Eikonál egyenlet az általános relativitáselméletben

Átírás

1 Szegedi Tudományegyetem, TTIK Kiséleti Fizikai Tanszék SZAKDOLGOZAT Eikonál egyenlet az általános elativitáselméletben Készítette: Bombolya László Fizika BSc szakos hallgató Témavezeto: D. Keesztes Zoltán tudományos segédmunkatás SZTE Elméleti Fizikai Tanszék és SZTE Kíséleti Fizikai Tanszék Szeged 2011

2 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Tatalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Hamilton Jacobi módsze 2 3. Az eikonál egyenlet gavitációs tében 5 4. Eikonál egyenlet alkalmazása Schwazschild téido Fényelhajlás tágyalása az eikonál egyenlet segítségével Ke téido A neutínó-antineutínó annihiláció Összefoglalás Köszönetnyilvánítás 26 1

3 2 HAMILTON JACOBI MÓDSZER 1. Bevezetés Az általános elativitáselmélet egy jó ételmezést ad az asztozikai folyamatok megétésée. Mint például a nagy tömegu csillagok fejlodésének leíásáa, melyekbol késobb vagy neuton csillag vagy fekete lyuk alakul ki, de az univezum keletkezését is segít megéteni. Egy ilyen göbült tében tudjuk vizsgálni a kisebb-nagyobb objektumok mozgását vagy más objektumoka kifejtett hatását. Az általános elativitáselméletben fontos szeepet tölt be az eikonál egyenlet és annak alkalmazásai. Ezen egyenlet segítségével meghatáozható adott téidoben, mint például Schwazschild vagy Ke téidoben a észecskék mozgása. A Schwazschild téido egy nagy tömegu objektum köüli gömbszimmetikus gavitációs mezot í le egy á jellemzo metikával. Ezek az objektumok lehetnek csillagok vagy fekete lyukak. A Ke téido hasonló a Schwazschild téidohöz, az eltéés nagyjából annyiban nyilvánul meg, hogy Ke téidoben az objektum fogásban van. Schwazschild téidoben a fényelhajlását vizsgálom nagy tömegu objektum köül, amihez az eikonál egyenlet jó kiinduló pontot ad [5]. A dolgozatomban ezt mutatom be, mint egyik alkalmazás. Ke téidoben behatóbban vizsgálom a neutínó és antineutínó nagy enegiájú annihilációját. Ezen folyamatban ( +! e + + e ) keletkezik egy elekton-poziton pá. Ennek a folyamatnak a gamma kitöések (GRB, Gamma Ray Bust) megétésében lehet szeepe [4]. A Ke téidoben az EDR (Enegy Deposition Rate) számítása egy alkalmazása az eikonál egyenletnek [1]. Az EDR az a teljesítmény, amit téfogategységekben a neutínó-antineutínó páok annihilációja soán keletkezo elekton-poziton páok elvisznek (4.83) 2. Hamilton Jacobi módsze Ebben a fejezetben a Hamilton-Jacobi módszet ismetetem, amely a kanonikus egyenletek megoldásáa vonatkozó módsze. Egy mechanikai endsze mozgásegyenlete megadható Lagange függvénnyel. Legyen n szabadsági fokú endsze melyben a következo lesz a Lagange függvény [7]: L (q; _q; t) = T ( _q) V (q; t) (2.1) ahol T kinetikus enegia, V potenciális enegia, q = (q 1 ; q 2 ; ::; q n ) az általános koodináták, _q = ( _q 1 ; _q 2 ; ::; _q n ) az általános sebességek. A legkisebb hatás elve segítésével a mozgásegyenlet mechanikájának elve levezetheto. Eszeint két t 1 és t 2 idopillanatokhoz tatozó q 1 és q 2 hely koodináta között a endsze mozgása a következoképpen íható: 2

4 2 HAMILTON JACOBI MÓDSZER S = Z t2 t 1 L (q; _q; t) dt (2.2) Ez a hatásfüggvény szélsoétéket vesz fel, aminek a szükséges feltétele, hogy az integál vaiációja nulla legyen, ekko: Z t2 L (q; _q; t) dt = 0 (2.3) t 1 Most má levezethetok a Lagange-féle másodfajú mozgásegyenleteket: ahol i = 1; 2; :::; n. d L dt _q i L q i = 0 (2.4) Ezután minden q i koodinátához hozzá endelheto az általános impulzus, ehhez a következot kell bevezetni: p i = L _q i (2.5) ahol i = 1; 2; :::; n. Ez az impulzus deékszögu koodináták és konzevatív endszeek esetén megegyezik a közönséges impulzusokkal. A Lagange-egyenlet következoképp íható: _p i = L q i (2.6) Az elozo két egyenletet behelyettesítve az L (q; _q; t) függvény teljes diffeenciálját felíva: d X i p i _q i L! = X ( _q i dp i _p i dq i ) L dt (2.7) t Ezt követoen a endsze zikai állapotának jellemzésée a Hamilton-függvényt bevezetem: H = X i p i _q i L (2.8) Ebbol látszik, hogy a H = H (p; q; _q; t) függésu. A fenti p i összefüggéssel a _q i -k kifejezhetoek ezét H = H (p; q; t) függésu lesz. Most felíva a Hamilton - függvény teljes diffeenciálját: dh = X H dp i + H dq i p i q i + H dt (2.9) t Összehasonlítva a Lagange függvény teljes diffeenciáljával, a következo két összefüggés íható fel: _q i = H p i (2.10) 3

5 2 HAMILTON JACOBI MÓDSZER és _p i = H q i (2.11) Ezt a két egyenletet Hamilton-féle kanonikus egyenleteknek nevezzük. A p i -t q i -hez kanonikusan konjugált impulzusnak nevezik. A legnagyobb különbség a Lagange és Hamilton egyenletek között, hogy az elsoben még másodendu diffeenciálegyenleteket kell megoldani addig az utóbbiban elsoendueket, de kétsze annyi az egyenletek száma. Konzevatív endszeeke azaz, ha a kényszefeltételek az idotol függetlenek, akko a Hamilton függvény a kinetikus és potenciális enegia összege, ami azt jelenti, hogy H a endsze mechanikai enegiája. Ha az idotol explicite nem függ, akko a H = H (p; q) = konstans. Viszont, ha az idotol explicite módon függ, akko új változó bevezetésével, egy olyan H 0 Hamilton függvénye téek át, amely az idotol explicite módon má nem függ. Ekko új konjugált változópát kell bevezetni és ebbol következoen a endsze szabadsági fokainak a száma egyel non fog, amie az (2.11, 2.10) egyenletek azonosan teljesülnek. Azaz egy idotol függo Hamiltoni-endsze ekvivalens egy olyan idotol független endszeel, amelyben eggyel több szabadsági fok van, ez fodítva is igaz lesz. Az egyik legtöbbet használt megoldási módszee ezeknek a mozgásegyenleteknek a változók tanszfomálása. A tanszfomációnál olyan változókat kell bevezetni a p = (p 1 ; p 2 ; :::; p n ) és a q = (q 1 ; q 2 ; :::; q n ) helyett, hogy az egyenlet könnyebben integálható legyen, a változók legyenek a következok: P = (P 1 ; P 2 ; :::; P n ) és Q = (Q 1 ; Q 2 ; :::; Q n ). Ahhoz, hogy az új változók segítségével is kanonikus egyenleteket legyenek, P -e és Q-a is kanonikus tanszfomációt kell alkalmazni. A kanonikus tanszfomációk alakja: P i = P i (p; q; t) (2.12) Q i = Q i (p; q; t) (2.13) Ezeke a változóka is kell teljesülnie a kanonikus egyenleteknek ezét a következo feltételnek kell eleget tenniük a P és Q változóknak, ami a legkisebb hatás elvébol következik [7]: Z t2 hx Pi _Q i H 0 (P; Q; t)i dt = 0 (2.14) t 1 ahol H 0 (P; Q; t) a tanszfomált Hamilton függvény. Továbbá belátható, hogy szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy tanszfomáció kanonikus legyen az, hogy: X p i _q i i H = X i P i _Q i H 0 + df dt (2.15) ahol az F a koodináták, impulzusok és az ido tetszoleges függvénye, ezt a függvényt a tanszfomáció alkotófüggvényének is nevezzük. Mivel F függvény szabadon választható ezét a fenti feltétel sokféleképpen teljesülhet. Így különféle kanonikus tanszfomációk deniálhatóak. 4

6 3 AZ EIKONÁL EGYENLET GRAVITÁCIÓS TÉRBEN Ezét lehetséges, hogy a égi p; q és az új P; Q változók az F függvényben vegyesen is szeepelhetnek, például: F (p; Q; t). Mivel az alkotófüggvény szabadon választható és a kanonikus tanszfomációk alkalmazásával a (2.11, 2.10) egyenletek megoldása a következo alakban keesendo. Bevezetve olyan új P i és Q i változókat, amelyeke: _Q i = H0 P i (2.16) _ P i = H0 Q i (2.17) kanonikus egyenletek könnyen integálhatóak. A legkézenfekvobb eset az, hogyha H 0 = 0, met ekko _Q i = 0 és P _ i = 0 egyenletek állnak fent, ezek könnyen integálhatóak. Ezét most olyan kanonikus tanszfomációt keesek, amie teljesül a H 0 = 0. Az ehhez a tanszfomációhoz tatozó alkotó függvény legyen S (q; Q; t). Az ebbol számaztatható kanonikus tanszfomációk: p i = S (q; Q; t) q i (2.18) P i = S (q; Q; t) Q i (2.19) Mivel azt szeetném, hogy H 0 = 0 legyen, ezét S-et úgy kell megválasztani, hogy: H (p; q; t) + S t = 0 (2.20) teljesüljön. A H-ban lévo p i változók a (2.18, 2.19) alapján S=q i -vel kifejezhetoek. Így a következo egyenlet adódik: H S ; q; t + S q i t = 0 (2.21) Ezt Hamilton-Jacobi féle paciális diffeenciálegyenletnek nevezünk [7]. 3. Az eikonál egyenlet gavitációs tében Ebben a fejezetben szabad észecske mozgásának a leíását hatáozom meg az eikonál egyenlet segítségével. Egy szabad észecske mozgását egy gavitációs eotében a legkisebb hatás elvének segítségével hatáozható meg [3]: S = Z mc ds = 0 (3.1) 5

7 3 AZ EIKONÁL EGYENLET GRAVITÁCIÓS TÉRBEN Ez az egyenlet azt pezentálja, hogy a észecske úgy mozog, hogy a világvonala két adott világpont között szélsoétéket vesz fel. Az euklideszi tében ennek a mozgásnak egyenes vonalú egyenletes mozgás felel meg. A gavitációs té hatása a téido metikájának a módosulását vonja maga után a gavitáció menteshez képest. A észecske mozgását gavitációs tében a (3.1) képlet segítségével meghatáozom. A észecske úgy mozog, hogy a világpontja által leít göbe extemális legyen, azaz az x i = x i (s) két közeli pontjába húzott éintovektook páhuzamosak. Legyenek ezek a pontok P és P 0, amelyekhez s és s 0 = s + ds paaméteek tatoznak, a K i = dx i =ds éinto vektook páhuzamosak egymással [9]: K ( 0 ) = a (s; ds) K 0 (s) (3.2) Ebben az esetben az a (s; ds) aányossági tényezo csak kicsit különbözik 1-tol, ezét 1 köül soba fejtve azt kapom, hogy a (s; ds) = 1 + b (s) ds. Ezt visszahelyettesítve a (3.2) egyenletbe és a ds-ben másod- vagy magasabb endu tagokat elhanyagolva, azt kapom [9]: ezt átendezve: K (s; ds) = K 0 (s) + b (s) K 0 (s) ds (3.3) vagy (3.3) kovaiáns deivált alakban: DK (s) ds = b (s) K (s) (3.4) dk i ds + i klk k K l = bk i (3.5) alakban felíva. Ezek után tegyük fel, hogy a (s; ds) = 1; amibol az következik, hogy b (s) = 0 és K i = dx i =ds behelyettesítve, x i (s)-e a következo egyenletet íva: d 2 x i ds + i dx k dx l 2 kl ds ds = 0 (3.6) Ez lesz a észecske mozgás egyenlete (amit geodetikus egyenletnek is neveznek), ami megmutatja, hogy a pálya pontjaiba húzott éinto vektook páhuzamosak és egyenlok lesznek. Ezét a göbe paaméteezését úgy kell megválasztani, hogy az éintovektook hossza állandó legyen a göbe mentén, ami annyit jelent [9]: K 2 = g kl dx k ds dx l ds = 0 (3.7) A göbe ilyen paaméteezésével a K 2 paamétet afn paaméteének nevezzük. A (3.6) egyenletben szeeplo i kl mennyiségek meghatáozzák a mozgást. A endsze bizonyos koodinátázásával a Chistoffel szimbólumok nullát adnak, ami lokálisan egy innitezimálisan kicsiny té észben a gavitáció kikapcsolását jelenti. Az, hogy ilyen választás lehet- 6

8 3 AZ EIKONÁL EGYENLET GRAVITÁCIÓS TÉRBEN séges, az ekvivalencia elv teszi lehetové. A gavitációs tében a észecske négyesimpulzusa a következoképp deniálható [3]: p i = mcu i (3.8) ahol c a fénysebesség és m a észecske tömege. Az impulzus négyzete: p i p i = m 2 c 2 (3.9) ahol a p i helyett egyenlete [3]: S=x i íható. Ekko a gavitációs tében mozgó észecske Hamilton-Jacobi ik S S g m 2 c 2 = 0 (3.10) x i x k Egy fényjel tejedésének leíásáa a (3.6) geodetikus egyenletnek az ilyen alakban töténo felíása nem alkalmas, mivel a fénysugá tejedésének világvonala mentén az ívelem nullával egyenlo, ami miatt az egyenlet minden tagja végtelenné válik. Ahhoz, hogy megadjam ee az esete a megfelelo alakú mozgásegyenletet, gyelembe kell venni, hogy a geometiai optikában a fénysugá tejedésének iányát a hullámvektook hatáozzák meg, amelyek páhuzamosak a sugá éinto iányú egységvektoával. A négydimenziós hullámszám vekto: k i = dxi d (3.11) alakban íható, ahol a sugá mentén változó paaméte. Mivel a speciális elativitáselméletben a fény vákuumbeli tejedés soán a hullámszám vekto nem változik a sugá mentén, azaz dk i = 0. Ekko gavitációs tében a hullámszám diffeenciálja a következo alakú lesz: Vagyis felíható [3]: Mivel a hullámszám négyes vektoának a négyzete nulla: Dk i = 0 (3.12) dk i d + i kldk k dk l = 0 (3.13) k i k i = 0 (3.14) a k i helyée =x i -t helyettesítve a gavitációs tében évényes eikonál egyenlet adódik: ami a Hamilton-Jacobi egyenletet adja vissza, ha m = 0 és S = g ik x i x k = 0 (3.15) helyettesítést alkalmazok [3]. Továbbá a komplex elektomágneses négyes-potenciál A a = Re [B a exp (i )] fázisa. A 7

9 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA függvényt nevezik eikonálnak. Ez az egyenlet segít majd a észecskék mozgásának meghatáozásában, ha ismeem a téido metikáját. 4. Eikonál egyenlet alkalmazása 4.1. Schwazschild téido Az eikonál egyenlet elso alkalmazásához szükséges bevezetni a Schwazschild téidot leíó egyenletet. A Schwazschild téido számaztatását [6] alapján tágyalom. A Schwazschild té egy olyan metikus té, g ab metikával, ami epezentál egy nehéz objektum (például egy csillag) köüli sztatikus gömbszimmetikus gavitációs mezot. Kezdetnek a legjobb konstuálni egy olyan általános metikát, ami a sztatikus téidoe jellemzo. A sztatikus téido x t idoszeu koodinátájáa jellemzok a következo tulajdonságok: a) A metika minden komponense független az x t -tól b) Az ívelemnégyzet (ds 2 ) invaiáns az x t! x t felcseélésée. Az a)-ból nem feltétlen következik a b), ezt jól mutatja egy fogó csillagnak az esete: az ido ellentettje megváltoztatja a fogást, de a metika komponensei idoben állandóak. Az ívelemnégyzet általános alakjából indulok ki: ds 2 = g ab dx a dx b (4.1) Ebben olyan x a koodináta halmazt keesünk, amelyben a g ab metika nem függ az idoszeu koodinátától és az ívelemnégyzet invaiáns a x t! x t tanszfomációa. Mint például egy olyan sztatikus metika, amiben a ds 2 csak az x i tészeu koodináták fogása invaiáns mennyiségeitol és azok diffeenciáljától függ. Azonban csak egy kicsit nehezebb kihozni az általános fomáját a tébeli izotóp metikának anélkül, hogy agaszkodni kell a sztatikus fomához. Így ezt az általánosabb alakot kezdem felállítani. Majd csak ez után teszem hozzá azt a megszoítást, hogy a metika sztatikus. A tészeu koodináták fogása invaiáns mennyiségei és diffeenciáljai tehát: ~x ~x 2 ; d~x d~x; ~x d~x ; (4.2) ahol az ~x x ; x ; x ' és bevezetem az koodinátát. Ha az x t idoszeu koodinátát, t-vel jelölöm, akko a tében izotóp metika legegyszeubb eloállítása: ds 2 = A (t; ) dt 2 + B (t; ) dt ~x d~x + C (t; ) (~x d~x) 2 + D (t; ) d~x 2 ; (4.3) ahol A, B, C és D tetszoleges függvényei az és t koodinátáknak. 8

10 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA Így azt kapom, hogy x = sin cos '; x = sin sin '; x ' = cos (4.4) ~x ~x = 2 ; ~x d~x = d; d~x d~x = d d sin 2 d' 2 Vagyis az általános metika (4.3) a következo fomát ölti: ds 2 = A (t; ) dt 2 + B (t; ) dtd + C (t; ) 2 d 2 + D (t; ) d d sin 2 d' 2 (4.5) Ahol A, B, C, D függvények függését gyelembe véve, bevezetheto egy új sugá menti koodináta = D (t; ). Valamint elobb említett tetszoleges függvényeket átíom az új változók, t és szeint. Ekko a metika a következo alakú lesz: ds 2 = A (t; ) dt 2 + B (t; ) dtd + C (t; ) d 2 + D (t; ) d 2 + sin 2 d' 2 (4.6) Ezek után a t helyett bevezetve egy új idoszeu koodinátát t, melyet a következo összefüggés deniál: dt = (t; ) [A (t; ) dt 1 B (t; ) d] (4.7) 2 ahol (t; ) egy integáló tényezo, mely a jobb oldalt egzakt diffeenciállá teszi. négyzete emelve majd átendezve kapom: Adt 2 Bdtd = 1 A 2 d t 2 Ezt B 4A d2 (4.8) Az új függvények meghatáozásával A = 1= (A 2 ) és B = C+B= (4A), a metika diagonálissá válik. A továbbiakban az egyszeuség kedvéét az új változókól elhagyom a felülvonást. ds 2 = A (t; ) dt 2 + B (t; ) d d 2 + sin 2 d' 2 (4.9) Így az általános izotóp metikát két és t -tol függo függvény hatáozza meg: A (t; ) és B (t; ). Látható, hogy az és t megadásával az ívelemnégyzet kiszámítható gömbi felületek esetén a (4.9) segítségével. Valójában az ívelemnégyzet azt mutatja, hogy egy ilyen felület által hatáolt teület nagysága 4 2. Azonban mivel B (t; ) nem egységnyi, nem vonható le az a következtetés, hogy a adiális távolság. Végül ahhoz, hogy megkapjam a legáltalánosabb állandó izotóp metikát szükséges, hogy a g ab elemei függetlenek legyenek az idoszeu koodinátától, ami annyit jelent, hogy A és B csak -tol függoek lehetnek. Ez a Bikhoff tétel következménye [10]: 9

11 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA ds 2 = A () dt 2 + B () d d 2 + sin 2 d' 2 (4.10) Ebbol azonnal látszik, hogy ds 2 a t! t -e invaiáns, így ez egy általános sztatikus tében izotóp téido metikáját íja le. A továbbiakban A () és B () függvényeket fogom meghatáozni. Ehhez az Einstein féle téegyenletbol indulok ki: G ab = 8G T ab (4.11) ahol T ab az enegia impulzus tenzo, aminek vákuumban nullát kell adnia, G ab az Einstein tenzo és G pedig a gavitációs állandó. A Chistoffel szimbólumok a következoképpen számolhatók a metika segítségével: a bc = 1 2 gad ( b g dc + c g db d g bc ) (4.12) A metika diagonalitása miatt nem kell minden tagot kiszámolni. Azoka a Chistoffel szimbólumoka, amiknek a felso indexe t, az teljesül, hogy t bc = 1 1 ( 2 A () A ()) b t c ( 2 A () A ()) c t b = A0 () 2A () b t c + c t b (4.13) ahol az utolsó tag kiesik, met nincs idofüggés. Ez alapján az ilyen alakú komponensek közül azok nem lesznek nullák amelyeke b = és c = t vagy b = t és c = teljesül. Ezek alakja pedig: t t = t t = A0 () 2A () Ez után hasonló megfontolások alapján a Chistoffel szimbólumok további nem nulla elemei: (4.14) tt = B () B0 () ; 2 = B0 () 2B () ; = B () ; '' = B () sin 2 = = 1 ; '' = sin cos (4.15) ' ' = ' ' = 1 ; ' ' = ' ' = ctg A Chistoffel szimbólumokból ki lehet számolni a Ricci tenzot, ami R ab = a a bb b a ba + a ai i bb a bi i ba (4.16) 10

12 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA A Ricci tenzo elso komponense az R tt a következoképpen néz ki: R tt = a a tt t a ta + a ai i tt a ti i ta (4.17) = tt + t t ' ' tt t t tt t t tt Behelyettesítve a Chistoffel szimbólumokat (4.14)-ból és (4.15)-ból, azt kapom, hogy a nem eltuno komponensek: R tt = A00 () 2B () R = R = A 0 () A 0 () 4B () A () + B0 () + A0 () B () B () A00 () 2A () + A0 () A 0 () 4A () A () + B0 () + B0 () B () B () 1 B () A 0 () 2B () A () (4.18) B 0 () + 1 (4.19) B () R '' = R sin 2 A Ricci tenzo segítségével megadva a Einstein tenzot: G ab = R ab 1 2 g abr (4.20) Mivel vákuumban az enegia impulzus tenzo nulla (T ab = 0), ezét a vákuum Einsten egyenlete a következo lesz: R ab 1 2 g abr = 0 (4.21) Ezt kell megoldani, ahol R = g ab R ab. Az Einstein egyenlet ezen alakját (4.21) balól beszozom g ab -val, felhasználva azt, hogy g ab g ab = 4. Ezt követoen a tagokat összevonva az egyenlet a következo alakú lesz: R ab = 0 (4.22) Ez azt jelenti, hogy vákuumban eltunik a Ricci tenzo. Ennek segítségével a Ricci tenzo komponenseibol (4.18), (4.19) kifejezve az A ()-t és B ()-t. 0 = A00 () 2B () A 0 () A 0 () 4B () A () + B0 () + A0 () B () B () 0 = A00 () 2A () + A0 () A 0 () 4A () A () + B0 () + B0 () B () B () (4.23) (4.24) 11

13 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA 0 = 1 B () A 0 () 2B () A () B 0 () + 1 (4.25) B () Ha most B () (4.23)+A () (4.24)-et végehajtom 0 = A () A 0 () A () B 0 () B () (4.26) Ha A () = 0, akko szinguláis lenne a metika, ezét tegyük fel, hogy A () 6= 0 és 6= 1. Ekko csak A 0 () A () B 0 () B () = 0 (4.27) kifejezést kell megvizsgálni. Ezt beszoozva A () B ()-el: Ezt a (4.25) egyenletbe behelyettesítve: 0 = A 0 () B () + B 0 () A () = (AB) 0 ) AB = (4.28) ebbol: 0 = A () + 1 A 0 () (4.29) (A) 0 = ) A = + (4.30) Ekko azt kapom A ()-e és B ()-e: A () = 1 + (4.31) B () = (4.32) ahol = A () B () és integációs konstans. Ha gyenge gavitációs té van, akko hatáesetben az A ()-nek ezzel kell megegyeznie [6]: A () c 2 ahol a Newtoni gavitációs potenciál, ami =! c 2 (4.33) GM=. Itt M a gömbszeu szimmetikus test tömege, G a gavitációs állandó és c a fénysebesség. (4.33) jobb oldalát behelyettesítve A () helyée az kapom, hogy: c 2 + 2GM = + Ebbol látszik, hogy = c 2 és a = 2GM=c 2. Most má megadható A () és B () pontos alakját, amiket behelyettesítve a (4.10) egyenletbe megkapom a Schwazschild metikát egy M tömeg köüli ües téidoben: 12

14 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA ds 2 = c 2 1 2GM dt c 2 1 2GM d d sin 2 d' 2 (4.34) c 2 A metika ezen alakját felhasználva aa, hogy megvizsgáljam a zikát egy gömbszeu objektum köül, különös tekintettel a szabadon eso tömeges észecskék és fotonok pályájáa. A metika elemei az = 2GM=c 2 sugánál a végtelenbe tatanak, ezt a sugaat Schwazschild sugának szokták nevezni. Ha a masszív testek felülete összehúzódik egy ekkoa sugaú gömbbe, akko az objektumból Schwazschild fekete lyuk lesz. Látható, hogy a Schwazschild féle ívelemnégyzet az = 0-ban zikai szingulaitás van és = 2GM=c 2 -ben pedig koodináta szinguláis és ez utóbbi kifejezést Swazschild sugának nevezzük, ee a következo jelölést szokták használni: g. Az Eddington Finkelstein koodinátázásban a metika nem lesz szinguláis a g = 2GM=c 2 helyen [6]. A Schwazschild sugá nagysága a Nap esetében: g = 2GM c 2 = 2; 95 km (4.35) Ez egyételmuen kisebb, mint a Nap sugaa (R = km). Hasonlóan kiszámítható egy potona is. Az látszik, hogy ezen valós objektumoknál a Schwazschild sugá a testen belül fekszik, ahol a vákuum té egyenletek nem alkalmazhatóak. De bizonyos kompakt objektumoknál a sugá jóval nagyobb, mint az objektum maga [6] Fényelhajlás tágyalása az eikonál egyenlet segítségével Ebben a fejezetben a fényelhajlás szögét vizsgálom meg egy sztatikus gömbszimmetikus gavitációs tében. Itt az elozo fejezetben meghatáozott Schwazschild metikát használom (4.34). A számolást az eikonál egyenletbol (3.15) kiindulva kezdem, ami a fény útját íja le. Itt a komplex elektomágneses négyes potenciál A a = Re [B a exp (i )] és a hullámszám vekto k a = =x a. A komplex amplitúdó lassan változik a geometiai optikai közelítés miatt. Az általános fomája az amplitúdónak a polaizáció vekto. k a integál göbéje hatáozza meg a fénysugaakat és ezek a göbék meolegesek a fény hullámfontjáa. Az eikonál egyenlet a feltétele, hogy a hullám vekto nulla legyen. Továbbá a vákuumbeli Maxwell egyenleteknek azt kell megadniuk, hogy a fényutak végig a null geodetikus mentén fussanak, k a k b = 0, valamint a polaizáció vekto meoleges a fénysugaaka és hasonlóan tejed [5]. A pályagöbét úgy választom meg, hogy az egyenlíto síkjában legyen, = =2. A pobléma szimmetiájának következtében az eikonál függvény: = Et + L' + () (4.36) ahol L = be az impulzus momentum, ebben b egy impakt paaméte és E pedig az enegiát 13

15 4.1 Schwazschild téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA jelöli. Bevezetve az " = Gmb 1 =c 2 [5] paamétet az ismeetlen adiális függvénye adódik: ahol Z = E s C () = 4 b 2 ( 2 2b") 2 2 2b" C () d (4.37) (4.38) A negatív elojelet akko választom a gyök elé, ha csökken (azaz a foton a lencsézo objektum felé tat) és pozitív elojelet, ha növekszik (a foton távolodik a lencsézo objektumtól). Ez a fajta választás azt biztosítja, hogy d = EC () d > 0, ezét mindegy, hogy a foton közeledik vagy távolodik. Ha 2b"= kicsi, akko az (4.38) egyenlet gyök alatti észét soba fejtve lineáis endig [9]: C () = s 1 + 4b" Ezt visszahelyettesítve a (4.37)-be és kiintegálva: b b" 2 (4.39) () = (0) + b" accos h b (4.40) Ahol (0) a foton egyenes pályájának felel meg. A fénysugá egy messzi R pontból ékezik a legközelebb eso pontba, ami = b és ezt követoen vissza megy, akko a megváltozása: = (0) + 2b" accos h R b (4.41) A (4.36) egyenlet L szeinti deiváltjából fogom megkapni a sugá menti ' polászög megváltozását az R helyen [9]: ' = L Figyelembe véve, hogy ' = -e egyenest kapok és R! 1-e: (0) = L + 2b"R b p (4.42) R 2 b 2 ' = + 2" (4.43) Ez azt mutatja, hogy a fénysugá pályája elhajlik. Az = b-hez való közeledés és távolodás pályája ' = 2" (4.44) étékkel té el. Azaz ' szöggel téül el a fénysugá. Ennek segítségével aká a Nap m = M kg; min = R m gavitációs tee által okozott fényelhajlást ' 1; 7 00 is meghatáozható: Ezt az étéket A.S. Eddington méte ki 1919-ben, amiko a napfogyatkozás alatt képeket készített a naphoz közeli csillagokól. 14

16 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA 4.2. Ke téido Ennek a téidonek a leszámaztatása meghaladja a dolgozat célkituzéseit, ezét a [6] alapján tágyalva csak a fontosabb lépéseket említem. A Schwazschild megoldás leíja a téido geometiát egy gömbszimmetikus masszív objektum köül, melyben a tágyat csak a tömege jellemzi. Azonban a legtöbb asztozikai objektum fogásban van. Egy ilyen esetben a gömbszimmetikus megoldás nem alkalmazható, met a tágy fogástengelye meghatáoz egy speciális iányt. A nemlineáis mezo egyenletek összekapcsolják a foást a külso geometiával. Ezen felül a fogó tágyat nem csak tömege, hanem az impulzusmomentuma is jellemzi. Így elváható lenne, hogy az ehhez tatozó téido metika ettol a két paamétetol függjön. Mint fentebb látható a Schwazschild megoldáshoz úgy jutok el, hogy eloszö meghatáoztam a sztatikus izotóp metika általános fomáját. Most meg kell alkotni a téido geometiát egy állandó fogásban lévo test köül. Eloszö megadva az állandó tengelyszimmetikus metika általános fomáját. Egy ilyen jellegu téido leíásához be kell vezetni a következo kifejezéseket: az idoszeu koodinátát jelölve t (= x t )-vel, a hamadik tészeu koodinátát pedig az azimut szöggel ' (= x ' ). A téido állandó és tengelyszimmetikus jellege megköveteli, hogy a metika g ab elemei függetlenek legyenek t-tol és '-tol, azaz g ab = g ab x ; x ; (4.45) ahol x és x a két fennmaadó tészeu koodináta. Megkövetelve, hogy az ívelemnégyzet invaiáns legyen a t és a ' koodináták együttes elojel váltásáa, így a következo muveleteke: t! t ; '! ' (4.46) Ennek a zikai jelentése az, hogy egy gavitációs mezo foásának, bámilyen is legyen a mozgása, annak csakis fogás jellege lesz a szimmetiatengely köül, vagyis fogó testhez kapcsolódó téido. Az így feltételezett invaiancia megköveteli a következot: g t = g t = g ' = g ' = 0 (4.47) Hiszen az ezeknek megfelelo kifejezések az ívelemnégyzetben elojelet váltanának t és ' egyideju cseéje esetén. Vagyis ezen feltételezéseket követoen az ívelemnégyzetnek a következo alakúnak kell lennie: ds 2 = g tt dt 2 + 2g t' dtd' + g '' d' 2 + g (dx ) 2 + 2g dx dx + g (dx) 2 (4.48) További szimmetiai megfontolásokat gyelembe véve, a Ke metika alakja a következo [6]: 15

17 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA ds 2 = g tt dt 2 + 2g t' dtd' + g '' d' 2 + g d 2 + g d 2 (4.49) ahol a tetszoleges g ab függvények csak -tol és -tól függenek. Igazolni kell azt, hogy egy ilyen ívelemnégyzet valóban kielégíti Einstein gavitációs mezo egyenleteit, ezáltal explicit fomát adva a metika elemeinek, amelyek megjelennek a ds 2 (4.49) kifejezésében. A poblémát ugyanúgy meg közelítve, mint a Schwazschild metika esetében. Eloszö kiszámolva a Chistoffel szimbólumokat ( a bc ) a (4.49) metikából, majd ezeket az együtthatókat felhasználva megadható a Ricci tenzo R ab komponensei, amelyek az ívelemnégyzetben szeeplo ismeetlen együtthatófüggvényeknek a kifejezései. Mivel úja a fogásban lévo anyag eloszlásán kívüli téido geometia a fontos, a vákuum mezo egyenletét kell megoldani. R ab = 0 (4.50) Ez a folyamat algebai megközelítésben igen hosszú és bonyolult [6]. Belátható, hogy az Einstein egyenletek önmagukban nem elégségesek ahhoz, hogy az összes ismeetlen együtthatófüggvényt egyenként meghatáozzák. A tengelyszimmetia követelményei sokkal kevesebb megkötéssel jának, mint a gömbszimmetia, melyet a Schwazschild geometia felépítése soán lett használva. Az elképzelés általában az, hogy egy kompakt fogó objektum legyen, mint például egy csillag vagy egy bolygó, és az általános metikának (4.49) igaznak kell lennie a fogó tengelyszimmetikus testen kívül is. Annak édekében, hogy eljussunk a Ke metikához, további feltételeket kell megadni, hogy megkapjuk a megoldást. Megkövetelve, hogy a téido geometiája a Minkowski féle téidohöz tatson, ha! 1-be és, hogy létezzen egy sima zát konvex esemény hoizont, amin kívül a geometia nem szinguláis; ebben az esetben egyetlen megoldás lesz. A Boye Lindquist koodinátázását (t; ; ; ') használva az ívelemnégyzet a Ke geometiában a következo alakban adható meg [6]: ds 2 = g 1 c 2 dt 2 2 g ac sin 2 dtd' + d2 + d 2 (4.51) g a 2 sin a sin 2 d' 2 ; ahol g a Schwazschild sugá, a konstans, és -a a következok igazak: = 2 + a 2 cos 2 ; = 2 g + a 2 (4.52) Ez egy általános kifejezése a ds 2 -e Ke téido esetén [6]. Amiko a a fogási paaméte nullához tat, akko visszakapjuk a Schwazschild téido metikáját A neutínó-antineutínó annihiláció 16

18 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA Ebben a fejezetben egy neutínó pá annihilációját vizsgálom fekete lyukak közelében. A folyamat soán a ( +! e + + e ), azaz elekton-poziton pá keletkezik. A következo felépítésu endszet vesszük: egy fogó, gömbszimmetikus, nagy tömegu fekete lyuk, aminek a fogási síkjáa meolegesen egy foó vékony akkéciós koong található. Ebben az elendezésben a téido Ke jellegu lesz. Ha fogás mentes lenne, akko Schwazschild téidovel le lehetne íni a endszet. Feltételezem, hogy az akkéciós koongból emittálódik a neutínó és az antineutínó, amik a fogástengelyt ütközés nélkül éik el és azok csak a fogási tengelyen ütköznek össze. Az akkéciós lemez belso szélét R in -el jelölöm, hasonló képpen a külso szélét R out -al. Azaz az akkéciós lemez ezen szélso étékek között lesz. Azoka a neutínóka, amelyek elhagyták a koongot, csak is a endsze közepén található fekete lyuk gavitációs vonzása hat. ába 4.1. Egy neutínó pályája az R kiindulási pontból az ~ fogástengelyen lévo pontban megy át. A fogó feketelyuk köül az ívelemnégyzet a Ke téido metikája [1]: ds 2 = g ij dx i dx j = + 1 g c 2 dt 2 + d2 + g a2 sin a 2 sin 2 d' 2 + d 2 2 g a sin2 cdtd' (4.53) ahol g = 2GM=c 2 a Schwazschild sugaat jelölöm és az a pedig Ke paaméte, ami 0 és g =2 közötti éték [1]. 17

19 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA = 2 + a 2 cos 2 (4.54) = 2 + a 2 g (4.55) Az impulzus momentum a tömeg nélküli észecskéke p i p i = 0, azaz az impulzusok az alkotó függvény deiválásából következnek p i = ~ i. Ezután felíva az eikonál egyenletet [3]: g ij ( i ) ( j ) = 0 (4.56) Ezt ha kiíom a metika minden tagjával és a p i = ~ =x i helyettesítést alkalmazom: g tt p 2 t + g t' p t p ' + g 't p ' p t + g p 2 + g p 2 + g '' p 2 ' = 0 (4.57) egyenletet kapom, ahol p ' = ~ =' = cont: és p t = ~ =t = const. a metika nem függ explicite t-tol és '-tol [6]. A p ' = L és a p t =! 0 jelöléseket vezetem be ezeke. Visszahelyettesítve és átendezve az egyenletet kapom, hogy: 2 g tt! 2 0 2g t' L! 0 + g '' L 2 = g ; Ekko az eikonál választható a következoképp: 2 g ; (4.58) =! 0 t + L' + ; (; ) (4.59) Amiben látszik, hogy az utolsó tag egyszee függ -tol és -tól. Ha behelyettesítem a metika elemeit a (4.58) egyenletbe és g -val átszoozom: 2 ; + 2 ; =! ( 2 + a 2 ) 2 a 2 sin 2! 2 0 (4.60) c 2 2 a + a 2 + a 2 L! 0 a 2 1 c sin 2 L 2 (4.61) Az egyenletet átendezve kapom a következo összefüggést: ; h ;!0 + = c 2 + a 2 2 ali a! 0 c sin L sin (4.62) így kapom: 1 h!0 c 2 + a 2 ali 2 2 ; = 2 ; + a! 0 c sin L sin (4.63) 18

20 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA ami azt mutatja, hogy szeint. Azaz az eikonál [1]: függvénye keesheto olyan alakú megoldás, hogy szepaálható és ahol () és () kielégíti [1]: =! 0 t + L' + () + () (4.64) 2 = 1 h!0 2 c 2 = J a 2 a! 0 c sin Ebben J a szepaációs konstans,! 0 és L is konstansok. i 2 J 2 al 2 L (4.65) sin Ebben az esetben a neutínó az akkéciós lemezol = R távolságból és = =2 emittálódik, és a fogástengelye ékezik = ~ és = 0 -ba. Az ~ jelöli a fogástengelyen a távolságot, az pedig az akkéciós koongon a távolságot. Azok a észecskék éhetik el a fogástengelyt, amelyeke az L = 0 fennáll. Az annihiláló észecskék közül az egyik impulzusát p, a másikét p adja meg, ahol és jelöli a neutínó és antineutínót. = 0-nál vizsgálva a két észecske belso szozatát [4]: p p = g ij (p ) i (p ) j = ~ 2 g ij (4.66) x i x j = ~ 2 g tt + ~ 2 g t' + ~ 2 g t' t t t ' ' t +~ 2 g '' + ~ 2 g + ~ 2 g ' ' Ebbol az elso tag: ~ 2 g tt = ~ 2 g ''! 0! 0 = (~2 + a 2 ) t t gt' 2 + g tt g '' =~ A többi taga is elvégezve a deiválást, megkapom a következo kifejezést: ~ 2! 0! 0 c 2 (4.67) p p = ~ 2 + a 2 ~ 2! 0! 0 + (4.68) c 2 =~ + ~2! 0! 0 ~ 2 + a 2 2 =~ c 2 J 2 1=2 =~ c 2 J 2 1=2 1 c 2 =~ =~ (~ 2 + a 2 ) 2 1! 2 0 (~ 2 + a 2 ) 2 +! ~2! 0! 0 c 2 =~ cj! 0 cj! 0 Ha bevezetem a neutínók enegiájáa a következo összefüggést [1]: 19

21 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA " = ~! 0 s ~ 2 + a 2 =~ (4.69) ahol ~! 0 a neutínóa enegiája a végtelenben, ami teljesen azonos az antineutínóa is, a vööseltolódási fakto: p (~ 2 + a 2 ) = =~. Az ütközés szögét meghatáozza a p = (p ) ; (p ) ; (p ) ' hámas impulzusnak, amely a neutnó pályájának a tengellyel való metszeténél van, valamint a fogástengely iányának megfelelo e z = 1= p g ; 0; 0 nomál vektonak a skalá szozata [4]. cos = p e z jp j = (p ) q (4.70) g (p ) 2 =g + (p ) 2 =g hol a következo q kifejezést használom p e z = g (p ) (e z ) és a hámas impulzusnak a nomája jp j = g (p ) 2 + g (p ) 2. Kifejezve a (4.57) egyenletbol a p -et : (p ) 2 g = g '' (! 0 =c) 2 g 2 t' g tt g '' (p ) 2 g (4.71) A (4.70) és (4.71) egyenletekbol az ütközési szög és a P között ezt az összefüggést meghatáozva [4]: sin 2 = ahol c (p ) =! 0 =. Ebbol kapom [1]: 2 (p )! 0 =c 2 ( 2 + a 2 ) 2 (4.72) ahol sin = =~ ~ 2 + a 2 (4.73) = cj! 0 (4.74) Azaz (p ) megegyezik J-vel. Ezeket beíva a fenti egyenletbe (4.68): p p = " " c 2 (1 sin sin cos cos ) (4.75) Ha a neutínó a R in -bol jön, akko a étéke minimumot vesz fel, amit m -el jelölök és hasonló képpen, ha R out -ból ékezik a észecske a fogástengelye, akko M maximális szöget vesz fel a. A adiális koodináta nem monoton változó, hanem bizonyos esetekben átmegy egy inexiós ponton, ami a észecske pályájának az a pontja, ami a legközelebb van a nagy tömegu feketelyukhoz, jelöljük 0 -al. Ez a pont nem a végpontokban van. Az inexiós pont kiszámolható abból, hogy p = d=d = g p = ~ ( =d) = = 0 (itt afn paaméte végig a null geodetikuson), ekko 20

22 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA = (a=0 ) 2 q1 g = 0 + (a= 0 ) 2 (4.76) Ezek után a pályagöbe egyenlete a =J = const. Azaz, az eikonálnak a J kanonikus konstans szeinti deiváltja is konstans étéket ad. J = J + Z J = C Z J d + g d = const (4.77) J Mivel -nek és -nak ismeem a megfelelo koodináták szeinti deiváltját, ezét változik a fenti diffeenciálegyenlet integál egyenletté. Elvégezve a deiválást a kanonikus konstans szeint a (4.65) egyenlet gyökein, az egyik észecskée nézve: Az egyenletet átendezve kapom: Z J = C Z J d + g d (4.78) J =2 Z 0 Z d q = 1 (a= ) 2 sin 2 C d q(= ) (a=) g = + (a=) 2 (4.79) A baloldalon úgy számolom a pályát, mintha a észecske a = 0 -ból indulna, azaz a fogástengelyol és a = =2-be ékezne, ami az akkéciós lemez. A jobboldalon az integált a teljes úta veszem, amit C-vel jelölök. Ezt követoen számolom a észecskék EDR-jét. Azaz az egységnyi ido alatt, egységnyi téfogaton leadott enegia [4]: de 0 () dtdv Z Z = 2cKG 2 F F (~) = (5) KG2 F h 6 c 5 k9 T 9 eff (3 g ) F (~) f f (" + " ) " 3 " 3 d" d" = (4.80) Ahol a Riemann zeta függvény, ami deníció szeint [8]: Továbbá [4] (s) = 1X n=1 n s = s ::: = Re > 1 (4.81) s 3s K = 1 4 sin 2 w + 8 sin 4 w =6 (4.82) Ebben sin 2 w = 0; 23 és G 2 F = 5; cm 2 MeV 2. A T eff (3 g ) az effektív neutínó 21

23 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA homéséklet kiétékelve a 3 g = 6GM=c 2 helyen. Az EDR-el az aányosságot az F (~) függvény hatáozza meg. Amit a következoképpen lehet kiszámolni [1]: F (~) = 2 2 T 9 eff (3 g) Z + M ~ 2 + a 2 2 Z [2 =~ Z M M m d T 5 0 ( ) sin d T0 5 ( ) sin 3 d T 0 4 ( ) sin 3 m m Z M Z M +2 d T0 5 ( ) cos 2 sin d T 0 4 ( ) cos 2 sin m m Z M Z M 4 d T0 5 ( ) cos sin d T 0 4 ( ) cos sin ] m m Z M m d T 4 0 ( ) sin (4.83) ahol s T 0 (R) = T eff (R) R 2 + a 2 g R (4.84) R 2 + a 2 + ( g =R) a 2 ahol = 1= p 1 v 2 =c 2 és p v 2 c = g R R 2 + a 2 a 2g R R 2 + a p 2 g R=2 (R2 + a 2 g R) (4.85) A cél az F (~) függvénynek a kiszámítása. Megadom az ~ éétkét a fogás tengelyen továbbá a-hoz is endelek egy 0 1 közötti étéket, ha a = 0 étéket választok az a Schwazschild téidoe ad jó megoldást. Ezen felül még -e is meg kell adni egy étéket, mivel a fogástengelyen a fogástengelytol méve a neutínó csak [0; =2] szögek esetén vehet fel étékeket, ezét innen választva egy étéket a (4.73) egyenletet megoldható. Az (4.73)-et átendezve: = (~2 + a 2 ) =~ sin (4.86) amit a (4.76) egyenletbe helyettesítve kiszámolhatom az 0 étékét. Továbbá tudom, hogy 0 > 0 és 0 2 R. Ha létezik 0, akko a neutínó göbéje egy olyan pályát í le, ahol 0 -ban inexiós pontja lesz. Ekko (4.79) integál jobb oldalán lévo integált kettészedve eloszö 0 ~-ig, majd 0 R-ig végezem az integálást. Ha nincs ilyen 0, akko az (4.79) integál jobb oldala ~ R-ig halad. Majd az integálás elvégzése után meg tudjuk hatáozni a észecske indulási pontját az 22

24 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA akkéciós diszkol. Met R jelöli azt a távolságot a fekete lyuk közepétol az akkéción, ahonnan a észecske indult. Miután meghatáoztam R-et, akko meg kell nézni, hogy [R in ; R out ] közé esik-e. Ha R kívül esik az akkéciós lemez tatományán, akko nincs ilyen neutínó az adott ~-nél, aminek a beesési szöge. Ezt a folyamatot egy adott ~-nél az összes szöge elvégezve meg lehet hatáozni, hogy az R in -hez és az R out -hoz milyen -étékek tatoznak. Az R in -hez tatozót jelölöm m -el és az R out -hoz tatozót M -el. Ezek segítségével numeikusan meg lehet hatáozni az R és a közötti összefüggést, aminek a segítségével a (4.83) egyenletet ki lehet integálni és számszeuen meghatáozható a keesett F (~) függvény étéke. Továbbá bevezetek egy dimenzió mentes függvényt: G (~) F (~) (~ 2 + a 2 ) =g. 2 A dimenzió mentes G (~)-nek az = g -tol való függése állandó homésékletu koong esetén a (4.2) gakonon látható, ahol a a=0; 5 g [1]. ába 4.2. A G() függvény az ~= g függvényében.[1] A (4.2) ába azt mutatja, hogy a észecskék a fogástengelynek melyik ~ pontjában annihilálnak. A gakon beosztása g egységekben van. A észecskék R in = 3 g és R out = 10 g tatományból indulnak. Ha az a fogási paamétet nullának választjuk (azaz a = 0), akko visszakapjuk a Schwazschild téidoe az EDR étékét, továbbá a G ()-függvény göbéje laposabb. Viszont ha a fogási paaméte étékét közelítem az 1-hez, akko a göbe koábban csúcsosodik, és jóval magasabból indul, mint az a = 0 esetben. Tehát, ha a! 1-et feltételezek, akko a neutínók a fogástengely alacsonyabb észén nagyobb EDR étékeket adnak és jóval koábban ének el egy maximális étéket, mint ha a = 0-t vennék. A gyos felfutás után lassú lecsengésbe mennek át a göbék és látszik, hogy bizonyos távolság után mindegyik a étéknél számolt göbe egyazon étékhez tat, azaz má a fogási paaméte sem játszik nagy szeepet az 23

25 4.2 Ke téidő 4 EIKONÁL EGYENLET ALKALMAZÁSA EDR étékében. 24

26 5 ÖSSZEFOGLALÁS 5. Összefoglalás A dolgozatomban az eikonál egyenlet alkalmazásait vizsgáltam. Ehhez eloszö bevezettem a Hamilton-Jacobi módszet, amiben ha m = 0 és S = -t helyettesítek az eikonál egyenletet kapom vissza, amivel a nulla tömegu észecskék mozgását hatáozhatom meg. Adott metikáknál lehetséges alkalmazni például a fényelhajlás, vagy a észecskék annihilációjának vizsgálata soán. Az eikonál egyenlet hasznosnak bizonyult, mivel meg tudtam hatáozni, hogy egy foton útja mennyie téül el az egyenestol, amiko elhalad egy nagytömegu objektum mellett. Egy másik esetben, amiko egy fekete lyuk akkéciós koongjából kiepülo neutínó vagy antineutínó pályáját tanulmányoztam, ameddig eléi a fogástengelyt. Végül az EDR étékét meghatáozó függvényeket (a fejezetben deniált G() függvényt) hasonlítottam össze. Ebbol azt a következtetést tudtam levonni, hogy fogó magú endszeben az EDR étéke jóval magasabb szintol indul, és hamaabb é el maximumot a fogástengelyen, mint egy sztatikus endszebe. Viszont minden esetben látható, hogy az EDR étéke a magtól távolabbi ~ esetén megközelítoleg ugyanakkoa étékhez tat. A jövoben édemes lenne utána számolni az EDR konkét étékének mind Schwazschild, mind Ke téidoben. Repodukálni a [1] cikkben megjelent ábákat. Esetleg más megközelítésben kiszámolni az EDR konkét étékeit. 25

27 6 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 6. Köszönetnyilvánítás Ezúton szeetném megköszönni témavezetomnek, Keesztes Zoltánnak a emek témát, a kitatását és a segítséget a szakdolgozat megíásában. 26

28 HIVATKOZÁSOK HIVATKOZÁSOK Hivatkozások [1] Katsuaki Asano,Takeshi Fukuyama: Relativistic Effects on Neutino Pai Annihilation above a Ke Black Hole with the Accetion Disk, The Astophysical Jounal,2001, 546: [2] Katsuaki Asano,Takeshi Fukuyama: Neutino Pai Annihilation in the Gavitation of Gamma-Ray Bust Souces, The Astophysical Jounal, 2000, 531: [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz: Classical Theoy of Fields (London: Pegamon) 1979 [4] Z. Kovács, K. S. Cheng, T. Hako: Mon. Not. Roy. Aston. Soc., 2010, [5] L. Á. Gegely, Z. Keesztes és M. Dwonik, Class. Quant. Gav , (2009); e- pint: axiv: [6] Hobson M., Efstathiou G., Lasenby A. Geneal elativity An intoduction fo physicists (CUP, 2006)(ISBN ) [7] Édi Bálint: Égi Mechanika, Nemzeti tankönyvkiadó 1996 [8] [9] Dwonik Maek: Eikonál-módsze az áapály-töltésu fekete lyukak gavitációs lencsézésében, Diplomamunka, 2009, SZTE [10] Hawking S. Ellis G.F. : The Lage Scale Stuctue of Space-Time (1973)(CUP)(399s) 27

29 NYILATKOZAT Alulíott Bombolya László Fizika BSc szakos hallgató (ETR azonosító: BOLQAAT.SZE) a Eikonál egyenlet az általános elativitáselméletben címu szakdolgozat szezoje fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogy dolgozatom önálló munkám eedménye, saját szellemi temékem, abban a hivatkozások és idézések általános szabályait következetesen alkalmaztam, mások által ít észeket a megfelelo idézés nélkül nem használtam fel. Szeged, május a hallgató aláíása