Mozgóátlag folyamatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mozgóátlag folyamatok"

Átírás

1 Mozgóátlag folyamatok 3.. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj (GWN, Gaussian white noise. Ekkor az X(t = β ε(t + β ε(t β q ε(t q folyamatot q-rend mozgóátlag folyamatnak nevezzük. Jelölés: M A(q. 3.. Megjegyzés. Az M A(q folyamatok mindig er sen/gyengén stacionáriusak Megjegyzés. Vegyük észre, hogy ha β i = minden i-re, akkor a folyamat jelenlegi értéke a q+ zaj jelenének és q-lépésig visszatekint múltjának átlaga Megjegyzés. A lineáris folyamatok -rend mozgóátlag folyamatok. Az X(t mozgóátlag folyamat autokovariancia-függvénye Eε(t =, D ε(t = mellett R(τ = E (X(tX(t + τ = β E (ε(tx(t + τ+β E (ε(t X(t + τ+...+β q E (ε(t qx(t + τ = β Eε(t β τ ε(t + τ τ + + β } {{ } Eε(t β τ+ ε(t + τ (τ csak ett l nem független amely alakot Wold-felbontásnak hívunk β q τ ε(t q + τ β q ε(t + τ q = β β τ + β β τ β q τ β q, 3.5. Megjegyzés. R(τ valóban nem függ t-t l (eltolásinvariáns, tehát X(t másodrendben (azaz gyengén stacionárius. Ezért ha ε(t fehér zaj, akkor gyengén stacionárius; független érték re er sen is stacionárius Megjegyzés. Az autokorreláció függvénynek pontosan az els q tagja nem Tétel (Wold, Ha az R(τ függvényre a Wold-felbontás teljesül, akkor létezik olyan M A(q folyamat, amelynek autokovariancia függvénye R(τ, és együtthatói pont a Wold-felbontás β-i.. Ha X(t stacionárius Gauss-folyamat, EX(t = és R(τ = (τ > q, akkor X(t MA(q folyamat Megjegyzés. ϱ(t általában végtelen sok tagból áll, és nehezen számolható (Box-Jenkins, Igaz, hogy ϱ(t exponenciális sebességgel tart -hoz. A parciális autokorreláció és autokorreláció egymás duálisai a mozgóátlag, illetve az autoregressziós modellben. X(t karakterisztikus polinomja Q(x = β + β x β q x q. Ezzel az MA egyenlet X(t = Q(Bε(t, ahol BX(t = X(t a már látott backshift operátor. Így ha az Q(x = j= δ j x j végtelen sor konvergens, akkor (Q(B = δ j B j, és ezzel pedig ε(t felírható δ j X(t j alakban, azaz X(t-nek van AR( el állítása. j= fehér zaj deníciójában benne van, hogy azonos eloszlású Elvileg végtelen sokáig visszanyúlhatunk a múltba. A folyamatot saját múltjából el állítani jó, hiszen a folyamat múltja meggyelhet, míg a zajé nem. 7 j=

2 3.9. Tétel. A mozgóátlag folyamat pontosan akkor invertálható, azaz pontosan akkor van AR( el állítása, ha karakterisztikus polinomjának gyökei az egységkörön kívül vannak. Másképp fogalmazva pontosan ekkor konvergens δ j X(t j. j= 3.. Megjegyzés. Ebben is tetten érhet az AR(p es az M A(q folyamatok közötti dualitás. 3.. Állítás. Az MA(q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye létezik, és ϕ(λ = σ ε π Q ( e iλ. 3.. Megjegyzés. A mozgóátlag simít. Ide kell stacionárius folyamatok Wold felbontása a kézzel írottból. ARM A(p, q folyamatok 3.3. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj, GWN. Ekkor a p q α k X(t k = β m ε(t m k= egyenlet megoldása az ARM A(p, q folyamat. Az autoregressziós illetve a mozgóátlag tagok karakterisztikus polinomjait jelölje rendre P (x illetve Q(x Tétel. Ha a P (x gyökei az egységkörön belül helyezkednek el, akkor létezik X(t stacionárius ARM A folyamat, és ennek létezik M A( el állítása. Ha továbbá Q(x gyökei az egységkörön kívül helyezkednek el, akkor X(t-nek létezik AR( el állítása is. A stacionárius ARM A(p, q folyamat autokovariancia függvénye szintén karakterizálható és e szerint gyorsan lecseng, vagyis az ARMA(p, q rövid emlékezet. Az MA( el állításhoz a (z = Q(z P (z racionális törtfüggvényt kell sorbafejteni, míg a P (z sorbafejtése az AR( el állítást adja. Q(z 3.5. Állítás. Az ARMA(p, q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye: ϕ(λ = σ ε π Q(eiλ P(e iλ m= ARIM A folyamatok Nem mindig van stacionárius folyamatunk, azonban gyakran dierenciálással azt kaphatunk bel le Deníció. Az X(t folyamatot ARIMA(p,, q folyamatnak nevezzük, ha az Y (t = X(t X(t = ( BX(t ARM A folyamat. (Egyszeres dierenciálással lineáris trend tüntethet el. Az X(t folyamat ARIMA(p, d, q, ha a d-szeres dierenciáltja, ( B d X(t ARMA folyamat. (d-szeres dierenciálással d-edfokú trend tüntethet el. 3 szót. 3 d lehet nem egész szám is, ami nem egészrend dierenciálást eredményez. Err l csak a következ félévben ejtünk 8

3 Nemlineáris folyamatok Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték Állítás. Legyen e(t i.i.d. sorozat várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t = e(t + β e(t e(t. Jel.: W N(β Ekkor ε(t fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t helyett ε(t kellene, hogy bilineáris legyen. Bizonyítás. Eε(t = Ee(t + β Ee(t Ee(t = R( = D ε(t = D e(t + β D (e(t e(t = σ e + β σ 4 e R( = Eε(tε(t + = E [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] =, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és várható érték tag. Továbbá R( = + βee(t e(t = ugyanúgy, mint fenn, és R(τ = τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem a várható értéke, azaz Eε(t ε(t ε(t +. Ugyanis ez egyenl E ([e(t + βe(t e(t 3] [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] = = β E ( e (t e (t = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns nem, így W N(β nem független érték fehér zaj. Legyen e(t N(,. ε(t eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t és ε(t együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β, azaz Erre EY (t =, a szórásnégyzet pedig D Y (t = D ( t i= Y (t Y (t = ε(t = e(t + βe(t e(t. Y (i Y (i = t D (Y (k Y (k = t D ε(t = t σ e( + β σ e. (Ehhez Y ( = c-nek (c = teljesülnie kell valószín séggel, mert így a teleszkópösszeg után Y (t Y ( marad. Ezért t esetén D Y (t tart végtelenbe O(t nagyságrendben, így Y (t egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat Deníció. Általános bilineáris modell: BL(p, q, P, Q, X(t + p a i X(t i = ε(t + }{{} zaj i= } {{ } AR komponens q b j ε(t j + j= } {{ } MA komponens P i= Q c ij X(t iε(t j, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. 9 j=

4 A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt 988-ban 4. Most vizsgáljuk a BL(,,, -et a c, = b jelölés mellett: X(t ax(t = ε(t + bx(t ε(t. A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld.SubbaRao-Gabr. Meg lehet mutatni, hogy Nyilván R( = m µ, továbbá és µ = EX(t = b σ ε a konstans, m = EX (t = σ ε( + bσε + 4abµ. a b σε S( = E(X(tX(t + = am + bσ εµ, S(s = E(X(tX(t + s = as(s + bσ εµ, azaz S(s nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig tehát felírhatjuk, hogy R(s = S(s µ, S(s = R(s + µ, R(s = a [ R(s + µ ] + bσ εµ }{{} ( aµ µ = ar(s + aµ + ( aµ µ = ar(s. Ezzel azt kaptuk, hogy R(s = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR(-t l, ARMA(, -t l 5. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispektrum 6 7. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a +b. X(t s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a-t, ugyanis erre f( a = +, és határértékben b b is végtelenbe tart. Minden a -ra és minden pozitív A-ra f b (x b f (x egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint ha X(t BL(p, q, P, Q, akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú. Egyszer bilineáris modell X(t = β X(t k ε(t l + ε(t diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása sem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! 4 Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius. 5 Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fourier-transzformáltja. 6 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz. Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 7 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra. Gyakran használják linearitás tesztekre.

5 Szuperdiagonális modell: EX(t = β E [X(t k + le (ε(t ε(t l] + E E(ε(t ε(t l =. EX(t X(t j = hasonló számolás. Diagonális modell: µ = σ ε, ha ε(t i.i.d. és EX(t = β µ, ahol µ = E ( ε(t ε(t cov (X(t, X(t j =, ha j k cov (X(t, X(t k = β µ Tegyük fel még, hogy ε(t i.i.d. és Eε p =, p =,..., 4, β 4 µ 4 <, ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Szuperiagonális modell: cov ( X (t, X (t j = j k cov ( X (t, X (t j =, ha j =,..., l, l +,..., k és j k l. cov ( X (t, X (t j = β4 µ (µ 4 µ EX(t egyébként. β 4 µ Legyen Y (t Y (t = X(t, ahol X(t BL(,,,. Behelyettesítve X(t formuláját kapjuk, hogy Y (t ( + ay (t + ay (t = by (t ε(t by (t ε(t + ε(t, azaz Y (t BL(,,, lesz. De míg az el z modellben a < -re stacionárius a folyamat, az itt lév AR( "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR( karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal. Ez pedig a z ( + az + a, aminek a z = tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat. ARCH folyamatok A most következ folyamatok a pénzügyekben sokkal népszer bbek, mint az eddigiek. Az ARCH(- et Engle vezette be 98-ben, és az Autoregressive Conditional Heteroscedasticity rövidítése. 8 Legyen ε(t GWN, ε(t N(, és i.i.d. Az X(t folyamatot az X(t = σ(tε(t egyenlettel adjuk meg, azaz egy (nemkonstans valószín ségi változószor egy fehér zaj. A valószín ségi változóra id t l függ szórásként gondolhatunk. Err l a szórásról azt feltételezzük, hogy a folyamat megel z értékét l (értékeit l függ. Ezért feltételes szórásként is értelmezhetjük, feltéve, hogy a folyamat múltját ismerjük. E szórást a σ (t = α + α X (t 8 Ez azt takarja, hogy a jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekt l (általában úgy, hogy a folyamat stacionárius maradjon.

6 egyenlet 9 határozza meg. Az egyenletben α, α nemnegatív valós konstansok. A feltételes szórásnégyzet D ( X(t X(t = x = α + α x az el z érték kvadratikus függvénye. A négyzet helyett más hatvány is szóba jöhet itt, de ez persze már általánosítás Power ARCH -nak szokás hívni. A fentebbi két egyenletb l kapjuk, hogy X (t = ( α + α X (t ε (t, de ez nem ekvivalens velük, mert pl. Gauss zajjal történ generálás mellett az egyesített egyenletnek akár nemnegatív X(t megoldása is lehet, míg az eredeti két egyenlet megoldása biztos, hogy negatív értékeket is felvesz. Keressük a stacionárius megoldást. Ehhez tegyük fel, hogy létezik ilyen, és iteráljuk az egyenletet: X (t = α ε (t + α α ε (t ε (t + α X (t ε (t ε (t X (t = α α j ε (t... ε (t j j= Ez utóbbi akkor írható fel így, ha α <, mert a maradéktagokban α egyre nagyobb hatványai jelennek meg, amik így nullához tartanak, miközben X(t stacionaritása és ε(t függetlensége, szórása miatt a valváltozók szorzata korlátos a maradéktagokban (pl. L norma szerint. Ha az összegzés és a várható érték felcserélhet, akkor EX (t = α j= α j Eε (t... Eε (t j = α α, ugyanis az ε(t-k várható értéke, így második momentumuk a szórásnégyzetükkel egyenl, ami, tehát egy egyszer mértani sort kellett összegeznünk. Ebb l látjuk, hogy α = esetén X(t az azonosan folyamat, ami nem túl érdekes. Ha az X(t = ε(t α ( + α k+ ε (t... ε (t k ( k= felírásban a szumma konvergál, akkor stacionárius folyamatot állít el, hiszen az η(t = ε(t + h zaj véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, és (X(t + h,..., X(t m + h-t ugyanúgy állíthatjuk el η-ból, mint (X(t,..., X(t m -et ε-ból, tehát az eloszlásaik megegyeznek Tétel. Ha α <, akkor ( konvergál, és az ARCH( egyenlet egyértelm, véges szórású, stacionárius megoldását adja. Ha nem követeljük meg a véges szórást, akkor α > -re is van stacionárius megoldás. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 3.. Megjegyzés. Ez a. állítás általánosítása. 3.. Következmény. Az ε(t és tagok függetlensége miatt EX(t = Eε(t E =, 9 Ebb l látszik, hogy a variancia függ a múlttól, azaz feltételes. Ez a megoldás véges szórásának megkövetelése mellett szükséges, egyébként csak elégséges feltétel.

7 továbbá Az autokovariancia pedig D X(t = α α. E ( X(t + hx(t = Eε(t + h E (. ε(t =, } {{ } t+h múltja mind azaz az ARCH( korrelálatlan, stacionárius, várható érték, tehát fehér zaj. Az ARCH( azonban nem független érték : E ( X (t X(t = [ α + α X (t ] E ( ε (t X(t, ahol ε (t és X(t függetlenek és Eε (t =, tehát E ( X (t X(t = α + α X (t. Ez pedig nem konstans valószín ségi változó, mint ahogy azt a függetlent l várnánk. Tehát az ARCH( nem is Gauss-eloszlású, hiszen akkor a korrelálatlanságából már a függetlenség is következne. Ezen kívül szimmetrikus zajból generálva az ARCH( szimmetrikus eloszlású, hiszen ε(t alakú, }{{} }{{} szimm. X nemneg. Y ami szimmetrikus eloszlású: (Biz.: Z = X Y mellett {Z > z} = {ω : Y (ω = y >, X(ω > z } és y {X < x} = {ω : Y (ω = y (y >, X(ω > z }, így P (Z > z = P (Z < z. y 3.. Állítás. Minden α (, -re létezik β, hogy EX β (t = Állítás. EX 4 (t pontosan akkor véges, ha 3α < Állítás. Ha EX 4 (t <, akkor az X (t autokorrelált és ACF-je ugyanaz, mint az AR(-nek α -gyel Deníció. Kicsit általánosabban ARCH(p az az X(t = σ(tε(t folyamat, ahol σ (t = α + p α i X (t i Megjegyzés. Az el z állítás AR(p-vel igaz ARCH(p-re. Innen a névben (ARCH az AR Állítás. Az ARCH(p feltételesen Gauss-eloszlású, ha adott X(t,..., X(t p. i= Tehát könny feltételes likelihood-ot számolni és a maximumhelyével paraméter becslést adni - de ez nem az igazi max likelihood ezért kvázi ML-nek hívják Deníció. További általánosításként bevezetjük a GARCH(p, q folyamat fogalmát, amely Bollerslev (986 nevéhez f z dik, és X(t = σ(t ε(t alakban deniálható, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel és véges negyedik momentummal, és p q σ (t = α + α i X (t i + β j σ (t j i= Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity; a konkrét alkalmazásokban igen nagy p kellett az ARCHban. ez utóbbit nem muszáj feltenni, de így lesz jó a Bollerslev-tételben j= 3

8 3.9. Állítás. A GARCH(p, q is WN. (a bizonyítás nem nehéz 3.3. Megjegyzés. ε(t általában N(,, de stabilis is lehet. Az α i, β j konstansok pedig pozitívak (mert a bal oldalon egy szám négyzete van. Továbbá látható a σ (t el állításából, hogy a korábbi szórásokra és állapotokra feltételes Tétel (Bollerslev, A fenti GARCH(p, q gyengén, azaz másodrendben stacionárius, ha p q α i + β j <. És ekkor EX(t =, X(t W N, azaz R(τ = pozitív τ-ra, továbbá i= R( = D X(t = j= ( α < p α i + q β j. Ha megköveteljük D X(t végességét, akkor az együtthatók fenti összegére vonatkozó < feltétel szükséges is. Bizonyítás. A bizonyítás ugyanolyan folyamatos behelyettesítéssel történik, mint az ARCH( esetben. Legyen F t = σ{x(s : s t} ltráció. Ez megegyezik Ft ε = σ{ε(s : s t}-vel Állítás. Ha valamely t -ra σ(t F t -mérhet, akkor σ(t + F t -mérhet 3, így minden t t -ra σ (t F t -mérhet. Ezzel az ε(t-t l való függetlenség miatt a szorzatuk várható értéke Eσ(tε(t =, és Eσ (t σ (t + τ ε(t ε(t + τ =. Ez adja az R(τ = -ra vonatkozó állítást Deníció. Az X(t = A(tX(t + B(t egyenletet sztochasztikus rekurziós egyenletnek hívjuk (SRE, ahol A(t véletlen d d-s mátrix, B(t véletlen d-dimenziós vektor, továbbá (A(t, B(t i.i.d. sup x = Szokásos módon jelölje az euklideszi normát R d -ben, pedig az operátornormát, azaz A = Ax. A > azt jelenti, hogy A minden eleme pozitív. Kérdés a stacionárius megoldás létezése Deníció. γ = inf { E log A n... A n } ( -t Ljapunov-exponensnek nevezzük. Determinisztikus esetben a Ljapunov-exponens inf log A... A n n, azaz a "geometriai közép" logaritmusának inmuma Megjegyzés. Fürstenberg és Kesten egy, a nagy számok törvényéhez hasonló tétele szerint (szubadditív ergodtétel γ = lim log A n n... A n valószín séggel, tehát "kiválthatjuk" a várható értéket valószín ség konvergenciára Tétel. A t és B t független, azonos eloszlású, azaz i.i.d. Tegyük fel, hogy E log + A <, E log + B < és γ <. Ekkor az X n = B n + i= j= A n... A n k+ B n k k= 3 Ez teljesül, ha adaptált megoldását nézzük a GARCH egyenletnek. 4

9 sorozat valószín séggel konvergens, és ez az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldása a sztochasztikus rekurziós egyenletnek. Ha d =, a γ-ra tett feltétel. n E log A... A n = n E log ( A... A n = E log A < Deníció. Reguláris változás: Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α index-szel, ha van olyan (a n számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S t α Q(B S n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét 4. [ÁBRA] Megjegyzés. Egydimenzióban B S pont 5, és n P ( X > t a n const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n const t α. n Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 6, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t c + t α és P (X < t c t α Tétel (Kesten, Vervaat, Goldie, 99. Legyen (A t, B t i.i.d., A t nemnegatív elemekkel van kitöltve, B t szintén és nem nulla. Tegyük fel, hogy. E A ε <, valamilyen pozitív ε-ra. A nem degenerált 3. létezik olyan pozitív κ, hogy E 4. E ( A κ ln + A véges ( min i=,...,d j= κ d (A i,j d κ / 5. valamilyen s r csoport feltétel (Az {ln a n... a : n, a n... a > and a n,..., a suppp A } halmaz egy R-ben s r csoportot generál. Ekkor a következ k teljesülnek:. Létezik κ (, κ ] egyértelm megoldása a = lim n log E A n... A κ egyenletnek.. Létezik egyértelm (er sen stacionárius oksági megoldása az SRE-nek. 3. Ha E B κ véges, akkor X(t reguláris változású κ = α-val Megjegyzés. dimenzióban = log E A κ pontosan az = E A κ egyenlettel ekvivalens, tehát azt az abszolút momentumot keressük, amelyre éppen az értéke, és ez lesz a regularitási index. Felhasználtuk, hogy a függetlenség miatt log E A n... A κ = n log E A κ. 4 itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk 5 mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük 6 tehát t még n-nél is nagyobb 5

10 Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t = ax(t + bx(t ε(t + ε(t, ahol ε(t i.i.d., a, b pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t N(,. Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t = Y (t + ε(t, ahol Y (t = (a+b ε(tx(t = (a+b ε(t(y (t +ε(t = (a+bε(t Y (t +(aε(t+bε (t = A t Y (t +B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t, B t pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet (SRE, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós. Ha ε(t N(,, akkor A t N(a, b. Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás? Az, hogy E log A t < - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens πb log x e (x a b dx < alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ kielégíti az E a + b ε(t κ = egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ -gyel. (Ezt a κ -et persze nem könny kiszámolni. A feltételb l πb x κ e (x a b dx = π (by + a κ e y dy =, ahol fontos feltételezésünk az a =, hiszen a esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus volta miatt. Viszont ha a =, akkor már páros a függvény, így els lépésben a -tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = by helyettesítés. Ezután az y = t, dy = dt t helyettesítéssel = π bκ t κ e t bκ dt = t π t κ e t b κ dt = κ + π z κ e z dz, ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ + helyen. Azaz ( ( b κ κ + Γ = π. Ebb l pedig, felhasználva a Γ ( = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ + Γ ( κ = b. Például b = -re Γ ( ( κ + = Γ, így κ =. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. 6

11 Most b = -re nézve Γ ( ( 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 =, tehát κ =. Γ( b = π -re κ = ; b = 4 3 -re κ = 4; b = 6 π -re κ 3 = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π = 6 6 π = 6 π < Tehát a b = nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése. Ha X(t GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl X (t és σ (t beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t = A t X(t + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t = ( σt+,..., σt q+, Xt,..., Xt p+ α ε (t + β β... β q β q α α 3... α p A t =......, B t = (α,,..., ε (t Tétel. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ <, valamint α >. a Tegyük fel, hogy E log + ε( véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b Tegyük fel, hogy ε( abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε( h < minden h < h -ra, de E ε( h = valamely < h -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ, és w(x véges érték függvény, hogy minden x R d \{}-ra lim u κ P ( x, X > u = w(x létezik, azaz x, X reguláris változású κ indexszel. u Továbbá ha κ nem páros, akkor X reguláris változású κ indexszel. c Ha az ε( s r ségfüggvénye a egy környezetében pozitív, akkor X(t er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz Megjegyzés. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α >, Eε( = és Eε (t =. Ekkor i γ < szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. ii iii q β j < szükséges γ < -hoz j= p α i + q β j < elégséges γ < -hoz (ez egy nagyon er s feltétel i= j= iv ha ε(t véges tartójú, nincs atomja -ban, α i, β j >, akkor p α i + q β j = elégséges γ < -hoz. i= j= 7

12 Nézzük az ARCH( esetét! Láttuk, hogy X(t = σ(t ε(t, négyzetre emelve pedig X (t = σ (t ε (t, ahol σ (t = α + α X (t. Ezt behelyettesítve X (t = ( α + α X (t ε (t = A t X (t + B t, ahol A t = α ε (t és B t = α ε (t, tehát (A t, B t i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH(-et és a bilineáris modellt X (t = α X (t ε (t + α ε (t, X(t = bx(t ε(t + ε(t + ax(t, láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 7. A γ Ljapunov-exponens negativitásához az kell, hogy E log A = E log α ε (t = log α + E log(ε (t < legyen. Mivel ε(t standard normális eloszlású, így E log(ε (t = E log(ε(t = log(ε(t e ε (t dε(t, π ahonnan ε(t = X helyettesítéssel kapjuk, hogy log(x e x π x dx = log( Γ ( e x x dx + log(x Γ ( e x x dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ (. Vegyük észre, hogy Γ( e x x éppen a Γ eloszlás s r ségfüggvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl, log + Γ ( log(xe x x dx-szel. Felhasználva, hogy Γ (y = e x (x y dx = e x log(xx y dx kapjuk, hogy log + Γ( Γ (. Γ (z pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az helyen Γ(z C log(, ahol C az Euler-konstans 8. Így végül E log(ε (t = log( C log( = log( C. Innen α > -ra E log A = log α log C <, ami pontosan akkor teljesül, ha < α < e C 3, Tehát ezen tartományban a Ljapunov-exponens negatív. Nyilván E log + A <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α -ra E log + B is véges. Nézzük a regularitás kérdését < α < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = egyenletet. E α ε (t κ = α κ Eε κ = 9 α κ π x κ e x dx = 7 X(t az ( egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t -t l függ vel n ( 8 C = lim n k log n = [x] x dx k= 8

13 Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x, ezzel dx = dt = t t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ κ t κ e t dt = (α κ π t π Ezzel (α κ Γ ( κ + t (κ+ e t dt = (α κ ( Γ κ + = h(κ =. π = π. Speciálisan α = -re κ = jó választás, mert π = Γ ( Állítás. h(κ szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ = -nek. Továbbá erre a megoldásra κ >, ha α (, κ =, ha α = κ <, ha α (, e C Megjegyzés. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α,,3,5,7,9,,5,,5 3 3,5 κ 3,4 4,8,37,59,5,,54,3,7,75, Tétel. Ha α >, < α < e C, és ε(t N(, Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH( egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m =,..., p-re az EX(t m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t stacionárius ARCH( folyamat, ε(t GWN, és α >, < α <, akkor egyrészt X második momentuma α α, másrészt α < esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá 3 EX 4 = 3α + α, 3α α innen a lapultság (kurtosis.. r X (t = corr(x t, X = α t minden t-re. Tehát az ARCH( α = -ra GWN. < α < -re stacionárius véges szórással. α < e C -re stacionárius végtelen szórással Tétel. Legyen X(t ARCH(, α >, < α < e C, ε(t GWN és κ a h(κ = egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t > x d x κ, ha x. Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. 9 páros függvényt integrálunk Kurt X = E(X(t4 = 3 α (E(X(t 3α d kiszámolható pozitív konstans > 3 9

14 A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg. További nemlineáris modellek Deníció. Véletlen együtthatós AR(p modellt deniál a következ : ahol A i -k valószín ségi változók. X(t = p A i X(t i + ε(t, i= Példa. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t = (α + A t X(t + ε(t, ahol A(t i.i.d. várható értékkel és σ A szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t függetlenek, ε(t N(, σ ε i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α + σ A < Deníció. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, azaz hozzunk létre egy partíciót, így k R i = R p. Ha X(t,..., X(t p R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p modell i= legyen érvényes rá. Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre Példa. SETAR(,,: X(t = { α X(t + ε(t ha X(t > α X(t + ε(t ha X(t Erre X(t geometrikusan ergodikus, ha α <, α < és α α <. Petrucelli és Woolford 984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele Deníció. EXPAR: X(t = p j= Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták Deníció. Product AR(p: [ ] α j + β j e δx (t X(t j + ε(t ahol ε(t i.i.d. p X(t = ε(t µ i X(t i, i= Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak. 3

15 3.53. Deníció. Nemlineáris AR(p: X(t = f(x(t,..., X(t p + ε(t Megjegyzés. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell -nél kisebbnek lennie Deníció. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t = f(ε(t, ε(t,... végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal Tétel (Herglotz. Az R(τ (τ Z sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gaussfolyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i R(τ = π π e iτλ df (λ. Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii R(τ = π π e iτλ ϕ(λdλ alakban írható, ahol (i a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ pedig a spektráls r ségfüggvény. (ii-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ véletlen spektrálmérték, hogy X(t = π π e itλ φ(dλ Tétel. A stacionárius AR(p folyamatnak létezik spektrál-s r ségfüggvénye, és az ϕ(λ = σ π P (e iλ = σ π P (e iλ P (e iλ Állítás. A fehér zaj spektráls r sége ϕ =, azaz konstans a [ π, π] intervallumon. π Tétel. A stacionárius MA(q folyamat spektráls r sége ϕ(λ = π Q(eiλ Tétel. Az ARMA folyamat spektráls r sége π Q(eiλ P (e iλ Speciálisan AR(-re R( = σ X, a spektráls r ség pedig ϕ(λ = R( { + π k=. r(k e ikλ } = Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( kλ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább ( ( ( ( = σ X π + α k cos(kλ = σ X π Re + (αe iλ k = σ X α e iλ π + Re α e iλ k= = k= σ ε π( α cos λ + α = σ ε π αe iλ. 3

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

7-8-9. előadás Idősorok elemzése

7-8-9. előadás Idősorok elemzése Idősorok elemzése 7-8-9. előadás 2015. október 19-26. és november 2. Idősor fogalma sokasági szemlélet: elméleti idősor - valószínűségi változók egy indexelt {Y t, t T } családja, avagy időtől függő véletlen

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok. Géczi-Papp Renáta

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok. Géczi-Papp Renáta Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Géczi-Papp Renáta Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben