A térbeli adatokhoz helymeghatározó adatok kapcsolódnak, amelyeket koordinátákkal adunk meg.

Átírás

1

2

3

4 A tébeli hasonlósági tanszfomáció, különösen a tébeli tájékozás az egyik legfontosabb és legkitikusabb feladat a geodéziában, fotogammatiában, navigációban, lézeszkenne és LiDAR méések feldolgozásában, obotka manipulálásában, anibációban és számos más teületen. A tébeli adatokhoz helymeghatáozó adatok kapcsolódnak, amelyeket koodinátákkal adunk meg. A koodináta endsze alapja egy geodéziai dátum, amely meghatáozza a Föld méetét és alakját, a koodináta endsze kezdőpontját és tájékozását. A Föld téképezéséhez használjuk az előzőekben definiált koodináta endszet. A geodéziai dátumok sokasága létezik, hiszen minden oszág különböző, saját dátumot alkalmaz. Példaként említhetjük Magyaoszágot, ahol geodéziai dátumtanszfomációt használunk az EOV és GK endszeben adott alaphálózati pontok koodinátáinak WGS84 endszebe töténő tanszfomálásához.

5 A hasonlósági tanszfomáció esetén a méetaány minden iányban azonos étékű. A hétpaamétees hasonlósági tanszfomációt eltejedten alkalmazzák dátumtanszfomációhoz, egyszeűsége, hatékonysága, egyedisége és szabatossága miatt. A tanszfomáció háom eltolás, egy méetaány és háom fogatási paaméte meghatáozásából áll. Következésképpen a koodináták az egyik koodináta endszeből egy másik koodináta endszebe tanszfomálhatók - a koodinátaendsze kezdőpontjának eltolásával, - elfogatások alkalmazásával és - a méetaány megváltoztatásával.

6 A gyakolatban a hét tanszfomációs paaméte nem minden esetben ismet. Azonban, ha a közös pontok koodinátái mindkét koodináta endszeben adottak, a tanszfomációs paaméteek az előbbiek szeint meghatáozhatók. Háom közös pont elegendő a tanszfomációs paaméteek meghatáozásához. Néhány népszeű hétpaamétees hasonlósági tanszfomációs modell használatos a gyakolatban, mint a Busa-Wolf, vagy ismetebb nevén a Helmet-féle tanszfomáció, amellyel jelen előadás tágya, vagy a Molodensky-Badekas. A hasonlósági tanszfomációs modellt gyakan egyszeűsítik, lineaizálják a paaméteek könnyebb kiszámítása céljából. A létező hétpaamétees modellek megoldása a hagyományos algoitmusok felhasználásával a fogásszögek maghatáozásán alapul. Újabban a fogásszögeket kvateniókkal helyettesítik, az új modell kettős kvatenión alapul.

7 Az előadásban ismetejük a kettős kvatenió alkalmazását a geodéziai dátumtanszfomációhoz, a Busa-Wolf hétpaamétees hasonlósági tanszfomációs modellben.

8 Si William Rowan Hamilton ( ) 1843-ban fedezte fel a kvateniókat egy 3D vekto ábázolásáa. A kvatenió nagyon alkalmas a fogatás egységsugaú gömbön töténő leíásáa.

9 A Q kvatenió komplex számként a következőképpen definiálható ahol Q q0 + q1i + q j + q3k q0 + q i j k 1, ij ji k, jk kj i, ki ik és a képzetes ész q q 1i + q j + q3k j egy 3D vektot jelöl.

10 A Q kvatenió oszlopvekto fomában is kifejezhető az (1 i j k) egységvektook felhasználásával ( ) ( ) q q q q q q Q ahol q ( ) q 1 q q 3 egy 3D vektot és a tanszponálást jelöli.

11 Si William Rowan Hamilton Boome híd Dublin Íoszág

12 Si William Rowan Hamilton

13 Miután Hon sikeesen alkalmazta a kvateniót évvel annak felfedezése után - a tébeli tájékozáshoz Hon (1987), a fogatási mátix tömö leíása továbbá az eljáás hatékonysága a módszet a figyelem középpontjába állította. Jelenleg a kvateniókat sikeesen alkalmazzák a szilád test mozgásának elemzéséhez Josepf at al (003), Kim at al. (004) és geodéziai dátumtansz-fomációhoz Yang (1999), Shen at al. (006), Zeng at al (01). Ám, ha a tében egységkvateniót használunk a fogatás leíásához, hét tanszfomációs paamétet kell kiszámítanunk, előszö a fogatásokat majd a méetaányt és végül az eltolásokat.

14 Walke bevezette a kettős kvateniókat a hasonlósági tanszfomáció megoldásához. Egyetlen képlet alkalmazásával a kettős kvatenió valós és kettős észének felhasználásával kifejezhető a fogatás és az eltolás, lehetővé téve a hat paaméte egyidejű számítását, azaz a háom fogás szögét és a háom eltolási paamétet Walke at al (1991). Hasonló megoldást mutatott be Daniilidis (1999). Azonban sem Walke at al. (1991) sem Daniilidis (1999) sem Vanicek at al. (00) nem vette figyelembe a méetaányt a tanszfomáció soán.

15 Willian Kingdom Cliffod ( ) tovább fejlesztette a kvateniót, a tizenkilencedik században felfedezte a kettős kvateniót és alkalmazta meev test tanszfomációjához Cliffod (1873, 188). Nagyon közeli kapcsolat van a kettős kvatenió és a klasszikus tébeli kinematikában használatos ún. Chasles elmélet között Chasles (1830), Muay at al (1994).

16 Willian Kingdom Cliffod

17 A Chasles elmélet szeint bámely meev test tanszfomációja leíható csavamozgásként, azaz egy tengely köüli fogatással és a tengely iányú eltolással. ehát a kettős kvatenió megfelelő az elfogatás és az eltolás leíásáa. Következésképpen a létező megoldások két csopotba soolhatók, nevezetesen iteációs módszeek és zát képletek alkalmazása. Iteációs módsze általában fogatási mátixot használ meev test tanszfomációjához, a kezdő étékek közelítő ismeete szükséges a lineaizáláshoz, amely gyakan hibát eedményez a számítások soán. Ezzel szemben a zát képletek alkalmazása esetén szükségtelen a kezdeti étékek közelítő ismeete, ezét ez a módsze napjainkban az édeklődés középpontjába keült. Legfontosabb előnye a zát képletek alkalmazásán alapuló módszenek, hogy a lehető legjobb tanszfomációt biztosítja egy lépésben.

18 A kettős kvatenió tulajdonképpen a kvatenió matematika és a kettős számelmélet összeláncolása (concatenation). Amíg egy kvatenió négy skalá étékből áll, egy kettős kvatenió nyolc skalá étékből áll. Kettős kvatnió nyolc valós számból álló összetett adatszekezetként vagy két közönséges kvatenió szozataként ételmezhető. Kettős kvateniók, kvateniókból és kettős számokból állnak az alábbiak szeint q + εs az és s mindkettő valódi kvatenió, ezeket valós és kettős észnek nevezzük, ε a kettős művelet jele (dual opeato) (1)

19 A kettős kvatenió a valódi kvateniókhoz hasonlóan ételmezhető θ cos q θ sin n ahol az kettős vekto egy tébeli 3D egyenest jelöl amely köül a koodináta endsze elfogatása, illetve amely iányába eltolása keül, a θ az elfogatás és eltolás kettős szögét jelöli. Az n kettős vekto az elfogatás és eltolás θ kettős szöge az alábbiak szeint adható meg: n n n n + εp θ θ + n εd ahol egy olyan egységvekto, amely meghatáozza a fogatás tengelyét és az eltolás iányát () (3) (4)

20 Az egyenes θ szöggel keül elfogatása a P ponton átmenő vekto iányában és d távolsága keül eltolása az vekto által meghatáozott iányban. Összehasonlítva az egység kvateniót a kettős kvatenióval, ugyanaz a tanszfomáció hajtható vége, előszö eltolva az eedeti koodináta endszet d távolsága az n vekto iányában majd elfogatva azt θ szöggel. Elfogatás és eltolás kettős kvatenióval [Wang at al.,014, Fig. 1.]

21 A (3) és (4) egyenletet behelyettesítve a () egyenletbe az alábbi egyenleteket kapjuk (5) (6) n sin cos θ θ ( ) + n p n s sin θ θ θ cos d sin d

22 Az egység kvatenióhoz hasonlóan definiálható az egység kettős kvatenió. Következésképpen bámely kettős kvatenió megszoozva egység kettős kvatenióval, annak étéke változatlan maad. Egység kettős kvatenió meghatáozásako az első skalá étéke 1 a többi hét skalá étéke 0. q [ ][ ] Fogatás és eltolás étékekből egység kettős kvatenió az (1) egyenlet alapján a következők szeint definiálható: q s + εs 1 t (7) (8)

23 Az a fogatást leíó egység kvatenió és t az eltolást leíó kvatenió, melynek elemei (9) ahol n a fogatás tengelye, θ a fogatás szöge és jelöli az eltolás koodinátatengely iányú étékeit. A fogatás és eltolás kettős kvatenióval a (7), (8) és (9) egyenletek alapján: (10) [ ] z y x z y x t t t s n n n sin sin sin cos 0 θ θ θ θ sin sin sin cos z y x z y x t t t n n n q 0 θ θ θ θ z y x t t t,,

24 A kettős kvatenió az eddig elmondottak alapján nyolc elemből áll, azonban egy 3D objektum tanszfomálásához hat független változó szükséges, következésképpen a kettős kvatenió nyolc eleméből kettő nem független. Amint az a (11) és (1) egyenletekből látható, a kettős kvatenió elemeinek az alábbi két kényszet kell kielégíteniük: s 1 0 (11) (1) Megjegyezzük, hogy a kettős kvateniók az eltolásvekto felével dolgoznak, hasonlóan a klasszikus kvateniókhoz, amelyek a fogászög felével dolgoznak.

25 Kettős kavatenió alkalmazásával a Busa-Wolf hasonlósági tanszfomációs modell a következők szeint íható fel (13) ahol a közös pontokat leíó helymeghatáozó kvateniók (14) a két különböző endszeben adott közös pontok 3D koodinátáit tatalmazzák, az egész szám a közös pontok száma, jelöli a háom eltolás paamétet, µ a méetaány tényező és az R a fogatási mátix. i i i i i i i i Z Y X , Z Y X b b a a i i ( ) 3 N N Z Y X ) t t (t t ( ) + N 1 i a i t Rb R,t, F - i µ µ

26 Az (5) és (9) egyenlet alapján a kettős kvatenió valós észe a teljes fogatás eljáását megadja, amelyhez tatozó fogatási mátix az alábbiak szeint íható fel R 0 ( ) ( ( )) I + + K (15) [ ahol az 0, ] [ 0,1,,3 ] a fogatást leíó kvatenió, I egy 3x3 egységmátix és a 3x3 fedén szimmetikus mátix a következő alakú ( ) K 0 K ( ) (16)

27 (15) egyenletben szeeplő R fogatási mátix felíható a kettős kvatenió elemeivel (17) ahol a (18) ( ) ( ) Q W R ( ) ( ) K W I 0 0 és ( ) ( ) + I 0 0 K Q

28 t Az eltolás vektoa úgyszintén kifejezhető kettős kvatenióval t W ( ) s (19) ahol t 1 [ ] 0 t (0) Az eddigiek alapján a dátumtanszfomáció kettős kvatenióval töténő megoldása a következő fomában adható meg a i W ( ) ( ) s + µ W Q( ) b i (1)

29 A (13) egyenlet úja felíható az és s kvateniók kvadatikus függvényként. A észletes levezetés megtalható Wang at al. (014) munkájában. () ahol a C1, C, C3 mátixok továbbá a C4, C5 konstans étékei a következő egyenletekből számíthatók: (3) N C C C s C s s s C F µ µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N 1 i i 5 N 1 i i 4 N 1 i i 3 N 1 i i i N 1 i i 1 i i b b C a a C Q a C W b C W b Q a C

30 A kényszeeket tatalmazó (11) és (1) egyenletek felhasználásával a legjobb kettős kvatenió amely megadja a fogatást a következő hiba függvény minimalizálásával számítható F R C Ns s s C s C ( ) ( 1 λ ) s i µ µ µ λ1 + C C (4) amely függvényben a λ1 és λ jelöli a Lagange multiplikáto konstansokat. A észletes levezetés elhagyásával a következő egyenleteket kapjuk Wang at al. (014). Az s kettős kvatenió az függvényében az alábbiak szeint számítható: 1 N ( C + C ) s µ 3 (5)

31 A µ méetaány szintén meghatáozható az és s függvényeként (6) Az kvatenió az alábbi A mátix maximális sajátétékéhez taozó sajátvektoaként számítható (7) N 1 N 1 C C C C C C + µ ( ) N 1 C C C C A +

32 A kettős kvatenió alkalmazásán alapuló dátum tanszfomációs algoitmus megoldása végezetül az alábbiak szeint foglalható össze 1) Input adatok a mindkét endszeben adott közös pontok ai és bi koodinátái ) A súlyponta vonatkozó koodináták számítása (8) egyenlet, ahol Δ a, Δ i a i a 0 bi bi b 0 (8) a 0 1 n 1 n n n a b0 i 1 i, i 1bi

33 3) Az A mátix számítása a C1, C és C3 mátixok valamint a C4 és C5 konstansok felhasználásával (3) egyenlet. Ezek után számítjuk az A mátix maximális sajátétékét, és a hozzá tatozó sajátvektot. Eedményként az fogatást leíó egység kvateniót kapjuk. 4) Ezután a µ méetaány (6) egyenlet és az s eltolást leíó kvatenió (5) egyenlet számítása következik 5) Végül az R fogatási mátixot (15) vagy (17) egyenlet, a fogásszögeket (9) egyenlet, és a t eltolás paamétet számítjuk (19) egyenlet

34 A fogásszögek, az R fogatási mátix elemeiből számíthatók R , α X actg 3 33, β Y ac sin 1 ( ) 13, γz actg 11 ahol α, β és γ az X, Y és Z tengelyek köüli fogásszögeket jelölik. (9) Mivel súlyponti koodináta endszeben végezzük a számításokat az súlypont koodináták felhasználásával a t eltolás paaméte étékét a (30) egyenlet alapján is kiszámíthatjuk. a t + µ R 0 b 0 (30) t a µ R 0 b 0 (31)

35 Behelyettesítve a (19) egyenletbe a (31) egyenletet, endezés után az s kvatenió a (5) egyenlet helyett egyszeűbben is számítható t W [ ] ( ) s s t W ( ) 1 (3)

36 Abból a célból, hogy bemutassuk a (15), (17), (19), (3), (5) és (6) összefüggések évényességét megismételtük Gafaend és Avange (003) továbbá Wang at al. (014) számításait. Az eedmények teljes egyezést mutatnak úgy a tanszfomációs paaméteek mind pedig, a tanszfomált koodináták és maadék ellentmondások tekintetében.

37 A ébeli Helmet tanszfomáció kettős kvatenióval töténő megoldásáa J nyelvű pogamot készítettük, amely Windows 3 és 64 bites platfomon egyaánt futtatható. NB. NB. ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval J nyelven NB. (J60a) és (J804) NB. Busa-Wolf hasonlósági tanszfomáció NB. Fájlból töténő átszámítás NB. Ismet tanszfomációs paaméteek: p NB. anszfomációs paaméteek közös pontok alapján: FKJ tp CKJ NB. Új pontok tanszfomálása : H KJ NB. Home Page:

38

39 Gafaend és Avange (003) KOORDINÁA JEGYZÉK Solitude Bouch Zeil Hohenneuffen Kuehlenbeg Ex Megelaec Ex Hof Aspeg Ex Kaisesbach n 7 közös pont

40 A mátix _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ sajátétékek, baloldali és jobboldali sajátvektook _ e_6 _ e_7 _ e_7 _ e_6 _ _ e_ _ e_ _ _ _ _ _ e_6 _ e_7 _ e_7 _ e_6 _ _ e_ _ e_ _ _ maximális sajátéték

41 kvatenió a maximális sajátétékhez tatozó sajátvekto _ _ e_ e_ e_6 R fogatási mátix e_6 _ e_6 _ e_ _ e_ e_ e_ µ méetaány t eltolás

42 R fogatási mátix e_6 _ e_6 _ e_ _ e_ e_ e_ anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _

43 MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude Bouch Zeil 59 _ Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _9 4 30

44 anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _ MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude Bouch Zeil 59 _ Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _ Súlyegység középhibája: m q + Es kettős kvatenió s 0 _ s0 _ _ s1 _ s _ s3 _

45 ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval Közös pontok PSZ Foás endsze [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél endsze [X Y Z] KOORDINÁA JEGYZÉK Solitude Bouch Zeil Hohenneuffen Kuehlenbeg Ex Megelaec Ex Hof Aspeg Ex Kaisesbach n 7 közös pont anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _ MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude Bouch Zeil 59 _ Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _ Súlyegység középhibája: m q + Es kettős kvatenió s 0 _ s0 _ _ s1 _ s _ s3 _

46 Wang at al. (014)

47 KOORDINÁA JEGYZÉK 1 _ _ _ _6.4 _ _ _ _ _3.608 _ _ _5.87 _4.187 _56.98 _ _7.34 _3.695 _1.389 _13.69 _.677 _ _ _ _ _36.53 _ _ _39.93 _ _ _ _ _7.99 _ _54.14 _ _ _ _ _30.96 _3.965 _5.581 _ _57.71 _ _58.97 _ _ _ _55.49 _ _59.51 _ _ _ _ _ _ _ _9.781 _0.06 _8.06 _ _3.666 n 18 közös pont

48 A mátix _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ sajátétékek, baloldali és jobboldali sajátvektook _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ maximális sajátéték

49 kvatenió a maximális sajátétékhez tatozó sajátvekto _ _ _ R fogatási mátix _ _ _ µ méetaány t eltolás _ _

50 R fogatási mátix _ _ _ anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _ _10 _0 _ _ _30 _10 _

51 anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _ _10 _0 _ _ _30 _10 _ MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e 1 14 _7 _ _ _ _ _ _17 33 _ _1 _1 _5 6 9 _65 _39 _ _ _ _30 _18 _ _ _19 _ _66 _ _ _ Súlyegység középhibája: m q + Es kettős kvatenió s 0 _ s0 _ s _ s _ _ s

52 ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval Közös pontok PSZ Foás endsze [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél endsze [X Y Z] KOORDINÁA JEGYZÉK 1 _ _ _ _6.4 _ _ _ _ _3.608 _ _ _5.87 _4.187 _56.98 _ _7.34 _3.695 _1.389 _13.69 _.677 _ _ _ _ _36.53 _ _ _39.93 _ _ _ _ _7.99 _ _54.14 _ _ _ _ _30.96 _3.965 _5.581 _ _57.71 _ _58.97 _ _ _ _55.49 _ _59.51 _ _ _ _ _ _ _ _9.781 _0.06 _8.06 _ _3.666 n 18 közös pont anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _ _10 _0 _ _ _30 _10 _ MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e 1 14 _7 _ _ _ _ _ _17 33 _ _1 _1 _5 6 9 _65 _39 _ _ _ _30 _18 _ _ _19 _ _66 _ _ _ Súlyegység középhibája: m q + Es kettős kvatenió s 0 _ s0 _ s _ s _ _ s

53 Egy meev test 3D tébeli tanszfomációja, különösen a tébeli tájékozás az egyik legfontosabb és legkitikusabb feladat a geodéziában, fotogammetiában, navigációban, a lézeszkenne és LiDAR méések feldolgozásában, obotka manipulálásában, az animációban, többek között. Jelenleg a tébeli fogatások meghatáozásának legnépszeűbb módszee a fogatási mátix, Eule szögek, Rodigez vekto és kvateniók alkalmazása. A fogatási mátix újanomalizálása nehézkes, az Eule szögek alkalmazása szingulaitásokhoz vezet és a Rodigez vektook alkalmazása sem valósítható meg egy egyszeű számítási algoitmussal.

54 Kvateniók alkalmazása látszik megfelelőnek a 3D fogatás leíásához kevés számú paaméteel. Egységkvateniót alkalmazva a tébeli fogatás leíásáa, hét tanszfomációs paamétet kell meghatáoznunk, nevezetesen előszö a háom fogásszöget, ezután a méetaány paamétet, és végül a háom eltolás vektot. Az előadásban bemutatott módsze kettős kvateniót alkalmaz a tébeli fogatási mátix és az eltolásvekto meghatáozásához. Ismeteti a kettős kvatenió alapú geodéziai dátumtanszfomáció megoldását lineaizálással a Busa-Wolf dátumtanszfomációs modellben.

55 Zát képlet felhasználásával, a kettős kvatenió valós és kettős észének meghatáozásával számítottuk az elfogatást és az eltolást, azaz hat tanszfomációs paaméte étékét szimultán hatáoztuk meg. Bemutattuk a feladat megoldásához felhasznált módszet, és egyenleteket. Az eljáás hatékonyságát és alkalmazhatóságát 7 közös pont esetében helyi és WGS84 koodináta endszeek közötti, továbbá 18 közös pont esetén szomszédos LiDAR álláspontok közötti tanszfomáción teszteltük. A számítások azt mutatják, hogy a kettős kvatenió gyos és megbízható eedményt ad.

56 Ennek az algoitmusnak a legnagyobb előnye, hogy tetszőleges nagyságú szögelfodulások esetében is alkalmazható a tanszfomációs paaméteek számításához. A bemutatott megoldás eedményeként az kvatenió 0,1,, 3 elemeit egy valódi szimmetikus mátix sajátvektoához tatozó maximális sajátétékének meghatáozásával számítjuk. Befejezésként megállapíthatjuk, hogy a kettős kvatenió felhasználásán alapuló algoitmus alkalmas a hasonlósági tanszfomáció paaméteeinek számításához. A bemutatott megoldás egy új választható módsze a hasonlósági tanszfomáció övid leíásáa.

57 3 PAPP ERIK KVAERNIÓ RILÓGIA 013 GEODÉZIAI DÁUMRANSZFORMÁCIÓ KVAERNIÓVAL 015 GEODÉZIAI DÁUMRANSZFORMÁCIÓ IERÁCIÓS MEGOLDÁSA KVAERNIÓVAL 017 KEŐS KVAERNIÓVAL GEODÉZIAI ALKALMAZÁSA

58 Hamilton-féle kvatenió négy skalá változó Q q + q i + q j + q k + q q0 valós komplex Cliffod-féle kettős kvatenió nyolc skalá válzozó q + εs kettős ész valós kettős művelet (dual opeato) θ θ θ θ q cos nx sin n y sin nz sin 0 t x t y t z

59 ébeli Helmet-féle tanszfomáció Klasszikus a t + µ R b 0 0 Kettős kvatenióval a i W ( ) ( ) s + µ W Q( ) b i Fiedich Robet Helmet ( )

60 Awange JL, Gafaend EW (005): Solving Algebic Computational Poblems in Geodesy and Geoinfomatics, he answe to moden Challanges. Spinge, Belin, Heidelbeg, New Yok. Chasles M, (1830): Note su les popiétés du systéme de deux cops semblables ent uux et placés d une maniée quelconque dans l espece; et su le déplacement finl ou infiniment petit d un cops solide libe. Bull Sci. Math. Aston. Phys. Chim. 14(XIV), W.K. Cliffod (1873): Peliminay sketch of biquatenions. Poc. London Math. Soc, 4: W.K. Cliffod (188): Mathematical Papes. Macmillan, London Gafaend EW, Awange LJ (003): Nonlinea analysis of the theedimensional datum tansfomation [confomal goup C7(3)]. J. Geod. 77, Hamilton WR (1844): On quatenions, o on a new system of imaginaies algaba. Phil. Mag. 5(3), Hamilton WR (1853): Lectues on quatenions: containing a systematic statement of a New mathematical method. Hodges and Smith, Dublin. Hon BKP (1987): Closed-fom solution of absolut oientation using unit quatenions. J. Opt. Soc. Am. A, 4(4), Molodenskii M, Eemeev V, M.I., Y (196): Methods fo study of the extenal gavitational field and figue of the eath. Isael Pogam fo Scientific anslations, Jeusalem R. M Muay, S. S. Sasty, L. Zexiang (1994): A Mathematical Intoduction to Robotic Manipulation. CRC Pess, USA, ISBN Posková J, (011): Application of dual quatenions algoitms fo geodetic datum tansfomation. J. Appl. Mah. 4(), 5-36 Posková J, (01): Discovey of dual quatenions fo geodesy. J. Geomety Gaphics 16(), Shan YZ, Chen Y, Zheng DH (006): A quatenion-based geodetic datum tansfomation algoithm. J. Geod. 80, Vanícek P, Steeves RR (1996): ansfomation of coodinates between two hoizontal geodetic datums. J. Geod., 70, Vanícek P, Novák P, Cayme MR, Pagiatakis S (00): On the coect detemination of tansfomation paametes of a hoizontal geodetic datum. Geomatica, 56(4), Yang Y (1999): Robust estimation of geodetic datum tansfomation. J. Geod., 73, Yangbo Wang, Yunjia Wang, Kan Wu, Huachao Yang, Hua Zhang (014): A dual quatenion-based, closed-fom paiwise egistation algoithm fo point clouds. ISPRS Jounal of Photogammety and Remote Sensing 94, Zeng H, Yi Q (011): Quatenion-Based Iteative Solution of hee-dimensional Coodinate ansfomation Poblem. J. of Computes, 6(7),

61