Egy kis ismétlés geometriai optikából. A Fermat - elvről
|
|
- Ottó Kiss
- 10 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 Egy kis ismétlés geometriai optikából Idevágó tanulmányaimat évtizedekkel ezelőtt folytattam, így ideje egy kicsit felfrissíteni az alapvető tudnivalókat. Meglehet, másoknak is hasznára válik ez. A Fermat - elvről Pierre de Fermat francia tudósról itt olvashatunk egy rövid ismertetést ( egy pici hibával): A róla elnevezett elvről ezt olvashatjuk [ 1 ] - ben: A fény terjedésének sugároptikai törvényeit magában foglalja Fermat elve ( 1665 ), amely így fogalmazható meg: az az idő, amely alatt a fény egy A pontból egy B pontba megadott feltételek pl. visszaverődések és törések mellett eljut, szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrövidebb idő elvének is hívják ). A Fermat - elvből azonnal következik a fénynek homogén közegben egyenes vonalú terjedése: mellékfeltételek hiányában a fény az A pontból a B - be a legrövidebb idő alatt nyilván az AB egyenes mentén jut el. Most egy kicsit eltérünk [ 1 ] - től, és [ 2 ] szerint folytatjuk. Két kinematikai optimum - feladat 1. Feladat: Adott pontok közötti mozgás idejének minimalizálása Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 2 ]
2 2 Sík terepen állandó c sebességgel halad egy gyalogos. Kezdetben az A pontban tartózko - dik. Az egyenes folyót érintve szeretne a B pontba eljutni. Kérdés: Hogyan kell a P pontot megválasztani a parton, hogy az AP + PB út megtétele minimális időt vegyen igénybe? Válasz: A megoldás az 1. ábrán látható. Mivel a mozgás sebessége állandó nagyságú, ezért a haladási idő akkor lesz minimális, ha a pálya - vonal hossza is minimális. A B pont B tükörképét véve a megtett út AP + PB = AP + PB, ami akkor lesz minimális, ha A, B és P = P* egy egyenesen vannak. Ebből következik, hogy a rajzon látható α és β egyenlő, a minimális hosszúságú AP*B pálya esetében. Ez volt a geometriai megoldás. A matematikai megoldás az alábbi 2. ábra. 2. ábra Adott: a 1, a 2, b, /c/ = c. Keresett: x P*, s min, t min. A megteendő útszakaszok, Pitagorász tételével:, ( 1 ). ( 2 ) Az egyes útszakaszok megtételéhez szükséges részidők:. ( 3 ) A teljes s út megtételéhez szükséges t idő, ( 3 ) - mal is:
3 3 ( 4 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) A t( x ) függvény szélsőértékét keressük. Ennek ott lehet minimuma, ahol ax szerinti első deriváltja zérus. Képlettel: ( 6 ) Elvégezve ( 5 ) deriválását, majd ( 6 ) - tal is: ( 7 ) más alakban, ( 1 ), ( 2 ) és ( 7 ) szerint: ( 8 ) most a 2. ábra szerint: ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Azt kaptuk, hogy a minimális idejű út esetén a P* pontban a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel optikai szóhasználattal. Folytassuk, vagyis vigyük végig a feladat megoldását! ~ A minimális befutási idejű út hossza: ( 11 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 11 ) szerint:. ( 12 )
4 4 Az x* megoldás előállításához térjünk vissza a ( 7 ) egyenlethez! Innen négyzetre emeléssel: rendezéssel: kibontva: majd négyzetgyökvonással:. ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) szerint:, tehát: ( 14 ) ~ A minimális futási idő ( 4 ) és ( 14 ) - gyel:. ( 15 ) A ( 13 ) és ( 14 ) eredmények grafikusan könnyen megjeleníthetők. A ( 13 ) eredményt átírva: ( 16 )
5 5 A ( 16 ) egyenlethez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Innen könnyen leolvasható x*, β = α és s* meghatározása. Az itteniek és az 1. ábra szerinti eredmények megegyeznek. 2. Feladat: Fuldokló megmentése Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra forrása: [ 2 ] A parton az A pontban álló úszómester szeretne a folyó B pontjában levő fuldoklónak segíteni. Szárazföldön az úszómester sebességének nagysága c 1, a vízben c 2. A partvonal mely P pontját válassza, hogy B elérése a lehető legkevesebb időt vegye igénybe?
6 6 A megoldás nagyon hasonló az előzőhez. A keresett idő kifejezése az x távolsággal: ( 17 ) Az időfüggvénynek ott lehet minimuma, ahol az x szerinti első derivált zérus: vagy ( 18 ) A minimális idő alatt megtehető töröttvonalra tehát az optikából ismert, Snellius ~ Descartes - formulához hasonló összefüggés áll fenn. Ezt alább részletezzük. A Snellius ~ Descartes - formuláról Itt megint [ 1 ] alapján haladunk. Kísérleti tény, hogy a fény a vákuumban és a különböző közegekben eltérő sebességekkel halad. Jelölje a fény sebességének nagyságát ~ vákuumban c; ~ az 1 jelű közegben c 1 ; ~ a 2 jelű közegben c 2. A törésmutató egyezményes jele: n. A fény sebességének nagysága az 1 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 19 ) itt n 1 az 1 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. A fény sebességének nagysága a 2 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 20 ) itt n 2 a 2 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. Most képezzük ( 20 ) és ( 19 ) hányadosát! Ekkor:
7 7 ( 21 ) bevezetve az ( 22 ) rövidítő jelölést, ( 21 ) és ( 22 ) szerint kapjuk, hogy. ( 23 ) Az n 21 mennyiség neve: a 2 közeg 1 - re vonatkozó törésmutatója. Most ( 18 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) ami éppen a fénytörés törvénye ( Snellius ~ Descartes - törvény, 1621, illetve 1629 ). Ez azt mondja ki, hogy a megtört fénysugár a beesési síkban van, és az α beesési és a β törési szög szinuszának hányadosa a beesési szögtől független, a két közeg ( 1 és 2 ) minőségére jellemző állandó: ( 24 / 1 ) Most térjünk vissza a Fermat - elvhez! Azt láttuk, hogy belőle a geometriai optika két fontos törvénye, vagyis a fény sík felületen való visszaverődésének, valamint törésének törvénye is kiadódik. Láttuk, hogy az előző két feladatban egyaránt fennáll, hogy ( 25 ) Egy homogén közeg n törésmutatójának és az s geometriai úthosszúságnak a szorzata ( ns ), több közeg esetén pedig a mennyiség az ún. optikai út vagy fényút; ez ( 25 ) - ből láthatóan annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény ugyanakkora idő alatt vákuumban tenne meg. E fogalommal Fermat elve így is kifejezhető: két adott pont között a fény úgy terjed, hogy a fényút szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrö - videbb fényút elvének is hívják ). Inhomogén közegben pl. a hellyel folytonosan változó sűrűségű levegőben a törésmu - tató a hely függvénye: A közeget olyan kis 1, 2, tartományokra osztva, amelyeken belül az n 1, n 2, törésmutatók állandónak vehetők, az 5. ábra alapján az A és B pontok közötti fényút:
8 8 ( 26 ) 5. ábra Így a Fermat - elv általános matematikai alakja: ( 27 ) ( 27 ) a variációszámítás módszereivel lehetőséget nyújt a fénysugár menetének meghatá - rozására. Fénytörés planparalel lemezben [ 1 ] A két párhuzamos síkkal határolt átlátszó, ún. planparalel lemezre ferdén beeső fénysugár a belépésnél is és a kilépésnél is megtörik, éspedig ha a lemez két oldalán ugyanaz a közeg van a 6. ábráról beláthatóan úgy, hogy a lemezből kilépő fénysugár a belépőhöz képest párhuzamosan eltolódik. 6. ábra forrása: [ 1 ] A Δ eltolódás az α beesési szögtől, a lemez d vastagságától és a környező közegre vonat - kozó n törésmutatójától függ. A környezeténél optikailag sűrűbb lemez ( n > 1, α > β )
9 9 esetében a 6. ábra szerint: ismét az ábra szerint: ( 28 ) ( 29 ) most ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) Azonos átalakítással: ( 31 ) majd a fénytörés ( 24 ) törvénye szerint: ( 32 ) így ( 31 ) és ( 32 ) - vel: tehát az eltolódás: ( 33 ) Most tekintsük a 7. ábrát! A P* pontot a szemünkbe jutó sugár egyenesének visszafelé való meghosz - szabbításán látjuk. 7. ábra
10 10 Itt azt láthatjuk, hogy a P pont, amiből a fénysugár eredetileg elindult, látszólag közelebb került a planparalel lemezhez, a P* pontba. A közeledés nagysága az ábra szerint: ( * ) most ( * ) és ( 33 ) - mal: ( ** ) Fénytörés prizmában Optikai értelemben prizma fénytani hasáb minden olyan átlátszó test, amelynek legalább két, egymással szöget bezáró, igen jól csiszolt sík felülete van 8. ábra. Ezeknek ( esetleg csak képzelt ) metszésvonala a prizma törőéle ( E ), hajlásszögük a törőszög ( φ ), egy a prizmán a törőélre merőlegesen átmenő sík főmetszet vagy fősík. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amelyben a fénysugarak beesési síkja egyúttal főmetszet ez itt a 8. ábra síkja. A beeső fénysugár kétszeri törés után a prizmából kilépve, eredeti irá - nyához képest δ szögű eltérítést ( deviációt ) szenved. Ha a prizma, mint a gyakorlatban legtöbbször, optikailag sűrűbb a környezeténél, a sugár az ábra szerint a prizma vastagabb része felé törik meg. A δ eltérítés az α 1 beesési szögtől, a prizma φ törőszögétől és a prizma anyagának a környezetre vonatkozó n törésmutatójától függ. 8. ábra forrása: [ 1 ] Mivel δ az ABC háromszögnek, és φ az ABD háromszögnek a külső szöge, fennáll, hogy ( 34 ) valamint
11 11 ( 35 ) így ( 34 ) és ( 35 ) - tel: (36 ) A δ törőszög számításának menete a következő, ha adott α 1, φ és n: ~ ( 37 ) ~ ( 38 ) ~ ( 39 ) ~ ( 40 ) Kísérleti tény, hogy az eltérítésnek van egy legkisebb értéke:. Ennek számítása a ( 41 ) összefüggés alapján történik. Kiindulunk a ( 40 ) szerinti kifejezésből. Deriválva: ( 42 ) most ( 41 ) és ( 42 ) szerint: ( 43 ) Előkészítjük az alábbi összefüggéseket: ( a )
12 12 ( b ) ( c ) most (c ) - ből:. ( d ) Majd ( e ) ezután ( a ) - val is: ( f ) most ( b ) - vel is: ( g ) majd ( d ), ( f ) és ( g ) - vel: ( h ) Ezután ( e ) és ( h ) egyenlőségéből: ( 44 ) Most ( 43 ) és ( 44 ) - gyel: ( 45 ) A ( 45 ) feltétel fennállhat az alábbi két esetben: 1.) ámde
13 13 és miatt ez a lehetőség valójában nem állhat fenn. 2.) ez már lehetséges; ekkor ( 30 ) szerint: ( 46 ) ezután ( 35 ) - tel: ( 47 ) egyezésben az [ 1 ] - ben levezetés nélkül közöltekkel. A ( 46 ) és ( 47 ) szerint leírt helyzetet ábrázolja a 8. ábra jobb oldali része, amikor is a prizmában a sugarak a törőszög felezőjére merőlegesek. A törésmutató értéke ekkor: ( 48 ) A ( 48 ) képleten alapszik egy módszer a törésmutató meghatározására; ehhez csak pontosan meg kell mérni a δ min és a φ mennyiségeket, majd alkalmazni ( 48 ) - at. Kis törőszögű prizma és kis beesési szög esetén a δ eltérítésre igen egyszerű kifejezés adódik, mert a törés törvényében a kis szögek szinuszai helyett a szögeket írhatjuk: ( 49 ) ( 50 ) majd ( 35 ) és ( 36 ) szerint, ( 49 ) és ( 50 ) - nel: tehát: ( 51 )
14 14 Megjegyzések: M1. Az 5. oldali 2. Feladat még nincs befejezve. Javasoljuk, hogy az Olvasó végezze el a hátralévő munkát, az előtte látottaknak megfelelően! M2. A szélsőérték számítások során nem vizsgáltuk meg részletesen, hogy a szélsőérték valóban minimum - e. Ez sokszor matematika nélkül, fizikai / geometriai megfontolások - kal is kiadódik. M3. Szomorú ezt kimondani, de vannak anyagrészek, amiket most értettünk meg igazán. Meglehet, a középiskolai fizikatanár sem állt a helyzet magaslatán. Erre ( is ) jó a HD. M4. Az sem túl jó hír, hogy a 7. ábra megfelelőjével [ 1 ] is adós maradt. Persze, meg - eshet, hogy éppen így akarták rávenni a tanulókat az önálló felfedező munkára. Ugyanez lehet a helyzet a ( 46 ) és ( 47 ) képletek levezetésének elhagyásával is. M5. Az utólagos internetes keresés azt eredményezte, hogy megtaláltuk egy levezetését a ( 45 ), ( 46 ), ( 47 ) képleteknek, kicsit más jelöléssel 9. ábra. ( Nagyítás! ) 9. ábra forrása: [ 3 ]
15 15 Egy másik forrásból ugyanez 10. ábra: 10. ábra forrása: [ 4 ] Ez a számítás már sokkal inkább nevezhető levezetésnek, mert nem csak részeredmények közléséből áll. Külön kiemeljük a [ 4 ] mű elképesztő gondosságú megjelenítését. Nagyon szép. Ráadásul még az ára is elfogadható. M6. A 4. ábra feladatához nem adtunk nem - számításos megoldást. Egy majdnem csak geometriai megoldást találunk [ 5 ] - ben. M7. Kedvező tapasztalat, hogy az interneten sokféle, különböző mélységű segédanyag található, magyar nyelven is, gyakran szép és részletes ábrákkal. Mi is merítettünk belőlük. M8. Mint látható, nem akartuk a teljes geometriai optikát újra - tanulni; csak néhány, számunkra fontos anyagrészt vettünk elő itt, ismét. Ismétlés
16 16 Felhasznált és ajánlott irodalom: [ 1 ] Budó Ágoston ~ Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. kötet ( Optika és atomfizika ) Tankönyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Általános fizika, I. 1. kötet Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, [ 3 ] Bergmann Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik 10. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York, [ 4 ] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Elektrizitaet und Optik 3. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, [ 5 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika, 3. kötet Optika. Anyaghullámok 3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár
Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )
1 Néhány véges trigonometriai összegről A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze - gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai
Optika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.
1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton
Az éjszakai rovarok repüléséről
Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel
Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.
1 Két naszád legkisebb távolsága Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra. 1. ábra A feladat Az A és B, egymástól l távolságra lévő kikötőből egyidejűleg indul két
Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.
osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét
OPTIKA. Ma sok mindenre fény derül! /Geometriai optika alapjai/ Dr. Seres István
Ma sok mindenre fény derül! / alapjai/ Dr. Seres István Legkisebb idő Fermat elve A fény a legrövidebb idejű pályán mozog. I. következmény: A fény a homogén közegben egyenes vonalban terjed t s c minimális,
Optika fejezet felosztása
Optika Optika fejezet felosztása Optika Geometriai optika vagy sugároptika Fizikai optika vagy hullámoptika Geometriai optika A közeg abszolút törésmutatója: c: a fény terjedési sebessége vákuumban, v:
Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS
OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.
Egy geometriai szélsőérték - feladat
1 Egy geometriai szélsőérték - feladat A feladat: Szerkesztendő egy olyan legnagyobb területű háromszög, melynek egyik csúcsa az a és b féltengelyeivel adott ellipszis tetszőlegesen felvett pontja. Keresendő
Megoldás: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk.
37 B-5 Fénynyaláb sík üveglapra 40 -os szöget bezáró irányból érkezik. Az üveg 1,5 cm vastag és törésmutatója. Az üveglap másik oldalán megjelenő fénynyaláb párhuzamos a beeső fénynyalábbal, de oldalirányban
Poncelet egy tételéről
1 Poncelet egy tételéről Már régebben találkoztunk az [ 1 ] műben egy problémával, mostanában pedig a [ 2 ] műben a megoldásával. A probléma lényege: határozzuk meg a egyenletben szereplő α, β együtthatókat,
Ellipszis átszelése. 1. ábra
1 Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának bal alsó sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva
Egy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
Egy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.
1 Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen egy út tengelyvonalának egy pontjában tüntették
Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról
1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása
Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya
Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya Két korábbi dolgozatunkban melyek címe és azonosítója: [KD ]: Egy érdekes feladat, [KD ]: Egy másik érdekes feladat azt vizsgáltuk, hogy egy csuklós rúdnégyszög milyen
A gúla ~ projekthez 2. rész
1 A gúla ~ projekthez 2. rész Dolgozatunk 1. részében egy speciális esetre a négyzet alapú egyenes gúla esetére írtuk fel és alkalmaztuk képleteinket. Most a tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög alakú
A fény visszaverődése
I. Bevezető - A fény tulajdonságai kölcsönhatásokra képes egyenes vonalban terjed terjedési sebessége függ a közeg anyagától (vákuumban 300.000 km/s; gyémántban 150.000 km/s) hullám tulajdonságai vannak
24. Fénytörés. Alapfeladatok
24. Fénytörés Snellius - Descartes-törvény 1. Alapfeladatok Üvegbe érkezo 760 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60 o, törési szöge 30 o. Mekkora a hullámhossza az üvegben? 2. Valamely fény hullámhossza
Egymásra támaszkodó rudak
1 Egymásra támaszkodó rudak Úgy látszik, ez is egy visszatérő téma. Egy korábbi írásunkban melynek címe: A mandala - tetőről már találkoztunk az 1. ábrán vázolthoz hasonló felülnézetű szerkezettel, foglalkoztunk
Egy kinematikai feladat
1 Egy kinematikai feladat Valami geometriai dologról ötlött eszembe az alábbi feladat 1. ábra. 1. ábra Adott az a és b egyenes, melyek α szöget zárnak be egymással. A b egyenesre ráfektetünk egy d hosszúságú
Egy kinematikai feladathoz
1 Egy kinematikai feladathoz Az [ 1 ] példatárból való az alábbi feladat. Egy bütyök v 0 állandó nagyságú sebességgel halad jobbról balra. Kontúrjának egyenlete a hozzá kötött, vele együtt haladó O 1 xy
Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.
1 Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt az A és B pontok egy nyeregtető oromfali ereszpontjai, a P pont pedig a taréj pontja. Az ereszek egymástól való távolságának
Fa rudak forgatása II.
Fa rudak forgatása II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve
Kiegészítés a három erő egyensúlyához
1 Kiegészítés a három erő egyensúlyához Egy régebbi dolgozatunkban melynek jele és címe : RD: Három erő egyensúlya ~ kéttámaszú tartó már sok mindent elmondtunk a címbeli témáról. Ez ugyanis egy megkerülhetetlen
Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
Chasles tételéről. Előkészítés
1 Chasles tételéről A minap megint találtunk valami érdekeset az interneten. Az [ 1 ] tankönyvet, illetve an - nak fejezetenként felrakott egyetemi internetes változatát. Utóbbi 20. fejezetében volt az,
A geometriai optika. Fizika május 25. Rezgések és hullámok. Fizika 11. (Rezgések és hullámok) A geometriai optika május 25.
A geometriai optika Fizika 11. Rezgések és hullámok 2019. május 25. Fizika 11. (Rezgések és hullámok) A geometriai optika 2019. május 25. 1 / 22 Tartalomjegyzék 1 A fénysebesség meghatározása Olaf Römer
Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra
1 Vonatablakon át Sokat utazom vonaton, és gyakran elnézem a vonatablakon át a légvezeték(ek) táncát. Már régóta gondolom, hogy le kellene írni ezt a látszólagos mozgást. Most erről lesz szó. Ehhez tekintsük
Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról
1 Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról Előző dolgozatunkban melynek címe: Az ellipszisbe írható legnagyobb területű négyszögről már beharangoztuk, hogy találtunk valami érdekeset
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész
Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz
FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,
A ferde tartó megoszló terheléseiről
A ferde tartó megoszló terheléseiről Úgy vettem észre az idők során, hogy nem nagyon magyarázták agyon azt a kérdést, amivel itt fogunk foglalkozni. Biztos azt mondják majd megint, hogy De hisz ezt mindenki
A magától becsukódó ajtó működéséről
1 A magától becsukódó ajtó működéséről Az [ 1 ] műben találtunk egy érdekes feladatot, amit most mi is feldolgozunk. Az 1. ábrán látható az eredeti feladat másolata. A feladat kitűzése 1. ábra forrása:
Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1 Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot
GEOMETRIAI OPTIKA I.
Elméleti háttér GEOMETRIAI OPTIKA I. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Snellius-Descartes törvény Az új közeg határához érkező fény egy része behatol az új közegbe, és eközben általában
Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához
1 Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához Az interneten való nézelődés során találkoztunk az [ 1 ] művel, melyben egy érdekes és fontos feladat pontos(abb) megoldásához
MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában
MateFIZIKA: Szélsőértékelvek a fizikában Tasnádi Tamás 1 2015. április 10.,17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Energiaminimum-elv a mechanikában (ápr. 10.) Okos szappanhártyák (ápr. 10.) Legrövidebb
A ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét
A ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét A szabadforgácsolást [ 1 ] az alábbiak szerint definiálja, ill. jellemzi. Ha a forgácsolószerszám élének minden pontjában a forgácsolási
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
Rönk kiemelése a vízből
1 Rönk kiemelése a vízből Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladatot 1. ábra. A feladat 1. ábra forrása: [ 1 ] Egy daru kötél segítségével lassan emeli ki a vízből a benne úszó gerendát
Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.
1 Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó. A feladat Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 1. ábra forrása:
Kecskerágás már megint
1 Kecskerágás már megint Az interneten találtuk az újabb kecskerágós feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] A feladat ( kicsit megváltoztatva az eredeti szöveget ) Egy matematikus kecskét tart a kertjében.
Érdekes geometriai számítások 10.
1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más
Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról
1 Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról Előző dolgozatunkban melynek címe: A kerekes kútról a végén azt írtuk, hogy Az elengedett vödör a saját súlya hatására erősen felgyorsulhatott. Ezt személyes
A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról
1 A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról Sok korábbi dolgozatunkban foglalkoztunk kötélstatikai feladatokkal. Ez a mostani azon - ban még nem került szóba. A feladat: az egyenes körhengerre feltekert,
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
További adalékok a merőleges axonometriához
1 További adalékok a merőleges axonometriához Egy szép összefoglaló munkát [ 1 ] találtunk az interneten, melynek előző dolgoza - tunkhoz csatlakozó részeit itt dolgozzuk fel. Előző dolgozatunk címe: Kiegészítés
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!
1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek
A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.
A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_
Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!
1 Lövés csúzlival Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot 1. ábra. A feladat Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk
Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész
Az R forgató mátri [ ] - beli képleteinek levezetése: I rész Az [ ] forrás kötetében a ( 49 ), ( 50 ) képletek nyilván mint közismertek nem lettek levezetve Minthogy az ottani további számítások miatt
Optikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján
Optikai alapmérések Mérést végezte: Enyingi Vera Atala Mérőtárs neve: Fábián Gábor (7. mérőpár) Mérés időpontja: 2010. október 15. (12:00-14:00) Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2010. október 22. A mérés
Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész. Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete
1 Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete Az alábbi ábrát találtuk az interneten 1. ábra 1. ábra forrás( ok ): http://www.sema-soft.com/de/forum/files/firstpfettenverschiebung_432.jpg
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Fénypont a falon Feladat
Fénypont a falon 3. Dolgozat - sorozatunk. és. részében két speiális eset vizsgálatát részleteztük. Itt az általánosabb síkbeli esettel foglalkozunk, főbb vonalaiban. Ehhez tekintsük az. ábrát is! 3. Feladat.
A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához
1 A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához Bevezetés Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1 Itt azt szemlélhetjük, hogy hogyan lehet el - kerülni egy épület tűzfalának eláztatását. A felső ábrarészen
A hordófelület síkmetszeteiről
1 A hordófelület síkmetszeteiről Előző dolgozatunkban melynek címe: Ismét egy érdekes mechanizmusról azon hiányérzetünknek adtunk hangot, hogy a hordószerű test görbe felülete nem kapott nevet. Itt elneveztük
A felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.
1 A felcsapódó kavicsról Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez azért is érdekes, mert autóvezetés közben már többször is eszünkbe
Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat
Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat Az előző dolgozatunkban címe: Egy súrlódásos alapfeladat, jele: ( E D ) tárgyalt probléma általánosítása az alábbi, melynek forrása [ 1 ]. Tekintsük az 1. ábrát!
Egy nyíllövéses feladat
1 Egy nyíllövéses feladat Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 / 1 ] Igencsak tanulságos, ezért részletesen bemutatjuk a megoldását. A feladat Egy sportíjjal nyilat
Kiegészítés a merőleges axonometriához
1 Kiegészítés a merőleges axonometriához Időnként találunk egy szép és könnyebben érthető levezetést, magyarázó ábrát, amit érdemesnek gondolunk a megosztásra. Most is ez történt, az [ 1 ] és [ 3 ] művek
Egy érdekes statikai feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal.
1 Egy érdekes statikai feladat Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal. A feladat A szabályos n - szög alakú, A, B, C, csúcsú lap az A csúcsán egy sima függőleges fal - hoz támaszkodik,
A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról
1 A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról Az idők során már többször eszünkbe jutott, hogy foglalkozni kellene a címbeli témával. Különösen akkor, amikor olyan függvényábrákat találtunk, melyek
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Kerekes kút 4.: A zuhanó vödör fékezéséről. A feladat. A megoldás
1 Kerekes kút 4.: A zuhanó vödör fékezéséről Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról nem volt szó fékezésről. Itt most egy egyszerű fékezési modellt vizsgálunk
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Egy érdekes nyeregtetőről
Egy érdekes nyeregtetőről Adott egy nyeregtető, az 1 ábra szerinti adatokkal 1 ábra Végezzük el vetületi ábrázolását, az alábbi számszerű adatokkal: a = 10,00 m; b = 6,00 m; c = 3,00 m; α = 45 ; M 1:100!
A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával
Optika Fénytan A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete Sokkal nagyobb összemérhető A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Elektromágneses spektrum Az elektromágneses hullámokat a keltés módja,
Fényhullámhossz és diszperzió mérése
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 9. MÉRÉS Fényhullámhossz és diszperzió mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 19. Szerda délelőtti csoport 1. A mérés célja
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Egy sajátos ábrázolási feladatról
1 Egy sajátos ábrázolási feladatról Régen volt, ha volt egyáltalán. Én bizony nem emlékszem a ferde gerincvonalú túleme - lés ~ átmeneti megoldásra 1. ábra az ( erdészeti ) útépítésben. 1. ábra forrása:
Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.
1 Egy újabb térmértani feladat Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra. Úgy látjuk, érdekes és tanulságos lesz végigvenni. 2 A feladat Egy szabályos n - szög alapú
A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről
1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,
A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.
1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert
A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.
1 A Kepler - problémáról Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó. 1. ábra forrása: https://hu.wikipedia.org/wiki/kepler-probl%c3%a9ma
A Cassini - görbékről
A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a 17-18 században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Kerék gördüléséről. A feladat
1 Kerék gördüléséről Nemrégen egy órán szóba került a címbeli téma, középiskolások előtt. Úgy látszott, nem nagyon értik, miről van szó. Persze, lehet, hogy még nem tartottak ott, vagy csak aludtak a fizika
A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
A főtengelyproblémához
1 A főtengelyproblémához Korábbi, az ellipszis perspektivikus ábrázolásával foglalkozó dolgozatainkban előkerült a másodrendű görbék kanonikus alakra hozása, majd ebben a főtengelyrendszert előállító elforgatási
Keresztezett pálcák II.
Keresztezett pálcák II Dolgozatunk I részéen a merőleges tengelyű pálcák esetét vizsgáltuk Most nézzük meg azt az esetet amikor a pálcák tengelyei nem merőlegesen keresztezik egymást Ehhez tekintsük az
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Egy újabb látószög - feladat
1 Egy újabb látószög - feladat A feladat Adott az O középpontú, R sugarú körön az α szöggel jellemzett P pont. Határozzuk meg, hogy mekkora ϑ szög alatt látszik a P pontból a vízszintes átmérő - egyenes
FÉNYTAN A FÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Sorold fel milyen hatásait ismered a napfénynek! 2. Hogyan tisztelték és minek nevezték az ókori egyiptomiak a Napot?
FÉNYTAN A FÉNY TULAJDONSÁGAI 1. Sorold fel milyen hatásait ismered a napfénynek! 2. Hogyan tisztelték és minek nevezték az ókori egyiptomiak a Napot? 3. Mit nevezünk fényforrásnak? 4. Mi a legjelentősebb