4. fejezet. Nemlineáris folyamatok Egy nemlineáris fehér zaj
|
|
- Lilla Szekeres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 4
2 4. fejezet Nemlineáris folyamatok 4.1. Egy nemlineáris fehér zaj Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték Proposition. Legyen e(t) i.i.d. sorozat 0 várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t) = e(t) + β e(t 1) e(t ). Jel.: W N(β) Ekkor ε(t) fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t 1) helyett ε(t 1) kellene, hogy bilineáris legyen). Bizonyítás: 43
3 44 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Eε(t) = Ee(t) + β Ee(t 1) Ee(t ) = 0 R(0) = D ε(t) = D e(t) + β D (e(t 1) e(t )) = σe + β σe 4 R(1) = Eε(t)ε(t + 1) 0 = = E [e(t) + βe(t 1)e(t )] [e(t + 1) + βe(t)e(t 1)] = 0, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és 0 várható érték tag. Továbbá R() = 0 + βee(t 1) e(t ) = 0 ugyanúgy, mint fenn, és R(τ) = 0 τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t) fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem 0 a várható értéke, azaz Eε(t 1) ε(t) ε(t + 1) 0. Ugyanis ez egyenl E ([e(t 1) + βe(t )e(t 3)] [e(t) + βe(t 1)e(t )] [e(t + 1) + βe(t)e(t 1)]) = β E ( e (t) e (t 1) ) = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns) nem 0, így W N(β) nem független érték fehér zaj.
4 4.1. EGY NEMLINEÁRIS FEHÉR ZAJ 45 Legyen e(t) N(0, 1). Ekkor ε(t) eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t) és ε(t 1) együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β), azaz Y (t) Y (t 1) = ε(t) = e(t) + βe(t 1)e(t ). Erre EY (t) = 0, a szórásnégyzet pedig D Y (t) = D ( t i=1 Y (i) Y (i 1) ) = t D (Y (k) Y (k 1)) = = t D ε(t) = t σe(1 + β σe). (Ehhez Y (0) = c-nek (c = 0) teljesülnie kell 1 valószín séggel, mert így a teleszkópos összeg után Y (t) Y (0) marad.) Ezért t esetén D Y (t) tart végtelenbe O(t) nagyságrendben, így Y (t) egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat).
5 46 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK 4.. A bilineáris modell Denition. Bilineáris folyamat: BL(p, q, P, Q), X(t)+ p a i X(t i) = ε(t) + }{{} zaj i=0 } {{ } AR komponens q b j ε(t j) + j=0 } {{ } MA komponens P i=1 Q c ij X(t i)ε(t j), j=1 ahol ε(t) i.i.d. 0 várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris) tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt ban 1. Most vizsgáljuk a BL(1, 0, 1, 1)-et a c 1,1 = c jelölés mellett: X(t) ax(t 1) = ε(t) + cx(t 1)ε(t 1). A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld. SubbaRao- Gabr. Meg lehet mutatni, hogy µ = EX(t) = c σ ε 1 a konstans, m = EX (t) = σ ε(1 + cσε + 4acµ). 1 a c σε 1 Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius.
6 4.. A BILINEÁRIS MODELL 47 Nyilván R(0) = m µ, továbbá S(1) = E(X(t)X(t + 1)) = am + cσ εµ, és S(s) = E(X(t)X(t + s)) = as(s 1) + cσ εµ, azaz S(s) nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig R(s) = S(s) µ, S(s 1) = R(s 1) + µ, tehát felírhatjuk, hogy R(s) = a [ R(s 1) + µ ] + cσ εµ }{{} (1 a)µ µ = = ar(s 1) + aµ + (1 a)µ µ = ar(s 1). Ezzel azt kaptuk, hogy R(s) = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR(1)- t l, ARMA(1, 1)-t l. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispek- Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fouriertranszformáltja.
7 48 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK trum 3 4. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a + c 1. X(t) s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a c -t, ugyanis erre f( a ) = +, és határértékben is c végtelenbe tart. Minden a 0-ra és minden pozitív A-ra f c (x) c 0 f 0 (x) egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint, ha X(t) BL(p, q, P, Q), akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú Egyszer bilineáris modell X(t) = β X(t k) ε(t l) + ε(t) diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása nem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! Szuperdiagonális modell: EX(t) = β E [X(t k + l)e (ε(t) ε(t l))] + E E(ε(t) ε(t l)) = 0. EX(t) X(t j) = 0 hasonlóan számolható. 3 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz). Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 4 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény) Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra 0. Gyakran használják linearitás tesztekre.
8 4.. A BILINEÁRIS MODELL 49 Diagonális modell: EX(t) = β µ, ahol µ = E ( ε(t) ε(t 1) ), speciálisan µ = σε, ha ε(t) i.i.d. cov (X(t), X(t j)) = 0, ha j k és cov (X(t), X(t k)) = β µ. Tegyük fel még, hogy ε(t) i.i.d. és ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Eε p 1 = 0, p = 1,..., 4, β 4 µ 4 < 1, cov ( X (t), X (t j) ) = 0 1 j k 1. Szuperdiagonális modell: cov ( X (t), X (t j) ) = 0, ha j = 1,..., l 1, l + 1,..., k 1 és j k l. Egyébként: cov ( X (t), X (t j) ) = β4 µ (µ 4 µ ) 1 β 4 µ EX(t).
9 50 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Legyen Y (t) Y (t 1) = X(t), ahol X(t) BL(1, 0, 1, 1). Behelyettesítve X(t) formuláját kapjuk, hogy Y (t) (1 + a)y (t 1) + ay (t ) = = cy (t 1)ε(t 1) cy (t )ε(t 1) + ε(t), azaz Y (t) BL(, 0,, 1) lesz. De míg az el z modellben a < 1-re stacionárius a folyamat, az itt lév AR() "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR() karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal). Ez pedig a z (1 + a)z + a, aminek a z = 1 tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat ARCH processes and their generalisations The ARCH(1) process The ARCH acronym stands for Autoregressive Conditional Heteroscedasticity 5. These processes are most popular in nancial modelling, but also have an increasing number of applications in environmental sciences, physics and elswhere. The ARCH(1) process was introduced by Robert F. Engle in 198, and later he received a Nobel prise for this nding. Let ε(t) be an independent value noise, and let us suppose it to have unit variance Eε (t) = 1, when the variance is nite at all. Often but not 5 The word heteroscedasticity comes from the Greek "skedastikos" σκεδαστικως which means "able to disperse".
10 4.3. ARCH PROCESSES AND THEIR GENERALISATIONS 51 always ε(t) N(0, 1) i.e. it is a Gaussian white noise. The X(t) ARCH(1) process is dened by the equation X(t) = σ(t)ε(t) (4.3.1) meaning that it is given as the product of a time-dependent random variable and an independent value noise. The interpretation that the random variable is a time-dependent standard deviation lends itself naturally. The time-dependent standard deviation is supposed to be dependent on the immediate past value of the process. Hence it is random and it is interpreted as conditional standard deviation, given the previous value of the process. Instead of the standard deviation it is rather its square, the variance that we give conditionally prescribing the equation σ (t) = α 0 + α 1 X (t 1). (4.3.) Here α 0, α 1 are non negative constants. The conditional variance D ( X(t) X(t 1) = x ) = α 0 + α 1 x is a quadratic function of the value of the process at the preceeding time. This can be generalised by taking an arbitrary power function instead of the square, and the obtained model is called the Power ARCH one. Remaining at the classical quadratic setup, by simple substitution the two model equations yield an expression for the squared of the original process as
11 5 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK X (t) = ( α 0 + α 1 X (t 1) ) ε (t),. (4.3.3) However this form is not equivalent with the original two model equations. This can be seen for example from the fact that when the driving noise is a Gaussian white noise, the original equations can not have a non-negative solution, while the latter equation can have it. On the other hand if a process X(t) solves equations 4.3.1, 4.3., then it is clearly a solution to We are now looking for the stationary solution of equations 4.3.1, Let us start to iterate equation X (t) = α 0 ε (t) + α 1 α 0 ε (t) ε (t 1) + α 1 X (t ) ε (t) ε (t 1) X (t) = α 0. α j 1 ε (t)... ε (t j). j=0 Again, the solution of the original equations has to satisfy this latter equation. However, at this point we cannot simply take square root. Further considerations, not presented here, show that the stationary solution of equations 4.3.1, 4.3. can be given as X(t) = ε(t) α0 (1 + k=0 α k+1 1 ε (t 1)... ε (t k 1) ) (4.3.4)
12 4.3. ARCH PROCESSES AND THEIR GENERALISATIONS 53 whenever the sum in the expression is convergent. It turns out that the sum will be convergent in the L sense if and only if 0 < α 1 < 1 and the solution obtained in will have nite second moment i.e. variation. This we can formulate in the following proposition Theorem. Suppose 0 < α 0 in equation 4.3., and for the independent value noise ε(t) = 1 holds. If in addition 0 < α 1 < 1 then is the unique weakly stationary causal solution of equations 4.3.1, On the other hand if 1 < α 1, then no weakly stationary solution exists. Note here immediately, that weak stationarity implies the niteness of the variance of the solution, so the fact that no weakly stationary solution exists when 1 < α 1, does not exclude the exsistence of a strictly stationary solution for that matter - which is indeed quite often the case. Observe, that the theorem is valid independently of the distribution of the noise. We do not fully prove the theorem here. In fact it should be shown that the square root term is the conditional variance and then equation immediately gives the solution. We can see however, that if the sum in converges, then the formula produces a stationary and causal process. Causality is trivial, stationarity follows the same way as in the AR(1) case. The representation η(t) = ε(t + h) produces a new independent value noise which is identical in distribution with ε(t). Any vector (X(t 1 + h),..., X(t m + h)) can be computed from η absolutely the same way as (X(t 1 ),..., X(t m )) from ε(t), therefore their distributions are the same. We can also see from
13 54 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK here that whenever we can prove convergence, we have strict stationarity. And convergence here does not necessary in the L sense. Convergence with probability 1 may - and does - work without the assumption of nite variance, and gives the stationary solution in a broader case. Compute now the second moment of the solution. If the sum and the expectation can be interchanged, then using the independence of the noise values we have EX (t) = α 0 j=0 α j 1 Eε (t)... Eε (t j) = α 0 1 α 1. This sum is nite only if 0 < α 1 < 1. If α 1 1 then the sum is not convergent, but this fact by itself still does not prove the necessity of the condition 0 < α 1 < 1 for the existence of a nite variance solution. We may also see from here, that if α 0 = 0 then the solution is the identically 0 process Corollary (1). As an immediate consequence of the theorem we can see that E X(t) = 0. The terms ε(t) and in are independent, because under the square root there are noise values earlier than t. Because of this independence EX(t) = Eε(t) E = 0, továbbá
14 4.3. ARCH PROCESSES AND THEIR GENERALISATIONS Corollary (). D X(t) = α 0 1 α 1. Indeed the variance equals the second moment that we calculated earlier, because of the 0 expectation Corollary (3). The ARCH(1) process is a white noise. For the autocovariances of lags greater than 0 we have E ( X(t + h)x(t) ) = Eε(t + h) E (. ε(t) ) = 0, }{{} From the past of t+h meaning that the stationary ARCH(1) has uncorrelated values, identical distributions - because of stationarity - and 0 expectation, hence it is a white noise. However the ARCH(1) process does not have independent values. The conditional expectation E ( X (t) X(t 1) ) = [ α 0 + α 1 X (t 1) ] E ( ε (t) X(t 1) ). Here ε (t) and X(t 1) are independent, so the conditional expectation equals the unconditional and Eε (t) = 1, therefore E ( X (t) X(t 1) ) = α 0 + α 1 X (t 1). Were the values X(t), X(t 1) independent, the conditional expectation would equal the unconditional, meaning a non-random value, but what we got on the right hand is a random variable.
15 56 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Corollary. The stationary distribution of an ARCH(1) process cannot be Gaussian. The ARCH(1) process is a white noise but a Gaussian white noise has independent values which is not possible for an ARCH(1) process Proposition. The ARCH(1) process has symmetric stationary distribution when the generating noise also has symmetric distribution. This is true because the solution is obtained by as a product ε(t) of independent random variables with symmetric and }{{}}{{} symmetric non negative non-negative distributions. Let us thik it over: if Z = X Y with independent random variables X and Y with symmetric and non-negative distributions respectively, then and {Z > z} = {Z < z} = and hence P (Z > z) = P (Z < z). { ω : Y (ω) = y, y > 0, X(ω) > z } y { ω : Y (ω) = y, y > 0, X(ω) < z }, y Proposition. When X(t) is a stationary ARCH(1) process then for every α 1 (0, 1) there exists a β > 0 so that EX β (t) = Proposition. When X(t) is a stationary ARCH(1) process generated from a Gaussian white noise then EX 4 (t) < exactly when 3α 1 < 1.
16 4.3. ARCH PROCESSES AND THEIR GENERALISATIONS Proposition. When X(t) is a stationary ARCH(1) process with EX 4 (t) <, then X (t) is autocorrelated and its autocorrelation function coincides with that of an AR(1) process with parameter α The ARCH(p) process Denition. The ARCH(p) process is dened as the solution of the equation X(t) = σ(t)ε(t), where σ (t) = α 0 + p α i X (t i), i=1 and ε(t) is an independent value noise having either unit or innite variance Remark. When X(t) is a stationary ARCH(p) process with EX 4 (t) <, then X (t) is autocorrelated and its autocorrelation function coincides with that of an AR(p) process with parameters α 1,, α p. Hence the AR part in the name Proposition. When generated from a Gaussian white noise the ARCH(p) process has conditionally Gaussian gistributions, given X(t 1),..., X(t p). This statement enables us to compute the conditional likelihood and estimate the ARCH parameters by maximising it. This is not the true maximum likelihood estimator though, its name is quasi maximum likelihood estimator.
17 58 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK The GARCH(p, q) process The ARCH(p) model can be generalised further. The name of this generalisation is the Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedastic or GARCH(p, q) model. Its invention was motivated by the fact that very large order was often necessary in the applications to achieve good model t. Heuristically speaking the uncertainty depends on not only the previous values of the process, but also on the previous uncertanties Denition (GARCH(p,q)). The model was invented in 1986 by Tim Bollerslev. According to it X(t) = σ(t) ε(t), where ε(t) is an independent value noise, furthermore σ (t) = α 0 + p α i X (t i) + i=1 q β j σ (t j), j=1 where α i > 0, β i > 0 constants Theorem. Suppose 0 < α 0 in the GARCH(p, q) model, and for the independent value noise ε(t) = 1 and ε(t) 4 < holds. If in addition p q α i + β j < 1. (4.3.5) i=1 j=1 holds then there exists a unique weakly stationary causal solution of the GARCH(p, q) equations. If we require the existence of a nite variance of the solution to the GARCH(p, q) equations then holds true, i.e. the condition is necessary.
18 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 59 The proof can either be carried through by a similar iteration as in the ARCH(1) case or by using more general results, as we will see later Proposition. The GARCH(p, q) process is a white noise. The proof is similar to the ARCH(1) case. The variance of the process can also be computed as: R(0) = D X(t) = α 0 ( ). p 1 α i + q β j i=1 j=1 The ltration F t = σ{x(s) : s t} generated by the GARCH(p, q) process coincides with the ltration of the noise : Ft ε = σ{ε(s) : s t} Proposition. Suppose there exists a t 0 so that σ(t 0 ) is F t0 - measurable, then σ(t 0 + 1) is also F t0 -measurable by the equations, and so for every t t 0 the conditional variance σ (t) is F t 1 -measurable, i.e. σ (t) is predictable. If the solution is causal then F t 1 is independent from ε(t) and hence the expectation of the product Eσ(t)ε(t) = 0 and Eσ (t) σ (t + τ) ε(t) ε(t + τ) = 0. This proves the white noise property of the GARCH(p, q) process Stochastic Recursion Equations SRE Denition. The X(t) = A t X(t 1) + B t (4.4.1)
19 60 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK equation with the d d random matrix A t and the d dimensional random vector B t is called stochastic recursion equation (SRE), if (A t, B t ) is an i.i.d sequence. Let us call attention to the dierence from the previous models that the coecients are now time dependent and random. Let denote the euklidean norm in R d and the operator norm i.e. A = sup Ax as usual. A > 0 denotes that every item in the matrix A x =1 is positive. We now focus on the existence of the stationary solution of the SRE Denition. The Ljapunov-exponent of the SRE is γ = inf { 1 n E log A 1... A n }. (4.4.) In the deterministic case the Ljapunov-exponent is ( ) inf log A 1... A n 1 n, that is the inmum of the logarithm of the geometric mean of the coecients. The Ljapunov-exponent as we dene it is often called in the literature the top Ljapunov-exponent. We will not consider any other type of Ljapunov-exponents so we omit the top in the name Remark. It is possible to prove a theorem called the subadditive ergodic theorem which is similar to the law of large numbers and was proven by Fürstenberg and Kesten. It states that
20 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 61 1 γ = lim n n log A 1... A n, where the limit is taken with probability 1. So the expectation can be replaced by the limit with probability 1. This theorem is useful when one would like to simulate from the solution Theorem. Suppose we are given the SRE 4.4.1, and the coecients satisfy E log + A 1 <, E log + B 1 < and γ < 0. Then the sequence X n = B n + A n... A n k+1 B n k k=1 converges with probability 1 and the limit is the unique, strictly stationary, causal solution of the SRE. When d = 1 the Ljapunov-exponent simplies as 1 n E log A 1... A n = 1 n E log ( A 1... A n ) = E log A 1, and the γ < 0 condition transforms to E log A 1 < 0.
21 6 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Denition. Regularly varying distribution Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α 0 index-szel, ha van olyan (a n ) számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S ) t α Q(B S ) n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét Remark. Egydimenzióban B S 1 pont 7, és n P ( X > t a n ) const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n) const n t α. Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 8, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t) c + t α és P (X < t) c t α Theorem (Kesten, Vervaat, Goldie, 1991). Let us given an SRE with coecients A t > 0 and B t > 0 i.e. the elements of the matrix and the coordinates of the vector are all positive. Suppose the following ve conditions are satised: 1. E A 1 ε < 1 for some positive ε,. A 1 is non-degenerate, 6 itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk 7 mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük 8 tehát t még n-nél is nagyobb
22 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE there exists a positive κ 0 so that E 4. E ( A 1 κ 0 ln+ A 1 ) <, 5. dense group condition: the set ( min i=1,...,d j=1 ) κ0 d (A 1 ) i,j d κ0/, {ln a n... a 1 : n 1, a n... a 1 > 0 and a n,..., a 1 suppp A1 } generates a dense group in R. Then the followings hold true: 1. There exists the unique solution κ 1 (0, κ 0 ] of the equation 0 = lim 1 n log E A n... A 1 κ 1.. There exists a unique, strictly stationary, causal solution of the SRE. 3. If in addition E B κ 1 <, then the above mentioned solution X(t) has a regularly varying distribution with regularity index κ 1 = α Remark. In 1 dimension log E A n... A 1 κ 1 = n log E A 1 κ 1 therefore in the equation prescribed for κ 1 the limit can be omitted and the equation simplies to 0 = log E A 1 κ 1. This is clearly equivalent to 1 = E A 1 κ 1 and therefore in 1 dimension this latter equation species the regularity index.
23 64 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Az els rend bilineáris modell stacionárius eloszlása Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t) = ax(t 1) + cx(t 1)ε(t 1) + ε(t), ahol ε(t) i.i.d., a, c pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t) N(0, 1). Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t) = Y (t 1) + ε(t), ahol Y (t) = (a + c ε(t))x(t) = (a + c ε(t))(y (t 1) + ε(t)) = = (a + cε(t)) Y (t 1) + (aε(t) + cε (t)) = A t Y (t 1) + B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t 1, B t 1 pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós). Ha ε(t) N(0, 1), akkor A t N(a, c ). Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás? Az, hogy E log A t < 0 - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens 1 πc log x e (x a) c dx < 0 alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ 1 kielégíti az E a + c ε(t) κ 1 = 1
24 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 65 egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ 1 -gyel. (Ezt a κ 1 -et persze nem könny kiszámolni.) A feltételb l 1 πc x κ1 e (x a) c dx = π (cy + a) κ1 e y dy = 1, 0 ahol fontos feltételezésünk az a = 0, hiszen a 0 esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus) volta miatt. Viszont ha a = 0, akkor már páros a függvény, így els lépésben a 0-tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = cy helyettesítés. Ezután az y = t, dy = 1 dt helyettesítéssel t 1 = π cκ 1 0 t κ 1 e t = cκ 1 κ 1 +1 π 1 cκ1 dt = t π 0 0 z κ 1 1 e z dz, t κ 1 1 e t dt = ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ 1+1 helyen. Azaz ( c) κ ( ) 1 κ1 + 1 Γ = 1. π Ebb l pedig felhasználva a Γ ( 1 ) = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ1 ) +1. Γ ( ) 1 ) 1 κ 1 = c
25 66 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Például c = 1 -re Γ ( κ 1 ) ( +1 = Γ 1 ), így κ1 = 0. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. Most c = 1-re nézve Γ ( ( ) ) 1 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 ) = Γ( 1 ), tehát κ1 =. c = π -re κ 1 = 1; c = 4 3 -re κ 1 = 4; c = 6 π 3 -re κ 1 = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π 3 = π 4 = 1 6 π 4 < 1. Tehát a c = 1 nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a 0, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése A GARCH(p, q) modell stacionárius megoldása és eloszlása Ha X(t) GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl ) X (t) és σ (t) beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t) = A t X(t 1) + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t) = ( ) σt+1,..., σt q+, Xt,..., Xt p+
26 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 67 α 1 ε (t) + β 1 β... β q 1 β q α α 3... α p A t = , B t = ε (t) (α 0, 0,..., 0) Theorem. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ < 0, valamint α 0 > 0. a) Tegyük fel, hogy E log + ε(1) véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b) Tegyük fel, hogy ε(1) abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε(1) h < minden h < h 0 -ra, de E ε(1) h 0 = valamely 0 < h 0 -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ 1, és w(x) véges érték függvény, hogy minden x R d \{0}-ra lim u u κ 1 P ( x, X 1 > u) = w(x) létezik, azaz x, X 1 reguláris változású κ 1 indexszel. Továbbá ha κ 1 nem páros, akkor X 1 reguláris változású κ 1 indexszel. c) Ha az ε(1) s r ségfüggvénye a 0 egy környezetében pozitív, akkor X(t) er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz).
27 68 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Remark. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α 0 > 0, Eε(1) = 0 és Eε (t) = 1. Ekkor i) γ < 0 szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. q ii) β j < 1 szükséges γ < 0-hoz iii) j=1 p α i + q β j < 1 elégséges γ < 0-hoz (ez egy nagyon er s feltétel) i=1 j=1 iv) ha ε(t) véges tartójú, nincs atomja 0-ban, α i, β j > 0, akkor q β j = 1 elégséges γ < 0-hoz. j=1 p α i Az ARCH(1) modell er s stacionaritása Nézzük az ARCH(1) esetét! Láttuk, hogy X(t) = σ(t) ε(t), négyzetre emelve pedig X (t) = σ (t) ε (t), ahol σ (t) = α 0 + α 1 X (t 1). Ezt behelyettesítve X (t) = ( α 0 + α 1 X (t 1) ) ε (t) = A t X (t 1) + B t, ahol A t = α 1 ε (t) és B t = α 0 ε (t), tehát (A t, B t ) i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH(1)-et X (t) = α 1 X (t 1) ε (t) + α 0 ε (t), és a bilineáris modellt X(t) = bx(t 1) ε(t 1) + ε(t) + ax(t 1), i=1
28 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 69 láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 9. A γ Ljapunovexponens negativitásához az kell, hogy E log A 1 = E log α 1 ε (t) = log α 1 + E log(ε (t)) < 0 legyen. Mivel ε(t) standard normális eloszlású, így E log(ε 1 (t)) = E log(ε(t)) = log(ε(t)) e ε (t) dε(t), π ahonnan ε(t) = X helyettesítéssel kapjuk, hogy 1 log(x) e x 1 1 π x 1 dx = log() Γ ( 1 )e x x 1 1 dx+ 1 log(x) Γ ( 1 )e x x 1 1 dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ ( ) 1. Vegyük észre, hogy 1 Γ( 1 ) e x x 1 1 éppen a Γ 1,1 eloszlás s r ség-függvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl Felhasználva, hogy Γ (y) = log + 1 Γ ( ) 1 e x (x y 1 ) dx = log(x)e x x 1 1 dx-szel. e x log(x)x y 1 dx 0 0 kapjuk, hogy log + Γ( 1 1 ) Γ ( 1 ). Γ (z) Γ(z) pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az 1 helyen C log(), ahol C az Euler-konstans10. Így végül E log(ε (t)) = log() C log() = log() C. 9 X(t 1) az egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t 1)-t l függ vel ( n ) ( ) 10 1 C = lim n k log n 1 = [x] 1 x dx k=1 1
29 70 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Innen α 1 > 0-ra E log A 1 = log α 1 log C < 0, ami pontosan akkor teljesül, ha 0 < α 1 < e C 3, Tehát ezen tartományban a Ljapunovexponens negatív. Nyilván E log + A 1 <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α 0 -ra E log + B 1 is véges Az ARCH(1) modell stacionárius eloszlásának regularitása Nézzük a regularitás kérdését 0 < α 1 < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = 1 egyenletet. E α 1 ε (t) κ = α κ 1 Eε κ 11 = α κ 1 1 π 0 x κ e x dx = Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x 1, ezzel dx = dt = 1 t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ 1 π 0 1 κ t κ e t dt = (α 1 ) κ 1 t π 0 t t (κ+ 1) 1 e t dt = (α 1 ) κ 1 ( κ + 1 ) = π Γ Ezzel (α 1 ) κ Γ ( κ + 1 ) = π. Speciálisan α1 = 1-re κ = 1 jó választás, mert π = Γ ( 3) Proposition. h(κ) szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ) = 1-nek. Továbbá erre a megoldásra κ > 1, ha α 1 (0, 1) κ = 1, ha α 1 = 1 11 páros függvényt integrálunk
30 4.4. STOCHASTIC RECURSION EQUATIONS SRE 71 κ < 1, ha α 1 (1, e C ) Remark. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α 1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,5,0,5 3 3,5 κ 13,4 4,18,37 1,59 1,15 1,0 0,54 0,31 0,17 0,075 0, Theorem. Ha α 0 > 0, 0 < α 1 < e C, és ε(t) N(0, 1) Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH(1) egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m = 1,..., p-re az EX(t) m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t) stacionárius ARCH(1) folyamat, ε(t) GWN, és α 0 > 0, 0 < α 1 < 1, akkor egyrészt X második momentuma α 0 1 α 1, másrészt α 1 < 1 3 esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá EX 4 = 3α α 1 1 3α1, 1 α 1 innen a lapultság (kurtosis). 1. r X (t) = corr(x t, X 0) = α t 1 minden t-re. Tehát az ARCH(1) α 1 = 0-ra GWN. 0 < α 1 < 1-re stacionárius véges szórással. 1 Kurt X = E(X(t)4 ) = 3 1 α (E(X(t) )) 1 > 3 1 3α 1
31 7 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK 1 α 1 < e C -re stacionárius végtelen szórással Theorem. Legyen X(t) ARCH(1), α 0 > 0, 0 < α 1 < e C, ε(t) GWN és κ a h(κ) = 1 egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t) > x) d x κ, ha x. 13 Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg) További nemlineáris modellek Véletlen együtthatós autoregresszió Denition. Véletlen együtthatós AR(p) modellt deniál a következ : p X(t) = A i X(t i) + ε(t), i=1 ahol A i -k valószín ségi változók Példa. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t) = (α + A t )X(t 1) + ε(t), 13 d kiszámolható pozitív konstans
32 4.5. TOVÁBBI NEMLINEÁRIS MODELLEK 73 ahol A(t) i.i.d. 0 várható értékkel és σa szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t) függetlenek, ε(t) N(0, σε) i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus) oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α +σa < Küszöb modellek Denition. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, k azaz hozzunk létre egy partíciót, így R i = R p. Ha X(t 1),..., X(t p) R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p) modell legyen érvényes rá. i=1 Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR) modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre Példa. SETAR(,1,1): α 1 X(t 1) + ε(t) ha X(t 1) > 0 X(t) = α X(t 1) + ε(t) ha X(t 1) 0 Erre X(t) geometrikusan ergodikus, ha α 1 < 1, α < 1 és α 1 α < 1. Petrucelli és Woolford 1984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele Denition. EXPAR: X(t) = p ε(t) j=1 [ ] α j + β j e δx (t 1) X(t j) + Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták.
33 74 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Multiplikatív autoregresszió Denition. Product AR(p): p X(t) = ε(t) µ i X(t i), i=1 ahol ε(t) i.i.d. Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak Denition. Nemlineáris AR(p): X(t) = f(x(t 1),..., X(t p)) + ε(t) Remark. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell 1-nél kisebbnek lennie Denition. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t) = f(ε(t), ε(t 1),...) végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal) Egyéb kiegészítések Theorem (Herglotz). Az R(τ) (τ Z) sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gauss-folyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i) R(τ) = π π e iτλ df (λ).
34 4.6. EGYÉB KIEGÉSZÍTÉSEK 75 Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii) R(τ) = π π e iτλ ϕ(λ)dλ alakban írható, ahol (i) a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ) pedig a spektrál-s r ségfüggvény. (ii)-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ) véletlen spektrálmérték, hogy X(t) = π π e itλ φ(dλ) Theorem. A stacionárius AR(p) folyamatnak létezik spektráls r ségfüggvénye, és az ϕ(λ) = σ π P (e iλ ) = σ π P (e iλ ) P (e iλ ) Proposition. A fehér zaj spektráls r sége ϕ = 1 π, azaz konstans a [ π, π] intervallumon Theorem. A stacionárius M A(q) folyamat spektráls r sége ϕ(λ) = 1 π Q(eiλ ) Theorem. Az ARMA folyamat spektráls r sége 1 π Speciálisan AR(1)-re R(0) = σx, a spektráls r ség pedig ϕ(λ) = R(0) { } 1 + r(k) e ikλ = π k= Q(eiλ ) P (e iλ ) Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( k)λ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább ( = σ X π 1 + ) α k cos(kλ) k=1 = = σ X π Re ( 1 + ) (αe iλ ) k k=1 σ ε π(1 α cos λ + α ) = σ ε π 1 αe iλ.. ( ( = σ X α π 1 + Re 1
4. fejezet. Nemlineáris folyamatok Egy nemlineáris fehér zaj
4 4. fejezet Nemlineáris folyamatok 4.. Egy nemlineáris fehér zaj Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum
RészletesebbenMozgóátlag folyamatok
Mozgóátlag folyamatok 3.. Deníció. Legyen ε(t független érték zaj, vagy fehér zaj - gyakran Gauss fehér zaj (GWN, Gaussian white noise. Ekkor az X(t = β ε(t + β ε(t +... + β q ε(t q folyamatot q-rend mozgóátlag
Részletesebben3. fejezet. Lineáris folyamatok Zaj folyamatok. 1. Az ε(t) folyamat független érték zaj, ha a várható értéke 0 és
18 3. fejezet Lineáris folyamatok 3.1. Zaj folyamatok 1. Az ε(t) folyamat független érték zaj, ha a várható értéke 0 és ε(t)-k független, azonos eloszlású valószín ségi változók. 2. Az ε(t) folyamat fehér
RészletesebbenOn The Number Of Slim Semimodular Lattices
On The Number Of Slim Semimodular Lattices Gábor Czédli, Tamás Dékány, László Ozsvárt, Nóra Szakács, Balázs Udvari Bolyai Institute, University of Szeged Conference on Universal Algebra and Lattice Theory
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenConstruction of a cube given with its centre and a sideline
Transformation of a plane of projection Construction of a cube given with its centre and a sideline Exercise. Given the center O and a sideline e of a cube, where e is a vertical line. Construct the projections
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Hypothesis Testing. Petra Petrovics.
Hypothesis Testing Petra Petrovics PhD Student Inference from the Sample to the Population Estimation Hypothesis Testing Estimation: how can we determine the value of an unknown parameter of a population
RészletesebbenStatistical Inference
Petra Petrovics Statistical Inference 1 st lecture Descriptive Statistics Inferential - it is concerned only with collecting and describing data Population - it is used when tentative conclusions about
RészletesebbenACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS
Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR
RészletesebbenCorrelation & Linear Regression in SPSS
Petra Petrovics Correlation & Linear Regression in SPSS 4 th seminar Types of dependence association between two nominal data mixed between a nominal and a ratio data correlation among ratio data Correlation
RészletesebbenGeokémia gyakorlat. 1. Geokémiai adatok értelmezése: egyszerű statisztikai módszerek. Geológus szakirány (BSc) Dr. Lukács Réka
Geokémia gyakorlat 1. Geokémiai adatok értelmezése: egyszerű statisztikai módszerek Geológus szakirány (BSc) Dr. Lukács Réka MTA-ELTE Vulkanológiai Kutatócsoport e-mail: reka.harangi@gmail.com ALAPFOGALMAK:
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Nonparametric Tests
Nonparametric Tests Petra Petrovics Hypothesis Testing Parametric Tests Mean of a population Population proportion Population Standard Deviation Nonparametric Tests Test for Independence Analysis of Variance
RészletesebbenStatistical Dependence
Statistical Dependence Petra Petrovics Statistical Dependence Deinition: Statistical dependence exists when the value o some variable is dependent upon or aected by the value o some other variable. Independent
RészletesebbenPELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL
PELL EGYENLETEK MEGOLDÁSA LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK SEGÍTSÉGÉVEL KISS PÉTER Legyenek A, B, G 0, G x rögzített egész számok, melyekre AB ^ 0 és G 0, G x nem mindkettője zérus. Az egész számok G 0, G 1(
RészletesebbenBevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz
Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenSzámítógéppel irányított rendszerek elmélete. Gyakorlat - Mintavételezés, DT-LTI rendszermodellek
Számítógéppel irányított rendszerek elmélete Gyakorlat - Mintavételezés, DT-LTI rendszermodellek Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: hangos.katalin@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenA logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi
A logaritmikus legkisebb négyzetek módszerének karakterizációi Csató László laszlo.csato@uni-corvinus.hu MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet (MTA SZTAKI) Operációkutatás és Döntési Rendszerek
RészletesebbenLocal fluctuations of critical Mandelbrot cascades. Konrad Kolesko
Local fluctuations of critical Mandelbrot cascades Konrad Kolesko joint with D. Buraczewski and P. Dyszewski Warwick, 18-22 May, 2015 Random measures µ µ 1 µ 2 For given random variables X 1, X 2 s.t.
RészletesebbenEnsemble Kalman Filters Part 1: The basics
Ensemble Kalman Filters Part 1: The basics Peter Jan van Leeuwen Data Assimilation Research Centre DARC University of Reading p.j.vanleeuwen@reading.ac.uk Model: 10 9 unknowns P[u(x1),u(x2),T(x3),.. Observations:
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenCluster Analysis. Potyó László
Cluster Analysis Potyó László What is Cluster Analysis? Cluster: a collection of data objects Similar to one another within the same cluster Dissimilar to the objects in other clusters Cluster analysis
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet. Nonparametric Tests. Petra Petrovics.
Nonparametric Tests Petra Petrovics PhD Student Hypothesis Testing Parametric Tests Mean o a population Population proportion Population Standard Deviation Nonparametric Tests Test or Independence Analysis
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenSTATISTICAL ANALYSIS OF HIDDEN MARKOV MODELS
STATISTICAL ANALYSIS OF HIDDEN MARKOV MODELS PHD THESIS Molnár-Sáska Gábor Supervisor: László Gerencsér 2005. Institute of Mathematics, Technical University of Budapest and Computer and Automation Research
RészletesebbenTovábblépés. Általános, lineáris modell. Példák. Jellemzık. Matematikai statisztika 12. elıadás,
Matematikai statisztika. elıadás, 9.5.. Továbblépés Ha nem fogadható el a reziduálisok korrelálatlansága: Lehetnek fel nem tárt periódusok De más kapcsolat is fennmaradhat az egymáshoz közeli megfigyelések
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
RészletesebbenIdősorok elemzése november 14. Spektrálelemzés, DF és ADF tesztek. Idősorok elemzése
Spektrálelemzés, DF és ADF tesztek 2017. november 14. SPEKTRÁL-ELEMZÉS Példa - BKV villamosenergia-terhelési görbéje Figure: BKV villamosenergia-terhelési görbéje, negyedóránkénti mérések (2 hét adatai,
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenPerformance Modeling of Intelligent Car Parking Systems
Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent
RészletesebbenMiskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis
Factor Analysis Factor analysis is a multiple statistical method, which analyzes the correlation relation between data, and it is for data reduction, dimension reduction and to explore the structure. Aim
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenKabos Sándor. Térben autokorrelált adatrendszerek
Kabos Sándor Térben autokorrelált adatrendszerek elemzése Összefoglalás az előadás példákon szemlélteti a térben autokorrelált adatok blokkosításának és összefüggésvizsgálatának jellemző tulajdonságait.
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérések
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSchwarz lemma, the Carath eodory and Kobayashi metrics and applications in complex analysis
Schwarz lemma, the Carath eodory and Kobayashi metrics and applications in complex analysis Workshop: The perturbation of the generalized inverses, geometric structures, xed point theory and applications
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDependency preservation
Adatbázis-kezelés. (4 előadás: Relácó felbontásai (dekomponálás)) 1 Getting lossless decomposition is necessary. But of course, we also want to keep dependencies, since losing a dependency means, that
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenVálasztási modellek 3
Választási modellek 3 Prileszky István Doktori Iskola 2018 http://www.sze.hu/~prile Forrás: A Self Instructing Course in Mode Choice Modeling: Multinomial and Nested Logit Models Prepared For U.S. Department
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenOn Statistical Problems of Discrete and Continuous Time Autoregressive Processes
2 On Statistical Problems of Discrete and Continuous Time Autoregressive Processes Katalin Varga Institute of Mathematics and Informatics University of Debrecen, Hungary 23 Tutor: Gyula Pap 2 Ezen érteezést
RészletesebbenGenome 373: Hidden Markov Models I. Doug Fowler
Genome 373: Hidden Markov Models I Doug Fowler Review From Gene Prediction I transcriptional start site G open reading frame transcriptional termination site promoter 5 untranslated region 3 untranslated
RészletesebbenAngol Középfokú Nyelvvizsgázók Bibliája: Nyelvtani összefoglalás, 30 kidolgozott szóbeli tétel, esszé és minta levelek + rendhagyó igék jelentéssel
Angol Középfokú Nyelvvizsgázók Bibliája: Nyelvtani összefoglalás, 30 kidolgozott szóbeli tétel, esszé és minta levelek + rendhagyó igék jelentéssel Timea Farkas Click here if your download doesn"t start
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenModeling the ecological collapse of Easter Island
szakdolgozat Modeling the ecological collapse of Easter Island Takács Bálint Máté Alkalmazott Matematikus MSc hallgató Témavezet k: Faragó István egyetemi tanár ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenCharacterizations and Properties of Graphs of Baire Functions
Characterizations and Properties of Graphs of Baire Functions BSc Szakdolgozat Szerz : Témavezet : Maga Balázs Buczolich Zoltán Matematika BSc Matematikus Egyetemi tanár Analízis Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenIdo sorok. Egyetemi elo adás. Márkus László. February 27, 2019
Ido sorok Egyetemi elo adás Márkus László February 27, 2019 Márkus László Ido sorok February 27, 2019 1 / 88 Definíció Valószínűségi változók egy X 1,X 2,...,X t,... sorozatát idősornak hívjuk, ha az indexparaméter
RészletesebbenAutoregresszív és mozgóátlag folyamatok. Géczi-Papp Renáta
Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Géczi-Papp Renáta Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenAutoregresszív és mozgóátlag folyamatok
Géczi-Papp Renáta Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenEN United in diversity EN A8-0206/419. Amendment
22.3.2019 A8-0206/419 419 Article 2 paragraph 4 point a point i (i) the identity of the road transport operator; (i) the identity of the road transport operator by means of its intra-community tax identification
RészletesebbenTudományos Ismeretterjesztő Társulat
Sample letter number 3. Russell Ltd. 57b Great Hawthorne Industrial Estate Hull East Yorkshire HU 19 5BV 14 Bebek u. Budapest H-1105 10 December, 2009 Ref.: complaint Dear Sir/Madam, After seeing your
RészletesebbenA rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon
A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenCorrelation & Linear Regression in SPSS
Correlation & Linear Regression in SPSS Types of dependence association between two nominal data mixed between a nominal and a ratio data correlation among ratio data Exercise 1 - Correlation File / Open
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
Részletesebben