Mozgóátlag folyamatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mozgóátlag folyamatok"

Átírás

1 Mozgóátlag folyamatok 3.. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj (GWN, Gaussian white noise. Ekkor az X(t = β ε(t + β ε(t β q ε(t q folyamatot q-rend mozgóátlag folyamatnak nevezzük. Jelölés: M A(q. 3.. Megjegyzés. Az M A(q folyamatok mindig er sen/gyengén stacionáriusak Megjegyzés. Vegyük észre, hogy ha β i = minden i-re, akkor a folyamat jelenlegi értéke a q+ zaj jelenének és q-lépésig visszatekint múltjának átlaga Megjegyzés. A lineáris folyamatok -rend mozgóátlag folyamatok. Az X(t mozgóátlag folyamat autokovariancia-függvénye Eε(t =, D ε(t = mellett R(τ = E (X(tX(t + τ = β E (ε(tx(t + τ+β E (ε(t X(t + τ+...+β q E (ε(t qx(t + τ = β Eε(t β τ ε(t + τ τ + + β } {{ } Eε(t β τ+ ε(t + τ (τ csak ett l nem független amely alakot Wold-felbontásnak hívunk β q τ ε(t q + τ β q ε(t + τ q = β β τ + β β τ β q τ β q, 3.5. Megjegyzés. R(τ valóban nem függ t-t l (eltolásinvariáns, tehát X(t másodrendben (azaz gyengén stacionárius. Ezért ha ε(t fehér zaj, akkor gyengén stacionárius; független érték re er sen is stacionárius Megjegyzés. Az autokorreláció függvénynek pontosan az els q tagja nem Tétel (Wold, Ha az R(τ függvényre a Wold-felbontás teljesül, akkor létezik olyan M A(q folyamat, amelynek autokovariancia függvénye R(τ, és együtthatói pont a Wold-felbontás β-i.. Ha X(t stacionárius Gauss-folyamat, EX(t = és R(τ = (τ > q, akkor X(t MA(q folyamat Megjegyzés. ϱ(t általában végtelen sok tagból áll, és nehezen számolható (Box-Jenkins, Igaz, hogy ϱ(t exponenciális sebességgel tart -hoz. A parciális autokorreláció és autokorreláció egymás duálisai a mozgóátlag, illetve az autoregressziós modellben. X(t karakterisztikus polinomja Q(x = β + β x β q x q. Ezzel az MA egyenlet X(t = Q(Bε(t, ahol BX(t = X(t a már látott backshift operátor. Így ha az Q(x = j= δ j x j végtelen sor konvergens, akkor (Q(B = δ j B j, és ezzel pedig ε(t felírható δ j X(t j alakban, azaz X(t-nek van AR( el állítása. j= fehér zaj deníciójában benne van, hogy azonos eloszlású Elvileg végtelen sokáig visszanyúlhatunk a múltba. A folyamatot saját múltjából el állítani jó, hiszen a folyamat múltja meggyelhet, míg a zajé nem. 7 j=

2 3.9. Tétel. A mozgóátlag folyamat pontosan akkor invertálható, azaz pontosan akkor van AR( el állítása, ha karakterisztikus polinomjának gyökei az egységkörön kívül vannak. Másképp fogalmazva pontosan ekkor konvergens δ j X(t j. j= 3.. Megjegyzés. Ebben is tetten érhet az AR(p es az M A(q folyamatok közötti dualitás. 3.. Állítás. Az MA(q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye létezik, és ϕ(λ = σ ε π Q ( e iλ. 3.. Megjegyzés. A mozgóátlag simít. Ide kell stacionárius folyamatok Wold felbontása a kézzel írottból. ARM A(p, q folyamatok 3.3. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj, GWN. Ekkor a p q α k X(t k = β m ε(t m k= egyenlet megoldása az ARM A(p, q folyamat. Az autoregressziós illetve a mozgóátlag tagok karakterisztikus polinomjait jelölje rendre P (x illetve Q(x Tétel. Ha a P (x gyökei az egységkörön belül helyezkednek el, akkor létezik X(t stacionárius ARM A folyamat, és ennek létezik M A( el állítása. Ha továbbá Q(x gyökei az egységkörön kívül helyezkednek el, akkor X(t-nek létezik AR( el állítása is. A stacionárius ARM A(p, q folyamat autokovariancia függvénye szintén karakterizálható és e szerint gyorsan lecseng, vagyis az ARMA(p, q rövid emlékezet. Az MA( el állításhoz a (z = Q(z P (z racionális törtfüggvényt kell sorbafejteni, míg a P (z sorbafejtése az AR( el állítást adja. Q(z 3.5. Állítás. Az ARMA(p, q folyamat spektrál-s r ségfüggvénye: ϕ(λ = σ ε π Q(eiλ P(e iλ m= ARIM A folyamatok Nem mindig van stacionárius folyamatunk, azonban gyakran dierenciálással azt kaphatunk bel le Deníció. Az X(t folyamatot ARIMA(p,, q folyamatnak nevezzük, ha az Y (t = X(t X(t = ( BX(t ARM A folyamat. (Egyszeres dierenciálással lineáris trend tüntethet el. Az X(t folyamat ARIMA(p, d, q, ha a d-szeres dierenciáltja, ( B d X(t ARMA folyamat. (d-szeres dierenciálással d-edfokú trend tüntethet el. 3 szót. 3 d lehet nem egész szám is, ami nem egészrend dierenciálást eredményez. Err l csak a következ félévben ejtünk 8

3 Nemlineáris folyamatok Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték Állítás. Legyen e(t i.i.d. sorozat várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t = e(t + β e(t e(t. Jel.: W N(β Ekkor ε(t fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t helyett ε(t kellene, hogy bilineáris legyen. Bizonyítás. Eε(t = Ee(t + β Ee(t Ee(t = R( = D ε(t = D e(t + β D (e(t e(t = σ e + β σ 4 e R( = Eε(tε(t + = E [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] =, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és várható érték tag. Továbbá R( = + βee(t e(t = ugyanúgy, mint fenn, és R(τ = τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem a várható értéke, azaz Eε(t ε(t ε(t +. Ugyanis ez egyenl E ([e(t + βe(t e(t 3] [e(t + βe(t e(t ] [e(t + + βe(te(t ] = = β E ( e (t e (t = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns nem, így W N(β nem független érték fehér zaj. Legyen e(t N(,. ε(t eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t és ε(t együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β, azaz Erre EY (t =, a szórásnégyzet pedig D Y (t = D ( t i= Y (t Y (t = ε(t = e(t + βe(t e(t. Y (i Y (i = t D (Y (k Y (k = t D ε(t = t σ e( + β σ e. (Ehhez Y ( = c-nek (c = teljesülnie kell valószín séggel, mert így a teleszkópösszeg után Y (t Y ( marad. Ezért t esetén D Y (t tart végtelenbe O(t nagyságrendben, így Y (t egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat Deníció. Általános bilineáris modell: BL(p, q, P, Q, X(t + p a i X(t i = ε(t + }{{} zaj i= } {{ } AR komponens q b j ε(t j + j= } {{ } MA komponens P i= Q c ij X(t iε(t j, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. 9 j=

4 A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt 988-ban 4. Most vizsgáljuk a BL(,,, -et a c, = b jelölés mellett: X(t ax(t = ε(t + bx(t ε(t. A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld.SubbaRao-Gabr. Meg lehet mutatni, hogy Nyilván R( = m µ, továbbá és µ = EX(t = b σ ε a konstans, m = EX (t = σ ε( + bσε + 4abµ. a b σε S( = E(X(tX(t + = am + bσ εµ, S(s = E(X(tX(t + s = as(s + bσ εµ, azaz S(s nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig tehát felírhatjuk, hogy R(s = S(s µ, S(s = R(s + µ, R(s = a [ R(s + µ ] + bσ εµ }{{} ( aµ µ = ar(s + aµ + ( aµ µ = ar(s. Ezzel azt kaptuk, hogy R(s = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR(-t l, ARMA(, -t l 5. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispektrum 6 7. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a +b. X(t s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a-t, ugyanis erre f( a = +, és határértékben b b is végtelenbe tart. Minden a -ra és minden pozitív A-ra f b (x b f (x egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint ha X(t BL(p, q, P, Q, akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú. Egyszer bilineáris modell X(t = β X(t k ε(t l + ε(t diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása sem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! 4 Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius. 5 Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fourier-transzformáltja. 6 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz. Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 7 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra. Gyakran használják linearitás tesztekre.

5 Szuperdiagonális modell: EX(t = β E [X(t k + le (ε(t ε(t l] + E E(ε(t ε(t l =. EX(t X(t j = hasonló számolás. Diagonális modell: µ = σ ε, ha ε(t i.i.d. és EX(t = β µ, ahol µ = E ( ε(t ε(t cov (X(t, X(t j =, ha j k cov (X(t, X(t k = β µ Tegyük fel még, hogy ε(t i.i.d. és Eε p =, p =,..., 4, β 4 µ 4 <, ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Szuperiagonális modell: cov ( X (t, X (t j = j k cov ( X (t, X (t j =, ha j =,..., l, l +,..., k és j k l. cov ( X (t, X (t j = β4 µ (µ 4 µ EX(t egyébként. β 4 µ Legyen Y (t Y (t = X(t, ahol X(t BL(,,,. Behelyettesítve X(t formuláját kapjuk, hogy Y (t ( + ay (t + ay (t = by (t ε(t by (t ε(t + ε(t, azaz Y (t BL(,,, lesz. De míg az el z modellben a < -re stacionárius a folyamat, az itt lév AR( "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR( karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal. Ez pedig a z ( + az + a, aminek a z = tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat. ARCH folyamatok A most következ folyamatok a pénzügyekben sokkal népszer bbek, mint az eddigiek. Az ARCH(- et Engle vezette be 98-ben, és az Autoregressive Conditional Heteroscedasticity rövidítése. 8 Legyen ε(t GWN, ε(t N(, és i.i.d. Az X(t folyamatot az X(t = σ(tε(t egyenlettel adjuk meg, azaz egy (nemkonstans valószín ségi változószor egy fehér zaj. A valószín ségi változóra id t l függ szórásként gondolhatunk. Err l a szórásról azt feltételezzük, hogy a folyamat megel z értékét l (értékeit l függ. Ezért feltételes szórásként is értelmezhetjük, feltéve, hogy a folyamat múltját ismerjük. E szórást a σ (t = α + α X (t 8 Ez azt takarja, hogy a jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekt l (általában úgy, hogy a folyamat stacionárius maradjon.

6 egyenlet 9 határozza meg. Az egyenletben α, α nemnegatív valós konstansok. A feltételes szórásnégyzet D ( X(t X(t = x = α + α x az el z érték kvadratikus függvénye. A négyzet helyett más hatvány is szóba jöhet itt, de ez persze már általánosítás Power ARCH -nak szokás hívni. A fentebbi két egyenletb l kapjuk, hogy X (t = ( α + α X (t ε (t, de ez nem ekvivalens velük, mert pl. Gauss zajjal történ generálás mellett az egyesített egyenletnek akár nemnegatív X(t megoldása is lehet, míg az eredeti két egyenlet megoldása biztos, hogy negatív értékeket is felvesz. Keressük a stacionárius megoldást. Ehhez tegyük fel, hogy létezik ilyen, és iteráljuk az egyenletet: X (t = α ε (t + α α ε (t ε (t + α X (t ε (t ε (t X (t = α α j ε (t... ε (t j j= Ez utóbbi akkor írható fel így, ha α <, mert a maradéktagokban α egyre nagyobb hatványai jelennek meg, amik így nullához tartanak, miközben X(t stacionaritása és ε(t függetlensége, szórása miatt a valváltozók szorzata korlátos a maradéktagokban (pl. L norma szerint. Ha az összegzés és a várható érték felcserélhet, akkor EX (t = α j= α j Eε (t... Eε (t j = α α, ugyanis az ε(t-k várható értéke, így második momentumuk a szórásnégyzetükkel egyenl, ami, tehát egy egyszer mértani sort kellett összegeznünk. Ebb l látjuk, hogy α = esetén X(t az azonosan folyamat, ami nem túl érdekes. Ha az X(t = ε(t α ( + α k+ ε (t... ε (t k ( k= felírásban a szumma konvergál, akkor stacionárius folyamatot állít el, hiszen az η(t = ε(t + h zaj véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, és (X(t + h,..., X(t m + h-t ugyanúgy állíthatjuk el η-ból, mint (X(t,..., X(t m -et ε-ból, tehát az eloszlásaik megegyeznek Tétel. Ha α <, akkor ( konvergál, és az ARCH( egyenlet egyértelm, véges szórású, stacionárius megoldását adja. Ha nem követeljük meg a véges szórást, akkor α > -re is van stacionárius megoldás. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 3.. Megjegyzés. Ez a. állítás általánosítása. 3.. Következmény. Az ε(t és tagok függetlensége miatt EX(t = Eε(t E =, 9 Ebb l látszik, hogy a variancia függ a múlttól, azaz feltételes. Ez a megoldás véges szórásának megkövetelése mellett szükséges, egyébként csak elégséges feltétel.

7 továbbá Az autokovariancia pedig D X(t = α α. E ( X(t + hx(t = Eε(t + h E (. ε(t =, } {{ } t+h múltja mind azaz az ARCH( korrelálatlan, stacionárius, várható érték, tehát fehér zaj. Az ARCH( azonban nem független érték : E ( X (t X(t = [ α + α X (t ] E ( ε (t X(t, ahol ε (t és X(t függetlenek és Eε (t =, tehát E ( X (t X(t = α + α X (t. Ez pedig nem konstans valószín ségi változó, mint ahogy azt a függetlent l várnánk. Tehát az ARCH( nem is Gauss-eloszlású, hiszen akkor a korrelálatlanságából már a függetlenség is következne. Ezen kívül szimmetrikus zajból generálva az ARCH( szimmetrikus eloszlású, hiszen ε(t alakú, }{{} }{{} szimm. X nemneg. Y ami szimmetrikus eloszlású: (Biz.: Z = X Y mellett {Z > z} = {ω : Y (ω = y >, X(ω > z } és y {X < x} = {ω : Y (ω = y (y >, X(ω > z }, így P (Z > z = P (Z < z. y 3.. Állítás. Minden α (, -re létezik β, hogy EX β (t = Állítás. EX 4 (t pontosan akkor véges, ha 3α < Állítás. Ha EX 4 (t <, akkor az X (t autokorrelált és ACF-je ugyanaz, mint az AR(-nek α -gyel Deníció. Kicsit általánosabban ARCH(p az az X(t = σ(tε(t folyamat, ahol σ (t = α + p α i X (t i Megjegyzés. Az el z állítás AR(p-vel igaz ARCH(p-re. Innen a névben (ARCH az AR Állítás. Az ARCH(p feltételesen Gauss-eloszlású, ha adott X(t,..., X(t p. i= Tehát könny feltételes likelihood-ot számolni és a maximumhelyével paraméter becslést adni - de ez nem az igazi max likelihood ezért kvázi ML-nek hívják Deníció. További általánosításként bevezetjük a GARCH(p, q folyamat fogalmát, amely Bollerslev (986 nevéhez f z dik, és X(t = σ(t ε(t alakban deniálható, ahol ε(t i.i.d. várható értékkel és véges negyedik momentummal, és p q σ (t = α + α i X (t i + β j σ (t j i= Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity; a konkrét alkalmazásokban igen nagy p kellett az ARCHban. ez utóbbit nem muszáj feltenni, de így lesz jó a Bollerslev-tételben j= 3

8 3.9. Állítás. A GARCH(p, q is WN. (a bizonyítás nem nehéz 3.3. Megjegyzés. ε(t általában N(,, de stabilis is lehet. Az α i, β j konstansok pedig pozitívak (mert a bal oldalon egy szám négyzete van. Továbbá látható a σ (t el állításából, hogy a korábbi szórásokra és állapotokra feltételes Tétel (Bollerslev, A fenti GARCH(p, q gyengén, azaz másodrendben stacionárius, ha p q α i + β j <. És ekkor EX(t =, X(t W N, azaz R(τ = pozitív τ-ra, továbbá i= R( = D X(t = j= ( α < p α i + q β j. Ha megköveteljük D X(t végességét, akkor az együtthatók fenti összegére vonatkozó < feltétel szükséges is. Bizonyítás. A bizonyítás ugyanolyan folyamatos behelyettesítéssel történik, mint az ARCH( esetben. Legyen F t = σ{x(s : s t} ltráció. Ez megegyezik Ft ε = σ{ε(s : s t}-vel Állítás. Ha valamely t -ra σ(t F t -mérhet, akkor σ(t + F t -mérhet 3, így minden t t -ra σ (t F t -mérhet. Ezzel az ε(t-t l való függetlenség miatt a szorzatuk várható értéke Eσ(tε(t =, és Eσ (t σ (t + τ ε(t ε(t + τ =. Ez adja az R(τ = -ra vonatkozó állítást Deníció. Az X(t = A(tX(t + B(t egyenletet sztochasztikus rekurziós egyenletnek hívjuk (SRE, ahol A(t véletlen d d-s mátrix, B(t véletlen d-dimenziós vektor, továbbá (A(t, B(t i.i.d. sup x = Szokásos módon jelölje az euklideszi normát R d -ben, pedig az operátornormát, azaz A = Ax. A > azt jelenti, hogy A minden eleme pozitív. Kérdés a stacionárius megoldás létezése Deníció. γ = inf { E log A n... A n } ( -t Ljapunov-exponensnek nevezzük. Determinisztikus esetben a Ljapunov-exponens inf log A... A n n, azaz a "geometriai közép" logaritmusának inmuma Megjegyzés. Fürstenberg és Kesten egy, a nagy számok törvényéhez hasonló tétele szerint (szubadditív ergodtétel γ = lim log A n n... A n valószín séggel, tehát "kiválthatjuk" a várható értéket valószín ség konvergenciára Tétel. A t és B t független, azonos eloszlású, azaz i.i.d. Tegyük fel, hogy E log + A <, E log + B < és γ <. Ekkor az X n = B n + i= j= A n... A n k+ B n k k= 3 Ez teljesül, ha adaptált megoldását nézzük a GARCH egyenletnek. 4

9 sorozat valószín séggel konvergens, és ez az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldása a sztochasztikus rekurziós egyenletnek. Ha d =, a γ-ra tett feltétel. n E log A... A n = n E log ( A... A n = E log A < Deníció. Reguláris változás: Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α index-szel, ha van olyan (a n számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S t α Q(B S n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét 4. [ÁBRA] Megjegyzés. Egydimenzióban B S pont 5, és n P ( X > t a n const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n const t α. n Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 6, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t c + t α és P (X < t c t α Tétel (Kesten, Vervaat, Goldie, 99. Legyen (A t, B t i.i.d., A t nemnegatív elemekkel van kitöltve, B t szintén és nem nulla. Tegyük fel, hogy. E A ε <, valamilyen pozitív ε-ra. A nem degenerált 3. létezik olyan pozitív κ, hogy E 4. E ( A κ ln + A véges ( min i=,...,d j= κ d (A i,j d κ / 5. valamilyen s r csoport feltétel (Az {ln a n... a : n, a n... a > and a n,..., a suppp A } halmaz egy R-ben s r csoportot generál. Ekkor a következ k teljesülnek:. Létezik κ (, κ ] egyértelm megoldása a = lim n log E A n... A κ egyenletnek.. Létezik egyértelm (er sen stacionárius oksági megoldása az SRE-nek. 3. Ha E B κ véges, akkor X(t reguláris változású κ = α-val Megjegyzés. dimenzióban = log E A κ pontosan az = E A κ egyenlettel ekvivalens, tehát azt az abszolút momentumot keressük, amelyre éppen az értéke, és ez lesz a regularitási index. Felhasználtuk, hogy a függetlenség miatt log E A n... A κ = n log E A κ. 4 itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk 5 mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük 6 tehát t még n-nél is nagyobb 5

10 Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t = ax(t + bx(t ε(t + ε(t, ahol ε(t i.i.d., a, b pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t N(,. Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t = Y (t + ε(t, ahol Y (t = (a+b ε(tx(t = (a+b ε(t(y (t +ε(t = (a+bε(t Y (t +(aε(t+bε (t = A t Y (t +B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t, B t pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet (SRE, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós. Ha ε(t N(,, akkor A t N(a, b. Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás? Az, hogy E log A t < - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens πb log x e (x a b dx < alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ kielégíti az E a + b ε(t κ = egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ -gyel. (Ezt a κ -et persze nem könny kiszámolni. A feltételb l πb x κ e (x a b dx = π (by + a κ e y dy =, ahol fontos feltételezésünk az a =, hiszen a esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus volta miatt. Viszont ha a =, akkor már páros a függvény, így els lépésben a -tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = by helyettesítés. Ezután az y = t, dy = dt t helyettesítéssel = π bκ t κ e t bκ dt = t π t κ e t b κ dt = κ + π z κ e z dz, ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ + helyen. Azaz ( ( b κ κ + Γ = π. Ebb l pedig, felhasználva a Γ ( = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ + Γ ( κ = b. Például b = -re Γ ( ( κ + = Γ, így κ =. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. 6

11 Most b = -re nézve Γ ( ( 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 =, tehát κ =. Γ( b = π -re κ = ; b = 4 3 -re κ = 4; b = 6 π -re κ 3 = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π = 6 6 π = 6 π < Tehát a b = nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése. Ha X(t GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl X (t és σ (t beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t = A t X(t + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t = ( σt+,..., σt q+, Xt,..., Xt p+ α ε (t + β β... β q β q α α 3... α p A t =......, B t = (α,,..., ε (t Tétel. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ <, valamint α >. a Tegyük fel, hogy E log + ε( véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b Tegyük fel, hogy ε( abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε( h < minden h < h -ra, de E ε( h = valamely < h -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ, és w(x véges érték függvény, hogy minden x R d \{}-ra lim u κ P ( x, X > u = w(x létezik, azaz x, X reguláris változású κ indexszel. u Továbbá ha κ nem páros, akkor X reguláris változású κ indexszel. c Ha az ε( s r ségfüggvénye a egy környezetében pozitív, akkor X(t er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz Megjegyzés. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α >, Eε( = és Eε (t =. Ekkor i γ < szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. ii iii q β j < szükséges γ < -hoz j= p α i + q β j < elégséges γ < -hoz (ez egy nagyon er s feltétel i= j= iv ha ε(t véges tartójú, nincs atomja -ban, α i, β j >, akkor p α i + q β j = elégséges γ < -hoz. i= j= 7

12 Nézzük az ARCH( esetét! Láttuk, hogy X(t = σ(t ε(t, négyzetre emelve pedig X (t = σ (t ε (t, ahol σ (t = α + α X (t. Ezt behelyettesítve X (t = ( α + α X (t ε (t = A t X (t + B t, ahol A t = α ε (t és B t = α ε (t, tehát (A t, B t i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH(-et és a bilineáris modellt X (t = α X (t ε (t + α ε (t, X(t = bx(t ε(t + ε(t + ax(t, láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 7. A γ Ljapunov-exponens negativitásához az kell, hogy E log A = E log α ε (t = log α + E log(ε (t < legyen. Mivel ε(t standard normális eloszlású, így E log(ε (t = E log(ε(t = log(ε(t e ε (t dε(t, π ahonnan ε(t = X helyettesítéssel kapjuk, hogy log(x e x π x dx = log( Γ ( e x x dx + log(x Γ ( e x x dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ (. Vegyük észre, hogy Γ( e x x éppen a Γ eloszlás s r ségfüggvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl, log + Γ ( log(xe x x dx-szel. Felhasználva, hogy Γ (y = e x (x y dx = e x log(xx y dx kapjuk, hogy log + Γ( Γ (. Γ (z pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az helyen Γ(z C log(, ahol C az Euler-konstans 8. Így végül E log(ε (t = log( C log( = log( C. Innen α > -ra E log A = log α log C <, ami pontosan akkor teljesül, ha < α < e C 3, Tehát ezen tartományban a Ljapunov-exponens negatív. Nyilván E log + A <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α -ra E log + B is véges. Nézzük a regularitás kérdését < α < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = egyenletet. E α ε (t κ = α κ Eε κ = 9 α κ π x κ e x dx = 7 X(t az ( egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t -t l függ vel n ( 8 C = lim n k log n = [x] x dx k= 8

13 Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x, ezzel dx = dt = t t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ κ t κ e t dt = (α κ π t π Ezzel (α κ Γ ( κ + t (κ+ e t dt = (α κ ( Γ κ + = h(κ =. π = π. Speciálisan α = -re κ = jó választás, mert π = Γ ( Állítás. h(κ szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ = -nek. Továbbá erre a megoldásra κ >, ha α (, κ =, ha α = κ <, ha α (, e C Megjegyzés. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α,,3,5,7,9,,5,,5 3 3,5 κ 3,4 4,8,37,59,5,,54,3,7,75, Tétel. Ha α >, < α < e C, és ε(t N(, Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH( egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m =,..., p-re az EX(t m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t stacionárius ARCH( folyamat, ε(t GWN, és α >, < α <, akkor egyrészt X második momentuma α α, másrészt α < esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá 3 EX 4 = 3α + α, 3α α innen a lapultság (kurtosis.. r X (t = corr(x t, X = α t minden t-re. Tehát az ARCH( α = -ra GWN. < α < -re stacionárius véges szórással. α < e C -re stacionárius végtelen szórással Tétel. Legyen X(t ARCH(, α >, < α < e C, ε(t GWN és κ a h(κ = egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t > x d x κ, ha x. Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. 9 páros függvényt integrálunk Kurt X = E(X(t4 = 3 α (E(X(t 3α d kiszámolható pozitív konstans > 3 9

14 A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg. További nemlineáris modellek Deníció. Véletlen együtthatós AR(p modellt deniál a következ : ahol A i -k valószín ségi változók. X(t = p A i X(t i + ε(t, i= Példa. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t = (α + A t X(t + ε(t, ahol A(t i.i.d. várható értékkel és σ A szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t függetlenek, ε(t N(, σ ε i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α + σ A < Deníció. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, azaz hozzunk létre egy partíciót, így k R i = R p. Ha X(t,..., X(t p R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p modell i= legyen érvényes rá. Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre Példa. SETAR(,,: X(t = { α X(t + ε(t ha X(t > α X(t + ε(t ha X(t Erre X(t geometrikusan ergodikus, ha α <, α < és α α <. Petrucelli és Woolford 984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele Deníció. EXPAR: X(t = p j= Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták Deníció. Product AR(p: [ ] α j + β j e δx (t X(t j + ε(t ahol ε(t i.i.d. p X(t = ε(t µ i X(t i, i= Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak. 3

15 3.53. Deníció. Nemlineáris AR(p: X(t = f(x(t,..., X(t p + ε(t Megjegyzés. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell -nél kisebbnek lennie Deníció. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t = f(ε(t, ε(t,... végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal Tétel (Herglotz. Az R(τ (τ Z sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gaussfolyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i R(τ = π π e iτλ df (λ. Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii R(τ = π π e iτλ ϕ(λdλ alakban írható, ahol (i a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ pedig a spektráls r ségfüggvény. (ii-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ véletlen spektrálmérték, hogy X(t = π π e itλ φ(dλ Tétel. A stacionárius AR(p folyamatnak létezik spektrál-s r ségfüggvénye, és az ϕ(λ = σ π P (e iλ = σ π P (e iλ P (e iλ Állítás. A fehér zaj spektráls r sége ϕ =, azaz konstans a [ π, π] intervallumon. π Tétel. A stacionárius MA(q folyamat spektráls r sége ϕ(λ = π Q(eiλ Tétel. Az ARMA folyamat spektráls r sége π Q(eiλ P (e iλ Speciálisan AR(-re R( = σ X, a spektráls r ség pedig ϕ(λ = R( { + π k=. r(k e ikλ } = Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( kλ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább ( ( ( ( = σ X π + α k cos(kλ = σ X π Re + (αe iλ k = σ X α e iλ π + Re α e iλ k= = k= σ ε π( α cos λ + α = σ ε π αe iλ. 3

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

7-8-9. előadás Idősorok elemzése

7-8-9. előadás Idősorok elemzése Idősorok elemzése 7-8-9. előadás 2015. október 19-26. és november 2. Idősor fogalma sokasági szemlélet: elméleti idősor - valószínűségi változók egy indexelt {Y t, t T } családja, avagy időtől függő véletlen

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

KALKULUS II. PÉLDATÁR

KALKULUS II. PÉLDATÁR Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŽ Fazekas István Lajkó Károly KALKULUS II. PÉLDATÁR Programozó és programtervez

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen:

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Virág Bálint Véletlen Gráfok/1 Véletlen gráfok Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Mind az olaj, mind a víz bekerül egy rendszerbe, mely makroszinten

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz

Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Gyakorló feladatok a Közönséges dierenciálegyenletek kurzushoz Vas Gabriella 204. február A feladatgy jtemény a TÁMOP-4.2.4.A/2-/-202-000 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Az idősorelemzés alapjai Gánics Gergely 1 gergely.ganics@freemail.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Tizenegyedik előadas Tartalom Stacionaritás kérdései 1 Stacionaritás kérdései 2 3 (Nem)stacionaritás

Részletesebben

Frakciona l differencia lt folyamatok e s kointegra cio

Frakciona l differencia lt folyamatok e s kointegra cio EO TVO S LORA ND TUDOMA NYEGYETEM TERME SZETTUDOMA NYI KAR Frakciona l differencia lt folyamatok e s kointegra cio I rta: Stark Andra s Alkalmazott matematikus MSc Te mavezeto : Pro hle Tama s Valo szı

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben