Mozgóátlag folyamatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mozgóátlag folyamatok"

Átírás

1 Mozgóátlag folyamatok 3.. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj (GWN, Gaussian white noise. Ekkor az X(t = β ε(t + β ε(t β q ε(t q folyamatot q-rend mozgóátlag folyamatnak nevezzük. Jelölés: M A(q. 3.. Megjegyzés. Az M A(q folyamatok mindig er sen/gyengén stacionáriusak Megjegyzés. Vegyük észre, hogy ha β i = minden i-re, akkor a folyamat jelenlegi értéke a q+ zaj jelenének és q-lépésig visszatekint múltjának átlaga Megjegyzés. A lineáris folyamatok -rend mozgóátlag folyamatok. Az X(t mozgóátlag folyamat autokovariancia-függvénye Eε(t =, D ε(t = mellett R(τ = E (X(tX(t + τ = β E (ε(tx(t + τ+β E (ε(t X(t + τ+...+β q E (ε(t qx(t + τ = β Eε(t β τ ε(t + τ τ + + β } {{ } Eε(t β τ+ ε(t + τ (τ csak ett l nem független amely alakot Wold-felbontásnak hívunk β q τ ε(t q + τ β q ε(t + τ q = β β τ + β β τ β q τ β q, 3.5. Megjegyzés. R(τ valóban nem függ t-t l (eltolásinvariáns, tehát X(t másodrendben (azaz gyengén stacionárius. Ezért ha ε(t fehér zaj, akkor gyengén stacionárius; független érték re er sen is stacionárius Megjegyzés. Az autokorreláció függvénynek pontosan az els q tagja nem Tétel (Wold, Ha az R(τ függvényre a Wold-felbontás teljesül, akkor létezik olyan M A(q folyamat, amelynek autokovariancia függvénye R(τ, és együtthatói pont a Wold-felbontás β-i.. Ha X(t stacionárius Gauss-folyamat, EX(t = és R(τ = (τ > q, akkor X(t MA(q folyamat Megjegyzés. ϱ(t általában végtelen sok tagból áll, és nehezen számolható (Box-Jenkins, Igaz, hogy ϱ(t exponenciális sebességgel tart -hoz. A parciális autokorreláció és autokorreláció egymás duálisai a mozgóátlag, illetve az autoregressziós modellben. X(t karakterisztikus polinomja Q(x = β + β x β q x q. Ezzel az MA egyenlet X(t = Q(Bε(t, ahol BX(t = X(t a már látott backshift operátor. Így ha az Q(x = j= δ j x j végtelen sor konvergens, akkor (Q(B = δ j B j, és ezzel pedig ε(t felírható δ j X(t j alakban, azaz X(t-nek van AR( el állítása. j= fehér zaj deníciójában benne van, hogy azonos eloszlású Elvileg végtelen sokáig visszanyúlhatunk a múltba. A folyamatot saját múltjából el állítani jó, hiszen a folyamat múltja meggyelhet, míg a zajé nem. 7 j=

2 3.9. Tétel. A mozgóátlag folyamat pontosan akkor invertálható, azaz pontosan akkor van AR( el állítása, ha karakterisztikus polinomjának gyökei az egységkörön kívül vannak. Másképp fogalmazva pontosan ekkor konvergens δ j X(t j. j= 3.. Megjegyzés. Ebben is tetten érhet az AR(p es az M A(q folyamatok közötti dualitás. 3.. Állítás. Az MA(q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye létezik, és ϕ(λ = σ ε π Q ( e iλ. 3.. Megjegyzés. A mozgóátlag simít. Ide kell stacionárius folyamatok Wold felbontása a kézzel írottból. ARM A(p, q folyamatok 3.3. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj, GWN. Ekkor a p q α k X(t k = β m ε(t m k= egyenlet megoldása az ARM A(p, q folyamat. Az autoregressziós illetve a mozgóátlag tagok karakterisztikus polinomjait jelölje rendre P (x illetve Q(x Tétel. Ha a P (x gyökei az egységkörön belül helyezkednek el, akkor létezik X(t stacionárius ARM A folyamat, és ennek létezik M A( el állítása. Ha továbbá Q(x gyökei az egységkörön kívül helyezkednek el, akkor X(t-nek létezik AR( el állítása is. A stacionárius ARM A(p, q folyamat autokovariancia függvénye szintén karakterizálható és e szerint gyorsan lecseng, vagyis az ARMA(p, q rövid emlékezet. Az MA( el állításhoz a (z = Q(z P (z racionális törtfüggvényt kell sorbafejteni, míg a P (z sorbafejtése az AR( el állítást adja. Q(z 3.5. Állítás. Az ARMA(p, q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye: ϕ(λ = σ ε π Q(eiλ P(e iλ m= ARIM A folyamatok Nem mindig van stacionárius folyamatunk, azonban gyakran dierenciálással azt kaphatunk bel le Deníció. Az X(t folyamatot ARIMA(p,, q folyamatnak nevezzük, ha az Y (t = X(t X(t = ( BX(t ARM A folyamat. (Egyszeres dierenciálással lineáris trend tüntethet el. Az X(t folyamat ARIMA(p, d, q, ha a d-szeres dierenciáltja, ( B d X(t ARMA folyamat. (d-szeres dierenciálással d-edfokú trend tüntethet el. 3 szót. 3 d lehet nem egész szám is, ami nem egészrend dierenciálást eredményez. Err l csak a következ félévben ejtünk 8

3 Nemlineáris folyamatok Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték Állítás. Legyen e(t i.i.d. sorozat várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t = e(t + β e(t e(t. Jel.: W N(β Ekkor ε(t fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t helyett ε(t kellene, hogy bilineáris legyen. Bizonyítás. Eε(t = Ee(t + β Ee(t Ee(t = R( = D ε(t = D e(t + β D (e(t e(t = σ e + β σ 4 e R( = Eε(tε(t + = E [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] =, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és várható érték tag. Továbbá R( = + βee(t e(t = ugyanúgy, mint fenn, és R(τ = τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem a várható értéke, azaz Eε(t ε(t ε(t +. Ugyanis ez egyenl E ([e(t + βe(t e(t 3] [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] = = β E ( e (t e (t = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns nem, így W N(β nem független érték fehér zaj. Legyen e(t N(,. ε(t eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t és ε(t együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β, azaz Erre EY (t =, a szórásnégyzet pedig D Y (t = D ( t i= Y (t Y (t = ε(t = e(t + βe(t e(t. Y (i Y (i = t D (Y (k Y (k = t D ε(t = t σ e( + β σ e. (Ehhez Y ( = c-nek (c = teljesülnie kell valószín séggel, mert így a teleszkópösszeg után Y (t Y ( marad. Ezért t esetén D Y (t tart végtelenbe O(t nagyságrendben, így Y (t egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat Deníció. Általános bilineáris modell: BL(p, q, P, Q, X(t + p a i X(t i = ε(t + }{{} zaj i= } {{ } AR komponens q b j ε(t j + j= } {{ } MA komponens P i= Q c ij X(t iε(t j, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. 9 j=

4 A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt 988-ban 4. Most vizsgáljuk a BL(,,, -et a c, = b jelölés mellett: X(t ax(t = ε(t + bx(t ε(t. A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld.SubbaRao-Gabr. Meg lehet mutatni, hogy Nyilván R( = m µ, továbbá és µ = EX(t = b σ ε a konstans, m = EX (t = σ ε( + bσε + 4abµ. a b σε S( = E(X(tX(t + = am + bσ εµ, S(s = E(X(tX(t + s = as(s + bσ εµ, azaz S(s nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig tehát felírhatjuk, hogy R(s = S(s µ, S(s = R(s + µ, R(s = a [ R(s + µ ] + bσ εµ }{{} ( aµ µ = ar(s + aµ + ( aµ µ = ar(s. Ezzel azt kaptuk, hogy R(s = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR(-t l, ARMA(, -t l 5. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispektrum 6 7. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a +b. X(t s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a-t, ugyanis erre f( a = +, és határértékben b b is végtelenbe tart. Minden a -ra és minden pozitív A-ra f b (x b f (x egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint ha X(t BL(p, q, P, Q, akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú. Egyszer bilineáris modell X(t = β X(t k ε(t l + ε(t diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása sem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! 4 Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius. 5 Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fourier-transzformáltja. 6 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz. Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 7 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra. Gyakran használják linearitás tesztekre.

5 Szuperdiagonális modell: EX(t = β E [X(t k + le (ε(t ε(t l] + E E(ε(t ε(t l =. EX(t X(t j = hasonló számolás. Diagonális modell: µ = σ ε, ha ε(t i.i.d. és EX(t = β µ, ahol µ = E ( ε(t ε(t cov (X(t, X(t j =, ha j k cov (X(t, X(t k = β µ Tegyük fel még, hogy ε(t i.i.d. és Eε p =, p =,..., 4, β 4 µ 4 <, ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Szuperiagonális modell: cov ( X (t, X (t j = j k cov ( X (t, X (t j =, ha j =,..., l, l +,..., k és j k l. cov ( X (t, X (t j = β4 µ (µ 4 µ EX(t egyébként. β 4 µ Legyen Y (t Y (t = X(t, ahol X(t BL(,,,. Behelyettesítve X(t formuláját kapjuk, hogy Y (t ( + ay (t + ay (t = by (t ε(t by (t ε(t + ε(t, azaz Y (t BL(,,, lesz. De míg az el z modellben a < -re stacionárius a folyamat, az itt lév AR( "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR( karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal. Ez pedig a z ( + az + a, aminek a z = tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat. ARCH folyamatok A most következ folyamatok a pénzügyekben sokkal népszer bbek, mint az eddigiek. Az ARCH(- et Engle vezette be 98-ben, és az Autoregressive Conditional Heteroscedasticity rövidítése. 8 Legyen ε(t GWN, ε(t N(, és i.i.d. Az X(t folyamatot az X(t = σ(tε(t egyenlettel adjuk meg, azaz egy (nemkonstans valószín ségi változószor egy fehér zaj. A valószín ségi változóra id t l függ szórásként gondolhatunk. Err l a szórásról azt feltételezzük, hogy a folyamat megel z értékét l (értékeit l függ. Ezért feltételes szórásként is értelmezhetjük, feltéve, hogy a folyamat múltját ismerjük. E szórást a σ (t = α + α X (t 8 Ez azt takarja, hogy a jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekt l (általában úgy, hogy a folyamat stacionárius maradjon.

6 egyenlet 9 határozza meg. Az egyenletben α, α nemnegatív valós konstansok. A feltételes szórásnégyzet D ( X(t X(t = x = α + α x az el z érték kvadratikus függvénye. A négyzet helyett más hatvány is szóba jöhet itt, de ez persze már általánosítás Power ARCH -nak szokás hívni. A fentebbi két egyenletb l kapjuk, hogy X (t = ( α + α X (t ε (t, de ez nem ekvivalens velük, mert pl. Gauss zajjal történ generálás mellett az egyesített egyenletnek akár nemnegatív X(t megoldása is lehet, míg az eredeti két egyenlet megoldása biztos, hogy negatív értékeket is felvesz. Keressük a stacionárius megoldást. Ehhez tegyük fel, hogy létezik ilyen, és iteráljuk az egyenletet: X (t = α ε (t + α α ε (t ε (t + α X (t ε (t ε (t X (t = α α j ε (t... ε (t j j= Ez utóbbi akkor írható fel így, ha α <, mert a maradéktagokban α egyre nagyobb hatványai jelennek meg, amik így nullához tartanak, miközben X(t stacionaritása és ε(t függetlensége, szórása miatt a valváltozók szorzata korlátos a maradéktagokban (pl. L norma szerint. Ha az összegzés és a várható érték felcserélhet, akkor EX (t = α j= α j Eε (t... Eε (t j = α α, ugyanis az ε(t-k várható értéke, így második momentumuk a szórásnégyzetükkel egyenl, ami, tehát egy egyszer mértani sort kellett összegeznünk. Ebb l látjuk, hogy α = esetén X(t az azonosan folyamat, ami nem túl érdekes. Ha az X(t = ε(t α ( + α k+ ε (t... ε (t k ( k= felírásban a szumma konvergál, akkor stacionárius folyamatot állít el, hiszen az η(t = ε(t + h zaj véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, és (X(t + h,..., X(t m + h-t ugyanúgy állíthatjuk el η-ból, mint (X(t,..., X(t m -et ε-ból, tehát az eloszlásaik megegyeznek Tétel. Ha α <, akkor ( konvergál, és az ARCH( egyenlet egyértelm, véges szórású, stacionárius megoldását adja. Ha nem követeljük meg a véges szórást, akkor α > -re is van stacionárius megoldás. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 3.. Megjegyzés. Ez a. állítás általánosítása. 3.. Következmény. Az ε(t és tagok függetlensége miatt EX(t = Eε(t E =, 9 Ebb l látszik, hogy a variancia függ a múlttól, azaz feltételes. Ez a megoldás véges szórásának megkövetelése mellett szükséges, egyébként csak elégséges feltétel.

7 továbbá Az autokovariancia pedig D X(t = α α. E ( X(t + hx(t = Eε(t + h E (. ε(t =, } {{ } t+h múltja mind azaz az ARCH( korrelálatlan, stacionárius, várható érték, tehát fehér zaj. Az ARCH( azonban nem független érték : E ( X (t X(t = [ α + α X (t ] E ( ε (t X(t, ahol ε (t és X(t függetlenek és Eε (t =, tehát E ( X (t X(t = α + α X (t. Ez pedig nem konstans valószín ségi változó, mint ahogy azt a függetlent l várnánk. Tehát az ARCH( nem is Gauss-eloszlású, hiszen akkor a korrelálatlanságából már a függetlenség is következne. Ezen kívül szimmetrikus zajból generálva az ARCH( szimmetrikus eloszlású, hiszen ε(t alakú, }{{} }{{} szimm. X nemneg. Y ami szimmetrikus eloszlású: (Biz.: Z = X Y mellett {Z > z} = {ω : Y (ω = y >, X(ω > z } és y {X < x} = {ω : Y (ω = y (y >, X(ω > z }, így P (Z > z = P (Z < z. y 3.. Állítás. Minden α (, -re létezik β, hogy EX β (t = Állítás. EX 4 (t pontosan akkor véges, ha 3α < Állítás. Ha EX 4 (t <, akkor az X (t autokorrelált és ACF-je ugyanaz, mint az AR(-nek α -gyel Deníció. Kicsit általánosabban ARCH(p az az X(t = σ(tε(t folyamat, ahol σ (t = α + p α i X (t i Megjegyzés. Az el z állítás AR(p-vel igaz ARCH(p-re. Innen a névben (ARCH az AR Állítás. Az ARCH(p feltételesen Gauss-eloszlású, ha adott X(t,..., X(t p. i= Tehát könny feltételes likelihood-ot számolni és a maximumhelyével paraméter becslést adni - de ez nem az igazi max likelihood ezért kvázi ML-nek hívják Deníció. További általánosításként bevezetjük a GARCH(p, q folyamat fogalmát, amely Bollerslev (986 nevéhez f z dik, és X(t = σ(t ε(t alakban deniálható, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel és véges negyedik momentummal, és p q σ (t = α + α i X (t i + β j σ (t j i= Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity; a konkrét alkalmazásokban igen nagy p kellett az ARCHban. ez utóbbit nem muszáj feltenni, de így lesz jó a Bollerslev-tételben j= 3

8 3.9. Állítás. A GARCH(p, q is WN. (a bizonyítás nem nehéz 3.3. Megjegyzés. ε(t általában N(,, de stabilis is lehet. Az α i, β j konstansok pedig pozitívak (mert a bal oldalon egy szám négyzete van. Továbbá látható a σ (t el állításából, hogy a korábbi szórásokra és állapotokra feltételes Tétel (Bollerslev, A fenti GARCH(p, q gyengén, azaz másodrendben stacionárius, ha p q α i + β j <. És ekkor EX(t =, X(t W N, azaz R(τ = pozitív τ-ra, továbbá i= R( = D X(t = j= ( α < p α i + q β j. Ha megköveteljük D X(t végességét, akkor az együtthatók fenti összegére vonatkozó < feltétel szükséges is. Bizonyítás. A bizonyítás ugyanolyan folyamatos behelyettesítéssel történik, mint az ARCH( esetben. Legyen F t = σ{x(s : s t} ltráció. Ez megegyezik Ft ε = σ{ε(s : s t}-vel Állítás. Ha valamely t -ra σ(t F t -mérhet, akkor σ(t + F t -mérhet 3, így minden t t -ra σ (t F t -mérhet. Ezzel az ε(t-t l való függetlenség miatt a szorzatuk várható értéke Eσ(tε(t =, és Eσ (t σ (t + τ ε(t ε(t + τ =. Ez adja az R(τ = -ra vonatkozó állítást Deníció. Az X(t = A(tX(t + B(t egyenletet sztochasztikus rekurziós egyenletnek hívjuk (SRE, ahol A(t véletlen d d-s mátrix, B(t véletlen d-dimenziós vektor, továbbá (A(t, B(t i.i.d. sup x = Szokásos módon jelölje az euklideszi normát R d -ben, pedig az operátornormát, azaz A = Ax. A > azt jelenti, hogy A minden eleme pozitív. Kérdés a stacionárius megoldás létezése Deníció. γ = inf { E log A n... A n } ( -t Ljapunov-exponensnek nevezzük. Determinisztikus esetben a Ljapunov-exponens inf log A... A n n, azaz a "geometriai közép" logaritmusának inmuma Megjegyzés. Fürstenberg és Kesten egy, a nagy számok törvényéhez hasonló tétele szerint (szubadditív ergodtétel γ = lim log A n n... A n valószín séggel, tehát "kiválthatjuk" a várható értéket valószín ség konvergenciára Tétel. A t és B t független, azonos eloszlású, azaz i.i.d. Tegyük fel, hogy E log + A <, E log + B < és γ <. Ekkor az X n = B n + i= j= A n... A n k+ B n k k= 3 Ez teljesül, ha adaptált megoldását nézzük a GARCH egyenletnek. 4

9 sorozat valószín séggel konvergens, és ez az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldása a sztochasztikus rekurziós egyenletnek. Ha d =, a γ-ra tett feltétel. n E log A... A n = n E log ( A... A n = E log A < Deníció. Reguláris változás: Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α index-szel, ha van olyan (a n számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S t α Q(B S n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét 4. [ÁBRA] Megjegyzés. Egydimenzióban B S pont 5, és n P ( X > t a n const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n const t α. n Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 6, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t c + t α és P (X < t c t α Tétel (Kesten, Vervaat, Goldie, 99. Legyen (A t, B t i.i.d., A t nemnegatív elemekkel van kitöltve, B t szintén és nem nulla. Tegyük fel, hogy. E A ε <, valamilyen pozitív ε-ra. A nem degenerált 3. létezik olyan pozitív κ, hogy E 4. E ( A κ ln + A véges ( min i=,...,d j= κ d (A i,j d κ / 5. valamilyen s r csoport feltétel (Az {ln a n... a : n, a n... a > and a n,..., a suppp A } halmaz egy R-ben s r csoportot generál. Ekkor a következ k teljesülnek:. Létezik κ (, κ ] egyértelm megoldása a = lim n log E A n... A κ egyenletnek.. Létezik egyértelm (er sen stacionárius oksági megoldása az SRE-nek. 3. Ha E B κ véges, akkor X(t reguláris változású κ = α-val Megjegyzés. dimenzióban = log E A κ pontosan az = E A κ egyenlettel ekvivalens, tehát azt az abszolút momentumot keressük, amelyre éppen az értéke, és ez lesz a regularitási index. Felhasználtuk, hogy a függetlenség miatt log E A n... A κ = n log E A κ. 4 itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk 5 mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük 6 tehát t még n-nél is nagyobb 5

10 Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t = ax(t + bx(t ε(t + ε(t, ahol ε(t i.i.d., a, b pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t N(,. Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t = Y (t + ε(t, ahol Y (t = (a+b ε(tx(t = (a+b ε(t(y (t +ε(t = (a+bε(t Y (t +(aε(t+bε (t = A t Y (t +B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t, B t pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet (SRE, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós. Ha ε(t N(,, akkor A t N(a, b. Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás? Az, hogy E log A t < - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens πb log x e (x a b dx < alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ kielégíti az E a + b ε(t κ = egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ -gyel. (Ezt a κ -et persze nem könny kiszámolni. A feltételb l πb x κ e (x a b dx = π (by + a κ e y dy =, ahol fontos feltételezésünk az a =, hiszen a esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus volta miatt. Viszont ha a =, akkor már páros a függvény, így els lépésben a -tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = by helyettesítés. Ezután az y = t, dy = dt t helyettesítéssel = π bκ t κ e t bκ dt = t π t κ e t b κ dt = κ + π z κ e z dz, ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ + helyen. Azaz ( ( b κ κ + Γ = π. Ebb l pedig, felhasználva a Γ ( = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ + Γ ( κ = b. Például b = -re Γ ( ( κ + = Γ, így κ =. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. 6

11 Most b = -re nézve Γ ( ( 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 =, tehát κ =. Γ( b = π -re κ = ; b = 4 3 -re κ = 4; b = 6 π -re κ 3 = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π = 6 6 π = 6 π < Tehát a b = nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése. Ha X(t GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl X (t és σ (t beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t = A t X(t + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t = ( σt+,..., σt q+, Xt,..., Xt p+ α ε (t + β β... β q β q α α 3... α p A t =......, B t = (α,,..., ε (t Tétel. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ <, valamint α >. a Tegyük fel, hogy E log + ε( véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b Tegyük fel, hogy ε( abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε( h < minden h < h -ra, de E ε( h = valamely < h -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ, és w(x véges érték függvény, hogy minden x R d \{}-ra lim u κ P ( x, X > u = w(x létezik, azaz x, X reguláris változású κ indexszel. u Továbbá ha κ nem páros, akkor X reguláris változású κ indexszel. c Ha az ε( s r ségfüggvénye a egy környezetében pozitív, akkor X(t er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz Megjegyzés. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α >, Eε( = és Eε (t =. Ekkor i γ < szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. ii iii q β j < szükséges γ < -hoz j= p α i + q β j < elégséges γ < -hoz (ez egy nagyon er s feltétel i= j= iv ha ε(t véges tartójú, nincs atomja -ban, α i, β j >, akkor p α i + q β j = elégséges γ < -hoz. i= j= 7

12 Nézzük az ARCH( esetét! Láttuk, hogy X(t = σ(t ε(t, négyzetre emelve pedig X (t = σ (t ε (t, ahol σ (t = α + α X (t. Ezt behelyettesítve X (t = ( α + α X (t ε (t = A t X (t + B t, ahol A t = α ε (t és B t = α ε (t, tehát (A t, B t i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH(-et és a bilineáris modellt X (t = α X (t ε (t + α ε (t, X(t = bx(t ε(t + ε(t + ax(t, láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 7. A γ Ljapunov-exponens negativitásához az kell, hogy E log A = E log α ε (t = log α + E log(ε (t < legyen. Mivel ε(t standard normális eloszlású, így E log(ε (t = E log(ε(t = log(ε(t e ε (t dε(t, π ahonnan ε(t = X helyettesítéssel kapjuk, hogy log(x e x π x dx = log( Γ ( e x x dx + log(x Γ ( e x x dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ (. Vegyük észre, hogy Γ( e x x éppen a Γ eloszlás s r ségfüggvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl, log + Γ ( log(xe x x dx-szel. Felhasználva, hogy Γ (y = e x (x y dx = e x log(xx y dx kapjuk, hogy log + Γ( Γ (. Γ (z pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az helyen Γ(z C log(, ahol C az Euler-konstans 8. Így végül E log(ε (t = log( C log( = log( C. Innen α > -ra E log A = log α log C <, ami pontosan akkor teljesül, ha < α < e C 3, Tehát ezen tartományban a Ljapunov-exponens negatív. Nyilván E log + A <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α -ra E log + B is véges. Nézzük a regularitás kérdését < α < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = egyenletet. E α ε (t κ = α κ Eε κ = 9 α κ π x κ e x dx = 7 X(t az ( egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t -t l függ vel n ( 8 C = lim n k log n = [x] x dx k= 8

13 Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x, ezzel dx = dt = t t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ κ t κ e t dt = (α κ π t π Ezzel (α κ Γ ( κ + t (κ+ e t dt = (α κ ( Γ κ + = h(κ =. π = π. Speciálisan α = -re κ = jó választás, mert π = Γ ( Állítás. h(κ szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ = -nek. Továbbá erre a megoldásra κ >, ha α (, κ =, ha α = κ <, ha α (, e C Megjegyzés. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α,,3,5,7,9,,5,,5 3 3,5 κ 3,4 4,8,37,59,5,,54,3,7,75, Tétel. Ha α >, < α < e C, és ε(t N(, Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH( egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m =,..., p-re az EX(t m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t stacionárius ARCH( folyamat, ε(t GWN, és α >, < α <, akkor egyrészt X második momentuma α α, másrészt α < esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá 3 EX 4 = 3α + α, 3α α innen a lapultság (kurtosis.. r X (t = corr(x t, X = α t minden t-re. Tehát az ARCH( α = -ra GWN. < α < -re stacionárius véges szórással. α < e C -re stacionárius végtelen szórással Tétel. Legyen X(t ARCH(, α >, < α < e C, ε(t GWN és κ a h(κ = egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t > x d x κ, ha x. Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. 9 páros függvényt integrálunk Kurt X = E(X(t4 = 3 α (E(X(t 3α d kiszámolható pozitív konstans > 3 9

14 A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg. További nemlineáris modellek Deníció. Véletlen együtthatós AR(p modellt deniál a következ : ahol A i -k valószín ségi változók. X(t = p A i X(t i + ε(t, i= Példa. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t = (α + A t X(t + ε(t, ahol A(t i.i.d. várható értékkel és σ A szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t függetlenek, ε(t N(, σ ε i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α + σ A < Deníció. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, azaz hozzunk létre egy partíciót, így k R i = R p. Ha X(t,..., X(t p R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p modell i= legyen érvényes rá. Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre Példa. SETAR(,,: X(t = { α X(t + ε(t ha X(t > α X(t + ε(t ha X(t Erre X(t geometrikusan ergodikus, ha α <, α < és α α <. Petrucelli és Woolford 984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele Deníció. EXPAR: X(t = p j= Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták Deníció. Product AR(p: [ ] α j + β j e δx (t X(t j + ε(t ahol ε(t i.i.d. p X(t = ε(t µ i X(t i, i= Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak. 3

15 3.53. Deníció. Nemlineáris AR(p: X(t = f(x(t,..., X(t p + ε(t Megjegyzés. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell -nél kisebbnek lennie Deníció. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t = f(ε(t, ε(t,... végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal Tétel (Herglotz. Az R(τ (τ Z sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gaussfolyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i R(τ = π π e iτλ df (λ. Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii R(τ = π π e iτλ ϕ(λdλ alakban írható, ahol (i a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ pedig a spektráls r ségfüggvény. (ii-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ véletlen spektrálmérték, hogy X(t = π π e itλ φ(dλ Tétel. A stacionárius AR(p folyamatnak létezik spektrál-s r ségfüggvénye, és az ϕ(λ = σ π P (e iλ = σ π P (e iλ P (e iλ Állítás. A fehér zaj spektráls r sége ϕ =, azaz konstans a [ π, π] intervallumon. π Tétel. A stacionárius MA(q folyamat spektráls r sége ϕ(λ = π Q(eiλ Tétel. Az ARMA folyamat spektráls r sége π Q(eiλ P (e iλ Speciálisan AR(-re R( = σ X, a spektráls r ség pedig ϕ(λ = R( { + π k=. r(k e ikλ } = Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( kλ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább ( ( ( ( = σ X π + α k cos(kλ = σ X π Re + (αe iλ k = σ X α e iλ π + Re α e iλ k= = k= σ ε π( α cos λ + α = σ ε π αe iλ. 3

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János

Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Informatikai rendszerek modellezése Dr. Sztrik, János Debreceni Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Nemzeti Fejlesztési Ügynökség

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai

véletlen vektorokból álló sorozatok, amelyeknek a kovariancia mátrixai 1. A probléma megfogalmazása. KÁLMÁN-FÉLE SZŰRŐK E jegyzet témája az úgynevezett Kálmán-féle szűrők vizsgálata. A feladat a következő. Adott egy x(0),x(1),..., több változós (együttesen) normális, más

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A lakásért életjáradék termék konstrukciója és kockázatai

A lakásért életjáradék termék konstrukciója és kockázatai A lakásért életjáradék termék konstrukciója és kockázatai Diplomamunka Írta: Péter Katalin alkalmazott matematikus szak Témavezet k: Mályusz Károly, vezet aktuárius Cardif Életbiztosító Zrt. és Arató Miklós,

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

Kárszámeloszlások modellezése

Kárszámeloszlások modellezése Kárszámeloszlások modellezése DIPLOMAMUNKA Írta: Talabér Dóra Edit Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Aktuárius szakirány Témavezető: Prokaj Vilmos egyetemi docens ELTE TTK Valószínűségelméleti és

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Pénzügyi matematika. Sz cs Gábor. Szeged, 2011. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Pénzügyi matematika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2011. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Pénzügyi matematika 2011. szi félév 1 / 79 Értékpapírpiacok Bevezetés

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Korreláció és Regresszió

Korreláció és Regresszió Korreláció és Regresszió 9. elıadás (17-18. lecke) Korrelációs együtthatók 17. lecke Áttekintés (korreláció és regresszió) A Pearson-féle korrelációs együttható Korreláció és Regresszió (témakörök) Kapcsolat

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

A Shapley-megoldás airport játékokon

A Shapley-megoldás airport játékokon A Shapley-megoldás airport játékokon Szakdolgozat Készítette: Márkus Judit Alkalmazott közgazdaságtan alapszak Közgazdaságtudományi Kar Szakszemináriumvezet : Pintér Miklós Péter, egyetemi docens Matematika

Részletesebben

3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus

3. rész. Két változó kapcsolatának vizsgálata. Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus Két kapcsolatának vizsgálata Minden összefügg mindennel!? Komputerstatisztika kurzus Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem 1 A témái 1 2 3 4 5 6 2 A kapcsolat természete A statisztikai k (adatbázisok

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák

Elliptikus eloszlások, kopuláik. 7. előadás, 2015. március 25. Elliptikusság tesztelése. Arkhimédeszi kopulák Elliptiks eloszlások, kopláik 7. előadás, 215. márcis 25. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettdományi Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Áringadozások előadás Sűrűségfüggényük

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék

Ökonometria. Logisztikus regresszió. Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu. Nyolcadik fejezet. Budapesti Corvinus Egyetem. 1 Statisztika Tanszék Ferenci Tamás 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Nyolcadik fejezet Tartalom V. esettanulmány 1 V. esettanulmány Csődelőrejelzés 2 Általános gondolatok 3 becslése

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

5. Differenciálegyenlet rendszerek

5. Differenciálegyenlet rendszerek 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK

LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK LIKVIDITÁSI KOCKÁZATOK SZAKDOLGOZAT Írta: Kiss Blanka Biztosítási és pénzügyi matematika MSc Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezet : Prokaj Vilmos egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben