Egy kis ismétlés geometriai optikából. A Fermat - elvről

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy kis ismétlés geometriai optikából. A Fermat - elvről"

Átírás

1 1 Egy kis ismétlés geometriai optikából Idevágó tanulmányaimat évtizedekkel ezelőtt folytattam, így ideje egy kicsit felfrissíteni az alapvető tudnivalókat. Meglehet, másoknak is hasznára válik ez. A Fermat - elvről Pierre de Fermat francia tudósról itt olvashatunk egy rövid ismertetést ( egy pici hibával): A róla elnevezett elvről ezt olvashatjuk [ 1 ] - ben: A fény terjedésének sugároptikai törvényeit magában foglalja Fermat elve ( 1665 ), amely így fogalmazható meg: az az idő, amely alatt a fény egy A pontból egy B pontba megadott feltételek pl. visszaverődések és törések mellett eljut, szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrövidebb idő elvének is hívják ). A Fermat - elvből azonnal következik a fénynek homogén közegben egyenes vonalú terjedése: mellékfeltételek hiányában a fény az A pontból a B - be a legrövidebb idő alatt nyilván az AB egyenes mentén jut el. Most egy kicsit eltérünk [ 1 ] - től, és [ 2 ] szerint folytatjuk. Két kinematikai optimum - feladat 1. Feladat: Adott pontok közötti mozgás idejének minimalizálása Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 2 ]

2 2 Sík terepen állandó c sebességgel halad egy gyalogos. Kezdetben az A pontban tartózko - dik. Az egyenes folyót érintve szeretne a B pontba eljutni. Kérdés: Hogyan kell a P pontot megválasztani a parton, hogy az AP + PB út megtétele minimális időt vegyen igénybe? Válasz: A megoldás az 1. ábrán látható. Mivel a mozgás sebessége állandó nagyságú, ezért a haladási idő akkor lesz minimális, ha a pálya - vonal hossza is minimális. A B pont B tükörképét véve a megtett út AP + PB = AP + PB, ami akkor lesz minimális, ha A, B és P = P* egy egyenesen vannak. Ebből következik, hogy a rajzon látható α és β egyenlő, a minimális hosszúságú AP*B pálya esetében. Ez volt a geometriai megoldás. A matematikai megoldás az alábbi 2. ábra. 2. ábra Adott: a 1, a 2, b, /c/ = c. Keresett: x P*, s min, t min. A megteendő útszakaszok, Pitagorász tételével:, ( 1 ). ( 2 ) Az egyes útszakaszok megtételéhez szükséges részidők:. ( 3 ) A teljes s út megtételéhez szükséges t idő, ( 3 ) - mal is:

3 3 ( 4 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) A t( x ) függvény szélsőértékét keressük. Ennek ott lehet minimuma, ahol ax szerinti első deriváltja zérus. Képlettel: ( 6 ) Elvégezve ( 5 ) deriválását, majd ( 6 ) - tal is: ( 7 ) más alakban, ( 1 ), ( 2 ) és ( 7 ) szerint: ( 8 ) most a 2. ábra szerint: ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Azt kaptuk, hogy a minimális idejű út esetén a P* pontban a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel optikai szóhasználattal. Folytassuk, vagyis vigyük végig a feladat megoldását! ~ A minimális befutási idejű út hossza: ( 11 ) most ( 1 ), ( 2 ) és ( 11 ) szerint:. ( 12 )

4 4 Az x* megoldás előállításához térjünk vissza a ( 7 ) egyenlethez! Innen négyzetre emeléssel: rendezéssel: kibontva: majd négyzetgyökvonással:. ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) szerint:, tehát: ( 14 ) ~ A minimális futási idő ( 4 ) és ( 14 ) - gyel:. ( 15 ) A ( 13 ) és ( 14 ) eredmények grafikusan könnyen megjeleníthetők. A ( 13 ) eredményt átírva: ( 16 )

5 5 A ( 16 ) egyenlethez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Innen könnyen leolvasható x*, β = α és s* meghatározása. Az itteniek és az 1. ábra szerinti eredmények megegyeznek. 2. Feladat: Fuldokló megmentése Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra forrása: [ 2 ] A parton az A pontban álló úszómester szeretne a folyó B pontjában levő fuldoklónak segíteni. Szárazföldön az úszómester sebességének nagysága c 1, a vízben c 2. A partvonal mely P pontját válassza, hogy B elérése a lehető legkevesebb időt vegye igénybe?

6 6 A megoldás nagyon hasonló az előzőhez. A keresett idő kifejezése az x távolsággal: ( 17 ) Az időfüggvénynek ott lehet minimuma, ahol az x szerinti első derivált zérus: vagy ( 18 ) A minimális idő alatt megtehető töröttvonalra tehát az optikából ismert, Snellius ~ Descartes - formulához hasonló összefüggés áll fenn. Ezt alább részletezzük. A Snellius ~ Descartes - formuláról Itt megint [ 1 ] alapján haladunk. Kísérleti tény, hogy a fény a vákuumban és a különböző közegekben eltérő sebességekkel halad. Jelölje a fény sebességének nagyságát ~ vákuumban c; ~ az 1 jelű közegben c 1 ; ~ a 2 jelű közegben c 2. A törésmutató egyezményes jele: n. A fény sebességének nagysága az 1 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 19 ) itt n 1 az 1 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. A fény sebességének nagysága a 2 közegben ( kisebb mint a vákuumban ): ( 20 ) itt n 2 a 2 közeg vákuumra vonatkozó törésmutatója, vagy abszolút törésmutatója. Most képezzük ( 20 ) és ( 19 ) hányadosát! Ekkor:

7 7 ( 21 ) bevezetve az ( 22 ) rövidítő jelölést, ( 21 ) és ( 22 ) szerint kapjuk, hogy. ( 23 ) Az n 21 mennyiség neve: a 2 közeg 1 - re vonatkozó törésmutatója. Most ( 18 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) ami éppen a fénytörés törvénye ( Snellius ~ Descartes - törvény, 1621, illetve 1629 ). Ez azt mondja ki, hogy a megtört fénysugár a beesési síkban van, és az α beesési és a β törési szög szinuszának hányadosa a beesési szögtől független, a két közeg ( 1 és 2 ) minőségére jellemző állandó: ( 24 / 1 ) Most térjünk vissza a Fermat - elvhez! Azt láttuk, hogy belőle a geometriai optika két fontos törvénye, vagyis a fény sík felületen való visszaverődésének, valamint törésének törvénye is kiadódik. Láttuk, hogy az előző két feladatban egyaránt fennáll, hogy ( 25 ) Egy homogén közeg n törésmutatójának és az s geometriai úthosszúságnak a szorzata ( ns ), több közeg esetén pedig a mennyiség az ún. optikai út vagy fényút; ez ( 25 ) - ből láthatóan annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény ugyanakkora idő alatt vákuumban tenne meg. E fogalommal Fermat elve így is kifejezhető: két adott pont között a fény úgy terjed, hogy a fényút szélső érték ( többnyire minimum; ezért az elvet a legrö - videbb fényút elvének is hívják ). Inhomogén közegben pl. a hellyel folytonosan változó sűrűségű levegőben a törésmu - tató a hely függvénye: A közeget olyan kis 1, 2, tartományokra osztva, amelyeken belül az n 1, n 2, törésmutatók állandónak vehetők, az 5. ábra alapján az A és B pontok közötti fényút:

8 8 ( 26 ) 5. ábra Így a Fermat - elv általános matematikai alakja: ( 27 ) ( 27 ) a variációszámítás módszereivel lehetőséget nyújt a fénysugár menetének meghatá - rozására. Fénytörés planparalel lemezben [ 1 ] A két párhuzamos síkkal határolt átlátszó, ún. planparalel lemezre ferdén beeső fénysugár a belépésnél is és a kilépésnél is megtörik, éspedig ha a lemez két oldalán ugyanaz a közeg van a 6. ábráról beláthatóan úgy, hogy a lemezből kilépő fénysugár a belépőhöz képest párhuzamosan eltolódik. 6. ábra forrása: [ 1 ] A Δ eltolódás az α beesési szögtől, a lemez d vastagságától és a környező közegre vonat - kozó n törésmutatójától függ. A környezeténél optikailag sűrűbb lemez ( n > 1, α > β )

9 9 esetében a 6. ábra szerint: ismét az ábra szerint: ( 28 ) ( 29 ) most ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) Azonos átalakítással: ( 31 ) majd a fénytörés ( 24 ) törvénye szerint: ( 32 ) így ( 31 ) és ( 32 ) - vel: tehát az eltolódás: ( 33 ) Most tekintsük a 7. ábrát! A P* pontot a szemünkbe jutó sugár egyenesének visszafelé való meghosz - szabbításán látjuk. 7. ábra

10 10 Itt azt láthatjuk, hogy a P pont, amiből a fénysugár eredetileg elindult, látszólag közelebb került a planparalel lemezhez, a P* pontba. A közeledés nagysága az ábra szerint: ( * ) most ( * ) és ( 33 ) - mal: ( ** ) Fénytörés prizmában Optikai értelemben prizma fénytani hasáb minden olyan átlátszó test, amelynek legalább két, egymással szöget bezáró, igen jól csiszolt sík felülete van 8. ábra. Ezeknek ( esetleg csak képzelt ) metszésvonala a prizma törőéle ( E ), hajlásszögük a törőszög ( φ ), egy a prizmán a törőélre merőlegesen átmenő sík főmetszet vagy fősík. Csak azt az esetet vizsgáljuk, amelyben a fénysugarak beesési síkja egyúttal főmetszet ez itt a 8. ábra síkja. A beeső fénysugár kétszeri törés után a prizmából kilépve, eredeti irá - nyához képest δ szögű eltérítést ( deviációt ) szenved. Ha a prizma, mint a gyakorlatban legtöbbször, optikailag sűrűbb a környezeténél, a sugár az ábra szerint a prizma vastagabb része felé törik meg. A δ eltérítés az α 1 beesési szögtől, a prizma φ törőszögétől és a prizma anyagának a környezetre vonatkozó n törésmutatójától függ. 8. ábra forrása: [ 1 ] Mivel δ az ABC háromszögnek, és φ az ABD háromszögnek a külső szöge, fennáll, hogy ( 34 ) valamint

11 11 ( 35 ) így ( 34 ) és ( 35 ) - tel: (36 ) A δ törőszög számításának menete a következő, ha adott α 1, φ és n: ~ ( 37 ) ~ ( 38 ) ~ ( 39 ) ~ ( 40 ) Kísérleti tény, hogy az eltérítésnek van egy legkisebb értéke:. Ennek számítása a ( 41 ) összefüggés alapján történik. Kiindulunk a ( 40 ) szerinti kifejezésből. Deriválva: ( 42 ) most ( 41 ) és ( 42 ) szerint: ( 43 ) Előkészítjük az alábbi összefüggéseket: ( a )

12 12 ( b ) ( c ) most (c ) - ből:. ( d ) Majd ( e ) ezután ( a ) - val is: ( f ) most ( b ) - vel is: ( g ) majd ( d ), ( f ) és ( g ) - vel: ( h ) Ezután ( e ) és ( h ) egyenlőségéből: ( 44 ) Most ( 43 ) és ( 44 ) - gyel: ( 45 ) A ( 45 ) feltétel fennállhat az alábbi két esetben: 1.) ámde

13 13 és miatt ez a lehetőség valójában nem állhat fenn. 2.) ez már lehetséges; ekkor ( 30 ) szerint: ( 46 ) ezután ( 35 ) - tel: ( 47 ) egyezésben az [ 1 ] - ben levezetés nélkül közöltekkel. A ( 46 ) és ( 47 ) szerint leírt helyzetet ábrázolja a 8. ábra jobb oldali része, amikor is a prizmában a sugarak a törőszög felezőjére merőlegesek. A törésmutató értéke ekkor: ( 48 ) A ( 48 ) képleten alapszik egy módszer a törésmutató meghatározására; ehhez csak pontosan meg kell mérni a δ min és a φ mennyiségeket, majd alkalmazni ( 48 ) - at. Kis törőszögű prizma és kis beesési szög esetén a δ eltérítésre igen egyszerű kifejezés adódik, mert a törés törvényében a kis szögek szinuszai helyett a szögeket írhatjuk: ( 49 ) ( 50 ) majd ( 35 ) és ( 36 ) szerint, ( 49 ) és ( 50 ) - nel: tehát: ( 51 )

14 14 Megjegyzések: M1. Az 5. oldali 2. Feladat még nincs befejezve. Javasoljuk, hogy az Olvasó végezze el a hátralévő munkát, az előtte látottaknak megfelelően! M2. A szélsőérték számítások során nem vizsgáltuk meg részletesen, hogy a szélsőérték valóban minimum - e. Ez sokszor matematika nélkül, fizikai / geometriai megfontolások - kal is kiadódik. M3. Szomorú ezt kimondani, de vannak anyagrészek, amiket most értettünk meg igazán. Meglehet, a középiskolai fizikatanár sem állt a helyzet magaslatán. Erre ( is ) jó a HD. M4. Az sem túl jó hír, hogy a 7. ábra megfelelőjével [ 1 ] is adós maradt. Persze, meg - eshet, hogy éppen így akarták rávenni a tanulókat az önálló felfedező munkára. Ugyanez lehet a helyzet a ( 46 ) és ( 47 ) képletek levezetésének elhagyásával is. M5. Az utólagos internetes keresés azt eredményezte, hogy megtaláltuk egy levezetését a ( 45 ), ( 46 ), ( 47 ) képleteknek, kicsit más jelöléssel 9. ábra. ( Nagyítás! ) 9. ábra forrása: [ 3 ]

15 15 Egy másik forrásból ugyanez 10. ábra: 10. ábra forrása: [ 4 ] Ez a számítás már sokkal inkább nevezhető levezetésnek, mert nem csak részeredmények közléséből áll. Külön kiemeljük a [ 4 ] mű elképesztő gondosságú megjelenítését. Nagyon szép. Ráadásul még az ára is elfogadható. M6. A 4. ábra feladatához nem adtunk nem - számításos megoldást. Egy majdnem csak geometriai megoldást találunk [ 5 ] - ben. M7. Kedvező tapasztalat, hogy az interneten sokféle, különböző mélységű segédanyag található, magyar nyelven is, gyakran szép és részletes ábrákkal. Mi is merítettünk belőlük. M8. Mint látható, nem akartuk a teljes geometriai optikát újra - tanulni; csak néhány, számunkra fontos anyagrészt vettünk elő itt, ismét. Ismétlés

16 16 Felhasznált és ajánlott irodalom: [ 1 ] Budó Ágoston ~ Mátrai Tibor: Kísérleti fizika III. kötet ( Optika és atomfizika ) Tankönyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Általános fizika, I. 1. kötet Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, [ 3 ] Bergmann Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik 10. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York, [ 4 ] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Elektrizitaet und Optik 3. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, [ 5 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika, 3. kötet Optika. Anyaghullámok 3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS

OPTIKA. Geometriai optika. Snellius Descartes-törvény. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FIZIKA TÁVOKTATÁS OPTIKA Geometriai optika Snellius Descartes-törvény A fényhullám a geometriai optika szempontjából párhuzamos fénysugarakból áll. A vákuumban haladó fénysugár a geometriai egyenes fizikai megfelelője.

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

Optika fejezet felosztása

Optika fejezet felosztása Optika Optika fejezet felosztása Optika Geometriai optika vagy sugároptika Fizikai optika vagy hullámoptika Geometriai optika A közeg abszolút törésmutatója: c: a fény terjedési sebessége vákuumban, v:

Részletesebben

Megoldás: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk.

Megoldás: feladat adataival végeredménynek 0,46 cm-t kapunk. 37 B-5 Fénynyaláb sík üveglapra 40 -os szöget bezáró irányból érkezik. Az üveg 1,5 cm vastag és törésmutatója. Az üveglap másik oldalán megjelenő fénynyaláb párhuzamos a beeső fénynyalábbal, de oldalirányban

Részletesebben

24. Fénytörés. Alapfeladatok

24. Fénytörés. Alapfeladatok 24. Fénytörés Snellius - Descartes-törvény 1. Alapfeladatok Üvegbe érkezo 760 nm hullámhosszú fénysugár beesési szöge 60 o, törési szöge 30 o. Mekkora a hullámhossza az üvegben? 2. Valamely fény hullámhossza

Részletesebben

A fény visszaverődése

A fény visszaverődése I. Bevezető - A fény tulajdonságai kölcsönhatásokra képes egyenes vonalban terjed terjedési sebessége függ a közeg anyagától (vákuumban 300.000 km/s; gyémántban 150.000 km/s) hullám tulajdonságai vannak

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA I.

GEOMETRIAI OPTIKA I. Elméleti háttér GEOMETRIAI OPTIKA I. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Snellius-Descartes törvény Az új közeg határához érkező fény egy része behatol az új közegbe, és eközben általában

Részletesebben

Optikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján

Optikai alapmérések. Mivel több mérésről van szó, egyesével írom le és értékelem ki őket. 1. Törésmutató meghatározása a törési törvény alapján Optikai alapmérések Mérést végezte: Enyingi Vera Atala Mérőtárs neve: Fábián Gábor (7. mérőpár) Mérés időpontja: 2010. október 15. (12:00-14:00) Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2010. október 22. A mérés

Részletesebben

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building. A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_

Részletesebben

A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról

A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról 1 A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról Az idők során már többször eszünkbe jutott, hogy foglalkozni kellene a címbeli témával. Különösen akkor, amikor olyan függvényábrákat találtunk, melyek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Optika Fénytan A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete Sokkal nagyobb összemérhető A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Elektromágneses spektrum Az elektromágneses hullámokat a keltés módja,

Részletesebben

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával

A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete. Sokkal nagyobb. összemérhető. A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával Optika Fénytan A fény útjába kerülő akadályok és rések mérete Sokkal nagyobb összemérhető A fény hullámhoszánál. A fény hullámhoszával rádióhullám infravörös látható ultraibolya röntgen gamma sugárzás

Részletesebben

Történeti áttekintés

Történeti áttekintés A fény Történeti áttekintés Arkhimédész tükrök segítségével gyújtotta fel a római hajókat. A fény hullámtermészetét Cristian Huygens holland fizikus alapozta meg a 17. században. A fénysebességet először

Részletesebben

A lengőfűrészelésről

A lengőfűrészelésről A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról A vágás, ill. a forgácsolás célja: anyagi részek egymástól való elválasztása. A vágás, ill. a forgácsolás hagyományos eszköze: a kés. A kés a v haladási irányhoz

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a fizika tanításához A lencsék fogalma, fajtái Az optikai lencsék a legegyszerűbb fénytörésen alapuló leképezési eszközök. Fajtái: a domború és a homorú lencse. optikai középpont optikai

Részletesebben

Ellipszis rajzolásához

Ellipszis rajzolásához Ellipszis rajzolásához A szakrajz órákon általában megbeszéljük az ellipszis rajzolását, illetve szerkesztését, kétféleképpen is: ~ a két körrel való pontonkénti szerkesztést 1. ábra, valamint ~ a fonállal

Részletesebben

Geometriai optika. A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik.

Geometriai optika. A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik. Geometriai optika A fénytan (optika) a fényjelenségekkel és a fény terjedési törvényeivel foglalkozik. A geometriai optika egyszerű modell, amely a fény terjedését a fényforrásból minden irányba kilépő

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

E E E W. Előszó. Kifejtés

E E E W. Előszó. Kifejtés Géptan HF - Előszó A fenti feladatot a http://wwwuni-miskolchu/~gtbweb/tantargyak/geptanfeladat04pdfa internet - címen találtam Alább megkísérlem megoldani A feladat összetett az egyes részek külön előadás

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

d) A gömbtükör csak domború tükröző felület lehet.

d) A gömbtükör csak domború tükröző felület lehet. Optika tesztek 1. Melyik állítás nem helyes? a) A Hold másodlagos fényforrás. b) A foszforeszkáló jel másodlagos fényforrás. c) A gyertya lángja elsődleges fényforrás. d) A szentjánosbogár megfelelő potrohszelvénye

Részletesebben

Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika

Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika Fény, mint elektromágneses hullám, geometriai optika Az elektromágneses hullámok egyik fajtája a szemünk által látható fény. Látható fény (400 nm 800 nm) (vörös ibolyakék) A látható fehér fény a különböző

Részletesebben

Kidolgozott minta feladatok optikából

Kidolgozott minta feladatok optikából Kidolgozott minta feladatok optikából 1. Egy asztalon elhelyezünk két síktükröt egymásra és az asztalra is merőleges helyzetben. Az egyik tükörre az asztal lapjával párhuzamosan lézerfényt bocsátunk úgy,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Fénytörés vizsgálata. 1. feladat

Fénytörés vizsgálata. 1. feladat A kísérlet célkitűzései: A fény terjedési tulajdonságainak vizsgálata, törésének kísérleti megfigyelése. Plánparallel lemez és prizma törőtulajdonságainak vizsgálata. Eszközszükséglet: főzőpohár 2 db,

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Geometriai optika. Alapfogalmak. Alaptörvények

Geometriai optika. Alapfogalmak. Alaptörvények Alapfogalmak A geometriai optika a fénysugár fogalmára épül, mely homogén közegben egyenes vonalban terjed, két közeg határán visszaverődik és/vagy megtörik. Alapfogalmak: 1. Fényforrás: az a test, amely

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

OPTIKA. Vékony lencsék, gömbtükrök. Dr. Seres István

OPTIKA. Vékony lencsék, gömbtükrök. Dr. Seres István OPTIKA Vékony lencsék, gömbtükrök Dr. Seres István Geometriai optika 3. Vékony lencsék Kettős gömbelület (vékonylencse) énytörése R 1 és R 2 sugarú gömbelületek között n relatív törésmutatójú közeg o 2

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Az optikai jelátvitel alapjai. A fény két természete, terjedése

Az optikai jelátvitel alapjai. A fény két természete, terjedése Az optikai jelátvitel alapjai A fény két természete, terjedése A fény kettős természete 1. A fény: - Elektromágneses hullám (EMH) - Optikai jelenség Egyes dolgokat a hullám természettel könnyű magyarázni,

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 161 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)

Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

A törési lécről és a törési lépcsőről

A törési lécről és a törési lépcsőről A törési lécről és a törési lépcsőről Ezek a fogalmak az erdészeti tanulmányok során jönnek elő, a fadöntés kapcsán. Magyarázatukhoz tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt írják, hogy a

Részletesebben

TANULÓI KÍSÉRLET (45 perc)

TANULÓI KÍSÉRLET (45 perc) Összeállította: Törökné Török Ildikó TANULÓI KÍSÉRLET (45 perc) A kísérlet, mérés megnevezése, célkitűzései: Az egysejtű élőlények sejtjei és a többsejtű élőlények sejtjei is csak mikroszkóppal láthatóak.

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról

Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról 1 Egy kétszeresen aszimmetrikus kontytető főbb geometriai adatainak meghatározásáról Korábban már több egyszerűbb tető - alak geometriáját leírtuk. Most egy kicsit nehezebb feladat megoldását tűzzük ki

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

Bevezetés Első eredmények Huygens és Newton A fény hullámelmélete Folytatás. Az optika története. SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0

Bevezetés Első eredmények Huygens és Newton A fény hullámelmélete Folytatás. Az optika története. SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Fizikatörténet Az optika története Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 A görög tudomány eredményei Pithagorasz: a szemből kiinduló letapogató nyaláb okozza a látásérzetet Euklidesz: tükrözés

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz

11. Egy Y alakú gumikötél egyik ága 20 cm, másik ága 50 cm. A két ág végeit azonos, f = 4 Hz Hullámok tesztek 1. Melyik állítás nem igaz a mechanikai hullámok körében? a) Transzverzális hullám esetén a részecskék rezgésének iránya merőleges a hullámterjedés irányára. b) Csak a transzverzális hullám

Részletesebben

Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat)

Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat) Különféle erőhatások és erőtörvényeik (vázlat) 1. Erőhatás és erőtörvény fogalma. Erőtörvények a) Rugalmas erő b) Súrlódási erő Tapadási súrlódási erő Csúszási súrlódási erő Gördülési súrlódási erő c)

Részletesebben

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú

Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Jegyzeteim 1. lap Fotó elmélet 2015. október 9. 14:42 Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Kardinális elemek A lencse képalkotását meghatározó geometriai elemek,

Részletesebben

TERMÉSZETTUDOMÁNY JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

TERMÉSZETTUDOMÁNY JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Természettudomány középszint 1012 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 26. TERMÉSZETTUDOMÁNY KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM I. Enzimek, katalizátorok

Részletesebben

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja

EÖTVÖS LABOR EÖTVÖS JÓZSEF GIMNÁZIUM TATA FELADATLAPOK FIZIKA. 11. évfolyam. Gálik András. A Tatai Eötvös József Gimnázium Öveges Programja FELADATLAPOK FIZIKA 11. évfolyam Gálik András ajánlott korosztály: 11. évfolyam 1. REZGÉSIDŐ MÉRÉSE fizika-11-01 1/3! BALESETVÉDELEM, BETARTANDÓ SZABÁLYOK, AJÁNLÁSOK A mérés során használt eszközökkel

Részletesebben

8. Gőz-folyadék egyensúly tanulmányozása kétkomponensű elegyekben. Előkészítő előadás 2015.02.09.

8. Gőz-folyadék egyensúly tanulmányozása kétkomponensű elegyekben. Előkészítő előadás 2015.02.09. 8. Gőz-folyadék egyensúly tanulmányozása kétkomponensű elegyekben Előkészítő előadás 2015.02.09. Elméleti áttekintés Gőznyomás: adott hőmérsékleten egy anyag folyadék fázisával egyensúlyt tartó gőzének

Részletesebben

OPTIKA. Vékony lencsék képalkotása. Dr. Seres István

OPTIKA. Vékony lencsék képalkotása. Dr. Seres István OPTIKA Vékony lencsék képalkotása Dr. Seres István Vékonylencse fókusztávolsága D 1 f (n 1) 1 R 1 1 R 2 Ha f > 0, gyűjtőlencse R > 0, ha domború felület R < 0, ha homorú felület n a relatív törésmutató

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Fotó elmélet 2015. szeptember 28. 15:03 Fény tulajdonságai a látható fény. 3 fő tulajdonsága 3 fizikai mennyiség Intenzitás Frekvencia polarizáció A látható fények amiket mi is látunk Ibolya 380-425 Kék

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1

Tornyai Sándor Fizikaverseny 2009. Megoldások 1 Tornyai Sánor Fizikaerseny 9. Megolások. Aatok: á,34 m/s, s 6,44 km 644 m,,68 m/s,,447 m/s s Az első szakasz megtételéez szükséges iő: t 43 s. pont A másoik szakaszra fennáll, ogy s t pont s + s t + t

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

A teljes elektromágneses színkép áttekintése

A teljes elektromágneses színkép áttekintése Az elektromágneses spektrum. Geometriai optika: visszaverődés, törés, diszperzió. Lencsék és tükrök képalkotása (nevezetes sugarak, leképezési törvény) A teljes elektromágneses színkép áttekintése Az elektromágneses

Részletesebben