz pozitív a Jacobi-detemináns: Íjuk fel előszö az elem eg belső pontjának pillanatni koodinátáit a háomszög teületkoodinátáinak A segítségével ( ξ i i= ): A = ( t) ξ + ( t) ξ + ( t) ξ = ( t) ξ + ( t) ξ + ( t) ξ Példa A kezdeti konfiguációnál (t = pillanatban): X= X ξ + X ξ + X ξ Y= Yξ + Y ξ + Y ξ Helettesítsük be ide a defomálatlan konfiguáció koodinátáit: X = X = X = Y= Y = Y = A két kifejezésből azt kapjuk hog: X = ξ Y= ξ ξ= X ξ= Y Helettesítsük be ezeket (és a mozgásegenleteket is) az általános pont koodinátáit meghatáozó kifejezésekbe: π t π t ( X t) = X ( + at) cos Y ( + bt)sin π t π t ( X t) = X ( + at)sin + Y ( + bt) cos A defomációgadiens-tenzo mátia innen má számítható: π t π t ( + at)cos ( + bt)sin X Y F = = π t π t ( + at)sin ( + bt) cos X Y A detemináns: J = det( F ) = ( + at)( + bt) Ha a> és b> akko a detemináns mindig pozitív Ha a=b= akko J = ez a defomáció nélküli fogás esete Ha b= a /( + at) akko J szintén konstans maad (ekko a mechanikai változást izocho -nak nevezik) Vizsgáljunk meg az oigó köül állandó ω szögsebességgel fogó elemet Hatáozzuk meg a gosulásvektot anagi és tébeli leíásmóddal valamint számítsuk ki a defomációgadiens mátiát! cosω t sinω t X ( t) = R( t) X = sin t cos t Y ω ω v & sinω t cosω t X A sebességvekto: ω v = = cosω t sinω t Y & A gosulásvekto anagi koodinátákkal: Lásd például a végeselemes technikában használt lokális koodinátaendszeeket Állandó téfogatú 6

13 a v& cosω t sinω t X ω a = v = sinω t cosω t Y & Ha a sebességet tébeli koodinátákkal kívánjuk megadni akko előszö az X és Y anagi koodinátákat ki kell fejeznünk és tébeli koodináták segítségével: v sinω t cosω t cosω t sinωt ω ω v = = cosωt sinωt sinω t cosω t Az idő szeinti deivált a gosuláshoz: Dv v v / t v / v / = + v v = + v v = Dt t v / t v / v / ω = [ ] + v v ω v v = ω Ha a sebességeke előbb kapott összefüggést ide behelettesítjük akko az a ω a = eedmént kapjuk ami a centipetális gosulás vektoa A defomáció-gadiens: cosω t sinω t F = = X sinω t cosω t Felhasznált iodalom: / Holzapfel G A: Nonlinea Solid Mechanics Wile / Fung Y C: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Mang H Hofstette G : Festigkeitslehe Spinge 4/ Beltschko T Liu WK Moan B : Nonlinea finite elements fo continua and stuctues John Wile 5/ Wigges P : Nonlinea Finite Element Methods Spinge 8 6/ Ibahimbegovic A : Nonlinea Solid Mechanics Spinge 9 6

14 Előadás: Az alakváltozás fogalma kis és nag alakváltozások alakváltozás-tenzook Az alakváltozás fogalmának definiálása Az alakváltozások a ménöki munka legfontosabb paaméteei közé tatoznak Kiemelkedő jelentőségüket elsősoban az okozza hog az összes ménöki változó közül ezeket lehet a legkönnebben és legpontosabban laboatóiumi méésekkel ellenőizni hiszen nagságukat a póbatesteken vag aká valós ménöki szekezeten hosszméések segítségével meg lehet állapítani Laboatóiumi D húzókíséletek segítségével egszeűen lehet méni például a póbatest adott iánban töténő megnúlását A méetváltozás segítségével definiálható alakváltozást az l eedeti ( iánú) hossz segítségével a következőképpen számítjuk: l λ = () l ahol l= l + l l pedig a mét iánú hosszváltozás A λ -et az iánú núlásnak nevezzük (angol neve stetch ) és főleg a polimeek kompozitok és bioanagok mechanikájában használatos méőszám olan esetek vizsgálatánál amiko a létejövő núlások jelentősek összevethetők aká a szekezet eedeti méeteivel is A λ núláspaaméte abszolút étéke mindig egnél nagobb dimenziója lévén egszeű aán nincs Másféle D alakváltozások A klasszikus építő- és gépészménöki gakolatban az előző pontban használt núlás helett inkább annak eggel csökkentett étékével szokás dolgozni Jelölésée szintén göög kisbetűt az ε -t használják a ménökök: l ε = λ = () l Ennek a paamétenek a neve: ménöki alakváltozás Olanko használják amiko étéke egnél kisebb a l > l esetben inkább az előbb bemutatott λ núlással dolgoznak a ménökök Megjegezzük hog néha szükség lehet az úgnevezett logaitmikus (vag más néven valódi vag temészetes) alakváltozás használatáa is Ezt az elemien kicsin szálak Megjegezzük hog nag alakváltozásoknál a felhasznált és/vag vizsgált anagok fizikai temészete miatt többnie valóban csak megnúlást vizsgálnak összenomódást nagon itkán és ezét a mi szóhasználatunk is ehhez alkalmazkodik Fogalmát Paul Ludwik német gépészménök (88 94) vezette be 99-ben (lásd: Ludwik P: Elemente de Technologischen Mechanik Spinge Belin 99) Később a maga számazású ameikai tudós Nádai Ápád (88 96) is sokat foglalkozott alkalmazásának különböző lehetőségeivel ő nevezte el temészetes alakváltozásnak (Nadai A: Plastic Behavio of Metals in the Stain-Hadening Range Pat I J Appl Phs Vol 8 pp 5-97) A német Heinich Henck (885 95) háomdimenziós változatát is kidolgozta ( Übe die Fom des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen Zeit Tech Phs Vol 9 pp 5-98) ez azonban nem tejedt el a ménöki gakolatban 6 4

15 hosszváltozásáa alkalmazott ménöki alakváltozás hossznövekméne vett integálja segítségével számítják: l dl dl l de = e = ln ln l = = λ () l l l A logaitmikus alakváltozást elsősoban a nag méetváltozások illetve az anagok hatátehebíáshoz közeli állapotainak leíásáa használják Megjegezzük hog ha az alakváltozások kicsik (a hatá köülbelül: ε < ) akko a ménöki és a valódi alakváltozás jó közelítéssel egenlőnek tekinthető 4 : l l l ε ε e = ln = ln( + ) = ln( + ε ) = ε + l l!! (4) vagis ha ε akko e ε Példa Az egetlen iánban mét alakváltozások önmagukban sokszo nem elegendőek többdimenziós feladatok heles modellezésée Ezt illusztálja a következő feladat Az ábán látható es méetű négzet alakú D póbatestet iánban húzzuk iánban nomjuk a tehelés hatásáa létejött új méete íg: 5 A megváltozott alak szintén az ábán látható Vizsgáljuk meg az átló tengel iánú alakváltozását különböző típusú D alakváltozás paaméteekkel! ába: D alakváltozás vizsgálata 6 a/ Ménöki alakváltozás használatával: ε = = 4577 ; 44 A koodinátatengelek iánában a ménöki alakváltozások: ε = = 5 ε = = 5; Ha ezt a két núlást eg -es mátiba helezzük és a Függelék (F45)-ös képletében megadott tanszfomáció segítségével kiszámítjuk az átló núlását ( l és a többi hasonló paaméte az iánkoszinuszokat jelöli) akko a következőt kapjuk (most csak egetlen elem fontos számunka): 4 Ez tulajdonképpen a temészetes alakváltozás függvénének éintő egenessel való közelítését jelenti 6 5

16 ε% T l l l l ε ε = T T = l l l l ε ε % ε = l ε + l ε = + ( 5) = 5 (eedeti szögekkel számítva) 5 ˆ ε = + ( 5) = (pillanatni konfiguáció szögeivel számítva) Ezek a tanszfomációk nem adtak jó eedmént 6 b/ Logaitmikus alakváltozás használatával: e = ln = A tengeliánú logaitmikus núlások segítségével kiszámított tanszfomált alakváltozások: e % = ln() + ln(5) = (eedeti szögekkel) 5 e ˆ = ln() + ln(5) = (megváltozott szögekkel) Ezekkel a tanszfomációkkal sem kaptunk heles eedmént c/ Az eltéések oka az hog nag alakváltozásoknál az eddig bemutatott változók má nem használhatók tanszfomációa (nem tenzomenniségek) Ha az eedetileg négzet alakú tácsa oldalainak elmozdulása kicsin lenne akko az átló közelítő ε alakváltozása tanszfomációval is számítható az tenzo jól jellemezné a ε tácsa defomációit D alakváltozás-tenzook Az D alakváltozások bevezetésénél a logaitmikus jellemző kivételével véges méetű kezdeti l hosszak változását vizsgáltuk Két- illetve háom dimenzióban ettől eltéően az elemi hosszak ( d dx ) megváltozása segítségével definiálják az alakváltozásokat Kicsin alakváltozások esetén egféle nag alakváltozások esetén többféle alakváltozás-tenzo használatos Az alakváltozás-tenzookkal szemben támasztott legfontosabb követelmén hog ha a test csak meevtestszeű eltolódást és/vag elfodulást végez akko az alakváltozás-tenzo valamenni elemének zéusnak kell lennie! A továbbiakban előszö a tetszőlegesen nag alakváltozások esetén használható tenzookat mutatjuk be Geen-Lagange-féle 5 alakváltozás-tenzo (E) A nag alakváltozások vizsgálatáa numeikus számításokban talán leggakabban használt tenzo eg elemi hosszúságú anagi vekto ( d X ) hossznégzetének megváltozását méi 5 Eges főleg fancia munkákban néha Geen-Saint Venant-féle tenzoként is említik Adhéma Jean Claude Bae de Saint-Venant ( ) kiváló fancia tudós volt ő foglalta össze előszö a sziládságtan különböző tételeit összefüggő endszeé 6 6

17 Legen definíció szeint E az a tenzo amel bámel dx-e megadja a hossznégzet változását a következő módon: ds ds = dx E dx (5) A képletben ds az eedeti ds pedig a pillanatni állapotban számított hosszat jelenti Meghatáozása a gadiens-tenzo segítségével töténik (a (6/a képletben a negedik és ötödik tagot máti alakban ítuk fel): ds = d d = ( F dx) ( F dx ) = (F dx) T (F dx) = d X T F T F d X = dx ( F T F) dx (6/a) ds = dx dx = dx I dx dx ( F T F - I) dx= dx E dx (6/b) íg az alakváltozás-tenzo definíciója: E= ( F T F -I ) (7) A Geen-Lagange-tenzo mindig szimmetikus A fentiekben elmondott tanszfomációk megétését segíti a következő ába vázlata: ába: Tanszfomáció az anagi endszeből a pillanatni állapotba A Geen-Lagange-tenzo számítása közvetlenül az elmozdulásokból Az u eltolódásfüggvén segítségével kapott összefüggések a nag alakváltozásoka événes geometiai egenleteket szolgáltatják A gadiens-tenzo és az elmozdulásfüggvén közötti összefüggést felhasználva E és u kapcsolata (a második felíási módnál felhasználjuk az első fejezet -as képletében megadott elmozdulás-gadiens tenzot): T T T T E= (( u) + u + u ( u) ) = ( H+ H + H H) (8/a) Gakolásul megadjuk a tenzo számításának indees felíási módját is: 6 7

18 u i u j u k u k E i j= + + (8/b) X j X i X ix j A másodendű tenzo hat daab független skalá eleme a definíció figelembevételével: u u v w E E v u v w = = (9) X X X X Y Y Y Y w u v w u v u u v v w w E= E= Z Z Z Z Y X X Y X Y X Y E u w u u v v w w E v w u u v v w w = = Z X X Z X Z X Z Z Y Y Z Y Z Y Z A Geen-Lagange-tenzo teljesíti az alakváltozás-tenzooka a bevezetőben előít feltételt hiszen elemei zéussá válnak az = R X + T () meevtestszeű mozgás esetén Mivel ilenko F = R az alakváltozás tenzo zéus lesz: E= ( R T R -I) = ( I -I) = () Megjegezzük hog egdimenziós esetben a Geen-Lagange-tenzo E eleme kifejezhető az D elemhosszakkal illetve a koábban má bemutatott egdimenziós alakváltozás jellemzőivel: l l E = = ε ( ) ( ) + ε = λ () l Az Almansi 6 -Hamel 7 -féle alakváltozási tenzo Ha az elemi szál hossznégzetének változását a pillanatni (eulei) endsze segítségével fejezzük ki akko a Geen-Lagange-tenzo pájaként az Almansi-Hamel-féle alakváltozás-tenzot definiáljuk (Eule-Almansi-féle alakváltozás-tenzonak is nevezik): T ds ds = d e d e= I -F F () Látható hog itt is a gadiens-tenzot használjuk alapvető változóként csak most az invezée van szükségünk Az elmozdulások segítségével felíható geometiai egenletek: T T e= ( u) + u-( u) ( u) (4) Ez a tenzo is szimmetikus Egdimenziós állapotban az Almansi-Hamel-tenzo eleme is kifejezhető a klasszikus D jellemzőkkel: 6 Emilio Almansi ( ) olasz matematikus és mechanikus elsősoban a nemlineáis ugalmasságtan különböző feladataival foglalkozott 7 Geog Kal Wilhelm Hamel ( ) német matematikus és mechanikus főleg az elméleti mechanika és az áamlástan különböző kédéseinek vizsgálatáól ismet 6 8

19 l l ε ( + ε ) = = = ( λ ) l ( + ε ) e (5) Ennek az invez tanszfomációval előállított tenzonak a megétéséhez nújt segítséget a következő ába: Példa ába: Tanszfomáció a pillanatni bázisból az anagi endszebe Eg a b h méetekkel endelkező tácsát ( h ( a és b) ) az alábbi mozgásegenletekkel defomálunk ( e adott paaméte): e e = X + Y = Y + X z = Z ; b a ab a e be ab Az invez alak: X = Y= + Z= z ; ab e ab e ab e ab e Hatáozzuk meg a Geen-Lagange- és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzo zéustól különböző elemeit! 6 9

20 4 ába: Defomációs tenzo elemeinek számítása A háom egmása meőleges iánú eltolódás: e e u = X= Y v= Y= X w= z Z= ; b a A zéustól különböző alakváltozás-komponensek a két tenzo esetén: Geen-Lagange: e e e e E = E= E= + ; a b b a e e ( e + b ) e e ( e + a ) Almansi-Hamel: e = ; e = ab e ( ab e ) ab e ( ab e ) e ( a+ b) e ( a+ b) e= + ; ab e ( ab e ) További alakváltozás-tenzook Az eddig említett és az építőménöki nemlineáis feladatoknál is gakan használt alakváltozás-tenzook mellett másféle változatokat is alkalmaznak a mechanikában Ilen például az úgnevezett jobb Cauch 8 -Geen-féle alakváltozás-tenzo: T C = F F (6) Az elnevezés onnan számazik hog a képletben itt az F tenzo a szozat jobb oldalán szeepel Az alakváltozás-tenzo helett találóbb elnevezés a defomációs (vag núlási ) tenzo név hiszen a tenzo elemei többnie egnél nagobb számok Eges művekben szokás jobb Cauch-tenzoként vag Geen-tenzoként is említeni C invezét Piola 9 -féle alakváltozási tenzonak hívják és B-vel jelölik: T ( ) T B=C = F F = F F (7) Megjegezzük hog C használatával is felíható az E Geen-Lagange-féle alakváltozástenzo: E= ( C-I ) (8) Az E és C tenzook közös neve a mechanikában: anagi alakváltozás-tenzook Eg másik változat a bal Cauch-Geen-féle (vag Finge -féle) alakváltozás-tenzo : b = F F T (9) 8 Augustin Louis Cauch ( ) világhíű fancia matematikus a mechanika nagon sokat köszönhet tudomános eedméneinek Az ő életéől is olvasható életajz ( Cauch és az egensúli egenletek ) a tanszéki honlapon 9 Gabio Piola (794 85) olasz fizikus Elsősoban sziládságtani kutatásaiól ismet Josef Finge (84 95) kiváló oszták matematikus Megjegezzük hog eges szezők b helett B-vel jelölik ez sajnos gakan okoz zavat a Piolatenzoal való összecseélhetősége miatt 6

21 A képletben az F tenzo a szozat bal oldalán szeepel Itt is pontosabb név a defomációs tenzo A b tenzo használatával az e Almansi-Hamel-tenzo az alábbi fomát ölti: e= ( I -b ) () Az e és b közös neve: tébeli alakváltozás-tenzook Megjegezzük hog az itt bemutatott változatokat elsősoban a polimeek mechanikájában és a biomechanikában alkalmazzák Kis alakváltozások Kis alakváltozások esetén az alakváltozások másodendű tenzoát ε -nal jelölik Ez a tenzo az eddigiekből a legegszeűbben a Geen-Lagange-tenzo másodendű elemeinek elhanagolásával állítható elő Mivel kis alakváltozások esetén a Lagange-koodináták megegeznek az Eule-koodinátákkal az egszeűség kedvéét ebben az esetben nag X helett általában kis szimbólumot használunk A tenzo főátlóbeli elemei a fajlagos ménöki núlásokat az alsó- és felső háomszög elemei pedig a ménöki szögtozulásokat jelölik A alatti egenletnél a második mátiban minden eges elemet a hozzá endelhető geometiai egenlettel adtunk meg (összevetve ezeket a koábban hasonló módon bemutatott Geen-Lagange-tenzo elemeivel azonnal észevehető a másodendű hatások elhanagolása): u u v u w + + ε γ γ z z v u v v w ε= γ ε γ z = + + (/a) z γ w u w v w z γ z ε z + + z z z Uganez az összefüggés az elmozdulások (illetve az elmozdulás-gadiens tenzo) segítségével tömöebb alakban: T T ε = (( u) + u) = ( H+ H ) (/b) Megjegezzük hog az építőménöki feladatok nag észében a kis alakváltozások megfelelő közelítést jelentenek ezét ezt a tenzot sokszo használjuk különféle mechanikai számításokban Néhán (észben emlékeztető jellegű) megjegzés: - A tenzo eges elemeinek mechanikai jelentésével má a BSc Sziládságtanban 4 alatt említett tankönv vonatkozó észeit) foglalkoztunk (lásd a [ ] - Az ε tenzo komponenseit gakan másféleképpen jelölik A szakiodalomban szokásos és eges fejezetekben általunk is használt egéb felíási módok: ε ε ε z ε ε ε ε= ε ε ε z= ε ε ε ε z ε z ε z ε ε ε A különböző jelölési módok egmás közötti cseéjeko a szögtozulásoknál mindig ügelnünk kell az ½-es szozó figelembevételée a Voigt-féle kinematikus szabál (lásd a Függeléket) pontosan ennek betatásáa születetett 6

22 Példa Vizsgáljunk meg néhán elemi mechanikai változást és számítsunk ki néhán alapvető alakváltozás-tenzot a/ Tiszta núlás: = λ X = λ Y z= λ Z ahol λ i a tengeliánú núlásokat jelenti Számítsuk ki a jellemző alakváltozási tenzookat! A feladathoz tatozó gadiens-tenzo: λ F = λ λ A Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzo és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzo: ( λ ) ( λ ) E= ( ) λ e= ( λ ) ( λ ) ( λ ) b/ Tiszta níás eg egségni oldalélű kockán (lásd a 5 ábát): = X + k Y = Y z= Z 4 Példa 5 ába: Tiszta níás vizsgálata A defomáció-gadiens tenzo a jobb Cauch-tenzo és az Almansi-Hamel-féle tenzo: k k + k k F = C = k + k b = k 6

23 Vizsgáljuk meg hog a példában szeeplő négzet alakú tácsánál hogan használható fel a Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzo az átló alakváltozásának számításáa! Legenek a mozgásegenletek az alábbi alakúak: = X ( + t) = Y ( t / ) Vizsgáljuk a pillanatni konfiguációt a t = pillanatban A gadiens tenzo most -es méetű lesz: F = 5 Az alakváltozás-tenzo: 4 5 E = = 5 75 Ellenőizzük mit ad eedménül E használata a két koodináta-tengel illetve az átló iánában ha a hossznégzetek különbségeit számoljuk (mindig az eedeti bázisban adott vekto-koodinátákkal dolgozunk!): 5 ián: = [ ] 75 = ; 5 ián: 5 = 75 [ ] = ; ) ián (átló): 5 ( + 5 ) ( ) = 5 [ ] 5 ; 75 = A tenzo mindháom esetben pontosan követi a változásokat Vizsgáljuk meg most hog a főátló iánába tanszfomált tenzo használata milen eedmént ad (itt is fontos megjegzés hog a szögeknél mindig az eedeti konfiguációt kell használni hiszen a Geen-Lagange-tenzo ehhez az állapothoz kapcsolt!!) Csak az indeű elemet számoljuk ki met a többi eleme most nincsen szükség 5 5 = 4 ; 75 Az iánt most bázisiánnak tekintjük és ennek megfelelően íjuk fel a dx vektot: [ ] = 5 4 = 5 ; Alakváltozás-sebesség tenzo (D) Az alakváltozások megváltozásának jellemzésée használják Számításához előszö az L betűvel jelölt másodendű sebességgadiens-tenzot kell meghatáozni: v T L= = ( v) = gad v dv= L d () 6

24 vag uganez indees jelöléssel: v i L = dv = L d i j i i j j j () A sebesség gadiens tenzo szimmetikus és fedén szimmetikus észe osztható: T T L= ( L+ L ) + ( L L ) Li j= ( Li j+ L j i) + ( Li j L j i) (4) Az alakváltozás-sebesség tenzo az L tenzo szimmetikus észe: D ( L L T v i v j = + ) Di j= + (5) j i A fedén szimmetikus tag neve spin tenzo: W ( L - L T v i v j = ) Wi j= (6) j i Az alakváltozás-sebesség tenzo eg elemi anagi szakasz hossznégzetének változási sebességét méi : ( ds ) = ( d( X t) d( X t)) = (7) t t v T T T = d dv= d d= d L d= d ( L+ L + L- L ) d= d ( L+ L ) d= = d D d Meevtestszeű mozgás esetén temészetesen: D= W= Ω Az alakváltozás-sebesség tenzo és a Geen-Lagange-tenzo növekménének kapcsolata A tenzo eedeti definícióját felhasználva: v v X L= = X (8) Ezt a képletet átalakíthatjuk mivel: ( X ) v F& Φ t = = (9) t X X és íg végül: L = F & F () Az alakváltozás-sebesség tenzo a sebesség-gadiens tenzo szimmetikus észe íg ide behelettesíthetjük ezt a képletet hog megkapjuk a D és F közötti kapcsolatot: T T T D= ( L+ L ) = ( F& F + F F& ) () A Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzo idő szeinti deiváltja pedig: E& D T T = ( F F -I) = ( F F& T + F& F) () Dt Uganez az alak kapható D jobból-balól töténő beszozásával: Impulzus-momentum T A levezetésnél felhasználtuk hog L L = W és d W d = 6 4

25 Íg végül: az invez foma pedig: F T D F= ( F T F& + F& T F) () E & = F T D F Eɺ F D F (4) T ɺ D = F E F T i j= k i k l l j T i j i k k l l j D = F Eɺ F (5) 5Példa Számítsuk ki E és D tenzoát eg kombinált nújtás-elfogatás hatásáa! A mozgásegenletek ( a és b ismet konstansok mindkettő pozitív szám): π t π t ( X t) = ( + at) X cos ( + bt) Y sin π t π t ( X t) = ( + at) X sin + ( + bt) Y cos Egszeűsítsük a jelöléseket majd vizsgáljuk meg a t= és a t= időpillanatokat: πt πt A( t) = A= + at B( t) = B= + bt c= cos s= sin ; A defomáció-gadiens tenzo: X Y Ac B s F = = A s B c X Y A Geen-Lagange-tenzo: Ac As Ac Bs at+ a t E= ( F T F -I) = Bs Bc As Bc = bt+ b t A t = pillanatban E = t=-nél pedig: + / E= a a b+ b / A defomáció-sebesség tenzo számításához előszö hatáozzuk meg a sebességeket mint anagi idő szeinti deiváltakat: π π π π v = ac As X bs+ Bc Y v= ( as+ Ac) X + bc Bs Y A t = pillanatban =X =Y c= s= A = B = és íg D étéke: π T a a π L = ( v) = D = W = π b b A t = pillanathoz használjuk a defomáció-gadiens tenzot: 6 5

26 6 Példa π π ac As b s Bc Bc Bs F = F & = AB As Ac π π a s+ Ac b c Bs L = F& Bac + Abs cs( Ba Ab) π F = = + AB cs( Ba Ab) Bas Abc + A két mátiból az első (szimmetikus) tag lesz a defomáció-sebesség tenzo míg a második (fedén szimmetikus) máti az úgnevezett spin tenzo A keesett pillanatban D étéke: D= a+ ab + a+ b+ ab b+ ab Eg ögzített pont köül Θ szöggel elfogatunk eg kétdimenziós testet Vizsgáljuk meg mi töténik ha meghatáozzuk meg a kicsin (lineáis) alakváltozások étékét az anagi koodináta-endsze segítségével és elemezzük a számítás hibájának étékét! A mozgás egenlete: cosθ sinθ X u cosθ sinθ X =R X = sin cos Y u = Θ Θ sinθ cosθ Y 7 Példa Az alakváltozások jelen esetben: u u u u ε = = cosθ ε = = cosθ γ = + = X Y Y X Ha Θ étéke nag akko ennél a modellnél a núlások zéustól jelentősen különbözők lesznek annak ellenée hog most csak meevtestszeű elfodulást végez a test 4! Numeikus számításoknál egébként gakoi kédés mekkoa lehet maimum az elfodulás hog a ménöknek még ne kelljen átténie nemlineáis analízise (nag alakváltozásoka)? Vizsgáljuk ε et Talo-soba fejtve: Θ 4 Θ ε = cosθ = + O( Θ ) A hiba az elfodulások négzetével aános Ha pl nagságendű alakváltozásokkal dolgozunk és %-os a hibahatáunk (ez gakoi ménöki alaphelzet) akko az elfodulásoknak szintén ma endűeknek kell lenniük 4 Temészetesen a nag alakváltozások Geen-Lagange-tenzoa zéus ( ) (például: ( ) E = cosθ + 5 cosθ + sin Θ = stb) 6 6

27 Eg D tácsaelem az ábán látható változás-soozaton meg keesztül Hatáozzuk meg D étékét az egségni időlépcsőkkel eltéő különböző fázisokban! a/ Az első fázisból a másodikba (níás): at a at F= F = F ; & = ( X t ) = X + aty ( X t ) = Y t 6 ába: Összetett alakváltozási folamat vizsgálata - L =F& a a F = D= a Számítsuk ki most a Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzot is: T at E = ( F F-I) = at a t Ennek időbeli változása: E= & a a a t Megjegzendő hog E & nem zéus jóllehet D étéke nulla b/ Második fázisból a hamadikba: ( X t) = X + ay ( X t) = ( + bt) Y t t= t Hatáozzuk meg itt is D mellett a Geen-Lagange-féle tenzot és változását a F = F& F + bt a = = + bt b + bt L =F& F = + bt b D= + bt b T a E= ( F F-I) = E= & a a + bt( bt+ ) b( bt+ ) c/ Hamadik fázisból a negedikbe: 6 7

28 ( X t) = X + a( t) Y ( X t) = ( + b) Y t t= t a( t) ( ) F = F & a + b a t a = F = + b + b L = + b a D= ( + b) a a E= E= & a a + bt( bt+ ) b( bt+ ) d/ Negedik fázisból az ötödikbe: ( X t) = X ( X t) = ( + b bt) Y t 4 t= t F = F & = F b + bt = L = + b bt b + b bt + b bt b D = L A Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzo az ötödik konfiguációban zéus lesz mivel itt ( t= 4 nél ) F = I Édekes kiszámítani a defomáció-sebesség tenzo idő szeinti integálját a teljes soozatot figelembe véve: 4 a a D( t ) dt = a = ln( + b) ( + b) a ln( + b) ab = ( + b) Az integál zéustól különböző pedig az ötödik fázis az eedeti állapottal megegező vagis D nem pontos jellemzője a teljes defomációnak Az F gadienstenzo szozat alakú (poláis) felbontása Nag alakváltozásokkal jáó eges folamatokban különösen akko ha jelentős fogási hatások is vannak sokszo célszeű a gadiens tenzot szozat alakban felbontani Ezt a következőképpen hajtják vége: F = R U (6) ahol - T T R = R és U = U (7) Amiko az eulei bázisban óhajtjuk kiszámítani eg vonaldaab hosszát akko ezzel a felbontással az alábbi módon adhatjuk meg eg elemi szakasz hosszát: d= R U dx (8) ahol a szimmetikus U a núlási alakváltozásokat jellemzi (megjegezzük hog az U I másodendű tenzot Biot 5 -féle alakváltozási tenzonak nevezik) R pedig a meevtestszeű elfodulásokat jellemzi A két vonalelem d és dx kapcsolatának leíásához a pillanatni és 5 Mauice Anthon Biot (95 985) belga-ameikai fizikus A póusokkal lazított de egébként ugalmas (pooelasztikus) anagokban lezajló folamatok modellezésének kiváló kutatója volt továbbá viszkoelasztikus anagokkal és ievezibilis temodinamikával is sokat foglalkozott Magaul is megjelent Kámán Tódoal egütt ít kiváló könve: Matematikai módszeek Műszaki Könvkiadó

29 efeencia konfiguációkban nem szükséges a meevtestszeű eltolódás ismeete (ha csak ilen hatásunk lenne akko F=I és d=dx) A szozat alakú felbontás eges komponenseinek számítása (máti jelöléseket is felhasználva): T ( ) ( ) ( ) F T F = = = = U = F F R =F U T T T T - RU R U U R R U U U UU (9) Megjegezzük hog U segítségével például a jobb Cauch-Geen- vag a Geen-Lagangeféle tenzook is egszeűen megadhatók: C= U E= ( U I) ) (4) 8 Példa A poláis felbontása mutatunk példát Vizsgáljuk meg az előző előadás -es feladatában má látott háomszögelemet ahol az eges csomópontok mozgásai a következő függvénekkel íhatók le: ( t) = a+ at ( t) = at ( t) = at ( t) = a at ( t) = at ( t) = Számítsuk ki U és R elemeit a t= és a t=5 pillanatban! Használjuk fel ismét a ξ i teületkoodinátákat: ξ t ( t) ξ ( t) ξ ( t) ξ ξ t = ( t) ξ + ( t) ξ + ( t) ξ ( ) = + + ( ) A t = pillanatban ezek megegeznek a Lagange-koodinátákkal: ξ t X Xξ X ξ X ξ aξ ξ t = Y = Yξ + Yξ + Yξ = aξ ( ) = = + + = ( ) A t = időpillanatban: X Y Y ( X ) = aξ+ aξ + aξ = X + Y + a = a a a X = aξ + ξ + ξ = X ( ) Innen a defomáció-gadiens tenzo: 5 T ( ) 4 F = U = F F = = 5 5 Az R otációs tenzo: 5 5 R= F U = = Vizsgáljuk meg most a t = 5 pillanatot: X Y X Y ( X t) = aξ + aξ + 5aξ = a + a + 5 a( ) = 5a+ 5X 5 Y a a a a X Y ( X5) = aξ+ aξ + ξ = a + a = X+ 5 Y a a A defomáció gadiens tenzo: = = T F = U = ( F F)

30 Megjegezzük hog eg máti négzetgökének kiszámításához az alábbi lépések szükségesek: a/ Hatáozzuk meg az T F F máti sajátétékeit és sajátvektoait b/ A λ i sajátétékeknek vegük a négzetgökét s helezzük el őket eg diagonál mátiba: H % = λ λ c/ A sajátvektookat oszloponként helezzük el eg A mátiba d/ A núlási tenzo ezek segítségével: % T U = A H A 9 Példa: Ennél a feladatnál: A = H% = Végül a szintén meghatáozandó otációs máti: R= FU = = c as ac s Legen eg mechanikai feladatnál a gadiens-tenzo mátia adott: F = s+ ac as+ c ahol c= cos Θ s= sinθ és a konstans Hatáozzuk meg a núlási és otációs tenzot ha a= 5 és Θ= π 5 Az adott étékekkel: F = 5 Legen most T 5 C=F F = 5 A C máti sajátétékei és sajátvektoai: λ = 5 T = [ ] λ = 5 5 T = [ ] Innen: H% = 5 A núlási tenzo étéke: 5 U = A H% A T = = 5 5 A otációs máti: R = F U = 5 = Felhasznált iodalom: / Holzapfel G A: Nonlinea Solid Mechanics Wile / Fung Y: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Thomas G B Wei M D Hass J Giodano F R : Thomas-féle kalkulus I-III Tpote 6 4/ Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv 6

31 5/ Beltschko T Liu WK Moan B : Nonlinea finite elements fo continua and stuctues John Wile Előadás: Az alakváltozások főétékei az alakváltozások felbontása fizikai tatalmuk alapján A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó alapvető tételek Főnúlások fajlagos főalakváltozások: A test minden eges pontjában található háom olan (egmása meőleges) tengel amel tengelekhez nem tatoznak níási alakváltozások Ezeket a tengeleket alakváltozási főiánoknak a velük megegező iánú núlásokat pedig defomációs tenzook esetében főnúlásoknak alakváltozás tenzooknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük 6 Vizsgáljunk meg például eg-eg vonalelemet a kezdeti és a pillanatni bázisban jelölje ezek iánvektoát n és n Legen t és t ezeke meőleges de egébként tetszőleges iánú vekto A két eedeti iánvekto akko esik egbe a főiánokkal ha (most E tenzot használva példaként): n E n és n E t = () illetve n e n és n e t = Az alakváltozás-tenzooka felít egenletekből következik hog E és C valamint e és b főiánai megegeznek Ha például a defomációs tenzookat a főtengelek iánába vetítjük akko uganazt az étéket kell kapnunk mintha a főnúlások négzetét szooznánk az adott nomálvektoal: n C= n és n b λ = λ n () Innen kapjuk a főnúlások meghatáozásáa szolgáló sajátéték-feladatokat: C-λ I n = és b -λ I n = () ( ) ( ) A sajátéték-feladatokhoz tatozó kaakteisztikus egenletek általános alakja: ˆ ˆ λ + Iλ I ˆ λ + I = (4) ahol az I i egütthatók a feladat invaiánsai Például a defomációs tenzook esetében: I= tc vag I= t b I= ( t C) t C vag I = ( t b) t b I= det( C) vag I= det( b) (5) Uganezek az invaiánsok temészetesen a sajátétékek segítségével is számíthatók Például a Geen-Lagange-tenzo főétékeivel 7 : I= + ( E+ E+ E) I= + 4( E+ E+ E) + 4 ( EE + EE+ EE) (6) I = + E + E + E ( )( )( ) 6 A ménöki gakolatban az egszeűség kedvéét gakan mindkét esetben uganazt a főnúlás elnevezést használják 7 Az átalakításnál a C= I+ E kapcsolati összefüggést vettük figelembe 6

32 A 4 alatti kaakteisztikus egenletben szeeplő " λ ˆ " jelölés aa utal hog az egenlet általános alakú alkalmas bámelik sajátéték számításáa Megjegezzük hog ha a (4)-es egenlettel nem a defomációs tenzook hanem valamelik alakváltozás-tenzo főétékeit kívánjuk meghatáozni akko nem a főnúlások négzeteit hanem a fajlagos főalakváltozásokat kapjuk eedménként A alatti sajátéték-feladatok kaakteisztikus egenleteinek megoldásából adódik a - daab főnúlás (vag fajlagos főalakváltozás) majd ezek segítségével a - daab főián vekto Megjegezzük hog a főnúlások segítségével a Geen-Lagange- és az Almansi- Hamel-féle tenzook főétékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( λ a b tenzo λ pedig a C tenzo sajátétékeinek négzetgökét jelöli): Ei= ( λ i ) és ei= ( λ i ) (7) A főétékek és főián vektook felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzook is (emlékezzünk a Függelékben a spektál-felbontásól leítaka): C= λ n n + λ n n + λ n n b = λ n n + λ n n + λ n n (8) E= E n n + E n n + E n n e= e n n + e n n + e n n Abban az esetben ha az alakváltozások kicsik a főalakváltozások elnevezés helett elfogadottabb a főnúlás név használata Az ε tenzo sajátétékei ebben az esetben ezeket a főnúlásokat jelentik étéküket pedig (elsősoban más mechanikai számításokhoz való kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagságuk szeinti soendbe endezni: ε ε ε (9) Példa Hatáozzuk meg a második előadás /b példájában szeeplő níási feladatnál a defomációs tenzookhoz tatozó főnúlásokat és a főiánokat! A gadiens-tenzot valamint a C és b tenzookat má a -as példában kiszámítottuk: k k + k k F = C = k + k b = k A sajátéték-feladatokhoz tatozó deteminánsok a C és b tenzo esetében: λ k + k λ k k + k λ = k λ = λ λ A kaakteisztikus egenlet felíásából azonnal észevehető hog a két sajátétékfeladat uganazokat a sajátétékeket szolgáltatja mivel az invaiánsok étéke megegezik: I = I = + k I = I = + k I = I = Ennek figelembevételével: λ i =λ i A főnúlások (most má csak egféle módon jelölve őket): i i 6

33 λ = + k ± k + k λ = 4 A főiánok má különbözőek lesznek A sajátétékfeladat felhasználásával adódó koodináták a kezdeti és a pillanatni állapotban: e+ k± + k e 4 n() = n() = e + k ± k + k 4 e+ k± + k e 4 n() = n() = e + k m k + k 4 Az eltéés nagságendjének ézékeltetésée k=5-nél megadjuk a behelettesítés után kapott numeikus étékeket: λ = 8 λ = 78 n n = 65e e n = 788e 65 e () () = 788e + 65 e n = 65e 788 e () () Példa Eg egségni oldalú kocka pontjai az tengellel páhuzamosan tolódnak el: u = k e Hatáozzuk meg az ε és E tenzookat a lineáis otációs tenzot a z tengel köül 45 fokkal elfogatott endszeben számított E tenzot valamint a lineáis alakváltozás-tenzo főétékeit és főiánait! 4 ába: Níási hatások a/ A kis alakváltozások tenzoai: k k k k u= k e e= k R ε= = 6

34 b/ A Geen-Lagange-féle alakváltozás tenzo (a ( u) ( u) bővíteni): k k k E = Az elfogatáshoz szükséges vektook az új bázisban: T T T e = [ ] e= [ ] e= [ ] Az elfogatás elemenként: k k k E = e E e= [ ] k k = + 4 k k k E = e E e= + E= e E e= stb 4 4 T taggal kell c/ A lineáis alakváltozás-tenzohoz tatozó sajátéték-feladat deteminánsa: k ε k k ε = ε( ε + ) = 4 ε Innen: k k ε = ε = ε = A főiánok: n = [ ] n = [ ] n = [ ] Alakváltozás-tenzook felbontása fizikai hatások alapján A Függelékben a matematikai összefoglalónál má említettük hog minden másodendű tenzo felbontható két speciális tenzo összegée: A = αi+ dev A () ahol α = t A Az első tag neve: gömbi tenzo a másodiké deviáto tenzo Alakváltozás-tenzooka alkalmazva a fentieket: E = E + E ε= ε + ε D= D + D stb () g d g d g d A gömbi tag a test adott pontjában létejövő bázisiánú átlagos núlásokat a deviátoos ész pedig a pontban létejövő níási alakváltozásokat (szögtozulásokat) jellemzi A gömbi tagot mechanikai tatalma alapján hidosztatikus alakváltozás tenzonak is nevezik 6 4

35 Fontos tudnunk hog eges esetekben (pl ugalmasan összenomhatatlan vag képléken anagoknál) az alakváltozás-tenzook ilen típusú felbontása nem alkalmas különleges állapotok (pl az izocho magaul téfogatállandó mozgás) leíásáa (a változást leíó növekmén tenzooké ( E & D ) azonban igen!) ezét ilenko szozatalakú felbontást használnak 8 Például (itt J a gadiens-tenzo deteminánsa): g d d J F= F F ahol F = J I F = F () g Alakváltozás-tenzook és geometiai egenletek különböző típusú közelítések esetén a/ Nag alakváltozások (most csak a Lagange-leíásmódot használjuk a továbbiakban): ( ( ) T ( ) T E= u + u + u u ) () b/ Kis elmozdulások és kis alakváltozások: Szokásos feltétel a kicsi jelzőe az alakváltozásoknál és elmozdulásoknál: Ilenko E = ( E: E) = ( R : R) u<< R (4) a Lagange- és az Eule-féle leíásmód jó közelítéssel megegezik ( X ) A szimmetikus (kis- vag más néven lineaizált mechanikai állapothoz tatozó) alakváltozási tenzo (egúttal a geometiai egenlet) és az uganehhez az állapothoz endelt fedén szimmetikus otációs tenzo 9 : E [( ) ] [ e ε = u T + u R= ( u) T u] (5) Kapcsolat más tenzookkal ebben az esetben (H az ()-as képletből): F = I+ H = I+ ε+ R U I+ ε (6) A nag alakváltozások fogatási tenzoa és a kis alakváltozású otációs tenzo közötti kapcsolat: - R = F U ( I + ε + R)(I - ε ) R I + R (7) nag Az ε tenzo elemeit (illetve a geometiai egenleteket) most újból felíjuk: u u v u w + + z ε γ γ v u v v w ε= + + = γ ε γ z w u w v w + + γ z γ z ε z z z z nag z z (8) 8 Ezt a fajta felbontást John P Flo ameikai kutató javasolta ( Themodnamic elations fo high elastic mateials Tansactions of the Faada Societ Vol 57 pp ) 9 Emlékeztetőül megjegezzük hog a lineáis otációs tenzo antimetikus de nem szükségszeűen otogonális 6 5

36 c/ Kis alakváltozások tetszőleges elmozdulások Az a) és b) pontban említett változatok hatáeseteket jelentenek a kettő között azonban más gakolati változatok is előfodulhatnak Ha például az alakváltozások kicsik de az eltolódások és elfodulások tetszőlegesek az alakváltozás tenzoa és íg a geometiai egenleteke különböző típusú közelítések adhatók Például kiindulva a pontos Geen- Lagange-tenzoból íjuk fel azt a következőképpen (lásd még az ()-as képletet): T E= ε+ H H=ε+ ( ε R)( ε+ R) (9) ahol R a b pontban felít lineáis otációs tenzo Figelembe véve az ε ε << ε feltételt az új tenzoa eg lehetséges appoimáció: ~ E ε + [ ε R - R ε- R R] () Megjegezzük hog építőménöki feladatoknál főleg a különböző úd- és kábelszekezetek vizsgálatako fodul elő gakan ennek a modellnek a használata de ide soolható például eg tengel iánban viszonlag meev elfodulási hatásokkal szemben azonban csekél ellenállással endelkező údszeű test (például eg hogászbot) vizsgálata d/ Kis alakváltozások viszonlag nem nag ( R ) elfodulások: Ennél a közelítési változatnál az ε R tag elhanagolásával élnek: E ε - R R () e/ Kis elfodulások tetszőleges defomáció: Az R R tagot most elhanagoljuk (mivel R R<< ε ): E ( ε+ ( ε ε+ ε R - R ε) () Kompatibilitási egenletek kis alakváltozásoknál A geometiai egenletekből az elmozduláskomponensek kiküszöbölésével jutunk a kompatibilitási egenletekhez : T ( ε ) = () Indees jelölési móddal : ε i j k l+ε k l i j ε i k j l ε j l i k= (4) Skalá változókkal: Megjegezzük hog ezeket az egenleteket előszö a nag fancia tudós Saint Venant fogalmazta meg 86-ban Az indees számítási mód alapján adódó 8 egenletből az alakváltozás-tenzo szimmetiája miatt edukálódik az egenletek száma összesen az itt bemutatott hata 6 6

37 γ ε ε γ z ε ε γ z ε z ε z = + = + = + (5) z z z z γ z γ z γ γ z γ γ z z ε ε + = + = z z z z γ γ z γ z ε + = z z Ezek az egenletek azt fejezik ki hog az alakváltozások függvénei között szigoú matematikai kapcsolat létezik Ha például eg háomdimenziós testnél az alakváltozások meghatáozása soán a gondolatban végtelen sok kis elemi hasába felosztott tatománnál a hat alakváltozási komponenst egmástól függetlenül hatáozzuk meg akko az eges (ezen alakváltozások hatásáa defomálódott) hasábokból nem tudunk összeakni eg foltonosan defomálódott tömö testet számtalan hézag vag éppen átfedés fog jelentkezni a csatlakozó felületek között A kompatibilitási egenletek éppen ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésée születtek Megjegezzük hog a gakolatban ezeket az egenleteket elsősoban a különböző mechanikai megoldási technikák (eőmódsze feszültségfüggvénes eljáások) bemutatásako fogjuk majd használni Alakváltozás-tenzook előállítása hengekoodináta-endszeben Íjuk fel előszö a Geen-Lagange-féle változatot majd utána a kicsin alakváltozásokhoz tatozó tenzot A számításhoz használt hengekoodináta-endszet láthatjuk a -es ábán Az eges változók közötti kapcsolat: = R+ u ϑ=θ+α z= Z+ w (6) ahol u az R iánban w pedig a Z iánban létejövő eltolódás α pedig a szög változása 6 7

38 ába: A hengekoodináta-endsze alapvető paaméteei Az anagi endszeben levő P pont könezetének elemien kicsin távolságban levő bámel tetszőleges Q pontjánál az elemi szál hossznégzete az alábbi módon számítható: ds = dr + R dθ + dz (7) Uganezt a számítást megismételhetjük a pillanatni konfiguációban is p könezetét figelembe véve: ds = d + dϑ + dz (8) Figelembe véve hog (most indees jelöléssel): u i u i di = dx i+ dx j = δ i j+ dx j (9) X j X j az eges növekmének az Eule-féle endszeben a következőképpen íhatók fel: u u u d= + dr+ dθ+ dz R θ Z α α α dϑ= dr+ + dθ+ dz () R θ Z w w w dz= dr+ dθ+ + dz R θ Z Helettesítsük be ezeket a tagokat az előző egenletbe ahol az elemi hossz távolságát az eulei endszeben számítottuk és hatáozzuk meg a két endszeben kapott étékek különbségét ögtön egenlővé téve ezt a kifejezést a Geen-Lagange-tenzo komponenseivel: ds ds = Ei jdx i dx j = ( E R RdR + EθθR dθ + E Z ZdZ + () + ( E dr R dθ+ E Rdθ dz + E dz dr)) Rθ θ Z Z R A Geen-Lagange-féle alakváltozás-tenzo eges elemei ennek megfelelően: u u α w E R R = + + ( R+ u) + R R R R () E θθ u u α = R R θ u u w u α R R θ θ R θ w u α w E Z Z = + + ( R+ u) + Z Z Z Z u α u u αα ww E Rθ = + ( R+ u) + + ( R+ u) + R θ R R θ R θ R θ α w u u αα ww EθZ = ( R+ u) ( R+ u) + R Z θ θz θ Z θ Z u w u u ( ) αα ww E Z R = R+ u + R Z R Z R Z R Z R 6 8

39 Ha most is végehajtjuk azt a lineaizálást amit a deékszögű koodinátaendszeben felít ε tenzonál má elvégeztünk vagis R θ ϑ Z z () tovább tekintetbe vesszük hog a ϑ iánú v eltolódásfüggvén segítségével v α= (4) akko a kis alakváltozások tenzoának elemei a hengekoodináta-endszeben a következők lesznek: u u v ε = ε w ϑ = + ε z = ϑ z (5) u v v v w w u ε ϑ = + ε ϑ z = + ε z = + ϑ z ϑ z Abban a különleges esetben amiko kis alakváltozásokat feltételezve az alábbi feltételek is fennállnak: u v w= = = (6) z z az egszeű sík alakváltozási állapothoz jutunk Ilenko a kis alakváltozások tenzoának független elemei a következők lesznek: u u v ε = ε ϑ = + ε z = (7) ϑ u v v ε ϑ = + ε ϑ = ε = ϑ z z Eg másik speciális változathoz jutunk fogásszimmetikus mechanikai feladatok esetében Ilenko a feltételek: u w v= = = (8) ϑ ϑ Ezt figelembe véve az alakváltozás-komponensek: u u w ε = ε ϑ = ε z = (9) z w u ε ϑ = ε ϑ z = ε z = + z A gakolás kedvéét megadjuk a hengekoodináta endszeben számítható kis alakváltozások tenzoának eg másik számítási módját is: Számítsuk ki előszö a sugá-és éintő iánú egségvektookat tanszfomálás segítségével: e ( ϑ ) = e cosϑ+ e sin ϑ eϑ = e sinϑ+ e cos ϑ ez= e (4) A szükséges deiváltak: e eϑ = e sinϑ+ e cos ϑ= eϑ = e cosϑ e sin ϑ= e (4) ϑ ϑ Hengekoodináta-endszeben az elmozdulásvekto és a opeáto az egségvektook segítségével: u= ue+ uϑ eϑ+ uz ez = e + eϑ + ez (4) ϑ z 6 9

40 Innen (a deiválásoknál a tömöség kedvéét az indees jelölésmódot használjuk): u u u ϑ z u= ( u u ) ( u u ) u ϑ ϑ ϑ ϑ+ z ϑ (4) u z u z u ϑ z z Ennek felhasználásával az ε = ε ϑ ε z ε ( u+ ( u) T ) = εϑ εϑ εϑ z (44) ε z ε z ϑ ε z alakváltozás-tenzo eges elemei: ε = u ; εϑ = ( u + uϑ ϑ ); ε z = uz z; ε ϑ = εϑ = ( u ϑ uϑ ) + uϑ ; ε ϑ z = ε zϑ = uz ϑ+ uϑ z ; ε z = ε z = ( u z + uz ) (45) A kis alakváltozások tenzoának előállítása D endszeben polákoodináta- Hengekoodináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk most azonban a két dimenzió adta egszeűsítések miatt az elemi hasábok elmozdulási képét felhasználva állítjuk elő a tenzo elemeit 6 4

41 ába: Alakváltozások polákoodináta-endszeben Megjegezzük hog az alakváltozás-tenzoa itt kapott elemeket temészetesen az előző pontban felít eedmének további egszeűsítésével is számíthatjuk de most inkább a gafikus alapú szemléletesebb módszet választottuk Az ábák vázlatait felhasználva: ( v u ( + ) Θ Θ ) dθ u v u d d ε = ε =ε +ε = + Θ u v Θ Θ Θ = + (46) dθ dθ Θ ( u ) dθ u v v v u v v εθ = γ Θ = γ Θ+ γ Θ = Θ + = + dθ Θ Mivel most nincs z iánú változás az összes többi tenzokomponens zéus A kis alakváltozások tenzoának előállítása gömbkoodináta-endszeben Tatálok héjak és más különleges szekezetek vizsgálatánál szükség lehet ilen típusú leíásmóda Csak a kis alakváltozások tenzoának számítását mutatjuk be az ábán látható α θ bázisban a levezetés észleteinek mellőzésével (u v és w a háom bázisiánnak megfelelő eltolódásfüggvéneket jelentik): ába: Gömbkoodináta-endsze Eg elemi szál hossznégzete ebben a endszeben: ds d sin ( d ) ( d ) = + θ α + θ 6 4

42 u v u v u cotgθ ε = ε θ = + ε α = + + w θ sinθα u v v u w w ε α= + ε θ= + sinθα θ v v cotgθ w ε αθ= + θ sinθα (47) Kis alakváltozások számítása általános göbevonalú koodinátaendszeben Az ábán látható teljesen általános göbevonalú (de otogonális) koodinátaendszeben felvett s s s tengeleknek megfelelő i i egségvektooka is igaz az alábbi állítás: 4 ába: Göbevonalú koodinátaendsze i i =δ (48) j k j k Ha ezt a kifejezést deiváljuk akko a következő azonosságokat kapjuk: i j i j i k i j = ik = i j (49) s s s m m m Részletesen felíva az eges egségvektook s s s iánú deiváltjait a következőt kapjuk: i i i i i i i K i i K i i K i s = s = s = (5) i i i i i i Az eges mátiok a következő elemeket tatalmazzák (az indeekben a vesszők utáni tagok az adott változók szeinti paciális deiválásoka utalnak): 6 4

43 i s i i s i i s i i s i i s i i s i K = i s i i s i i s i K = i s i i s i i s i i s i i s i i s i i s i i s i i s i (5/a) i s i i s i i s i K = i s i i s i i s i i s i i s i i s i vag tömöebb jelöléssel (a máti soszámáa és a kimaadó indee utaló számozással): k k k k k k K = k k K k k K k k = = (5/b) k k k k k k Ezeket a tenzookat hívják az adott bázis göbületi tenzoainak Segítségükkel végezhető el minden az adott bázishoz tatozó fontos mechanikai művelet íg például az alakváltozások számítása az eltolódásokból Mielőtt tovább foltatnánk ezek meghatáozását gakolásul megadjuk a koábbiakban má vizsgált hengekoodináták esetén ezen göbületi tenzook étékét: s = s = ϑ s =z i = sinϑ i + cos ϑ i i = cosϑi sin ϑ i i = i z / K = K = K = / (5) Temészetesen a számítás gömbkoodináta-endsze esetén is hasonló módon végezhető el de ennek észleteie most nem téünk ki Foltassuk az alakváltozás-komponensek számítását Deiváljuk most az u= ui+ ui+ ui (5) alakban megadható elmozdulásvektot az eges koodináták szeint: u u u u = i + i + i + i( uk uk) + i( uk uk) + i( uk uk) s s s s u u u u = i + i + i + i + i + i s s s s ( u k u k ) ( u k u k ) ( u k u k ) u u u u = i + i + i + i( uk uk) + i u s s s s + i u k Az alakváltozások most má egszeűen számolhatók: ( ) ( ) (54) 6 4

44 u u ε = i = + u k u k s s s u u u u ε = i+ i = + + uk uk+ uk uk s s s s u u u u ε = i+ i = + + uk uk + uk uk s s s s u u i ε = = + uk uk s s s u u u u ε = i+ i = + + uk uk + uk uk s s s s u u ε = i = + u k u k (55) Felhasznált iodalom: / Sokolnikoff I S : Mathematical Theo of Elasticit McGaw Hill New Yok 956 / Mang H Hofstette G: Festigkeitslehe Spinge Wien / Tabe L A : Nonlinea Theo of Elasticit Wold Scientific New Jese 4 4/ Bezuhov N I : Bevezetés a ugalmasságtanba és képlékenségtanba Tankönvkiadó Budapest 95 5/ Nafeh A H Pai P F : Linea and Nonlinea Stuctual Mechanics Wile

45 4 Előadás: A különböző feszültségtípusok definíciói főfeszültségek A leggakabban használt feszültségtípusok definíciói Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paamétee a feszültség Fogalmát Cauch fancia matematikus vezette be 8-ben majd őt követően Piola Kichhoff és sokan mások is definiáltak feszültség-tenzookat (megjegezzük hog a sokféleség itt is csak a nag változások tatománát jellemzi kis alakváltozású testeknél csak egetlen tenzotípust használunk) A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anag belsejében keletkező megoszló eőendszehez kapcsolják valamilen hatáátmenet segítségével A kapcsolat felíásako felhasználják a Cauch által bevezetett összefüggést: Emlékeztetőül 4 : az egensúlban lévő test tetszőleges metszeténél az egensúlt biztosító megoszló eőendszenek eg elemi teülete vonatkozó hatáátmenetéből definiáltuk az n nomálishoz tatozó t feszültségvekto fogalmát: lim f d t= = f A A da Ennek felhasználásával javasolta bevezetni Cauch a feszültségtenzo fogalmát amel tenzo a test tehelési folamatának eg pillanatni állapotában eg tetszőleges n nomálisú da elemi síkon működő df elemi eővekto és a pont könezetének feszültségállapotát leíó feszültségtenzo között teemt összefüggést : n σ = σ n = σ n=σi j n j n σ da= df =t da (4) A (4) egenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki számításokban használt fontosabb feszültség-változatokat: 6 4 ába Feszültségek definíciójának ételmezése Gustav Robet Kichhoff (84 887) Kiváló német fizikus Sokat foglalkozott mechanikai kédésekkel például a vékon lemezek elméletével Piola olasz matematikus (lásd a hét előadását) munkáját foltatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzo- definíciók 4 További észletekől lásd a [77 -ben tanult alapvető összefüggéseket ] 45

46 a/ Cauch-féle (vag más néven igazi vag fizikai ) feszültségtenzo: Jelölése:σ Definíciója a feszültségvekto és a feszültségtenzo közötti kapcsolatot leíó klasszikus Cauch-összefüggés segítségével töténik (lásd a fenti ábát): n σ da= df =t da (4) A tenzo szimmetikus a számításához szükséges változókat mindig a pillanatni konfiguációban íjuk fel A tenzo szimmetiája a pillanatni állapotban a pont köül felvett elemi hasáb nomatéki egensúlából következik a tenzo elemeinek valós fizikai tatalmuk van b/ Nominális (vag más néven első Piola-Kichhoff- ) feszültségtenzo: Jelölése: P Definíciója: n P da = df =t da (4) A P tenzo meghatáozása szintén a pillanatni állapothoz tatozó df eővektot veszi alapul azonban a kiindulási állapothoz tatozó felületet és nomálvektot alkalmazza ezét a tenzo nem szimmetikus és általában elemeinek nincs valós fizikai jelentése Ezt a tenzot mindig a Lagange-bázis változóinak segítségével ételmezzük 5 Megjegezzük hog eges könvek a tanszponáltját hívják első Piola-Kichhofftenzonak sajnos a á vonatkozó jelölésendsze nem egséges Ebben a vázlatban az egszeűség kedvéét vegesen fogjuk használni mindkét elnevezést c/ Második Piola-Kichhoff-feszültségtenzo: Jelölése: S Ennek a tenzonak sincs fizikai tatalma Definiálásáa többféle változat 5 alatti is található a szakiodalomban Eges szezők szeint (lásd például a [ ] iodalmat) a Jacobi-deteminánssal megszozott Cauch-féle feszültségtenzo (lásd az ún Kichhoff-féle tenzot néhán soal lejjebb) segítségével állítható elő ilenko a gadienstenzo invezének segítségével végehajtott tanszfomáció megtatja az eedeti feszültségtenzo szimmetikus jellegét de az új feszültségtenzo most má a kezdeti konfiguációhoz köthető: S= J F σ F T (44/a) Más szezők szeint (lásd például [ 6] -ot) a második Piola-Kichhoff-féle tenzo azét jött léte met a ménökök az első Piola-Kichhoff-féle tenzo nemszimmetikus jellegének módosítását akaták eléni Megtatották az a és b pontokban alkalmazott Cauch-féle feszültségi összefüggést csak az eővektot módosították a gadienstenzo invezével íg éve el az eedeti konfiguációhoz való kapcsolódást: - - n S da = F df = F t da (44/b) Még egsze hangsúlozzuk azt a fontos különbséget a nominális tenzohoz képest hog ez a tenzo szimmetikus 5 A matematikusok P-t (a defomációgadiens-tenzohoz hasonlóan) az úgnevezett kétponttenzook csopotjába soolják mivel két különböző állapot (a pillanatni és a kiindulási konfiguáció) változóit kapcsolja össze 6 46

47 Kis alakváltozások esetén a fenti feszültségtenzook jó közelítéssel azonosnak tekinthetők Ilenko (külön jelzős név nélkül) a feszültségtenzo elnevezést és a σ szimbólumot szokás használni: σ P S (45) A feszültségtenzo eges elemeinek mechanikai jelentése (a fizikai tatalommal bíó változatoka (a Cauch-tenzoa vag a kis alakváltozásoknál használt feszültségtenzoa használják) az alábbi módon fogalmazható meg: 4 ába Feszültségvekto felbontása A feszültségtenzo segítségével eg n nomálisú felületelemhez endelt elemi feszültségvektot gakolati okokból két komponense szokás bontani A nomális iánú összetevőt nomálfeszültségnek: σ= n t n = n σ n nomálfeszültség (46) míg a felület síkjába eső másik komponenst níófeszültségnek nevezzük: τ= m t n = m σ n níófeszültség (47) A (47)-es képletben szeeplő m vekto valamilen előe ögzített iánt jelöl Az eges fizikai tatalmú tenzooknál ennek megfelelően a főátlóban lévő elemeket nomálfeszültségi míg a többit níófeszültségi komponensnek tekintjük Szokásos jelöléseik ennek megfelelően: σ τ τ z σ σ σ z σ σ σ σ= τ σ τz σ σ σ z σ σ σ = = (48) τz τz σ z σz σz σ zz σ σ σ Az itt szeeplő elemek fizikai tatalma uganaz csupán többféle egaánt szokásos jelölési móddal tüntettük fel őket A feszültségek közötti tanszfomáció A koábban ismetetett Nanson-képlet segítségével adhatjuk meg a szükséges tanszfomációkat Például a Cauch- illetve a nominális feszültségek közötti kapcsolatot a df vekto felíásával adhatjuk meg: df = n σ da= n P da (49) Íjuk be ide n étékét a Nanson-képlet segítségével: J n F σ da = n PdA P= J F σ (4) illetve: σ= F P (4) J A nominális feszültségtenzo és a második Piola-Kichhoff-tenzo közötti kapcsolat: t n 6 47

48 df= F (4/a) T T (n S ) da = F (S n ) da = F S n da T T P da = P n da = F S n da df= n (4/b) Ezek felhasználásával a többi összefüggés: T T T P= S F σ= F S F S= J F σ F (4) J Mechanikai számításokban használt egéb feszültségtenzook Nemlineáis feladatok vizsgálatánál néha találkozhatunk másféle feszültségtenzo-típusokkal is: a/ Kootációs tenzo Úgnevezett egüttfogó feszültségtenzo (nag elfodulásokat végző endszeeknél használatos szimmetikus tenzo amit a Cauch-tenzo elfogatásával állítanak elő: T ˆσ = R σ R (44) b/ Kichhoff-feszültségtenzo Igen nag ugalmas vag képléken alakváltozások esetén használatos szimmetikus tenzo Szintén a Cauch-tenzoból számaztatják azt szoozzák a gadiens-tenzo deteminánsával: τ= Jσ (45) c/ Mandel 6 -feszültségtenzo Képléken anagoknál használatos nem szimmetikus: Σ =C S (46) ahol C a jobb Cauch-Geen alakváltozás-tenzo d/ Biot-feszültségtenzo: T B = R T P= U S (47) ahol U és R az F gadiens-tenzo poláis felbontásából kapott tenzook A Biot-tenzo nem szimmetikus A fontosabb feszültségtenzook közötti tanszfomációk összefoglaló táblázata (U és R a gadiens-tenzo poláis felbontásából számaztatott tenzook): 6 Leonad Mandel (97 ) német számazású ameikai fizikus 6 48

49 4 Példa Vizsgáljuk meg a (4)-as ábán látható D elemi hasábot ahol állapothoz tatozó Cauch-feszültségtenzo étékei adottak eg pillanatni Fogassuk a hasábot adott ω szögsebességgel és tegük fel hog a feszültségek befagasztott állapotban vannak fizikailag mindig uganazt a hatást fejtik ki az elemi hasába Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzookat a t = helzetből kiindulva a t = π pillanatban (itt ω a fogatás szögsebessége): ω 4 ába Elfogatott testen működő feszültségek Legen a kezdeti állapot tenzoa: σ σ t= = σ A kiindulási állapotban F= I íg σ S= P = σˆ = σ = σ A defomált állapotban előszö számítsuk ki a t= π pillanathoz tatozó ω defomációs gadienst: cosπ/ sinπ / F = sin / cos / π π = A detemináns: J = det ( F ) = Mivel a feszültség étéke fizikailag nem változott az új állapotban a Cauch-féle feszültség: σ σ = σ A többi (gakolati szempontból fontos) feszültségtenzo: σ σ P= J F σ = = σ σ S= = P F illetve (mivel R= =F): T = σ T σ ˆ = S σ = σ σ 6 49

50 6 5 4 Példa Vizsgáljuk az ábán látható húzott údelem feszültségállapotát leíó tenzookat! Legenek a koodináták közötti kapcsolatok a következők: Z b b z Y a a X l l = = = 44 ába Húzott oszlop vizsgálata A gadiens-tenzo: = b b a a l l F A detemináns és az invez tenzo: l b a abl J= = b b a a l l F Az eges feszültségtenzook: σ = σ σ = σ = b a ab b b a a l l l b a abl P Az egetlen nemzéus elem kapcsolata a Cauch-tenzo első elemével: A A b a ab P σ = σ = A második Piola-Kichhoff-tenzoból csak az első (() indeű) elemet adjuk meg: l A S la σ =

51 A feszültségtenzook felbontása deviátoos és hidosztatikus (gömbi) komponenseke Ez a művelet elsősoban a fizikai tatalommal bíó változatoknál hasznos (lásd a matematikai alapokat a Függelékben a másodendű tenzook felbontásáól) Például a Cauch-tenzonál: σátl σ= σhid+ σdev ahol σ = átl átl ( z ) / hid σ σ = σ +σ +σ (48/a) σ átl S τ τz σ = S = S z S átl S átl S dev τ τ =σ σ =σ σ z =σz σátl (48/b) τz τz Sz A felbontás első komponensét hidosztatikus vag gömbi (vag pedig néha átlagos) feszültségtenzonak nevezik Ez a tenzo a vizsgált pont könezetének átlagos nomálfeszültségét adja meg A második komponens neve deviáto (vag deviátoos) tenzo (számítási módja: eedeti feszültségtenzo mínusz hidosztatikus feszültségtenzo) eg tébeli pont átlagos níófeszültségi viszonaiól ad infomációt Megjegezzük hog kis alakváltozású testeknél a deviátoos tenzot s szimbólummal jelöljük A feszültségtenzo sajátétékei és sajátvektoai: főnomálfeszültségek főiánok Az alakváltozástenzo vizsgálatánál elmondottakhoz hasonlóan számíthatók a feszültségtenzook sajátétékei (lásd még: matematikai alapok Függelék) Az általánosított sajátéték-feladat a Cauch-tenzoa felíva: (σ σi) n= (49) Kaakteisztikus egenlete: σ I σ + I σ I = (4) Az egenlet göke a háom sajátéték ameleket mechanikai tatalmuk alapján főnomálfeszültségnek vag övidebben főfeszültségnek nevezünk: σ σ σ (4) A kaakteisztikus egenlet egütthatói a feszültségtenzo invaiánsai: I= σ+σ +σ= t σ I = ((t σ ) t( σ )) = σ σ +σσ+σσ (4) I = σσσ= detσ A főiánokat a sajátvektook adják számításuk a szokásos matematikai lépésekkel oldható meg A sajátvektook a főiánok homogén izotop anagnál megegeznek a megfelelő alakváltozás-tenzo főiánaival Megjegezzük hog mechanikai szempontból a főfeszültségek olan síkokhoz tatozó nomálfeszültségek mel síkoknál nincs níófeszültségi komponens 6 5

52 Maimális níófeszültségek A nomálfeszültségek szélsőétékeinek kiszámítása mellett uganilen fontos az anagban keletkező maimális níófeszültségek meghatáozása is hiszen eges esetekben például képléken vizsgálatoknál ezek szeepe alapvető fontosságú A níófeszültségek szélsőétékének meghatáozásához íjuk fel a főfeszültségek teében eg adott n nomálisnál a níófeszültségek négzetét az n nomálisú síkhoz tatozó teljes feszültség illetve a nomálfeszültség segítségével Legen most mindháom főfeszültség egmástól különböző: t n = σ n +σn + σn (4) és mivel σn = σn + σn+ σn és τn = t n σn (44) továbbá felhasználva az iánkoszinuszoka ismet n + n+ n = (45) összefüggést a níófeszültségeke az alábbi képletet kapjuk: ( ) ( ) ( ) ( ) τn = σ σ n + σ σ n+ σ σ σ n + σ σ n+ σ (46) Ez a képlet azt mutatja hog a níófeszültség csak két koodináta ( n n ) étékétől függ A szélsőéték feltételei: τn a) = { ( σ σ) n ( σ σ) n + ( σ σ) n+ σ n( σ σ) } = n (47) {( ) ( ) (( ) ( ) ) } = σ σ n σ σ σ σ n + σ σ n = Hasonlóan: τn b) = { ( σ σ) n ( σ σ) ( ( σ σ) n ( σ σ) n) } n + = (48) Keessük a níófeszültségeket az eges koodinátasíkokban ( ) Legen n = n ekko "b" alapján σ σ ( n ) = 44 ha (49) Innen: n=± n=± (4) és íg eg lehetséges szélsőéték: τ ( ) n = σ σ τ n 4 = σ σ (4) ( ) Legen n = n akko "a" alapján σ σ ( n ) = (4) 44 ha Innen: n=± n=± (4) és íg eg másik lehetséges szélsőéték: τn ( σ σ) = τ n = σ σ (44) 4 Hasonlóan a hamadik változat: 6 5

53 (45) n = n =± n= τn = σ σ Mindezek alapján a níófeszültség maimuma (figelembe véve a főfeszültségek között szokásos matematikai soendet): τma = σ σ (46) A feszültségdeviáto-tenzo invaiánsai Nemlineáis feladatoknál (különösen a képlékenségtanban) gakan van szükség a tozulási hatásokat méő deviátoos tenzo eges invaiánsaia is Ezeket elvileg a feszültségdeviátotenzo sajátéték-feladatának kaakteisztikus egenletéből számaztatjuk 7 : s Js Js J= (47) ahol az eges invaiánsok: J = J = det s (48) A mechanikai szeepe miatt fontos J invaiáns észletesen: J = ( σ σ ) +σ ( σ z ) +σ ( z σ ) + τ +τ z+τ z = 6 = [( σ σ ) + ( σ σ) + ( σ σ) ] 6 Ez a változó a képlékenségtan egik legfontosabb paamétee Az oktaédees feszültségek (49) 45 ába Oktaéde lapjain működő feszültségek Ha a főfeszültségek teében felveszünk eg oktaédet (lásd a 45 ábát) akko annak lapjain működő nomál- és níófeszültségeket az alábbi módon lehet meghatáozni: σ okt =σn +σn +σn = ( σ+σ +σ) = I (44) 7 Fontos tudnunk hog a második deviátoos invaiáns a kaakteisztikus egenletben alkalmazott előjelváltás miatt mindig pozitív 6 5

54 τ okt = ( σ +σ +σ) ( σ +σ +σ ) = (44) 9 = ( ) ( ) ( ) 9 σ σ + σ σ + σ σ τ okt = J = ( I I ) (44) Ezeket a változókat főleg a képlékenségtanban használják de más nemlineáis feladatoknál is gakan találkozunk velük Haigh 8 -Westegaad 9 -té Nemlineáis feladatok megoldásánál sokszo kell olan számításokat végeznünk ahol eges függvének a főfeszültségeket mint alapváltozókat használják Haigh és Westegaad azt σ σ σ étékek helett fizikai javasolta hog ilen feladatoknál sokszo előnös a ( ) tatalmú koodinátákkal dolgoznunk ezét a ( ) hidosztatikus és eg deviátoos összetevő kombinációjaként előállítani Az alábbiakban bemutatjuk ennek a számításnak a észleteit 4 Pσ σ σ pontot célszeűbb eg 46 ába A Haigh-Westegaad-té 8 Benad Pake Haigh (884-94) angol ménök ugalmasságtannal és töésmechanikával foglalkozott 9 Haald Malcolm Westegaad (888 95) dán számazású de élete nag észében Ameikában élő mechanikus Jelentős műveket alkotott a töésmechanikában és az elméleti ugalmasságtanban 4 Megjegezzük hog az oigón átmenő deviátoos síkot π -síknak hívják 6 54

55 Az ábán látható módon előszö felveszünk két alapvető geometia jellemzőt Ezek közül az egik az úgnevezett hidosztatikus tengel a másik pedig a deviátoos sík lesz A hidosztatikus tengel azon pontok métani hele ahol: σ =σ = σ (44) a deviátoos sík pedig az alábbi módon íható fel: σ +σ +σ = c (444) ahol c az oigótól mét távolság futó paaméteként kezelve az egenletben Eg P ( σ σ σ) pont új koodinátái ( ξ ρ Θ ) ennek a két geometiai helnek a segítségével az alábbi módon adhatók meg: ξ = ON = OP n= ( σ σ σ) ( ) = (445) I = ( σ +σ +σ ) = = σ átl Ez a koodináta a hidosztatikus hatást jellemzi A másik koodinátához előszö meghatáozzuk az NP vektot: NP= OP -ON=( σ σ σ ) ( σ átl σ átl σ átl ) = ( s s s ) (446) Ennek segítségével a níási (deviátoos) hatásokat jellemző másik koodináta: ρ= NP = A hamadik koodinátát ( s + s + s ) = J = τokt t ( t) θ tatalmazó tag a deviátoos síka iánában vetített főfeszültségi koodináta-tengelek képe alapján: ρcos θ= ( s s s) ( ) = ( s s s) = 6 6 (447) a hidosztatikus tengel s (448) 47 ába: A koodinátatengelek képe a deviátoos síkon Innen: 6 55

56 s θ= (449) J cos Tigonometiai átalakítással: J π cosθ= θ (45) J Az új koodináta-hámassal jellemezhető teet hívják alkotói neve után Haigh-Westegaadtének Ezt az új koodináta-változatot sokszo előnösen használják a numeikus képlékenségtani számításokban Objektív métékek megadása a feszültségtenzooknál Nag elfodulásokat végző endszeek nemlineáis vizsgálatánál néha szükség van különleges feszültségfogalmak alkalmazásáa Ilen változatok bevezetésének indoklásához vizsgáljuk meg az alábbi kis feladatot Tételezzük fel hog eg olan anagmodellt 4 kívánunk használni ahol a feszültségek időbeli változása lineáis függvéne az alakváltozás-sebességeknek (gakolásul feltüntetjük az indees alakot is): Dσ Dσ i j C σ D : D σ D = = C i j k l Dk l (45) Dt Dt A képletben szeeplő C σ D tenzo a feszültségek időbeli változását és az alakváltozássebességeket összekötő ismetnek feltételezett anagmodell képleteit tatalmazza Vizsgáljuk meg hog ez az összefüggés valóban betölti-e az anagmodell szeepét vagis mindig egételműen megadja-e a két tenzo kapcsolatát A következő ába bal oldali képén eg kezdeti konfiguációban σ =σ feszültséggel endelkező údelem látható (minden más feszültségkomponens zéus) 48 ába Fogó úd állandó belső feszültséggel Tételezzük fel hog a külső hatások következtében a úd 9 fokkal elfodul de a hossza nem változik meg (D = ) benne uganaz a feszültség van mint a kezdeti állapotban Ez a feszültség (most σ =σ ) azonban eg ögzített koodináta-endszeben megadott feszültség-tenzonál má változást jelent íg a tenzo anagi idő szeinti deiváltja nem lesz 4 Az anagmodellekkel észletesen majd csak később foglalkozunk most elegendő annit tudni óluk amit a BSc-Sziládságtanban tanultunk: a mechanikai anagmodellek az enegiaételemben megfelelően pát alkotó feszültség és alakváltozástenzook összekapcsolását biztosítják 6 56

57 zéus Az előbbi anagmodellnél tehát a jobb oldalon szeeplő alakváltozás-sebesség tenzoa nulla de Dσ / Dt nem az vagis íg az egenlet nem megfelelő mindenképpen koigálni kell Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond hog valamilen módon figelembe kell vennünk benne a nag elfodulások hatását A nemlineáis mechanikában ezt a feladatot a feszültségtenzo objektív sebességének (vag más tömöebb elnevezéssel eg objektív feszültség-tenzonak) a bevezetésével oldják meg Sokféle ilen objektív változat létezik mi csak néhánat mutatunk be közülük a/ Jaumann 4 -sebességtenzo Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indees jelöléssel is megadjuk): J Dσ Dσ T J i j T σ = W σ σ W σ i j = Wi kσ k j σ i kwk j (45) Dt Dt ahol W a (6) egenletben definiált fedén szimmetikus spin tenzo A bal oldalon szeeplő tenzo felső indeében a jel az objektív sebessége utal a J betű pedig Jaumann nevének szimbóluma Ezt az objektív tenzot kell ezek után az anagmodell egenletébe helettesíteni: σ J σ C J : D J σ = σ = C D D (45) i j i j k l k l A két egenlet összevetéséből: Dσ σ J +W σ +σ W T =C σ = J : D+W σ+σ W T (454) Dt A második egenlőség utáni első tag a ténleges anagi viselkedést a második és hamadik pedig egüttesen az elfodulás hatását modellezi b/ Tuesdell 4 -sebességtenzo Tuesdell javaslata a következő: D i j v k vi v T D σ σ T T j σ = + div( v) σ L σ σ L σ i j = + σ i j σ k j σi k Dt Dt k k k (455) A képletben szeeplő L tenzo a sebességgadiens-tenzo koábban a () képlettel definiáltuk v pedig a sebességek vektoa c/ Geen-Naghdi 44 -féle sebességtenzo G Dσ Dσ T G i j T σ = Ω σ σ Ω σ i j = Ω i kσ k j σi kω k j (456) Dt Dt ahol az Ω tenzot a otációs tenzo segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első tagjánál idő szeinti deiváltat kell figelembe vennünk): Ω=R& R T (457) 4 Gustav Jaumann (86 94) magaoszági születésű oszták fizikus Sokat foglalkozott kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzoszámítás különböző kédéseivel 4 Cliffod Ambose Tuesdell (99 ) ameikai matematikus Sokat tett a moden temodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséét 44 Paul M Naghdi (94 994) ameikai gépészménök élete nag észében a Bekele Egetem tanáa Főleg áamlástannal és anagmodellezéssel foglalkozott 6 57

58 4 Példa Egszeű összehasonlítással kimutatható hog például a Tuesdell- és a Jaumann-sebességek megegeznek ha az anagban nincs defomáció Alakváltozások jelenlétében azonban a két éték eltéő lehet íg a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akko biztosítható a kétféle modell között ha különböző anagmodelleket használunk a kétféle sebesség- modellben Vizsgáljunk meg eg testet amel az - síkban az oigó köül ω szögsebességgel foog és nézzük meg hogan alkalmazható á például a Jaumann-féle sebességmodell hogan lehet kiszámítani a fizikai feszültségek tenzoát A test kezdeti konfiguációját a következő ába bal oldali képén láthatjuk: 49 ába Elfoduló test vizsgálata Az elfodulást a következő tenzook jellemzik (lásd az példát): cosω t sinω t X ( t) = R( t) X = sin t cos t Y ω ω v & sinω t cosω t X A sebességvekto: v = = ω cosω t sinω t Y & A gosulásvekto anagi koodinátákkal: a v& cosω t sinω t X a = v = ω sinω t cosω t Y & A gadiens-tenzo valamint inveze és idő szeint deiváltja a következőképpen adható meg: cosω t sinω t c s F= R = = F = F& s c X sin t cos t s c = ω ω ω ahol c s c= cosω t s= sin ωt A sebesség-gadiens tenzo az F tenzo segítségével számítható: s c c s L= =F& F =ω =ω c s s c Innen a spin-tenzo: W= ( L L T ) =ω 6 58

59 A Jaumann-féle modell most a következő lesz (mivel D = az alakváltozásokat jellemző ész hiánzik): Dσ W σ + σ W T Dt = Helettesítsük be ide a má kiszámított mátiokat: D σ σ τ σ τ τ σ σ =ω Dt + ω =ω τ σ τ σ σ σ τ A számítás eedméneként háom daab közönséges diffeenciálegenletet kaptunk σ e σ a és τ a : 44 Példa dσ dσ dτ = ωτ = ωτ =ω( σ σ ) dt dt dt A figelembe veendő kezdeti feltételek: σ () =σ σ () = τ () = Ha ezt a háom diffeenciálegenletet külön-külön megoldjuk akko a következő eedmént kapjuk az időfüggő feszültségtenzoa: c c s σ=σ c s s Ellenőizzük a bal felső elemet: ( cos ωt) dσ d =σ =σ ω ( cos ω t sin ω t) = ωτ dt dt vagis a megoldás heles volt Ezt az eedmént egébként ebben esetben (sokkal egszeűbben) úg is megkaphattuk volna ha eg σ σˆ = kootációs feszültségtenzoból kiindulva a Cauch-feszültségeket a σ = R σˆ R T összefüggéssel számoljuk Megjegezzük még hog ha csak meevtest-szeű elfodulásokat vizsgálunk akko a Jaumann- Tuesdell- Geen-Naghdi- és a kootációs feszültségváltozások azonosak lesznek Vizsgáljuk meg az ábán látható nít test viselkedését a háomféle bemutatott sebességmodellel Használjunk eg egszeű ugalmas izotop anagmodellt 45 az elem mozgásáól pedig tételezzük fel hog az alábbi egenleteknek megfelelően töténik: 45 Sziládságtanból tanultuk hog ebben az esetben két anagállandóa lesz szükségünk Ezek ebben a példában a níási ugalmassági modulus (G) és a Lamé-paaméte ( λ) lesznek lásd a Kaliszk- Kuutzné-Szilági-féle Sziládságtan tankönvet Maga az anagmodell a közismet Hookemodell azon változata amiko az alakváltozásokat a hidosztatikus és deviátoos hatások összegeként adjuk meg 6 59

60 = X + ty = Y 4 ába Nít test vizsgálata A gadiens-tenzo: t t F= F F & = = A sebesség-gadiens tenzo illetve szimmetikus és fedén szimmetikus két komponense a következők lesznek: L= FF & = D W = = A Jaumann-modell egenlete a ugalmas anagmodell felhasználásával a következő lesz (a J inde a Jaumann-modellhez illesztett anagi paaméteeke utal): σ & = λ J t D I+ G J D+ W σ+ σ W T ( ) Íjuk fel észletesen ezt az egenletet és vegük figelembe véve hog t D = : σ & τ & J G σ τ σ τ = + + τ σ σ σ σ σ & & Most is háom diffeenciálegenletet kaptunk: dσ dσ dτ J =τ = τ = G ( σ σ ) dt dt dt A Jaumann-modellhez tatozó megoldások: J J σ = σ = G ( cos t) τ = G sin t Vizsgáljuk meg most a Tuesdell-modellt Ebben az esetben: σ & = λ T t D+ G J D+ L σ+ σ L T (t D) σ Részletesen kifejtve: σ & τ & T G σ τ σ τ = + + τ σ σ σ σ σ & & A diffeenciálegenletek: dσ dσ dτ T = τ = = G σ dt dt dt A Tuesdell-modellhez tatozó megoldások (az új indeek új anagi változóka utalnak): T T σ = G t σ = τ = G t A Geen-Naghdi-modellhez előszö a poláis felbontás segítségével meg kell hatáoznunk az R fogató tenzot A 8 példában má bemutattuk az ehhez szükséges lépéseket (máti diagonizálása sajátétékek stb) most itt csak az eedméneket közöljük ( µ a sajátétékeket jelöli): i 6 6

61 t + t ± t 4+ t F T F= µ ( ) i = i= t t + Megadjuk a zát fomában 46 felít megoldást 47 : G σ = σ = 4G cos β ln cosβ+β sin β sin β ( ) G t τ = G cos β( β tg β ln cosβ tg β) tg β= A következő ábán az idő függvénében ábázoltuk a háomféle modell által szolgáltatott níófeszültség változását (a níási ugalmassági modulussal nomált étéke látható a függőleges tengelen) Mindháom esetben uganazokat a ugalmas anagi jellemzőket használtuk Az eedmén aa hívja fel a figelmet hog ilen esetekben az anagi paaméteeket mindig a modellhez illesztve kell meghatáozni met különben élesen eltéő eedméneket kapunk uganannak a feladatnak a vizsgálatako 4 ába: Azonos anagállandók hatása a különböző objektív modelleknél Befejezésül megjegezzük hog ma má léteznek olan töekvések is amelek megkísélik másféle modellalkotással objektív sebességek bevezetése nélkül kiküszöbölni a otációs hatások okozta nehézségeket (lásd például Matolcsi és Ván munkáját 48 ) de ezeke most nem téünk ki csak az említett szakiodalmat ajánljuk az olvasónak 46 Ennél a modellváltozatnál meglehetősen nehézkes a megoldás célszeűbb numeikus eljáást használni vag esetleg valamilen matematikai pogamot segítségül hívni 47 Dienes 979-es munkája alapján: On the analsis of otation and stess ate in defoming bodies Acta Mechanica Vol pp 7-48 Matolcsi T Ván P: Can mateial time deivative be objective? Phsics Lettes A 5 pp

62 Felhasznált iodalom: / Sokolnikoff I S: Mathematical Theo of Elasticit McGaw Hill 956 / Mang H Hofstette G: Festigkeitslehe Spinge / Tabe L: A: Nonlinea Theo of Elasticit Wold Scientific 4 4/ Fung Y C: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Holzapfel G A: Nonlinea Solid Mechanics Wile 6/ Beltschko T Liu W K Moan B: Nonlinea Finite Elements fo Continua and Stuctues John Wile 7/ Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv 6 6

63 5 Előadás: A mechanikai anagmodell A nemlineáis mechanika alapvető változóinak (elmozdulásoknak alakváltozásoknak feszültségeknek) bemutatása után elkezdjük a legfontosabb mechanikai egenletek tágalását Előszö a gakoló ménök számáa legismetebb egenlettípussal nevezetesen az anagmodellekkel foglalkozunk ezen és a következő előadáson 49 Az anagmodell az anag válasza az őt éő külső hatásoka Ennek megfelelően a ménöki gakolatban többféle anagmodellt is használhatunk például: - optikai anagmodellt (pl fénelnelési és fén-visszaveődési tulajdonságok) -elektomosságtani anagmodellt (szigetelő vag vezető képesség mágnesezhetőség) - hőtani anagmodellt (hővezetési és hőszigetelési képesség) - stb A mechanikai anagmodell az anag mechanikai hatásoka adott válasza Az anagmodellek számaztatása kétféle megközelítés alapján lehetséges: - makomechanikai (fenomenológiai 5 ) modellek: a modell megalkotása makoszintű laboatóiumi vizsgálatok (D D és D méések) eedméneként adódik a mét fizikai jelenségeket matematikai fomában összegző egenletek szolgáltatják az anagmodellt A méések alapvetően az anag adott iánú megnúlásáa/összenomódásáa iánulnak és az elmozdulásokból számaztatott alakváltozásokat kívánják összekapcsolni az anagban keletkező feszültségekkel - mikomechanikai 5 modellek: az anag atomi (molekuláis mono- vag polikistál szintű esetleg mikoszintű mint pl szemcsés közegek független szemcséi stb) viselkedésének megétéséből kíván következtetni a makoszintű viselkedése A mikoszintű modelleket a mikofizikai méések numeikus szimulációk és elméleti hipotézisek egüttese segítségével alkotják meg majd ún homogenizációs eljáások segítségével tanszfomálják makoszinte Ebben a jegzetben kizáólag makomechanikai modellekkel foglalkozunk 49 Megjegezzük hog ezzel a témaköel később még külön tág keetében is foglalkozhatnak az édeklődők lásd a Mechanikai anagmodellek című előadássoozatot 5 A ménöki gakolatban ma a makoszintű laboatóiumi méések tapasztalataia épülő matematikai modelleket nevezik íg Maga a fenomenológia kifejezés a phainomenon ( fenomén szó szeint a megmutatkozó a jelenség ) és a logosz ( tan ) göög szavak összetételéből számazik Előszö Kant (74 84) a híes német filozófus használta aki szeint az igazi ismeetet a jelenség megismeése adja 5 Megjegezzük hog tudománfilozófiai szempontból temészetesen eg valódi mikofizikai méése alapuló mikomechanikai anagmodell is fenomenológiai modellnek számít hiszen Kant definíciója ee az esete is événes azonban a ma eltejedt elnevezési gakolat pillanatnilag ettől elté 6 6

64 Az anagmodellekben szeeplő változók A klasszikus fenomenológiai modellek az alakváltozások és a feszültségek kapcsolatát íják le A megfelelő páok kiválasztásához a temodinamika első főtövénét kell felhasználnunk amel az enegia-megmaadás általános elvét fejezi ki: könezetétől elszigetelt endszeben bámilen folamatok is mennek végbe a endszeen belül az enegiák összege állandó 5 Az első főtövén többféle matematikai alakban is felíható mi most az alábbi tömö fomában adjuk meg: K & + U & = P+ Q (5) ahol K a kinetikus enegia U a belső enegia P a külső eők teljesítméne Q pedig a külső hőhatás Az egenlet bal oldala a szekezet teljes belső enegiájának időbeli megváltozását a jobb oldal pedig a külső enegia megváltozását jelenti Az eges komponensek Lagange- és Eule-endszeben is felíhatók A továbbiakban a nullával indeelt tagok a Lagange- a nulla nélküliek pedig az Eule-endszeben adott változók K= ρ v v dv= ρ v v dv U ρ = ρ u dv u dv (5) P V V = V v da + f v dv = T v da+ f v dv (5) = T A V Q= q n da + ρ dv= q n da+ A V ρ dv (54) A V A V Ezekben a képletekben v a sebesség vektoa ρ a sűűség u (most nem elmozdulást jelöl!) az egségni tömeghez tatozó belső enegia T és f a felületi és téfogati eőket jelentik q a szekezetből kifelé iánítottnak felvett (egségni felülethez tatozó) hőáam-vekto n eg elemi felület nomálvektoa az függvén pedig a szekezet belsejében levő egségni tömege vonatkozó hőfoás-változás (a hőfoás jelen esetben enegia dimenziójú a endsze belsejében levő belső hőtemelő eszköz (pl elektomos melegítő kazán stb) Az időbeli változást leíó tagok: d d K& = ( ρ dv ) ( ρ dv ( ) ρ dv ρ dv v v+ v v) = + = = dt dt v& v v v& v v& (55) V V V = v ( σ + f) dv V V 5 Ha a endsze nem zát akko a endsze enegiája pontosan annival nő amennivel a könezeté csökken (a változás temészetesen fodított iánban is événes) Megjegezzük hog ennek az alapvető elvnek a megfomálása sok tudós nevéhez fűződik: első nomai má milétoszi Thalész munkáiban felbukkantak Galilei is említi eg változatát egik publikációjában Első matematikailag is megfomált leíását Gottfied Wilhelm Leibnitznél találjuk majd Antoine Lavoisie Piee-Simon Laplace Benjamin Thompson (ismetebb nevén Si Rumfod) és Thomas Young is sokat foglalkozott vele Young volt egébként az első aki az enegia kifejezést a ma szokásos ételemben használta a főtövénnel kapcsolatban A XIX század második felében is sok tudós (Gaspad-Gustave Coiolis Jean-Victo Poncelet Julius Robet von Mae stb) végzett ezzel kapcsolatos kutatásokat 6 64

65 A növekméni alak felíásako felhasználtuk a d ( ρ dv ) / dt= összefüggést (ez a fizika tömeg-megmaadási tétele a 7 előadásban észletesen foglalkozunk vele) és a ρ v& =ρa=σ +f egenletet Az 55 alatti kifejezés Lagange-endszeben is felíható a gosulás függvénét ennél a változatnál a nominális feszültségtenzo divegenciájának (és a téfogati eők vektoának) segítségével fejezhetjük ki: K & = v (P + f dv (56) V ) A két opeáto ( és ) az Eule- és Lagange-koodináták alkalmazásában té el egmástól (lásd a második előadás összefoglalóját) A képletekben szeeplő matematikai műveletek (lásd a Függelék (F76) az első előadás () () a második előadás () (5) (6) és (9) alatti képleteit illetve észben a hamadik előadás hivatkozásait): v (σ ) = ( σ v) σ: v (57) v (P ) = ( P v) P: v (58) σ: v= σ: ( D+ W) = σ : D P: v= P: uɺ = P:F ɺ T (59) Ezek felhasználásával K idő szeinti deiváltja: Kɺ = (σ v) σ:d+ f v dv= (5) V [ ] T = ( P v) P:Fɺ f v + dv V A belső enegia idő szeinti deiváltja mindkét bázisban (most is felhasználtuk a tömegmegmaadás tételét az első deivált zéus étékűvé tételében): d U & = ( ρdv ) u+ u& ρdv = u& ρdv = u & ρ dv (5) dt V V A külső hatásoknál a felületi integálokat alakítsuk át téfogati integálokká a Gauss-tétel (vag más néven divegencia-tétel lásd a Függelék (F8)-as képletét) segítségével: P= 6 65 V n v da+ f v dv= [ σ v) + f v] σ ( dv (5) A V V Uganez Lagange-változókkal: P= n P v da + f v dv = P v) + f v dv (5) A [ ] ( V V A hőhatások is átalakíthatók uganíg: = ρ q ) dv = ( ρ q ) dv (54) Q ( V V Minden tagot behelettesítve az első főtövén eedeti képletébe az egszeűsítések után a következő alaka jutunk a kétféle bázisban: T ( ρu& ρ σ : D+ q) dv= = ( ρ u& ρ P:F& + q ) dv (55) V V Mivel tetszőleges téfogata événesek a fenti összefüggések lokális alakjuk is felíható (az enegia változását a bal oldala tettük át): ρu& = σ : D + ρ q (56) T ρu & = P:F& +ρ q (57) Az anagmodellek szempontjából a legfontosabb következtetés a fenti egenletekből az hog az enegia megváltozásának számításako a Cauch-feszültség az alakváltozás-sebesség tenzoal a nominális (első Piola-Kichhoff) feszültségtenzo pedig a gadiens-tenzo idő szeinti deiváltjával kapcsolható össze További átalakításokkal (lásd a Függelék (F)-as és (F4)-es képleteit):

66 - σ : D= σ : (D + W) = σ : L= σ : (Fɺ F ) = (58) -T -T -T T T = F ɺ : (σ F ) = ( σ F ) :F ɺ = (σ F ) :F ɺ = - T T - T T = (F σ ):F ɺ = ( F σ ) :F ɺ = J P:F ɺ A második Piola-Kichhoff feszültségtenzonak is megkeeshető az alakváltozástenzo pája: - P:Fɺ T T = Jσ:D= Jσ:(F Eɺ F ) = (59) -T T = J( F E) ɺ :(F σ T ) = J( F σ T ):(E ɺ T F ) = = J( F - σ ):(E ɺ F - ) = JE:(F ɺ - σ F -T ) = E:S ɺ = S:E ɺ Ezekkel a változókkal például most má felíható az első főtövén eg altenatív változata Lagange-endszeben: u & = S : E& +ρ (5) ρ Összefoglalva az enegiaelvben kapcsolt fontosabb alakváltozás-feszültség páokat: T J σ:d= P:F & = S:E & (5) Az anagmodellekben szeeplő folamatok iánítottsága Az iánítottságot a temodinamika második főtövénének 5 segítségével lehet jellemezni Ez a tövén többféle módon is felíható mi most a számunka legcélszeűbb változatát az úgnevezett Clausius 54 -Duhem 55 egenlőtlenséget fogjuk használni Ez a matematikai alak az entópia 56 változása segítségével jellemzi a mechanikai folamatokat Hétköznapi ménöki jelenségeke alkalmazva az alábbi egenlőtlenség azt jelenti hog evezibilis ( megfodítható például ugalmas tulajdonságú) anagok tehelési folamata esetében a belső endezetlenség 57 (vagis az entópia) állandó étékű ievezibilis (meg nem fodítható pl képléken mozsolódó) jelenségeket tatalmazó anagoknál pedig az entópia nő: η=η η q dq (5) T 5 Eedeti fomájában a második főtövént Nicolas Leonad Sadi Canot (796 8) a kiváló fancia fizikus és hadménök publikálta 84-ben (acképe látható ezen az oldalon) Gakan nevezik őt a temodinamika atjának 54 Rudolf Julius Emanuel Clausius (8 888) német fizikus és matematikus a temodinamika egik legjelentősebb kutatója Az entópia fogalmát is ő javasolta használni 55 Piee Mauice Maie Duhem (86 96) fancia fizikus és matematikus Temodinamikai vizsgálatok mellett sokat foglalkozott ugalmasságtannal és hidodinamikával 56 Az entópia az anag belsejében létejövő endezetlenség métékée jellemző változó Maga a szó göög eedetű a valami felé fodulást vagis lénegében az iánítottságot jelzi Többféle változatát használják a Clausius kidolgozta klasszikus temodinamikai entópia mellett a statisztikus temodinamika (Ludwig Boltzmann Josiah Willad Gibbs James Clak Mawell) és az infomációelmélet (Claude E Shannon 948) is alkalmazza jelenségei leíásáa 57 Az általunk vizsgált mechanikai feladatoknál a mikoszekezet épen maadásához vag tönkemeneteléhez (és tönkemeneteli módjához) köthető a endezetlenség jellemzése 6 66

67 ahol η az egségni tömege jutó (temodinamikai) entópiát jelöli Q az egségni tömege vonatkoztatott hőváltozás T pedig a hőméséklet Kelvin-fokban és pedig két egmást követő állapotot jelölnek A képletben az egenlőség a evezibilis (vagis megfodítható) a nagobb jel pedig az ievezibilis (vissza nem fodítható) folamatoka vonatkozik Az első főtövénnél alkalmazott paaméteekkel időbeli változásként kifejezve a fenti egenlőtlenséget a következő kifejezéseket kapjuk (mindkét bázist használva): d q ρ d q ρη + ρ η + ρ dv n da dv dv n da dv (5) dt T T dt T T V A V V A V A felületi integálok Gauss-tétel segítségével töténő átalakításával: ρ q ρ q ρη & + ( ) dv ρ η & + ( ) dv (54) V T T V T T A tetszőleges téfogata ételmezett lokális alakok a kétféle bázisban: q q η & + ( ) η & + ( ) T ρ T T ρ T (55) A divegencia-művelet kifejtésével (csak az Eule-bázisa íjuk fel a Lagange-változóka csak alkalmazzuk az eedménét) a baloldal második tagja átíható: q ( ) = q q T (56) T T T Ezek figelembevételével (55) új alakja: η & + q q T η & + q q T (57) T ρt ρt T ρt ρt Mivel a hő sohasem fog a hidegebb helől a melegebb felé áamlani ezét mindig igaz az alábbi két feltétel 58 : q T q T (58) Ennek a fizikai megfigelésnek és az eedeti ((5) alatti) feltételnek a figelembevételével (57) módosítható: η & q q T + T η & ρ T + ρt (59) További egenleteinkben a második főtövén ezen alakját fogjuk használni Az anagmodellek előállításánál figelembe veendő további alapelvek a/ Koodináta invaiancia: Az anagi viselkedést leíó modelleknek függetleneknek kell lenniük az alkalmazott koodinátaendszeektől ezét az egenleteket tenzo fomában kell megadni b/ Töténetfüggés: Általános esetben eg adott időpontban az anagban keletkező feszültségek nem csak a defomáció a hőméséklet és az esetleges disszipációs hatások pillanatni étékeitől 58 Az (58)-as egenlet lénegében azt fejezi ki hog a hőméséklet-gadiens és a hőáam előjele mindig különböző 6 67

68 függenek hanem ezen változók adott időpillanatig tató teljes töténetétől Ezt az elvet hívják a mechanikában töténetfüggésnek 59 Egszeűsített esetekben ez a töténetfüggés elhanagolható: pl ideálisan ugalmas anagnál csak a pillanatni defomációtól temoelasztikus anagnál pedig a defomációk mellett csak a pillanatni hőméséklettől függ a feszültség c/ Lokális hatás 6 : Az anag eg tetszőleges pontjában számított anagi változók (pl feszültségek) nem függnek jelentős métékben a pont eg meghatáozott könezetén kívül levő független változóktól (pl jelen esetben a könezeten kívül levő alakváltozásoktól) Matematikai fomában: ha eg adott P pont mozgását és hőmésékletét (Xt) és T(Xt) függvének hatáozzák meg és a pont eg kicsin könezetében levő mozgást és hőmésékletet ( X t) és T( X t ) függvénekkel jelöljük 6 akko: T (X t) = (X t) + ( X- X) + T ( X t) = T ( X t) + ( X- X) + (5) X X A lokális hatások elvének figelembevételével a vizsgált pont mozgási és hőmésékleti állapotát a pont elemien kicsin (lokális) könezetének figelembevételével lehet meghatáozni Jelenlegi tágalási módunkban csupán az első deiváltat fogjuk számításba venni az anagi hatásoknál a magasabb endűeket elhanagoljuk Megjegezzük hog a mechanikában néha az egszeű anagok jelzőt kapcsolják ehhez a leíási módhoz A lokális hatások és az előbb említett töténetfüggés elvét figelembe véve például a temoelasztikus anag legáltalánosabb anagmodelljeie az alábbi összefüggések íhatók fel: σ= σ( X F T T ) q= q(xf T T ) u= u( XF T T ) η=η( X F T T ) (5) A feszültségek a hőáam az enegia és az entópia függvéneit alapvetően az itt felsoolt változók meghatáozzák Megjegezzük hog az egenletekben szeeplő X paaméte lehetővé teszi az inhomogenitás hatásának figelembevételét Ugancsak fontos megjegzés hog néha a hőméséklet helett a endezetlenséget választják független változónak az alapegenletekben ilenko az (5) alatti képletek a következő alakúak lesznek: σ= σ( X F η η ) q= q(xf η η ) u= u( XF η η ) T= T ( XF η η ) (5) d/ Egidejűség: Ha eg változó szeepel az anagot jellemző egenletek valamelikében szeepelnie kell a többi egenletben is hacsak jelenléte nem sét valamilen alapvető fizikai tövént (a c pont végén megadott állapotjellemző függvének jól illusztálják ezt az elvet) Ha például új 59 Szokás néha útfüggő vag teheléstöténet-függő anagúnak is nevezni az ee különösen ézéken szekezeteket 6 Megjegezzük hog a mechanikai jelenségek leíása eges esetekben célszeűbb lehet úgnevezett nemlokális kontinuummechanikai modellek alapján lásd ee vonatkozólag a Függelékben olvasható megjegzéseket 6 Itt X és X a defomálatlan test két egmáshoz elemien közeli két pontját jelölik 6 68

69 hatást akaunk beépíteni a modellekbe (pl valamilen kémiai vag elektomos paamétet) akko azt mind a nég kapcsolati függvénben szeepeltetni kell e/ Anagi objektivitás: : Az anagmodellnek invaiánsnak 6 kell lennie a tébeli efeencia endsze meevtestszeű mozgásával szemben Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével észletesebben foglalkozunk Vizsgáljuk meg például az 5-es ábán látható (A-val és A -gal jelölt) hivatkozási endszeeket 5 ába: Különböző mozgó megfigelő endszeek Helezzünk el mindegik bázis (O-val és O -gal jelölt) kezdőpontjában eg ögzített helzetű megfigelőt Az A endszeben ögzített p pont az O-ban levő megfigelő számáa helben maad de temészetesen ez má nem íg lesz a másik megfigelő esetében számáa p elmozdul ha a két bázis elatív helzete változik Alapvető kédés hogan kapcsolhatók össze a p pont helzetét a két endszeben leíó és helzetvektook Jelöljük a két bázis egmáshoz képesti eltolódását b(t) időfüggő eltolódásvektoal elatív elfodulását pedig eg Q(t) (ugancsak időfüggő) otogonális otációs tenzoal Mivel az vekto állandó az A-ban levő megfigelő számáa az A -ban levő elfodulni látja Q( t) étékkel Íg a p pont helzetét megadó két vekto kapcsolata: = Q +b Fontos megjegeznünk hog az ába alapján látszólag adódó összefüggés most téves (lásd a következő magaázó példákat)! 5 Példa = + b 5 ába: Kilencven fokos elfodítás 6 Temészetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanagolunk minden elativisztikus hatást 6 69

70 4 4 = ; + = 5 ába: 8 fokos elfodítás 4 = + = A vektook objektivitási vizsgálata a következőt mutatja: Az A -ben levő megfigelő számáa eg a vektot csak az elfodulás hatása változtat meg a két endsze eltolódásának nincs hatása: a = Q a (5) Az ába vázlatainak felhasználásával: 54 ába: Vektook objektivitásának vizsgálata a= a = = Q + b = Q + b a = = Q ( ) = Q a (54) 5 Példa Mutassuk ki hog a két endszeben uganazt kapjuk az a vekto hosszáa és eg másik b vektoal bezát szögée! T T ( ds ) = a a = ( Q a) (Q a)=(a Q ) ( Q a)=a ( Q Q) a =a a = ds ( T T a = Q a b = Q b a b = Q a) (Q b) =(a Q ) ( Q b)=a (Q Q) b =a b 5 Példa Vizsgáljuk meg hog a sebesség objektív menniség-e? v = & = Q & +Q& +b & =Q v + Q& +b& v v 6 7

71 A sebesség nem objektív menniség A tenzook vizsgálata a vektookéhoz hasonlóan végezhető el: Eg tetszőleges másodendű T tenzo objektív jellegének eldöntésée alkalmazzuk az A endszeben a T tenzot az alábbi tanszfomációa: b= T a Az objektivitás azt igénli hog az A bázisban ez b = T a módon legen felíható A két vektoa az előzőekben bemutatott tanszfomáció alkalmazható: T T T b = Q b =Q (T a) =Q T (Q a ) = ( Q T Q ) a T = Q T Q (55) Ez a másodendű tenzo objektivitásának feltétele Kivételek: Vannak olan másodendű tenzook ameleke nem événes a fenti összefüggés Ilen például a defomáció-gadiens tenzo (F) is Legen például az ábán látható A és A endszeek t= időpillanatban azonosak és tételezzük fel hog ekko a test még defomálatlan állapotban van (dr vekto jellemzi a testet) t> pillanatban a két endsze má szétválik egmástól legen az A jelűé a test megváltozott alakja itt d vekto az új jellemző A másik endszeben: d = Q d 55 ába: Tenzook vizsgálata Mindkét endszeben igaz hog a t = helzetből kiindulva: d= F dr d = F dr (56) Behelettesítve az előbbi egenletbe: d = Q (F dr) = (Q F) dr F = Q F (5) vagis a defomáció-gadiens tenzo vektoként tanszfomálódik Hasonló a nominális feszültségtenzo viselkedése is ez is vektoként tanszfomálódik: P = Q P (57) Megjegezzük hog ezeket a tenzookat (F-et és P-t) a matematikusok az úgnevezett kétpont tenzook csopotjába szokták soolni met az a sajátosságuk hog elemeiket (más tenzook szokásos felíási módjától eltéően) két különböző bázis (jelenleg ezek a Lagangeés Eule-endszeek) összekapcsolásával számaztattuk Minden két-pont tenzo vekto módjáa tanszfomálódik 54 Példa Igazoljuk hog a D alakváltozás-sebesség tenzo objektív menniség! 6 7

72 ( T T D = L+ L ) = [ v+ ( v) ] Ha D objektív akko D T = + ( ) v v és a két tenzo közötti kapcsolat: D = Q D Q T módon adható meg A bizonításnál vizsgáljuk előszö a gadiens opeáto tanszfomálását: T d = Q d és d= Q d = d Q Az elemi d vekto másképp is felíható: d = d = d ahol = Az előző egenletek felhasználásával 6 : Q= illetve = Q Megjegzendő hog a gadiens-opeáto vektoként tanszfomálódik Téjünk vissza ezek után az alakváltozás-sebesség tenzo vizsgálatához: T T v = & = Q& + Q & + b& = Q& + & Q + b& illetve v ( ) Q T T = & + ( v) Q = Q Q T T & + Q ( v) Q Ennek tanszponáltja: ( v ) T = Q& Q T + Q ( v) T Q T Helettesítsük be ezt a két utolsó egenletet D elsőként felít képletébe: D = Q Q& T + Q& Q T + Q ( v +( v) T ) Q T = Q D Q T hiszen T T Q Q& + Q& d Q = ( Q Q T ) = dt Ezzel igazoltuk az alakváltozás-sebesség tenzo objektív voltát Megjegezzük hog az alakváltozás-sebesség tenzotól eltéően a sebesség-gadiens tenzo viszont nem objektív: L FF F F QF QF F T T T = & = & = & + & Q = Ω+ QLQ Ω= QQ & (58) vagis ( ) ( ) ( )( ) L QLQ T (59) Az eddigi vizsgálatok összefoglalása: Helzetvekto: = Q +b (54/a) Skalá: c = c Vekto: a = Q a (54/b) (54/c) 6 Ellenőzésként: = Q = Q = Q 6 7

73 Másodendű tenzo: Defomáció-gadiens: F = Q F T T = Q T Q (54/d) (54/e) A bemutatott matematikai hátteet má fel lehet használni az anagmodellek objektivitásának elemzésée Az eddigi bevezetés figelembevételével uganis megállapítható hog eg testen belül a Cauch-feszültségtenzo is objektív menniség 64 íg a c pontban megadott kapcsolati egenletek szintén objektívek! Vizsgáljunk meg például az alábbi egszeű anagmodellt: σ= g ( F) (54) ( σ) Megjegezzük hog szokás az A endszeben kíséletekből meghatáozandó - g( σ ) -t válaszfüggvén -nek is nevezni Az anagmodellnek teljesíteni kell az objektivitási feltételt az A endszeben felít: σ = g (F ) (54) ( σ) kapcsolatnak és az eges paaméteeknek ( σ és σ valamint F és F ) az előít tanszfomációkkal kell kapcsolatban állniuk: T Q σ Q =g (Q F) (54) ( σ) Teljesen hasonló összefüggést kapunk ha a Q elfodulás tenzot az F tenzo poláis felbontásából kapott R otációs tenzo tanszponáltjával helettesítjük: T T R σ R= g (R F) (544) ( σ) Megjegezzük hog ha a poláis felbontás másik tenzo-komponensénél figelembe vesszük az alábbi felbontást: - T U= R F= R F (545) akko az előző egenlet átalakítható σ= R g (U) R T (546) ( σ) alakba U tenzonak a jobb Cauch- vag a Geen-Lagange alakváltozás tenzoal való kapcsolatát felhasználva innen még további kapcsolati egenletek kaphatók: T T σ= R f (C) R vag σ= R h (E) R (547) ( σ ) ( σ ) Az első és második Piola-Kichhoff feszültségtenzo is bevonható ebbe a köbe hiszen: σ= J F P= J F S F T (548) Például az első Piola-Kichhoff tenzot felhasználva F P R g (U) R T J = J (R T F) P= g (U) R T (549) ( σ) ( σ) alakot kapjuk és ha itt felhasználjuk az R T F= U (55) illetve a J = det F = det( R U) = det( R) det( U) = det( U) (55) kifejezéseket akko az első Piola-tenzoa az alábbi eedmént kapjuk: P= g (P)(U) R T - ahol g (P)(U) = det( U)U g ( σ) (U) (55) Megfelelő átalakításokkal itt is bevonható a C és E alakváltozástenzo: T T P= f (C) R vag P= h (E) R (55) (P) (P) 64 Hiszen mind a metszeteők mind az elemi felületek azok íg a felhasználásukkal definiált feszültségtenzo is az 6 7

74 A második Piola-Kichhoff feszültségtenzo is hasonló módon kapcsolható a különböző alakváltozástenzookhoz: -T T -T S= P F = g (U) R F (554) (P) Felhasználva az S tenzo szimmetiatulajdonságait: T T -T T T - T - T S= S = (R F ) (g (U)) = ( F R) (g (U)) = U ( g (U)) = g (U) (555) (P) (P) (P) (S) Az S tenzo C vag E segítségével is felíható: S = f (C) h (E) (556) (S) = (S) Nag alakváltozások esetée valamenni fontosabb feszültség és alakváltozástenzo kapcsolati változatát megadtuk Temészetesen kis alakváltozások esetén az összes fenti változat azonos alaka edukálódik f/ Összeféhetőség az alapvető fizikai egenletekkel: Az anagmodelleknek nem szabad megséteniük az alapvető fizikai egenleteket Vizsgáljuk meg például a temodinamika első és második főtövénének hatását a temoelasztikus anag modelljeinek létehozásáa Alkalmazzunk most Lagangeleíásmódot a Geen-Lagange alakváltozás tenzo és a második Piola-Kichhoff feszültségtenzo felhasználásával Az anagmodell egenletek (5) és (5) felhasználásával: S= S(XE T T) q = q (XE T T ) u= u( XE T T ) η=η( X E T T ) (557) vag ha az entópiát független változónak használjuk a hőméséklet helett akko S= S(XE η η) q = q(xe η η) u = u( XE η η) T= T ( X E η η) (558) alakban íhatók fel Eg általános temoelasztikus anagban a feszültségek csak az alakváltozások és a hőméséklet (vag az entópia) függvénei lehetnek Mivel a tehelés soán nincs disszipált vagis elnelt enegia az alapegenletek (a két temodinamikai főtétel lokális változatban lásd az (57) és (5) alatti egenleteket) a következő alakúak lesznek: ρ u & S : E- & ρ+ q = η & + q = (559) T ρt Ha innen elimináljuk az hőfoásokat és a hőáamvektot akko a következő egenlethez jutunk: ρ ( T η & &) +S : E& = (56) u Helettesítsük be ide az előbb felvett anagmodelleket előszö azt az alakot amiko a hőmésékletet használtuk független változónak majd vezessük be az úgnevezett Helmholtz 65 -féle szabad enegia 66 függvénét 65 Hemann von Helmholtz (8 894) Német tudós élettannal fizikával és tudománfilozófiával foglalkozott Tőle számazik a biomechanika elnevezés 66 A mechanikában szabad enegiának nevezik az alakváltozási enegia módosított változatát Kétféle alakban használják az 88-ben publikált Helmholtz-féle az entópia és a hőméséklet szozatából kapott enegiahatással módosít míg a Josiah Willad Gibbs (89 9) ameikai tudós (vegész fizikus matematikus) által 87-ban javasolt változat ψ= % u+ pv Tη alakú (itt p a 6 74

75 ψ= u Tη (56) alakban és módosítsuk az enegiáa használt hamadik függvént ψ=ψ( X E T T ) (56) új függvénnel Az alapegenletek összevont ( és q függvénét nem tatalmazó) alakjába helettesítsük be a szabad enegiát: ρ ψ+η & & +S : E& ( T ) = (56) Íjuk be most a szabad enegia változását leíó komponenseket: ψ ψ ψ S ρ : E & - ρ η+ T& ρ T& = (564) E T T Ha az alakváltozásokat és a hőmésékletet független változóknak tételezzük fel akko ez az egenlet háom további egenletet eedménez: S ψ ψ ψ =ρ η= = E T T (565) Az első két egenlet a temoelasztikus anag komple modellje az utolsó pedig azt fejezi ki hog a szabad enegia független a hőméséklet-gadienstől Ha az anagban lezajló folamatok izotemálisak ( T & = ψ= ψ(x E) ) akko szokás a szabad enegiától függő alakváltozási enegiasűűség függvén bevezetése: W (XE) =ρ ψ (566) Mivel a defomálatlan test ρ sűűsége nem függ az alakváltozásoktól a feszültségeke vonatkozó anagmodell: S= W (567) E Ha az entópiát választjuk független változónak a hőméséklet helett akko az összevont alapegenlet alakja: u ρ & u u S - : E+ρ T η ρ & η& = (568) E η η Egmástól független entópia és alakváltozás esetén ismét háom egenletet kapunk: u u u S =ρ T= = (569) E η η Az első két egenlet ismét a temoelasztikus anag komple modelljét szolgáltatja hamadik pedig az u függvén entópia-gadienstől való függetlenségée utal Ha az anag viselkedése izentóp ( η& = u= u(x E)) akko újból bevezethető az alakváltozási enegiasűűség és ismét az előbb má bemutatott modellhez jutunk: W W ( XE) =ρu S= (57) E Azokat az anagokat amelek kapcsolati egenletei íg számaztathatók a mechanikában hipeelasztikus (vag Geen-féle) anagoknak nevezzük A második Piola-Kichhoff feszültség tenzoa levezett anagmodell a megfelelő átalakításokkal a Cauch-féle és az első Piola-Kichhoff tenzoa is felíható: endszeben lévő átlagos nomás V pedig a téfogat) Helmholtz modelljét főleg a fizikai Gibbsét pedig főleg kémiai folamatoknál használják 6 75

76 W T W σ J = F F P= F E E T (57) Megjegezzük hog másféle alakok is előállíthatók Például az első Piola-Kichhoff tenzot is használhatjuk annak figelembevételével hog az S : E & feszültségteljesítmén T helettesíthető P : F & szozattal (lásd a koábbi levezetéseket) Íg a tenzo a P= W (57) T F anagmodellből számaztatható Kis alakváltozások hatása A temodinamikai főtövének ebben az esetben az alábbi alakúak: ρ u& = σ : εɺ + ρ q ρt η=ρ & q (57) A két egenlet összevonásából: σ: εɺ = ρ( u & Tη& ) (574) Speciális esetek: a/ Izentóp defomáció ( η& = ): Most is bevezethető a W= ρu (575) módon definiált (egségni téfogata eső) alakváltozási enegia függvén amel segítségével (állandó sűűséget feltételezve) : σ: ε&=w & (576) Ha ezen túlmenően még a hőméséklet hatását is elhagjuk akko W csak az alakváltozástenzo függvéne lesz s íg: W W σ : ε & = : ε & σ = ε ε (577) Ez a kis alakváltozású ugalmas anagok hipeelasztikus anagmodellje A W függvént laboatóiumi kíséletek eedménei alapján lehet megalkotni b/ Izotemális defomáció ( T & = ): Vezessük be a szabad enegia függvénét: ψ = u Tη ψ= & u& Tη& (578) Innen a: σ : ε= & ρ& ψ (579) egenlethez jutunk és ha most is felhasználjuk a W =ρψ (58) alakváltozási enegia függvént akko az a pontban má ismet σ: ε&=w & (58) összefüggéshez jutunk Ha W most sem függ a hőméséklettől akko az anagmodell egenlete fomailag is megegezik a hipeelasztikus modelle levezetett változattal 6 76

77 A Ducke 67 -féle stabilitási posztulátumok kis alakváltozású endszeeknél 56 ába: A Ducke-posztulátumok illusztálása Vizsgáljuk meg a bal oldali ábán látható V téfogatú és A felülettel endelkező nugalomban levő tetszőleges anagú testet Az alkalmazott felületi és téfogati eőket jelölje p és q Az adott állapothoz tatozó elmozdulásokat feszültségeket és alakváltozásokat jelölje u σ és ε eg tetszőleges külső hatása létejövő változásokat (jobb oldali ába) pedig jelölje p & q& u& σ & és ε& Ducke posztulátuma a következőt állítja eg anag viselkedéséől: eg anag akko tekinthető stabilnak ha a külső hatásoka bekövetkező változások soán teljesülnek az alábbi feltételek: a/ p & u& da+ q& u& dv> b/ p & u& da+ q& u& dv (58) A b feltételben szeeplő A V A V most eg tehelési-tehementesítési ciklusa utal Az első feltételt a kis változás a másodikat pedig a ciklikus tehelés anagi stabilitási feltételének hívják Mindkét feltétel felíható az alakváltozások és feszültségek függvéneinek deiváltjaia is (ebben az esetben nem kell téfogati integált alkalmaznunk met bámel téfogatésze igaznak kell lennie az állításnak) A továbbiakban lineáis algebai jelölésekkel: T a/ σ& ε> & (& & ug ) T b/ σ& ε ε A második egenletben szeeplő záójeles tag a nemugalmas alakváltozásokat jelenti (58) Rugalmas anagok néhán változatát mutatja az alábbi ába Az első háom vázlaton Ducke-ételemben stabil a másik kettőn nem-stabil anagi viselkedés látható: 67 Daniel C Ducke (98 ) ameikai gépészménök képlékenségtani kutatásaiól ismet 6 77

78 Ha figelembe vesszük összefüggést akko a kifejezéshez jutunk: 57 ába: Stabil és instabil anagi viselkedés a hipeelasztikus anagok definíciójáa a koábbiakban bevezetett Ducke-féle stabilitási posztulátum alkalmazásával az alábbi σ σ= & ε= ε & W W T ε& ε& ε & > ( Hε& ) ε & > (584) εε εε Az utolsó tagban szeeplő H az enegia-függvén alakváltozások szeinti második paciális deiváltjait tatalmazó negedendű tenzo A mechanikában Hesse 68 -máti néven ismeik pozitív definit volta biztosíték az enegiafüggvénből számaztatott anagmodell stabilitásáa: T W W W W W W ε εε ε ε z ε γ ε γ z ε γ W W W W W ε ε εz ε γ ε γ z ε γ W W W W ε z ε zγ ε zγ z ε zγ H = szimm W W W γ γ γ γ γ z W γ z W γ γ z W γ z z z z z z (585) 68 Ludwig Otto Hesse (8 874) német matematikus 6 78

79 Kis alakváltozású lineáisan ugalmas hőméséklettől nem függő anagok modelljei A W alakváltozási enegiasűűség ilenko kvadatikus függvéne az alakváltozás tenzonak és íg a deiváltjaként számaztatott σ= D: ε σ i j = Di j k lεk l σ= Dε (586) anagmodell általános esetben eg negedendű (8 elemet tatalmazó) tenzoal adható meg (Megjegezzük hog a mechanikában sajnos uganazt a D jelölést használják az anagmodell kapcsolati egenletének és az alakváltozás-sebesség tenzonak a megadásáa csak eg adott szövegkönezet alapján azonosítható a pontos jelentés!) A most megadott anagmodellt általánosított Hooke 69 -modellnek hívják a mechanikában Mivel σ és ε is szimmetikus tenzook íg 8 helett elegendő 6 független elem Ha a temodinamikai alapelveket (ugalmas viselkedés esetén zát tehelési ciklusban nem geneálhat vag nelhet el enegiát a modell) is figelembe vesszük a független elemek száma -e csökken Ha az anagmodellt tenzook helett - Voigt 7 -jelölésendszee áttéve - vekto-máti kapcsolattal adjuk meg akko a feszültség- és alakváltozástenzo hat független elemét tatalmazó σ és ε vektookat eg 6 6-os szimmetikus anagi meevségi máti kapcsolja össze amel a szimmetia miatt pontosan elemmel adható meg Az ilen anagot anizotop viselkedésűnek nevezzük Ha az anagban található olan egmása meőleges ián amel iánokban az anagi viselkedés azonosnak tekinthető akko az anagot ototopnak hívják (tipikus példája az élő fa szekezete) Ebben az esetben 9 daab állandóa van szükség a kapcsolati egenletek felíásához Voigt-jelölésendszeel: ν zνz ν +νz ν z ν z +ν ν z EEzC EEzC EEzC σ ν +ν zν z νz ν z ν z +ν z ν ε σ ε EzEC EzEC EzEC σ z ν z+ν ν z ν z+ν zν ν ν ε z = (587) τ z γ z EEC EEC EEC τ z γ z G z τ γ Gz G ν ν ν zν z ν z ν z ν ν zν z ahol C= E E E z 69 Robet Hooke (65 7) kiváló angol fizikus csillagász és biológus Nevéhez fűződik a ugalmas viselkedés első pontos kíséleti modellezése Életajza a tanszéki honlapon olvasható Hooke és a ugalmas anagmodell címen acképe látható ezen az oldalon 7 Woldema Voigt (85 99) német fizikus sokat foglalkozott kistálok mechanikai vizsgálatával Ő használta előszö a tenzo elnevezést a fizikában 6 79

80 A szimmetia-feltételek miatt teljesülni kell az alábbi egenlőségeknek: (588) ν E +ν E z z C ν z ν = E +ν z E z C ν z ν z +ν z ν ν z +ν zν z ν z +ν ν z ν z +ν ν z = = E E C E E C E E C E E C z z Temészetesen invez alakban is felíható az ototop anagmodell: ν ν z E E Ez ν ν z ε E E Ez σ ε ν z ν z σ ε z E E E σ z z = (589) γ z τ z γ z G τ z z γ τ Gz G A szimmetia-feltételekből most az alábbi egenlőségeket kapjuk: ν z ν z ν z ν z ν ν = = = (59) E E E E E E A kettős indeű Poisson 7 -ténező ételmezése: ε = ν ε z j z i j Megjegezzük hog (főleg numeikus alkalmazásoknál) a D tenzot (mátiot) anagi meevségi invezét pedig anagi hajlékonsági mátinak is nevezik Ha az anagi viselkedésnek egáltalán nincs kitüntetett iána akko izotop anagól beszélünk Ebben az esetben a kapcsolati egenletek két anagállandó segítségével adhatók meg: ν ν ν σ ν ν ν ε ν ν ν σ ε σ z ν ε z E = C C= (59) τ z γ z ( +ν)( ν) ν τ z γ z τ γ ν illetve az invez alak: i 7 Siméon Denis Poisson (78 84) kiváló fancia matematikus életajza Poisson és a Poissonténező címen olvasható a tanszéki honlapon 6 8

81 ε ε ε z γ z γ z γ = E ν ν ν ν ν ν ( +ν) ( +ν) ( +ν) σ σ σ z τ z τ z τ (59) A gakolati ménöki munkának nagon sokszo van szüksége ezen általános tébeli változatok speciális eseteie Ilen például a (59) a/ sík feszültségi állapot: σ ν ε ε ν σ E σ = ν ε ε = ν E σ ν ( ) τ ν γ γ +ν τ illetve a b/ sík alakváltozási állapot: σ ν ν ε ε ν ν σ E +ν σ = ( )( ) ν ν ε ε = ν ν E σ (594) +ν ν τ ν γ γ τ Megjegezzük hog sík feszültségi állapot esetén az alakváltozási állapot tébeli de a meőleges alakváltozási komponens nem független: ν ν ε z= ( σ +σ ) = ( ε +ε ) (595) E ν a másik két szögtozulás ( γ z és γ z ) étéke pedig zéus Sík alakváltozási állapot esetén pedig a feszültségi állapot tébeli: σ z=ν( σ +σ ) τ z=τ z = (596) Eg másik gakoi eset a hengekoodináta-endszeben felít fogásszimmetikus viselkedést követő anagmodell (a komponensek ételmezését lásd az ábán): 58 ába: Feszültségek hengekoodinátaendszeben fogásszimmetia esetén 6 8

82 ν ν ν σ ε z E ν ν ν σ εz = ν ν ν (597) σ θ ( +ν)( ν) ε θ ν τ z γ z illetve az invez alak: ε ε ε γ z θ z ν = E ν ν ν ν ν σ σ σ (+ν) τ z θ (598) z Felhasznált iodalom: / Tabe L: A: Nonlinea Theo of Elasticit Wold Scientific New Jese 4 / Fung YC: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Bojtá I: Mechanikai anagmodellek BME 7 4/ Fung Y C Pin Tong: Classical and computational solid mechanics Wold Scientific 6 8

83 6 Előadás: Mechanikai anagmodellek: képléken illetve időfüggő anag modellezése Ievezibilis hatások modellezése A minden anaga jellemző kezdeti ugalmas viselkedést a külső tehek növekedése miatt eg bizonos teheszint felett alapvetően ievezibilis jelenségek váltják fel Az anag - belső szekezeti felépítési módjától függő módon elveszti tehebíó képességét tönkemeg Az anagi stuktúa felbomlása alapvetően kétféle különböző módon következhet be: a/ a mikoszekezetben (kistálos teületek hatáán polikistálok között amof anagi észekben eges sávjaiban keletkező feszültségkoncentációknál stb) létejövő belső csúszások tozulások miatt az anag képlékenné válik Ilenko az anag megőzi belső foltonosságát de szekezetében visszafodíthatatlan tozulások jönnek léte b/ a mikoszekezetben levő elemi (atomi vag molekulaszintű) kötések szakadnak Előszö mikoepedések jönnek léte majd ezek összefűződve makoepedéseket alkotnak Az anag elveszti foltonosságát különálló észek halmazává válik A tönkemenetelnek ezt a módját fellazuló-mozsolódó viselkedésnek hívjuk A kétféle alaptípus jellegzetes egtengelű feszültség-alakváltozás diagamjai láthatók az ábán: 6 ába: Képléken és fellazuló anagok Az anagi viselkedés a valóságban nagon sokszo ezen két alapeset kombinációja met a külső köülmének (hőméséklet feszültségi állapot típusa stb) az anag mechanikai állapotát át tudják fomálni Jelen előadás keetében azonban csak a képléken viselkedés modellezésének alapvető kédéseie téünk ki a fellazuló-mozsolódó anagok tulajdonságainak leíásával illetve a kétféle alapeset kombinációjával a Mechanikai anagmodellek c tág foglalkozik a későbbiekben Az anag belső szekezete az őt éő külső hatások következtében még akko is alakváltozást végez (és általában veszít eedeti tehebíó képességéből) ha a külső aktív tehelések (eők hőméséklet) egébként állandó étékűek Az anagnak ezt az időtől függő minőségváltozását viszkozitásnak hívják a mechanikában Ez a fejezet bemutatja a legegszeűbb viszkózus anagmodellek különböző változatait is 6 8

84 A/ Képléken anagmodellek: A képléken anagi tulajdonságok legfontosabb jellemzője az ievezibilitás és a tehelési úttól függő anagi viselkedés - Ievezibilitás: képléken állapotban az anagban vissza nem fodítható fizikai változások következnek be a belső mikoszekezet defomációi miatt A vissza nem fodítható jelenségek az anagmodelleknél a ciklikus tehelések soán halmozódó maadó képléken alakváltozásokban tüköződnek elsősoban - Tehelési úttól való függés: A képléken anagok modellezésénél feltétlenül figelembe kell vennünk a tehek változásának soendjét met a létejövő képléken alakváltozások kialakulásának egmásutánisága befolásolja az alakváltozások és feszültségek létejöttének módját és a tenzook elemeinek ténleges étékét A képléken anagmodellek alapvető osztálai: - Defomációs (vag más néven Henck 7 -Nádai 7 ) elmélet: σ = F ˆ( σ ): ε (6) A modell a teljes alakváltozás- és feszültségtenzot kapcsolja össze eg feszültségfüggő anagi meevségi tenzo Alapvetően egpaamétees monoton növekvő tehelések esetén töténő hatátehebíás vizsgálata kidolgozott változat - Növekmén (vag más néven Pandtl 74 -Reuss 75 ) elmélet: d σ = F % ( σ ): d ε (6) A modell az alakváltozás- és feszültségtenzook növekméneit kapcsolja össze eg feszültségfüggő tenzo segítségével A kapcsolati egenletek csak növekméni alakban alkalmazhatók és általános tehelési viselkedés (többpaamétees tehe ciklikus tehelés stb) leíásáa is alkalmasak A képléken anagmodellek létehozásához szükséges fizikai hatások modellezése - folási feltétel: annak a fizikai jelenségnek matematikai leíása amel megmutatja hog az anag különböző feszültségkombinációk esetén miko keül ugalmasból képléken állapotba - keménedési feltétel: a má képléken állapotba keült anag viselkedésének modellezése a külső tehe további növekedése esetén 7 Heinich Henck (885 95) német gépészménök elsősoban a képlékenségtanban alkotott maadandót Életajza (Mises és Hube életének leíásával egütt) a tanszéki honlapon olvasható Hube Mises Henck és a fémek képlékenségtana címen 7 Nádai Ápád (88 96) maga gépészménök a fémek képléken viselkedésének kutatója 74 Ludwig Pandtl (875 95) német fizikus az aeodinamika és a képlékenségtan kiváló tudósa 75 Reuss Ende (9 968) maga gépészménök a BME pofesszoa és hosszú ideig a Gépészménöki Ka dékánja Elsősoban képlékenségtani vizsgálataiól ismet 6 84

85 Folási feltételek A ugalmas-képléken állapotváltozást általában a feszültségtenzo és az anaga jellemző állandók ( Hk ) segítségével adják meg: F( σ H k ) = (6) Most csak az izotóp anagok esetén használt változatokkal foglalkozunk ototóp folási feltételeket a Mechanikai anagmodellek c tág mutat be Izotóp anagoknál a folási feltételt a teljes feszültségtenzo helett a feszültségi invaiánsok segítségével adják meg Ha az anag képléken tulajdonságai ézékenek a hidosztatikus hatásoka akko az első invaiánst ( I ) is figelembe veszik egébként csak a deviátoos hatásokat építik be a folási feltételbe Jellemző változatok: F( J J H ) = fémes anagoka jellemző függvén (64/a) k F( I J J H ) = nemfémes anagoka jellemző függvén (64/b) Fémes anagok alapvető folási feltételei: a/ Hube 76 - Mises 77 - Henck-féle feltétel: k Az anag akko keül képléken állapotba ha a deviátoos feszültségtenzo második invaiánsa elé eg kíséletileg meghatáozott állandót F = J k = ( ) + ( ) + ( ) k = 6 σ σ σ σ σ σ (65) A főfeszültségek teében a folási felület a hidosztatikus tengel köül felvett két iánban nitott a deviátoos síkon kö vezégöbéjű henge Eg tetszőleges főfeszültségi síkkal való metszete ellipszis lásd az alábbi ábákat 6ába: HMH folási feltétel 76 Makszimillian Titusz Hube (87 95) kiváló lengel tudós elsősoban képlékenségtannal illetve ototop lemezek viselkedésének vizsgálatával foglalkozott 77 Richad Edle von Mises (88 95) oszták tudós a képlékenségtan mellett a mechanika számos más teületén is jelentőset alkotott 6 85

86 A képletben szeeplő k állandó kapcsolata a σ egtengelű folási hatáfeszültséggel: k = σ (66) A folási feltétel egébként a teljes feszültségtenzo illetve a Haigh-Westegaad-té komponenseivel is kifejezhető: ( ) ( ) ( ) z + z + + z+ z k = 6 σ σ σ σ σ σ τ τ τ (67) ρ k= (68) b/ Tesca 78 -féle feltétel: Az anag akko keül képléken állapotba ha a főníó-feszültség elé eg kíséletileg meghatáozott állandót σ ( σ σ ) ± = σ F = τ ma k= ( σ σ ) ± = (69) σ ( σ σ ) ± = A Haigh-Westegaad-koodinátákkal: π π F= ρ sin( Θ+ ) k= Θ (6) A folási felület ebben az esetben is két iánban nitott a deviátoos síkon szabálos hatszög metszetű hasáb palástjával jellemezhető alakzat 6 ába: Tesca folási feltétele A főfeszültségi síkokkal való metszet is hatszög Megjegezzük hog a Hube-Mises- Henck-feltétel külső bukolófelülete (göbéje) a Tesca-feltétel függvénének 78 Heni Edouad Tesca (84 884) kiváló fancia gépészménök a méte etalonjának tevezője 6 86

87 Nemfémes anagok alapvető folási feltételei: a/ Moh-feltétel: Az anag akko keül képléken állapotba amiko a níófeszültség étéke eg adott pontban eléi az uganott lévő nomálfeszültségtől függő hatáétéket: τ =h( σ ) (6) A jobb oldalon szeeplő függvént a kíséletekből kell meghatáozni A függvént Moh 79 gafikus ábázolásában (a feszültségi Moh-köökkel egütt) az alábbi vázlat ábázolja: 64 ába: Moh folási feltétele Az ába szeint a képléken állapot akko következik be amiko a legnagobb kö éinti a bukoló göbét A legegszeűbb bukoló göbét eg egenes felvételével kapjuk ez a mechanikában Moh-Coulomb 8 -feltételnek ismet folási kolát: F = τ c+ σ t gφ= + sinφ sinφ (6) F = σ σ = c cosφ c cosφ π π π F= ξ sinφ+ ρ sin( Θ+ ) + cos( Θ+ )sinφ 6 c cosφ= Θ (6) A képletekben szeeplő c és Φ az anag belső kohéziója és súlódási szöge (ezt a modellt alapvetően a talajmechanikában használják) 79 Chistian Otto Moh (85 98) német építőménök a sziládságtan kiváló tudósa Életajza Moh és az anag sziládsági feltétele címen olvasható a tanszéki honlapon 8 Chales-Augustin de Coulomb (76 86) fancia fizikus Elsősoban elektomosságtannal foglalkozott de sok kiváló munkát publikált mechanikai kutatásokból is 6 87

88 σ 65 ába: Moh és Coulomb folási feltétele A bal oldali ába a nomál- és níófeszültségek közötti kapcsolatot ábázolja a két anagi paaméte függvénében a másik pedig a főfeszültségek teében mutatja be a folási felületet A függvén a hidosztatikus tengel pozitív iána felé zául a nomófeszültségek iánában nitott Deviátoos metszete hamadendűen szimmetikus hatszög b/ Page 8 -Ducke-feltétel: Az anag akko keül képléken állapotba amiko a deviátoos feszültségek és a hidosztatikus hatás egüttese elé eg kitikus étéket: F = α I+ J k= sinφ 6c cosφ (6) α= ; k = ( sin Φ) ( sin Φ) A képlet a Moh-Coulomb-feltételhez hasonlóan a kohéziót és a belső súlódási szöget tatalmazza anagállandóként A deviátoos metszet kö a felület a húzási főfeszültségi téészben itt is záódik 8 William Page (9-98) német számazású élete nag észében Ameikában élő matematikus 6 88

89 66 ába: Page-Ducke feltétel A Haigh-Westegaad-tében felít alak: F= 6αξ+ρ k= (64) Keménedési feltételek: - Izotóp keménedés: a folási felület a tehe növekedésének hatásáa izotóp módon növekszik eg alakváltozási koláttal megadott hatáig 67 ába: Izotóp keménedés - Kinematikus keménedés: a folási felület a tehelés növekedésének hatásáa a tehelés iánába elmozdul eg ugancsak alakváltozási koláttal megadott hatáig: 68 ába: Kinematikus keménedés 6 89

90 - Veges keménedés: az izotóp és a kinematikus keménedés kombinációja: - A folási felület alapvető tulajdonságai: 69 ába: Veges keménedés a/ A folási felület mindig konve (a felülethez húzott egetlen éintősík sem metszi a felületet) b/ A képléken alakváltozás növekmének meőlegesek a folási felülete (nomalitási tövén): pl F dε =λ (65) σ A képletben szeeplő λ a hosszat befolásoló a tehelés töténetétől függő paaméte 8 Étékét mindig az aktuális anagmodellben kell meghatáozni A defomációs elmélet anagmodelljei: - Útfüggetlen modellek egpaamétees monoton növekvő tehelés esetén hatátehebíás számításáa alkalmasak - Alapelv: ug képl ug ε= ε + ε ahol ε = D képl σ ε = f ( I J J) (66) A növekmén elmélet anagmodelljei: - Útfüggő modellek többpaamétees ciklikusan változó tehelés követésée is alkalmasak - Alapelv: ug képl dε= dε + dε (67) A növekméni foma felhasználásával eg z endszeben az alábbi módon építhető fel az anagmodell Íjuk fel az általános folási feltételt mátios alakban: F( σ H ) = f ( σ ) k( H ) = (68) k k 8 Megjegezzük hog sok munkában növekméni alakját használják ( dλ jelöléssel) 6 9

91 Ezt diffeenciálva megkapjuk a képléken állapot feltételét jelző (df = ) egenletet: F F T dσ+ dhk = a dσ Aλ= σ H k (69) T F F F F F ahol a = = és A= dhk σ σ σ τ λ H k Az a vekto neve a képlékenségtanban: folási vekto Íjuk fel most az alakváltozások növekméneie vonatkozó feltételt: ug képl - dε= dε + dε = D dσ+ λ a (6) Itt a képléken alakváltozás növekmén számításánál az előzőekben bevezetett nomalitási T tövén segítségével helettesítettük be Szoozzuk be balól az egenletet a D vel majd T a dσ helée íjuk be az Aλ tagot Íg az egenletből kifejezhető λ : T a D λ= T d ε (6) A + a Da Helettesítsük be ezt az alakváltozás növekméneket kifejező előző egenletbe és endezzük a kifejezést a feszültségnövekméneke 8 : T Daa D ep dσ= D d = T ε D dε (6) A+ a Da Ez a képlet a (kis alakváltozásoka vonatkozó) általános ugalmas-képléken anagmodell D ep pedig a ugalmas-képléken anagi meevségi máti Étéke a ugalmas anagi viselkedés modellezésétől (D) a folási felület típusától (a) és a keménedés modellezésétől (A) függ A Haigh-Westegaad-té koodinátáinak felhasználása a folási vekto számításáa Ebben az esetben a folási feltételt alakban kell megadni A folási vekto: F= f ( I J Θ ) (6) F I F J F Θ T a = + + = C a+ C a+ C a I σ J σ Θσ (64) Ha figelembe vesszük hog Θ I I J = (65) σ cosθ J σ J σ akko a folási vekto komponensei: T I T J a = = [ ] a = = s s sz z z J τ τ τ σ σ I J J J a s s s s s s σ T = = z τ z+ z τ z + τ + (66) (67) 8 Felhívjuk az olvasó figelmét hog a (6) és (6)-es egenletekben szeeplő eedméne temészetesen skalá T a Da szozat 6 9

92 ( τ τ sτ ) ( τ z z z z z z z A konstansok: F C= C= F tg Θ F C= F I J J Θ cosθ J Θ A nég bemutatott folási feltétel esetée: sinθ Tesca C = C = cos Θ (+ tgθtg Θ ) C = ; J cosθ HMH C = C = C = ; MC C = C = sin Φ PD C =α C sinθ+ cosθsinφ ; J cosθ A folási vektook ezzel a módosítással egszeűbben számíthatók és íg nem okoz nehézséget eg numeikus modellnél a gos váltás sem az eges anagmodellek között B/ Viszkózus modellek 84 Minden anag viselkedésée hatással van az idő legfeljebb az időlépték változik vannak anagok (pl a kőzetek) ahol ez évszázadokban vag évezedekben méhető eg lág polimenél azonban óák is elegendők jelentős szekezeti változások bekövetkeztéhez Ennek a különbségnek az oka a mikoszekezet átalakításához szükséges idő különböző léptéke Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői D húzókíséletek tapasztalatai alapján: A jelenségek leíásához is: τ sτ ) ( τ τ sτ ) C = cos Θ (+ tgθtg Θ ) + sin Φ( tgθ tgθ ) (69) = C = használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását (68) 6 ába: Viszkózus hatások különböző típusai 84 A viszkózus hatásokat leíó ó elemi modelleknél felhasználtuk a [ ] alatti tankönv vonatkozó fejezetét A további észletek után édeklődőknek javasoljuk a könv észletes tanulmánozását 6 9

93 dε dσ & ε= & σ = (6) dt dt Vizsgáljuk meg (6) figelembevételével a (6) ába függvéneit: a/ σ= állandó & σ= feltétel mellett ( a ába) a póbatest alakváltozásai tovább nőnek (ez a jelenség a kúszás) A kúszás ellentétben a képléken tulajdonságok vizsgálatánál tapasztaltakkal bámilen feszültségszinten felléphet Az alakváltozás eg észe a feszültség fellépteko azonnal létejön (ezt tekintjük ugalmas ug v alakváltozásnak: ε ) másik észe késve alakul ki (ez a viszkózus alakváltozás: ε ) Maga a függvén két jellegzetes szakaszból áll az első észe magasabb fokú göbével jellemezhető és viszonlag kevés időt igénel (ez az úgnevezett elsődleges kúszás) a másik szakasz jó közelítéssel egenes és jóval hosszabb idejű a folamat (másodlagos kúszás) A másodlagos kúszás soán ε& állandónak tekinthető b/ ε= állandó & ε= feltétel ( b ába) a póbatest ögzítését jelenti eg bizonos teheszint után Ilenko az anagban eg idő után a feszültségek étéke csökken (ez a jelenség az enedés vag más néven elaáció) c/ Ha a kíséleteket & ε= állandó vag & σ = állandó feltételek mellett hajtjuk vége ( c és d ábák) akko azt tapasztaljuk hog az anagmodell függvéne változik vagis a viszkózus anagnál az alakváltozás vag a feszültség sebességét növelve az anag belső ellenállása nő d/ A tehementesítés hatása szintén megvizsgálható lásd a következő ábát Az alakváltozás eg észe azonnal megszűnik (ugalmas ész) másik észe csak fokozatosan csökken eg észe pedig végleg megmaad 6 ába: Tehementesítés hatása Viszkoelasztikus anagmodellek: 6 9

94 Az anagot ugalmas és viszkózus hatások egüttese építi fel képléken jelenségek nincsenek - Mawell 85 -féle modell: 6 ába: Mawell modell ug v ug v ug σ v σ σ= σ = σ ; ε= ε + ε ε = & ε = E µ (6) A viszkózus alakváltozása felít képletet Newton javasolta A nevezőben szeeplő µ paaméte neve viszkozitási állandó dimenziója Ns / m A teljes és a ugalmas alakváltozásokat idő szeint deiválva kapjuk a végleges Mawell-modellt: & σ σ & ε= + E µ (6) Relaáció vizsgálata esetén ε = ε és & = ε íg a modell : dσ E dt + σ µ = (6) A soba kapcsolt modellnél t = pillanatban σ= σ = Eε Ennek a kezdeti feltételnek a figelembe vételével a feszültség étéke (lásd az ábát): E t e µ σ= σ (64) 6 ába: Relaáció hatása Kúszásnál t = pillanatban σ= σ kezdeti feszültséget alkalmazunk és feltételezzük hog ez a továbbiakban nem változik: & σ = Íg az egenlet: d ε dt =σ µ (65) 85 James Clek Mawell (8 879) világhíű skót matematikus és fizikus 6 94

95 Figelembe véve a t= σ= σ ε= ε = σ kezdeti feltételt a diffeenciálegenlet E megoldása (lásd ezt is az előző ábán): σ E ε= ε + t= ε + t (66) µ µ σ Tehementesítésko a fajlagos núlás étéke ε -lal csökken a t tag viszont változatlanul µ megmaad - Kelvin 86 -Voigt-féle modell: Ennél a modellnél a ugalmas viselkedést jellemző ugót és a viszkózus hatást modellező dugattút nem soban hanem páhuzamosan kapcsoljuk: Ennek megfelelően temészetesen az anagmodell viselkedése is változik: 64 ába: Kelvin-Voigt-modell íg maga a modell: ε = ε ug = ε v σ= σ ug + σ v σ ug = Eε σ v = µε & (67) σ = Eε + µε & (68) 86 William Thomson ismetebbb nevén Lod Kelvin (84 97) kiváló í matematikus fizikus és ménök 6 95

96 d E Kúszás esetén ( t= σ= σ & σ = lásd az a ábát) a diffeenciálegenlet ε dt + ε µ =σ µ v alakú lesz A kezdeti feltételeket ( t= ε= ε = alakban) figelembe véve a diffeenciálegenlet megoldása: E σ t µ ε = e (69) E Ha t idő után a σ állandó feszültséget megszüntetjük akko a t> t időhöz tatozó dε E diffeenciálegenlet: dt + ε µ = Ennek megoldása: E t µ ε = Ke (64) A K állandót abból a feltételből lehet meghatáozni hog az alakváltozás kétféle képletből számított étéke a t= t pillanatban megegezik A tehementesítés után ε étéke eponenciálisan csökken Relaáció vizsgálatánál t= t ideig működtessünk σ= σ állandó feszültséget Ennek hatásáa E σ t µ ε = e (64) E alakváltozás jön léte Rögzítsük ennek étékét és vizsgáljuk a feszültség változását Mivel t> esetben ε& = a feszültség hitelen csökken majd megőzi t étékét E t = E = e µ σ ε σ (64) Összegezve: a két alapmodell közül a Mawell-féle a elaáció a Kelvin-Voigt-féle pedig a kúszás leíásáa alkalmas elsősoban Bonolultabb modellek a kétféle alapváltozat különböző típusú kombinációiból hozhatók léte Viszkoplasztikus modellek Az anagot tökéletesen képléken és tökéletesen viszkózus hatások egütteseként modellezik Egszeű változatoka példákat mutat az alábbi ába: 65 ába: Viszkoplasztikus modellek 6 96

97 A b ába változatát mutatjuk be észletesen - Bingham 87 modell: Alapelv: 66 ába: Bingham modellje σ< σ ε= illetve σ σ σ= σ + µε & vagis az anag alakváltozásai a f f f folási hatánál kisebb feszültségek esetén zéus étékűek képléken állapotban pedig az anag folási hatáa az anag viszkozitása következtében megnő A dinamikus folási hatá étékée többféle modell használható Például két különböző (az ábán is látható) változat: n & ε f d f s vag & ε σ = σ + σ f d = σ f s + (64) & γ & ε ahol & γ & ε és n kíséletekből meghatáozandó anagállandók Felhasznált iodalom: / Tabe L: A: Nonlinea Theo of Elasticit Wold Scientific New Jese 4 / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv / Bojtá I: Mechanikai anagmodellek Egetemi jegzet 7 4/ Kaliszk S: Képlékenségtan Akadémiai Kiadó Eugene Cook Bingham ( ) ameikai fizikus és vegész a eológia kiváló szakétője Magát a eológia szót is ő alkotta az 9-as években 6 97

98 7 Előadás: A mechanika alapvető egenletei A mechanikai anagmodellek bemutatása után ez az előadás a nemlineáis mechanikai számításokhoz szükséges további alapvető összefüggéseket mutatja be Elsőként a nag alakváltozások számítását lehetővé tevő változatokat tágaljuk majd bemutatjuk ezek szűkített halmazát ahol kizáólag kis alakváltozások és ugalmas viselkedés létejöttét fogadjuk el A Renolds 88 -féle tanszpot egenlet Az alapegenletek bemutatásako szükségünk van adott tatománok felett ételmezett integálok anagi idő szeinti deiváltjáa Ebben a számításban jelent segítséget a Renolds által bevezetett összefüggés Eg időtől függő f függvént tatalmazó integál-kifejezés anagi idő szeinti deiváltját a következőképpen definiálhatjuk: D f d lim f ( t + t ) d f ( t ) d Dt Ω= Ω Ω t t (7) Ω Ω t+ t Ωt ahol Ω eg t időpillanatban az adott helzetű tébeli tatománt (anagi pontok összességét) t jelenti Ω t+ t pedig uganezen tatomán t+ t időpontbeli helzetée utal Alakítsuk át a jobb oldalon szeeplő tagokat az eedeti hivatkozási tatomána való áttééssel: D f d lim f ( X t + t ) J ( X t + t ) d f ( X t ) J ( X t ) d Dt Ω= Ω Ω t t (7) Ω Ω Ω Mivel ezzel a változtatással a tatomán független lett az időtől tovább alakítható az egenlet: D f dω= ( f ( X t) J ( X t) ) dω = + Ω f J f J d (7) Dt t Ω Ω Ω t t Figelembe véve az első előadáson a gadienstenzo deteminánsának idő szeinti deiválásával kapcsolatban elhangzottakat az egenlet tovább módosítható: D f f d J f J div v d Dt Ω = + Ω t Ω Ω (74) Ha visszatéünk a pillanatni konfiguációhoz akko megkapjuk a Renolds-féle tanszpot egenletet: D Df ( t) f d f div v d Dt Ω = + Ω Dt (75) A tömegmegmaadás egenlete Ω Ω 88 Osbone Renolds (84 9) í számazású matematikus és mechanikus A foladékok dinamikájának tanulmánozásában alkotott jelentőset 6 98

99 Az Ω tatománon (ez most egaánt lehet téfogat vag felület) számítandó m ( Ω) tömeget a ρ ( t) sűűségfüggvén segítségével definiáljuk: m( Ω ) = ρ( t) dω (76) Ω A tömegmegmaadás tövéne azt mondja ki hog a tömeg étéke nem változik a vizsgált tatománon belül (nincs semmilen tömegáamlás a szomszédos tatománok felé) 89 : Dm D = ρdω= (77) Dt Dt Ω A Renolds-féle átalakítást felhasználva és emellett figelembe véve azt a tént hog a tömegmegmaadás független a tatomántól a következőt kapjuk: Dm Dρ Dρ = div v d div v = Dt +ρ Ω +ρ Dt Dt Ω (78) Az utolsó változatot nevezzük a tömegmegmaadás egenletének 9 Lagangekoodinátákkal való leíás esetén az egenletet más fomában szokták megadni: ρdω= ρ dω ( ρ J ρ ) dω = ρ ( Φ( X t) t) J ( X t) =ρ ( X) (79) Ω Ω Ω Megjegezzük hog ha az anag összenomhatatlan akko a sűűség anagi idő szeinti deiváltja zéus és a tömegmegmaadás egenlete a következő alakú lesz: div v = (7) A mozgásmenniség (impulzus) egenlete Definiáljuk a endszee ható külső eők vektoát a ρ b tömegeők (például egségni téfogata jutó gavitációs eők) és az egségni felülete jutó t felületi eők segítségével az alábbi módon: f ( t) = ρb( t) dω+ t( t) ds (7) Ω A mozgásmenniség definíciója: p( t) = ρv( t) d Ω (7) Ω A mozgásmenniség tétele szeint a mozgásmenniség anagi idő szeinti deiváltja egenlő a endszee ható eővel 9 : Dp D = f v d b d t ds Dt Dt ρ Ω= ρ Ω + (7) Ω Ω Γ Alkalmazzuk Renolds képletét az egenlet bal oldaláa: 89 Első (filozófiai) megfogalmazása a göög Epikuosztól (4 7) számazik Nasi al-din al- Tusi ( 74) pezsa tudós műveiben bukkan fel újból majd a XVIII században egmástól függetlenül több tudós is (Antoine-Lauent de Lavoisie (74 794) 789-ben Mihail Vasziljevics Lomonoszov (7 765) pedig 748-ban) megfogalmazta ma használatos alakját 9 Megjegezzük hog a tömegmegmaadás elvének figelembevételével a Renolds-tétel speciális D Df változatához jutunk: f d d Dt ρ Ω= ρ Ω Ezt az alakot mi is használni fogjuk eges Dt Ω Ω átalakításoknál (például (74)-ben) 9 Abu Ali Sina Balkhi (98 7) pezsa tudós (Euópában ismetebb nevén Avicenna) köül kelt íásaiban található a tövén első változata Bá René Descates (596 65) és Galileo Galilei (564 64) munkái is hivatkoznak á mai fomája a XVII század végén jött léte John Wallis (66 7) és Isaac Newton (64 77) munkássága nomán 6 99 Γ

100 D D Dv Dρ Dv ρ v dω= ( ρ v) + div( v) ρv dω= ρ + v +ρdiv v dω= ρ dω Dt Dt Dt Dt Dt (74) Ω Ω Ω Ω Az utolsó előtti integálban szeeplő (sebességvektoal szozott) tag étéke zéus hiszen ez nem más mint a tömegmegmaadás tövénének megfogalmazása Az eők vektoát a Gauss-integáltétel segítségével alakítjuk át (most Ω-t téfogatként ételmezzük): t ds= n σ ds= σ dv (75) S S V Behelettesítve valamenni átalakítást a (7)-as egenletbe megkapjuk a mozgásmenniség változását kifejező egenletet: Dv D v ( ρ ρb σ )dv = ρ = σ + ρ b Dt Dt V (76) Ez az egenlet is felíható Lagange-változók segítségével Ha a Cauch-féle feszültségtenzot használjuk: v(x t) ρ ( X t) = divσ ( Φ ( t) t) + ρ ( X t) b( X t) (77) t míg az első Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzo alkalmazásával: v(x t) ρ = P + ρb (78) t Az impulzusmomentum egenlete Ezt a tételt a mechanikában az impulzus-tétel pájaként szokás alkalmazni Ha a mozgásmenniség tételében szeeplő tagok mindegikét vektoiálisan szoozzuk eg tetszőleges vektoal akko a mechanika impulzusmomentum-tételének 9 matematikai alakjához jutunk: D ρv dω= ρb dω+ t dγ (79) Dt Ω Ω Γ A tétel azt mondja ki hog eg zát endszeben az p összefüggéssel definiált impulzusmomentum változása a tehek hatásától függ A kontinuummechanikában ezt az összefüggést a feszültség-tenzook szimmetiájának vizsgálatáa használják Alakítsuk át például a impulzusmomentum tétel jobb oldalán szeeplő utolsó tagot Eule-bázisban a Cauch-féle feszültségtenzo segítségével: T t ds = ( σ n) ds = ( σ ) + ε% : σ dv (7) ( LC ) S S V A vizsgálat soán a Γ peemet S hatáfelületként ételmezzük továbbá felhasználjuk a matematika integáltétel segítségével előállítható azon összefüggését amel eg vekto és vekto-tenzo-szozat vektoiális szozatáa alkalmazott felületi integál átalakításáa vonatkozik: T a ( A n) ds = a ( A ) + ε% : A dv (7) S ( LC ) V 9 A tételt a mechanikában az úgnevezett Noethe-tétel eg változataként ételmezik A Noethetétel azt mondja ki hog a tében minden ián egenétékű bámel másikkal (Amalie Emm Noethe (88 95) német matematikus volt) 6

101 A képletben a vekto A másodendű tenzo ε% LC pedig a hamadendű tenzoként definiált Levi-Civita-féle pemutációs tenzot jelöli (lásd a Függelék vonatkozó észét) Ha ezt az átalakítást felhasználva beíjuk a módosított alakot az impulzusmomentum-tétel képletébe akko a következőt kapjuk: ρv& ρb σ dv = ε% σ T dv = (7) V ( ) : Az első integál záójelben lévő észe éppen az impulzus-tétel nulláa endezett alakját fejezi ki ezét az egész kifejezésnek zéusnak kell lennie Mivel a Levi-Civita-tenzo Cauchfeszültségekkel való kétpont-szozata nem függ a tatomántól 9 ezét az alábbi alakban is felíható a kapott összefüggés: ε% : σ T = ε σ = (7) V LC LC i j k k j A második tag uganazt a kifejezést jelenti csak indees változatban Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket és figelembe vesszük a Levi-Civita tenzo elemeinek jelentését akko a következő háom egenlethez jutunk: σ σ = σ σ = σ σ = (74) Az eedmén azt jelenti hog az impulzusmomentum tétel ételmében a feszültségtenzo veges indeű elemei páonként megegeznek vagis a Cauch-feszültségtenzo szimmetikus Megjegezzük hog ennek segítségével azonnal belátható a második Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzo szimmetikus volta is hiszen ez mindig S= J F σ F T (75) módon állítható elő a Cauch-tenzoból és a gadienstenzo invezével mindkét oldalól töténő szozás ezt a szimmetiát nem ontja el Más a helzet az első Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzoal hiszen ennek számaztatási egenlete P= J F σ (76) azonnal nilvánvalóvá teszi hog a nem szimmetikus gadienstenzoal való módosítás tönketeszi a szimmetikus jelleget Ha például a Cauch-tenzo szimmetiafeltételébe behelettesítjük az első Piola-Kichhoff-tenzot akko a következőt kapjuk eedménül: ( J ) T T T T σ σ J F P = F P F P P F = = (77) Az utolsó egenlet olan összefüggést í le amel kétdimenziós esetben eg háomdimenziós feladatnál pedig háom nem-tiviális feltételi egenletet szolgáltat a mátiok elemei közötti összefüggéseke (mindig a Cauch-máti szimmetia-feltételeivel azonos számút) Például kétdimenziós feladatnál ez az egenlet a következő lesz: F P + F P = FP + F P (78) Az impulzusmomentum-tételből adódó feltétel tehát ee a mátia a nem-szimmetikus jelleg mellett eg olan feltételt is megfogalmaz amit akko kell figelembe vennünk ha a P tenzot anagmodellekbe kívánjuk beépíteni Az enegiaméleg egenlete 9 Emlékeztetőül: eg hamadendű tenzo másodendű tenzoal való kétpont-szozata eg vekto lesz Az itt vizsgált esetben az eedménül kapott vekto mindháom eleme zéus 6

102 Az enegiaméleg elve azt jelenti hog a vizsgált endszeben a teljes enegia megváltozása (a teljesítmén) egenlő a tömeg- és felületi eők munkaváltozásának (teljesítménének) illetve a endszeben figelembe vehető hő (hőfoás hőáam) hatásának összegével 94 : teljes belső kin külső P = P + P = P hő + P (79) Az eges tagok észletesen: belső D belső kin D P = W dv P dv Dt ρ = Dt ρ v v (7) P külső = V hő ρb dv+ v t ds P = ρ dω V v n qds (7) V S V S A képletekben q az egségni felületen kiáamló hőt pedig az egségni téfogata vonatkozó hőfoást jelenti Ez a mélegegenlet má szeepelt az anagmodellek eges tulajdonságainak bemutatásako mint a temodinamika első főtétele A teljes egenlet észletesen (a koábban alkalmazott u jelölés helett most (az ötödik belső előadáson bevezetett) W jelölést használjuk): D belső ρw + ρ v v dv= v ρb dv+ v t ds+ ρ dv n q ds (7) Dt V V S V S Az eges tagok tovább módosíthatók a Renolds-képlet lábjegzetben említett speciális változatának illetve a Gauss-féle integáltételnek a segítségével (az anagmodelleknél má bemutatottakhoz hasonlóan végezve az átalakításokat): belső D belső DW D( v v) W v v dv dv Dt ρ + ρ = ρ + ρ = Dt Dt (7) V belső DW Dv = v ρ + ρ dv Dt Dt V S S V V ( σ σ ) v t ds= n σ v ds = D: σ+ ( σ ) v dv (74) Itt D most az alakváltozás-sebesség tenzot jelenti (megjegezzük hog az átalakítás soán T felhasználtuk a Függelékben megadott div( A u) = div A u+ A : gad u összefüggést) Behelettesítve ezeket az előbbi összevont alakba és a hőhatásoknál is alkalmazva a Gausstételt majd az egészet nulláa endezve a következőt kapjuk: belső DW Dv ( ρ D : σ+ q ρ + v ( ρ σ ρb) ) dv= (75) Dt Dt V A záójelbe tett utolsó háom tag a mozgásmenniség tételét íja le ezét ez zéus lesz a kifejezésben Ezek után figelembe véve hog a kifejezésnek bámilen tatomán esetén igaznak kell lennie az integál elhagásával kapjuk az enegiaméleg végső alakját: belső DW ρ = D: σ q + ρ (76) Dt Ha a hőhatásoktól eltekintünk akko az egszeűsített változat: belső DW ρ = D: σ (77) Dt Az általános alak Lagange-endszeben is megadható: 94 Milétoszi Thálész (64 546) göög filozófusnál olvashatunk első változatáól majd Galilei munkáiban fodult elő Első matematikai megfogalmazása Gottfied Wilhelm Leibnitztől (646 76) számazik (lásd az ötödik fejezet negedik lábjegzetét) 6

103 belső W ( X t) T ρ = F& T : P q % + ρ ahol q% = J F q (78) t T Ebben a képletben a q% = J F q hőáam az eedeti endsze egségni felületée vonatkozik ezét volt szükséges az átalakítás a koábban má használt Nanson-fomula (lásd az első és negedik előadást) segítségével T Megjegezzük hog az anagmodelleknél tanultak szeint az F & : P tag a Geen-Lagange alakváltozástenzo időbeli változást kifejező alakjának és a második Piola-Kichhoff feszültségtenzonak a szozatával is helettesíthető vagis ilenko a jobb oldal első tagjának E:S & -t kell ínunk Az alapegenletek genge változata Lagange-féle leíásmódban Gakolati feladatok megoldásánál az előbb bemutatott úgnevezett eős egenleteket sokszo genge (vag másféle elnevezéssel: vaiációs ) változatukkal helettesítik A genge változat diszketizált alakját nagon sokszo használják különböző közelítő megoldásokban (lásd például a végeselemes modellezés numeikus technikáit) A genge változatot előszö a Lagange-leíásmód esetée mutatjuk be Íjuk fel újból a mozgásmenniség egenletét a sebesség deiváltjának helébe most a gosulásvektot íva ( u=a & ): P + ρ b ρ a= (79) Szoozzuk meg ezt a kifejezést eg elmozdulásmező vaiációjával és integáljuk az egész (kezdeti) tatománon: δ u ( P + ρ b ρ a) dω = (74) Ω Az Ω tatomán Γ hatáán az alábbi peem- kezdeti- és foltonossági feltételeket vesszük figelembe (ha a tatománnál két indeet kell használnunk a kezdeti állapota utaló nulla felső indebe keül): a/ peemfeltételek: t előít tehek a hatá Γ észén ( Γ =Γ Γ ) t t u (74/a) u előít elmozdulások a hatá Γ u észén (74/b) b/ kezdeti feltételek (nulla időpillanatban az egész tatomána vonatkoznak továbbá kielégítik a peemfeltételeket): P( X) = P ( X) u& ( X) = v( X) (74) c/ foltonossági (szakadásmentességi) feltétel 95 : n P = a hatá Γ b észén (74) A mozgásmenniség egenletében szeeplő első tag átalakítása 96 (megadjuk indees alakban is a jobb ellenőizhetőség kedvéét): ( δu) δu P d Ω = ( δu P) d Ω : PdΩ (744/a) X Ω Ω Ω 95 Az f ( X ) szimbólum jelentése a következő: f ( X ) lim ( f ( X ) f ( X )) = +ε ε 6 ε 96 T Újból emlékeztetünk a Függeléke: div( A u) = div A u+ A : gad u

104 P ( δu ) u d u P d P d ji i δ i Ω = ( δ i ji ) Ω ji Ω X Ω j X Ω j X Ω j (744/b) Ebben a kifejezésben a jobb oldal második tagja átalakítható T δ F : P dω (745) Ω alaka az első tagot pedig a Gauss-tétel és a peemeke előít feltételek segítségével módosítjuk 97 : δu n P dγ + δu n P dγ (746) Γ Γb Itt a második tag a foltonossági feltétel miatt zéus ( n P = ) az elsőt pedig tovább finomíthatjuk ha a vituális elmozdulásmező eges peemészeken való zéus étékét is figelembe vesszük: Γ u n P d ndim ( u e i )(ei ti ) d i= Γt i δ Γ = δ Γ (747) (747)-ben a peemfeltételeket észeke osztottuk: n dim a feladat dimenziószámát jelenti tébeli esetben például Figelembe véve az átalakításokat és endezve az eges tagokat a tétel (előjelváltással) az alábbi fomában adható meg: δf : P dω ρδu b dω δu e )(e t ) dγ + δu ρ a Ω = (748) T Ω Ω ( i i i d i= Γ Ω ti Ez az egenlet az előbb bemutatott mechanikai egenletek úgnevezett genge alakja a mechanikában a vituális munkák tétele néven ismet Az első tagot belső- a második és hamadik tagot külső- az utolsó (negedik) tagot pedig kinetikus vituális munkának nevezik Az alapegenletek genge változata Eule-féle leíásmódban A vaiációs alak előállítása nagon hasonló az előzőhöz a különbség alapvetően az hog a vaiálandó póbafüggvént most nem az elmozdulások hanem a sebességek szolgáltatják A kiindulási egenlet most is az impulzus- tétel ezt szoozzuk a vituális sebességekkel és integáljuk az egész (pillanatni helzethez tatozó) tatománon: σ ji δ vi +ρbi ρvi dω= & (749) Ω j Alakítsuk át az első tagot: σ ji ( δvi) δvi dω= ( δviσ ji) σ ji dω j j (75) Ω Ω j A jobb oldali integálban szeeplő első tagot tovább alakítjuk a Gauss-tétel valamint a peem- illetve foltonossági feltételek segítségével: ( δ vi σ ji) d Ω= δ v i n j σ ji d Γ+ δ vin j σ jid Γ (75) Ω j Γb Γ gi idω= ni gidγ+ ni gi dγ Ω Γ Γb 97 Emlékeztetőül a (foltonossági feltétellel bővített) Gauss-tétel: 6 4

105 A jobb oldal első tagja a foltonossági feltétel miatt zéus A második integálnál kihasználjuk az előít teheléseket íg: ndim ( δviσ ji) dω= δvi ti dγ (75) Ω j i= Γt i Ha ezt most visszahelettesítjük az átalakítás első lépésébe akko a következő eedméne jutunk: n σ dim ji ( δvi) δvi dω= δvi ti dγ σ ji dω (75) Ω j i= Γt i Ω Visszaíva ezt is az impulzus-tétele épülő integálba az eedmén: ndim ( δvi) σ ji dω δviρbi dω δvi ti dγ+ δviρv idω= & (754) Ω j Ω i= Γt i Ω Ezt az egenletet hívják a mechanikában a vituális teljesítmének elvének Hangsúlozzuk hog az előbb bemutatott vituális munkát leíó egenlettel egütt ez a kifejezés is nélkülözhetetlen lesz a nemlineáis feladatok végeselemes vizsgálatánál! Az integál első tagját belső- második és hamadik tagját külső- utolsó tagját pedig kinetikus teljesítménnek nevezik a mechanikában 7 Példa A genge alak Lagange-endszebeli felvételének illusztáló példájaként vizsgáljunk meg eg D feladatot és vezessük le ott a vaiációs változatot Ebben az esetben a mozgásmenniség skalá változókkal felít egenlete a következő kifejezés lesz (a képletben A a kezdeti állapothoz tatozó keesztmetszeti felület): ( ) A P A b A u&& +ρ ρ = X Peem- kezdeti és foltonossági feltételek: a/ peemfeltételek: u( X t) = u( X t) X Γ u n P= t X Γ t b/ kezdeti feltételek (az egész tatomána vonatkoznak): u( X ) v ( X ) vag v ( X ) P ( X ) Megjegezzük hog a kezdeti feltételekhez tatozó függvének Γt n illetve Γu n kielégítik a peemfeltételeket c/ foltonossági feltétel: A P= X ( X a X b) ahol a és b az D feladat peempontjai A vaiációs feladat: Xb ( X ) δ u ( A P) +ρ A b ρ A u&& dx= X a Xb X b Xb δ u A P dx = δu A P dx δu A P dx Az első tag átalakítása: ( ) ( ) X X X X a X a X a A jobb oldalon szeeplő két tagból az első tovább alakítható: δu A P δ u A P ( ) ( ) X b X a j 6 5

106 Itt a második tagban szeeplő δ u a ( u A P) ( u A t ) Xb Γ u hatáon zéus Az első tag átalakítva: δ = δ Végül a genge alak a behelettesítések elvégzése után: Xb X a ( u X A P u A u u A b) dx ( u A t ) δ +δ ρ && δ ρ δ = 6 6 Γt Γt Az alapegenletek szilád testek kis alakváltozások ugalmas anagok és kvázi-statikus tehelés esetén Ez a fajta speciális csopotosítás jelentős egszeűsítés az előző teljesen általános változatokhoz képest gakolati fontossága miatt azonban kiemelt figelmet édemel a/ A tömegmaadás egenlete: A Lagange-koodinátákkal kifejezett változat ebben az esetben a ρ=ρ alaka edukálódik s íg a továbbiakban nincs kitüntetett szeepe a számításokban b/ A mozgásmenniség egenlete: A tehek kvázistatikus jellege és a tehetetlenségi eők elhanagolhatósága miatt az egenlet a σ +ρ b = (755) fomában adható meg Ezt az egenletet a mechanikában egensúli vag más néven Cauch-egenletnek nevezik Skalá alakban háom paciális diffeenciálegenlettel adható meg Fontossága miatt megadjuk ezek észletes étékét: σ τ τ z ρ b = z τ σ τ z ρ b = Sσ+ g= (756) z τ τ z z σ z ρ bz = z A skalá egenletek után a numeikus számítások céljáa hasznos lineáis algebai alakban is megfogalmaztuk az egenleteket Itt S eg 6 méetű diffeenciálási utasításokat tatalmazó opeáto-máti σ a feszültségtenzo 6 független elemét Voigt szeinti endben tatalmazó vekto g pedig a tömegeők vektoa elemeit a sűűség és a fajlagos tömegeők szozatából számítjuk Azokat a feszültségmezőket melek kielégítik ezeket az egenleteket - továbbá megfelelnek az adott feladathoz tatozó statikai peemfeltételeknek - a mechanikában statikailag lehetséges feszültségeknek nevezzük Megjegezzük hog ezeket az egenleteket eg elemi hasáb egensúlának vizsgálatából is levezethetjük lásd az alábbi ába vázlatát:

107 7 ába: D egensúl vizsgálata az elemi hasábon Az iánú vetületösszegből az első az iánúból a második a z iánúból pedig a hamadik egenlet adódik a megfelelő egszeűsítések után Illusztálásul bemutatjuk eg vetületi egenlet számítását: σ τ τ z Fi = d d dz+ d d dz+ dz d d + gd d dz= z σ + τ τ z + + g = z Megjegezzük hog a feszültségtenzo szimmetikus jellegét igazoló számítás most egszeű nomatéki egensúl felhasználásával is ellenőizhető Ismét bemutatunk eg példát az egik níófeszültségi pá vizsgálatáa: 6 7

108 M i = = dz d σ dz τ z d = g dddz g zdddz + σ + d ddz τ z+ d ddz dz σ z d τ z dz d σ ddz z dz dd z dz dd zdd σ + z + τ + +σ + z d dz τ z d τ τzdzd τdzd τ z + d dzd + τ + τ dddz+τ dddz= τ =τ z z z z dz d dd c/ Az enegiaméleg egenlete: Amint azt az ötödik előadásban láttuk a jelenlegi feltételek esetén (ez megfelel az izentóp defomációnak és a hőmésékleti hatások elhanagolásának) az enegiaméleg egenletéből a W W σ : ε & = ε & σ = (757) ε ε hipeelasztikus anagmodell következik Ez adja meg jelen esetben a feszültségek és alakváltozások kapcsolatát leíó kapcsolati (vag más néven fizikai) egenleteket d/ Geometiai egenletek: Ezek az egenletek az alakváltozások és az elmozdulások kapcsolatát íják le Az előzőekben azét nem említettük őket külön met a különböző alakváltozás tenzook bevezetéseko (második hét illetve a henge- és polákoodinátás változat a hamadik hét előadásában) ezt má megtettük Most megismételjük a kis alakváltozások definíciójáa deékszögű koodinátaendszeben má egsze megadott összefüggéseket: u u v u w + + ε γ γ z z v u v v w ε= γ ε γ z = + + (758) z γ w u w v w z γ z ε z + + z z z A geometia egenletek ebben az esetben tehát a hat daab független alakváltozáskomponenst kapcsolják össze a háom elmozdulás-függvénnel a diffeenciálási utasítások segítségével Szokás a geometiai egenleteket is máti-egenlet segítségével megadni: ε= L u (759) ahol az ε vekto az alakváltozástenzo hat független elemét tatalmazza (Voigt előíásainak megfelelően endezve) u az elmozdulások vektoa L pedig eg 6-6 8

109 as diffeenciálási utasításokat tatalmazó máti Elemei közvetlen kapcsolatban vannak a Cauch-egenletnél megadott S mátiszal: T S = L (76) Azokat az (általánosított) alakváltozás-mezőket amelek megfelelnek a geometiai egenletekben megadott kapcsolati előíásoknak - és emellett kielégítik az adott feladat elmozdulási peemfeltételeit - geometiailag lehetséges alakváltozásoknak nevezzük Egensúli egenletek polákoodináta-endszeben Az z endszeben felít egensúli egenleteket tanszfomációs összefüggésekkel is átalakíthatjuk polákoodinátás változattá Egszeűen felíhatjuk azonban őket vetületi egenletek felhasználásával is Például az ába jelöléseit felhasználva (kétdimenziós esetben) egszeűen megadható a sugáiánú vetületi egenlet: 7 ába: Az egensúl vizsgálata poláis koodináta-endszeben σ σθ dθ dθ σ + d ( + d) dθ σ dθ σθ + dθ d sin σθd sin + (76) Θ τθ dθ dθ + τ Θ+ dθ d cos τ Θd cos + F d dθ= Θ dθ d Figelembe véve hog kis szögeknél: sin Θ d cos Θ továbbá elhanagolva a magasabbendűen kicsin tagokat az egenlet egszeűsíthető Uganíg felíható a sugáa meőleges vetületi egenlet is és íg végül a két egensúli feltétel az alábbi fomában adható meg: σ τ Θ σ σθ F = (76) Θ σ τ τ Θ Θ Θ FΘ = (76) Θ 6 9

110 Egensúli egenletek hengekoodináta-endszeben A kétdimenziós polákoodináta-endszehez hasonlóan íható fel mindháom egensúli egenlet (a hengekoodináta-endsze megegezik a hamadik előadáson bemutatottal): σ τ Θ τ z Kompatibilitási egenletek τθ τ z σ σθ F = Θ z (764) σ τ τ Θ zθ Θ FΘ = Θ z (765) τθ z σ τ z z Fz = Θ z (766) A kompatibilitási egenleteket is bemutattuk má az alakváltozásoknál (a geometiai egenletekből számaztatjuk őket az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével) Ismétlésül a hat kompatibilitási egenlet: ε ε ε = + εz ε ε z = + z z εz ε εz = + z z ε z ε z ε εz ε z z ε z ε ε + = + = z z z z ε ε z ε z ε + = z z Megjegezzük hog a most bemutatott alak nem pontosan uganaz mint amit az alakváltozások tágalásako felítunk Gakolásul most az alakváltozástenzo jelöléseit használtuk és ebben az esetben a szögtozulásoknál eg kettes szozót kell mindig figelembe venni! (767) A mechanika különböző megoldási technikáinál (lásd a következő előadások anagát) ezek az összefüggések fontos kiindulási eszközül szolgálnak A kompatibilitási egenletek hengekoodináta-endszeben is felíhatók: γ zθ zθ ε z Θ εθ z γ + z z ε z = γ z z ε z ε z = (768) γθ ε Θ Θ ε Θ ε + + γ Θ Θ ε Θ = 6

111 6 = Θ ε γ + γ γ + Θ γ Θ ε Θ Θ Θ z z z z z z z z = γ γ + γ γ Θ γ + γ Θ ε Θ Θ Θ Θ Θ z z z z z z z ( ) = ε ε Θ γ Θ γ γ + γ Θ ε Θ Θ Θ Θ Θ z z z z z z A polákoodinátás (síkbeli) változat lénegesen egszeűbb (lásd az előző egenletcsopot hamadik egenletét): Θ γ + Θ γ = ε ε + Θ ε + ε Θ Θ Θ Θ (769) Felhasznált iodalom: / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv / Fung: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Beltschko T Liu WK Moan B : Nonlinea finite elements fo continua and stuctues John Wile 4/ Bezuhov N I : Bevezetés a ugalmasságtanba és a képlékenségtanba Tankönvkiadó95

112 8 Előadás: Munkatételek 98 felcseélhetőségi tételek Ismétlés A különböző típusú munkafogalmak definiálását illetve a hozzájuk kapcsolódó munkatételek (vituális 99 eők és elmozdulások tétele) megfogalmazását a BSc Sziládságtan tág má megtette Emlékeztetőül a (kis alakváltozású endszeeke) má koábban felít két tétel (a koncentált dinámok hatását a továbbiakban az egszeűség kedvéét elhagjuk): a/ Vituális elmozdulások tétele: Eg eőendsze akko és csakis akko statikailag lehetséges ha bámel vituális elmozdulás-endszeen végzett munkája zéus Más megfogalmazásban: egensúlban levő eőendsze által végzett vituális munkák összege zéus: δ W = δ Wk + δ Wb = (8) ahol δ W = t δ u da + g δ u dv g=ρb k δ W b (külső vituális munka) (8) St V = σ : δ ε dv (belső vituális munka) (8) V A vituális elmozdulások tétele az eőendszeek egensúlának szükséges és elégséges feltétele A tétel bámilen anagú szilád teste événes Az egenletekben t a felületi g pedig a téfogati eőket jelenti b/ Vituális eők tétele: Eg elmozdulás-endsze akko és csakis akko geometiailag lehetséges ha bámel vituális eőendszeen végzett kiegészítő munkája zéus Más megfogalmazásban: 98 A mechanikai munka elnevezést előszö Gaspad-Gustave de Coiolis (79 84) fancia matematikus és gépészménök használta (Coiolis: Calcul de l'effet des Machines Páizs 89) 99 A Függelék -ben övid összefoglaló olvasható a vaiációszámítás alapvető definícióiól illetve a vituális elmozduláshoz kapcsolódó kommentáokól Javasoljuk ennek tanulmánozását 6

113 kompatibilis elmozdulásendsze által végzett vituális kiegészítő munkák összege zéus: δ W % = δ W % k + δ W % b = (84) ahol δ W% = u δ t da+ u δ g dv g=ρb (külső vituális kiegészítő munka) (85) k St V δ W% = ε : δσ dv (belső vituális kiegészítő munka) (86) b V A vituális eők tétele az elmozdulások és alakváltozások kompatibilitásának szükséges és elégséges feltétele Bámilen anagú szilád teste événes amel kis elmozdulást végez Nag alakváltozások esetén a vituális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve nem de eges változóit tekintve fomálisan módosul A módosítás attól függ hog Lagange- vag Eule-endszeben íjuk fel az alapvető egenleteket A vituális elmozdulások tétele Eule-bázisban Az előző előadásban az alapvető egenletek eős és genge alakjának elemzéseko bemutattuk hog az Eule-bázisban a megmaadási egenletekből a vituális teljesítmének elvének nevezett vaiációs elvhez jutunk Ez az elv a nemlineáis végeselemes számításoknál kiválóan megfelel az igen gos változásokkal jáó áamlástani feladatok (foladékok gázok) vizsgálatánál Olan szilád testeket vizsgáló mechanikai feladatoknál azonban ahol mindenképpen szükséges az Eule-féle leíásmód (például nagon nag alakváltozásokkal gűődésekkel jáó tehelések vizsgálatako) előnösebb az impulzus-megmaadási feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező hanem az elmozdulásmező vaiálásával végehajtani és íg a Lagange-leíásmódnál is felhasznált vituális munkák tételét létehozni ebben a bázisban Ennek az átalakítás-vaiációnak nincs elvi akadála hiszen a vaiációs feladat létehozásánál nincs semmilen megkötés a tesztfüggvén típusáa Bá a vituális elmozdulások elméleti alapjaival má a BSc Sziládságtanban észletesen foglalkoztunk most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket illetve azokat a sajátosságokat amelek a nag változások leíásmódjához kapcsolódnak A vituális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok Johann Benoulli ( ) és fia Daniel Benoulli (7 78) fogalmazták meg Johann Benoulli a fancia Piee Vaignon-nak ít 75 febuá 6-i keltezésű levelében ít előszö vituális elmozdulásendszeekől és azok mechanikai alkalmazásaiól (Vaignon: Nouvelle Mécanique Vol pp 74 Páizs75) Fia főleg a vaiációs elv alkalmazásaival jáult hozzá a módsze népszeűsítéséhez Ő hívta fel egébként Eule figelmét ee a mechanikai modellezési lehetősége Megjegezzük hog magát a vituális elmozdulás elnevezést előszö Lagange (óla lásd az első előadás 4 lábjegzetét) használta (Lagange: Mecanique Analtique 788 Páizs) 6

114 8 ába: Kezdeti és pillanatni konfiguáció Magának a vituális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáis feldatok esetében sem A (8) ábán látható kezdeti és pillanatni (de időben ögzített!) konfiguációt felhasználva a pillanatni konfiguáció kicsin megváltoztatásával állítjuk elő a vituális elmozdulásendszet: ) δ u= u u = εw (87) ahol ε kicsin nullához tató paaméte Íjuk fel most az elmozdulás-vaiáció gadiensszámításához szükséges alapvető képleteket: ) ) δ u = u u δ u = u u δ u = δu (88) ( ) ( ) ( ) ( ) Ha figelembe vesszük hog u= uf ui ui = akko ( ) ( ) F k j j X k δui δui δ u = δu F = F k j j X k (89) (8) A mechanikai feladatoknál szükség lehet a defomációgadiens-tenzo illetve az adott bázis jellemzőjének tatott alakváltozás-tenzo (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzo) vaiációjának ismeetée is Íjuk fel most ezeket : ( ) ( u - δui j) δ F= ( δu) δ F = F ( δu) δ Fi k = δ Fk i = F δ k j (8) X k i Az Almansi-Hamel-tenzo vaiációjának számítását megkönníti a Geen-Lagange-féle alakváltozástenzo vaiációjának ismeete Számítsuk ki előszö ezt : T T T T T δ E= ( F ) F F F ( F ( u) ) F ( u) δ + δ = δ + δ (8) majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzot: A fontosabb képleteket indees alakban is megadjuk Emlékeztetőül a vektomezőke általunk használt gadiens definíció: gad u ( ) = (lásd a Függelék vonatkozó észét) u T A második képlethez: ( ) F F I F F FF F ( u) F F ( u) δ δ = δ = δ = δ uk Ezt is felíjuk indees változatban: δ E = F + F X i i j k j k i 6 4 u X k j

115 T T ( ( ( )) ( ) ) (8) T δu j δu i = (( ( δ u) ) + ( δu) ) δ ei j = + i j T δ e= F δ EF = F δ u + δ u F = Az alapvető vaiációs változatok megadása után a genge alak felíásához uganazokat a lépéseket hajtjuk vége mint az előző előadásban a vituális teljesítmén elvének megfogalmazásako de ahog a bevezetőben említettük most nem sebesség hanem elmozdulás-vaiációt alkalmazunk Megjegezzük hog a vizsgált pillanatni konfiguációhoz tatozó peem- és kezdeti feltételek 4 uganazok mint amiket a koábbiakban alkalmaztunk: Peemfeltételek: u= u az Su tatománon t= t az St tatománon Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tatomán egészée vonatkoznak): u t = u X u& t = u& X ( ) ( ) ( ) ( ) t= t= Nem ismételjük meg hamadszo is a mozgásmenniség megmaadási tételée épülő átalakítás-soozatot csak a végeedmént adjuk meg ( g=ρ b ): ( ) ( ) σ : δu g ρu && δu dv t δ u ds = (84) V S t Ez az egenlet tovább finomítható ha az elmozdulás-vaiáció gadiense helett az Almansi- Hamel-féle alakváltozás-tenzo vaiációjának étékét íjuk be a képletbe 5 : σ : δe ( g ρu && ) δu dv t δ u ds = (85) V S t Ez a kifejezés az Eule-bázisban megfogalmazott vituális munkatétel vag más néven a nag változásokat leíó pillanatni konfiguációa vonatkozó vituális elmozdulások tétele A kis elmozdulásoknál felít változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független az anagi viselkedéstől tehát bámilen anag esetében alkalmazható A vituális elmozdulások tétele Lagange-endszeben Lagange-endszeben má az előző fejezetben megadtunk eg lehetséges felíási módot Most az előít felületi eők alakját kicsit egszeűsítjük egetlen fomális integállá és a néhán soal koábban az Eule-endszee jellemző alakot használjuk a könnebb összehasonlíthatóság végett: T P : δf ( g ρu && ) δu dv t δ u ds = (86) V St Uganez az egenlet a második Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzo segítségével is megadható 6 : S : δe ( g ρu && ) δu dv t δ u ds = (87) V S t 4 Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-étékeket választottunk 5 A (84)-es egenlet átalakításánál figelembe vettük az elmozdulásgadiens-tenzo szimmetikus és antimetikus tenzook összegée való felbonthatóságát továbbá azt a tént hog a szimmetikus Cauch-féle feszültségtenzonak az antimetikus tenzoal való kétpont-szozata zéus 6 A tanszfomáció az első Piola-Kichoff-tenzo átalakításából is kiindulhat de felhasználhatjuk a σ : δ e dv= S : δ E dv összefüggést is közvetlenül az Eule-féle alakból kiindulva 6 5

116 ahol S a második Piola-Kichhoff-féle feszültség- E pedig a Geen-Lagangealakváltozástenzo 8 Példa Vizsgáljuk meg a vituális elmozdulások tételének segítségével eg tehementes állapotában L oldalhosszúságú (homogén izotop lineáisan ugalmas anagú) kocka tiaiális tehelés hatásáa kialakuló mechanikai állapotát A felületi tehelés intenzitása a háom tengel iánában p p és p az új (egelőe ismeetlen) oldalhosszakat jelöljük η L L és η ηl -lel A változások tetszőlegesen nagok lehetnek A tömeg- és tehetetlenségi eőket elhanagoljuk az anagállandókat (E Gν ) ismejük A tételt most Lagange-endszeben íjuk fel A mozgásokat leíó alapegenletek és a kezdeti feltételek: u = η X =η X =η X u = X u = X u = X = ( η ) X u = ( η ) X u = ( η X ) 8 ába: A kocka téfogatváltozása u ( X = ) = u ( X = ) = u ( X = ) = Számítsuk ki előszö a mozgásegenletek segítségével a Geen-Lagange alakváltozás tenzo elemeit (megjegezzük hog a főétékek most megegeznek a nemzéus komponensekkel) : E ( ) ( ) ( = E = η E = E = η E = E = η ) E = E = E = A vituális elmozdulások tételének Lagange-endszeben való felíásához a Geen- Lagange-tenzo mellett még szükségünk van a második Piola-Kichhoff-tenzo elemeie Ezeket a fizikai tatalmú Cauch-feszültségtenzo segítségével íjuk fel: A gadiens-tenzo és inveze: 6 6

117 Innen: η η F = F η = J =ηη η η η η S = S = η η σ S = S = ηη σ S = S = ηη σ η η η ahol felhasználtuk a koábban levezetett (lásd a negedik előadást) T S J F = σ F összefüggést Megjegezzük hog most a feladat sajátossága miatt kicsit tömöebben is kiszámíthatók a második Piola-Kichhoff-tenzo elemei Előszö megadjuk a jelenlegi helzetnek megfelelő detemináns-számítás másféle változatát: dv J = = ρ dv ρ majd ezt felhasználva indees alakban íjuk fel az átváltást: ρ X X i j S ji = σl k ρ k l A feladat eedméne (elemeke bontva a számításból adódó étékeket): ρ dx dv ηη S η ηη ηη S = S = σ S = S = σ η η = S = σ = = σ = σ ρ d dv η η η η η Következő lépésként magukat a Cauch-feszültségeket kell meghatáoznunk Ehhez a számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzoa is ez azonban kifejezhető a Geen-Lagange-féle alakváltozás tenzo segítségével A kétféle alakváltozás-tenzo kapcsolatát a gadiens-tenzo felhasználásával lehet megadni: T -T - T -T - E= ( F F - I) és e= ( I - F F ) e= ( F F - F F ) E A defomáció-gadiens tenzot má az előbb felítuk íg az Almansi-Hamel-tenzo háom nemzéus eleme egszeűen számítható: e = e = ( η ) = ( ) E e = e = η = η η η E η e = e = ( η ) = E η η A Cauch-tenzo elemeit ezek után a Hooke-féle anagmodell segítségével kapjuk mivel lineáisan ugalmas anagi viselkedést tételeztünk fel a modellől A Hookemodell egenletei itt is événesek hiszen most az anagi lineaitást a nag alakváltozásoka is kitejesztettük: E ν E ν σ = ( ) ( ) e + e + e + e σ = e + e + e + e +ν +ν ν ν 6 7

118 E ν σ = e + ( e + e + e) +ν ν Helettesítsük be a Cauch-feszültségeke kapott étékeket a (második) Piola- Kichhoff-feszültségek számításáa levezetett összefüggésekbe és íjuk be ide az Almansi-Hamel-féle alakváltozásoka kapott eedméneket is: ηη E ν S = E + E + E + E η +ν η ν η η η ηη E ν S = E + E + E + E η +ν η ν η η η ηη E ν S = E + E + E + E η +ν η ν η η η Íjuk be most E helée a níási ugalmassági modulust a Geen-Lagangealakváltozások helée pedig azok észletes étékét: ηη G ν S = +ν ν + η ν η η η ηη G ν S = +ν ν + η ν η η η S η η G ν = +ν ν + η ν η η η A belső vituális munka számításához szükséges kifejezés: S δe = Sδ E+ Sδ E+ Sδ E ahol δ E =η δη δ E =ηδη δ E =ηδη A teljes téfogati integál ezek után: S δ EdV = ( Sδ E+ Sδ E+ SδE) L V A külső vituális munka integáljának számításához az alábbi egenleteket kell figelembe venni: δ u = X δη δ u = X δη δ u = X δη q = p q = p q = p () () () A q = q = η η p q = ηη p q = ηη p () () () () A A külső vituális munka ezeknek megfelelően: () () () () () () () () () q δ u da + q δ u da + q δ u da = L q δη + q δη + q δη ( ) () ( ) () A A A A belső és külső vituális munka összegének zéus voltát felhasználva: Sη + q () δη + S η + q () δη + S η + q () δη = ( ) ( ) ( ) Ennek a kifejezésnek bámilen δη δη δη vaiációa teljesülnie kell íg a háom záójeles tag zéus voltát felhasználva háom független nemlineáis egenlethez 6 8

119 jutunk Ezekbe helettesítsük be a II Piola-Kichhoff-feszültségeke illetve a felületi teheke koábban kapott étékeket: G ν +ν ν + p = ν η η η G ν +ν ν p + = ν η η η G ν +ν ν p + = ν η η η Ebből a háom ismeetlenes nemlineáis egenletendszeből hatáozható meg a keesett η η és η Megjegezzük hog az egenletendsze és η η η ismeetlenjeit és z paaméteekkel helettesítve ez a feladat lineáis egenletendszee vezethető vissza A paamétees megoldás zát alakban is felíható de nehézkes volta miatt előnben észesítik a numeikus eseteke alkalmazott számításokat Ha a p= p= p= phidosztatikus állapotot vizsgáljuk akko η =η =η =η és íg az egenletendsze helett egetlen kifejezéssel van dolgunk: +ν G = ν η p amelnek megoldása: η= + ( ν) p E Ha a níási ugalmassági modulus helett a K téfogatváltozási modulust 7 használjuk anagállandónak akko az alábbi összefüggéshez jutunk (lásd az alatta levő 8-as ábát): p = K η 8 ába: A lineáis és a nemlineáis téfogatváltozás összehasonlítása 7 A téfogatváltozási modulus a hidosztatikus feszültség és téfogatváltozás közötti kapcsolatot fejezi ki A ugalmassági modulus és a Poisson-ténező ismeetében a következőképpen számítható: K = E /( 6 ν ) 6 9

120 8 Példa Az ábán látható lineáis közelítés úg ételmezhető mint az η a kapott képlet soba fejtett kifejezése szeinti a magasabb endű tagokat elhanagoló vizsgálat: p p η= ( ν) ( ) E ν + E Megjegezzük hog az η = étékhez végtelen nag téfogatváltozási-modulus és ν = 5 étékű Poisson-ténező tatozik Vizsgáljuk meg hog hogan lehet eg D nemlineáis feladat végeselemes modellezéséhez szükséges alapegenleteket megadni a Lagange-féle leíásmód alapján Az D szekezet végeselemes számítását a Lagange-féle leíásmódnál felít vituális X X tatománban elhelezkedő munkák tétele segítségével végezzük el Az [ ] szekezetet a végeselemes technikában szokásos módon e= ne eleme osztjuk Eg elemen m daab csomópontot veszünk fel íg összesen n N csomópontunk lesz e Az I-edik csomópont koodinátáját jelöljük X I -vel az eg elemen belüli e X X m tatománt pedig Ω e -vel a b 84 ába Az D szekezet elemeke osztása Az egszeűség kedvéét az -es csomópont lesz az előít elmozdulás peempontja és az n N jelű pont pedig az előít feszültségeké (megjegezzük hog a végeselemes technikában szokásos módon ezeket a peemfeltételeket majd csak a modellezés utolsó fázisában vesszük figelembe) Az elmozdulásfüggvén és vaiációjának szokásos végeselemes közelítése: nn u( X t) = N ( X ) u ( t) δu( X ) = N ( X ) δu nn I I I I I= I= ahol N I ( X ) a C -foltonos bázisfüggvéneket ui ( t ) pedig a csomóponti elmozdulásokat jelöli A bázisfüggvéneknek most is ki kell elégíteniük az N ( X ) = δ feltételt Fontos tudnunk hog a csomóponti változók mindig a t I J I J paaméte függvénei még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a valódi időt de lehet eg egszeű monoton növekvő változó például tehepaaméte) Ettől csak a csomóponti vituális elmozdulások esetében van eltéés δ ui étékei nem függnek az időtől A most bevezetett közelítések segítségével íjuk fel a vituális munka eges komponenseit (az D esete itt felhasznált nemlineáis hatásokat tatalmazó vituális munkatételt koábban má észletesen levezettük!): 6

121 Xb n X N b nn b T b b = X = I I X = I I = X I= I a X = a δw δu A P dx δu N A P dx δu f δ u f X n X δw = δuρ A b dx + δu A t = δu N ρ A dx + N A t = δ u f Γt b N b T k ( ) ( ) k I I I X I= a Γ X t a Xb nn Xb δ W = δuρ A uɺɺ dx= δu Nρ A uɺɺ ( t) N dx=δ u M a=δ u f kin I I J J X I= J a X = a 6 nn T T kin A kinetikus vituális munka képletében szeeplő tömegmáti képlete: Xb Xb T I J I J Xa Xa M = ρ A N N dx vag M= ρ A N N dx Az a vekto a gosulási jellemzőket tatalmazza ( a=ɺɺ) u A vituális munkatétel képletébe behelettesítve ezeket az összefüggéseket a következő egenletendszet kapjuk: n N I= b k kin ( ) δui fi fi + fi = δu a Ez az egenlet valóban mindig zéus hiszen I=-nél δ u zéus a peemfeltételek miatt míg a többi csomópontnál a záójeles kifejezés lesz nulla Elhagva a tetszőleges vituális elmozdulásfüggvént máti alakban a következő szemidiszkét (a tében diszkét az időben azonban foltonos) egenletendszet íhatjuk fel: k f= f f = M a b Ezt a kifejezést a mozgás egenletének hívják a mechanikában és alapvető fontosságú a nemlineáis feladat végeselemes vizsgálatában Az egenletendszeben az előít elmozdulási peemfeltételt má figelembe vettük Matematikai jellegét tekintve nn daab másodendű közönséges diffeenciálegenletből áll ameleknek független változója a t idő- (vag tehe-) paaméte Megjegezzük hog a számításokban az M tömegmáti gakan nem diagonál (ezt hívják a mechanikában konzisztens tömegmátinak) íg a mozgásegenlet nem egezik meg pontosan az f = M a alakú II Newton-tövénnel mivel az I-edik csomópontnál levő eő is okozhat gosulást a J-edik csomópontnál Fontos tudnunk hog ha a konzisztens tömegmáti helett diagonál felépítésű tömegmátiot kívánunk használni akko a szakiodalomban ajánlott többféle lehetőség valamelikét kell választanunk (lásd észletesebben a Nemlineáis végeselemmódsze című MSc tág vonatkozó fejezeteit) A fenti mozgásegenlethez előít kezdeti feltételeket legtöbbszö a csomóponti elmozdulás-és sebességváltozók figelembevételével adjuk meg: u () = u ( X ) I e uɺ () = uɺ ( X ) I e I I I I Megjegezzük hog eg t = pillanatban nugalomban lévő és defomálatlan testnél ezek a kezdeti feltételek az u () = és uɺ () = ( I e) alakot öltik I I Ha a kezdeti feltételek sokkal bonolultabbak (például időben változó étékeket íunk elő) akko a csomóponti elmozdulások és sebességek étékeinek a kezdeti adatokhoz töténő illesztését a legkisebb négzetek módszee segítségével külön ki kell

122 8 Példa számítanunk Ilenko az u ( X ) kezdeti adathalmaz és a végeselemes intepolációból adódó NI ( X ) ui () étékek különbségének négzetét minimalizáljuk: Xb I I! X I a M( u( )) = u () N ( X ) u ( X ) ρ A dx= min A sűűséget hagománosan azét szokták beépíteni a fenti kifejezésbe hog a tömegmátiot felhasználhassák a számításban A minimumfeltételt alkalmazva a hibáa a következőt kapjuk: Xb NK ( X ) ui () NI ( X ) u( X ) A dx X I a M = ρ = uk () Ha itt felhasználjuk a tömegmáti koábbi definícióját akko az egenlet az alábbi alaka hozható: Xb K Xa M u() = g ahol g = N ( X ) u ( X ) ρ A dx K A kezdeti sebességek csomóponti étékeinek illesztését teljesen hasonló módon kell számítani Mivel ennél a példánál az alapvető cél az volt hog a vituális munkatétel segítségével illusztáljuk a végeselemes módsze használatát nem téünk ki a gakolati számításoknál gakabban alkalmazott technikáa azaz az eg elem szintjén végzett műveletek végehajtásának elemzésée Ee vonatkozóan újból az előbb említett Nemlineáis végeselemmódsze című tága hívjuk fel a figelmet Vizsgáljuk meg hog eg általános nemlineáis mechanikai feladatnál hogan lehet a számítás iteációs algoitmusát megadni a vituális elmozdulások tételével Tételezzük fel hog az egszeűség kedvéét most is kizájuk a dinamikus hatásokat de egébként az alakváltozások jelen esetben is tetszőlegesek lehetnek (második Piola-Kichhoff feszültségtenzot Geen-Lagange alakváltozástenzot és Lagange leíásmódot használunk) 6

123 85 ába:iteációs algoitmus A teheket fokozatosan akjuk á a szekezete a fenti ábán látható módon Az ábán látható P általános teheszimbólum t pedig jelenthet időváltozót de képviselhet valamilen általános tehepaamétet is A példa további észében időpaaméteként hivatkozunk á Az első időlépésben t = t t P = P P ( a indeű tagok általában zéus étékűek) eg általános lépésnél pedig t = t + t P = P + P n n n n A számítás első lépése a t= t = t időétékhez tatozó elmozdulás alakváltozás és feszültség kiszámítása: u = u E= E S= S Eg általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett változókéhoz hasonló módon töténik: u = u + u E = E + E S = S + S n+ n n+ n+ n n+ n+ n n+ u n+ En+ S n+ Az ismeetlen véges növekmének számításáa a vituális elmozdulások tételét hívjuk segítségül 8 : ( n) S : δ E dv + g δ u dv + t δ u ds = n+ n+ n+ n+ V t V S Itt δ En+ =δ En+ ( δ En+ ) Behelettesítve a növekméni alakokat a tételbe és endezve az egenletet: S : δ E + S : ( δ E ) + S : ( δ E ) dv = [ n+ n n n+ n+ n+ ] V = g δ u dv + t δu ds S : δe dv ( n) n+ n+ n n V t S V Feltételezve hog ismejük a t = tn időponthoz tatozó megoldásokat ez az egenlet csak két ismeetlent ( Sn+ és ( δ E n + ) ) tatalmaz (megjegezzük hog esetleges dinamikus hatások esetén eg hamadik ismeetlent is figelembe kell venni hiszen g n+ elemei ilenko b + b n -től függnek ahol a növekméni tag n+ ismeetlen) A második Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzo növekméne az anagmodellek által meghatáozott (általában nemlineáis) módon függ az alakváltozásoktól (D az anagi meevség tenzoa most a nemlineaitás miatt az alakváltozás-tenzo függvéne): En+ n+ D(E): de En S = ahol Sn+ a En+ = En+ En nemlineáis függvéne n n 8 A g vekto feletti csillag aa utal hog szükség esetén az esetleges dinamikai tehet ennél az elemnél kell figelembe venni 6

124 Felhívjuk a figelmet hog itt temészetesen még csak E n az ismet menniség E n+ az ismeetlen u n+ nemlineáis függvéne (emlékeztetőül hivatkozunk a Geen-Lagange-tenzo definíciójáa lásd a második előadást) Íg S n+ maga is u n+ nemlineáis függvén lesz (még akko is ha D maga nem függne esetleg E- től) Mindezeket figelembe véve végeedménben a vituális elmozdulások tételének előbb felít egenlete az ismeetlen u n+ elmozdulás-növekmén nemlineáis függvéne lesz Ennek a változónak iteációs meghatáozásáa például alkalmazható Newton eljáása A módsze elvét a következő ába szemlélteti egváltozós függvén esetée (a mechanikai modell lehet például eg nemlineáis viselkedésű húzott úd) Az iteáció alapelve: u m + ( m+ ) () n+ = un+ + i= u ( i) n+ 86 ába: Az algoitmus észletei Megjegezzük hog az ábán R-el jelölt tagokat eziduum-nak (maadékvekto hibavekto) nevezzük Többváltozós endszee alkalmazva a Newton-eljáást: Az ismeetlen m+ ( m+ ) () ( i) ( m+ ) ( m) + = u n+ + u n+ u n+ = u n+ + i= ( + ) m n+ ( m+ ) u n illetve u n+ u számításáa ismét felhasználjuk a vituális elmozdulások tételét Az előző alkalmazásban szeeplő S n+ : δ ( En+ ) tagot a lineaizálás édekében elhagjuk íg az új egenlet az új változókkal: 6 4

125 Az itteni S : δ E + S : ( δ E ) dv = g δ u dv + ( m + ) ( m + ) ( m ) ( m + ) n+ n+ n+ n+ n+ V V ( + ) m n+ + t δu ds S : δe dv St S tag az ( n) ( m) ( m) n+ n+ n+ V ( m+ ) En + D(E) : de kifejezés ( m) En + ( m) ( m) ( m+ ) ( m+ ) változatából számítható (itt E n+ = E( u n+ ) és En+ = E( u n+ ) ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S m + D m : E m + = ahol D m = D( E m ) és u ( m) n+ n+ n+ n+ n+ n+ -hez tatozó lineaizált ( m+ ) ( m+ ) ( m) ( m) ( m+ ) ( m) E = E( u ) E( u ) = E( u + u ) E( u ) n + n+ n+ n+ n+ n+ A Geen-Lagange-tenzo definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egenletekben ( m+ ) ( + ) szeeplő ( δe ) alakváltozást u m -nek a vituális elmozdulások tétele n+ segítségével töténő meghatáozása után ( m+ ) n+ n+ u is számítható majd ezt követően ( m+ ) n+ E számítása következik végül a feszültségtenzot módosítjuk: ( m+ ) En + ( m+ ) () () ( Sn ) () ( Sn ) n+ = n+ + ( : d ahol n+ = n n+ = n S S D E) E E E S S () En + Megjegezzük hog a feszültségmódosítás integál-kifejezését szokás tapézszabállal közelíteni: ( m+ ) En + () ( m+ ) ( m+ ) () () () ( m+ ) ( m+ ) D( E) : de ( Dn + Dn )( : En En ) D ( ) ( ) n+ = D En+ Dn+ = D En+ () En + A vituális eők tétele 9 Fontos különbség az előző tételhez képest hog a vituális eők tétele csak kis elmozdulások esetén alkalmazható (az anagmodellek temészetesen tetszőlegesek lehetnek) Ezét most nem íjuk fel újból az előadás elején az ismétlés pontban megadott tételt de eg példában kitéünk eg lehetséges alkalmazásáa 8 Példa Vizsgáljuk meg az ábán látható belső nomással tehelt vastag falú henget és hatáozzuk meg annak a belső nomásnak az étékét amelnek hatásáa ismet étékű sugáiánú eltolódás jön léte Az ába eg teljesen általános tehelést mutat jelen példában azonban csak a belső nomás hatását vizsgáljuk 9 A vituális eők tételét előszö a kiváló fancia ménök és fizikus Benoit Paul Emile Clapeon ( ) fogalmazta meg Clapeon évtizedeken keesztül volt Gabiel Lamé baátja és munkatása nagon sok ménöki feladaton dolgoztak közösen Lamé híes sziládságtani könvében ( Lecons su la Théoie Mathámatique de l Élasticité des Cops Solides Páizs 85 ) közli Clapeon levezetéseit megjegezve hog a módszet Clapeon jóval koábban dolgozta ki de ez a tétel első publikációja 6 5

126 87 ába: Belső-külső nomással tehelt vastagfalú cső Íjuk fel hengekoodináta-endszeben a vituális eők tételét: ( δσε +δσϑεϑ +δσ zε z +δτϑγ ϑ +δτϑ zγϑ z +δτ z γ z ) dv + V + ( δ g u +δ g u +δ g u ) dv+ ( δ p u +δ p u +δ p u ) da= V ϑ ϑ z z ϑ ϑ z z Ae Jelen esetben u = γ = ε = γ = ε = γ = ε = ϑ ϑ ϑ ϑ z ϑ z z z illetve σϑ = σϑ z = és σ z = Mivel a példában σ = íg σ vagis síkbeli szimmetikus feszültségállapotot z = kell vizsgálnunk Jelöljük u - t u -val és íjuk fel újból a vituális eők tételének egszeűsödött alakját: ( δσ ε +δσ ε ) dv+ δ pu da= ϑ ϑ V Ae Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata: ε = ( σ νσϑ) εϑ= ( νσ + σϑ) E E Behelettesítve ezeket a vituális eők tételébe: δσ ( σ νσ ϑ) +δσϑ ( νσ +σ ϑ) dv + δ p u da= E E V Az utolsó tagban u a megoszló tehe iánában létejövő elmozdulást jelenti A feszültségek és a belső nomás kapcsolatát ugalmasságtani megoldások alapján (lásd pl Bezuhov: Bevezetés a ugalmasságtanba és képlékenségtanba c könvét vag Handbook of the solutions of elasticit c munkát) íhatjuk fel: a a pb + pb σ σ = = ϑ a a i i A vituális feszültségek és a vituális tehelés ennek megfelelően: Ae 6 6

127 a a δ pb + δpb δσ = δσ p p ϑ= δ =δ b a a i i Figelembe véve hog dv= πh d és Ae = iπh majd minden eges tagot behelettesítve a vituális eők tételébe eedménül kapjuk az alábbi egenletet: i a ( ν ) + ( +ν) p bδ pb + uδ pb = E a i i Elosztva δpb -vel kifejezhetjük a keesett belső nomást az előít elmozdulás függvénében: a i E pb = i a ν+ ( +ν) i Az idegen munkák tétele Vizsgáljunk meg két különböző nem összetatozó ( idegen ) valódi eőendszet kis elmozdulásokkal és alakváltozásokkal valamint lineáisan ugalmas anagi viselkedéssel Az eges munkák számításánál most koncentált dinámok hatását is figelembe vesszük Az első endsze elemeit eges a másikét kettes indeszel jelöljük - f g q σ ε = D σ u (88) f e - g q σ ε = D σ u e (89) Számítsuk ki előszö az első halmaz általánosított eőinek a második halmaz általánosított elmozdulás endszeén végzett idegen munkáját majd uganezt végezzük el fodítva: a második endsze adja az általánosított eőket az első pedig az általánosított elmozdulásokat: W K = f e+ q u da+ g u dv W B = σ ε dv (8) A V W K = f e+ q u da+ g u dv W B = σ ε dv (8) A V A vituális elmozdulások tételét mindkét esetben figelembe véve: W W = W + W (8) Íjuk fel most észletesen K + B K B= W B étékét: - - σ ε dv= ε σ dv = ( D σ ) σ dv = σ D σ dv = W B = 6 7 u V V V V = σ ε dv = W B (8) V Ebből az egenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést íhatunk fel: W K = W K (84)

128 A mechanikában ezt az egenlőséget Betti -tételnek vag más néven külső idegen munkák egenlőségének hívják Az itt használt gondolatmenettel összesen tétel fogalmazható meg: a/ Vituális munkatétel alapján: W = W W = W W = W (85) K B B B K K b/ Vituális kiegészítő munkatétel alapján: W % =-W % W % B= W % B W % K= W % (86) K K B c/ Veges tételek alapján: W = W% W % =-W W = W% W% = W (87) B B K B K K K K Mindháom csopotban vastaggal kiemeltünk eg tételt ( a / b / c /) ezekkel gakolati fontosságuk miatt külön foglalkozunk Felcseélhetőségi tételek Az alábbi háom tételnél feltételezzük hog g és q zéus a/ Külső elmozdulások felcseélhetősége (Mawell -féle felcseélhetőségi tétel): Az alkalmazott két eőendsze mindegikét alkossa egetlen eg egségdinám (eő vag nomaték): F = és F = Felhasználva a b/ alatti tételt és behelettesítve ezt az eőendszet: W% = W% e F = e F e =e (88) K - B A tételben szeeplő változónál az első inde a helet a második inde az okot jelöli lásd az alábbi ábát: 88 ába: Mawell tétele A tételt elsősoban elmozdulási hatásábák készítésée használják b/ Belső eők felcseélhetősége (Kossalka -féle első felcseélhetőségi tétel): A tételt statikailag hatáozatlan tatóknál alkalmazzák igénbevételek számításáa Az alkalmazott elmozdulások legenek egségni étékűek W = W Mϑ = S u S =M (89) B B A tétel magaázatához ad segítséget az alábbi ába: Enico Betti (8-89) kiváló olasz matematikus James Clek Mawell (8 879) skót matematikus és fizikus a legnagobb tudósok egike Sokat foglalkozott mechanikai témájú feladatokkal is Kossalka János (87 944) kiváló maga hídépítő ménök Ő tevezte például az Ápád-hidat is 6 8

129 89ába: Kossalka első tétele c/ Belső eő és külső elmozdulás felcseélhetősége (Kossalka-féle második felcseélhetőségi tétel): Az első endszeben az alkalmazott elmozdulás a másodikban pedig az alkalmazott eő legen egségni: W% = W S u = e f S =e (8) K B A tétel magaázatához lásd az alábbi ábát: 8 ába: Kossalka második tétele A tételt igénbevételi hatásába kinematikus módon töténő készítéséhez használják hiszen ilenko az igénbevételi hatásába eg adott keesztmetszetben az igénbevételnek megfelelő egségni elatív elmozdulásból számazó lehajlási ába lesz Elmozdulási hatásábák Eg tatószekezet valamel K pontjának η K ( C ) elmozdulási hatásábáját a tatón végigmenő függőleges egségeő hatásából úg számítjuk hog a K ponton a C elmozdulásnak megfelelő Q = tehet (eőt eő-pát nomatékot nomaték-pát) működtetünk és meghatáozzuk a tatón végigmenő egségeő támadáspontjainak függőleges eltolódási ábáját (lásd a Mawell-féle felcseélhetőségi tételt) Ez a függőleges eltolódási ába megadja a keesett elmozdulási hatásábát 6 9

130 8 ába: Vituális dinámok felvétele elmozdulási hatásábákhoz 84 Példa Hatáozzuk meg a tató C csuklóba befutó udak végeinek nagított elatív elfodulási hatásábáját: Megoldás: A elatív elfodulási hatásába számításához a C csuklóban elhelezett egségni nomatékpából keletkező függőleges eltolódási ábát kell kiszámítanunk Ezt a nomatékábát és a ingaudakban keletkező údeőket a lenti ábán má megajzoltuk A hajlítási meevség az egész tatón állandó az ineciasugá négzete 6 8 ába: Elfodulási hatásába számításának első lépése A függőleges eltolódási ábát úg fogjuk meghatáozni hog előszö kiszámítjuk a jelű pont abszolút mozgásait (függőleges eltolódását és abszolút elfodulását) ezt követően meghatáozzuk a C csuklónál keletkező elatív elfodulást és végül ezek ismeetében az összes többi pont függőleges eltolódását 6

131 A ϑ C elatív elfodulás meghatáozásához az egségni nomaték-pából kapott igénbevételeket kell önmagukkal integálni hiszen ilenko a vituális hatást ugancsak eg egségni nomaték-páal kell megadnunk Megjegezzük hog az ineciasugá négzetée azét van szükségünk hog az ingaudakban keletkező nomáleők hatását is uganúg EI nagítással tudjuk figelembe venni (mivel a ugalmassági modulus uganakkoa a geendánál és az ingaudaknál annak hatása a I nagításnál kiejthető az A négzete) 6 ϑ = hánados pedig nem más mint az ineciasugá ( ) C = 688 knm A -as pont nagított függőleges eltolódásának számításához a pontba függőleges egségeőt iktatunk majd az ebből kapott igénbevételeket integáljuk az egségni nomaték-pából kapott hatásokkal: 8 ába: Függőleges eltolódás számítása 6 e = + 6 ( ) = 5kNm 6 6 A -as pont nagított abszolút elfodulásának meghatáozásához a pontba egségni nomatékot helezünk: 84 ába: Elfodulás számítása ϕ = + ( + ) + ( + ) ( + ) ϕ = knm 55 6

132 A többi pont eltolódásának meghatáozása: e = = 756( ) e = 5+ 5 = 5 8( ) e4 = = 5 8( ) e 5 = = 6( ) 4 e 6 = = 4( ) 4 e 7 = = 8( ) 4 e 8 = = 49( ) 4 A elatív elfodulási hatásába alakja: 85 Az elfodulási hatásába Felhasznált iodalom: / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G : Sziládságtan Egetemi Tankönv / Fung: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Bezuhov N I : Bevezetés a ugalmasságtanba és a képlékenségtanba Tankönvkiadó 95 4/ Mang H Hofstette G : Festigkeitslehe Spinge 5/ Holzapfel G A : Nonlinea solid mechanics Wile 6

133 9 Előadás: Enegiatételek A különböző mechanikai feladatok vizsgálatánál a méleg- illetve egenlőtlenség fomájában megfogalmazott alapvető egenletek (tömeg- enegia- impulzus- és impulzusmomentummegmaadás entópia-változási feltétel) mellett a megoldáshoz nagon gakan használnak vaiációs elveket Ezeket vag otogonalitási vag stacionaitási 4 feltételként fogalmazzák meg Ebben az előadásban a stacionaitási feltételek köébe soolható enegiatételekkel foglalkozunk Megjegezzük hog a mechanika isme a most bemutatott változatoknál lénegesen általánosabb vaiációs elveket is (ilen pl az Onsage 5 -elv ami a statisztikus mechanikában a Gamati 6 -elv amel az ievezibilis folamatok temodinamikájában használatos) de ezeket mi itt nem tágaljuk A témakö átfogó ismetetése illetve az eges észletek mélebb megismeése után édeklődőknek maga alatti jegzetét ajánljuk angol nelven Vehás [ ] alatti könvét illetve Kuutzné [ ] nelven pedig az [ 5 ] illetve a [ ] szempontból 8 soszámmal hivatkozott művek hasznosak ebből a A továbbiakban elsősoban a ugalmas anagú endszeek (szekezetek közegek) viselkedését leíó klasszikus vaiációs elvekkel foglalkozunk a nem ugalmas (képléken) anagú szekezetek modellezésének kédését csak az előadás végén éintjük nagon öviden Az általunk vizsgált feladatok köében az otogonalitási feltétel két függvénté adott tatománon számított szozatintegáljának zéusétékűségét jelenti Ezt a feltételt használtuk az előző fejezet vituális munkatételeinek levezetéseko Megjegezzük hog szokás az otogonalitási feltételendszet diekt vaiációs módszenek is nevezni 4 A stacionaitási feltétel a vizsgált fizikai endsze lokális vag globális szélsőétékének meghatáozásáa vonatkozó matematikai összefüggéseket szolgáltatja A mi feladatainknál ezek általában függvének szozatának integáljaia vonatkozó megállapításokat jelentenek A stacionaitási feltételeket szokás invez vaiációs módszenek is nevezni 5 Las Onsage ( 9 976) novég számazású ameikai vegész illetve fizikus 6 Gamati István (99 ) kiváló maga fizikus a temodinamika nemzetközileg elismet kutatója 6

134 A mechanikában használatos feltételendszenek megfelelően a legáltalánosabb úgnevezett veges vaiációs elvek köében háom mezőváltozó függvén 7 alkalmazható: az elmozdulások ( ui u u ) az alakváltozások ( ε i j ε ε ) és a feszültségek ( σ i j σ σ ) Ha ezeket a vaiációs elvek funkcionáljában egmással vaiáljuk akko a következő változatokhoz jutunk: Típus Mezőváltozók A vaiációs elv neve / Egváltozós Elmozdulások Teljes potenciális enegia / Egváltozós Feszültségek Teljes kiegészítő potenciális enegia / Egváltozós Alakváltozások Nincs elfogadott elnevezése 4/ Kétváltozós Elmozdulások és Hellinge-Reissne-elv 8 feszültségek 5/ Kétváltozós Elmozdulások és Nincs elfogadott elnevezése alakváltozások 6/ Kétváltozós Alakváltozások és Nincs elfogadott elnevezése feszültségek 7/ Háomváltozós Elmozdulások Veubeke-Hu-Washizu-elv 9 feszültségek és alakváltozások Megjegezzük hog a fenti táblázatban felsoolt hétféle elv közül numeikus számítások céljáa az elmúlt minteg hatvan évben összesen nég vált be azok közül is kiemelkedik gakolati használhatóságával a potenciális enegia minimumtétele Nem véletlen hog az eddig tanult numeikus technikáink jelentős észe ee épült 7 Az egszeűség kedvéét itt a kis geometiai változásoknál szokásos feszültség- és alakváltozásszimbólumokat használjuk de a későbbiekben bemutatunk nag alakváltozások esetén használatos vaiációs elvet is 8 Az elv alapvető ötlete Enst David Hellinge (88 95) német matematikustól számazik Kapcsolódó publikációja: Die allgemeine Ansätze de Mechanik de Kontinua Encklopedia de Mathematischen Wissenschaften Vol 4 ed F Klein C Mülle Teubne Velag Leipzig 94 Ménöki feladatoka töténő első alkalmazása Geog Pange (885 94) német matematikusnál olvasható: De Vaiations- und Minimalpinzipe de Statik de Baukonstuktionen Habilitationsschift Techn Univ Hanove 96 Az elv általánosítását és a mechanikai peemfeltételekkel való pontos kapcsolatendsze tisztázását Eic Reissne (9-996) német számazású ameikai kutató végezte el: On vaiational theoem in elasticit Jounal of Mathematics and Phsics Vol 9 pp A kínai Hu Haichang (98 ) munkája: On some vaiational pinciples in the theo of elasticit and the theo of plasticit Sci Sinica Vol 4 pp -54 Peking 954 A japán Kuichio Washizu (9 98) cikke: On the vaiational pinciples of elasticit and plasticit Aeoelastic and Stuctues Reseach Laboato Technical Repot 5-8 Massachusetts Institute of Technolog Cambidge Mach 955 Kevésbé ismet hog Baudouin M Faeijs de Veubeke (97-976) belga kutató nég évvel koábban má bemutatta uganezt az elvet Cikke: Diffusion des inconnues hpestatiques dans les voilues à longeon couplés Bull Sev Technique de L'Aéonautique No 4 Impimeíe Macel Haez Buelles pp

135 A továbbiakban a mechanikai alapegenletekhez kapcsolódó enegiaelvek bemutatásako - előszö azt vizsgáljuk hog hogan lehet az alapegenletek segítségével eg általános vaiációs elvet előállítani (ennek technikáját a BSc tanulmánokból má ismet potenciális enegia függvénen illusztáljuk) - ezt követően a többféle lehetséges elv közül a legáltalánosabb a Veubeke-Hu- Washizu-funkcionált mutatjuk be (megjegezzük hog a másik - gakolatilag fontos többváltozós elvet a Hellinge-Reissne-funkcionált a numeikus technikáknál elemezzük észletesen lásd a Bojtá-Gáspá: A végeselemmódsze matematikai alapjai című jegzetet) majd - hamadik lépésként a gakolati feladatok vizsgálatához leginkább szükséges egszeűsített változatokat (potenciális enegia kiegészítő potenciális enegia) tágaljuk Különböző vaiációs elvekhez tatozó funkcionálok felépítésének általános és alapvető lépései Ebben a pontban a vaiációs elvek felépítésének általános szempontjait foglaljuk össze Az általános algoitmushoz illusztációként azt a vaiációs elvet fogjuk használni amelet (másféle felépítési technikával létehozva) má ismeünk: a teljes potenciális enegia függvénének felépítése segítségével magaázzuk el a többváltozós elvek létehozásának módját A ugalmasságtan a jelen esetben használt feltételendszeel egező módon felít alapvető összefüggéseit a 9 ábán vázoltuk Az ismet tömegeők valamint az előít elmozdulások és tehek b uˆ t ˆ függvéneiből kell az öt daab mezőegenlet felhasználásával az elmozdulások alakváltozások és feszültségek u ε σ függvéneit meghatáoznunk Megjegezzük hog az ebben a pontban bemutatott elemzést a Végeselemmódsze matematikai alapjai c tág -ik fejezetében is ismetetjük mivel a veges vaiációs elvek technikájának bemutatásako ismétlését szükségesnek tatottuk Az egszeűség kedvéét itt és a továbbiakban a koábban használatos ρ b jelölés helett a b szimbólumot fogjuk használni vagis a sűűségfüggvén és az egségni tömege vonatkozó tömegeő helett azok szozataként az egségni téfogata vonatkozó eőt alkalmazzuk Dimenzió: kg / m kn / kg = kn / m ( ) ( ) ( ) 6 5

136 9ába A ugalmasságtan alapegenletei kis alakváltozások esetén / Első lépésként az ismeetlen mechanikai mezőváltozók u elmozdulás ε alakváltozás σ feszültség i i j i j közül kell kiválasztani annit amennit alapvető vaiálandó paaméteként használni kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha főleg az elméleti végeselemes iodalomban alap -változóknak is hívni ellentétben a többi másodlagos ( segéd számaztatott stb) függvénnel) A kiválasztott alap-változók számától függően lesz eg- két- vag háommezős a vaiációs elv Fontos megjegeznünk hog az ismet adatnak tekintett függvének (tömeg- felületi- vonalmenti- és koncentált tehek valamint peemfeltételi adatok) soha nem lehetnek vaiálandó menniségek (ezeket egszeűen adat -mezőknek nevezik) / Lépés: Az alapváltozó(k)ból az ún eős kapcsolati egenletekkel előállítjuk a másodlagos változókat Ha eg alapváltozóa peemfeltételt is előítunk akko azt a feltételt tekinthetjük eősnek vag gengének Az eős peemfeltétel elnevezést akko használjuk amiko az alapváltozót csak azon függvének halmazából választjuk amelek teljesítik ezeket a peemfeltételeket Ha eg másodlagos változót két alapváltozóból is előállítunk (vag két összekapcsolódó alapváltozó esetén az egikből számíthatjuk a másikat azt másodlagosnak tekintve) akko azoknak elvileg meg kellene egezniük Az ezt kimondó egenletet valamint az eddig ki nem elégített egenleteket genge egenleteknek tekintjük és ezeket csak átlagos ételemben teljesítjük Az átlagos ételemben való teljesülés egébként azt jelenti hog minden a tatománon felvett legalább szakaszonként diffeenciálható függvéne (az ún Lagange-szozók függvéneie) legenek ezek a kifejezések otogonálisak / Lépés: A Lagange-szozók célszeű megválasztásával és megfelelő átalakítások után megkapjuk a keesett funkcionál első vaiációjának zéus voltát (vagis a keesett funkcionál stacionaitását) előíó δπ= egenletet (többváltozós esetben egenleteket) Ebből előállítható maga a funkcionál is Néha használatos a mesteváltozó elnevezés is eges ábákon mi is ezt alkalmaztuk Emlékeztetőül: A Lagange-szozók alkalmazásának módszee észe a BSc-ménökhallgatók matematikai alapképzésének lásd a Thomas-féle Kalkulus III kötetének - oldalakon található tananagot Megjegezzük hog a Lagange-szozós technikát vaiációs elvek kidolgozásáa elsőként Kut Otto Fiedichs német matematikus (9-98) alkalmazta ő egébként két másik kiváló német matematikus David Hilbet (86-94) és Richad Couant (888-97) tanítvána volt 6 6

137 4/ Lépés: A kész vaiációs elv numeikus eedméneket adó közelítő (például végeselemes) számítási technikájának kidolgozása a megfelelő bázisfüggvének elemek stb felvételével Ez má a számítások technikai észéhez tatozó feladat A fenti lépéseket alkalmazzuk illusztálásul a teljes potenciális enegia funkcionáljának előállításáa Ebben az esetben az eges változók közötti koábbi tanulmánaink alapján minden észletében ismetnek tekinthető kapcsolati hálózatot mutatja be a következő ába: 9 ába A potenciális enegia függvénének számaztatása kis alakváltozások esetén A kiválasztott alapváltozó most az u i elmozdulásmező Megjegezzük hog az egész S felület két tatomán összege: az S u észen előít elmozdulásokat az S t felületen pedig előít eőket veszünk figelembe A második lépésben az elmozdulási peemfeltételek alapján a megengedett elmozdulásmezők tatománát szűkítjük majd az eős geometiai és anagegenletekkel a alapváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és feszültségeket (ebben az illusztáló bemutatásban kizáólag indees jelölésekkel dolgozunk): u u u ε = u + u ( V n) σ = D ε ( V n) (9) ( ) ij i j j i ij i j k l kl Most genge kapcsolati egenlet lesz az egensúli egenlet és a statikai peemfeltétel (ezeket jelöltük az előbbi ábán szaggatott kapcsolati vonallal) Ezek Lagange-szozós alakja (az első egenlet az egensúl a másik a peemfeltétel megfogalmazása): u u ( σ i j j+ bi) λ i dv = ( σ ) V ˆ ijn j ti λids= (9) S t 6 7

138 A hamadik lépésben alkalmazzuk előszö a Gauss-tételt a téfogati integál átalakításáa a 9 alatti első egenlet bal oldalának első tagjánál (a képletben szeeplő n j a felületi nomálisvektot jelöli) továbbá felhasználjuk a Függelék (F76) alatti hamadik egenletét: u u u σ λ dv = σ λ dv + σ n λ ds (9) i j j i i j i j i j j i V V S A feszültségtenzo szimmetikus jellegét felhasználva ez az egenlőség tovább módosítható: u u u σi j jλ i dv = σi j ( λ i j+λ j i) dv + σi jn jλi ds (94) V V S A kifejezés további átalakításához a vaiálás bevezetéséhez a jobb oldal első tagjának a geometiai egenletekhez való hasonlóságát kell felhasználni 4 vagis legen a továbbiakban λi δ ui (95) Ez a lépés azt jelenti hog a Lagange-szozót az elmozdulásmező (első) vaiációjának tekintjük Helettesítsük be ezt a (94) alatti egenletbe 5 : u u u u σ δ u dv = σ δε dv + σ n δu ds (96) i j j i i j i j i j j i V V S A 96 alatti egenlet utolsó tagjában a felületi integált bontsuk két észe ( S u és S t ) Az S u észen azonban az elmozdulás-függvén vaiációja ( δ u i ) zéus íg ez a tag csak az észen integált taga szűkíthető: σ u u n δ u ds = σ n δu ds (97) S i j j i i j j i St Ez a kifejezés azonban a (9) alatti második egenlet két taga bontása segítségével a következőképpen is felíható: σ u n δ u ds = tˆ δu ds (98) St i j j i i i St Követve a ( 98) ( 97) ( 96 ) (9) ( 9a) visszahelettesítéseket megkapjuk a teljes potenciális enegia első vaációjának zéus voltát előíó egenlet 6 : u u δπ u = σ δε dv b δu dv t δ u ds= ( ) ˆ (99) TPE i j i j i i i i V V St Megjegezzük hog itt az első integál alatt a felső indeek azt mutatják hog a feszültség és az alakváltozás is az elmozdulás-függvéntől függ Az első vaiációs alakból most má egszeűen előállítható maga a teljes potenciális enegia funkcionálja: u u Π ( u) ˆ TPE = σi jεi jdv bi ui dv ti ui ds (9) V V St Az első tagnál észletezzük a vaiációs illetve a teljes alak közötti kapcsolatot: S t 4 Hasonló a posteioi módosítás nélkül általában csak jóval nehézkesebben lehet gakolatilag használható vaiációs alakhoz jutni Ezt maga Faeijs de Veubeke ennek a levezetéstípusnak első mechanikai alkalmazója is íg vélte 5 Az új alaknál kihasználtuk az alakváltozások és elmozdulások közötti eős kapcsolati egenletet ennek vaiációjaként született a jobb oldal első tagjánál feltüntetett alakváltozás-komponens u u vaiáció: ε i j = ( ui j+ u j i) δε i j = ( δ ui j+δ u j i) 6 Megemlítjük (99)-nek a nolcadik fejezetben lévő (85)-ös képlettel való hasonlóságát 6 8

139 u u u u u u δ σi jε i jdv = i j i j i j i j V δσ ε dv + V σ δε dv = V u u u u u u u u u u δεkl Dklijε i jdv + σi jδε i jdv = δεklσ kldv + σi jδε i jdv = σi jδεi jdv V V V V V Az átalakításnál felhasználtuk a Dijkl= Dklij szimmetiafeltételt (9) A vaiációs alak megfogalmazása után következhet a negedik lépés a numeikus vizsgálatok technikájának kidolgozása Ee most az illusztáló példa esetében temészetesen nem téünk ki hiszen ez má a végeselemes technika feladata Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál nag alakváltozások esetén A munkatételekhez hasonlóan az enegiaelvű vaiációs megfogalmazásokat is fel lehet íni nag alakváltozások segítségével Nem észletezzük az előállítás előbb bemutatott lépéseit csak a végeedmént közöljük Megjegezzük hog az itt bemutatott összefüggéseket is temészetesen elsősoban a numeikus számításoknál (a többmezős jellege való tekintettel az úgnevezett veges ( mied ) végeselemes technikában) használják A Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál (továbbiakban VHW-funkcionál) vaiációs alakja (Euleendszehez tatozó változókat használva) a következő: _ δπ VH W ( v D σ) = δ D : σ( D) dv + δ ( σ : ( D( v) D)) dv V V δv b dv δv tˆ ds+ δv ρv& dv = (9) V St V A második so első két tagja a külső az utolsó (hamadik) tag pedig a kinetikus teljesítmént jelöli A VHW-funkcionál háom mezőváltozót használ: a sebességet ( v ( X t) ) a defomációsebesség-tenzot ( D ( X t) ) és a nag alakváltozásokhoz tatozó Cauchfeszültségtenzot ( σ( X t ) ) A két utóbbi komponensnél a felülvonás azt jelzi hog ezeket a sebességmezőtől független appoimációként kezeljük Ennek megfelelően tehát a felülvonás nélküli D a kinematikai egenletekből számítható defomációsebesség-tenzot jelöli (megkülönböztetésül D -től) a felülvonás nélküli feszültségtenzo ( σ (D) ) pedig az anagmodell egenleteken keesztül az appoimált alakváltozás-sebességektől függ A funkcionált gakan használják másféle feszültség- és alakváltozás-tenzookkal továbbá a vituális teljesítmének helett a vituális munkáka vonatkozó alakot is alkalmazhatjuk (Lagange-bázist használunk a következő képletnél az eltolódásfüggvén mellett a felülvonással jelölt első Piola-Kichhoff-féle feszültségtenzot illetve az ugancsak felülvonással jelölt defomációgadiens-tenzot használva független változónak): δπ VH W = ( ufp) = δ F : P(F) dv+ δ P : ( F( u) F) dv δ WK +δwkin = (9) V V A funkcionálban a defomáció-gadiens tenzot valamint az első Piola-Kichhoff feszültségtenzot használtuk az elmozdulásmező mellett független változóként (a felülvonás szimbólumok jelentése hasonló az előbb említettekéhez) A külső és a kinetikus vituális munkát most csak tömö alakban szimbolikusan jelöltünk 6 9

140 Az alakváltozás- és feszültségjellemzők megváltoztatásával bemutatunk eg hamadik használatos alakot is (csak a belső vituális enegiáa vonatkozó tagot íjuk fel): δπ B = δ E:S( E) dv + δ S: ( E( u) E) dv (94) V V Ebben a változatban a Geen-Lagange alakváltozástenzot és a második Piola-Kichhoff feszültségtenzot használtuk (az elmozdulásmező mellett) független változónak Az általános elvek illusztáló jellegű bemutatása után szűkítsük az alkalmazási teületeket statikai feladatoka és konzevatív endszeeke (egelőe a nag alakváltozások köében) Ilenko a Geen-Lagange-alakváltozástenzot eg potenciálfüggvénbe beépítve szeepeltethetjük a belső hatásoknál 7 : Π ( use) = W ( E) dv + S : ( E E) dv W VH W K (95) V V A következő (hamadik) lépésben további egszeűsítések után eljutunk a gakolatban sűűbben használt kis alakváltozásokkal opeáló enegiaelvekhez A VHW-funkcionál egszeűsített változatai kis alakváltozású kvázistatikus konzevatív tehelésű szekezeteknél Ebben az esetben a (9)-nek illetve(9)-nak megfelelő szokásos alak ( S u S t = S figelembevételével) 8 : Π ( uσε) = W ( ε) dv+ σ: ( ε-ε) dv g u dv tˆ u ds VHW (96) V V V St A (95) alatti ΠVHW -ben a független változó íg szabadon vaiálható u σ ε A stacionaitási feltétellel meghatáozott úgnevezett genge megoldásnál a funkcionálnak neegpontja van Ténleges számítási céloka a VHW-funkcionált viszonlag itkán inkább csak kutatási feladatokban alkalmazzák Numeikus alkalmazásáa a Végeselemmódsze matematikai alapjai c tágban mutatunk be példákat Megjegezzük hog uganott tágaljuk a többmezős funkcionálok eg másik jelen előadás bevezetésében má említett de tejedelmi okokból most nem észletezett kétváltozós modelljét a Hellinge-Reissne-funkcionált is A mindennapi ménöki munkában a VHW-funkcionál eedeti változatánál fontosabb és gakolati feladatok megoldásáa is kiválóan használható a belőle számaztatható két speciális változat a teljes potenciális enegia illetve a kiegészítő potenciális enegia funkcionálja A kompatibilitási és az elmozdulási peemfeltételi egenleteket kielégítő foltonos elmozdulásmezők halmazán a W ( ε) dv tˆ u ds g u dv (97) V St V teljes potenciális enegiának minimuma az (előít elmozdulásokkal kiegészített) 7 A W szimbólum itt a belső alakváltozási enegiát jelöli az ötös és hetes fejezetekben használt szimbólumokhoz illeszkedve Mivel a BSc Sziládságtanban W-t alapvetően a munka definícióa használtuk ennek a változónak a pontos ételmezése is csak a szövegkönezet alapján dönthető el 8 Ezekben az enegiafüggvénekben a tömegeők vektoánál mint ahog azt a hetedik fejezet második felében is tettük b helett áttéünk a BSc Sziládságtanban szokásosan használt g szimbóluma továbbá az ott megszokott módon a munkát jelöljük W-vel D az anagi meevségi mátiot jelenti 6 4

141 W% ( σ) dv + u% t ds+ u% g dv (98) V Su V negatív kiegészítő potenciális enegiának az egensúli és eakció-eloszlási egenleteket kielégítő egensúli mezők felett pedig maimuma van A fentieket jól szemlélteti a neegpont geometiai fomája is W % ( σ) a fajlagos belső kiegészítő potenciális enegiát jelöli Temészetesen mindkét esetben feltétel a fizikai egenletek teljesülése A továbbiakban: - az anagot lineáisan ugalmasnak tekintjük (a kivételeket külön jelezzük) és - nem foglalkozunk dinamikai hatásokkal A BSc Sziládságtanban tanultaka hivatkozva ismételjük át a számunka fontos enegiafüggvéneket: A/ A potenciális enegia Külső potenciál: a vizsgált teste ható külső eők potenciális enegiája Csak konzevatív (kizáólag a heltől függő enegiafüggvénnel endelkező) eőknek lehet külső potenciális enegiája A külső potenciális enegia a külső munka ellentettje: Π = W = f e tˆ u ds g u dv K K (99) St Belső potenciál: a testben keletkező alakváltozások potenciális enegiája A feszültségeknek az alakváltozásokon végzett belső munkája ellentettjeként számítjuk 6 4 V Π : : ε D ε B = WB = dv (9) V Teljes potenciál: a külső és a belső potenciál összege Π =Π + (9) K Π B B/ A potenciális enegia állandóétékűségének tétele A potenciális enegia állandóétékűségének tétele azt mondja ki hog eg lineáisan ugalmas test geometiailag lehetséges általánosított elmozdulás-alakváltozás-endszeei közül az a ténleges vagis a test egensúli helzetének megfelelő endsze amelnél a teljes potenciális enegiája állandó étékű más szóval stacionáius A tétel a ugalmas test egensúlát fejezi ki ˆ Π= f e t u ds g u dv+ ε: D: ε dv= stacionáius! (9) St V V Stabilis egensúli állapotban lévő szekezetek esetén a potenciális enegiáa vonatkozó fenti tételt a potenciális enegia minimumtétele néven használjuk: Lineáisan ugalmas anagú testek esetén az összes geometiailag lehetséges elmozdulás/alakváltozás-endsze közül az a ténleges vagis a test stabilis egensúli helzetének is megfelelő endsze amelnél a teljes potenciális enegiának minimuma van C/ A potenciális enegia és állandóétékűségi tételének alkalmazásai

142 A potenciális enegiát mindig a geometiailag lehetséges elmozdulás-endszeek függvénében íjuk fel tehát mindig anni változós függvén mint amenni a test elmozdulási szabadságfoka Rugalmas testekből álló szekezetnél a megoldás közelítő függvénekkel töténik A tételt elsősoban statikailag hatáozatlan szekezetek vizsgálatáa használjuk Mivel a függvénben az általánosított elmozdulások az ismeetlenek ezt az eljáást az elmozdulás-módsze típusú megoldási technikákhoz sooljuk D/ A kiegészítő potenciális enegia Külső kiegészítő potenciál: a teste ható külső elmozdulások kiegészítő potenciális enegiája a külső kiegészítő munka ellentettje Csak elmozdulás jellegű tehekből számazhat: Π % = W% = e% f u% t ds u% g dv (9) K K Su Belső kiegészítő potenciál: a testben keletkező feszültségek kiegészítő potenciális enegiája a belső kiegészítő munka ellentettje A belső kiegészítő potenciál felíásánál felhasználjuk a lineáisan ugalmas anag viselkedését leíó általános Hooke-modellt ( ε= D : σ ): : : σ D Π % σ B= W% B= dv (94) V A teljes kiegészítő potenciál a külső és belső kiegészítő potenciálok összege: ~ ~ ~ Π =Π + (95) K Π B E/ A kiegészítő potenciális enegia minimumának tétele A kiegészítő potenciális enegia minimumának tétele szeint eg lineáisan ugalmas anagú test statikailag lehetséges eő-feszültség-endszeei közül az a ténleges vagis a test geometiailag lehetséges helzetének megfelelő endsze amelnél a teljes kiegészítő potenciális enegia minimális A tétel a ugalmas test kompatibilitási feltételét fejezi ki - Π= % e% f - u% q ds u% g dv+ σ : D : σ dv= min! (96) Su V V Rugalmas testek kiegészítő potenciális enegiafüggvéne véges számú feszültség (igénbevétel) függvénnel íható le A megoldás soán ezek a függvének általában ismeetlen egütthatójú polinomokkal közelíthetők A tételt a statikailag hatáozatlan szekezetek vizsgálatáa használjuk A kiegészítő potenciális enegiát a statikailag lehetséges eőendszeek függvénében kell felíni íg a kiegészítő potenciális enegia mindig anni változós függvén mint ahánszoosan statikailag hatáozatlan a szekezet Kiegészítő megjegzések a munka és enegiatételekhez: A továbbiakban bemutatunk néhán olan tételt amelek az enegiatételek további egszeűsítési lehetőségeit a mechanikai feladatoknál végehajtandó számítások sajátos köülméneit figelembe vevő modelljeit illusztálják A/ Clapeon 9 -munkatétel (saját munkák tétele): V 9 Benoit Paul Emile Clapeon ( ) fancia ménök és fizikus a temodinamika tudomána megalapítóinak egike 6 4

143 A vituális elmozdulások- és eők tételei az egensúli és kompatibilitási állapotot vizsgálják Az enegiaminimum-tételek is ezeket a helzeteket elemzik azzal a különbséggel hog míg a munkatételek vituális (illetve vituális kiegészítő) munkáka vonatkoznak addig az enegiatételek a szekezet ténleges állapotának enegiaszintjét adják meg a defomálatlan teheletlen állapothoz képest A Clapeon-féle munkatétel kis elmozdulásokat végző lineáisan ugalmas testek statikus tehelési folamat közben létejövő állapotváltozását vizsgálja Tételezzük fel például hog a tehek nagsága zéus étékől kiindulva fokozatosan éi el végleges étékét Az alábbi ábán bal oldalán eg p tehevekto i-edik elemének ( P i ) és a hozzá tatozó e i elmozdulás-komponensnek a kapcsolatát ábázoltuk míg jobb oldalon a belső saját munkával egenlővé tehető belső enegia - fajlagos étéke látható Temészetesen mindegik eő-elmozdulás (illetve feszültség-alakváltozás) kapcsolat lineáis a kiindulási feltétel miatt A külső és belső saját munka étéke ebben az esetben az alábbi módon számítható: ˆ WK S= f e+ t u ds W : σ ε B S= dv (97) St V 9 ába: Clapeon-féle munkatétel Statikus tehelési folamat esetén a kinetikus enegia elhanagolható A Clapeon-féle munkatétel szeint ilen esetben az enegiamegmaadás elvének megfelelően a külső eők által végzett munka teljes egészében ugalmas enegiává alakul vagis kis elmozdulásokat végző lineáisan ugalmas anagú test statikus tehelési folamatai soán a külső saját munka egenlő a belső saját munkával: ˆ f e+ t u ds σ: ε dv = (98) St A vituális eők tétele a fenti tétellel fomailag azonos (az anagmodelle alkalmazott szigoító kitételtől eltekintve) de ott a vituális eők nem a saját maguk hanem idegen elmozdulásokon végeznek munkát ezét megkülönböztetésül a mechanikában gakan használják a saját munkák illetve idegen munkák tétele elnevezést is Két további megjegzés a tételhez: a/ A Clapeon-tételt kis elmozdulásokat végző ugalmas teste mutattuk be de elvileg a tétel bámilen statikus tehelésű szilád teste alkalmazható b/ Fontos tudnunk hog a külső potenciál nem egenlő a külső saját munkával! A sajátmunka-tételben a ténleges eők és elmozdulások étéke szeepel míg a potenciális enegia kifejezésében minden tag ismeetlen elmozdulások függvénében keül felíása 6 4 V

144 B/ Castigliano első tétele Ez a tétel a potenciális enegia minimumtételének speciális változata Véges szabadságfokú endszeeknél a teljes potenciális enegia felíható n daab elmozdulás-komponens ( e e e n ) segítségével íg a minimumfeltétel Π Π Π = = = (99) e e alakú lesz Ha a teste csak az adott e n e e en ismeetlen elmozdulások helén működnek f f n külső eők akko a külső eők potenciálja: Π K = ( f e+ f e+ f nen ) (9) f Ennek az i-edik elmozdulás szeinti deiváltja: Π K Π Π B = fi íg = fi+ = e e e i i i (9) Ennek alapján adódik a Castigliano első tétele néven ismet összefüggés: Π B = fi i= n (9) ei A tétel pontos megfogalmazása: lineáisan ugalmas anagú testek esetén a belső alakváltozási enegiának eg elmozdulás szeinti deiváltja egenlő az elmozdulás helén ható külső eő elmozdulás iánú vetületével C/ Castigliano második tétele Ez a tétel a kiegészítő potenciális enegia minimumtételének eg speciális változataként szokták definiálni de lénegében a vituális eők tételével azonosítható Ha a teljes kiegészítő potenciált n daab külső dinám függvéneként íjuk fel akko a minimumfeltétel az alábbi alakú lesz: ~ ~ ~ Π Π Π = = = (9) f f f n Ebből levezethető Castigliano második tétele: ~ Π B = ei i= n (96) f i A tétel megfogalmazása: Lineáisan ugalmas anagú testek esetén a belső kiegészítő enegiának eg külső dinám szeinti deiváltja egenlő a dinám helén keletkező elmozdulás eő iánú vetületével Alkalmazhatóságának két feltétele van: a/ Az összes külső és belső eő ismet legen (például eg statikailag hatáozott tatón az adott tehek figelembevételével meghatáoztuk a eakciókat is stb) b/ A támaszoknál az elmozdulások zéus étékűek Calo Albeto Castigliano ( ) olasz vasútépítő ménök Sokat foglalkozott matematikai és fizikai kédések többek között a ugalmas mechanikai endszeek enegiaviszonainak elemzésével 6 44

145 Ennek a tételnek és a vituális eőke vonatkozó munkatételnek a kapcsolata viszonlag egszeűen belátható Az általánosság megsétése nélkül ezt most eg egszeű feladaton illusztáljuk Vizsgáljuk meg például az ábán látható szekezetet ahol a P i eő alatti e i eltolódást kívánjuk meghatáozni: 94 ába Elmozdulás számítása Az elmozdulás számításához a vituális eők tételének alkalmazásánál a vizsgált metszetbe eg vituális eőt helezünk el (legen ez most maga a P i eő!) és felíjuk a vituális kiegészítő munkák azonosságát (az indeismétlés nem jelent összegzést most csak a változók soszámát jelzi): Pe i i = M ténlegesm vituálisdl ei M ténlegesm vituálisdl EI = PEI (97) l Ha Castigliano második tételét alkalmazzuk uganee a feladata akko a következőt kell tennünk az elmozdulás számításához: a külső eők függvénében felíjuk a belső komplemente enegiát majd deiváljuk azt P i szeint Π% M ténleges ei = = M ténlegesdl = M ténleges dl P EI P EI (98) P i i l l i Mivel azonban a tatón működő egetlen daab nomatékába i i i l P eő hatásáa keletkező vituális P -vel elosztott étéke mindig megegezik a teljes eőendszeből kapott nomatéki ába P i szeinti deiváltjával vagis: M ténleges M vituális = (99) Pi Pi íg a kétféle számítási mód fomálisan is azonos matematikai kifejezése vezet Megjegzés: Castigliano II tételének azt a változatát amelnél a kiegészítő belső enegiát nemlineáisan ugalmas anagmodell segítségével számítják a mechanika szakiodalma Cotti - Engesse tételnek nevezi (lásd a későbbi kommentát az enegiatételek nemlineáis anagmodellek esetée töténő alkalmazásáól) D/ Castigliano hamadik tétele Cotti (? 886) olasz matematikus és ménök előszö ő publikálta az említett elvet 879-ben Fiedich Engesse (848 9) kiváló német tevezőménök sokat foglalkozott udak képléken kihajlásával Néhán évvel Cotti után tőle függetlenül fogalmazta meg a óluk elnevezett tételt 6 45

146 Ez a tétel szintén a kiegészítő potenciális enegia minimumtételének sajátos változata Ha a kiegészítő enegiát olan külső eők függvénében íjuk fel ameleknek helén sehol nem keletkezik elmozdulás akko a II tétel az alábbi alakú lesz: ~ Π B = i= n (94) f i Ilen gakolati eset például a statikailag hatáozatlan szekezetek számításánál fodulhat elő akko a zéus elmozdulásokkal endelkező eők éppen a szekezetek X i fölös kapcsolati eői (vag esetleg igénbevételei) lesznek: ~ Π B = i= n (94) X i Az eddigiekben leít kiegészítő tételeket táblázatban foglaltuk össze 9 Példa 6 46

147 6 47 Vizsgáljuk meg [ ] 7 alapján az ábán látható szekezetet és Castigliano első tételének segítségével hatáozzuk meg a údeőket 94 ába: Rúdszekezet vizsgálata A belső enegia számításánál az egszeűsítés kedvéét használjuk ki a szimmetiát íg elegendő és jelű udakól beszélnünk: u l A E u l A E u l A E B + + = Π A B pont függőleges elmozdulása megegezik u -gel Castigliano első tételét alkalmazva: u u u l A E u u u l A E u l A E u P B B + + = Π = Az eges elmozdulások közötti összefüggések: cos cos cos cos α = α = α = α = u u u u u u u u Ezeket behelettesítve: α + α + = cos cos l A E l A E l A E u P B Innen: cos cos α + α + = = l A E l A E l A E C C P u B A keesett údeők: cos cos α = α = = C P l A E S C P l A E S C P l A E S B B B 9 Példa Hatáozzuk meg Castigliano II tételének felhasználásával az ábán látható szekezet B pontjának függőleges és vízszintes eltolódását a függőleges P eő hatásából! A két úd nomálmeevsége azonos

148 95 ába: A B csomópont eltolódásainak számítása Számítsuk ki előszö a függőleges eltolódást A komplemente belső enegia: SBClBC SBDlBD Π % b = + EA EA A údeők a függőleges P eőből: SBC = 7 P SBD = 58P Behelettesítés után: 55P lbc 68P lbd Π % b = + EA EA A függőleges eltolódás: Π% b 56PlBC 68PlBD P eb = = + = ( 56lBC + 68lBD) P EA EA EA A vízszintes eltolódás meghatáozásához a B ponta eg fiktív vízszintes H eőt iktatunk be majd meghatáozzuk a údeőket a két eő egüttes hatásából: SBC = 7P+ 7 H SBD = 58P 897H A kiegészítő potenciális enegia ebben az esetben: (7P+ 7 H ) lbc (58P 897 H ) lbd Π % b = + EA EA A keesett eltolódás: Π % b 7( 7P+ 7 H ) lbc 897(58P 897 H ) lbd eb = = H EA EA A következő lépésben a fiktív segédeő étékée nullát helettesítünk íg a végeedmén: e = P B 7 lbc l BD EA Megjegezzük hog a második feladatnál alkalmazott technika általános: ha olan eltolódást keesünk a II Castigliano-tétel segítségével ahol nincs eő (vag nem olan iánú mint a keesett eltolódás) akko mindig eg fiktív eővel kell kiegészíteni a tehelést íg kell számítani a módosított komplemente belső enegiát és végehajtani a deiválást Az utolsó lépésként az eedménben zéusa választjuk a kiegészítő eőt 9 Példa Megjegezzük hog a számítás egszeűsíthető ha a deiválást az integálást (vag összegzést) megelőzően elvégezzük és má behelettesítjük a zéus étéket a fiktív eőnél 6 48

149 Castigliano II tételének segítségével [ 7 ] alapján számítsuk ki az ábán látható szekezetnél az eő iánú eltolódást Az anagi paaméteek ( E ν ) adottak a úd keesztmetszete kö a d átméő állandó 96 ába: Elmozdulás számítása 94 Példa: A BC szakaszon a belső kiegészítő enegia változása: ~ a Π B BC Pa = ( P)( ) d= EI EI P A CD szakaszon má a csavaás hatását is figelembe kell venni: b Π ~ B CD (+ν) (+ν) Pa b Pb = ( Pa) ab+ ( P)( ) d= + P EI EI EI EI Az utolsó (DG) szakaszon: ~ Π B DG Pc = + EA EI c b Pc Pc( b + a ) ( Pb) b dz+ ( Pa) a dz= + P EI EA EI Az egész szekezete: ~ ~ ~ Π Π B B BC Π B DG Π B DG = + + P P P P Behelettesítve a hajlítási és csavaási ineciát az eedmén: Π B 4P = eb z = 6( a + b ) + 48c( a + b ) + 48(+ν) a 4 P πed [ b+ cd ] A Cotti-Engesse-tétel segítségével hatáozzuk meg az ábán látható szekezetnél az eő alatti függőleges eltolódást A úd anaga nemlineáisan ugalmas: σ= K ε ahol K ismet anagállandó Valamenni úd keesztmetszete A 6 49

150 97 ába: Eltolódás számítása A szekezet teljes belső kiegészítő enegiája: ~ σ σ σ σ Ab Π = Ab σ = dσ+ d K K K ( σ + σ ) B Az eges udak közötti statikai egensúlból következik hog P P ~ 5P b σ = σ= Π B = A A A K A keesett eltolódás: ~ Π B 5P b ev = = P A K Megjegezzük hog ez a feladat is megoldható a vituális eők tételének alkalmazásával hiszen a munkatétel is alkalmas bámilen anagi viselkedés követésée Ha ezt akajuk használni akko előszö ki kell számítanunk a valódi teheből a udakban keletkező alakváltozásokat: σ σ " AB" úd : Ab " CB" úd : Ab K K Íjuk fel most a vituális kiegészítő belső munkát (figelembe véve a vituális eőből keletkező vituális feszültségeket): σ σ δ W% b = Ab δσ + Ab δσ K K Helettesítsük be ide a feszültségeknek a külső eőktől való függését azzal az egszeűsítéssel élve hog a vituális eő legen maga a függőleges P tehe: b 5P b δ W% b = ( P + P ) = A K A K A külső vituális kiegészítő munka: δ W % k =δ PeV = Pe V A kétféle munka egenlőségét felíva má ki tudjuk számítani az előzővel azonos végeedmént 95 Példa: Castigliano III tételének segítségével [ 7 ] alapján hatáozzuk meg az ábán látható tató A pontbeli nomatékát 6 5

151 98 ába: Nomaték számítása Használjuk fel a szimmetiát az ábán látható módon Mivel az A pontban nincs elfodulás alkalmazhatjuk Castigliano III tételét: ~ Π B ϕ A= = M A PR Íjuk fel a nomaték függvénét M A segítségével: M z = M A + ( cosθ) ~ π M z Π B PR Mivel = íg = M A + ( cosθ) ( ) R dθ M A M A EI Innen a keesett eedmén: PR PR M A = ( ) illetve M z= ( cosθ) π π Enegiatételek nemlineáisan ugalmas illetve ugalmas képléken anagú szekezetek vizsgálatáa A potenciális enegia illetve a kiegészítő potenciális enegia minimumtételeinél hangsúloztuk hog lineáisan ugalmas anagú szekezetek vizsgálatáa événesek Geenbeg 4 azonban má 949-ben kimutatta hog bizonos kolátozásokkal a tételek kitejeszthetők nemlineáisan ugalmas anagú sőt képléken szekezetek vizsgálatáa is Ilen esetekben az enegiafüggvének konveitását kell megkövetelnünk (lásd a Duckeféle stabilitási posztulátumokat az anagmodelleknél) Ennek alapján nemlineáisan ugalmas anagú szekezeteknél gakolati feladatoka alkalmas változatot pl Cotti és Engesse dolgozott ki a óluk elnevezett tétel fomájában (lásd a koábbi példát) Megjegezzük hog lineáisan ugalmas anagoknál a belső alakváltozási enegiafüggvének kvadatikus jellege automatikusan biztosította a konveitást Rugalmas-képléken anagú szekezetek vizsgálatáa az enegiatételeknek két változata használatos: A/ Geenbeg minimumtétele: Π & ( u& ) = Ψ( ε& ) dv g& u& dv tˆ u& ds (94) & V V S t Az u& kompatibilis sebességmezők közül az a valódi mel minimalizálja a fenti funkcionált amel a potenciális enegia változását jellemzi A jobb oldal első tagja a ugalmas-képléken anagú szekezet belső enegiáját jelöli 4 Hebet Geenbeg (9 7) ameikai matematikus a vaiációs elvek képlékenségtani alkalmazásáól ismet 6 5

152 B/ Hodge 5 Page minimumtétele: Π &% ( σ& ) = Ψ% ( σ& ) dv u% & q& ds (94) V S u A statikai feltételeket és a képlékenségtani előíásokat kielégítő feszültség-sebesség mezők közül az az igazi amel minimalizálja a kiegészítő potenciális enegia változását leíó funkcionált Jelen változatban a tömegeők változását nem vettük figelembe A belső kiegészítő potenciális enegia számaztatása a potenciális enegia függvénéből A komplemente enegia függvénét a vituális eők tételének felhasználása nélkül közvetlenül a potenciális enegiáa építve is előállíthatjuk ha alkalmazzuk a konjugált függvének számításáa alkalmas ún Legende 6 -Fenchel 7 tanszfomációt Maga a tanszfomáció a következőképpen definiálható: minden tetszőleges ϕ konve függvénnek előállítható az úgnevezett konjugált ϕ függvéne: dϕ ϕ ( p) = ma [ p ϕ ( ) ] ahol p= (944) d Ha a belső kiegészítő potenciális enegia előállításáa alkalmazzuk a tételt akkoπ ~ B mint konjugált függvén a következő egszeű számítással adódik (lásd a 99-es ábát) hiszen Π( ε) σ= : ε Π % = σ: ε -Π( ε) (945) 99 ába: Kiegészítő potenciális enegia B Felhasznált iodalom: 5 Philip Gibson Hodge (9 - ) ameikai gépészménök a képlékenségtan kiváló kutatója 6 Adien-Maie Legende (75 8) kiváló fancia matematikus főleg számelmélettel függvéntannal és matematikai statisztikával foglalkozott 7 Wene Fenchel (95 988) német matematikus elsősoban geometiai feladatok vizsgálatát tágaló munkáiól ismet 6 5

153 / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv / Vehás J: Temodinamika és eológia Műszaki Könvkiadó 985 / Kuutzné K M: Klasszikus és módosított vaiációs elvek Egetemi Jegzet 5 5/ Felippa A C: A suve of paametized vaiational pinciples and applications to computational mechanics Comp Methods Appl Mech Eng Vol pp / Fung: Foundation of Solid Mechanics Pentice Hall / Ugual AC Fenste SK: Advanced Stength and Applied Elasticit Edwad Anold Publ 984 8/ Redd J N: Eneg Pinciples and Vaiational Methods in Applied Mechanics John Wile 9/ Richads T H: Eneg Methods in Stess Analis John Wile 977 / Beltschko T Liu WK Moan B: Nonlinea finite elements fo continua and stuctues John Wile / Budnas R G : Advanced Stength and Applied Stess Analsis McGaw-Hill 999 Előadás: Sziládságtani feladatok megoldási módszeei A feladatok osztálozásának matematikai szempontjai a feladat megfogalmazásának alapján A következőkben áttekintjük azokat a matematikai megfogalmazási és megoldási típusokat ameleket a mechanika sziládságtani feladatainak elemzésénél használni szoktunk A mostani témakö alapvetően időfüggetlen (kvázistatikus tehelésű) és ugalmas anagú szilád testek mechanikai vizsgálatával foglalkozik íg alkalmazási köe is ételemszeűen szűkebb mint a koábban vizsgált feladatoké (a koábbi változatokkal való kapcsolata temészetesen utalunk) Az építőménöki mechanikában nagon fontos ennek a speciális témakönek a szeepe ezét kell külön is foglalkoznunk vele A/ Peeméték típusú feladatmegfogalmazás 8 ( eős alak): Lu= f u D f H u D Lu = f () L L Ebben a feladatmegfogalmazásban az ismet L opeáto az ismeetlen u függvének készletét leképezi az ismet f függvének halmazáa Az L opeáto általános esetben nemlineáis Mechanikai feladatoknál ez a feladatmegfogalmazás általában diffeenciálegenletek vag diffeenciálegenlet-endszeek felíását jelenti Megjegezzük hog a () alatti egenletben u a feladat megoldását jelöli B/ Vaiációs típusú feladatmegfogalmazás ( genge alak): F(u) = I( u) dω u DL () Ω A funkcionál nemlineáis opeátoú peemétékfeladat esetén is megfogalmazható de végleges alakja alapvetően függ az opeáto típusától Mechanikai feladatoknál ez a változat szeepelt koábban a vituális teljesítmének (munkák) integálegenleténél mint az eős változatból létehozott alak és má azt is bemutattuk hog a vaiációs megfogalmazásokhoz tatoznak az enegiaelvű mechanikai feladatok is (lásd a 9 hét anagát) 8 Megjegezzük hog az ebben a fejezetben használt lineáis algebai fogalmak definícióiól övid összefoglaló található a Függelék -ben 6 5

154 A különböző matematikai megfogalmazású feladatok megoldásainak egenétékűsége A matematikailag különböző módon megfogalmazott mechanikai feladatok megoldásai egmásnak megfeleltethetők A 7 előadásban ( A mechanika alapvető egenletei ) általános esete má ismetettük az alapképletek egmást helettesítő eős és genge változatát Ez a kapcsolat temészetesen a most tágalt egszeűbb változatok esetén is igaz például az egensúli feladatoknál felíható Lu = f peemétékfeladat az L opeáto pozitív volta miatt mindig megfeleltethető az F( u) = Lu u f u () funkcionálnak (a peeméték-feladat u megoldása ebben az esetben a funkcionál minimumát adja és megfodítva: a funkcionál minimumát biztosító függvén megoldása a peemétékfeladatnak) A példaként említett kapcsolat bizonítása (lineáis opeátook esetée): Legen u DL eg ögzített η DL pedig eg tetszőleges függvén és t eg tetszőleges paaméte Vegük fel a keesett ismeetlen u függvént most az alábbi módon: u= u+η t (4) majd vizsgáljuk az F(u) fukcionál változását a t paaméte szeint: F( u) = F( u+η t) = L( u+η t) u+ηt f u+η t = (5) = Lu u + t Lu η + t Lη u + t Lη η f u t f η Vizsgáljuk meg az első deiváltat felhasználva az L opeáto szimmetikus jellegét: df Lu t L f dt = η + η η η (6) a) Legen u megoldása az L u = f feladatnak azaz Lu = f (7) Ekko t = esetén: df Lu f = = η + t Lη η = (8) dt azaz u= u esetén az F funkcionál stacionáius és d F = Lη η > (9) dt Mivel L pozitív opeáto az F funkcionálnak valóban minimuma van b) Fodított gondolatmenettel: legen F-nek minimuma t = -nál: df = Lu η f η = Lu f η = η DL () dt t= Mivel az utolsó tag a minimum miatt zéus az otogonalitási tételből az következik hog u megoldása a peeméték-feladatnak 6 54

155 Mechanikai illusztáló példák: a) Aiálisan tehelt állandó nomálmeevségű úd modelljei: d u - peemétékfeladat: EA = p( ) () d - vaiációs feladat: EA du d pu d min d () l l b) Tengelée meőlegesen tehelt állandó hajlítómeevségű hajlított geenda modelljei: 4 d w p( ) - peemétékfeladat: = 4 () d EI EI d w d p wd l d l (4) - vaiációs feladat: min A feladatokhoz tatozó peemfeltételeket temészetesen mindegik feladattípusnál ki kell elégíteni Megjegezzük hog az eges feladatokban használt deiválások eltéő fokszáma miatt a keesett függvének általában különböző foltonossági osztálhoz tatoznak A feladatok osztálozásának matematikai szempontjai a feladat megoldásának alapján: A/ Pontos megoldások A peeméték-feladatok legegszeűbb változatainál lehet csak őket alkalmazni A diffeenciálegenletek közvetlen integálhatóságáa és a peemfeltételek pontos figelembevételée építő megoldásokat alkalmaznak Mechanikai példák: - hajlított geenda egszeű tehek meevségi viszonok illetve peemfeltételek esetén - húzott-nomott úd egszeű tehek meevségi viszonok illetve peemfeltételek esetén - központosan nomott úd stabilitásvizsgálata stb A gakolati feladatok nag észében a pontos megoldások nem használhatók a geometiai anagtulajdonsági tehelési és peemfeltételi adatok változékonsága miatt B/ Közelítő megoldások A közelítő megoldások nagon jelentősek a mechanikában a poblémák döntő többsége csak íg vizsgálható Mechanikai feladatoknál használt fontosabb csopotjaik: B/ A peemétékfeladatok fodított/félfodított megoldásai 6 55

156 A feladat feltételezett megoldását vesszük fel eg Ansatz (eg matematikai sejtés ) és a peemfeltételek segítségével majd pedig fokozatos módosítással-póbálgatással közelítjük a pontos eedmént Tipikus mechanikai példák az ilen vizsgálati technikáa a D és D ugalmasságtani és töésmechanikai feladatok feszültségfüggvénes megoldásai B/ A peemétékfeladat diszketizált megoldása ( diffeenciamódsze ) A módsze a diffeenciálegenleteket diffeenciaegenletekké alakítja át A peemétékfeladathoz tatozó ( D vag D) tatománt jellegének megfelelő áccsal lefedve az eges ácspontokban (illetve könezetükben) keessük a feladat ismeetlen függvéneinek diszkét étékeit Tanziens illetve egensúli feladatok vizsgálatáa egaánt alkalmas de bonolult geometia és peemfeltételendsze illetve jelentős métékben változó sziládsági viszonok esetén alkalmazása nehézkessé válik B/ Hibavekto típusú feladatmegfogalmazás Ez tekinthető ma a leghatékonabb numeikus technikának mind nemlineáis mind lineáis opeátoú feladatok vizsgálatáa Tágalása túllép a Mechanika MSc témaköén ezét észletes elemzését a Végeselemmódsze matematikai alapjai c tág keetében adjuk meg most csak eg tömö egszeűsített összefoglalót adunk óluk A hibafeltételt többnie kétféle különböző kitéium alapján szokás felvenni: a/ Vetületi vag más néven otogonalitási feltétel: A kiszemelt hibavekto eg altée legen otogonális u D Lu= f Lu f v = (5) L Az L opeáto általános esetben nemlineáis Ezt a megoldási módot nemlineáis opeátoú vag stacionaitási feltétellel nem endelkező lineáis opeátoú peemétékfeladatoknál alkalmazzák elsősoban (lásd Galjokin 9 -módsze) b/ Hossz- vag más néven stacionaitási feltétel: A hibavekto kiválasztása után felít bilineáis alak étéke legen minimális Eg lehetséges felíási módja: u DL Lu= f F( u) = Lu u f u = stac (6) Itt L lineáis és pozitív opeáto Ez a vizsgálati módsze főleg lineáis egensúli feladatok elemzésénél hatékon (lásd a Ritz 4 -módsze technikáját) Aká az a aká a b módszet alkalmazzuk a hibafeltételek alapján töténő számítás végső soon eg inhomogén (vag homogén) lineáis (vag nemlineáis) egenletendsze megoldásához vezet 9 Boisz Gigojevics Galjokin (87 945) kiváló fehéoosz ménök 4 Walte Ritz (878 99) tagikusan fiatalon elhunt híes svájci fizikus Ritz és Galjokin életajza a tanszéki honlapon megtalálható 6 56

157 Megjegezzük hog a mechanikai feladatokhoz kapcsolódó nemlineáis egenletendszeek megoldási technikáiól a 8 előadásban egensúli feladatok esetée má ismetettünk eg algoitmust Kifejezetten észletesen ezeket a matematikai eljáásokat csak a végeselemek technikájával foglalkozó tágaknál ott is elsősoban a nemlineáis feladatok köében mutatjuk majd be (Newton-Raphson 4 módsze feltételes szélsőétékek módszee: Lagange-szozók és büntetőfüggvének használata eplicit-implicit időintegálási technikák stb) A Nemlineáis végeselemmódsze c tágban foglalkozunk azokkal a speciális iteációs technikákkal is amelek az eges tanziens jelenségek leíásához (elsősoban az időintegálási lépésekhez) szükségesek (Runge 4 -Kutta 4 - Eule- Newmak 44 - módszeek stb) A feladatok osztálozása mechanikai szempontok alapján A mechanikai szempontok szeinti osztálozás alapvetően a feladatban szeeplő elsődleges ismeetlen változó jellegétől függ (maguk a feladatok matematikai fomájukat tekintve temészetesen lehetnek peeméték vag pedig vaiációs feladatok) Háom nag csopotot különböztetünk meg: A/ Elmozdulás típusú ismeetlen változókat tatalmazó feladatok Az ismeetlen változók mozgás jellegűek: elmozdulás- sebesség- vag gosulásmezők esetleg (itkábban) alakváltozásmezők Az egensúli feladatok vizsgálatának köén belül (itt a sebességmező a kvázistatikus tehelési folamatok miatt zéus) ezt a változatot elmozdulásmódszenek nevezik A peemfeltételeknek az etenzív változóka kell vonatkozniuk B/ Eő típusú ismeetlen változókat tatalmazó feladatok Az ismeetlen változók kapcsolati eő- igénbevétel- vag feszültségmező jellegűek Az egensúli feladatoknál ezt a változatát eőmódszenek nevezzük A peemfeltételeknek az intenzív változókkal kell kapcsolatot teemteniük C/ Veges módszeek Az ismeetlen függvének etenzív és intenzív típusú komponenseket egaánt tatalmaznak Az egensúli feladatoknál ezt a technikát veges módszenek nevezik A peemfeltételeket mindkét változótípus esetében ki kell elégíteni Ezt az eljáást a Végeselemmódsze matematikai alapjai című jegzetben tágaljuk 4 Joseph Raphson (648 75) angol matematikus Newtontól függetlenül dolgozta ki iteációs eljáását nemlineáis feladatok vizsgálatáa 4 Cal David Tolme Runge (856 97) német matematikus és fizikus Elsősoban numeikus analízissel foglalkozott 4 Matin Wilhelm Kutta ( ) német matematikus diffeenciálegenletekkel illetve aeodinamikai vizsgálatokkal kapcsolatos munkáiól ismet 44 Nathan Motimoe Newmak (9 98) ameikai építőménök Sokat tett a moden numeikus módszeek statikai és sziládságtani számításokba töténő bevezetéséét 6 57

158 Az elmozdulásmódsze alapegenletei kis alakváltozású lineáisan ugalmas anagú egensúli feladatoknál Az adott feltételek esetén 5 daab ismeetlen háomváltozós függvént (6 feszültség- 6 alakváltozás- és eltolódásfüggvént) 5 egenlet (Cauch-egenletek geometiai egenletek és az anagmodellek összefüggései) valamint a peemfeltételek kapcsolnak össze Az elmozdulásmódsze feladatmegfogalmazási gondolatmenete (skalá egenleteket használva az illusztáláshoz) a következő: Első lépésként helettesesítsük be az anagmodellek feszültségeke kifejezett alakjába a geometiai egenletekkel felít elmozduláskomponenseket: u v w σ = λe+ G σ = λe+ G σz = λe+ G (7) z v u w v u w τ = G + τ z = G + τ z = G + (8) z z A képletekben G a níási ugalmassági modulusλ a Lamé-állandónak nevezett anagi Gν paaméte (G-vel és a Poisson-ténezővel kifejezve: λ= ) e pedig most az alakváltozástenzo első skalá invaiánsát jelöli ezt kivételesen ebben a fejezetben az eedeti levezetés ν iánti tiszteletből hagtuk meg ilen alakban: u v w e= I =ε +ε +ε z = + + z (9) Alakítsuk most át az egensúli egenletendsze első egenletét Ehhez deiváljuk szeint σ majd szeint τ és z szeint τ z képletét: σ u e τ v u τ z w u = G +λ = G + G = G + G () z z z Helettesítsük be ezeket a képleteket az első Cauch-egenletbe: e u v w u u u λ + G + + G g = () z z Az első záójelben szeeplő kifejezés átalakítható: u v w u v w e + + = + + = () z z a második záójeles tag pedig a Laplace-opeátoal íható fel tömöen: u u u + + = u () z Hasonlóan átalakítva a második és a hamadik egenletet végül a következő egenletendszehez jutunk: 6 58

159 e + G + G u+ g= e + G + G v+ g = ( λ ) ( λ ) e + G + G w+ gz= z ( λ ) (4) Ezeket az egenleteket a mechanikában Navie 45 -Lamé 46 -egenleteknek hívják Ez a endsze (a feladathoz tatozó peemfeltételekkel egütt) az elmozdulásmódsze alapvető peemétékfeladati alakja Navie-t ábázolja a bal oldalon Lamé-t pedig a jobb oldalon látható kép Megjegzés: Ha kvázistatikus folamatok helett dinamikai vizsgálatoka van szükségünk a fenti egenletendszenek csak a jobb oldala lesz más az eges gosulásfüggvéneknek a tömeg (sűűség) függvénnel való szozatát kell az egensúlt kifejező zéus helée íni: e u ( λ + G) + G u+ g= ρ t e v + G + G v+ g = ρ t ( λ ) e w + G + G w+ gz= ρ z t ( λ ) (5) A Navie-Lamé-egenletek felíása a potenciális enegia minimumfeltétele felhasználásával Az egszeűség kedvéét csak egségni vastagságú tácsán síkbeli feszültségállapot esetée mutatjuk be a levezetést de ez nem csobítja az általánosság événét A felhasznált változók és a geometiai egenlet máti alakban: σ g u ε g= u= σ= σ g v ε= ε : ε= L u L= (6) τ γ A potenciális enegia minimumfeltétele jelen esetben: 45 Claude Louis Maie Heni Navie (785 86) híes fancia építőménök a moden geendaelmélet létehozója az első színvonalas építőménök-képzés megszevezője 46 Gabiel Lamé (795 87) fancia matematikus sokat foglalkozott mechanikai feladatokkal is Lamé és Navie észletes életajza a tanszéki honlapon megtalálható 6 59

160 T T Π= σ ε da g u da= min (7) A Helettesítsük be az alakváltozások helée a geometiai egenleteket a feszültségeket pedig íjuk fel a sík feszültségi állapot -as D anagi meevségi mátiának és az alakváltozásoknak segítségével (lásd az Anagmodellek -ől szóló előadást!): T T T T Π= σ Lu g u da ε D Lu g u = da= (8) A T T T = ( u L D Lu g u) da= min A Az állandóétékűség feltétele (a kvadatikus alak pozitív definit): T T T δπ ( u) = δ u L D Lu da δ g u da= u T L T D Lδu da g T δ u da= A A A A (9) Az egensúli feltételnek az egész A tatománon belül teljesülni kell ezét: T T T u L D L g δ u= () Mivel δu tetszőleges (de nem zéus) vaiáció íg: T A L D Lu= g () Behelettesítve L és D megfelelő étékeit az előbbiekben bemutatott egenletekhez jutunk T Megjegezzük hog az L D L mátiot meevségi mátinak nevezik a mechanikában A Navie-Lamé-egenletek hengekoodináta endszeben Az egenleteket tanziens feladatok esetée íjuk fel egensúli poblémák esetén valamenni egenlet jobb oldala zéussal egenlő e Gω ω u ( G) G β λ+ + + g=ρ β z t e ω u ω z β ( λ+ G) G + G + gβ =ρ β z t () e G G ω u z ( λ+ G) ( ωβ ) + + g z =ρ z β t A képletekben szeeplő ω paaméteek elfodulásokat jelölnek: u u z β u u z uβ u ω = ωβ= ωz= + β z z A β u () β A Navie-Lamé-egenletek átalakítása bihamonikus diffeenciálegenletekké: Műszaki számítások soán a feladatok numeikus megoldásánál gakan előnösebb az előbbiekben bemutatott egenletek átíása bihamonikus változattá Ezt abban az esetben lehet egszeűen megtenni ha eltekintünk a tömegeőktől Bevezetve a k = λ jelölést a G következő kiindulási egenleteket kapjuk: 6 6

161 e e e ( k + ) + u= ( k+ ) + v= ( k+ ) + w= (4) z Deiváljuk az első összefüggést a másodikat a hamadikat z szeint majd az egenleteket adjuk össze és most má az alakváltozás-invaiánsa alkalmazott Laplace-opeáto segítségével íjuk fel az új egenletet A következőt kapjuk (felhasználva az úgnevezett Young-féle = tételt): e u e v e w ( k+ ) + + ( k+ ) + + ( k+ ) + = (5/a) z z ( ) k+ e+ e= e( k+ ) = (5/b) Mivel k íg e= vagis e hamonikus függvén Alkalmazzuk ennek ismeetében most a Laplace-opeátot újból az első diffeenciálegenlete: e e e ( k+ ) = ( k+ ) = ( k+ ) e= ( k+ ) + u= (6) Íg végül: 4 4 u u u u = = + + = (7/a) 4 4 illetve teljesen hasonlóan a másik két eltolódásfüggvéne: v = w = (7/b) A Navie-Lamé-egenletek alkalmazása mechanikai feladatok megoldásáa Az elmozdulásmódszee alapuló megoldási technikát má a XIX században sikeel alkalmazták sok fontos feladat vizsgálatáa Az első jelentős eedmént Kelvin (adataia vonatkozóan lásd a VI fejezet lábjegzetét) publikálta 47 Végtelen kitejedésű lineáisan ugalmas közegben elhelezkedő koncentált eő hatásáa keletkező elmozdulások (illetve feszültségek) függvénét hatáozta meg A javasolt (sok lépését tekintve eősen heuisztikus) levezetés észletei iánt édeklődőknek 8 alatti kiváló művét ajánljuk tanulmánozása (II kötet XIV Todhunte és Peason [ ] fejezet Si William Thomson munkássága címmel) most csak cikkének végeedménét közöljük A vizsgált kontinuum z tengelekkel jelölt koodinátaendszeének kezdőpontjában elhelezkedő F eővekto hatásáa az koodinátájú pontban keletkező u eltolódásvekto és az uganott létejövő σ feszültségtenzo étéke az alábbi módon számítható: T 4ν F u= F+ 6 πg( ν) R R T T T T F T σ= ( ) ν ( I F F F ) 8 π( ν) R R 4 (8) 47 Si William Thomson (Lod Kelvin): Note on the Integation of the Equations of Equilibium of an Elastic Solid Cambidge and Dublin Mathematical Jounal Math and Phs Papes Vol pp

162 ahol R az oigó és a ugalmassági modulus és ν a Poisson-ténező vizsgált pont között távolság I eg egségmáti G a níási Kelvin után eg olasz ménök Ceutti 48 foglalkozott a elmozdulásokat felhasználó potenciálelmélet alkalmazásával Ő is ugalmas végtelen félteet vizsgált a félté szabad felszínén működő níási hatása A gakoló ménökök köében mindkettőjüknél ismetebb a fancia Joseph Valentine Boussinesq 49 neve aki 885-ben publikált hatalmas tejedelmű (több mint 7 oldalas) tanulmánában 5 számos más feladat között észletesen kitét a ugalmas féltée ható koncentált eőkből keletkező eltolódások és feszültségek számításáa Az oigóban elhelezkedő X Y és Z eők vizsgálatához két potenciálfüggvént (U-t és V-t) vett fel ezek alakja a következő: X + Y U V Z log( z ) ( / = = + = + + z ) (9) + z Bevezetve a κ= ν paamétet (ν a Poisson-ténező) Boussinesq az alábbi eedméneket kapta az eltolódások függvéneie: U V 4πG u= X + κ + z κ + z (4/a) z z U V 4πG v= Y+ κ + z κ + z (4/b) z z U V 4π G w= Z+ κ+ z κ + z (4/c) z z z z Viszonlag egszeűen kimutatható hog ezek a függvének kielégítik az elméleti ugalmasságtan elmozdulásoka vonatkozó diffeenciálegenleteit: e e e u+ = v+ = w+ = (4) κ κ κ z A (4) alatti kifejezésekből deiválással a következőt kapjuk: X + Y+ zz e= κ (4) πµ Az eltolódásfüggvének és a lineáisan ugalmas anagmodell segítségével Boussienesq levezette hog minden - síkban elhelezkedő pontnál az elemi feszültségvekto az oigó iánába mutat és nagsága az alábbi módon számítható: z X + Y + zz (4) 4 π A megoldásból kapott feszültség a félté felső síkjáa vonatkozó feszültségi peemfeltételt kielégíti vagis étéke zéus minden z= + pontban 48 V Ceutti: Riceche intono all equilibio de copi elastici isotopi Reale Accademia dei Lincei Seie a Memoie della Classe di scienze fisiche VolXIII pp 8- Róma Kiváló fancia ménök és matematikus (84 99) Saint-Venant tanítvána az ő fénképe látható ezen az oldalon 5 Joseph Valentine Boussinesq: Application des potentiels á l étude de l équilibe et du mouvement des solides élastiques pincipalement au calcul des défomations et des pessions que poduisent dans ces solides des effot quelconques eecés su une petite patie de leu suface ou de leu inteieu Gaities-Villas Páizs 885 A hivatkozott munka a oldalakon található 6 6

163 Az átlagos nomálfeszültség: átl ( z) κ κ Ge X + Y + σ = σ + σ + σ = = zz (44) κ 6π Ha az eők számát növeljük vagis eg X ν Y ν Zν módon jelölt eőhámast alkalmazunk több ξ η ν = étékűek) pontban a felszínen (az eőcsopotok koodinátái ende ( ) akko ebben az esetben például az átlagos nomálfeszültség az alábbi módon számítható: 6π σ átl= Xν + Yν + z Zν + κ + ( ( ) ξν X ν + ξν Y ν + z ξν Z ν + ην X ν + (45) + ( ) η Y + z η Z ) + ν ν ν ν Hasonló kifejezésekhez jutunk más feszültségétékek esetén is Megjegezzük hog Ceutti és Boussinesq levezetéseie építve sok másféle elsősoban talajmechanikai alkalmazású - megoldás is született az elmúlt évtizedekben Kiváló összefoglalás olvasható ezekől Kézdi [ 7 ] alatti munkájában 5 Az itt felsooltak mellett külön felhívjuk a figelmet az ameikai Mindlin (életajzi adatait lásd később a fejezetben) 96-ban illetve 95-ban publikált munkájáa ahol ő a félté belsejében elhelezkedő eők hatásáa oldott meg a fentiekhez hasonló poblémát vag a modenebb munkák közül megemlítjük még Pan-Chou 976-ban közölt eedméneit amelben étegesen izotop közege vizsgálták uganezt a kédést Kacsanov és szezőtásai [ 9 ] alatti példatáa észletesen ismeteti mindkét szező eedméneit Végezetül megjegezzük hog Csehalmi munkája (lásd a [ 6] -os művet) a Lamé-egenletek további speciális alkalmazási lehetőségeie is közöl példákat Az eőmódsze alapegenletei kis alakváltozású lineáisan ugalmas anagú egensúli feladatoknál Az eőmódsze alapegenleteinek felíásánál a kompatibilitási egenletekből indulnak ki Íjuk fel például az elsőt ε ε ε γ z z z + = = (46) z z z és helettesítsük be ide az anagmodell egenleteit: σ σ z S S τ z ( + ν) ν + + = ( + ν) z z (47) z Ebben az egenletben (ismételten hagomántiszteletből) S a feszültségtenzo első skalá invaiánsát jelenti: S= I= σ+ σ + σz Fejezzük ki most a második és hamadik Cauchegenletből τ z deivált függvénét majd deiváljuk a második Cauch-egenletet a hamadikat pedig z szeint: ν ν 5 Felhívjuk a figelmet hog Kézdi könvében a Boussinesq-féle feladat ismetetéseko eg későbbi feszültségfüggvénes megoldáson alapuló számítást említ ez azonban bá végeedméne azonos az itt ismetetettel nem az eedeti elmozdulásmódszee épülő levezetés 6 6

164 τz σ τ τz σz τz = g = g z z z (48) τ z σ τ g τ z σz τz g z = = z z z z z (49) Adjuk össze azt a két egenletet és a későbbi átalakítások kedvéét kicsit endezzük át őket: τ z σ σ z τ τ z g g z = + z z z z σ g (5) τ z σ σ σ g z g g z g = z z z Behelettesítve ezt az alakot a kompatibilitási egenlet anagmodellekkel átalakított fomájába: ν S S ( σ+ σz) ( σ+ σz) σ = + ν z z (5) g g g z g = z Helettesítsük itt σ +σ z étékét S σ -szel: S g g g z g S σ = ν ν z (5) + + A másik két kompatibilitási egenletből teljesen hasonló módon állítható elő két újabb ehhez kapcsolódó egenlet: S g g g g z S σ = ν + ν z (5) S g g g z gz S σz = ν + νz z z Adjuk össze ezt a háom egenletet és fejezzük ki belőlük S -t: g g g g z g g z S S S= ν + ν z z (54) + υ g g g z S = + + υ z Ha ezt visszahelettesítjük például a háom közül az első egenletbe némi átalakítás után a következő egenletet kapjuk: + ν g g g z S g g g z g + + σ = ν + ν z + ν z g g g z g S + + = σ + (55) z ν + ν 6 64 ν g g g z g S + + = σ + ν z + ν

165 Hasonló módon megismételhetjük S behelettesítését a második és hamadik egenletbe és íg végül újabb két egenlethez jutunk a nomálfeszültségek és a tömegeők közötti kapcsolat leíásáa A níófeszültségeke vonatkozó egenleteket hasonló módon kapjuk Deiváljuk például a második Cauch-egenletet z a hamadikat pedig szeint (éppen fodítva mint az előbb) majd adjuk össze őket: τ σ τ z τ z τ z σ g z g z = + z z z z z (56) Helettesítsük be most az anagmodellek egenleteit az ötödik kompatibilitási egenletbe (lásd a kilencedik előadást) majd ebbe az egenletbe íjuk be az előzőleg a Cauchegenletek átalakításával kapott alakot: σ ν S τ z τ z τ = + + (57) z +νz z σ τ z τz τ ν S + = (58) z z +νz Innen: S g g z τ z+ = + z z (59) +υ A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egenlet segítségével újabb két képlethez jutunk Összefoglalva a hat egenletet: g S ν g g z g σ+ = ν ν z g g S ν g gz σ+ = ν ν z g S ν g gz gz σz+ = ν z ν z z S g g τ + = + + υ S g z g τ z+ = + + υ z z S g g z τ z+ = + + υ z z (6) Ezeket az összefüggéseket Beltami 5 -Michell 5 -egenleteknek hívjuk a peemfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az eőmódsze peemétékfeladatát Megjegezzük hog a tömegeők nélküli alakot szokás Beltami-egenleteknek nevezni Eugenio Beltami acképe 5 Eugenio Beltami (85 899) olasz matematikus elsősoban geometiával foglalkozott 5 John Hen Michell (86 94) kiváló ausztál matematikus Beltami és Michell észletes életajza a tanszéki honlapól letölthető 6 65

166 6 66 John Hen Michell fénképe Dinamikai feladatoknál az egenleteket át kell endezni minden eddig használt változó az egenletek bal oldaláa íandó a jobb oldalon szeepelnek a gosulási hatások: ) ( ν ν σ ρ = + + ν ν + + +ν + σ S t G z g g g g S z ) ( ν ν σ ρ = + + ν ν + + +ν + σ S t G z g g g g S z ) ( ν ν σ ρ = + + ν ν + + +ν + σ S t G z g g g z g z S z z z z t G g g S τ ρ = + + +ν + τ (6) t G g z g z S z z z τ ρ = + + +ν + τ t G z g g z S z z z τ ρ = + + +ν + τ A Beltami-Michell-egenletek hengekoodináta-endszeben A képleteket újból a dinamikai vizsgálatoknak megfelelően íjuk fel Abban az esetben ha egensúli feladatokat kívánunk vizsgálni akko az egenletek jobb oldala zéus ( ) = + + β + ν ν + + β τ σ σ +ν + σ β β β z g g g g g S z 4 ν ν σ ρ = S t G ) ( ( ) + + β + β τ + σ σ + β + +ν + σ β β β β g g S S 4 ν ν σ ρ = + + β + ν ν + β β S t G z g g g g z ) ( (6) ν ν σ ρ = + + β + ν ν + + +ν + σ β S t G z g g g g z g z S z z z z ) ( ( ) 4 t G g g g S τ ρ = + β + τ σ σ β + β +ν + τ β β β β β β t G g z g z S z z z z z τ ρ = β + + τ β τ + β +ν + τ β β β β

167 τ z S + +ν z τ β z β τ z g + z g + z τ z ρ = G t Megjegezzük hog a fenti egenletek előállításánál temészetesen a Laplace-opeátot is polákoodinátás változatban kell használnunk (lásd az első előadást illetve a Függeléket) Az eőmódsze mechanikai feladatoka töténő alkalmazásáa majd a következő fejezetben mutatunk példákat a módsze eg speciális de a gakolat számáa igen előnösen használható változatának az úgnevezett feszültségfüggvénes technikának segítségével Felhasznált iodalom: / Bezuhov N I : Bevezetés a ugalmasságtanba és a képlékenségtanba Tankönvkiadó 95 / Muszhelisvili N : Some basic poblems of mathematical theo of elasticit P Nodhoff 95 / Sokolnikoff I S: Mathematical theo of elasticit McGaw Hill 956 4/ Bojtá I Gáspá Zs: Végeselemmódsze építőménököknek Tec 5/ Rolle B: A statika művelődéstöténete BME 99 6/ Csehalmi I : Makoelemek alkalmazása ugalmasságtani feladatok megoldásánál BME 986 7/ Kézdi Á : Talajmechanika-II Tankönvkiadó 97 8/ Todhunte I Peason K : A histo of the theo of elasticit and of the stength of mateials Cambidge / Kachanov M Shafio B Tsukov I : Handbook of Elasticit Solutions Kluwe Academic Publishes 6 67

168 Előadás: Feszültségfüggvének alkalmazása ugalmas anagú szekezetek vizsgálatáa Feszültségfüggvénes megoldások A Beltami-Michell-egenletek megoldása speciális változatának de az eőmódszees vizsgálati technika önálló alkalmazásának is tekinthetők a feszültségfüggvénes vizsgálatok Ezt a számítási változatot a továbbiakban kizáólag kis alakváltozású egensúli feladatok vizsgálatáa alkalmazzuk ebben a fejezetben csak ezzel foglalkozunk Elsőként a gakolatban legsűűbben használt D eljáást mutatjuk be Íjuk fel újból kétdimenziós esete a mechanikai alapegenleteket (egensúli- geometiaiés anagmodell-egenletek láthatók a következő sookban) A tömegeőket az egszeűség kedvéét hanagoljuk el a megoldásban σ τ τ σ + = + = () u v u v ε = ε = γ = + (+ν) ε = ( σ νσ ) ε = ( σ νσ ) γ = τ E E E A D esethez tatozó kompatibilitási egenletet is használni fogjuk: γ ε ε = + () Helettesítsük be ide az anagegenleteket: τ ( σ ) ( ) ( ) νσ + σ νσ = +ν () Deiváljuk az első statikai egenletet a másodikat szeint majd ezek után adjuk össze és vonjuk ki őket egmásból: σ τ τ σ τ σ σ σ σ + = + = = = (4) A hamadik egenletet helettesítsük be az anagegenleteket is figelembe vevő kompatibilitási egenletbe: σ σ σ σ σ σ ν + ν = ( +ν ) + (5) Egszeűsítések után innen a következő egenletet kapjuk: ( σ +σ ) = (6) A koábbi egenletekből ehhez tásíthatjuk a 6 68

169 σ σ = (7) egenletet íg a nomálfeszültségeke most eg kétismeetlenes egenletendsze áll endelkezésünke Vezessünk most be eg olan F() függvént melet a továbbiakban feszültségfüggvénnek nevezünk és a feszültségekkel való kapcsolatát az alábbi módon definiáljuk: F F F σ = σ = τ = (8) Ha a feszültségfüggvént behelettesítjük mindkét előbb kapott nomálfeszültségi egenletbe akko a második egenlet automatikusan teljesül míg az első eg homogén bihamonikus diffeenciálegenletté alakul: 4 F F F F = = + + = (9) 4 4 Ez az egenlet egesíti magában az egensúli geometiai és anagegenleteket és az eddigi 8 ismeetlen (D) helett egetlen eg meghatáozásáa vezeti vissza a feladat megoldását Az itt bemutatott feszültségfüggvént a mechanikában Ai 54 - függvénnek nevezik Megjegezzük hog a segítségével kapott megoldásnak temészetesen a statikai peemfeltételeket is ki kell elégítenie Feszültségfüggvén és diffeenciálegenlete síkbeli polákoodinátaendszeben Valamenni alapvető mechanikai egenletet a koábbi előadásokon má felítunk polákoodináta-endszeben is Az előbb bemutatott levezetést (kompatibilitási egenletbe helettesített anagmodellek valamint a statikai egenletek deivált változatainak felhasználása a tömegeők elhanagolása mellett) megismételve jutunk a feszültségfüggvén és diffeenciálegenlete polákoodinátás változatához Megjegezzük hog a levezetés megismétlése helett a deékszögű koodináta-endszeben kapott eedmének egszeű tanszfomálásával is előállíthatók a szükséges összefüggések: F F F F cosβ sinβ = = F F F sin cos β β F () β β β β hiszen = cosβ és = sinβ A második deiváltak az elsők felhasználásával állíthatók elő: F F F F F = cosβ sinβ cosβ cosβ sinβ sinβ= () β β β Geoge Biddell Ai (8 89) angol csillagász és matematikus aki mechanikai számításokkal is foglalkozott Életéől lásd bővebben a tanszéki honlapon található életajzot fénképe ezen az oldalon látható 6 69

170 F F F F F = cos β sinβcosβ+ sin β+ sin β+ sinβcos β β β β Hasonlóan az szeinti második deivált: () F F F F F F = sin β+ sinβcosβ+ cos β+ cos β sinβcos β β β β A veges második deivált szintén az elsőkből számítható: F F = sinβcosβ F F F (sin β cos β) sinβcosβ sinβcosβ+ β β F + (sin β cos β) () β A másodendű deiváltat meghatáozó tagok összeadásából a következőt kapjuk: F F F F F F = + = + + (4) β Ennek segítségével má előállíthatjuk a diffeenciálegenletet: F F F F = + + = + + β β (5) A feszültségek tanszfomációs képlettel számíthatók (emlékeztetőül lásd a Függelék (F45) alatti képletét): σ =σ cos β+σ sin β+τ sinβ σβ=σ sin β+σ cos β τ sinβ (6) τ β = ( σ σ )sin β+τ cos β Behelettesítve ide a feszültségeknek a feszültségfüggvénnel való kapcsolatát egszeűsítések után a végső képletek: F F F F σ = + σ = τ = β β (7) β β Megjegezzük hog tengelszimmetia esetén a feszültségek számítása és maga a diffeenciálegenlet még tovább egszeűsödik a feszültségfüggvén csak -től függ: df d F σ = σ β= τ β= d d (8) 4 d F d F d F df + + = 4 d d d d (9) Ez az egenlet egébként nem más mint az úgnevezett Eule-féle diffeenciálegenlet polákoodinátás alakja (a mechanikai feladathoz most má eg közönséges diffeenciálegenlet tatozik paciális helett!) 4 Az Eule-egenlet általános megoldásának felíásához az egenletet -nel megszoozzák: 4 4 d F d F d F df + + = 4 d d d d () m majd a megoldást F = c alakban keesik Ezt behelettesítve az 4 m 4m + 4m = () 6 7

171 egenlethez jutunk melnek két daab kétszees göke van: m = Ilen esetben a megoldást c m ln alakkal kiegészítik és íg a végeedmén: + F= c + c ln + c c ln () Az ismeetlen c i egütthatókat a vizsgált feladat peemfeltételeiből kell meghatáozni 4 Feszültségfüggvén és diffeenciálegenlete hengekoodinátaendszeben tengelszimmetikus esetben Az általános esettel most nem foglalkozunk csak a gakolati feladatok számáa fontos tengelszimmetikus változatot mutatjuk be levezetés nélkül csak a végeedméne koncentálva A diffeenciálegenlet: F F F F= = () z z Az eges feszültségkomponensek: F F F σ = ν F σ = ( ) σβ = ν F z ν F (4) z z z z F τ z = ( ν) F z Megjegezzük hog a Laplace-opeáto hengekoodináta-endszeben használatos általános alakját má koábban is használtuk (a Függelékben is megtalálható) most annak tengelszimmetikus (β -tól független) alakját alkalmaztuk: = + + (5) z A feszültségfüggvén definiálásának általános módja Az Ai-féle feszültségfüggvént Mawell illetve (tőle függetlenül) Moea 55 általánosította a következő módon (a tömegeőktől most is eltekintünk): Egszeű számítással ellenőizhető hog a kis alakváltozások esetén használatos szimmetikus σ feszültségtenzo divegenciája (lásd az egensúli egenleteket) zéus : divσ = (6) Ez a feltétel statikailag nem más mint a Cauch-egenletek tömö matematikai kifejezése tehát a statikailag lehetséges feszültségmező definiálása Mawell kimutatta hog eg tetszőleges de szimmetikus F tenzoból ot (ot F) T =σ (7) módon képezett feszültségtenzo kielégíti ezt a divegencia-feltételt 56 tehát statikailag lehetséges feszültségeket eedménez Ezt az F tenzot tekinthetjük a legáltalánosabb D 55 Giacinto Moea (856 97) olasz ménök és matematikus Sokat foglalkozott dinamikus endszeek matematikai vizsgálatával és nem-foltonos mechanikai endszeek elemzésével 56 Megjegezzük hog hasonló elemzés található Tanai Kompatibilitási egenletek című honlapon található segédletében is 6 7

172 feszültségfüggvénnek (a matematikusok által használt nevén vektopotenciálnak is nevezik) A belőle számítható eges tébeli feszültségkomponensek észletes alakja az eedeti definícióból levezetve (a képletekben a otáció számításából adódó soendben tüntettük fel az eges tagokat továbbá nem használtuk ki az F tenzo szimmetiáját): F Fz F z Fz F F z F z Fz σ = + σ = + z z z z z z F F F σ z = + F F Fz F z F F z F F z F z τ = + + τ z = + z z z z z F F F z F z τ z= + + (8) z z Ha ez az F feszültségfüggvén-tenzo diagonálmátiú akko az úgnevezett Mawell-féle D feszültségfüggvénekhez jutunk: F Fz Fz F F F σ = + σ = + σ z= + (9) z z F F F τ = τ z = τ z= z z Ha az F feszültségfüggvén-tenzonak a főátlóbeli elemi zéus étékűek akko Moea feszültségfüggvéneit kapjuk: F z F z F σ = σ = σ z= () z z F Fz F z F F z F z τ = + + τ z= + z z z F F z F z τ z= + z Ha az F tenzo gömbtenzo (diagonálmáti azonos étékű elemekkel) akko kapjuk a klasszikus Ai-féle feszültségfüggvéneket: F F F F F F σ = + σ = + σ z = + () z z F F F τ = τ z = τ z = z z Ennek a feszültségfüggvén-tenzonak síkbeli változatát vezettük le a D mechanikai alapegenletek segítségével Ha a most bemutatott Mawell-féle általános összefüggést akajuk használni az Ai-féle modell előállításáa akko a következőképpen kell eljánunk: Előszö kiszámítjuk az F gömbtenzo otációját (ennek a műveletnek a végehajtásáa lásd a Függelék vonatkozó képletét) majd vesszük az íg kapott mátinak a tanszponáltját (az egszeűség kedvéét jelöljük ezt most B-vel): 6 7

173 z ot F= [ F ] + [ F ] + [ F] = z F F F F z z F F T F F = ( ot F) = B= z z F F F F () A következő lépésben ennek a B tenzonak hatáozzuk meg a otációját Az eges elemek azonnal megadják a megfelelő feszültségkomponens meghatáozásának képletét (temészetesen mi csak a kétdimenziós változatot vizsgáltuk ennek figelembevételével kell ételmezni az összefüggéseket): F F F F + z z z F F F F σ τ τ ot B= σ + z z z = = τ σ τ () z z z F F F F τ τ σ + z z Komple függvének használata feszültségfüggvének céljáa Komple változók 57 segítségével az Ai-féle feszültségfüggvének olan típusú feladatok megoldásáa is alkalmassá tehetők ameleket a hagomános algebai polinomok segítségével nem vag csak nehézkesen lehet kezelni Ilen alkalmazási teület például a töésmechanika különböző feszültség-szingulaitási poblémáinak kezelése Most csak az alapegenletek megfogalmazásával foglalkozunk a további észletek tágalása a Töésmechanika c tág feladata Vegünk fel eg tetszőleges ϕ ( z) = p( ) + iq( ) p= Re( ϕ ) = ( ϕ+ϕ ) q= Im( ϕ ) = ( ϕ ϕ ) (4) i analitikus 58 komple függvént a fenti alakban A paciális deiváltak: ϕ z p q z p q = ϕ =ϕ ( z) = + i ϕ = ϕ = iϕ ( z) = + i z z (5) Az eges komponensek a Cauch-Riemann 59 -feltételeket is teljesítik hiszen: 57 Emlékeztetőül: z= + i= ep( iθ ) z= i= ep( Θ i ) illetve = Re( z) = ( z+ z ) = Im( z) = ( z z ) i 58 Eg függvén analitikus ha a vizsgált tatomán bámel pontjában Talo-soba fejthető 6 7

174 p q p q = = (6) További deiválással valamint a kapott tagok összeadásával-kivonásával bizonítható hog p= q= (7) azaz minden analitikus ϕ ( z) függvén valós (p) és képzetes (q) észe hamonikus 6 függvén Gousat 6 majd őt követően Muszhelisvili 6 bizonították be hog az alábbi függvéne teljesül a bihamonikus jelző: Φ= Re ( zϕ ( z) +Ψ ( z) ) = ( zϕ ( z) + zϕ ( z) +Ψ ( z) +Ψ ( z) ) (8) Az eges paciális deiváltak: Φ ( ) ( ) z z Φ = ϕ+ ϕ+ϕ+ ϕ+ψ+ψ = ϕ+ z ϕ +Ψ + ϕ+ z ϕ +Ψ (9) Φ i Φ = ( ϕ+ zϕ+ϕ zϕ+ψ Ψ ) = ( ϕ+ zϕ +Ψ ϕ+ zϕ +Ψ ) A második deiváltakat felhasználva: Φ F Φ= + = ( ϕ+ϕ ) = 4 Re( ϕ ) Re( ϕ ) = Φ= (4) A feszültségkomponensek számításához szükség lesz a veges második deiválta is: Φ i = ( zϕ + zϕ +Ψ Ψ ) (4) A feszültségek és a feszültségfüggvének közötti kapcsolatot komple függvének alkalmazása esetén az alábbi fomában szokták megadni (ezeket hívják a mechanikában Koloszov 6 -Muszhelisvili-egenleteknek): σ +σ = Φ= 4Re( ϕ ) σ σ + iτ =Φ Φ iφ = ( zϕ +Ψ ) (4) Bá itt nem észleteztük előállításuk módját de a teljesség kedvéét megadjuk az elmozdulások számításáa alkalmas hamadik Koloszov-egenletet is: G( u + iu ) =κϕ z ϕ ψ (4) ν ahol κ= (sík feszültségi állapot) vag κ= 4 ν (sík alakváltozási állapot) +ν Emlékeztetőül megjegezzük hog a fenti egenletekben az eges tagok jobb alsó indeei után 59 Geog Fiedich Benhad Riemann (86 866) német matematikus az analízis és a diffeenciálgeometia kiváló tudósa 6 Eg függvén akko hamonikus ha a Laplace-opeátot a függvéne alkalmazva zéust kapunk 6 Edouad Jean-Baptiste Gousat (858 96) fancia matematikus az analízis és a komple függvéntan jeles tudósa 6 Nikoloz Muszhelisvili (89 976) híes gúz matematikus Koloszov tanítvána Elsősoban a komple függvéntan töésmechanikai alkalmazásáól és az ehhez kapcsolódó vizsgálatokól ismet (keesztnevének oosz változata különböző művekben: Nikolaj Ivanovics) Koloszov és Muszhelisvili fénképe látható a (44) képlet felett (Koloszov képe a bal oldalon) 6 Juij Vasziljevics Koloszov (867 96) oosz matematikus és ménök Ő oldotta meg előszö komple feszültségfüggvének segítségével a töésmechanika alapfeladatát: a beepedt tácsában keletkező szinguláis feszültségmezők számítását 6 74

175 elhelezett vessző a változó deiválásáa utal vagis Φ például Φ = Sokszo a számításokban előnösebb ezek polákoodináta-endszeben felít változatait használni: σ +σ = 4Re( ϕ ) σ σ + iτ = ( zϕ +Ψ )ep( iβ ) (44) β β β G( u+ iuβ ) = ( κϕ zϕ Ψ )ep( iβ ) (45) Megjegezzük hog van olan komple feszültségfüggvén is amel bizonos köülmének (például a mechanikailag teljesen szimmetikus feladatoknál előfoduló feszültség eloszlási előíások) megléte esetén egmaga teljesíti a szükséges feltételeket (ilen például a Westegaad (lásd a 4 előadás lábjegzetét) által vizsgált feladatcsopot is ezeket szintén a Töésmechanika c tág előadássoozatában ismetetjük A különböző mechanikai tatalmú bihamonikus diffeenciálegenletek vizsgálatának kapcsolata Főleg a laboatóiumi vizsgálatok iánt édeklődőknek hasznos tudni aól hog a különböző fizikai tatalmú de matematikai fomájukat tekintve hasonló feladatok megoldásának vizsgálatáa igen édekes kapcsolt kíséletek születtek a mechanikai kutatóközpontokban A háom legtöbbet vizsgált kapcsolt mechanikai feladatpá a következő feladatokat vonta össze: F a/ Tácsa bihamonikus diffeenciálegenlete: F = σ = b/ Lemez 64 p( ) bihamonikus diffeenciálegenlete: w= w( ) D c/ Lassú áamlású viszkózus foladék bihamonikus diffeenciálegenlete: ψ= ψ u = ahol u a foladék észecskéinek eltolódásfüggvéne Wieghadt 65 volt az első kutató aki lemez- és tácsafeladatok laboatóiumi vizsgálatával hasonlította össze az a és a b alatti feladatok eges paaméteeit (elsősoban a tácsák feszültségeloszlásának elemzésée töekedett) Southwell 66 minteg ötven évvel később ugancsak lemezeket vizsgált laboatóiumi köülmének között de ő a foladék mozgásának jellemzőit számította vagis a b és c egenletek összehasonlításával dolgozott 64 Ennek a feladatnak itt bemutatott matematikai egenletét a BSc Tatók statikája c tág keetében ismetettük Az egenletben p() a tehelés- w() pedig a lemezsíka meőleges eltolódás függvéne D az izotóp lemez skalá meevségi paamétee 65 Kal Wieghad német ménök (874 94) Kapcsolódó publikációja: Übe ein Vefahen vewickelte theoetische Spannungsveteilungen in elastischen Köpen auf epeimentellem Wege zu finden Teubne Belin

176 6 76 Hamadikként eg ugancsak angol kutató T Richads 67 neve édemel említést ő tácsák feszültségkoncentációs jelenségeit vizsgálta foladékok mozgásának elemzésée építve vagis az a és c egenletek összehasonlításával dolgozott Példa Vizsgáljuk meg az ábán látható egik végén befogott faltató feszültségeloszlását az Aiféle feszültségfüggvének segítségével Első lépésként a feszültségfüggvénben levő ismeetlen egütthatókat hatáozzuk meg a tácsa peemén általunk kiválasztott feszültségi feltételekből: ába: Faltató vizsgálata Vegük fel a feszültségfüggvént az alábbi polinom fomájában: ) ( 5 4 c c c c F = Felhasználva a bihamonikus diffeenciálegenlet adta feltételt: c c F c F c F F = = = = = íg a feszültségfüggvén módosított kiindulási alakja: ) 5 ( ) ( 5 c c c F + + = Az eges feszültségek: ) 4 (6 c c c F c F + + = = σ = = σ 6 c c F = = τ A felső és alsó él menti statikai peemfeltételek a következők: / / = = τ = = τ = = h c c h c c h h 66 Southwell R V : Use of an analogue to esolve Stokes s paado Natue Vol 8 pp Richads T H: Analog between the slow motion of a viscous fluid and the etension and fleue of plates: geometic demonstation b means of Moie-finges Bitish J of Appl Phsics Vol pp

177 Példa σ = c = h / + ch+ ch = q σ = c c 4 = h / h ch = 4 Háom független egenletet felhasználva kiszámíthatók az egütthatók: q q q c = c = c = 4 4h h A feszültségek végleges alakja: q σ q q q q 6q = ( 6 4 ) σ = + τ = h h h h h A feszültségfüggvénes megoldásnál mindig célszeű további ellenőzéssel megvizsgálni a megoldás pontosságát Például most a bal oldali véglapon a níófeszültségek étékée = helettesítéssel valóban zéust kapunk de a q vízszintes nomálfeszültség má nem lesz zéus: σ 4 = = bá h h/ h/ 4q vetületösszege nullával egenlő: σ d= = h d= Szükség esetén h / h/ észletes elemzéssel kell eldöntenünk elfogadható-e feszültségfüggvén további finomításával (például bevonásával) kelll pontosítanunk a megoldást Vizsgáljuk meg az ábán látható sík feszültségi állapotban lévő egségni vastagságú végtelen kitejedésű középen lukkal gengített tácsa feszültségeloszlását Ezt a feladatot G Kisch 68 oldotta meg előszö 898-ban ez a hiba vag a újabb peemfeltételek ába: Húzott tácsa vizsgálata 68 Gustav Kisch (84 9) német ménök A lukkal gengítettt tácsa feszültségeinek vizsgálata tette ismetté nevét Vonatkozó publikációja: Die Theoie de Elastizität und die Bedüfnisse de Festigkeitslehe Zeitsch Ve Deutschen Ing Vol 4 pp

178 Nagméetű tácsánál esetén elváható hog a megoldás a külső tehelő feszültséghez tatson vagis σ = p ésσ =τ = Fejezzük ki a feladatban használt és polákoodináta-endszeben felít feszültségkomponenseket a vízszintes tehelő komponens segítségével: σ =σ cos ϑ= p(+ cos ϑ) σϑ =σ sin ϑ= p( cos ϑ) τ ϑ = σ sinϑcosϑ= psin ϑ A luktól távoli tatománokban ualkodó tiszta húzás jól jellemezhető eg egszeű feszültségfüggvénnel: F = σ = σ sin ϑ= σ ( cos ϑ) 4 A luk könezetének vizsgálatáa alkalmas feszültségfüggvént ennek mintájáa célszeű felépíteni Kisch szeint eg lehetséges ajánlás ee a függvéne: F ( ϑ) = F ( ) F ( )cosϑ Helettesítsük be ezt a bihamonikus diffeenciálegenlet polákoodinátás alakjába: d d d d 4 F = ( ) + + ( )cos ϑ= F + F d d d d Mivel ennek minden ϑ szöge teljesülnie kell a feltételből két egenlet adódik: d d d d 4 ( ) + = ( ) = F + F d d d d Az első egenlet uganaz mint a polákoodinátákkal felít szimmetikus esete vonatkozó bihamonikus alak (Eule-féle diffeenciálegenlet) íg megoldása is megegezik az előzőekben levezetettel: F ( ) = c + c ln + c + c4 ln A második egenletet észletesen kifejtve a következőt kapjuk: 4 d F d F 9 d F 9 df + + = 4 d d d d m Ez az egenlet is nagon hasonlít az Eule-féle egenlete megoldását szintén c alakban keessük Behelettesítve a diffeenciálegenletbe az 4 m 4m 4m + 6m= egenlethez jutunk melnek megoldásai: m = - és 4 Íg 4 F ( ) = c5 + c6 + c 7 + c8 Behelettesítve a feszültségfüggvén végleges alakját az eges feszültségkomponenseke kapott koábbi polákoodinátás összefüggésekbe: c 4c5 6c6 σ = + c + c4 (+ ln ) + + c7 cosϑ 4 Ezeknek a feszültségeknek esetén a bevezetőben megadott feszültségkomponensekhez kell tataniuk azok étékét és képlettel kifejezett alakját is felvéve A feszültségeknek emellett ki kell elégíteniük a luk szabad peemén figelembeveendő peemfeltételt is nevezetesen: σ =τϑ = ϑ bámilen étékée Mindezeket figelembe véve a paaméteek: 6 78

179 pa p pa pa p c 4 = c 8 = c = c = c5 = c6 = c7 = A keesett feszültségek függvénei tehát: p a 4 a a p a 4 a σ = + ϑ σ = cos ϑ 4 ϑ + cos 4 4 p a a τ ϑ = + sin 4 ϑ Az eedmének étékelésénél felhívjuk a figelmet a ϑ= -nál keletkező nomófeszültsége (tisztán húzott szekezetünk van!) illetve a ϑ=±π/ -nél fellépő feszültségkoncentációa! Megjegezzük hog minél inkább elté a kötől az ellipszis iánába a kivágás alakja (az ellipszis hosszabbik tengele legen meőleges a húzás iánáa) annál inkább nő a feszültség koncentációja! Ugancsak fontos megjegzés hog fenti levezetés elvileg végtelen kitejedésű tácsáa vonatkozik hiszen a tácsa méeteit sehol nem vettük figelembe Véges méetű tácsáknál a koncentáció étéke csökken Fenti kédések észleteit lásd a Töésmechanika c tág keetein belül Megemlítjük hog az előbb bemutatott Koloszov-Muszhelisvili-egenletek felhasználásával a fenti feladat általánosítható vagis kö alakú luk helett vizsgálható eg ellipszis alakú nílás könezete 4 Még összetettebbé válhat a feladat ha a tácsáa a végtelenben níófeszültségek működhetnek (lásd a -as ábát): tetszőleges nomál- és ába: Ellipszis alakú luk könezetének vizsgálata Ilen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelénél a feszültségek lénegesen nagobb koncentációja mutatható ki mint a kö esetében Ha az ellipszis végtelenül vékon epedéssé fajulna el akko a nagsága a végtelenhez tat A feszültségcsúcsok köhöz képesti ézékeltetik a következő ába tajektóiahálózatai: lokális feszültségcsúcs gos növekedését jól 6 79

180 4 ába: Kö és ellipszis alakú luk könezetének tajektóiahálózata Az ilen típusú bemetszések lukak és epedések könezetének Töésmechanika c tág foglalkozik vizsgálatával szintén a Példa Számítsuk ki az ábán látható kögűű-szelet alakú tisztán hajlított tácsa feszültségeit 5 ába: Kögűű-szelet alakú tácsa hajlításának vizsgálata A szimmetia miatt ismét alkalmazhatjuk az Eule-egenletnél használt négpaamétees megoldást (emlékeztetőül: F( ) = c+ c ln + c + c4 ln ) A feszültségek: df c d F c σ = = + c + c4 ln + c4 σ β = = + c + c4 ln + c4 τ β = d d A peemfeltételek: σ = = nél és = nál illetvee Az első két feltételből: i o o ( ln ln 4 + o ) i (+ ln i ) c = c c = c4 o i i ( o i ) A hamadik feltétel automatikusan teljesül mivel a feszültségfüggvén teljesíti ezt az egensúli feltételt A negedik feltétel: Integálás és egszeűsítés után: o c ln + c4 o ln o i ln i + ( c + c4 )( Behelettesítve a i o o σ βb d = és σ βb d= M i c 4 = ( o i ) ahol K = ( o i ) 4i o i c + c4 ln + (c + c4 ) b d = M i i e és c ( ) o i ) = c a az előzőekben kapott két feltételt: M o o (ln ) bk M b i 6 8

181 A másik két paaméte ezek figelembevételével: c 4 M o M ln [ = i o c = o (+ ln o ) i (+ ln i )] bk i bk A feszültségek képletei mindezek figelembevételével: 4M i o o o σ = ln ln ln o i bk i i σ τ β β 4M i o o o = ln + ln ln ( o + i o i ) bk i i = A feszültségek függvénét tünteti fel eg metszetben az alábbi ába 69 : 6 ába: Sugá- és éintő iánú feszültségek változása 4 Példa Számítsuk ki a sík feszültségi állapotban lévő vastag falú kö alakú tácsa feszültségeit az ábán látható külső és belső tehelés hatásából! 7 ába: Kö alakú tácsa sugá iánú külső és belső teheléssel A feladat megoldásához az alábbi feszültségfüggvén javasolható: F= Aln + C + B 69 Megjegezzük hog eősen göbült tatók (főleg geendák) hajlításával előszö a német Emil Winkle (lásd a /9-es lábjegzetet) majd őt követően az ugancsak német Julius Cal von Bach (847-9) foglalkozott 6 8

182 A háom ismeetlen állandót a feszültségek illetve a ájuk felíható peemfeltételek segítségével hatáozzuk meg A feszültségek polákoodinátás alakban (a szimmetia figelembevételével): F A σ= = + C τ β= F A σ β= = + C A feszültségi peemfeltételek és a figelembevételükkel kapott egenletek: σ = p σ = p = a a = b b A A + C= p a + C= p b a b Az egütthatók étékei: a b ( p ) a p b p a a p b b A= C= b a b a A keesett éintő- és sugá iánú feszültségek: paa pbb ( pa pb) a b paa pbb ( pa pb) a b σβ = + σ = b a b a b a b a Háom megjegzés: ( ) ( ) a/ A két feszültségéték összege a tácsa bámelik pontjában állandó b/ Ha nincs belső luk (a = ) akko mindegik pontban σ = σβ = p b c/ Ha van eg akámilen pici belső luk ( a b de a ) akko az éintő iánú feszültség azonnal kétszeesée nő ( σβ = p )! Csavaási feladatok vizsgálata feszültségfüggvének segítségével Vizsgáljuk meg az ábán látható végein T csavaó-nomatékokkal tehelt úd csavaási feladatát b 8 ába: Csavaás vizsgálata feszültségfüggvénekkel A keesztmetszet tömö és tetszőleges alakú A számításnál a csavat udak Saint-Venant modelljét használjuk nevezetesen: 6 8

183 - a csavat keesztmetszetek síkjukban meev lapok meőlegesen azonban szabadon defomálódhatnak ( szabad csavaás ) - a csavaónomatékok a úd véglapjaia níófeszültségek fomájában adódnak át ezek eloszlása megegezik a többi keesztmetszetben keletkező níófeszültségével A keesztmetszetek z tengel köüli állandó fajlagos elatív elfodulását jelöljük κ z -vel Vegük fel a koodináta-endsze kezdőpontját az egik (ögzített) véglap súlpontjában íg eg tetszőleges helen levő lap elfodulása a z tengel köül: ϕ z z=κ z Eg metszeten belül levő P pont elmozdulásai: u= ϕ = κ z v=ϕ =κ z w= w( κ ) (46) z z z z z Az elmozdulások között szeeplő w( κ z ) a keesztmetszet saját síkjáa meőleges eltolódásának ismeetlen függvénét jelöli ( öblösödési függvén) Az eltolódások felhasználásával a geometiai egenletek: u v w u v ε = = ε = = ε z= = γ = + = (47) z w u w w v w γ z = + = κz γ z = + = +κz (48) z z A kompatibilitási egenlet a két utolsó geometiai egenlet segítségével kapható: az elsőt a második szeint deiváljuk majd kivonjuk őket egmásból γ z γ z = κz (49) Helettesítsük be most az alakváltozásokat az anagmodell egenleteibe Csak két níófeszültségi komponens lesz zéustól különböző: w w τ z = Gγ z = G z z G z G z κ τ = γ = +κ (5) Az egensúli egenletek ennek figelembevételével: τz τz τz τz = = + = (5) z z Az első két egenlet automatikusan teljesül mivel a feszültségek nem változnak a z tengel mentén a hamadik pedig úg elégíthető ki ha feltételezünk eg speciális F() feszültségfüggvént amelből az eges nemzéus níófeszültség-komponensek az alábbi módon számíthatók: F F τ z = τ z = (5) Megjegezzük hog bá magát az eedeti csavaási feladat megoldását Saint-Venant vezette le még a XIX században gakan nevezik ezt az F függvént Pandtl-féle feszültségfüggvénnek is utalva aa a szélesköű laboatóiumi munkáa amit Ludwig Pandtl (adatait lásd koábban az ötödik fejezetben) végzett csavaási feladatok modellezése teén Az anagmodellek segítségével a níófeszültségekből kapott szögtozulásokat beíva a kompatibilitási egenletekbe a következő egenletet kapjuk: F F + = Gκ z (5) 6 8

184 Ezt az egenletet Poisson-féle diffeenciálegenletnek hívják Megjegezzük hog a keesztmetszet eg tetszőleges pontjában keletkező eedő níófeszültség étéke mindig az F feszültségfüggvén gadienséből számítható hiszen: / / F F τ z=τ ( z +τ z ) = + = gad F (54) A számítások soán statikai keületi feltételként kell figelembe vennünk hog a teheletlen felületű keesztmetszet hatávonalán az eedő níófeszültségnek egbe kell esniük a hatávonal adott pontbeli éintőjével vagis a feszültségfüggvénnek a kontúvonal mentén konstansnak kell lennie Mivel ez a konstans éték a feszültségszámításoknál szükséges deiválások soán eltűnik az egszeűség kedvéét zéusnak vehető (kivéve olan speciális de most nem tágalt eseteket mint például a belül üegekkel endelkező keesztmetszetek!) vagis a hatávonalon: F = (55) A úd véglapjáa vonatkozó Saint-Venant-feltétel szeint itt a níófeszültségek eedője a csavaónomatékkal egenlő Felíva két vetületi és nomatéki egenletet: F τ z da= dd= F( ) d= τ z da= F( ) d= (56) A F F ( τz τ z ) da= + da= T (57) A A Az első két egenlet a feszültségfüggvén hatápontokon felvett zéus étékei miatt teljesül ( F( ) az F függvénnek a hatávonal megfelelő pontjaiban felvett étékeit jelöli) a hamadiknál pedig figelembe véve a F ( F) = + F (58) azonosságot az első tagot átíhatjuk F = ( F ) F (59) alakba íg integálja: F da ( F ) F = da = F da (6) A A A étékű lesz (az első tag a vetületi egenleteknél említettek miatt zéus) A második tag integálása uganíg végehajtható íg végül az egensúli egenlet: F( ) da= T (6) A Megjegezzük még hog szükség esetén a w öblösödési függvént a 48 alatti kompatibilitási feltételből lehet meghatáozni Édekes megoldási változat található 7 alatti könvében ő az egébként eől a csavaási feladatól Filonenko-Boodics [ ] öblösödési függvén meghatáozásából indul ki és csak utána vizsgálja a fajlagos elfodulás illetve a níófeszültségek étékeit 4 Példa: Hatáozzuk meg az ábán látható egenlő oldalú háomszögben keletkező níófeszültségek étékét A 6 84

185 9 ába: Háomszög keesztmetszet csavaása Íjuk fel az oldalélek egenleteit: h h h = (z+ a) ( jobb él) = (z a)( bal él) = ( alsó él) a a Vegük fel a feszültségfüggvént ezek segítségével ( c ismeetlen állandó): h h h F( z ) = c ( z+ a) + ( z a) + a a Összeszoozva és endezve: 4h 4h 4 F ( z ) = c z h z + h 7 a a Figelembe véve hog a= h / a feszültségfüggvénben má csak h szeepel Behelettesítve a második deiváltakat a Poisson-féle diffeenciálegenletbe c-e a következő étéket kapjuk: E c= κ 4h(+ν) Vegük most figelembe az egensúlt kifejező egenletet Ehhez fel kell ínunk az a integálási hatáokat is A jobb oldali élen: z j = ( h) a bal oldali élen: 6h a z b = ( h) Íg: 6h h / z 4 b 4 h h ah T = c h + h 4 + z = dz d c 7 5 h / z a j Felhasználva az a és h közötti összefüggést: 8T 6 (+ν) T c= κ 5 = 4 a E a A níófeszültségek képletei: F 6T a z 5 z a τ = = + 8T τ z = ( a z ) 5 a T τ ma = a A legnagobb níófeszültség az oldalélek középpontjaiban keletkezik lásd az ába vázlatát: 6 85

186 5 Példa ába: Níófeszültség változása Hatáozzuk meg az ábán látható négszög alakú keesztmetszett csavaásból keletkező níófeszültségeit! ába: Csavat négszög keesztmetszet geometiai adatai A feladatot előszö Si Geoge Gabiel Stokes 7 a hidodinamika kiváló tudósa oldotta meg 84-ban észben saját kíséleteie hivatkozva Az általa ajánlott meglehetősen bonolult feszültségfüggvén a következő: 4 Eκ ( n )/ ch( nπ / b) F = ( ) π +ν n= 5 n ch( nπh / b) cos n π z b Felhasználva az egensúla vonatkozó (6) alatti feltételt meghatáozható a fajlagos elfodulás: T( +ν) F( ) da= T κ = k Ehb A ahol 9 b nπh k = th 5 5 π h n= 5 n b A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható hog a legnagobb níófeszültségek az A és B pontban (lásd a -es ábát) keletkeznek Ezek étéke: T τ ma = k hb 7 Stokes: Cambidge Phil Soc Tans Vol

187 ahol 8 k = k / k k = π n ch( n π h /( b)) n= 5 Ennek a feladatnak ettől eltéő felépítésű de végeedménét tekintve ezzel megegező édekes megoldását találja az olvasó Rekacs [ 8 ] alatti művében Megjegezzük hog ha h>> b akko / k = / k és íg a maimális níófeszültség: τ T Tb ma hb = hb Ezt a képletet használtuk a BSc Sziládságtanban a nitott vékonfalú szelvénekből álló keesztmetszet csavaásának elemzéseko Felhasznált iodalom: / Bezuhov N I: Bevezetés a ugalmasságtanba és a képlékenségtanba Tankönvkiadó 95 / Muszhelisvili N: Some basic poblems of mathematical theo of elasticit P Nodhoff 95 / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv 4/ Rolle B: A statika művelődéstöténete Műegetemi Kiadó 5/ Meleshko V V : Selected topics in the histo of the two-dimensional bihamonic poblem ASME Appl Mech Rev Vol 56 pp / Love A E H: A teatise on the mathematical theo of elasticit New Yok 944 7/ Filonenko-Boodics M M: Theo of elasticit Dove Publ 965 8/ Rekacs V G : Manual of the theo of elasticit Mi Publ

188 Előadás: Hajlított geendák D modelljei kis elmozdulások és dinamikus hatások esetén Rugalmasan ágazott geendák A geendák minden lehetséges mechanikai észlete kitejedő viselkedésének modellezése a szekezet látszólagos egszeűsége ellenée még ma sem teljesen megoldott vizsgálatuk az aktívan kutatott teületek közé tatozik Ménöki szempontokat és igéneket figelembe vevő számításuk ma lénegében háomféle modell segítségével töténik: - Benoulli-Navie-féle klasszikus modell 7 : a számítás alapvetően a hajlítás hatásának figelembevételée épül Elsősoban homogén és izotop anagú tömö keesztmetszetű geendák vizsgálatáa alkalmas - Níási modellek: a hajlítás mellett a níási tozulások hatását is figelembe veszik az alapvető egenletek megfomálásánál Első változatukat má Saint- Venant megfogalmazta a XIX század második felében legismetebb képviselőjüket az úgnevezett Timoshenko-féle (lásd a néges számú lábjegzetet) lineáis változatot 7 9-ben publikálták Ez a modell jól használható éteges felépítésű geendák mechanikai jellemzőinek számításáa - Kontinuummechanikai modellek: D vag D sziládságtani elméletek alapján felépített változatok tatoznak ebbe a családba Elsősoban bonolult geometia eősen változó és/vag szabáltalan belső üegendszeel tehelt keesztmetszet jelentős geometiai és anagi nemlineaitás esetén használják Különösen előnös akko amiko az anagi nemlineaitást különböző minőségű étegekben kell követnünk Megjegezzük hog mindháom leíásmód végeselemes modellezésée láthatunk példát a páhuzamosan futó MSc tágakban Az első kettővel a Végeselemes modellezés matematikai alapjai a hamadikkal a Végeselemes modellezés nemlineáis feladatok vizsgálata c tág foglalkozik A továbbiakban kizáólag kétdimenziós homogén izotop és lineáisan ugalmas anagú geendák alapvető egenleteinek eős alakjaival foglalkozunk A figelembe veendő mozgások kicsik de az egenleteknél figelembe vesszük a dinamikai hatásoka létejövő eltolódásokat (kis ezgéseket) is Megjegezzük hog a kezdeti feltételeket (t = pillanathoz tatozó sebesség és igénbevétel-függvéneket) mindegik modellnél ismetnek tételezzük fel D hajlított geenda Benoulli 7 -Navie-féle ( klasszikus ) modellje 7 Édemes elolvasni a modell létehozásának minteg 4 éves töténetét bemutató összefoglalót Benoulli Navie és a klasszikus geendaelmélet címmel megtalálható a Tanszék honlapján 7 Timoshenko S P : On the coection fo shea of the diffeential equation fo tansvese vibations of pismatic bas Philosophical Magazine Vol 4 pp Jacob Benoulli (654 75) svájci matematikus a híes matematikus-dinasztia első képviselője életéől az sz lábjegzetben említett összefoglalóban olvashatunk 6 88

189 A ába változatai a geendamodellnél használt koodinátaendszet a létejövő elmozdulásokat és a belső igénbevételeket ábázolják (z tengel az ába síkjáa meőleges) A vizsgált úd teljes hosszát L-lel jelöljük u u és u a geenda eg tetszőleges pontjánál az és z jobbkezes endszet alkotó tengeleknek 74 megfelelő eltolódások s belső lokális koodináta pedig a tengelvonal mentén ételmezett ívhossz A modell alapfeltételezése szeint azok a keesztmetszetek melek a defomáció mentes állapotban meőlegesek a úd súlponti tengelée a defomálódott állapotban is síkok maadnak és továbba is meőlegesek lesznek a tengele vagis ebben a modellben nincs níási szögtozulás ( ε = ) A geenda keesztmetszeti súlpontjának tengeliánú u eltolódását szintén elhanagoljuk íg egetlen változó (v(st) az tengel iánú eltolódás) jellemzi a úd elmozdulásait ába: A Benoulli-Navie-modell alapvető változói A dinamikus állapot iánban felít egensúli egenlete (Newton második tövéne): F ds cosθ+ q ds= mdsvɺɺ () 74 A és z tengelek jelölésée a továbbiakban gakan használjuk az és soszámozást Megjegezzük hog az eők és nomatékok vektoai a tengelek iánában pozitívak Ennek megfelelően F nomáleőt F níóeőt M pedig hajlítónomatékot jelent stb 6 89

190 ahol Θ a keesztmetszet elfodulási szöge q az tengellel páhuzamos külső megoszló tehelés függvéne a vessző szimbólum az s változó szeinti paciális deiválást helettesíti ( ) az eltolódásfüggvén feletti pont pedig az idő szeinti deiválta utal Az s F níóeő és az m fajlagos tömeg a níófeszültség és a sűűségfüggvén segítségével számítható 75 : () F= σ da m= ρ da A A két níóeő közötti felezőponton átmenő a síka meőleges z tengellel páhuzamos tengele felít nomatéki egensúli egenlet 76 : M ds+ F ds+ ( F+ F ds) ds= J dsθ ɺɺ (/a) ahol: M da J da fogási inecia sűűség = σ = ρ ( ) ρ A A 6 9 A (/b) Kis mozgások feltételezése esetén: sin Θ=Θ cosθ= Θ= v (4) Ezeket a közelítéseket alkalmazva az egensúli egenletekben és elhanagolva a magasabb endű F ds tagot az összevont egensúli egenlet: ( ) F + q = mvɺɺ M + F = J vɺɺ M + q= mvɺɺ J v ɺɺ (5) A következő lépés a nomaték és az eltolódás összekapcsolásáa szolgáló egenlet felíása Ehhez előszö a keesztmetszet eg tetszőleges pontjának eltolódásait adjuk meg: u= sin θ = v u= v ( cos θ ) = v u= (6) Az alakváltozások a geometiai egenletekből számíthatók: u u u ε = = v ε = + = ε =ε =ε =ε = (7) s s Fontos tudnunk hog az itt kapott alakváltozások nem pontosak hiszen a fizikai ealitásként létező Poisson-hatás miatt ε és ε nem lehet zéus étékű! A Benoulli-Navie-modell íg csak olan geendáknál alkalmazható ahol ez a hiba még nem jelentős A hiba temészetesen jelentkezik a E ( ν) σ = ε (8) ν ν módon számítható (lásd az 5 előadás anagmodelljeit) nomálfeszültségben is A (8) képlet helett elfogadva a σ =σ= közelítő feltételt a σ = E ε = E v σ = (9) feszültség-komponenseket használja a Benoulli-Navie-modell Ha az itt kapott nomálfeszültséget beíjuk M koábbi képletébe akko a nomaték és az eltolódásfüggvén kapcsolatáa adódó egenlet: M = E v da= EI v I= da () A Helettesítsük be végül ezt az egenletet a dinamikai egensúl összevont képletébe: EI v ) + q = mv& ( J v& ) () ( 75 Az előbb említett ε = állításból adódó ellentmondása még visszatéünk 76 A külső tehek nomatékát jó közelítessel zéusnak tekinthetjük ee a ponta A

191 A megoldás soán (az alkalmazott megoldási módsze mechanikai típusától függően) peemfeltételi előíásokat adhatunk meg v e és v e vag pedig F e és M a Itt jegezzük meg hog az F níóeő a bevezetésben felít níófeszültségi integál ε ( és ígσ ) zéus volta miatt nulláa adódna Ezt az ellentmondást úg keüljük el hog a níóeő számításáa az egensúli egenletet használjuk fel: F = EI v ) + J & () ( v Ebben a pontban az alapvető ( eős ) diffeenciálegenleteket az egensúli- geometiai- és anagegenletek felhasználásával fogalmaztuk meg A következő pontban másféle technikát alkalmazunk bemutatjuk a fodított eljáást vagis előszö a feladat vaiációs ( genge ) alakját adjuk meg és abból vezetjük le az alapegenleteket D geenda modellek a níási alakváltozás hatásának figelembevételével A níási modellek a klasszikus geendaelmélet előzőekben leít ellentmondásait kívánják feloldani Az alapvető változókat ismét az ábán tüntettük fel: a tengel eltolódásait most is zéusnak tekintjük viszont bevezetünk eg új változót amel a údtengelnél keletkező níási elfodulásokat fogja jellemezni 77 : γ 6 ( s t) továbbá eg g ( ) 78 -nal jelölt níási öblösödési függvént amel a keesztmetszet níás hatásáa létejövő tozulását íja le: Az eges eltolódások: u = sinθ +γ 6 g cosθ u = v ( cosθ) +γ 6 g sinθ u = () 77 A níási szögelfodulás indeében szeeplő 6 -os szám a Voigt-féle vektoba töténő átendezés esetén a vekto hatodik elemének helée utal: γ6 ε 78 A hámas inde a hámas számú koodináta-tengele utal 6 9

192 ába: Níási hatások figelembevétele A kis elmozdulásoka alkalmazott közelítéseket itt is alkalmazva és a nemlineáis tagokat elhanagolva a következő összefüggéseket kapjuk: u = v + g γ u = v u (4) 6 = Megjegezzük hog a níási elfodulás tulajdonképpen az u eltolódási függvén = helén előít deiváltját jelenti A geometiai egenletek: u u u dg ε = = v + gγ 6 ε = + = γ6 ε =ε =ε =ε = (5) s s d A mozgásegenletek megadásához most vaiációs elve téünk át Íjuk fel a kinetikus enegia és a teljes potenciális enegia különbsége vaiációjának 79 időintegálját (ezt a mechanikában a Hamilton 8 -elv egenletének hívják): ahol k t ( δk δπ b+δπ k) dt= (6) L L L q v ds b ( ) dads δ K= ρu ɺɺ δu dads (7) δπ = δ δπ = σδε +σ δε A A képletben szeeplő u a teljes eltolódásvektot jelöli: u= u e + u e + u e = ( v + gγ ) e + v e u ɺɺ = ( vɺɺ + gɺɺ γ ) e + vɺɺ e (8) z 6 6 δu = ( δ v + gδγ ) e +δ v e (9) 6 Behelettesítve a kinetikai enegia vaiációjának képletébe: ahol L A ( ) ( ) δ K= v v v g 6 v g 6 gv ρ ɺɺδ + ɺɺ γ δ + γ δγ 6 dads= ɺɺ ɺɺ ɺɺ () L ( ɺɺ) ( ɺɺ ) = mv v Jv I 6 v I 6 Iv ɺɺδ + ɺɺ γ δ + γ ɺɺ δγ6 ds () A A A A m= ρ da J = ρ da I = ρ g da I = ρg da Tovább alakítva a kinetikai enegia integálját (paciálisan integálva a ()-as egenlet utolsó kifejezésében szeeplő második tagot): A 79 Az enegiafüggvének átalakítását a hetedik fejezetben tágaltuk de a Függelék is ismeteti őket éppen a Hamilton-elvvel kapcsolatban 8 William Rowan Hamilton (85 865) í matematikus fizikus és csillagász Fontos felfedezései voltak az optikában dinamikában és az algebában Az 84-ben megfogalmazott Hamilton-elv ( On a Geneal Method in Dnamics Phil Tans of Roal Societ Pat I pp Pat II pp ) mechanikai változata (az elvet a fizika más teületein is használják) kifejezetten mozgások vizsgálatáa alkalmas állítása szeint eg testnek az eők hatásáa létejöhető (geometiailag lehetséges) pálái közül az valósul meg melnek befutásako a mozgási és a potenciális enegia különbsége vaiációjának idő szeinti integálja állandó étékű A tétel a vituális munkák elvéből is megfogalmazható További észleteket lásd a Függelék -ben 6 9

193 (6) L { } δ K= mv ( J v ) + ( I γ ) δ v+ ( I γ I v ) δγ ds ( J v I γ ) δv ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ () Helettesítsük most be az alakváltozások képleteit a belső enegia vaiációjába: b L ( v g 6 g 6) dads= ( Mδ v + mδγ 6+ fδγ6) ds () δπ = σ δ +σ δγ +σ δγ ahol A dg g = M = σ da m= σ g da f= σ g da d A A A 6 9 L (4) Az előzőekben má alkalmazott paciális integálási technika ismétlésével az enegia vaiációja tovább módosítható: L δπ b= M δ v+ ( f m ) δγ ds+ Mδv M δ v+ mδγ (5) 6 6 Helettesítsünk most be minden észletesen kiszámított komponenst az enegia-vaiáció idő szeinti integáljába (a stacionaitási feltétel miatt ennek étéke zéus) Megjegezzük hog a végső integálban a teljes potenciális enegia vaiációját ítuk fel elsőként majd ebből vonjuk ki a kinetikus enegia vaiációját L { ( ) ( ɺɺ 6) ɺɺ ɺɺ 6 6} mv ɺɺ J vɺɺ + I γ + M q δ v+ I γ I v m+ f δγ ds+ L + M v ( M Jv I 6) v m δ ɺɺ + γɺɺ δ + δγ 6 = Ebből az integálból adódik végül a két mozgásegenlet: M + q = mvɺɺ ( J vɺɺ ) + ( I γɺɺ ) m f = I γɺɺ I vɺɺ (7) 6 6 A geendavégeken ( s= s= L ) alkalmazható peemfeltételek a (6)-os egenletnek megfelelően: v vag M + J vɺɺ I γɺɺ v vag M 6 γ6 vag m Ha összehasonlítjuk a (7)-ben felít első mozgásegenletet a Benoulli-Navie-modellnél felít hasonló változattal akko azt látjuk hog a níási hatásokat is figelembe vevő modellnél a fogási hatás Jvɺɺ I ɺɺ γ6 módon számítható Ezt felhasználva eg z tengel iánú nomatéki egensúli egenletben a következőt kapjuk (lásd még a () ába alsó vázlatát): M + F= Jvɺɺ Iγɺɺ 6 (9) Ebből az egenletből következik hog a (8)-as képletben elsőként említett peemfeltétel hogan használható fel a níóeő meghatáozásáa L (8) Vizsgáljuk meg most a feszültségek étékeit: σ = Eε = E( v gγ 6 ) σ = Gε = Gg γ 6 () Behelettesítve ezeket a nomatékoka koábban felít (4) alatti összefüggésekbe a következőket kapjuk: M = EIv Fγ 6 m= Fv + Fγ 6 f= F44γ 6 () ahol L

194 44 () A A A A I= da F = Eg da F = Eg da F = Gg da Beíva ezeket a tagokat a mozgásegenletekbe a végső egenletendsze v e ésγ6 a : ( EIv ) ( Fγ 6) q= ( Jvɺɺ ) ( Iγɺɺ 6) mvɺɺ () ( F v ) ( F γ ) + F γ = I vɺɺ I γɺɺ (4) Az egenletek ténleges megoldásai temészetesen g felvételétől függenek Példa: Hamadfokú níási modell Vegük fel g függvénét eg hamadfokú polinom fomájában (itt ci -k ismeetlen állandók): g= c + c + c (5) Az egszeűség kedvéét tételezzünk fel izotóp pizmatikus geendát négszög keesztmetszettel és h magassággal Fogadjuk el továbbá hog a felső és alsó élen nincsenek megoszló níóeők íg σ =τ = (6) =± h / Ebből az következik hog (figelembe véve az előző pontban σ -e felít képletet): A 6 g =± h / = (7) γ níási szögelfodulás definíciójából adódik hog ε =γ 6 ebből pedig az adódik hog: g = = Ezeket a feltételeket felhasználva a polinom egütthatóinak számításáa azt kapjuk hog: c 4 4 c c = = = h g = h (8) A függvént most má be lehet íni az előzőekben megadott egenletekbe az eltolódás és a níási szögelfodulás meghatáozásához D Timoshenko 8 -modell ( lineáis níási modell ) A Timoshenko-modell a níási alakváltozásokat konstansnak tételezi fel íg eg metszetben az eedő níóeő: F= σ da= kγ6ga ε =γ 6 (9) A Itt k eg koekciós ténező γ 6 pedig eg (Timoshenko javasolta) átlagos jellemző níási alakváltozás A níási alakváltozási enegia ebben az esetben: Eníás= Fγ 6= kγ 6GA (4) Vizsgáljuk meg most észletesebben k és γ 6 jelentését Számítsuk ki előszö a níóeő és az alakváltozási enegia étékét másféleképpen a geometiai egenletek szolgáltatta összefüggések segítségével: 8 Sztepán Pokofjevics Timosenko (angol névváltozatban: Stephen P Timoshenko) (878 97) ukán számazású ménök a moden ménöki mechanika megteemtőinek egike 6 94 =

195 ɶ (4) F da Gg da GA = σ = γ 6 =γ6 A A Eníás= σ ε da= Gg γ da= γ ˆ GA 6 6 (4) A A Ezekben az egenletekben γɶ 6 az εalakváltozás-komponens geometiai átlaga 6 (4) alatti níási enegiából számítható átlagos éték: γ g da γ g da 6 6 A 6 ˆ 6 A ˆγ pedig a ɶ γ = γ = (4) A A Ha összehasonlítjuk a níóeő és a níási enegia kétféleképpen kiszámított étékeit akko meghatáozhatjuk γ és k paaméteeket: 6 g da g da ˆ γ6 A γɶ ɶ 6 γ6 A γ 6= =γ 6 k= = = (44) ɶγ ˆ 6 g da γ6 γ6 A g da A Az első képlet azt mutatja hog γ 6 az ε níási alakváltozás enegiaételmű átlaga a második pedig azt hog k a γɶ 6 níási alakváltozásnak geometiai a ˆγ 6 alakváltozásnak pedig enegia átlaga Megjegezzük hog például négszög keesztmetszetű geendák esetében k = 5/6 Szintén fontos kommentá hog több kutató vizsgálatai kimutatták k fenti képletéől hog csak az itt is alkalmazott feltételek megléte esetén elfogadható jelentős nemlineáis hatások (pl nag mozgásokkal jáó nagfekvenciás ezgések esetén) módosítása szoul A Timoshenko-modell níóeő számítási módjának a geometiai egenletekkel való összevetéséből következik hog ennél a modellnél: g = (45) ezét is szokás lineáis níási geenda-modellnek nevezni ezt a változatot Ha ezt a g függvént helettesítjük be a keesztmetszeti paaméteek eedeti képleteibe akko a következőt kapjuk: I= I= J F= F= EI F44= k GA (46) Ha ezekkel a paaméteekkel íjuk fel a két alapvető mozgásegenletet akko az eedmén (állandó keesztmetszetű geendát feltételezve): EIv EIγ 6 q= J vɺɺ Jɺɺ γ 6 mvɺɺ EI v EIγ 6+ k GAγ 6= Jvɺɺ Jɺɺ γ6 (47) Ha a második egenletet újból deiváljuk majd kivonjuk az elsőből akko a második mellé eg átalakított első egenlet tásítható: EI v EIγ 6+ k GAγ 6= J vɺɺ Jɺɺ γ6 kgaγ 6+ q= mvɺɺ (48) A két egenlet össze is vonható Deiváljuk az elsőt s szeint majd a második egenletet használjuk fel γ 6 különböző (s és t szeinti) deiváltjainak kiszámításáa Ezeket ende az első egenletbe helettesítve kiküszöbölhetjük ezt a változót Az új összevont egenlet: 4 EI J v EIv ( mv&& q ) q= Jv&& m q&& 4 mv&& (49) kga kga t A 6 95

196 A mechanikai szakiodalomban gakan használják a Ψ =Θ γ 6 teljes elfodulási szöget A kis alakváltozások köében maadva a níási szögtozulást ilenko íg kell kifejezni: γ 6= v Ψ (5) Ha ezt helettesítjük be a két mozgásegenletből álló endsze utolsó változatába akko az új alak: EIΨ + k GA( v Ψ ) = J Ψ && (5) k GA v Ψ + q = mv && ( ) Ez a vaiáns csak fomailag különbözik az előzőekben levezett változattól Réteges keesztmetszetű geendák vizsgálata a níási alakváltozás figelembevételével A számítás alapelve uganaz mint amit az előzőekben alkalmaztunk az elemzés az N étegből álló szendvics-keesztmetszet g függvénének meghatáozásáa iánul Réteges geenda metszete Tételezzük fel hog az i-edik éteg elmozdulásai az előzőekben elmondottaknak megfelelően jellemezhetők: ( i) ( i) ( i) ( i) u = v + g γ 6 u = v u = (5) Az eges étegekben keletkező alakváltozások: ( ) ( i) ( i) ( i) ( i) ( ) ( ) i i i ( i) u ( i) ( i) u u ( i) ε = = v + g γ 6 ε = + = g γ6 s s ε =ε =ε =ε = Használjunk minden eges étegnél hamadfokú függvént ( i) ( i) ( i) ( i) g megadásáa: (5) g = + c + c (54) Tételezzük fel hog az eges étegek között nincs csúszás íg az u eltolódás és a σ níófeszültség megoszlása foltonos: i ( i+ ) u s t u ( s t) = i= N ( ) ( i ) ( i ) ( ) + i+ ( i) ( i) ( i) ( i+ ) ( ) σ s t σ s t = i= N i+ i+ itt σ = G ε (55) 6 96

197 Azt is az elfogadható feltételek közé sooljuk hog az alsó és felső élen nincs níóeő vagis σ = az = és = N+ síkoknál Ebből az is következik hog ( ) ( ) ( N ) ( ) ε s t = ε s t = (56) N+ Figelembe véve valamenni eddigi feltételt N daab egenletet tudunk felíni N () i () i ismeetlen ( c és c i= N ) meghatáozásáa: () i () i ( i+ ) ( i+ ) i+ i+ i+ i+ c + c c c = i= N () i () i () i () i ( i+ ) ( i+ ) ( i+ ) ( i+ ) ( i+ ) () i i+ + i+ i+ i+ = G c G c G c G c G G () () ( N) ( N) N+ N+ c + c = c + c = i= N Az egütthatók meghatáozását szolgáló illusztáló példát láthatunk az ábán: (57) 4 ába: Háométegű geenda metszete () () ( ) A étegek níási ugalmassági modulusai: G = G = G Az egenletendszeek felíása és megoldása (a szimmetia miatt az elvileg hat ismeetlenes feladat most csak háom ismeetlent tatalmaz) után az eges étegekhez tatozó függvének: () 8 ( ) 9 () 8 g = + + g = g = + (58) h h h h h Ezek a függvének használhatók a Timoshenko-modell koábban bemutatott egenleteiben előszö k és γ 6 majd pedig az elmozdulások és elfodulások számításáa Rugalmasan ágazott geenda vizsgálata A továbbiakban kizáólag a Benoulli-Navie-modellt fogjuk használni kvázistatikus módon tehelt és egszeű Winkle 8 -ágazattal megtámasztott geendák elmozdulásainak és igénbevételeinek vizsgálatáa 8 E Winkle (85-888) német ménök hajlított szekezetek főleg többtámaszú geendák vizsgálatával foglalkozott Vonatkozó munkája: Votäge übe Eisenbahnbau Pága

198 5 ába: Rugalmasan ágazott geenda Az alapvető diffeenciálegenletek a tehelt és teheletlen szakaszokon (k az ágazási egüttható v az eltolódás függvéne): 4 4 d v d v EI + kv= p EI + kv= (59) 4 4 d d a A megoldást v= e alakban keesve a homogén változat számáa behelettesítés után a következő egenletet kapjuk: 4 k a + v= (6) EI Ebből / 4 k a=±β ( ± i) i= aholβ= 4EI (6) Az általános megoldás: β β v= e Acosβ + Bsinβ + e C cosβ + Dsinβ (6) [ ] [ ] ahol ABC és D ismeetlen állandók meghatáozásuk eg adott feladatnál figelembe vehető peemfeltételektől függ A/ Koncentált eővel tehelt végtelen hosszú geenda 6 ába: Egetlen eővel tehelt geenda A szimmetia miatt elegendő a szekezet egik felét vizsgálni A peemfeltétel: v és deiváltjai (6) Ezt felhasználva A = B = és íg a megoldás a β v= e C cosβ + Dsinβ (64) ( ) alaka edukálódik További feltételek az elfodulása és a most az egszeűség kedvéét T-vel jelölt níóeőe (utóbbit P-től végtelen közel jobba ételmezzük): P P Pβ v () = T= EIv () = ezekből C= D= = (65) 8β EI k A keesett eltolódásfüggvén: Pβ Pβ v e ( cos sin ) e sin π = β β + β = β β + k k 4 (66) 6 98

199 Bojtá: Mechanika MSc Az elfodulás nomaték és níóeő számításához vezessük be az alábbi függvéneket (mindegiket > esete ételmeztük): Pβ f (β) = e β (cos β + sin β) v = f (67) k Pβ f (β) = e β sin β = f Θ= v = f (68) β k f f P (69) f (β ) = e β (cos β sin β )= = M = EIv = f β β 4β f f f P f 4 (β) = e β cos β = = = T = EI v = f 4 (7) β β 4β Tájékoztatásul megadjuk táblázatos fomában a különböző függvének étékeit: B/ Fél-végtelen geenda 7 ába: Fél-végtelen geenda bal oldali végén tehelve Most a kezdőpontban koncentált eőt és eg nomatékot heleztünk el A peemfeltételek és az egütthatók: P + βm A M EIv = M A EIv = T = P C = D = A (7) β EI β EI Az eltolódásfüggvén valamint az elfodulás nomaték és níóeő: e β β v = [ P cos β + βm A (cos β sin β) ]= ( Pf 4 (β) + βm A f (β)) (7) β EI k 6 99

200 β β v() = ( P+β M A ) Θ= [ Pf( β ) + βm A f4( β ) ] k k (7) Pf( β) M= + M A f ( β ) T= Pf( β ) + βm A f( β ) k (74) C/ Véges méetű geendák Vizsgáljuk meg az ábán látható középen eg koncentált eővel tehelt geendát és hasonlítsuk össze a C és E pontok lehajlásait 8 ába: Két pont lehajlásának aánai Ilen feladatoknál is a megoldásfüggvénben szeeplő nég állandó meghatáozása a cél Jelen esetben a következő esetée nég peemfeltételt tudjuk felhasználni ee a céla: v ( L / ) = EIv ( L / ) = P / EIv () = EIv () = (75) Az innen adódó négismeetlenes egenletendsze megoldása után a középső és a szélső pontok eltolódásai: cos ch cos( / ) ch( / ) vc= Pβ + β L+ βl v P L L E= β β β (76) k sinβ L+ shβl k sinβ L+ shβl A két elmozdulás aánában osztálozni lehet a ugalmas ágazaton nugvó geendákat (lásd az ábán feltüntetett függvént): ve 4cos( βl / ) ch( βl / ) = (77) v + cosβ L+ chβl Azokat a geendákat ameleknél: C a/ β L< övid geendáknak nevezzük (a végpont elmozdulása közel egenlő a középpontéval a geenda viselkedése meev) b/ <β L< közepes hosszúságú geendáknak nevezzük 6

201 c/ β L> hosszú geendáknak nevezzük (a végkeesztmetszet eltolódásáa má nincs jelentős hatással a középső eő) Ezt az osztálozást egébként másféle tehek alkalmazása esetén is használják a mechanikában Megjegezzük hog eges szezők a hatát a pontosság növelése édekében és helett 6-e illetve 5-e javasolják felvenni D/ Egenletes távolságokban ugalmasan alátámasztott geenda Példa: 9 ába: Pontonként alátámasztott geenda Egszeűsíti a számítást ha a diszkét ugóendszet foltonos ágazással és íg a diszkét ugóeőket ( R i = Kvi K a ugóállandó) szakaszonként állandó megoszló ágazási eakcióval helettesítjük (lásd a b ábaész szaggatott vonallal megajzolt szakaszai helett feltüntetett foltonos göbét) Megjegezzük hog észletesebb elemzéssel kimutatható hog ez a helettesítés csak az a π /( 4β) kolát betatása esetén ad elfogadható pontosságú eedméneket A helettesítő állandó egszeűen számítható: R K K = v= k v= q k= (78) a a a Hatáozzuk meg az ábán látható nagon hosszú geenda eg tetszőleges pontjának elmozdulás-függvénét illetve a maimális lehajlást A geenda keesztmetszete 5 cm méetű téglalap ( cm a szélesség) anagának ugalmassági modulusa GPa A tehelés 4 m hosszan működik intenzitása 75 kn/m A ugalmas ágazás egütthatója k = 4 Mpa 6

202 ába: Megoszló teheel tehelt geenda vizsgálata Eg tetszőleges A pont P = p d tehelés hatásáa létejövő v eltolódása 8 : p d β v= βe ( cosβ + sinβ) k A teljes eltolódás integálással számítható: a b p d β p d β va = βe ( cosβ + sinβ ) + β ( β + β ) = e cos sin k k p βa βb p = ( e cosβa e cosβ b) = 4( β ) 4( β ) f a f b k k / 4 6 k 4 Az eges paaméteek: β= = = m EI Vizsgáljuk az eltolódás étékét pontosan középen íg a és b étékei megegeznek: a = b = m vagis β L = 55 βa=βb= 776 A legnagobb eltolódás mindezek figelembevételével: 75 v ma = ( 45) ( 45) = 9 4 m A megoszló eakció legnagobb étéke: 6 k v = 4 9= 86 kn / m ma / 4 Felhasznált iodalom: / Ugual AC Fenste SK: Advanced Stength and Applied Elasticit Edwad Anold 984 / Budnas RG: Advanced Stength and Applied Stess Analsis McGaw-Hill999 / Kaliszk S Kuutzné K M Szilági G: Sziládságtan Egetemi Tankönv 4/ Nafeh A H Pai P F: Linea and nonlinea stuctual mechanics John Wile 4 8 Megjegezzük hog itt az elemi hosszon ható megoszló tehet koncentált eővel helettesítettük és a (66)-os képletet alkalmaztuk 6

203 Előadás: Felületszekezetek mechanikai modellezése Lemezek alapvető egenletei A következő két előadás felületszekezetek vizsgálatával foglalkozik Előszö eg általános bevezetés segítségével bemutatjuk az ilenko használatos koodinátaendszeeket 84 és mechanikai változókat majd ezek után a lemezek illetve héjak mechanikai alapegenleteinek ismetetése következik Megjegezzük hog a vizsgált téma temészetéből adódóan a tenzojelölések mellett gakan használunk mátiokat is az egenletek felíásánál Általános megjegzések: A/ Kezdeti göbületek 85 : Az ábán a felületszekezetek nemlineáis vizsgálatához szükséges koodinátaendszeek láthatók eg héjszekezeti elemen illusztálva Az z göbe vonalú otogonális endsze a defomálatlan hivatkozási endszet jelöli (az ábán például és feszíti ki a defomálatlan felületet z pedig meőleges á) A vázlaton a ξ η ζ bázis tatozik a defomált alakhoz (a megváltozott állapotban ξ és η a tehelt felületelem tengelei) A hamadik (abc jelzésű) ögzített deékszögű globális koodinátaendszet elsősoban a kezdeti göbületek számításáa fogjuk használni ába: A kezdeti és a pillanatni állapothoz tatozó bázisok Az eges bázisoknál az alábbi egségvekto endszeeket használjuk: 84 Különösen fontosak lesznek ezek az alapfogalmak akko amiko a későbbikben nemlineáis hatások elemzésével is kiegészítjük az itt leítakat 85 Lásd a [ 4 ] alatti honlapot és a Függelék -et 6

204 z j j j ; ξ η ζ i i i ; a b c i i i () a b c A következő ábán eg általános (elemi méetű) héjelem látható a defomáció előtti és utáni állapotban Az egik pontnál beajzoltuk az eltolódások uvw étékét is Megjegezzük hog a kalappal jelölt bázisok a defomált endsze további módosításához tatoznak (például amiko níási szögtozulások hatását is figelembe vesszük a mechanikai modellnél) ába: Héjelem a kezdeti és a pillanatni bázisban Az ábán kijelölt a defomálatlan helzethez tatozó A pont P helzetvektoát ismetnek tételezzük fel íg teemtve kapcsolatot az abc és az z endszeek között: P = p( ) i a + p ( ) ib + p( ) i c () ahol P P j = = p ia + pib + p ic j= = pi a + pib + p ic () ( ) ( ) ( ) j = j j = p p p p i + p p p p i + p p p p i a b c Megjegezzük hog ebben a fejezetben is használjuk a jobb alsó indenél a deiválása utaló vesszős szimbólumot A bázisvektook közötti kapcsolat mátiok segítségével: j p p p ia j= j= T i = j = p p p i abc b (4) j p p p p p p p p p p p p i c Az otogonális tanszfomáló tenzot jelöltük most T-vel (máti alakban T ) Az z endsze bázisvektoainak deiváltjaia lesz szükségünk ha az eedeti defomálatlan szekezet alakját jellemző úgnevezett göbületi tenzook előállításánál ezét a következő lépésben ezek számítását mutatjuk be Felhasználva a j j jm j jm j j m m j j n j j n m m = = n = m n = jm (5) összefüggéseket (az indeismétlések most nem jelentenek összegzést!) a következőt kapjuk: 6 4

205 (6) j j j = K j = K j = ahol z j j j j j j k5 k T T K K = T = j j j j j j k5 k6 = (7) j j j j j j k k6 j j j j j j k4 k 6 T T K K = T = j j j j j j k4 k = (8) j j j j j j k6 k A két K tenzot (mátiot) kezdeti göbületi tenzonak (mátinak) nevezik a felületszekezetek mechanikájában Az eges elemek észletesen: j j T j k= j= j= T j= p ( p p p p ) j= p ( p p p p ) p ( p p p p ) (9) j j T j j T k T k T j j = j= j= j 6= j= j= j j= j= j j T j j T k T k T k j j 6= j= j= j 5= j= j= j j= j= j j T j 4= j= j= T j j= A göbületi mátiok elemei közül k6 k és k 5 az első az tengel (pontosabban ) köüli kezdeti csavaási göbületet a másik kettő pedig az illetve z tengelek köüli kezdeti spiális és hajlítási göbületet jelenti Hasonlóan: k az tengel köüli csavaási göbületet k az köüli spiális és 6 k 4 pedig a z köüli hajlítási göbületet jelöli Ha k6= k6= k4= k5= akko és tengeleket főtengeleknek k -t és k -t pedig főgöbületeknek nevezik Megjegezzük hog héjaknál és lemezeknél j/ z mindig zéus met az egenes vonalú z tengel meőleges a hivatkozási felülete Megjegezzük hog mivel P a defomálatlan állapothoz tatozó A efeenciapont helzetvektoa ezét ha a defomálatlan felület elegendően sima akko P P = P és mivel j = = P illetve j = P k6 = P j = P j= k6 () B/ Síkbeli alakváltozások és a göbületek megváltozásai Az előző pontban bemutatott () számú ábán a efeenciafelület eg elemét ábázoltuk alakváltozások előtti és utáni állapotban A ajzon ξˆ ésη ˆ jelöli és defomálódott tengeleit iˆ és i pedig ξ ˆ és η ˆ tengelek egségvektoait Ha példáulγ6 -tal jelöljük a ξ ésη csak akko ˆ síkbeli níási defomációt ( γ 6=γ 6+γ 6 ) akko kimondható hog egezik meg ξ ˆ és η ˆ tengelpáokkal ha γ 6 zéus 6 5

206 Az ábán feltüntetett A B és C saokpontokhoz tatozó eltolódások az alábbi módon íhatók fel: A u = uj+ vj + wj () u B u= u+ d= u+ + ( u vk5 wk ) j ( v uk5 wk6) j ( w uk vk6) j d () u C u= u+ d= u+ + ( u vk4 wk6) j ( v uk4 wk ) j ( w uk6 vk ) j d () Ezekben a képletekben u v és w az A efeenciapont és z iánú eltolódásait jelölik Az ábán látható élhossz-változások az előbbi képletek bemutatásával: A B = d j + u u= (4) = ( u vk5 wk ) j ( v uk5 wk6) j ( w uk vk6) j d A C = d j + u u= = ( u vk4 wk6) j ( v uk4 wk ) j ( w uk6 vk ) j d Jelöljük a ξ ˆ ésη ˆ tengelek iánába eső fajlagos alakváltozásokat e és e -vel: (5) A B d e= = + (6) d + ( + u vk + wk ) + ( v + uk + wk ) + ( w uk vk ) A C d e= = + (7) d + ( u vk + wk ) + ( + v + uk + wk ) + ( w uk vk ) Az alakváltozások segítségével most má az iˆ és iˆ egségvektook is számíthatók (a kalap szimbólum az elfogatott koodinátaendszee utal lásd az előző oldalon levő ábát): A B ˆ ˆ ˆ A C iˆ = = T j+ T j+ T j i ˆ= = Tˆ j + Tˆ ˆ j+ T j (8) ( + e ) d ( + e ) d ahol ˆ + u vk5+ wk ˆ v + uk5+ wk6 ˆ w uk+ vk6 T= T= T= (9) + e + e + e v ˆ + uk4+ wk w ˆ uk6 vk T= T= + e + e + e u vk wk Tˆ = A níási defomáció (8) segítségével 86 : γ =γ +γ = sin ( i i ) = sin ( Tˆ Tˆ + Tˆ Tˆ + Tˆ Tˆ ) () ˆ ˆ Megjegezzük hog a képletben szeeplő sin szimbólum azonos az acsin jelöléssel A két összetevő ( γ6 ésγ 6 ) közötti kapcsolat a síkbeli níási alakváltozások dualitása segítségével íható fel ( ε =ε ) Mivel 86 A ξ η bázis otogonális de a ˆ ˆ adódik () ξ η bázis általában nem az ezét iˆ iˆ = cos ( / ) 6 6 π γ Innen

207 ε = ( + e ) dsin γ6 / d és ε = ( + e ) dsin γ 6 / d () íg a két komponens közötti kapcsolati egenlet: ( + e )sin γ = ( + e )sinγ () 6 6 A defomált eleme meőleges hamadik egségvekto a másik kettő ismeetében számítható: ˆ iˆ iˆ i= i= = Tj+ T j+ T j () i i ˆ ˆ ahol T = ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) / R T = ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) / R T = ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) / R (4) R = ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ Tˆ Tˆ ) = i i = cosγ ˆ ˆ 6 Az iˆ és iˆ valamint iegségvektook felhasználásával felíható az z illetve ξηζ endszeek közötti kapcsolat Mátiokkal: i i ˆ j Tˆ Tˆ Tˆ j i ˆ ˆ ˆ =Γ i ˆ T j T T T j = =Γ (5) i i ˆ j ˆ ˆ ˆ T j T T ahol cosγ6 sinγ6 cosγ6 sinγ6 Γ= sinγ6 cosγ 6 = sinγ6 cosγ6 (6) cos γ6 cosγ 6 Az iánvektook változásait (a vektook előbb megadott képleteit valamint a tanszfomáló máti otogonalitási tulajdonságát inveze egenlő a tanszponáltjával kihasználva) az előző pontban bemutatott módon lehet kiszámítani Mivel i j i j i j i i k j ik i j = i j = ik = i j ik = i j (7) íg a változásokat megadó deiváltak az alábbi módon számíthatók: i i i i i i i = K i ahol K = i i i i i i = (8) i i i i i i k5 k T T T = k5 k 6 = T + T K T k k6 i i i i i i i = K i ahol K = i i i i i i = (9) i i i i i i k4 k6 T T T = k4 k = T + T K T k6 k A K mátiok ismét a göbületeket tatalmazzák de most a defomált állapotban adják meg ezek étékét Az eges elemek: 6 7

208 i k T T T k T k T k () = i = m m m= i k T T T k T k T k = i = m m+ 6 4 m= i k T T T k T k T k 6= i = m m+ 6 5 m= i k T T T k T k T k 6 = i = m m m= i k T T T k T k T k 5 = i = m m m= i k T T T k T k T k 4 = i= m m m= Megjegezzük hog a fenti göbületek nem jelentenek valódi változásokat hiszen a deiválást a defomálatlan d és d étékek alapján végeztük és nem a ξ és η tengelek mentén létejövő valódi hosszakkal számoltunk Ha γ 6 =γ 6 = e = e = akko k és k az η és ξ köüli hajlítási göbületeket jelöli k6 és k 6 a ξés η tengelek köüli csavaási göbületeket adja meg k 4 és k5 pedig az η és ξ tengelek ζ tengel szeinti spiális göbülete C/ Otogonális vituális elfodulások A ξ η ζ bázis i j egségvektoainak a δθ i vituális meevtestszeű elfodulások következtében létejövő vaiációi 87 : δi δθ δθ i i i δ = δθ δθ ahol () δi δθ δθ i δθ = i δ i = i δ i = T δ T + T δ T + T δt δθ = i δ i = i δ i = T δ T + T δ T + T δt δθ = i δ i = i δ i = T δ T + T δ T + T δt C/ Vituális elfodulások a níási alakváltozások elhanagolása esetén () Vékon felületszekezeteknél (az esetleges nomáleők mellett) alapvetően a hajlítási hatások a jelentősek a níási hatások kicsik és íg elhanagolhatók Ez jelen esetben γ 6 = γ 6 = γ 6 = feltételt jelenti és íg: i = i i = i illetve Tˆ = T Tˆ = T () ˆ ˆ i i i i valamint Γ is egségmáti lesz Ha figelembe vesszük hog ebben az esetben 87 A vituális elfodulások számításánál felhasználtuk a δ i=θ i=θ T j=δ ( T j) összefüggést valamint a kiindulási bázisa événes δ j= feltételt Ennek segítségével () végül módon számítható δ i=δ T T 6 8 T

209 T + T + T= T+ T + T= (4) feltétel is teljesül akko az él-alakváltozások vaiációiból a következőt kapjuk: δ e = Tδ( u vk5 + wk ) + Tδ( v + uk5 + wk6) + Tδ( w uk vk6 ) (5) 6 9 δ e = T δ( u vk + wk ) + T δ ( v + uk + wk ) + T δ( w uk vk ) Íjuk fel i és i vaiációit a tanszfomációs képletek vaiációinak segítségével: δ i = jδ T + jδ T + jδ T = (6) = ( u k5 v k w) j ( v k5 u k6 w) j ( w k u k6 v) j δ δ + δ +δ + δ + δ +δ δ δ + e δe i + e δ i = jδ T + jδ T + jδ T = (7) = ( u k4 v k6 w) j ( v k4 u k w) j ( w k6 u k v) j δ δ + δ +δ + δ + δ +δ δ δ + e δe i + e Behelettesítve ezeket a képleteket a vituális elfodulásoka felít δθ= i δi δθ = i δ i összefüggésekbe és felhasználva az egségvektooka és vaiációika felít eddigi kapcsolati egenleteket a következőt kapjuk eedménül: ( + e ) δθ + T ( δu kδ v+ kδ w) + T ( δ v + kδ u+ k δ w) + (8) (9) T ( δw kδu k δ v) = 6 ( + e ) δθ+ T ( δu kδ v+ k δ w) + T ( δ v + kδ u+ kδ w) T ( δw k δu kδ v) = 6 C/ Vituális elfodulások a níási alakváltozások figelembevétele esetén Ha γ 6 nem zéus akko a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T + T + T = T + T + T = (4) egenlőség valamint ˆT elemeinek számításáa alkalmazott képletekből kiindulva az élek núlásainak vaiációia az alábbi összefüggéseket tudjuk felíni: δ e= Tˆ δ t+ Tˆ δ t ˆ + Tδ t (4) δ e ˆ ˆ ˆ = Tδ t+ Tδ t+ Tδ t ahol δ t =δ ( + u vk + wk ) =δu kδ v+ kδ w (4) 5 5 δ t =δ ( v + uk + wk ) =δ v + kδ u+ k δ w δ t =δ ( w uk vk ) =δ w kδu k δ v 6 6 δ t =δ ( u vk + wk ) =δu kδ v+ k δ w δ t =δ ( + v + uk + wk ) =δ v + kδ u+ kδ w 4 4 δ t =δ ( w uk vk ) =δ w k δu kδ v 6 6 6

210 Íjuk fel most az i ˆ és i ˆ egségvektook vaiációit: δ i = ( j δ t + j δ t + j δt i δ e ) ˆ ˆ + e δ i = ( j δ t + j δ t + j δt i δ e ) ˆ ˆ + e 6 ˆ ˆ ˆ ˆ 6 (4) (44) Mivel sinγ 6= iˆ iˆ vaiációja a szükséges helettesítések után: δγ =δ ( i i + i δi ) / cosγ= (45) ( Tˆ sin γ6tˆ ) δ t+ ( Tˆ ˆ ˆ ˆ sin γ6t ) δ t+ ( T sin γ6t ) δt = + cos γ 6( + e ) ( Tˆ sin γ6tˆ ) δ t+ ( Tˆ ˆ ˆ ˆ sin γ6t ) δ t+ ( T sin γ6t ) δ t + cos γ 6( + e ) Az eges komponensek vaiációi: ( + e ) cosγ6δγ6 sinγ6δ e+ sinγ6δe δγ 6= (46) ( + e )cos γ 6+ ( + e )cosγ6 ( + e ) cosγ6δγ 6+ sinγ6δ e sinγ6δe δγ 6= (47) ( + e )cos γ 6+ ( + e )cosγ6 Az elfodulások vaiációi végül (felhasználva a i i ˆ =i iˆ = étéket): i i cosγ6 sin 6 ˆ ˆ cos i i γ δθ=δ = δ δ 6 cos i i = (48) γ γ6 cosγ6 = ( ) cos 6( ) T δ t + e T δ t + T δ t sinγ6 ( ) γ + cos 6( ) T δ t + e T δ t + T δ γ + t i i sinγ6 cos 6 ˆ ˆ cos i i γ δθ = δ = δ δ 6 cos i i = (49) γ γ6 sinγ6 = ( ) cos 6( ) T δ t + e T δ t + T δ t cosγ6 ( ) γ + cos 6( ) T δ t + e T δ t + T δ γ + t δθ = ( δ i i δ i i) =δγ6 δγ 6+ ( δ iˆ iˆ δ iˆ iˆ) = (5) cosγ6 ( Tˆ sin γ6tˆ ) δ t+ ( Tˆ ˆ ˆ ˆ sin γ6t ) δ t+ ( T sin γ6t ) δ t = cos γ 6( + e ) ( Tˆ sin γ6tˆ ) δ t+ ( Tˆ ˆ ˆ ˆ sin γ6t ) δ t+ ( T sin γ6t ) δ t +δγ6 δγ6 cos γ ( + e ) 6 D/ A göbületek vaiációi A (48-5) alatti vaiációkat valamint a (8) (9) és () alatti összefüggéseket figelembe véve integáljuk ezen változók és eg tetszőleges m nomaték szozatát a defomálatlan A teületű elemen (X és Y jelen esetben és peemétékeit jelentik) 88 : 88 Megjegezzük hog mindegik egenletben alkalmaztunk paciális integálást lásd például (5)-ben miδ i tag átalakítását 6

211 mδ k d d= m( i δ i i δ i ) d d= (5) A A m = X = m i i i i mi i δ + δ + δ d d mi δ i d= A = m = mk mk δθ δθ + δθ d d+ mδθ d = X 5 6 = A mδ k d d= m ( i δ i i δ i ) d d= (5) A A m = Y = m i δ i+ i δ i+ mi δ i d d mi δ i = d= A m = Y = mkδθ + δθ mk δθ d d+ mδθ = d A m 4 6 = X mδ k6 d d= δθ + mk5δθ mkδθ d d mδθ d = A A (5) m = Y mδ k6 d d= δθ + mk4δθ + mkδθ d d+ mδθ d = (54) A A m = Y mδ k4 d d= δθ mkδθ mk6δθ d d+ mδθ d = m = X mδ k5 d d= δθ mkδθ mk6δθ d d mδθ d = (55) A A (56) A A Ezeket az egenleteket tömö máti fomában is megadhatjuk (a képletekben I az egségmáti): A A δ k 5 δθ δθ = = Y = X δ k6 δθ δθ m m k d d I mk d d m δ = + δθ + δθ d (57) δ k δθ δθ m m k d d I mk d d m δ = + δθ + δθ d (58) 6 A A k δ 4 δθ δθ = Integálva a fenti két egenletet kapjuk a végeedmént: δ k6 δθ δθ δ k δθ δθ k K k 6 K δ = δθ δθ δ = δθ δθ (59) δ k 5 δθ δθ δ k 4 δθ δθ A fenti egenletek azt mutatják hog a göbületek vaiációi az eltolódásoktól valamint azok első és második deiváltjaitól függenek: δk δu δv δw δu δv δw δu δv δw δu δv δw δu δv δw δu δv δ w j E/ Lokális elmozdulások és a Jaumann-alakváltozások Az ebben a pontban közölt levezetések a későbbiekben a nemlineáis felületszekezetei vizsgálatoknál lesznek fontosak a lineáis elemzéseknél kihaghatók 6

212 Az ába az AB defomálatlan szakaszt majd tehelés utáni új alakját ( A B ) ábázolja Az A és B pontok helzetvektoai: R A R A = R o + z j R B= R B + d= R A + [( + zk ) j + zk6j]d (6) R o ahol = j Az ábán látható d ~ él-hosszt az alábbiak szeint számítjuk: AB d% = R A R B =τ d j ( zk ) j zk6 j % = = + + d d% τ (6) ahol ( zk ) ( zk6) τ= + + (6) ába: Göbült vonalszakasz kezdeti és defomált állapota Megjegezzük hog ~ j = j csak abban az esetben teljesül ha k 6 kezdeti csavaási göbület étéke zéus Az A pont elmozdulásvektoa illetve szeinti deiváltja Voigt jelölésekkel: u= u v w J+ z i z (6) [ ] j u = u v w J + u v w K J + z ki + k6i + j τ j % (64) A ɶ ξ tengel menti lokális alakváltozás (ismét tenzojelöléssel): u u+ d+ dɶ j u i ɶ d ɶ ɶ u ε = = i ɶ + j ɶ i ɶ (65) dɶ τ ahol i ɶ a ɶ ξ tengel iánába eső egségvekto Ha a feladatnál elhanagoljuk a níási hatásokat az A és B pontok helzetvektoai: R = R + i (66) A O z [ ] ( ) R A R B = R A + d= R A + ( + e+ zk) i+ zk6i d (67) 6

213 ahol RO / = ( + e ) i (68) Az előbb említett i ɶétékét is ki tudjuk számítani ezeknek a helzetvektooknak a segítségével: RB -R A iɶ= = ( + e+ zk) i+ zk6i A B τɶ (69) ahol zk6 τ= ɶ ( + e zk ) + ( ) (7) Megjegezzük hog ha a lokális elmozdulásokból keletkező lokális elfodulások hatása elhanagolható akko az egségvekto képlete egszeűsödik: i ( e zk ) i zk 6 i ɶ = τ (7) Ez az egszeűsítés lénegében a kis alakváltozások hatásának elfogadását jelenti Ha az egségvektoa és elmozdulás-deiválta kapott képleteket behelettesítjük az ε alakváltozása felít összefüggésbe akko a következőt kapjuk: + e+ zk ε = (( u vk5+ wk ) T + ( v + uk5+ wk6) T+ (7) ττɶ zk6 + ( w uk vk6) T+ zk+ T ) + (( u vk5+ wk ) T + ( v + uk5+ wk6) T+ ττɶ + e+ zk + ( w uk vk6) T+ zk6+ T) i j + j i = ɶ ɶ ɶ ɶ [ + e+ zk] + ττɶ zk6 τɶ + [( + e ) i i+ zk6] = ττɶ τ Sofejtés és elhanagolások után az alábbi egszeűsített változatát szokás használni a fenti képletnek: ε = e + z k ( + e k (7) [ ] ) Megjegezzük hog ebben az egszeűsített változatban nem szeepel 6 ~ k íg a ξ és ξ tengelek menti tengeliánú alakváltozások megegeznek ( i ~ = i) Az ( + e ) ténezőe azét van szükség met k nem valódi göbület ( k viszont igen) és ε t a defomálatlan hosszhoz viszonítva definiáltuk Ha e kicsin ( + e ) akko a most felít edukált alak még tovább egszeűsíthető: ε = e + z( k ) (74) k Mivel a meevtestszeű mozgásokból nem keletkezik alakváltozás a ζ tengelt ögzíteni lehet és a hozzá nagon közeli pontok elmozdulásait az alábbi módon is fel lehet íni: u( zt) = u ( t) + z Θ( t) Θ( ) ( ) = ( ) Θ( ) Θ( ) u( zt) = u( t ) Ezekben az egenletekben ( i= ) u zt u t z t 6 (75) u i azoknak a efeenciapontoknak a lokális koodinátaendszehez viszonított elmozdulásait jelenti amelek a efeenciafelületen vannak Θ és Θ a megfigelt héjelem ξ és η tengelekhez viszonított elfodulásait

214 jelenti Θ és Θ pedig uganezekhez a tengelekhez viszonított kezdeti elfodulás étéke Mivel a ξ η ζ lokális koodinátaendsze a megfigelt héjelemhez illesztett endsze és a ξ η sík éintősíkja a defomálódott efeenciafelületnek akko ee a lineáis változata felíhatók az alábbi összefüggések: u = u = u =Θ =Θ =Θ =Θ =u / =u / = (76) u u u u e = e = γ 6 = + Θ Θ Θ Θ k = k = k 6= k 6 = k6 = k6+ k 6 Θ Θ Θ Θ k = k = k 6= k 6 = k6 = k6+ k 6 A felületszekezetek vizsgálatánál használatos úgnevezett Jaumann-féle alakváltozás a defomált endszehez tatozó lokális elmozdulásvekto segítségével az alábbi fomában adható meg: u l u l = ui+ ui + ui ε J = i = e + z( k k ) ε (77) vagis a Jaumann-féle alakváltozás megegezik ε alakváltozás koábban számított étékével Lemezek 89 vizsgálata A továbbiakban bemutatjuk a lemezek kis geometiai változásokhoz tatozó statikus és dinamikus hatásokat egaánt figelembe venni képes alapegenleteit Előszö azzal a modelltípussal foglalkozunk amiko a níás hatását (a Benoulli-Navie-geendamodellhez hasonlóan) nem vesszük figelembe majd áttekintjük a níási hatások modellezési technikáját is A/ Kichhof-Love-féle klasszikus lemezmodell A vizsgálat soán feltételezzük hog a defomálódott keesztmetszetek síkok maadnak és alakváltozás után is meőlegesek a efeenciasíka (ez a níás hatásának elhanagolását jelenti) A/ Deékszögű négszög alapajzú lemezek A lemez méete a és b között változik A 4 ába a defomáció előtt és után eg elemi hasáb segítségével ábázolja a változásokat (h a lemez vastagsága) Eg tetszőleges pont (kicsin) eltolódásai az alábbi módon számíthatók: u= u+ zθ = u zw u = v zθ= v zw u = w ahol u v és w a efeenciapont és z iánú elmozdulásai (78) Az alakváltozások: 89 A lemez fogalmának mechanikai definícióját a BSc Tatók Statikája című tág adta meg 6 4

215 u u ε = = u zw ε = = v zw (79) 4 ába: Elemi hasáb defomáció előtt és után u u ε = + = u + v zw ε =ε =ε = A lemezelméletnek azt a változatát amiko a fenti feltételeket elfogadjuk Kichhoff-Love 9 -modellnek (vag más néven klasszikus modellnek) nevezzük Az elmozdulásvekto és idő szeinti deiváltjai (a j egségvektook az z endszehez tatoznak) az alábbi egenletekkel adhatók meg: u= u j + u j + u j u= ɺɺ ( uɺɺ zwɺɺ ) j+ ( vɺɺ zwɺɺ ) j + wɺɺ j (8) illetve u vaiációja: ( ) ( ) δ u = δu zδ w j+δ v zδ w j +δ wj (8) A gosulásvekto és az elmozdulás-vaiáció segítségével má felíható a endsze kinetikus enegiájának vaiációja a Hamilton-elv képletéhez: δ K= ρuɺɺ δ u dadz= (( Iuɺɺ I wɺɺ ) δ u+ ( Ivɺɺ I wɺɺ ) δ v+ Iwɺɺ δ w+ (8) A z A A + ( I wɺɺ I uɺɺ ) δ w + ( I wɺɺ I vɺɺ ) δ w ) da= { ( ) ( ) ( ) ( ) } I uɺɺ I wɺɺ δ u+ I vɺɺ I wɺɺ δ v+ I wɺɺ I wɺɺ I uɺɺ I wɺɺ I vɺɺ δ w da 9 Augustus Edwad Hough Love (86 94) angol fizikus sokat foglalkozott sziládságtani kédésekkel Kiváló mechanikai tankönvei nagban hozzájáultak a ménökképzés színvonalának emeléséhez Kichhoff és Love életajza és a lemezmodell létejöttének töténetét bemutató összefoglaló a Tanszék honlapján olvasható Kichoff Love és a klasszikus lemezmodell címen A lap jobb oldalán látható kettőjük fénképe (baloldalt Kichhoff) 6 5

216 t ahol = a = b ɺɺ ɺɺ = ɺɺ ɺɺ = I w I u δ wd I w I uv δ wd I I I = ρ z z dz [ ] (8) z Megjegezzük hog I = ha a sűűség állandó és a efeenciasík megegezik a középsíkkal Számítsuk ki most a potenciális enegia vaiációját az alakváltozások segítségével 9 (itt és a további képletekben q a z iánú megoszló tehelést jelenti): [ ] dadz δπ = σ δε +σ δε +σ δε +σ δε +σ δε +σ δε qδ wda= z A A = ( u z w ) ( v z w ) ( u v z w ) σ δ δ +σ δ δ +σ δ +δ δ dz da qδ wda= A z A ahol = N u N6 u N v N6 v M w M w M6 w q w δ + δ + δ + δ δ δ δ δ da= A = ( N N6 ) u ( N N6 ) v ( M M M 6 q) w + δ + + δ δ da+ A = a 6 ( 6 ) = + Nδ u+ Nδ v+ M + M δ w Mδ w d+ (84) = b ( ) = ()( a b) 6 6 = 6 ( ) = ( a)( b) + Nδ u+ Nδ v+ ( M + M ) δ w Mδ w d Mδ w (85) [ ] = [ σ σ σ ] [ ] = [ σ σ σ ] N N N dz és M M M z dz z z 5 ába: Igénbevételek A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata máti alakban: 9 A jobb oldalon levő első integál az általános alak utána következik a jelenlegi modellnek megfelelő változat 6 6

217 N u N v σ u w N u 6 + v σ = D v z w = D% (86) M w u v w σ + M w M w 6 Helettesítsük be most a geendamodellezésnél is használt Hamilton-féle vaiációs elv képletébe az eddig kiszámított enegiavaiációkat Emlékeztetőül (lásd még az előző fejezetet illetve a Függelék D pontját): t ( δπ b+δπk δ K) dt= (87) Ha a δ u δv ésδ w elmozdulás-vaiációkat zéussal tesszük egenlővé továbbá a külső potenciálnál figelembe vesszük a lineáis csillapítás hatását is ( µ i csillapítási egütthatókkal) akko a következő háom mozgásegenletet kapjuk: N + N = I u&& I w&& +µ u & 6 N + N = I v&& I w&& +µ v & 6 ( ) ( ) M + M + M = q + I w&& I w&& I u&& I w&& I v&& +µ w & 6 (88) Ahog azt má a geendamodell bemutatásánál említettük a fenti egenletek ténleges megoldása soán alkalmazott peemfeltételek a megoldási módsze típusától függenek: = a δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag M + M I u&& + I w&& ; 6 6 illetve δ w = vag M (89) = b δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag M + M I v&& + I w&& ; 6 6 illetve δ w = vag M (9) ( ) ()( a b)( a)( b) w vag M6 = δ = (9) A belső potenciális enegia felíásánál az előző ábán látható Q és Q keesztiánú níóeő-komponenseket is figelembe vehetjük 9 Ekko a vaiáció függvéne: δπ t = ( N δ u + N6 δ u + N δ v + N6 δv M δ w M δ w (9) A M δ w M δw qδ w+ Qδ w + Qδ w Qδ w Qδ w da= 6 6 ) = ( N + N ) δ u+ ( N + N ) δ v+ ( Q + Q q ) δ w ( M + M Q ) δ w A ( ) ) ( ( ) ) = M + M Q δ w da+ Nδ u+ N δ v+ Q + M δ w M δ w a d = b ( ) = ()( a b) + ( N δ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δ w ) d M δ w 6 6 = 6 ( ) = ( a)( b) Ha ezt helettesítjük be a Hamilton-féle vaiációs elv képletébe és = u δv δ w δw ésδ w vaiációk zéus étékét vesszük figelembe akko az átalakított mozgásegenletek új alakban: δ 9 A módosítás az összenegiát nem változtatja meg 6 7

218 N + N = I u&& I w&& +µ u & 6 N + N = I v&& I w&& +µ v & 6 Q + Q = q + I w&& +µ w & M M + Q = I w&& I v && 6 M + M Q = I w&& + I u && 6 (9) Az ehhez a változathoz illeszkedő peemfeltételek: = a δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M (94) 6 6 = b δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M (95) 6 6 ( ) a b a b w M 6 = ()( )( )( ) δ = vag (96) Megjegezzük hog ha a most bemutatott öt egenlet közül az elsőt balól (vektoiálisan) megszoozzuk j -tel a másodikat j -tel a hamadikat j -tel a negediket j -tel és az ötödiket j -tel majd összeadjuk őket és még hozzájuk adjuk a j ( N 6 N 6 ) zéusétékű tagot akko az átalakított egenleteket az alábbi tömö mátiegenletek fomájában íhatjuk fel: F F M α β M α β + = IF + + j Fα + j Fβ = IM (97) ahol Fα = Nj + N6j+ Q j Fβ = N6j+ Nj+ Q j M = M j + M j α 6 (98) M = M j + M6j I = M ( I w&& Iv&& ) j + ( I w&& + β Iu&& ) j (99) I = ( I u&& I w&& +µ u& ) j + ( I v&& I w&& +µ v& ) j + ( q + I w&& +µ w& ) j () F Mivel ennél a klasszikus modellnél a keesztiánú níási alakváltozást zéusnak tételeztük fel az öt mozgási alapegenletből az utolsó kettő adja Q és Q étékét Ezeket felhasználva: Q = M + M 6 + I w&& Iv&& () Q = M + M + I w&& I u&& 6 Mivel az általunk most vizsgált lemez homogén izotóp ebben az esetben a feszültségek és a fajlagos igénbevételek az alábbi anagi paaméteek segítségével számolhatók: σ ν u w E σ = ν v z w ν σ ( ν ) / u + v w () N ν u Eh N = ν v () ν N 6 ( ν ) / u + v M ν w Eh M = ν w ( ) (4) ν M 6 ( ν) / w 6 8

219 Ha ezeket az igénbevétel-elmozdulás kapcsolati egenleteket behelettesítjük az első háom mozgásegenletbe akko azok a következő alakot öltik ( I = és I = ρh / étékkel számolva mivel feltételezzük hog a sűűség állandó és a efeenciafelület a középsík): Eh ( ) ( ) u + +ν v + ν u =ρ hu&& +µ u& ν (5) Eh v ( ) + +ν u + ( ν ) v =ρ hv+µ v ν && & Eh w= q ρ hw&& + ρ h ( w&& + w&& ) µ w& ( ν ) A lemez síkjába eső és á meőleges eltolódások ennél a modellnél függetlenek egmástól Egensúli feladatok esetén az első két egenlet jobb oldala zéus és a hamadiknál is csak a külső (általában megoszló) teheket kell figelembe venni Megjegezzük hog ezeknél a feladatoknál az utolsó egenletet szokás a klasszikus elmélet Kichhoff-Love diffeenciálegenletének nevezni A/ Különleges alapajzok: kö alapajzú lemezek Az ábán látható R sugaú h vastagságú lemezt vizsgáljuk 6 ába: Kö alakú lemez Eg elemi méetű észnél 9 : j j d= d d= dθ = j = j (6) j j bázisvektook minden más tébeli deiváltja zéus A kezdeti göbületek közül A j 9 A képlet levezetésénél vegük figelembe a () és () alatt leítakat: P= cosθ i + sinθi j = cosθ i + sin Θ i j = sinθ i + cosθ i vagis: a b a b a b j = sinθ ia+ cos Θ ib = j stb Θ 6 9

220 k = k = k6= k6 = k5 = K = k 4 = Az elmozdulásvekto: z u = uj + uj+ uj = ( u zw ) j + v w Θ j+ w j (7) Deiváltjai: u z z = ( u zw ) j + v w Θ+ w Θ j + w j (8) u z z = u Θ zw Θ v+ w Θ j + v Θ w ΘΘ+ u zw j + w Θj (9) u = w j w Θj () z Az alakváltozások: u ε = j = u zw u ε = j = v Θ+ u z ( w ΘΘ+ w ) u u ε = j+ j = v + u Θ v z( w Θ w Θ) ε =ε =ε = () Az elmozdulásvekto idő szeinti második deiváltját illetve vaiációját helettesítsük be a kinetikus enegia előzőekben is használt képletébe: δ K = (( Iu&& I w&& ) δ u+ ( Iv&& I w&& Θ) δ v+ Iw&& δ w+ ( I w&& I u&& ) δ w + () A + ( I w && Θ I v && ) δ w Θ ) d d Θ= = (( Iu&& I w&& ) δ u+ ( Iv&& I w&& Θ) δ v+ ( Iw&& ( I w&& I u&& ) A o = R ( I w I v) ) δ w) d dθ I w I u δ w dθ I w I v δ wd && && && && && && Θ Θ Θ Θ = Helettesítsük be az alakváltozásokat is a potenciális enegia függvénébe: δπ t = ( N δ u + N6 δ u Θ+ N δ v Θ+ N6 δv M δ w M δ w ΘΘ A M 6 δ w Θ M 6 δ w Θ + Nδu N6δv M δ w + M 6 δ w Θ qδ w+ Q δ w + + Q δ w Θ Q δw Q δw Θ) d dθ= = ( N ) + N N δ u+ N + ( N ) + N δ v+ { 6 Θ } { Θ 6 6} A Θ=Θ Θ= 6

221 + (( Q ) + Q Θ q) δ w (( M ) + M 6 Θ Q M ) δ w ( M Θ+ M 6 Q + + M ) δ w ) d dθ+ Nδ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δ w dθ+ () 6 Θ 6 6 Θ Θ Θ=Θo ( Θ ) = ()( R Θ o ) 6 6 Θ 6 ( Θ ) = ( R)( Θo ) Θ= + N δ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δw d M δ w A feszültségkomponensek: σ u w σ = D ( v Θ+ u) / z ( w ΘΘ+ w ) / (4) σ ( u Θ+ v v) / (w Θ w Θ) / Az igénbevételek: N N u ( v + u) / = R = Θ N ( u 6 Θ+ v v) / = D% (5) M w M ( w ΘΘ+ w ) / M (w 6 Θ w Θ) / Ha ismét behelettesítjük az enegiafüggvéneket a Hamilton-féle vaiációs elvbe és figelembe vesszük δu δv δ w δ wθ ésδ w zéus voltát akko a következő mozgásegenleteket kapjuk a kö alakú lemeze: N N6 N N + + = Iu&& I w&& +µ u& Θ (6) N6 N N6 I + + = I v&& w&& Θ+µ v& Θ (7) Q Q Q + + = q + I w && +µ w & Θ (8) M 6 M M 6 I + Q = w&& Θ Iv&& Θ (9) M M 6 M M + + Q = I w && + I u && Θ () A peemfeltételek: M 6 = a δ u= vag N ; δ v= vag N6 ; δ w= vag Q + ; Θ δ w = vag M () Θ= Θ δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M Θ o 6 6 δ w = vag M () ( Θ ) = ()( R Θ )( R)( Θ ) δ w= vag M () o o Ha a lemez anaga izotóp akko az igénbevételek számítása a klasszikus anagi paaméteek segítségével adható meg: 6 6

222 N ν u Eh N = ν ( ) / v Θ+ u ν (4) N 6 ( ν ) / ( u Θ+ v v) / M ν w Eh M = ν ( ) wθθ+ w / ν (5) M 6 ( ) / ν ( w Θ w Θ) / Ha ezeket az igénbevétel-elmozdulás függvéneket helettesítjük be a hamadik negedik és ötödik mozgásegenletbe és figelembe vesszük hog I = és I = ρh / valamint elimináljuk Q et és Q t akko az új mozgásegenlet (az első kettő a vízszintes hatásoka csak az inecia-tagoknál módosul): Eh h w= q ρ hw&& + ρ w&& µ w& (6) ν ( ) Megjegezzük hog itt temészetesen a koodinátaendsze típusának megfelelő poláis opeátot kell alkalmaznunk (lásd a Függelék -et: = + + Θ ) A/ Általános alakú lemezek Az ábán látható lemez göbült hatáfelületének megfelelően ilenko göbült otogonális z z koodinátaendszet célszeű használni A hatáoka alkalmazzuk az X Y feltételeket A kezdeti göbületek: k = k = k6= k 6 j k5 j j k5 j j k4 j j = = = = = k j 4 (7) Az z endszeben használt egségvektook összes többi deiváltja zéus Az elmozdulásvekto komponensei megegeznek a deékszögű lemeznéll bemutatottal: u= u+ zθ = u zw u = v zθ= v zw u = w (8) 7 ába: Általános alakú lemez Az elmozdulás-deiváltak a göbületek figelembevételével: u = ( u zw k5 v+ zk5 w ) j + ( v zw + k5u zk5 w )j + w j (9) 6

223 u = ( u zw k4v + zk4 w ) j + ( v zw + k4u zk4 w ) j + w j () u = w j wj () z Az alakváltozások: u ε = j = u k5 v z( w k5 w ) u ε = j = v k4 u z( w k4 w ) () u u ε = j+ j = u + v k4v+ k5 u z( w + w k4 w + k5 w ) ε =ε =ε = A kinetikus enegia vaiációja: δ K= (( Iu&& I w&& ) δ u+ ( Iv&& I w&& ) δ v+ Iw&& δ w+ ( I w&& I u&& ) δ w + () A + ( I w&& I v&& ) δ w ) da= (( I u&& I w&& ) δ u+ ( I v&& I w&& ) δ v+ A + I w&& ( I w&& I u&& ) ( I w&& I v&& ) δ w) da I w&& I u&& δ wd = Y && && = I w I v δ wd A potenciál vaiációja: δ Π = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δv M δ w M δ w M δ w M δ w + t A = X = + k N δu k N δv k M δ w + k M δ w + k N δu k Nδv k M δ w + k M δ w qδ w+ Q δ w + Q δ w Q δw Q δ w ) da= = (( N + N k N k N ) δ u+ ( N + N + k N + k N ) δ v+ ( Q + Q q ) δ w A ( M + M Q k M k M ) δ w ( M + M Q + k M + k M ) δ w ) da ( Nδ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δ w ) X d+ = 6 6 = = Y ( ) = ()( X Y ) ( N6 u N v ( Q M 6 ) w M w ) d M 6 w (4) = ( ) = ( X )( Y ) + δ + δ + + δ δ δ A feszültségek: σ u k5 v w k5 w σ = D v + k4u z w + k4 w (5) σ u + v k4v+ k5 u w + w k4 w + k5 w és az igénbevételek: 6

224 N u k5 v N v + k4u N 6 u + v k4v+ k5u = D% (6) M w + k5 w M w k4 w M 6 w w + k4 w k5 w A képletekben szeeplő D és D ɶ mátiok az anagi meevségeket vagis az anagmodelleket képviselik Most is behelettesítjük az enegiafüggvének vaiációit a Hamilton-féle vaiációs elv képletébe majd δu δv δ w δw és δ w zéus étékét figelembe véve felíjuk az általános mozgásegenleteket: N + N k N k N = I u&& I w&& + µ u& N + N + k N + k N = (7) = I v&& I w&& +µ v& Q + Q = q + I w&& +µ w& (8) M M k M k M + Q = I w&& I v&& (9) M M k M k M Q I w&& I u&& (4) = + A szükséges peemfeltételek: (4) = X δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M 6 6 ; = Y δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M 6 6 ( ) = ()( X Y)( X )( Y ) δ w= vag M Szoozzuk meg a mozgásegenletek közül az elsőt (ismét vektoiálisan) j -tel a másodikat j -tel a hamadikat j -tel a negediket ismét j -tel az ötödiket j -tel majd adjuk össze az egenleteket kiegészítve az összeget a j ( N 6 N 6 ) étékkel Fomailag uganazokhoz a mátiegenletekhez jutunk ameleket a deékszögű négszög lemezeknél má bemutattunk A Q és Q níóeőket újból a két utolsó mozgásegenletből hatáozhatjuk meg íg az első háom egenlet az u v és w elmozdulásfüggvének meghatáozásáa használhatók A níóeők képletei: Q = M + M + k M + k M + I w& I & (4) Q v & = M + M k M k M + I w& I u& (4) 6 Fontos megjegzés hog a deékszögű és köalakú lemezek egenletei az itt bemutatott általános egenletekből egszeűsítéssel megkaphatók Például a/ négszög lemezeknél k 4 = k5 = egszeűsítés alkalmazható b/ köalakú lemezeknél pedig: k5 = k4 = / d= d d= dθ da= d dθ ( Ni ) ( Qi ) ( M i ) Ni = Qi = M i = 6 4

225 B/ Lemezmodell níási hatásokkal B/ A vizsgálatnál alkalmazott göbevonalú koodinátaendsze Az ábán eg elemi szál változása látható 8 ába: Níási hatások figelembevétele Az z göbevonalú bázis koodinátái X Y hatáok között változnak Eg tetszőleges pont elmozdulásainak számításánál most a níási hatást is figelembe vesszük: u = u+ zθ + g( z) γ = u zw + gγ 5 5 u = v zθ + g( z) γ = v zw + gγ 4 4 (44) u = w A g(z) függvén a níási hatásokat is figelembe vevő geendamodellekhez hasonlóan a níási tozulásokat adja meg γ4 ésγ 5 pedig a níási szögelfodulás (lásd a következő ábát): 9 ába: A níási tozulás Az elmozdulásvekto deiváltjai: u = ( u zw k5 v + zk5 w + g γ 5 gk γ 5 4) j + ( v zw + k5 u zk5 w + 6 5

226 + gγ + gk γ )j + w j (45) u = ( u zw k4v + zk4 w + g γ 5 gk γ 4 4) j + ( v zw + k4u zk4 w + + gγ + gk γ ) j + w j (46) u = ( g z γ 5 w ) j + ( g z γ 4 w ) j z (47) Az alakváltozások: u ε = j = u k5 v z( w k5 w ) + g( γ5 k5γ4) (48) u ε = j = v + k4 u z( w + k4 w ) + g( γ 4 + k4γ5) u u ε = j+ j = u + v k4v+ k5 u z( w + w k4 w + k5 w ) + + g( γ +γ + k γ k γ ) u u u u ε = j+ j = gzγ5 ε = j+ j = gzγ4 ε = z z Az időszeinti deiváltak és az elmozdulás-vaiáció meghatáozása után előállíthatók az enegiavaiációk: δ K = (( Iu&& I w&& + I && γ5) δ u+ ( Iv&& I w&& + I && γ4) δ v+ Iw&& δ w+ ( I w&& Iu&& I && 4γ5 ) δ w + Itt A + ( I w&& I v&& I && γ ) δ w + ( I u&& I w&& + I && γ ) δγ + ( I v&& I w&& + I && γ ) δγ ) da (49) ahol [ ] I I4 I5 = ρ g zg g dz (5) z δ Π = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δv M δ w M δ w M δ w M δ w + t A k N δu k N δv k M δ w + k M δ w + Qδ w + Qδ w Qδw Qδ w qδ w+ + ( q m k m k ) δγ + mδγ + mδγ + ( q + m k + m k ) δγ + mδγ (5) + mδγ ) da= (( N + N k N k N ) δ u+ ( N + N + k N + k N ) δ v A ( Q + Q q ) δ w ( M + M Q k M k M ) δ w ( M + M Q + k M + + k M ) δ w + ( m + m + m k + m k q ) δγ + ( m + m + m k + m k q ) δγ ) da+ ( Nδ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δ w + mδγ + m δγ ) X d+ = = = Y ( ) = ()( X Y ) = 6 ( ) = ( X )( Y ) + ( N δ u+ N δ v+ ( Q + M ) δ w M δ w + m δγ + mδγ ) d M δ w [ m m m6] = g[ σ σ σ ] [ q q ] = g z[ σ σ] dz (5) magasabbendű komponenseket jelölnek A hajlítási és níási feszültségek: z z 6 6

227 σ u k5 v w k5 w σ = D ( v hajl + k4 u z w + k4 w + σ u + v k4v+ k5 u w + w k4 w + k5 w (5) γ5 k5γ 4 + g γ 4 + k4γ5 ) 4 5 k5 5 k γ +γ + γ 4γ 4 σ γ 4 = D g z ní σ γ5 (54) Az igénbevételek: N u k5 v N v + k4u N 6 u + v k4v+ k5u M w + k5 w ˆ M D w k4 w q ) γ5 = h D n q = (55) M 6 w w + k4 w k5 w γ4 m γ5 k 5γ4 m γ 4 + k4γ5 m γ 4 +γ 5 + k5γ5 k4γ4 A különböző D mátiok ismét az anagmodelleket jelentik A Hamilton-féle vaiációs elv képletébe behelettesített enegia-vaiációknál δu δv δ w δγ4 δγ5 δ w és δ w zéussá tételéből hét daab mozgásegenletet kapunk a csillapítás szokásos figelembevételével: N + N k N k N = I u&& I w&& + I && γ +µ u& (56) N N k N k N I v&& I w&& I && v& (57) = + γ 4+µ + = + +µ Q Q q I w&& w& (58) m m m k m k q I && I v&& I w&& & (59) = 5γ µ 4γ4 m m m k m k q I && I u&& I w&& & (6) = 5γ µ 5γ5 M M k M k M + Q = I w&& I v&& I γ&& (6) M + M k M k M Q = I w&& + I u&& + I γ&& (6) A peemfeltételek: (6) = X δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M ; δγ = vag m ; δγ = vag m = Y δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M ; δγ = vag m ; δγ = vag m

228 ( ) = ()( X Y )( X )( Y ) δ w= vag M 6 Ismét alkalmazhatjuk a koábbiakban szokásos beszozást összeadást valamint j ( N 6 N 6 ) taggal való kiegészítést Az első háom egenletet j -tel j -tel illetve j -tel szoozzuk majd a hatodik és hetedik egenlet következik ( j -tel és j -tel szoozzuk őket) A végső mátiegenlet fomailag megegezik a klasszikus deékszögű lemeznél bemutatottal azzal a kivétellel hog az egenletben szeeplő I F és I M tatalma más: I = ( I u&& I w&& + I && γ +µ u& ) j + ( I v&& I w&& + I && γ +µ v& ) j + ( q + I w&& +µ w& ) j (64) F 5 4 I = ( I w&& I v&& I && γ )j + ( I w&& + I u&& + I && γ ) j (65) M A hatodik és hetedik egenletet Q és Q számításáa használhatjuk íg a maadék öt egenlet uvw valamint γ4 ésγ 5 meghatáozásáa szolgál Q és Q jelen esetben az egségni hossza eső keesztiánú níóeő intenzitást jelenti: [ Q Q] = [ σ σ ] dz (66) z vagis geometiai átlagként kell őket figelembe venni míg q és q enegiaételmű átlagot jelent uganaa a változóa Ha g = z (vagis elsőendű vag más néven lineáis níási elmélettel dolgozunk) akko Q = q és Q = q B/ Négszög és kö alapajzú lemezek Négszög alakú lemezeknél k4 = k5 = feltétellel kell számolnunk Kö alakú lemezeknél kicsit összetettebb az átváltás: k5 = k4 = / d= d d= dθ (67) illetve ( N ) ( ) ( ) ( ) i Qi M i mi Ni = Qi = M i = mi = (68) Az alapegenleteket felíjuk kö alapajz esetée: N N6 N N + + = Iu&& I w&& + I && γ 5+µ u& Θ (69) N6 N N6 I + + = I v&& w&& Θ+ I && γ 4+µ v& Θ Q Q Q + + = q + I w && +µ w & Θ m6 m m6 I4 + + q = I && 5γ4 w&& Θ+ Iv&& +µ 4γ& 4 Θ m m6 m m + + q = I && 5γ5 I 4 w && + I u && +µ 5γ& 5 Θ M 6 M M 6 I + Q = w&& Θ Iv&& I && 4γ4 Θ M M 6 M M + + Q = I w && + I u && + I && 4γ5 Θ A peemfeltételek kö alapajzú lemez esetén: (7) 6 8

229 M 6 = a δ u= vag N; δ v= vag N6; δ w= vag Q + ; δ w = vag M; Θ δγ = vag m ; δγ = vag m Θ= Θ δ u= vag N ; δ v= vag N ; δ w= vag Q + M ; δ w = vag M ; 6 6 Θ δγ = vag m ; δγ = vag m ( Θ ) = ()( a Θ )( a)( Θ ) δ w= vag M 6 B/ Különböző níási-tozulási függvének Ha például a g(z) függvént hamadendű polinomnak választjuk akko az úgnevezett hamadendű níási lemezelmélethez jutunk: 4z g( z) = z (7) h Ha a függvén lineáis vagis g( z) = z (7) akko a lineáis níási lemezelméletől más néven Reissne 94 - Mindlin 95 -Henck-lemezmodellől beszélünk a mechanikában Ennél a változatnál ε =γ4 ε =γ 5 q = Q q = Q m = M m = M (7) m6 = M 6 I= I I4 = I5 = I A níóeők: Q = M + M 6 + k4 M 6+ k5 M+ I w&& Iv&& I && γ4 µ 4γ& 4 (74) Q = M + M k M k M + I w&& I u&& I && γ µ γ& Ha izotóp étegekből álló szendvics lemezt kívánunk vizsgálni akko a éteges keesztmetszetű geendánál alkalmazott technika segítségével lehet felépíteni g(z) függvénét Ha például a geendáknál bemutatott háom étegből álló metszetet tekintjük eg lemez felépítésének akko a keesett függvén: h h z 8z h h 9z g( z) = U ( z+ ) U ( z+ ) ( z ) U ( z ) U ( z ) ( z ) h h + + (75) h h h z 8z U z U z z + ( ) ( ) + h h ahol U() a Heaviside 96 -féle egségfüggvén ( U ( t t) = ha t t egébként étéke ) Megjegezzük hog étegelt lemezeknél γ 4 és γ 5 között nemlineáis kapcsolatot szokás feltételezni de ezzel a hatással most nem foglalkozunk 94 Eic Reissne (9-996) német számazású ameikai tudós Elsősoban az aeonautikában alkalmazható felületszekezetek vizsgálatával foglalkozott 95 Ramond David Mindlin (96 987) ameikai mechanikus és fizikus A gakolati és elméleti mechanika számos teületén alkotott jelentős műveket Az ő fénképe látható ezen az oldalon 96 Olive Heaviside (85 95) angol villamosménök és matematikus Komol eedméneket ét el az elméleti villamosságtan kutatásában 6 9

230 Klasszikus lemez analitikus megoldása deékszögű négszög alapajz esetén Hatáozzuk meg eg deékszögű négszög alapajzú a b méetű peemein csuklós megtámasztású lemez w() eltolódásfüggvénét A lemez vastagsága állandó anaga izotóp és lineáisan ugalmas a tehelés kvázi-statikus Az analitikus megoldást Navie javaslata alapján íjuk fel Navie a keesett eltolódásfüggvént végtelen sook segítségével javasolta megadni: mπ nπ w( ) = Wmn sin sin (76) m= n= a b A képletben szeeplő W paaméteek ismeetlen állandókat jelentenek A külső tehelést mn szintén végtelen so alakjában kell felíni hog a bihamonikus diffeenciálegenlet teljes egészében átalakítható legen: mπ nπ qz( ) = Pmn sin sin (77) m= n= a b A P egütthatókat a ténleges tehelés adataiból a kettős Fouie 97 - m n sook segítségével lehet meghatáozni: Segédlet a kettős Fouie-sook alkalmazásáa Hatáozzuk meg eg (a) (b) tatománon ételmezett és ismet f() függvén soba fejtett alakjának F egütthatóit: mπ nπ f( ) = Fmn sin sin (78) m= n= a b Szoozzuk be mindkét oldalt sin k π d b függvénnel majd integáljuk = -tól b- b ig: f( ) sin d= Fmn sin sin sin d (79) mn b k π m π n π k π b m= n= a b b Az integálásban ha b n k n k π π sin sin d b b (8) ha pedig b nπ b n= k sin d= b (8) Megismételve a szozást és az integálást iánban az eedmén: a mπ a sin d= a (8) Íg a függvén egütthatói a következőképpen számíthatók: a b 4 mπ nπ Fmn= f( ) sin sin dd ab a b (8) 97 Jean Baptiste Joseph Fouie (768 8) kiváló fancia matematikus és fizikus Elsősoban hőtani kutatásaiól és az általa kidolgozott matematikai sookól ismet Acképe látható ezen az oldalon 6

231 Ennek az eedménnek a felhasználásával sok gakolati tehelési esete zát alakban megadhatók a keesett P egütthatók Például: m n a/ Konstans tehelés: p 6 p ( 5) π mn mn= m n= b/ Lineáis megoszló tehe: p mn 8 p cos mπ = ( m n= 5) π mn c/ Paciális megoszló tehe: p mn 6 p mπξ nπη = sin sin π mn a b mπc nπd sin sin a b ( m n= ) d/ Koncentált eő: p mn 4P mπξ nπη = sin sin = ab a b ( m n ) e/ Féloldali paciális tehe: 6

232 p p 8p mn= = π mn 6 p mn= = π mn ( m n 5 ) ( m 6 ) ( n 5 ) = f/ Éltehe: p 4 p mπξ sin πan a mn= = ( m n ) Ha a végtelen sookkal felít közelítést a lemez statikus vizsgálatához szükséges bihamonikus diffeenciálegenletbe helettesítjük akko a következő alakot kapjuk: mπ m nπ nπ m n m n W π π π π mn + + sin sin P sin sin 4 4 mn a a b b = a b D a b Pmn Wmn= íg a megoldás : (84) 4 m n Dπ + a b Pmn mπ nπ w( ) = 4 sin sin Dπ m= n= m n a b + a b A fenti egenletben Eh D= (85) ν ( ) Az eltolódás függvénébe most má a teheléstől függő állandókat kell behelettesítenünk Az eltolódásfüggvén segítségével további deiválásokkal temészetesen az igénbevételek is számíthatók: m n mπ nπ M=π D +ν Wmn sin sin m= n= a b a b π π mn m= n= b a a b n m m n M =π D +ν W sin sin mn mπ nπ M = π D( ν) Wmn cos cos ab a b m= n= (86) 6

233 Felhasznált iodalom: / Nafeh A H Pai P F: Linea and nonlinea stuctual mechanics John Wile 4 / Szilad R: Theo and analsis of plates Pentice Hall 974 / Timoshenko S P Woinowsk-Kiege S: Lemezek és héjak elmélete Műszaki Könvkiadó 966 4/ 5/ Thomas G B Wei M D Hass J Giodano F R : Thomas-féle Kalkulus III kötet Tpote 7 6/ Szőkefalvi N G Gehé L Nag P: Diffeenciálgeometia Műszaki Könvkiadó Előadás: Rugalmas héjak alapvető mechanikai egenletei A héjak alapvetően abban különböznek a lemezektől hog endelkeznek kezdeti göbülettel (kivéve az úgnevezett síkhéj mechanikai modellt amel kis elmozdulások esetén egszeűen a membán- és lemez hatás nem kapcsolt összegzését jelenti) Szeepük má az ókotól kezdve igen jelentős volt a ménöki alkotások között (gondoljunk aká a ómai Pantheon gönöű kupolájáa lásd az alábbi képet vag a keleti építészet kompleen összefüggő tébeli szekezeteie): A moden felületszekezetek első változatai a XIX század végén jelentek meg előszö többnie valamilen tébeli acél meevítéssel ellátott üveg- vag acélbukolatú héjként (ezeket az első változatokat sokan inkább a bukolt tébeli keetszekezetek közé soolják) majd később a XX század közepétől má a meész ívelésű vasbeton héjak jelentették az igazi tevezési és kivitelezési kihívást a héjakat szeetők számáa A kezdeti változatok között megemlítjük az oosz Suhov es években létehozott hatalmas szekezeteit (lásd a következő képeken a Nizsnij- Novgoodban 895-ban megépült óiási meevített 98 Vlagimi Gigojevics Suhov (85 99) oosz építőménök elsősoban héjak tatálok és nagméetű tébeli szekezetek tevezésével foglalkozott 6

234 héjat vag az 897-ben uganott épült kettősen göbült felületszekezetet (utóbbiól kivitelezés közben készült a kép)): A XX század sok nagszeű alkotása közül talán az egik legszebbként a kiváló finn építész Saainen 99 new-oki epülőtéi csanokát mutatjuk illusztáló példának mellette eg gönöű (meevített) gömbhéj képe látható (eg ameikai Disne-pakban található): Rengeteg maga és idegen nelvű könv foglalkozik a ménöki héjszekezetek matematikájával és mechanikájával valamint a gakolati építés kédéseivel Külön alatt felsoolt műveke A honlapok felhívjuk a figelmet az iodalomjegzékben [ ] [ ] közül a [ 6] és[ 7 ] alatti a legszebb alkotásokat és a legismetebb felületszekezeti tevezőket mutatja be míg a [ 8 ] alatt a héjakkal kapcsolatos legfissebb kutatásokól olvashatók hasznos infomációk A továbbiakban a lemezeknél má bemutatott alapelveket felhasználva bemutatjuk az ismetebb héjelméletek alapvető egenleteit illetve néhán fontosabb héjszekezet kezdeti göbületeinek számítását Klasszikus (Kichhoff-féle) lineáis héjelmélet Az alábbi hat ábán hat különböző geometiájú héjat láthatunk: 99 Eeo Saainen (9 96) finn építész a XX század egik meghatáozó építész egénisége Ő tevezte például a Missoui folót Saint Louis-nál áthidaló hatalmas ívet is 6 4

235 - általános vezégöbéjű hengehéjat - kö vezégöbéjű hengehéjat - spiál alakban csavaodó héjat - kónikus héjat - vezégöbével előállított hengeszimmetikus héjat illetve - gömbhéjat 4 ába: Általános és kö vezégöbéjű hengehéj 4 ába: Spiál alakú héj és kónikus héj 6 5

236 4 ába: Hengeszimmetikus héj és gömbhéj A héjszekezetek más változatait is ábázolhatnánk egészen a teljesen szabáltalan alapajzú és geometiájú kettősen göbült változatig Mindegikben közös hog a defomáció előtti efeenciafelületüket z göbült otogonális koodinátaendszeben ábázoljuk j j j egségvektook segítségével (a z tengel mindig meőleges a efeenciafelülete) Szükség lesz abc inecia-endszee is ( i a i b ic bázisvektookkal) a kettő között pedig a má ugancsak bemutatott T tanszfomációs tenzo íja le a kapcsolatot (lásd a hét előadását) A/ Hengehéjak Vizsgáljuk meg az első ábán látható általános hengehéjat A héj felülete ebben az esetben eg úgnevezett geneátofüggvén tanszfomálásával állítható elő A vezégöbe eg tetszőleges pontjának P helzetvektoa a következőképpen adható meg: P = B( Θ ) ib+ C( Θ) ic (4) íg d= d d= dp= B dθ + C dθ = dθ B + C ( ) ( ) Θ Θ Θ Θ Az egségvektook: P B Θ C Θ j= ia j= = i i j b+ c = j j B + C B + C Θ Θ Θ Θ (4) A tanszfomációs máti és a kezdeti göbületek mátia ezeknek az egségvektooknak a segítségével előállítható Ha a geneáto kö (lásd a 4 ába jobb oldali képét) akko P étéke ( a héj sugaa h pedig eg iánú távolság): P = hia+ sinθ ib+ cosθic d= dh d= d Θ (4) illetve az egségvektooké: j= ia j= cosθib sin Θ ic j= sinθ ib+ cos Θ ic (44) A kezdeti göbületek az előző előadáson felít összefüggések segítségével számíthatók: k= k6= k5= k6= k 4= k = (45) A spiális szekezetű héjnál (4 ába bal oldali képe) a helzetvekto: P = cos( Θ Φ ) i + sin( Θ Φ ) i + ( ΘtanΨ+ Φ cot Ψ ) i (46) a b c 6 6

237 d= ( dθ ) + ( dθtan Ψ ) = dθ cosψ d= ( dφ ) + ( dφcot Ψ ) = dφ sinψ Az egségvektook: P j= = sin( Θ Φ)cosΨ ia+ cos( Θ Φ)cosΨ ib+ sin Ψ ic P j= = sin( Θ Φ)sinΨ ia cos( Θ Φ) sinψ ib+ cos Ψ ic (47) (48) (49) j = cos( Θ Φ) i a + sin( Θ Φ) i b (4) A tanszfomációs tenzo előállításához szükséges kezdeti göbületek: cos Ψ sin Ψ sin Ψ k4= k5= k= k= k6= k6= (4) Felhívjuk a figelmet hog ez az első általunk tágalt felületszekezet ahol k és k étéke nem zéus B/ Kónikus héj 6 6 A kónikus héjnál (4 ába jobb oldali képe) a helzetvekto az egségvektook és a göbületek: P = sinα cosθ i + sinα sin Θ i + ( C cos α) i d= d d= sin αdθ (4) a b c P j= = sinα cosθ ia+ sinα sinθib cos α ic P j= = sinθ ia+ cos Θib (4) (44) j = j j = cosα cosθi a + cosαsinθi b + sinα i c (45) k= k6= k5= k6= k= k4= (46) tanα C/ Vezégöbével geneált fogásszimmetikus héj A 4 ába bal oldali képén látható héjnál a pozícióvekto és az egségvektook: P = a i + sinθ i + cos Θ i d= ( da) + ( d) = da + (47) a b c a d= dθ ( itt = ( a)) P j = = ( i a+ a sinθ ib+ a cos Θic) + a (48) P j= = cosθib sin Θic (49) j = j j = ( a i a + sinθi b + cosθi c ) (4) + a A tanszfomációs máti és kezdeti göbületek ezek felhasználásával az eddig is használ alapelveknek megfelelően számolhatók 6 7

238 D/ Gömbhéj A helvekto az egségvektook és a göbületek (a 4 ába jobb oldali vázlatán látható a héj képe): P = sinθcosφ ia+ sinθsinφ ib+ cos Θic d= dθ d= sin Θ dφ (4) P j= = cosθcosφ ia+ cosθsinφ ib sin Θic (4) P j= = sinφ ia+ cos Φ ib (4) j = j j = sinθcosφ i + sinθsinφ i + cosθi (44) a b c k6= k5= k6= k= k= k4= tanθ (45) E/ Kettősen göbült (általános) héj Általános esete is a hét előadásán bemutatott kezdeti göbületeket kell kiszámítanunk ha a héj további elemzését akajuk elvégezni Vizsgáljunk eg állandó h vastagságú Y tatománban elhelezkedő héjat Eg tetszőleges pontjának eltolódásvektoa: u = u j+ u j + u j = ( u+ zθ ) j+ ( v zθ ) j + wj (46) A képletben u v és w a háom tengel iánában létejövő eltolódások étéke Θ ésθ pedig a defomálódott állapothoz tatozó két elfodulás Az elfodulások ételmezését segíti az alábbi ába: 44 ába: Az elfodulások ételmezése 6 8

239 A kezdeti göbületek miatt Θ w ésθ w bá az elfodulásokat jelen vizsgálatban kicsinek tételezzük fel Íg az ába (és az előző előadás 9 alatti egenletei) alapján a lineáis tagok figelembevételével: ˆ T T Θ= tan = tan = w u k6 vk (47) T ˆ T ˆ T T Θ = tan = tan = w + u k+ vk6 (48) T Tˆ Az előzőekhez hasonlóan a tan szimbólum az actan jelöléssel egenétékű Az elmozdulásvekto deiváltjai: u = ( u + z Θ vk + 5 z Θ k + 5 wk ) j + ( v z Θ + uk + 5 z Θ k + 5 wk6) j + + ( w uk zθ k vk + zθ k ) j (49) u = ( u + z Θ vk + 4 z Θ k + 4 wk6 ) j + ( v z Θ + uk + 4 z Θ k + 4 wk ) j + + ( w uk zθ k vk + zθ k ) j ( u =Θ Θ z j j (44) Az alakváltozások: (44) u ε = j = u k5 v+ k w+ z( Θ + k5θ ) u ε = j = v + k4u+ k w+ z( Θ + k4θ) u u ε = j+ j = u + v k4v+ k5u+ k6 w+ z( Θ Θ + k4θ+ k5θ) ε = ε = z( k Θ kθ ) ε = z( kθ k Θ ) 6 6 A fenti alakváltozás-komponensek felíásánál feltételeztük a k 6 = k6 = k6 / egenlőséget ami a lineáis héjelmélet sima és defomálatlan felületeie igaz Mivel a keesztiánú níási defomációkat az ún klasszikus elméletben zéusnak tekintik íg ε = z( k Θ kθ ) =ε = z( kθ k Θ ) = (44) 6 6 Az elmozdulásvekto idő szeinti deiváltjait illetve vaiációját felíva kiszámíthatjuk a kinetikus enegia vaiációját: δ K= ρuɺɺ δ u dz da= (( I uɺɺ + IΘɺɺ ) δ u+ ( I vɺɺ IΘɺɺ ) δ v+ I wɺɺ δ w+ (444) A z A + ( IΘ ɺɺ + I uɺɺ ) δθ + ( IΘ ɺɺ I vɺɺ ) δθ ) da ahol I I és I étékeit má a heti előadáson meghatáoztuk A belső potenciál is felíható a koábbi lemezfeladatokhoz hasonlóan: (445) δπ = ( σ δε +σ δε +σ δε ) dz da= ( Nδ u + Nδ u + Nδ v + Nδ v + b 6 6 A z A MδΘ MδΘ + MδΘ MδΘ + k Nδu k Nδ v+ + k MδΘ + k MδΘ+ k Nδu k Nδ v+ k mδθ+ k MδΘ

240 + k N δ w + k N δ w + k N δ w + Q δθ Q δθ Q δθ+ Q δθ da = ) 6 6 = (( N + N k N k N + k Q+ k Q ) δ u+ ( N + N + k N A 5 6 ) ( 6 6) ( 6 + k N+ k Q+ k Q δ v+ Q + Q k N k N k N δ w+ M + M Q k M k M ) δθ ( M + M Q+ k M + k M ) δθ ) da (( N+ k M ) δ u+ ( N + k M ) δ v+ ( Q+ M ) δ w+ MδΘ ) X d+ = = + (( N + k M ) δ u+ ( N + k M ) δ v+ ( Q+ M ) δw MδΘ ) Y d = = Mδ w ( ) = ()( X Y ) 6 ( ) = ( X )( Y ) Az anagmodell egenlete: σ u k5 v+ k w Θ + k5θ σ = D v k4u k w z k Θ + 4Θ (446) u v k4v k5u k6 w k4 k σ Θ Θ + Θ+ 5Θ Az igénbevételek az anagmodell segítségével: N u k5 v+ k w N v + k4u+ k w N 6 u v k4v k5u k6 w = Dɶ M k (447) Θ + 5Θ M Θ + k4θ M 6 Θ Θ + k4θ+ k5θ Az eddig alkalmazott módszet követve a Hamilton-féle vaiációs elvet használjuk fel a mozgásegenletek előállításáa: N + N6 k4 N k5 N6+ k Q+ k6q= Iuɺɺ + IΘɺɺ (448) N + N + k N + k N+ k Q+ k Q = I vɺɺ IΘɺɺ Q + Q k N k N k6 N6= I wɺɺ M M k M k M + Q = IΘ ɺɺ I vɺɺ M M k M k M Q= IΘ ɺɺ + I uɺɺ A peemfeltételek: = X δ u= vag N+ k M ; δ v= vag N + k M ; (449) δ w= vag Q+ M ; δθ = vag M 6 = Y δ u= vag N + k M ; δ v= vag N + k M ; δ w= vag Q+ M ; δθ= vag M 6 ( ) = ()( Y )( X )( X Y ) δ w= vag M Szoozzuk meg a mozgásegenletek közül az elsőt j -tel a másodikat j -tel a hamadikat j -tel a negediket ismét j -tel az ötödiket j -tel majd adjuk össze őket 6 6 4

241 és használjuk fel a előadáson a j egségvektook deiváltjaia bemutatott összefüggéseket A következő tömö fomájú mátiegenletekhez jutunk: F F α β M M α β + = I F + + j Fα+ j Fβ= I M (45) ahol F = N j+ N j+ Q j F= N j+ N j+ Q j (45) α 6 β 6 Mα= M6j+ Mj Mβ= M j+ M6j (45) IF= ( Iuɺɺ + IΘ ɺɺ ) j+ ( Ivɺɺ IΘ ɺɺ ) j+ Iwɺɺ j (45) IM= ( IΘ ɺɺ Ivɺɺ ) j+ ( IΘ + Iuɺɺ ) j (454) Megjegezzük hog a második mátiegenletből hiánzó tagot (a z tengel köüli nomatéki egensúlt kifejező tagot) a lineaitás miatt szokták kihagni ezét az innen hiánzó j egségvekto egütthatóját nullának feltételezzük: N6 N6+ k M6 k M6+ k6m k6m= (455) A keesztiánú níóeőket ( Q -et és Q -t ) most a negedik és ötödik mozgásegenletből lehet kifejezni: Q= M + M6 + k4 M6+ k5 M+ IΘ ɺɺ Ivɺɺ (456) Q= M + M k M k M IΘɺɺ I uɺɺ F/ Mozgásegenletek kö vezégöbéjű hengehéjnál Megismételjük a hengehéjaknál má megadottt paaméteeket: d= a d Θ k= k6= k5= k6= k 4= k = a (457) ahol most az a paaméte jelenti a hengehéj sugaát Az elfodulások (az általános kettősen göbült héjalaknál megadott szögelfodulási képletből kiindulva): v Θ = w Θ = w (458) a A níóeők: vɺɺ Q= M + M 6 + I ( wɺɺ ) Ivɺɺ Q= M + M 6 + I wɺɺ Iuɺɺ (459) a és az alakváltozások: w v v ε = u zw ε = v + z( w ) ε = u + v z( w ) (46) a a a Megjegezzük hog ebben az esetben w = w = w Θ / a= w Θ Az igénbevételek: u N v w / a N + N u 6 + v = Dɶ M (46) w M w v / a + M 6 w + v / a 6 4

242 A níóeők meghatáozása utáni háom mozgásegenlet: N + N = I uɺɺ I wɺɺ (46) 6 N6 + N + ( M6 + M ) = ( I+ I+ I ) vɺɺ ( I+ I ) wɺɺ a a a a M + M 6 + M N= Iwɺɺ + ( Iuɺɺ I wɺɺ ) + ( Ivɺɺ I wɺɺ + I vɺɺ ) a a A peemfeltételek: (46) = X δ u= vag N ; δ v= vag N + M / a ; δ w= vag Q+ M ; δ w = vag M ; = Y δ u= N δ v= N δ w= Q + M ; vag 6 ; vag ; vag 6 δ( w v / a) = vag M ; ( ) = ()( Y )( X )( X Y ) δ w= vag M ; Héjelmélet a níási hatások figelembevételével Ennél az elméleti változatnál hozzáadjuk az elmozdulás-vektohoz a níási hatásokat: u= u j+ u j + u j = ( u+ zθ + gγ ) j+ ( v zθ+ gγ ) j + wj (464) 5 4 ahol γ4 ésγ5 a héj níás következtében létejövő eta elfodulások g pedig a níási tozulás függvéne Megjegezzük hog az előző ába vázlata és a hozzá kapcsolódó számítási mód a Θ és Θ elfodulásokól továbba is événes A g níási tozulási függvéneke uganazokat a változatokat lehet alkalmazni mint amileneket a geenda- illetve lemezmodelleknél má használtunk Megjegezzük hog lineáis níási tozulás esetén Reissne-Mindlinhéjmodellől beszélünk 6 Az elmozdulásvekto deiváltjai: u = ( u + z Θ vk + 5 z Θ k + 5 wk + g γ 5 gk γ 5 4) j + + ( v Θ z + uk + zθ k + wk + gγ + gkγ )j j + ( w uk Θ z k vk + zθ k gkγ gk γ ) u = ( u + z Θ vk + 4 z Θ k + 4 wk + 6 g γ 5 gk γ 4 4) j ( v Θ z + uk + zθ k + wk + gγ + gkγ )j j + ( w uk Θ z k vk + zθ k gk γ gkγ ) u =Θ ( + g γ z ) j + Θ+ ( g γ ) j z 5 z 4 Az alakváltozások: u ε = j = u k5 v+ k w+ z( Θ + k5θ ) + g( γ5 k5γ4) (465) (466) (467) (468) 6 4

243 u ε = j = v + k4u+ k w+ z( Θ + k4θ ) + g( γ 4 + k4γ5) u u ε = j+ j = u + v k4v+ k5u+ k6 w+ z( Θ Θ kθ+ kθ ) + g( γ +γ + kγ kγ ) g z 5 g k 5 k6 4 g z 4 g k6 5 k 4 (469) (47) ε = γ ( γ + γ ) ε = γ ( γ + γ ) ε = (47) A kinetikus enegia vaiációja az elmozdulásvekto deiváltjainak és vaiációjának felhasználásával számítható: δ K= ρuɺɺ δ u dz da= (( I uɺɺ + IΘ ɺɺ + Iɺɺ γ ) δ u+ ( I vɺɺ IΘ+ ɺɺ Iɺɺ γ ) δ v+ I wɺɺ δ w+ A z A ( IΘ ɺɺ + Iuɺɺ + I4ɺɺ γ5) δθ + ( IΘ ɺɺ Ivɺɺ I4ɺɺ γ4) δθ+ ( Iuɺɺ + I4Θ ɺɺ + I5ɺɺ γ5) δγ 5+ + ( I vɺɺ IΘ+ ɺɺ Iɺɺ γ ) δγ ) da (47) Az I 5 vaiációja: b I paaméteek definícióját a koábbiakban má megadtuk A belső enegia ( ) dz da ( N u (47) A z A δπ = σ δε +σ δε +σ δε+σ δε +σ δε = δ + + N δ u + N δ v + Nδ v + MδΘ MδΘ + MδΘ MδΘ k Nδu k Nδ v+ k MδΘ + k MδΘ+ k Nδu k Nδ v+ k MδΘ + k MδΘ+ + k Nδ w+ k N δ w+ k N δ w+ ( q m k m k s k s k ) δγ + mδγ + 4 ( ) mδγ + q+ m k + m k s k s k δγ + mδγ + mδγ + ) (( QδΘ QδΘ QδΘ + QδΘ da= N + N k N k N + k Q+ A 6 ) ( ) ( + k Q δ u+ N + N + k N + k N + k Q+ k Q δ v+ Q + Q k N 6 6) ( ) k N k N δ w+ M + M Q k M k M δθ ( M + M Q + k M + k M ) δθ ( m + m + m k + m k q + s k s k ) δγ ( m + m m k m k q+ s k + s k ) δγ ) da+ (( N+ k M ) δ u+ = = + ( N + k M ) δ v+ ( Q+ M ) δ w+ MδΘ + mδγ + mδγ ) X d (( N + k M ) δ u+ ( N + k M ) δ v+ ( Q + M ) δ w M δθ+ mδγ + = Y ( ) = ()( X Y ) 6 5 = 6 ( ) = ( X )( Y ) + mδγ ) d Mδ w A képletben s és s az eges níófeszültség-komponensek eedőjét jelentik: s= gσ dz s = gσ dz A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata: (474) z z 6 4

244 σ 5 5 u k v+ k w Q + kθ D ( v hajl k4u k w z k4 σ u + v k4v+ k5u+ k6 w Q Θ + k4θ+ k5θ σ = Θ + Θ + 5 k γ 5γ4 + g γ 4 + k4γ5 ) γ 4 +γ 5 + k5γ5 k4γ 4 σ γ4 k6γ 5+ kγ 4 = D g z g ní σ γ5 k γ 5+ k 6γ4 (475) (476) Az igénbevételek: u k5 v+ k w N v + k4u+ k w N u + v k4v+ k5u+ k6 w N 6 M Θ + k5θ q γ 4 M q γ 5 = Dɶ Θ + k4 Θ Dˆ = s M6 k 6 5 k (477) γ + γ4 Θ Θ + k4θ+ k5θ m s kγ 5+ k6γ4 γ5 k5γ 4 m m γ k4γ 5 γ 4 +γ 5 + k5γ5 k4γ4 A mozgásegenleteket ismételten a Hamilton-elv felhasználásával kapjuk Ezek az egenletek bámilen héjtípus esetée alkalmazhatók csak a kezdeti göbületek lesznek különbözőek N + N6 k4 N k5 N6+ k Q+ k6q= Iuɺɺ + IΘɺɺ (478) N + N k N + k N + k Q+ k Q = I vɺɺ IΘɺɺ = ɺɺ Q Q k N k N k N I w = 5ɺɺ γ 4+ ɺɺ 4Θ m m m k m k q s k s k I I v I = 5ɺɺ γ 5+ ɺɺ+ 4Θ m m m k m k q s k s k I I u I M M k M k M + Q = IΘ ɺɺ I vɺɺ M M k M k M Q I ɺɺ I uɺɺ = Θ ɺɺ ɺɺ

245 A peemfeltételek: (479) = X δ u= vag N+ k M ; δ v= vag N + k M ; δ w= vag Q+ M ; δθ = vag M ; δγ = vag m ; δγ = vag m ; = Y δ u= vag N + k M ; δ v= vag N + k M ; δ w= vag Q + M ; δθ= vag M ; δγ = vag m ; δγ = vag m ( ) = ()( Y )( X )( X Y ) δ w= vag M 6 Felhasznált iodalom: / Nafeh A H Pai P F: Linea and nonlinea stuctual mechanics John Wile 4 / Szilad R: Theo and analsis of plates Pentice Hall 974 / Timoshenko S P Woinowsk-Kiege S: Lemezek és héjak elmélete Műszaki Könvkiadó 966 4/ Flügge W: Stesses in shells Spinge 97 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ Menhád I: Héjszekezetek számítása és szekesztése Műszaki Könvkiadó 968 / Csonka P: Héjszekezetek Akadémiai Kiadó 98 / Hegedűs I: Héjszekezetek BME 999 / Novozsilov V V: Thin Elastic Shells Lowe Publ 958 Koite W T: Theo of Thin Shells Spinge

246 Függelék Bojtá Ime: Mechanika MSc c előadásvázlatához 6 46

247 A/ Matematikai összefoglaló A következő oldalakon temészetesen csak ismétlő jelleggel hiszen nem lehet célunk a má ismetnek feltételezett matematikai tudásanag újbóli tanítása összefoglaljuk a legfontosabb matematikai változókat valamint a gakoibb matematikai egenleteket és eljáásokat Megjegezzük hog itt mindazon matematikai fogalmakat összegűjtöttük amelek egáltalán előfodulhatnak a következőkben bemutatott téma tanulmánozása soán többségüke azonban viszonlag itkán lesz szükségünk A tág tanulmánozása soán használt matematikai változók és jelöléseik Matematikai típusaik szeint felsooljuk azokat a változókat ameleket munkánk soán használni fogunk: Skaláok Ezeket többnie a hőméséklet tömeg sűűség stb jelölésée alkalmazzuk és az alábbi változótípusokkal jelöljük őket: a b c α β γ Vektook Az eő az elmozdulás a sebesség stb fogalmának használatako lesz ájuk Többnie vastag kisbetűket használunk azonosításuka : f u v Néhán fontos megjegzés: - Eges feladatoknál szükségünk lesz a vektook indees jelölésének használatáa Általános esetben D euklideszi tében fogalmazzuk meg a egenleteinket ezét az alábbi jelölési technikát fogadjuk el az indees és vastag kisbetűs vektojelölések között: u = u e+ u e + u e= u i ei (F) ahol az e vektook a háom daab koodinátatengel iánú egségvektot i jelentik az u i skaláok pedig az u vekto tengeliánú skalá vetületei A kapcsolat tömö felíásako felhasználtuk az úgnevezett Einstein-féle szummakonvenciót ami azt jelenti hog az azonos indeeket tatalmazó tagokat össze kell adni az adott kifejezés ételmezéseko (lásd magát az előbbi definíciót) Megjegezzük hog ebben az előadásvázlatban az indeek étéke alapételmezésben mindig egtől háomig változik Ha ettől eltéünk bámilen iánban (kevesebb vag több lesz a futó inde végétéke) akko azt külön jelölni fogjuk Ugancsak mindig felhívjuk a figelmet aa ha eg egenletben vag képletben az azonos indeeket tatalmazó tagoknál nem tekintjük événesnek a szumma-konvenciót Kivéve temészetesen az indees vag mátios jelölési módot ahol nincs vastag betűs kiemelés Megjegezzük hog elsősoban jobbkezes koodináta-endszet használunk 6 47

248 - Az egségvektook skaláis szozatából kapott számhalmazt Konecke -delta tenzonak fogjuk hívni és jelölésée a göög delta betűt használjuk két indeszel ellátva: e e = δ (F) i j i j A skaláis szozatból kapott kilenc számból háom daab egségni étékű (amiko i = j) az összes többi szám étéke zéus - A vektookkal végzett műveletek nagon fontosak lesznek számunka Az összeadás kivonás skaláal való szozás mellett az előbb má említett skalá szozata : u v= ui vi (F) eg vekto hosszának ( u ) / i ui / u= ( u u) = (F4) módon töténő számításáa illetve a vektoiális szozata u v = u e v e = u v e e (F5) ( ) i i j j i j i j hívjuk fel emlékeztetőül a figelmet megemlítve még a hámas szozat (u v) w (F6) fontosságát is - Használni fogjuk a háom futó indeszel ellátott úgnevezett pemutációs (vag más néven Levi-Civita 4 -) szimbólumot Matematikai jele: ε A szimbólum elemeinek étéke: ha az indeek soendje: vag ε i j k = ha az indeek soendje: vag ha vannak egfoma indeek Megjegezzük hog a pemutációs szimbólum segítségével például a vektoiális szozás is egszeűsíthető hiszen mivel az egségvektook vektoiális szozata: e e =ε e (F7) i j i j k k a vektooké pedig: w =u v = u e v e = u v e e =ε u v e = w e (F8) ( ) i j k i i j j i j i j i j k i j k k k ahol w = uv uv w = uv uv w = uv uv A skalát eedménező hámas szozat számításáa is felhasználható a Levi-Civitaszimbólum: (u v) w = V=ε u v w = u v u v w u v u v w u v u v w (F9) i j k i j k ( ) ( ) ( ) - A vektook jelölésée a hagomános lineáis algebai szimbólumendszet is használni fogjuk mindig egsze aláhúzva a vektoként jelölt étéket: Leopold Konecke (8 89) német matematikus főleg számelmélettel foglalkozott Tőle számazik a következő kijelentés: Isten teemtette az egész számokat az összes többi az embe műve A két vekto közé tett ponttal jelöljük ezt a műveletet 4 Tullio Levi-Civita (87 94) olasz matematikus főleg tenzoszámítással foglalkozott de mechanikai munkái is jelentősek 6 48

249 u u = u u u (F/a) i = = u vag például uganez sovektoként: T u = u u u (F/b) Másodendű tenzook 5 [ ] Többnie a mechanikai feszültségek és alakváltozások megadásáa fogjuk őket használni Jelölésüke a vastagon szedett nagbetűket vag a vastagon szedett göög betűket használjuk (kivéve most is az indees illetve mátios jelölést) például: σ ε AB Fontos megjegzések a jegzetben használt tenzookhoz: - A másodendű tenzot az alábbiak szeint definiáljuk: a= B c (F) ahol a B tenzo az a és c vektook között kapcsolatot leíó lineáis opeáto A másodendű tenzo vagis összesen kilenc elemet tatalmaz szokásos indees jelölési módja íg: B A két vekto közötti kapcsolat indees és lineáis algebai íásmóddal: i j a= B c a= B c (F) i i j j - Gakan fogjuk használni egenleteinkben két vekto tenzo- (más elnevezéssel diekt- máti- diád-) szozatát Ennek szimbolikus alakja: u v (F) 5 A tenzo elnevezés latin eedetű (tensi: nújtani feszíteni) mechanikai alkalmazásokból tejedt el más szakteületeke is Első matematikai definíciója William Rowan Hamiltontól (lásd az első fejezet lábjegzetét) számazik 846-ból mechanikai alkalmazásként pedig előszö Woldema Voigt (lásd az 5 fejezet lábjegzetét) 898-as publikációjában olvashatunk óla A tenzoszámítás jóészt ma is használatos matematikai technikáját Gegoio Ricci-Cubasto (85-95 olasz matematikus) dolgozta ki az 89-es években Fogalmát ma má a temészettudománok számos teületén használják legáltalánosabb definícióját pedig a matematika csopotelméleti (az algebai stuktúák elemzésével foglalkozó tudománág) meghatáozása szeint szokták megadni: eszeint a tenzook olan menniségek amelek az önábázolás diekt szozatai szeint tanszfomálódnak A diekt szozatban előfoduló ténezők száma szeint nevezzük a tenzookat első- másod- hamad- stb endűnek Más tudománteületek (absztakt algeba geometiai vektoalgeba kategóiaelmélet matematikai fizika lineáis algeba) ettől eltéő definíciókat is használnak Mi ebben a tágban feladataink jellege miatt elsősoban a lineáis algebában szokásos meghatáozást fogadjuk el az itteni Függelékben közölt definíció ehhez illeszkedik Megjegezzük hog eges műszaki munkákban is szokás a vektookat elsőendű- a skaláokat pedig nulladendű tenzookként definiálni Mi nem követjük ezt a jelölésmódot és a tenzo elnevezést csak a másod- illetve magasabbendű változatoka fogjuk használni 6 49

250 a művelet eedméne pedig eg másodendű tenzo melnek elemei az ui v j (vag T másképpen: u v ) szozattal ételmezhetők A tenzoszozat nem kommutatív vagis ha u v akko u v v u ( u v)( w ) ( w )( u v) (F4) - Minden másodendű tenzo megadható diádok lineáis kombinációjával: A= A e e (F5) i j Az ilen típusú felbontása mechanikai feladatoknál sokszo van szükség 6 5 i - A tenzook lineáis algebai mátios megadását is használni fogjuk egenleteinkben Ilenko vag kapcsos záójelbe tett vastag betűvel vag kettős aláhúzással (és vékon betűvel) jelöljük a tenzot (többnie ezt a jelölést használjuk!): A A A [ A] = A= A A A (F6) A A A Megjegezzük hog a máti elemeinek jelölésée szokás kisbetűket is használni ( a a stb ) - Eg tenzo szimmetikus ha megegezik tanszponáltjával ( S =S T ) és fedén szimmetikus ha megegezik tanszponáltja ellentettjével ( B = B T ) A fedén szimmetikus tenzo főátlójában zéus elemek vannak Minden tenzo egételműen felbontható eg szimmetikus és eg fedén szimmetikus tenzo összegée: T T A =S +B ahol S = ( A + A ) B = ( A A ) (F7) - Eg tenzo nomának (övidítése t vag sp ) definícióját a tenzoszozat segítségével adják meg Az u v szozatnál az eedménül kapott másodendű tenzo máti alakjának főátlóbeli elemeit összeadva az u v= ui vi skalához jutunk amit a tenzoszozat nomának fogunk hívni: t(u v) = u v = ui vi (F8) Ezt felhasználva a másodendű tenzo nomának az alábbi módon számítható skalát nevezzük: t A = t A e e = A t e e = A e e = A δ = A (F9) ( ) ( j) ( j) j i j i j i j i i j i i j i j i i - Egségtenzot állíthatunk elő a Konecke-delta és az egségvektook segítségével: I= δ e e = e e ; (F) i j i j j - Minden tenzo felbontható eg úgnevezett gömbi és eg deviátoos tenzo összegée: A = G + D ahol G = α I α = t A = Ai i (F) A deviátoos ész (D) előállításának alapelve: dev() = () t() I j

251 - Két tenzo úgnevezett kétpontos szozatánál a műveleti jel eg kettőspont az eedmén a kettős belső összeadás miatt skalá Az ételmezés a következő: c = A : B = Ai j B i j (F) Megjegezzük hog a kétpontos tenzoszozat szintén számítható a nom segítségével: T T A:B = B:A = t( A B ) = t( B A ) (F) A másodendű tenzook kétpontos szozatának tulajdonságaiból adódnak a következő összefüggések: T T A : BC = B A : C= AC : B (F4) ( ) ( ) ( ) - A tenzookkal az összeadás kivonás és szozás művelete ételmezhető az osztásé nem A szozás műveleténél ügelni kell a szimbólumok típusáa például két tenzo úgnevezett skaláis szozatánál belső indeek szeint összegezve újabb tenzot kapunk a szozás szimbóluma ilen esetben eg pont a két tenzo között (kivéve temészetesen az indees jelölést): C = A B A B = C C= A B (F5) i j j k i k Uganez événes vekto és tenzo skaláis szozatáa: v= A u v = A u v= Au (F6) i i j j Megjegezzük hog sokszo az egszeűség kedvéét elhagjuk a pontot csak egszeűen egmás mellé íjuk a tenzook vag a vekto jelét: C = A B = A B v= A u= A u (F7) - A különböző mechanikai egenletek ételmezésénél használják a tenzook alábbi minősítését (az ételmezés az A tenzoa vonatkozik): - pozitív szemi-definit tenzo ( v Av minden v vektoa) pozitív definit tenzo ( v Av > minden v vektoa) negatív szemi-definit tenzo ( v Av minden v vektoa) negatív definit tenzo ( v Av < minden v vektoa) - Eg tenzo nomája eg nem-negatív valós szám étékét kétpontos szozat segítségével hatáozhatjuk meg: A ( A : A) / = ( A ) / i A (F8) = j i j A tenzo deteminánsa szintén skalá számításánál a tenzo máti alakját használjuk: a a a det A = det A= det a a a (F9) a a a Eg tenzot akko és csakis akko nevezünk szinguláisnak ha deteminánsa zéus Ha deteminánsa zéustól különböző akko nem-szinguláis tenzonak hívjuk Ebben - az esetben kiszámítható az invez tenzo (jele: A ) melnek a következő tulajdonságai vannak: - - A A = A A = I A A = A A= I (F) Ha az (azonos méetű) A és B tenzo egaánt invetálható akko igaz a következő állítás: ( ) A B B A = (F) 6 5

252 - Eg tenzot otogonális tenzonak hívunk ha a tanszponáltjával való szozata egségtenzot ad eedménül: T T Q Q = Q Q = I (F) Ilen tenzoal tanszfomálva két egmáshoz képest θ szöget bezáó vektot a tanszfomálás után sem a vektook hossza sem a köztük levő szög nem változik vagis: Q u Q v = u v (F) Ezt a tanszfomációt ábázolja a következő ába: F ába: Otogonális tanszfomáció - Voigt 6 szabála: szimmetikus másodendű tenzook vektoba endezésée fogjuk használni a mechanikai egenletek felíásánál lesz igen hasznos A szabál megkülönbözteti a feszültség- (kinetikus Voigt-szabál) illetve az alakváltozástenzook (kinematikus Voigt-szabál) elemeinek átendezését: a/ Kinetikus Voigt-szabál: σ= σ σ b/ Kinematikus Voigt-szabál: ε ε= ε σ σ σ= σ σ ε ε ε ε= ε ε σ σ= ε= σ σ σ ε ε ε ε ε ε σ σ σ ε ε ε σ σ σ σ σ σ σ= σ σ σ ε ε ε ε= ε ε ε (F4) (F5) 6 Woldema Voigt (85 99) német fizikus elsősoban kistálfizikai kutatásaiól ismet 6 5

253 Magasabbendű tenzook Elsősoban az anagmodellek bemutatásako illetve használatako lesz ájuk szükségünk Vastag nagbetűkkel 7 fogjuk őket jelölni: C D Megjegzések a magasabbendű tenzookhoz: - Eg n-ed endű tenzo általános alakja: Ai i i e e e n i i i Mechanikai n számításainkban elsősoban negedendű tenzooka lesz szükségünk ezeknek 4 = 8 elemük van hiszen indees jelöléssel alakjuk A i j k l módon íható fel - Ha két másodendű tenzot (A és B) tenzoszozattal kapcsolunk össze akko eg negedendű D tenzot kapunk: D = A B D i j k l = Ai j B k l - Eg negedendű tenzo (A) és eg másodendű tenzo (B) kétpont szozata eg másodendű tenzot ad eedménül: A :B= A B e e - Eg hamadendű tenzo (A) és eg másodendű tenzo (B) kétpont szozata eg vektot ad eedménül: A :B = A B e Tenzook sajátétékei és sajátvektoai i j k j k i A mechanikai feladatoknál gakan lesz szükségünk a sajátétékek számításáa A tenzook viszonlag kicsin méete miatt a számításoknál elegendő az általánosított sajátétékfeladat kaakteisztikus egenletének megoldásával számítani a sajátétékeket Az alábbi egenletekben most összegzés nélkül használjuk az indeek ismétlését (λ az A tenzo keesett sajátétéke ˆn a keesett sajátvektoa): Anˆ = λ nˆ ( A λ I ) nˆ = det( A λ I) = i j k l i i i i i i λ Iλ + Iλ I = (F6) ahol a kaakteisztikus egenlet egütthatóit a tenzo első második és hamadik invaiánsának nevezzük: - I ( A) = t A= λ+ λ + λ I ( A) = t A det A = λλ + λλ + λ λ (F7) ( A) = det( A) =λλ λ ; I Az (F6)-os egenlet megoldásáa többféle módsze ismet Alkalmazható Cadano 8 képlete vag valamelik moden matematikai szoftve (Mathematica Maple stb) de aká zsebszámológéppel is számíthatók az egenlet gökei a Simo-Hughes-féle algoitmus segítségével (lásd az elméleti észleteket a [ 5 ] alatti könvben) Az algoitmus lépései: - Számítsuk ki az (F7) alatti képletben felsoolt mindháom invaiánst - Számítsuk ki az alábbi segédváltozókat: = ( I+ 9II 7 I) q= ( I I) θ= accos ( / q) 54 9 k l i j 7 Eges könvek speciális betűtípusokat használnak ee a céla Ebben a jegzetben ettől eltekintünk de megkülönböztetésül a másodendű tenzooktól mindig pontosan megadjuk hog milen tenzoal dolgozunk 8 Geolamo Cadano (5 576) olasz matematikus Elsősoban a hamadfokú egenlet megoldásáa kidolgozott képletéől és kadántengel megalkotásáól ismet 6 5

254 - Az eges sajátétékek a segédváltozók és az invaiánsok felhasználásával a következőképpen hatáozhatók meg: λ= q cos ( θ / ) + I λ= q cos{ ( θ+ π) / } + I (F8/a) λ= q cos{ ( θ π) / } + I A sajátétékek számítása után a sajátvektook a Simo-Hughes-algoitmus segítségével a következőképpen adódnak: - Abban az esetben ha mindháom sajátéték különböző akko: λ i I nˆ ˆ i ni= A ( I λi) A+ I λi Iλi I λ (F8/b) + i - Ha két sajátéték egenlő (például: λi λ j= λk ) akko nˆ nˆ = I nˆ nˆ j j i i - Ha mindháom sajátéték egfoma akko nˆ nˆ = I i i (F8/c) (F8/d) Itt a tenzook sajátétékeinek vizsgálatánál említjük meg azt is hog sajátétékek és a hozzájuk tatozó sajátvektook segítségével elvégezhető minden tenzo úgnevezett spektálfelbontása: A= AI= ( A nˆ ) nˆ = λ nˆ nˆ (F9) i i i= és ugancsak itt jegezzük meg hog a Cale 9 -Hamilton -tétel ételmében minden tenzo kielégíti saját kaakteisztikus egenletét : A I A + I A I I= (F4) Vektook és tenzook tanszfomációja Mechanikai számításokban nagon gakan van szükség két különböző koodinátaendsze közötti tanszfomáció végehajtásáa Ezeket a műveleteket eg T másodendű tanszfomációs máti segítségével lehet elvégezni T otogonális máti ( T = T T ) elemeit a koodinátaendszeek közötti szögek koszinuszainak segítségével lehet kiszámítani (lásd a következő ábát): T = cos θ ( e e% ) = e e% (F4) i j i j i j i i i 9 Athu Cale (8 895) angol matematikus főleg lineáis algebai kutatásokkal foglalkozott Si William Rowan Hamilton (85 865) í matematikus és fizikus Optikával dinamikával és algebával foglalkozott Ahol A =A A A stb 6 54

255 F ába: Koodinátaendszeek közötti szögek ételmezése A két koodinátaendsze egségvektoai közötti tanszfomációs kapcsolat: T e% = Te = T e e = T e% = T e% (F4) i i ji j i i i j j Eg tetszőleges u vekto esetén amel a két különböző bázisban u% i = u e% i ui = u ei (F4) a fenti módon íható fel a következőképpen adható meg a tanszfomáció: T u% = T u u= Tu% (F44) Fontos megjegeznünk hog jelen ételmezésben u és u% fizikailag uganazt a vektot jelenti csupán két különböző koodinátaendszeben ábázoljuk a koodinátáikat Uganezt a tanszfomációt temészetesen aa is felhasználhatjuk ha eg daab adott vektot akaunk uganabban a koodinátaendszeben elfogatni Ilenko a tanszfomáló máti és inveze az oda-vissza fogatás céljáa használhatók Példaként mutatjuk a következő ába vázlatát: F ába: Vekto tanszfomációja és elfogatása Az első esetben az () endszeben () koodinátákkal endelkező vekto koodinátáit tanszfomáljuk a ( ξ η ) bázisba majd megismételjük a tanszfomációt vissza a ( ξ η ) bázisból vissza az () endszebe: 6 55

256 ξ T / / = T = η / / ξ / / T = = η / / A második esetben csak az () endszet használjuk Elfogatjuk a ( ) koodinátájú vektot az () síkban eedeti helzetéhez képest 45 fokkal az óamutató iánában és a számítással most megkapjuk az elfogatott vekto koodinátáit uganabban a endszeben: / / uelfog = Tueedet i = = / / Ha az elfogatást az ellenkező (jelen esetben az óamutató jáásával ellentétes) iánban akajuk elvégezni akko a tanszfomáló máti invezét kell használnunk: T / / ueedet i = T uelfog = = / / Másodendű tenzook esetén a tanszfomáció (a vektookéhoz hasonló ételmezésekkel) a következőképpen hajtható vége: A% T T T = AT A= TAT % (F45) Mechanikai feladatoknál gakan használatos függvéntípusok és néhán alapvető matematikai művelet Mechanikai feladatainkban leggakabban az alábbi függvéntípusokkal fogunk találkozni : - a független változó skalá: Φ =Φ( t) u = u( t) A= A( t) (skalá-skalá skalá-vekto és skalá-tenzo függvének) - a független változó vekto: Φ =Φ( u ) v= v( u) A= A( u) (vekto-skalá vektovekto vekto-tenzo függvének)) - a független változó tenzo: Φ = Φ ( A) u = u( A) B = B( A) (tenzo-skalá tenzovekto tenzo-tenzo függvének) A következőken emlékeztetőül felíjuk néhán gakoibb függvéntípus gadiensének számítási módját Vekto-skalá függvén gadiense Eg foltonos Φ ( ) skalá mező (ilen például a hőméséklet vag az anag sűűsége) az helen Talo -soba fejthető az alábbi módon: Φ ( + d) =Φ ( ) + dφ+ o( d) (F46) A felsoolásban dőlt betűvel kiemelteke külön is kitéünk az összefoglalóban Book Talo (685 7) angol matematikus Függvéntani vizsgálatai tették híessé nevét 6 56

257 ahol (és a további hasonló képletekben is) az o ( ) tag az úgnevezett Landau 4 -szimbólum Ennek a tagnak mindig gosabban kell zéushoz tatania mint ahog d A jobb oldalon szeeplő dφ tagot a Φ ( ) függvén teljes diffeenciáljának hívják Ez a tag jellemzi az valamint az + d helek között a függvén változását: Φ Φ Φ Φ Φ dφ= d= di = d + d+ d (F47) i Megjegezzük hog a továbbiakban gakan fogjuk használni az alábbi tömö és egszeű Φ jelölést: =Φ i i Vezesük be most a nabla 5 -opeátot az alábbi tatalommal: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ei= e+ e+ e (F48) i Ennek felhasználásával a teljes diffeenciál és a függvén gadiense végül az alábbi alakban íható fel: Φ dφ= Φ d gadφ= Φ= (F49) Tenzo-skalá függvén gadiense Számítsuk ki eg nemlineáis sima Φ=Φ( A) tenzo-skalá függvén gadiensét ahol A eg másodendű tenzo Az előző ponthoz hasonlóan Talo-soba fejtve: Φ ( A+ d A) =Φ( A) + dφ+ o( da) (F5) ahol a teljes diffeenciál észletes alakja: T Φ( A) Φ( A) dφ= : da = t da A A (F5) o( da) A Landau-szimbólum most: lim = da da A keesett gadiens eg másodendű tenzo lesz: Φ Φ a a Φ( A) gad Φ ( A) = = A (F5) Φ Φ a a Ennek a műveletnek az illusztálásáa bemutatunk eg kis példát: Bizonítsuk be hog eg A másodendű tenzo esetén igaz az alábbi egenlőség: det A T = det A A (F5) A A bizonításhoz felhasználjuk a deteminánsok számításánál alkalmazott i e i 4 Lev Davidovics Landau (98 968) szovjet fizikus Elsősoban a szélsőséges hőmésékletek fizikájával foglalkozott 5 Az elnevezés az ógöög háfa szóból számazik Hamilton (lásd a lábjegzetet) használta előszö és a háfáa hasonlító alakja miatt adta neki ezt a nevet 6 57

258 ( ) det AB= det Adet B (F54) tételt Ennek segítségével felíhatjuk az alábbi egenlőséget: ( ) ( det A+ da = det A I+A da) = deta det( I+A da ) (F55) Az utolsó tag nagon hasonlít a sajátéték-feladatnál alkalmazott összefüggése azzal a kivétellel hog most A helett A d A szeepel a záójelben és λ = Ennek figelembevételével íjuk most fel az invaiánsokat tatalmazó kaakteisztikus egenletet: ( I+A A) I A - A) I( A - A) I( A - A) - t( A d A) o( d A) det d = + ( d + d + d = = + + (F56) Az elhanagolásnál azt vettük figelembe hog a második invaiáns négzetesen a hamadik pedig köbösen függ da tól íg mindkettő kellően kicsinnek tekinthető a további számításoknál Használjuk most fel a gadiens-számításnál is alkalmazott sofejtést 6 (csak most Φ A skalá helett deta tenzot használva) íg az alábbi egenlőséghez jutunk: ( ) T det A det( A+ d A) = det A+ t d A + o( d A) A (F57) Uganee a kifejezése van eg másik eedménünk is amit a sajátéték-feladatos átalakítással kaptunk ((F55)-be behelettesítve (F56)-ot): det( A+ d A) = det A t( A d A) + + o( d A) = = det A+ t det A A d A + o d A (F58) ( ) ( ) Ezeket összehasonlítva (és felhasználva a kétpontszozása mondottakat): det A T :d A = det A A : d A A Ennek alapján az eedeti (F5) állítás helessége belátható Tenzo-tenzo függvén gadiense (F59) Az előző pontokban bemutatott gondolatmenet segítségével az A(B) függvén Talo-soa és a teljes diffeenciál: A( B) A( B+ db) = A( B) + da+ o( db) da= : db (F6) B A függvén gadiense: A( B) gad A( B) = (F6) B Egéb fontos változók és műveletek Felsoolásszeűen összegűjtöttük néhán olan műveleti utasítás képletét ameleke eges mechanikai vizsgálatoknál szükség lesz: 6 Lásd az (F5) és (F5)-es egenleteket 6 58

259 (F6) - Nabla-opeáto hengekoodináta-endszeben: T = β z (F6) - Laplace 7 -opeáto: ( ) = = ; ( ) = i - Laplace-opeáto hengekoodináta-endszeben: - Hesse 8 -opeáto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (F64) β z ( ) ( ) = ei e i j j (F65) - Ián menti (Gateau 9 -féle) deivált: Φ skalá függvént a D tében A Vizsgáljunk eg ( ) ( ) ( ) állandó Φ =Φ = étékű heleket szintfelületnek hívják A szintfelületen elemien kicsin közelében (tőle legfeljebb d távolságban) lévő pontoknál dφ= A felülete meőleges nomális vektot a gadiens-képzés segítségével számíthatjuk (most sovekto fomájában ítuk fel): Φ Φ Φ Φ gadφ= (F66) Ha a szintfelületen eg adott pontnál a nomális iánú egségvektoa van szükségünk akko ezt az eedmént má csak nomálnunk kell (lásd még a következő ábát): gadφ n= gadφ (F67) F4 ába: Ián menti deivált 7 Piee-Simon de Laplace (749 87) kiváló fancia matematikus Csillagászattal és mechanikai számításokkal is sokat foglalkozott 8 Ludwig Otto Hesse (8 874) német matematikus Főleg lineáis algebával és az invaiánsok használatával foglalkozott 9 René Eugéne Gateau (889 94) kiváló fancia matematikus Az első világháboúban halt meg 5 éves koában 6 59

260 Vegünk fel az pontnál eg olan u vektot amel gadφ iánával θ szöget zá be A gadφ u (F68) módon definiált szozatot a Φ ( ) függvén u vekto iánába eső ián menti vag más néven Gateau-féle deiváltjának nevezik Az u vekto iánának (ögzített köüli) változtatásával az ián menti deivált maimumát akko kapjuk amiko cosθ= vagis u és n iána megegezik Minimumot cosθ= -nél vagis az ellenkező ián esetén kapunk Az ián menti deivált azon speciális esetét amiko az n iánú esetet számítjuk nomál deiváltnak szokták nevezni Ebben az esetben: gadφ n= gadφ (F69) - Vektomező gadiense: A vektook gadiensének számításáa kétféle változatot használ a szakiodalom Az egik változatot jobb gadiensnek nevezik: u u u u T u i u u u gad u= ( u) = ei e j= u = (F7/a) j u u u u míg a másik változat neve bal gadiens : u u u ( gad u) T u u u = [ u u u] = (F7 / b) u u u Megjegezzük még hog a vektomező gadiensének jelölésée sokszo használják a diadikus szozat nélküli szimbolikus képletet is: gadu ( ) = Vigázni kell hog semmiképpen ne kevejük a vektomező divegenciájáa vonatkozó jelöléssel (lásd néhán soal lejjebb: div u = u ) - Vektook szozatának gadiense: ( gad( )) ( gad ) ( gad ) - Másodendű tenzo gadiense: ( ) u T T T T u v = u v+ v u (F7) T Ai j gad A = A = ei e j ek (F7) k ui u u u - Vektomező divegenciája: div u = u = = + + i Ha ez az éték zéus a vektomezőt divegencia-mentesnek szokták mondani (F7) Megjegezzük hog eges művekben a u és u jelölésváltozatokkal is találkozhatunk 6 6

261 A - Másodendű tenzo divegenciája i j : div A= A = ei (F74) - Vektomező divegenciája hengekoodináta-endszeben: uβ uz div u = u= ( u ) + + (F75) β z - Divegenciaszámítása vonatkozó hasznos összefüggések: div( φ u) =φ divu+ u gad φ div( φ A) =φ div A+ A gad φ T div( A u) = div A u+ A : gad u div( AB) = gad A : B+ A div B j (F76) - Vektomező otációja: u ot u u j u u u u u u = = e e e i j = + e + e (F77) i Ha ez az éték zéus-vekto akko a vektomezőt otáció-mentesnek (néha pedig konzevatívnak) mondják - Vektomező otációja hengekoodináta-endszeben: u u ( ) z β u u u z β u ot u = u = e+ eβ + ez (F78) β z z β - Másodendű tenzo otációja: z a a a ot A= A= a a a = z a a a a a a a a a z z z a a a a a a = z z z a a a a a a (F79) Integáltételek A mechanika alapegenleteinek felíásako a munka- és enegiatételek használatako és még számos más mechanikai feladatnál van fontos szeepük a matematika integálegenleteinek Megjegezzük hog eges művekben uganezt A módon jelölik Előfodul az is hog (F74) tanszponáltját használják a tenzo divegenciájának számításáa: ( A / )e i j i i 6 6

262 A matematikai eszköztá ismétlését ezekkel zájuk - Divegenciatétel (Gauss -tétel): Legen u() és A() eg V téfogaton (D konve zát tatománban) ételmezett sima vekto- és tenzomező A tatománt S felület hatáolja (lásd a következő vázlatot): F5 ába: Divegenciatétel Ee a tatomána igaz az alábbi két tétel: u n ds = div u dv A n ds = diva dv (F8) S V S V - Gauss-Osztogadszkij -(Geen 4 ) tétel: Amenniben a divegenciatétel képleteinél A = figelembe vesszük hog div( I) - Geen tételei: Φ I helettesítést alkalmazzuk és Φ = gadφ akko az alábbi tételhez jutunk: Φ n ds = gad Φ dv ; (F8) S V Amenniben az (F8)-es képletnél Φ helébe cgadφ kifejezést íunk (c ismet skalá) akko a megfelelő behelettesítések és átalakítások végehajtása után a Geen-féle első integáltételhez jutunk: ( ) c Φ+ gad c gadφ dv = c gadφ n ds (F8/a) V S Cal Fidich Gauss ( ) német matematikus és fizikus a világ legnagobb tudósainak egike Mihail Vasziljevics Osztogadszkij (8 86) oosz matematikus elsősoban függvéntannal foglalkozott 4 Geoge Geen (79 84) kiváló angol fizikus az enegiaelvű számítások népszeűsítője a mechanikában 6 6

263 Ha az egenletben felcseéljük c-t és Φ -t majd az íg kapott egenletet kivonjuk (F8/a)-ból megkapjuk a második Geen-integáltételt: c Φ Φ c dv = c gadφ Φ gad c n ds - Stokes 5 -tétel: V ( ) ( ) (F8/b) S Ez a tétel nitott felületeke és zát vonalaka vonatkozó integálokat kapcsol össze lásd az F6 ábát Vezessünk be eg (a felületen lévő ) C göbéhez tatozó d-szel jelölt éintővektot és eg felülethez tatozó n nomálvektot A göbe az ábán látható jobbkezes iánítottsággal endelkezik A felületen levő sima u vektomezőe événes az alábbi tétel: u d = ot u n ds (F8) C Ha a felület zát akko a bal oldal zéusa edukálódik S Vaiációszámítási alapfogalmak F6 ába: A felület ajza a Stokes-tételhez A mechanika vaiációs feladatainál (például a munka- és enegiatételek alkalmazásánál) szükségünk van az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmak használatáa A számunka fontos változók és tételek: - Vaiációs opeáto: Jele δ mindig eg adott matematikai menniség megváltozásáa utal Ételmezését eg u skalá függvénnek eg egszeű mechanikai feladata való alkalmazásán illusztáljuk: Legen u = u() eg nugalomban lévő mechanikai endsze valamelik állapotjellemző függvéne és tételezzük fel hog a vizsgált endsze teljes külső S hatáfelületének eg S -gel jelölt észén a függvén előít étékű vagis ott u= u Vezessünk be eg kicsinnek tekintett α paaméte segítségével eg 5 Si Geoge Gabiel Stokes (89 9) angol matematikus és fizikus Áamlástani vizsgálatai jelentősek 6 6