Egy kis ismétlés geometriai optikából. A Fermat - elvről

Átírás

1 1 Egy kis ismétlés geometriai optikából Idevágó tanulmányaimat évtizedekkel ezelőtt folytattam, így ideje egy kicsit felfrissíteni az alapvető tudnivalókat. Meglehet, másoknak is hasznára válik ez. A Fermat - elvről Pierre de Fermat francia tudósról itt olvashatunk egy rövid ismertetést ( egy pici hibával): A róla elnevezett elvről ezt olvashatjuk [ 1 ] - ben: A fény terjedésének sugároptikai törvényeit magában foglalja Fermat elve ( 1665 ), amely így fogalmazható meg: az az idő, amely alatt a fény egy A pontból egy B pontba megadott feltételek pl. visszaverődések és törések mellett eljut, szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrövidebb idő elvének is hívják ). A Fermat - elvből azonnal következik a fénynek homogén közegben egyenes vonalú terjedése: mellékfeltételek hiányában a fény az A pontból a B - be a legrövidebb idő alatt nyilván az AB egyenes mentén jut el. Most egy kicsit eltérünk [ 1 ] - től, és [ 2 ] szerint folytatjuk. Két kinematikai optimum - feladat 1. Feladat: Adott pontok közötti mozgás idejének minimalizálása Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 2 ]

2 2 Sík terepen állandó c sebességgel halad egy gyalogos. Kezdetben az A pontban tartózko - dik. Az egyenes folyót érintve szeretne a B pontba eljutni. Kérdés: Hogyan kell a P pontot megválasztani a parton, hogy az AP + PB út megtétele minimális időt vegyen igénybe? Válasz: A megoldás az 1. ábrán látható. Mivel a mozgás sebessége állandó nagyságú, ezért a haladási idő akkor lesz minimális, ha a pálya - vonal hossza is minimális. A B pont B tükörképét véve a megtett út AP + PB = AP + PB, ami akkor lesz minimális, ha A, B és P = P* egy egyenesen vannak. Ebből következik, hogy a rajzon látható α és β egyenlő, a minimális hosszúságú AP*B pálya esetében. Ez volt a geometriai megoldás. A matematikai megoldás az alábbi 2. ábra. 2. ábra Adott: a 1, a 2, b, /c/ = c. Keresett: x P*, s min, t min. A megteendő útszakaszok, Pitagorász tételével:, ( 1 ). ( 2 ) Az egyes útszakaszok megtételéhez szükséges részidők:. ( 3 ) A teljes s út megtételéhez szükséges t idő, ( 3 ) - mal is:

3 3 ( 4 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) A t( x ) függvény szélsőértékét keressük. Ennek ott lehet minimuma, ahol ax szerinti első deriváltja zérus. Képlettel: ( 6 ) Elvégezve ( 5 ) deriválását, majd ( 6 ) - tal is: ( 7 ) más alakban, ( 1 ), ( 2 ) és ( 7 ) szerint: ( 8 ) most a 2. ábra szerint: ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Azt kaptuk, hogy a minimális idejű út esetén a P* pontban a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel optikai szóhasználattal. Folytassuk, vagyis vigyük végig a feladat megoldását! ~ A minimális befutási idejű út hossza: ( 11 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 11 ) szerint:. ( 12 )

4 4 Az x* megoldás előállításához térjünk vissza a ( 7 ) egyenlethez! Innen négyzetre emeléssel: rendezéssel: kibontva: majd négyzetgyökvonással:. ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) szerint:, tehát: ( 14 ) ~ A minimális futási idő ( 4 ) és ( 14 ) - gyel:. ( 15 ) A ( 13 ) és ( 14 ) eredmények grafikusan könnyen megjeleníthetők. A ( 13 ) eredményt átírva: ( 16 )

5 5 A ( 16 ) egyenlethez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Innen könnyen leolvasható x*, β = α és s* meghatározása. Az itteniek és az 1. ábra szerinti eredmények megegyeznek. 2. Feladat: Fuldokló megmentése Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra forrása: [ 2 ] A parton az A pontban álló úszómester szeretne a folyó B pontjában levő fuldoklónak segíteni. Szárazföldön az úszómester sebességének nagysága c 1, a vízben c 2. A partvonal mely P pontját válassza, hogy B elérése a lehető legkevesebb időt vegye igénybe?

6 6 A megoldás nagyon hasonló az előzőhez. A keresett idő kifejezése az x távolsággal: ( 17 ) Az időfüggvénynek ott lehet minimuma, ahol az x szerinti első derivált zérus: vagy ( 18 ) A minimális idő alatt megtehető töröttvonalra tehát az optikából ismert, Snellius ~ Descartes - formulához hasonló összefüggés áll fenn. Ezt alább részletezzük. A Snellius ~ Descartes - formuláról Itt megint [ 1 ] alapján haladunk. Kísérleti tény, hogy a fény a vákuumban és a különböző közegekben eltérő sebességekkel halad. Jelölje a fény sebességének nagyságát ~ vákuumban c; ~ az 1 jelű közegben c 1 ; ~ a 2 jelű közegben c 2. A törésmutató egyezményes jele: n. A fény sebességének nagysága az 1 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 19 ) itt n 1 az 1 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. A fény sebességének nagysága a 2 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 20 ) itt n 2 a 2 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. Most képezzük ( 20 ) és ( 19 ) hányadosát! Ekkor:

7 7 ( 21 ) bevezetve az ( 22 ) rövidítő jelölést, ( 21 ) és ( 22 ) szerint kapjuk, hogy. ( 23 ) Az n 21 mennyiség neve: a 2 közeg 1 - re vonatkozó törésmutatója. Most ( 18 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) ami éppen a fénytörés törvénye ( Snellius ~ Descartes - törvény, 1621, illetve 1629 ). Ez azt mondja ki, hogy a megtört fénysugár a beesési síkban van, és az α beesési és a β törési szög szinuszának hányadosa a beesési szögtől független, a két közeg ( 1 és 2 ) minőségére jellemző állandó: ( 24 / 1 ) Most térjünk vissza a Fermat - elvhez! Azt láttuk, hogy belőle a geometriai optika két fontos törvénye, vagyis a fény sík felületen való visszaverődésének, valamint törésének törvénye is kiadódik. Láttuk, hogy az előző két feladatban egyaránt fennáll, hogy ( 25 ) Egy homogén közeg n törésmutatójának és az s geometriai úthosszúságnak a szorzata ( ns ), több közeg esetén pedig a mennyiség az ún. optikai út vagy fényút; ez ( 25 ) - ből láthatóan annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény ugyanakkora idő alatt vákuumban tenne meg. E fogalommal Fermat elve így is kifejezhető: két adott pont között a fény úgy terjed, hogy a fényút szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrö - videbb fényút elvének is hívják ). Inhomogén közegben pl. a hellyel folytonosan változó sűrűségű levegőben a törésmu - tató a hely függvénye: A közeget olyan kis 1, 2, tartományokra osztva, amelyeken belül az n 1, n 2, törésmutatók állandónak vehetők, az 5. ábra alapján az A és B pontok közötti fényút:

8 8 ( 26 ) 5. ábra Így a Fermat - elv általános matematikai alakja: ( 27 ) ( 27 ) a variációszámítás módszereivel lehetőséget nyújt a fénysugár menetének meghatá - rozására. Fénytörés planparalel lemezben [ 1 ] A két párhuzamos síkkal határolt átlátszó, ún. planparalel lemezre ferdén beeső fénysugár a belépésnél is és a kilépésnél is megtörik, éspedig ha a lemez két oldalán ugyanaz a közeg van a 6. ábráról beláthatóan úgy, hogy a lemezből kilépő fénysugár a belépőhöz képest párhuzamosan eltolódik. 6. ábra forrása: [ 1 ] A Δ eltolódás az α beesési szögtől, a lemez d vastagságától és a környező közegre vonat - kozó n törésmutatójától függ. A környezeténél optikailag sűrűbb lemez ( n > 1, α > β )

9 9 esetében a 6. ábra szerint: ismét az ábra szerint: ( 28 ) ( 29 ) most ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) Azonos átalakítással: ( 31 ) majd a fénytörés ( 24 ) törvénye szerint: ( 32 ) így ( 31 ) és ( 32 ) - vel: tehát az eltolódás: ( 33 ) Most tekintsük a 7. ábrát! A P* pontot a szemünkbe jutó sugár egyenesének visszafelé való meghosz - szabbításán látjuk. 7. ábra

10 10 Itt azt láthatjuk, hogy a P pont, amiből a fénysugár eredetileg elindult, látszólag közelebb került a planparalel lemezhez, a P* pontba. A közeledés nagysága az ábra szerint: ( * ) most ( * ) és ( 33 ) - mal: ( ** ) Fénytörés prizmában Optikai értelemben prizma fénytani hasáb minden olyan átlátszó test, amelynek legalább két, egymással szöget bezáró, igen jól csiszolt sík felülete van 8. ábra. Ezeknek ( esetleg csak képzelt ) metszésvonala a prizma törőéle ( E ), hajlásszögük a törőszög ( φ ), egy a prizmán a törőélre merőlegesen átmenő sík főmetszet vagy fősík. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amelyben a fénysugarak beesési síkja egyúttal főmetszet ez itt a 8. ábra síkja. A beeső fénysugár kétszeri törés után a prizmából kilépve, eredeti irá - nyához képest δ szögű eltérítést ( deviációt ) szenved. Ha a prizma, mint a gyakorlatban legtöbbször, optikailag sűrűbb a környezeténél, a sugár az ábra szerint a prizma vastagabb része felé törik meg. A δ eltérítés az α 1 beesési szögtől, a prizma φ törőszögétől és a prizma anyagának a környezetre vonatkozó n törésmutatójától függ. 8. ábra forrása: [ 1 ] Mivel δ az ABC háromszögnek, és φ az ABD háromszögnek a külső szöge, fennáll, hogy ( 34 ) valamint

11 11 ( 35 ) így ( 34 ) és ( 35 ) - tel: (36 ) A δ törőszög számításának menete a következő, ha adott α 1, φ és n: ~ ( 37 ) ~ ( 38 ) ~ ( 39 ) ~ ( 40 ) Kísérleti tény, hogy az eltérítésnek van egy legkisebb értéke:. Ennek számítása a ( 41 ) összefüggés alapján történik. Kiindulunk a ( 40 ) szerinti kifejezésből. Deriválva: ( 42 ) most ( 41 ) és ( 42 ) szerint: ( 43 ) Előkészítjük az alábbi összefüggéseket: ( a )

12 12 ( b ) ( c ) most (c ) - ből:. ( d ) Majd ( e ) ezután ( a ) - val is: ( f ) most ( b ) - vel is: ( g ) majd ( d ), ( f ) és ( g ) - vel: ( h ) Ezután ( e ) és ( h ) egyenlőségéből: ( 44 ) Most ( 43 ) és ( 44 ) - gyel: ( 45 ) A ( 45 ) feltétel fennállhat az alábbi két esetben: 1.) ámde

13 13 és miatt ez a lehetőség valójában nem állhat fenn. 2.) ez már lehetséges; ekkor ( 30 ) szerint: ( 46 ) ezután ( 35 ) - tel: ( 47 ) egyezésben az [ 1 ] - ben levezetés nélkül közöltekkel. A ( 46 ) és ( 47 ) szerint leírt helyzetet ábrázolja a 8. ábra jobb oldali része, amikor is a prizmában a sugarak a törőszög felezőjére merőlegesek. A törésmutató értéke ekkor: ( 48 ) A ( 48 ) képleten alapszik egy módszer a törésmutató meghatározására; ehhez csak pontosan meg kell mérni a δ min és a φ mennyiségeket, majd alkalmazni ( 48 ) - at. Kis törőszögű prizma és kis beesési szög esetén a δ eltérítésre igen egyszerű kifejezés adódik, mert a törés törvényében a kis szögek szinuszai helyett a szögeket írhatjuk: ( 49 ) ( 50 ) majd ( 35 ) és ( 36 ) szerint, ( 49 ) és ( 50 ) - nel: tehát: ( 51 )

14 14 Megjegyzések: M1. Az 5. oldali 2. Feladat még nincs befejezve. Javasoljuk, hogy az Olvasó végezze el a hátralévő munkát, az előtte látottaknak megfelelően! M2. A szélsőérték számítások során nem vizsgáltuk meg részletesen, hogy a szélsőérték valóban minimum - e. Ez sokszor matematika nélkül, fizikai / geometriai megfontolások - kal is kiadódik. M3. Szomorú ezt kimondani, de vannak anyagrészek, amiket most értettünk meg igazán. Meglehet, a középiskolai fizikatanár sem állt a helyzet magaslatán. Erre ( is ) jó a HD. M4. Az sem túl jó hír, hogy a 7. ábra megfelelőjével [ 1 ] is adós maradt. Persze, meg - eshet, hogy éppen így akarták rávenni a tanulókat az önálló felfedező munkára. Ugyanez lehet a helyzet a ( 46 ) és ( 47 ) képletek levezetésének elhagyásával is. M5. Az utólagos internetes keresés azt eredményezte, hogy megtaláltuk egy levezetését a ( 45 ), ( 46 ), ( 47 ) képleteknek, kicsit más jelöléssel 9. ábra. ( Nagyítás! ) 9. ábra forrása: [ 3 ]

15 15 Egy másik forrásból ugyanez 10. ábra: 10. ábra forrása: [ 4 ] Ez a számítás már sokkal inkább nevezhető levezetésnek, mert nem csak részeredmények közléséből áll. Külön kiemeljük a [ 4 ] mű elképesztő gondosságú megjelenítését. Nagyon szép. Ráadásul még az ára is elfogadható. M6. A 4. ábra feladatához nem adtunk nem - számításos megoldást. Egy majdnem csak geometriai megoldást találunk [ 5 ] - ben. M7. Kedvező tapasztalat, hogy az interneten sokféle, különböző mélységű segédanyag található, magyar nyelven is, gyakran szép és részletes ábrákkal. Mi is merítettünk belőlük. M8. Mint látható, nem akartuk a teljes geometriai optikát újra - tanulni; csak néhány, számunkra fontos anyagrészt vettünk elő itt, ismét. Ismétlés

16 16 Felhasznált és ajánlott irodalom: [ 1 ] Budó Ágoston ~ Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. kötet ( Optika és atomfizika ) Tankönyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Általános fizika, I. 1. kötet Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, [ 3 ] Bergmann Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik 10. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York, [ 4 ] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Elektrizitaet und Optik 3. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, [ 5 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika, 3. kötet Optika. Anyaghullámok 3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár