Mozgóátlag folyamatok

Átírás

1 Mozgóátlag folyamatok 3.. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj (GWN, Gaussian white noise. Ekkor az X(t = β ε(t + β ε(t β q ε(t q folyamatot q-rend mozgóátlag folyamatnak nevezzük. Jelölés: M A(q. 3.. Megjegyzés. Az M A(q folyamatok mindig er sen/gyengén stacionáriusak Megjegyzés. Vegyük észre, hogy ha β i = minden i-re, akkor a folyamat jelenlegi értéke a q+ zaj jelenének és q-lépésig visszatekint múltjának átlaga Megjegyzés. A lineáris folyamatok -rend mozgóátlag folyamatok. Az X(t mozgóátlag folyamat autokovariancia-függvénye Eε(t =, D ε(t = mellett R(τ = E (X(tX(t + τ = β E (ε(tx(t + τ+β E (ε(t X(t + τ+...+β q E (ε(t qx(t + τ = β Eε(t β τ ε(t + τ τ + + β } {{ } Eε(t β τ+ ε(t + τ (τ csak ett l nem független amely alakot Wold-felbontásnak hívunk β q τ ε(t q + τ β q ε(t + τ q = β β τ + β β τ β q τ β q, 3.5. Megjegyzés. R(τ valóban nem függ t-t l (eltolásinvariáns, tehát X(t másodrendben (azaz gyengén stacionárius. Ezért ha ε(t fehér zaj, akkor gyengén stacionárius; független érték re er sen is stacionárius Megjegyzés. Az autokorreláció függvénynek pontosan az els q tagja nem Tétel (Wold, Ha az R(τ függvényre a Wold-felbontás teljesül, akkor létezik olyan M A(q folyamat, amelynek autokovariancia függvénye R(τ, és együtthatói pont a Wold-felbontás β-i.. Ha X(t stacionárius Gauss-folyamat, EX(t = és R(τ = (τ > q, akkor X(t MA(q folyamat Megjegyzés. ϱ(t általában végtelen sok tagból áll, és nehezen számolható (Box-Jenkins, Igaz, hogy ϱ(t exponenciális sebességgel tart -hoz. A parciális autokorreláció és autokorreláció egymás duálisai a mozgóátlag, illetve az autoregressziós modellben. X(t karakterisztikus polinomja Q(x = β + β x β q x q. Ezzel az MA egyenlet X(t = Q(Bε(t, ahol BX(t = X(t a már látott backshift operátor. Így ha az Q(x = j= δ j x j végtelen sor konvergens, akkor (Q(B = δ j B j, és ezzel pedig ε(t felírható δ j X(t j alakban, azaz X(t-nek van AR( el állítása. j= fehér zaj deníciójában benne van, hogy azonos eloszlású Elvileg végtelen sokáig visszanyúlhatunk a múltba. A folyamatot saját múltjából el állítani jó, hiszen a folyamat múltja meggyelhet, míg a zajé nem. 7 j=

2 3.9. Tétel. A mozgóátlag folyamat pontosan akkor invertálható, azaz pontosan akkor van AR( el állítása, ha karakterisztikus polinomjának gyökei az egységkörön kívül vannak. Másképp fogalmazva pontosan ekkor konvergens δ j X(t j. j= 3.. Megjegyzés. Ebben is tetten érhet az AR(p es az M A(q folyamatok közötti dualitás. 3.. Állítás. Az MA(q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye létezik, és ϕ(λ = σ ε π Q ( e iλ. 3.. Megjegyzés. A mozgóátlag simít. Ide kell stacionárius folyamatok Wold felbontása a kézzel írottból. ARM A(p, q folyamatok 3.3. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj, GWN. Ekkor a p q α k X(t k = β m ε(t m k= egyenlet megoldása az ARM A(p, q folyamat. Az autoregressziós illetve a mozgóátlag tagok karakterisztikus polinomjait jelölje rendre P (x illetve Q(x Tétel. Ha a P (x gyökei az egységkörön belül helyezkednek el, akkor létezik X(t stacionárius ARM A folyamat, és ennek létezik M A( el állítása. Ha továbbá Q(x gyökei az egységkörön kívül helyezkednek el, akkor X(t-nek létezik AR( el állítása is. A stacionárius ARM A(p, q folyamat autokovariancia függvénye szintén karakterizálható és e szerint gyorsan lecseng, vagyis az ARMA(p, q rövid emlékezet. Az MA( el állításhoz a (z = Q(z P (z racionális törtfüggvényt kell sorbafejteni, míg a P (z sorbafejtése az AR( el állítást adja. Q(z 3.5. Állítás. Az ARMA(p, q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye: ϕ(λ = σ ε π Q(eiλ P(e iλ m= ARIM A folyamatok Nem mindig van stacionárius folyamatunk, azonban gyakran dierenciálással azt kaphatunk bel le Deníció. Az X(t folyamatot ARIMA(p,, q folyamatnak nevezzük, ha az Y (t = X(t X(t = ( BX(t ARM A folyamat. (Egyszeres dierenciálással lineáris trend tüntethet el. Az X(t folyamat ARIMA(p, d, q, ha a d-szeres dierenciáltja, ( B d X(t ARMA folyamat. (d-szeres dierenciálással d-edfokú trend tüntethet el. 3 szót. 3 d lehet nem egész szám is, ami nem egészrend dierenciálást eredményez. Err l csak a következ félévben ejtünk 8

3 Nemlineáris folyamatok Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték Állítás. Legyen e(t i.i.d. sorozat várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t = e(t + β e(t e(t. Jel.: W N(β Ekkor ε(t fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t helyett ε(t kellene, hogy bilineáris legyen. Bizonyítás. Eε(t = Ee(t + β Ee(t Ee(t = R( = D ε(t = D e(t + β D (e(t e(t = σ e + β σ 4 e R( = Eε(tε(t + = E [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] =, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és várható érték tag. Továbbá R( = + βee(t e(t = ugyanúgy, mint fenn, és R(τ = τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem a várható értéke, azaz Eε(t ε(t ε(t +. Ugyanis ez egyenl E ([e(t + βe(t e(t 3] [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] = = β E ( e (t e (t = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns nem, így W N(β nem független érték fehér zaj. Legyen e(t N(,. ε(t eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t és ε(t együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β, azaz Erre EY (t =, a szórásnégyzet pedig D Y (t = D ( t i= Y (t Y (t = ε(t = e(t + βe(t e(t. Y (i Y (i = t D (Y (k Y (k = t D ε(t = t σ e( + β σ e. (Ehhez Y ( = c-nek (c = teljesülnie kell valószín séggel, mert így a teleszkópösszeg után Y (t Y ( marad. Ezért t esetén D Y (t tart végtelenbe O(t nagyságrendben, így Y (t egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat Deníció. Általános bilineáris modell: BL(p, q, P, Q, X(t + p a i X(t i = ε(t + }{{} zaj i= } {{ } AR komponens q b j ε(t j + j= } {{ } MA komponens P i= Q c ij X(t iε(t j, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. 9 j=

4 A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt 988-ban 4. Most vizsgáljuk a BL(,,, -et a c, = b jelölés mellett: X(t ax(t = ε(t + bx(t ε(t. A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld.SubbaRao-Gabr. Meg lehet mutatni, hogy Nyilván R( = m µ, továbbá és µ = EX(t = b σ ε a konstans, m = EX (t = σ ε( + bσε + 4abµ. a b σε S( = E(X(tX(t + = am + bσ εµ, S(s = E(X(tX(t + s = as(s + bσ εµ, azaz S(s nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig tehát felírhatjuk, hogy R(s = S(s µ, S(s = R(s + µ, R(s = a [ R(s + µ ] + bσ εµ }{{} ( aµ µ = ar(s + aµ + ( aµ µ = ar(s. Ezzel azt kaptuk, hogy R(s = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR(-t l, ARMA(, -t l 5. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispektrum 6 7. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a +b. X(t s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a-t, ugyanis erre f( a = +, és határértékben b b is végtelenbe tart. Minden a -ra és minden pozitív A-ra f b (x b f (x egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint ha X(t BL(p, q, P, Q, akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú. Egyszer bilineáris modell X(t = β X(t k ε(t l + ε(t diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása sem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! 4 Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius. 5 Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fourier-transzformáltja. 6 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz. Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 7 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra. Gyakran használják linearitás tesztekre.

5 Szuperdiagonális modell: EX(t = β E [X(t k + le (ε(t ε(t l] + E E(ε(t ε(t l =. EX(t X(t j = hasonló számolás. Diagonális modell: µ = σ ε, ha ε(t i.i.d. és EX(t = β µ, ahol µ = E ( ε(t ε(t cov (X(t, X(t j =, ha j k cov (X(t, X(t k = β µ Tegyük fel még, hogy ε(t i.i.d. és Eε p =, p =,..., 4, β 4 µ 4 <, ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Szuperiagonális modell: cov ( X (t, X (t j = j k cov ( X (t, X (t j =, ha j =,..., l, l +,..., k és j k l. cov ( X (t, X (t j = β4 µ (µ 4 µ EX(t egyébként. β 4 µ Legyen Y (t Y (t = X(t, ahol X(t BL(,,,. Behelyettesítve X(t formuláját kapjuk, hogy Y (t ( + ay (t + ay (t = by (t ε(t by (t ε(t + ε(t, azaz Y (t BL(,,, lesz. De míg az el z modellben a < -re stacionárius a folyamat, az itt lév AR( "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR( karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal. Ez pedig a z ( + az + a, aminek a z = tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat. ARCH folyamatok A most következ folyamatok a pénzügyekben sokkal népszer bbek, mint az eddigiek. Az ARCH(- et Engle vezette be 98-ben, és az Autoregressive Conditional Heteroscedasticity rövidítése. 8 Legyen ε(t GWN, ε(t N(, és i.i.d. Az X(t folyamatot az X(t = σ(tε(t egyenlettel adjuk meg, azaz egy (nemkonstans valószín ségi változószor egy fehér zaj. A valószín ségi változóra id t l függ szórásként gondolhatunk. Err l a szórásról azt feltételezzük, hogy a folyamat megel z értékét l (értékeit l függ. Ezért feltételes szórásként is értelmezhetjük, feltéve, hogy a folyamat múltját ismerjük. E szórást a σ (t = α + α X (t 8 Ez azt takarja, hogy a jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekt l (általában úgy, hogy a folyamat stacionárius maradjon.

6 egyenlet 9 határozza meg. Az egyenletben α, α nemnegatív valós konstansok. A feltételes szórásnégyzet D ( X(t X(t = x = α + α x az el z érték kvadratikus függvénye. A négyzet helyett más hatvány is szóba jöhet itt, de ez persze már általánosítás Power ARCH -nak szokás hívni. A fentebbi két egyenletb l kapjuk, hogy X (t = ( α + α X (t ε (t, de ez nem ekvivalens velük, mert pl. Gauss zajjal történ generálás mellett az egyesített egyenletnek akár nemnegatív X(t megoldása is lehet, míg az eredeti két egyenlet megoldása biztos, hogy negatív értékeket is felvesz. Keressük a stacionárius megoldást. Ehhez tegyük fel, hogy létezik ilyen, és iteráljuk az egyenletet: X (t = α ε (t + α α ε (t ε (t + α X (t ε (t ε (t X (t = α α j ε (t... ε (t j j= Ez utóbbi akkor írható fel így, ha α <, mert a maradéktagokban α egyre nagyobb hatványai jelennek meg, amik így nullához tartanak, miközben X(t stacionaritása és ε(t függetlensége, szórása miatt a valváltozók szorzata korlátos a maradéktagokban (pl. L norma szerint. Ha az összegzés és a várható érték felcserélhet, akkor EX (t = α j= α j Eε (t... Eε (t j = α α, ugyanis az ε(t-k várható értéke, így második momentumuk a szórásnégyzetükkel egyenl, ami, tehát egy egyszer mértani sort kellett összegeznünk. Ebb l látjuk, hogy α = esetén X(t az azonosan folyamat, ami nem túl érdekes. Ha az X(t = ε(t α ( + α k+ ε (t... ε (t k ( k= felírásban a szumma konvergál, akkor stacionárius folyamatot állít el, hiszen az η(t = ε(t + h zaj véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, és (X(t + h,..., X(t m + h-t ugyanúgy állíthatjuk el η-ból, mint (X(t,..., X(t m -et ε-ból, tehát az eloszlásaik megegyeznek Tétel. Ha α <, akkor ( konvergál, és az ARCH( egyenlet egyértelm, véges szórású, stacionárius megoldását adja. Ha nem követeljük meg a véges szórást, akkor α > -re is van stacionárius megoldás. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 3.. Megjegyzés. Ez a. állítás általánosítása. 3.. Következmény. Az ε(t és tagok függetlensége miatt EX(t = Eε(t E =, 9 Ebb l látszik, hogy a variancia függ a múlttól, azaz feltételes. Ez a megoldás véges szórásának megkövetelése mellett szükséges, egyébként csak elégséges feltétel.

7 továbbá Az autokovariancia pedig D X(t = α α. E ( X(t + hx(t = Eε(t + h E (. ε(t =, } {{ } t+h múltja mind azaz az ARCH( korrelálatlan, stacionárius, várható érték, tehát fehér zaj. Az ARCH( azonban nem független érték : E ( X (t X(t = [ α + α X (t ] E ( ε (t X(t, ahol ε (t és X(t függetlenek és Eε (t =, tehát E ( X (t X(t = α + α X (t. Ez pedig nem konstans valószín ségi változó, mint ahogy azt a függetlent l várnánk. Tehát az ARCH( nem is Gauss-eloszlású, hiszen akkor a korrelálatlanságából már a függetlenség is következne. Ezen kívül szimmetrikus zajból generálva az ARCH( szimmetrikus eloszlású, hiszen ε(t alakú, }{{} }{{} szimm. X nemneg. Y ami szimmetrikus eloszlású: (Biz.: Z = X Y mellett {Z > z} = {ω : Y (ω = y >, X(ω > z } és y {X < x} = {ω : Y (ω = y (y >, X(ω > z }, így P (Z > z = P (Z < z. y 3.. Állítás. Minden α (, -re létezik β, hogy EX β (t = Állítás. EX 4 (t pontosan akkor véges, ha 3α < Állítás. Ha EX 4 (t <, akkor az X (t autokorrelált és ACF-je ugyanaz, mint az AR(-nek α -gyel Deníció. Kicsit általánosabban ARCH(p az az X(t = σ(tε(t folyamat, ahol σ (t = α + p α i X (t i Megjegyzés. Az el z állítás AR(p-vel igaz ARCH(p-re. Innen a névben (ARCH az AR Állítás. Az ARCH(p feltételesen Gauss-eloszlású, ha adott X(t,..., X(t p. i= Tehát könny feltételes likelihood-ot számolni és a maximumhelyével paraméter becslést adni - de ez nem az igazi max likelihood ezért kvázi ML-nek hívják Deníció. További általánosításként bevezetjük a GARCH(p, q folyamat fogalmát, amely Bollerslev (986 nevéhez f z dik, és X(t = σ(t ε(t alakban deniálható, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel és véges negyedik momentummal, és p q σ (t = α + α i X (t i + β j σ (t j i= Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity; a konkrét alkalmazásokban igen nagy p kellett az ARCHban. ez utóbbit nem muszáj feltenni, de így lesz jó a Bollerslev-tételben j= 3

8 3.9. Állítás. A GARCH(p, q is WN. (a bizonyítás nem nehéz 3.3. Megjegyzés. ε(t általában N(,, de stabilis is lehet. Az α i, β j konstansok pedig pozitívak (mert a bal oldalon egy szám négyzete van. Továbbá látható a σ (t el állításából, hogy a korábbi szórásokra és állapotokra feltételes Tétel (Bollerslev, A fenti GARCH(p, q gyengén, azaz másodrendben stacionárius, ha p q α i + β j <. És ekkor EX(t =, X(t W N, azaz R(τ = pozitív τ-ra, továbbá i= R( = D X(t = j= ( α < p α i + q β j. Ha megköveteljük D X(t végességét, akkor az együtthatók fenti összegére vonatkozó < feltétel szükséges is. Bizonyítás. A bizonyítás ugyanolyan folyamatos behelyettesítéssel történik, mint az ARCH( esetben. Legyen F t = σ{x(s : s t} ltráció. Ez megegyezik Ft ε = σ{ε(s : s t}-vel Állítás. Ha valamely t -ra σ(t F t -mérhet, akkor σ(t + F t -mérhet 3, így minden t t -ra σ (t F t -mérhet. Ezzel az ε(t-t l való függetlenség miatt a szorzatuk várható értéke Eσ(tε(t =, és Eσ (t σ (t + τ ε(t ε(t + τ =. Ez adja az R(τ = -ra vonatkozó állítást Deníció. Az X(t = A(tX(t + B(t egyenletet sztochasztikus rekurziós egyenletnek hívjuk (SRE, ahol A(t véletlen d d-s mátrix, B(t véletlen d-dimenziós vektor, továbbá (A(t, B(t i.i.d. sup x = Szokásos módon jelölje az euklideszi normát R d -ben, pedig az operátornormát, azaz A = Ax. A > azt jelenti, hogy A minden eleme pozitív. Kérdés a stacionárius megoldás létezése Deníció. γ = inf { E log A n... A n } ( -t Ljapunov-exponensnek nevezzük. Determinisztikus esetben a Ljapunov-exponens inf log A... A n n, azaz a "geometriai közép" logaritmusának inmuma Megjegyzés. Fürstenberg és Kesten egy, a nagy számok törvényéhez hasonló tétele szerint (szubadditív ergodtétel γ = lim log A n n... A n valószín séggel, tehát "kiválthatjuk" a várható értéket valószín ség konvergenciára Tétel. A t és B t független, azonos eloszlású, azaz i.i.d. Tegyük fel, hogy E log + A <, E log + B < és γ <. Ekkor az X n = B n + i= j= A n... A n k+ B n k k= 3 Ez teljesül, ha adaptált megoldását nézzük a GARCH egyenletnek. 4

9 sorozat valószín séggel konvergens, és ez az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldása a sztochasztikus rekurziós egyenletnek. Ha d =, a γ-ra tett feltétel. n E log A... A n = n E log ( A... A n = E log A < Deníció. Reguláris változás: Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α index-szel, ha van olyan (a n számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S t α Q(B S n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét 4. [ÁBRA] Megjegyzés. Egydimenzióban B S pont 5, és n P ( X > t a n const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n const t α. n Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 6, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t c + t α és P (X < t c t α Tétel (Kesten, Vervaat, Goldie, 99. Legyen (A t, B t i.i.d., A t nemnegatív elemekkel van kitöltve, B t szintén és nem nulla. Tegyük fel, hogy. E A ε <, valamilyen pozitív ε-ra. A nem degenerált 3. létezik olyan pozitív κ, hogy E 4. E ( A κ ln + A véges ( min i=,...,d j= κ d (A i,j d κ / 5. valamilyen s r csoport feltétel (Az {ln a n... a : n, a n... a > and a n,..., a suppp A } halmaz egy R-ben s r csoportot generál. Ekkor a következ k teljesülnek:. Létezik κ (, κ ] egyértelm megoldása a = lim n log E A n... A κ egyenletnek.. Létezik egyértelm (er sen stacionárius oksági megoldása az SRE-nek. 3. Ha E B κ véges, akkor X(t reguláris változású κ = α-val Megjegyzés. dimenzióban = log E A κ pontosan az = E A κ egyenlettel ekvivalens, tehát azt az abszolút momentumot keressük, amelyre éppen az értéke, és ez lesz a regularitási index. Felhasználtuk, hogy a függetlenség miatt log E A n... A κ = n log E A κ. 4 itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk 5 mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük 6 tehát t még n-nél is nagyobb 5

10 Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t = ax(t + bx(t ε(t + ε(t, ahol ε(t i.i.d., a, b pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t N(,. Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t = Y (t + ε(t, ahol Y (t = (a+b ε(tx(t = (a+b ε(t(y (t +ε(t = (a+bε(t Y (t +(aε(t+bε (t = A t Y (t +B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t, B t pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet (SRE, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós. Ha ε(t N(,, akkor A t N(a, b. Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás? Az, hogy E log A t < - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens πb log x e (x a b dx < alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ kielégíti az E a + b ε(t κ = egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ -gyel. (Ezt a κ -et persze nem könny kiszámolni. A feltételb l πb x κ e (x a b dx = π (by + a κ e y dy =, ahol fontos feltételezésünk az a =, hiszen a esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus volta miatt. Viszont ha a =, akkor már páros a függvény, így els lépésben a -tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = by helyettesítés. Ezután az y = t, dy = dt t helyettesítéssel = π bκ t κ e t bκ dt = t π t κ e t b κ dt = κ + π z κ e z dz, ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ + helyen. Azaz ( ( b κ κ + Γ = π. Ebb l pedig, felhasználva a Γ ( = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ + Γ ( κ = b. Például b = -re Γ ( ( κ + = Γ, így κ =. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. 6

11 Most b = -re nézve Γ ( ( 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 =, tehát κ =. Γ( b = π -re κ = ; b = 4 3 -re κ = 4; b = 6 π -re κ 3 = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π = 6 6 π = 6 π < Tehát a b = nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése. Ha X(t GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl X (t és σ (t beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t = A t X(t + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t = ( σt+,..., σt q+, Xt,..., Xt p+ α ε (t + β β... β q β q α α 3... α p A t =......, B t = (α,,..., ε (t Tétel. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ <, valamint α >. a Tegyük fel, hogy E log + ε( véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b Tegyük fel, hogy ε( abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε( h < minden h < h -ra, de E ε( h = valamely < h -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ, és w(x véges érték függvény, hogy minden x R d \{}-ra lim u κ P ( x, X > u = w(x létezik, azaz x, X reguláris változású κ indexszel. u Továbbá ha κ nem páros, akkor X reguláris változású κ indexszel. c Ha az ε( s r ségfüggvénye a egy környezetében pozitív, akkor X(t er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz Megjegyzés. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α >, Eε( = és Eε (t =. Ekkor i γ < szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. ii iii q β j < szükséges γ < -hoz j= p α i + q β j < elégséges γ < -hoz (ez egy nagyon er s feltétel i= j= iv ha ε(t véges tartójú, nincs atomja -ban, α i, β j >, akkor p α i + q β j = elégséges γ < -hoz. i= j= 7

12 Nézzük az ARCH( esetét! Láttuk, hogy X(t = σ(t ε(t, négyzetre emelve pedig X (t = σ (t ε (t, ahol σ (t = α + α X (t. Ezt behelyettesítve X (t = ( α + α X (t ε (t = A t X (t + B t, ahol A t = α ε (t és B t = α ε (t, tehát (A t, B t i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH(-et és a bilineáris modellt X (t = α X (t ε (t + α ε (t, X(t = bx(t ε(t + ε(t + ax(t, láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 7. A γ Ljapunov-exponens negativitásához az kell, hogy E log A = E log α ε (t = log α + E log(ε (t < legyen. Mivel ε(t standard normális eloszlású, így E log(ε (t = E log(ε(t = log(ε(t e ε (t dε(t, π ahonnan ε(t = X helyettesítéssel kapjuk, hogy log(x e x π x dx = log( Γ ( e x x dx + log(x Γ ( e x x dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ (. Vegyük észre, hogy Γ( e x x éppen a Γ eloszlás s r ségfüggvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl, log + Γ ( log(xe x x dx-szel. Felhasználva, hogy Γ (y = e x (x y dx = e x log(xx y dx kapjuk, hogy log + Γ( Γ (. Γ (z pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az helyen Γ(z C log(, ahol C az Euler-konstans 8. Így végül E log(ε (t = log( C log( = log( C. Innen α > -ra E log A = log α log C <, ami pontosan akkor teljesül, ha < α < e C 3, Tehát ezen tartományban a Ljapunov-exponens negatív. Nyilván E log + A <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α -ra E log + B is véges. Nézzük a regularitás kérdését < α < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = egyenletet. E α ε (t κ = α κ Eε κ = 9 α κ π x κ e x dx = 7 X(t az ( egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t -t l függ vel n ( 8 C = lim n k log n = [x] x dx k= 8

13 Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x, ezzel dx = dt = t t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ κ t κ e t dt = (α κ π t π Ezzel (α κ Γ ( κ + t (κ+ e t dt = (α κ ( Γ κ + = h(κ =. π = π. Speciálisan α = -re κ = jó választás, mert π = Γ ( Állítás. h(κ szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ = -nek. Továbbá erre a megoldásra κ >, ha α (, κ =, ha α = κ <, ha α (, e C Megjegyzés. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α,,3,5,7,9,,5,,5 3 3,5 κ 3,4 4,8,37,59,5,,54,3,7,75, Tétel. Ha α >, < α < e C, és ε(t N(, Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH( egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m =,..., p-re az EX(t m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t stacionárius ARCH( folyamat, ε(t GWN, és α >, < α <, akkor egyrészt X második momentuma α α, másrészt α < esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá 3 EX 4 = 3α + α, 3α α innen a lapultság (kurtosis.. r X (t = corr(x t, X = α t minden t-re. Tehát az ARCH( α = -ra GWN. < α < -re stacionárius véges szórással. α < e C -re stacionárius végtelen szórással Tétel. Legyen X(t ARCH(, α >, < α < e C, ε(t GWN és κ a h(κ = egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t > x d x κ, ha x. Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. 9 páros függvényt integrálunk Kurt X = E(X(t4 = 3 α (E(X(t 3α d kiszámolható pozitív konstans > 3 9

14 A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg. További nemlineáris modellek Deníció. Véletlen együtthatós AR(p modellt deniál a következ : ahol A i -k valószín ségi változók. X(t = p A i X(t i + ε(t, i= Példa. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t = (α + A t X(t + ε(t, ahol A(t i.i.d. várható értékkel és σ A szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t függetlenek, ε(t N(, σ ε i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α + σ A < Deníció. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, azaz hozzunk létre egy partíciót, így k R i = R p. Ha X(t,..., X(t p R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p modell i= legyen érvényes rá. Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre Példa. SETAR(,,: X(t = { α X(t + ε(t ha X(t > α X(t + ε(t ha X(t Erre X(t geometrikusan ergodikus, ha α <, α < és α α <. Petrucelli és Woolford 984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele Deníció. EXPAR: X(t = p j= Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták Deníció. Product AR(p: [ ] α j + β j e δx (t X(t j + ε(t ahol ε(t i.i.d. p X(t = ε(t µ i X(t i, i= Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak. 3

15 3.53. Deníció. Nemlineáris AR(p: X(t = f(x(t,..., X(t p + ε(t Megjegyzés. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell -nél kisebbnek lennie Deníció. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t = f(ε(t, ε(t,... végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal Tétel (Herglotz. Az R(τ (τ Z sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gaussfolyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i R(τ = π π e iτλ df (λ. Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii R(τ = π π e iτλ ϕ(λdλ alakban írható, ahol (i a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ pedig a spektráls r ségfüggvény. (ii-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ véletlen spektrálmérték, hogy X(t = π π e itλ φ(dλ Tétel. A stacionárius AR(p folyamatnak létezik spektrál-s r ségfüggvénye, és az ϕ(λ = σ π P (e iλ = σ π P (e iλ P (e iλ Állítás. A fehér zaj spektráls r sége ϕ =, azaz konstans a [ π, π] intervallumon. π Tétel. A stacionárius MA(q folyamat spektráls r sége ϕ(λ = π Q(eiλ Tétel. Az ARMA folyamat spektráls r sége π Q(eiλ P (e iλ Speciálisan AR(-re R( = σ X, a spektráls r ség pedig ϕ(λ = R( { + π k=. r(k e ikλ } = Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( kλ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább ( ( ( ( = σ X π + α k cos(kλ = σ X π Re + (αe iλ k = σ X α e iλ π + Re α e iλ k= = k= σ ε π( α cos λ + α = σ ε π αe iλ. 3