PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14.
|
|
- Regina Pásztorné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 0. február 4. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS 0. február 4. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ - -
2 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget! cos x 4cos x cos x ( pont) A cos x cos x sin x azonosság felhasználásával a jobb oldal: cos x sin x A trigonometrikus Pitagorasz-tételt felhasználva alakítjuk tovább a jobb oldalt: cos x cos x 6cos x ( pont) Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezzük: cos xcos x 0 A másodfokúra visszavezethető kifejezés gyökei: cos x ( pont) cos x Mivel a másodfokúra visszavezethető kifejezés nagyobb, vagy egyenlő, mint 0, ezért: cos x, vagy cos x Csak az első egyenlőtlenséggel haladunk tovább, hiszen a koszinusz függvény értékkészletéből adódóan -nél kisebb értéket nem vehet fel! A két hely, ahol a cos x függvény : x k ( pont) x k A két hely között találjuk azt az intervallumot, periódusonként, mely eleget tesz a fennmaradt egyenlőtlenségnek: k x k, k ( pont) (Természetesen az is jó megoldásnak számít, ha például egy periódussal későbbi megoldás intervallumot adunk meg: 7 k x k, k ) Összesen: pont - -
3 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben az f : ;9, f x x 8x függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az x 8x p egyenletnek az ;9 intervallumon? (8 pont) a) f x x 8x x 4 4 A helyes ábráért, helyes koordináta-rendszer felrajzolásáért, zérushelyek feltüntetésért jár a pont. ( pont) y O 6 9 x b) A függvény értékkészletének két szélsőértéke adódik a függvény ábrájából. A függvény minimum értéke a 0. A másik szélsőértéket megkapjuk, ha megvizsgáljuk, hogy x 9 helyen milyen értéket vesz fel a függvény (melyet azonban nem ér el): x 9 f x. Tehát f értékkészlete: 0;. c) Az ábrázolás alapján adódnak a lehetséges variációk. Ezek p értékétől függően: Ha p 0, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha p 0, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha 0 p 4, akkor 4 megoldása van az egyenletnek. Ha p 4, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha 4 p, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha p, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha p, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 4 pont - -
4 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) Tekintse az alábbi két halmazt! A x x x B x log 7 x Adja meg az AB, A B, B \ A halmazokat! ( pont) Először tekintsük az A halmazt. Az értelmezési tartomány a gyök miatt: ; Ahhoz, hogy az egyenlőtlenség négyzetre emelése ekvivalens átalakítás lehessen, vizsgálnunk kell a jobboldalt, mivel a baloldal miatt nemnegatívnak kell lennie. Ezután a belső kikötés alapján adódik: 0;, ami a szűkebb értelmezési tartományt képviseli. A négyzetre emelés után adódik: x 4x 0 4x x A másodfokú kifejezés gyökei, és ebből adódóan az intervallum: x ; x 4 ; ; 4 Az értelmezési tartománnyal egyeztetve: A ;. A B halmaz értelmezési tartománya a logaritmus miatt: ;7. Logaritmus azonosság alapján adódik: log 7 x log 7 x log Az alapú logaritmus szigorúan monoton csökkenő, ezért elhagyhatjuk a logaritmust mindkét oldalon, úgy, hogy a relációs jel irányát megváltoztatjuk: 7 x ; Az értelmezési tartomány egyeztetésével: B ;7. Végül a halmazműveletek által képzett új halmazok a következők: A B ; AB ;7 B\ A Összesen: pont - 4 -
5 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 4) a) Adott egy a n számtani sorozat, melynek első tagja 6, differenciája pedig 4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a számtani sorozatnak az első 0 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztva egy olyan tagot kapunk, mely -mal osztva maradékul -öt ad? (7 pont) b mértani sorozat, melynek első tagja 6, kvóciense pedig 4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a mértani sorozatnak az első 06 tagjából egyet b) Adott egy n véletlenszerűen kiválasztva egy olyan tagot kapunk, mely -mal osztva maradékul -öt ad? (6 pont) a) A számtani sorozatban az első tagtól kezdve megfigyeljük a -mal való osztás maradékát. Ezek rendre: 6, 0,,, 9, 0, 4, 8,,, 7,,,... Megfigyelhető, hogy az osztási maradékok ciklikusan váltakoznak, hiszen mindig 4-et adunk az előző számhoz. Tehát a maradékok folytatása 6, 0,,, A periódus, tehát minden. tag -mal osztva maradékul -öt ad. ( pont) Mivel a 0. tagig 0 teljes ciklus megy végig, a keresett valószínűség:. ( pont) b) A mértani sorozatban az első tagtól kezdve megint csak megfigyeljük a -mal való osztás maradékát. Ezek rendre: 6,,, 7,, 8, A maradékok ebben az esetben is ciklikusan váltakoznak, hiszen mindig 4-gyel szorozzuk az előző számot. Tehát a maradékok folytatása 6,,, A periódus 6, azaz minden 6. tag -mal osztva -öt ad maradékul. ( pont) A keresett valószínűség, mivel a 06. tagig 6 teljes ciklus meg végbe: 6. ( pont) Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: pont - -
6 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) Egy átlagos magyar mezőgazdaság 780 egyedet számláló állatállománya tehenekből és szárnyasokból áll. Ezen állatok 6%-át a húsukért tartják, %-át pedig a termékeik (pl. tojás, tej) miatt. A húsukért tartott állatok és a teljes állatállomány aránya 0 -szer akkora, mint a húsukért tartott tehenek és az összes tehén számának aránya. A húsukért tartott tehenek aránya az összes tehén között 8 -szer akkora, mint amekkora ez az arány a szárnyasok között. a) Hány tehén és hány szárnyas van a mezőgazdaságban? A számításait végig pontos értékekkel végezze! ( pont) Valójában az egész mezőgazdaság csak virtuális és az interneten egy alkalmazás keretein belül létezik. Viki a játék megszállottja más ismerőseivel egyetemben aktívan egyengeti kis tanyájának életét. Egy szép délutánon Farm találkozót szerveznek, hogy élőben vitassák meg a virtuális eseményeket. Viki másik játékosra kicsit haragszik, mert azok nem küldözgetnek neki ajándék takarmányt. b) Ha a találkozó elején csak azokkal hajlandó pacsizni, akikre nem haragszik, rajta kívül viszont mindenki mindenkivel pacsizik, akkor hányan lehetnek a találkozón Vikivel együtt, ha összesen 8 pacsi születik? (4 pont) a) Jelölje t a tehenek számát, sz pedig a szárnyasok számát a mezőgazdaságban. A szárnyasok száma ekkor: sz 780 t A húsukért tartott állatok aránya a teljes állatállományban 780-nak a 6%-a, azaz 07 darab. A húsukért tartott állatok aránya a teljes állatállományban 0,6. Ennek a 0 -ad része 0,, tehát a tehenek felét tartják a húsukért. A húsukért tartott állatok száma a szárnyasok között az előző arányszámnak a 8 -szorosa: 0, 0, 687 ( pont) 8 Tehát a húsukért tartott tehenek száma 0,t. A húsukért tartott szárnyasok száma pedig 0, t. A kettő összegét ismerjük a korábbi számításunkból, így adódik az egyenlet: 0, t 0, t 07 Ezt végigoldva: 0,t 6, 6 0, 687t 07 0,87t 9, ( pont) t 6 sz Tehát a mezőgazdaságban 6 darab tehén és 64 darab szárnyas van. Ellenőrizni kell, hogy bár a végeredmények egész számok, vajon a további megkülönböztetett csoportok is egész számot adnak-e. A húsukért tartott tehenek száma 78, a húsukért tartott szárnyasok száma pedig 49, így a megoldás valóban helyes! - 6 -
7 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) A találkozón résztvevők számát jelöljük n-nel, Vikivel együtt. A feladat szövegéből tudjuk, hogy Viki n résztvevővel pacsizott, hiszen önmagával és két másik ismerősével nem érintkezett. Tudjuk továbbá, hogy a maradék n résztvevő közül mindenki mindenkivel pacsizott. Tehát fel tudjuk írni az alábbi egyenletet, az egyszerű gráf éleinek számát megadó képlet segítségével: n n n 8 (Természetesen az is jó logikai menet és jár érte a pont, ha abból indulunk ki, hogy -vel kevesebb pacsizás történt annál, mintha mindenki mindenkivel pacsizott volna. Azaz: nn 0.) Az egyenletet rendezve, és n gyökeit kiszámolva kapjuk: n n 40 0 n ; n 6 Mivel élő emberekről beszélünk, ezért a negatív gyök nem ad jó megoldást, tehát Vikivel együtt 6 résztvevő volt a találkozón. Összesen: 6 pont - 7 -
8 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 6) Adott egy egyenlőszárú háromszög, melyről tudjuk, hogy szárainak hossza 6 egység, metszéspontjuk pedig a C ; pontba esik. A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik a 4y 8 x egyenletű parabolára. a) Számítsa ki a másik két csúcs koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ez az egyenes a parabolát még egy pontban metszi (D). Határozza meg a D pont koordinátáit! (6 pont) c) Vica és Tomi matematika csoportja dolgozatot írt a fenti két feladatból. A maximálisan megszerezhető 0 pontból a diákok a következő pontszámokat érték el: 8, 6, 8, 9, 0, 6,,, 4, 9,, 9. Adja meg a pontszámokból álló adatsokaság mediánját és móduszát és értelmezze is azokat! (4 pont) a) A háromszög másik két csúcsa rajta van a C középpontú 6 egység sugarú körön. Ezen kör egyenlete: x y 6 A maradék két csúcs és a parabola metszéspontjait a kör és a parabola egyenlete által alkotott egyenletrendszer gyökei adják meg: I. x y 6 II. 4y 8 x Láthatjuk, hogy mindkét egyenletben szerepel az x kifejezés, ami a második egyenletben ki is van fejezve. Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe, majd továbbalakítjuk: y 4y 8 6 4y 8 y 0y 6 y 4y 0 A másodfokú kifejezés gyökei y 6 és y, melyek közül csak az y ad megoldást, hiszen y 6 esetén x nem esik a valós számok halmazába. Az y gyököt visszahelyettesítve a második egyenletbe adódik: x x x ; x Tehát a két pont koordinátái: ;, ; A B
9 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) Vegyük az AC szár egyenesének egyenletét a két ponton átmenő egyenes egyenletéből kiindulva: x y A zárójeleket felbontva: 7x4y 7 (A BC szár egyenesének egyenlete: 7x 4y ) A D pont koordinátáit az AC szár egyenesének és a görbe egyenletének A csúcstól különböző metszéspontja adja meg: I. 7x4y7 II. 4y 8 x Az első egyenletből y-t kifejezve és azt a második egyenletbe behelyettesítve: 7x 7 8 x x x 9x 0 0 Az egyenletrendszer A csúcstól különböző megoldáspárja: x 4 y. 4 A D csúcs koordinátái tehát: D 4; 4 (A BC szár egyenesének B csúcstól különböző metszéspontja a görbével: D ; 4 ) c) A medián meghatározásához növekvő sorrendbe rendezzük a pontszámokat. A medián a sorba rendezett sokaság középső két tagjának (6. és 7. tag) átlaga, mivel páros számú sokaságról beszélünk:, 4,,, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, Tehát Vica és Tomi matematika csoportjának diákjai által elért pontszámok egyik fele kisebb, másik fele nagyobb, mint 7 pont. A módusz egy adatsokaság leggyakrabban előforduló eleme. Az adatsokaságban a 9 pont fordul elő a leggyakrabban, tehát a módusz 9. Vica és Tomi matematika csoportjának diákjai által elért pontszámok között 9 pontos eredmény szerepelt a legtöbbször. Összesen: 6 pont - 9 -
10 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 7) Adott egy érintőnégyszög, melyről tudjuk, hogy oldalának aránya :4:7, illetve két szemben lévő oldalának összege, cm. a) Mekkorák az érintőnégyszög oldalai? ( pont) Matematika órán Péter, Olivér és Sándor megoldották a fenti példát, és vitába keveredtek, mert mindhármuknak más eredmény jött ki. A következő állításokat tették: Péter: Ilyen érintőnégyszög nem létezik! Olivér: Az érintőnégyszög egyik oldala cm hosszú! Sándor: Az érintőnégyszögnek van olyan oldala, mely, cm-nél is rövidebb! b) Melyikük állítása igaz a feltételnek megfelelő érintőnégyszögre? ( pont) a) Az érintőnégyszög-tétel alapján a szemközti oldalak összege egyenlő, így párban két-két szemközti oldal összege a négyszögnek, cm. Ha az érintőnégyszög oldalait sorrendben a, b, c, d-vel jelöljük: a c b d, A megadott arányszámok nem feltétlenül követik az oldalak sorrendjét a négyszögben, ezért három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a három arányszám közül melyik két oldal van egymással szemben. ( pont). négyszög arány egysége a b c d x 4x 7x 9x, x,,, cm 4, cm 7, 8,7 cm, 6, cm. négyszög 6y, y,87 y 7y 4y,87 7,87 4,87,7 cm, cm 7, cm,, cm nincs ilyen érintő négyszög! 4z z 7z. négyszög z, z,0 4,0 4,09 cm,0,0 cm 7,0 7,6 cm,,04 9,0 cm A (helyesen) vizsgált esetenként - pont jár. (9 pont) Tehát a. négyszög nem létezik, mivel a negyedik oldala negatív lenne, ami nem lehetséges egy síkidomnál. A másik két megoldás adódik a táblázatból. b) Mindhárman egy-egy esettel találkoztak a feladat megoldása során. Péter állítása a második esethez tartozó érintőnégyszögre igaz, Olivér állítása az első esethez tartozó érintőnégyszögre igaz, Sándor állítása pedig a harmadik esethez tartozó érintőnégyszögre igaz. Tehát a saját megoldásukat tekintve mindhármuk állításának van igazságértéke, hiszen vannak olyan érintőnégyszögek, amelyekre a fenti táblázat bizonyos esetei igazak. ( pont) (Természetesen az is jó válasznak minősül, hogy összességében egyiknek sincs igaza, hiszen egyikük sem az összes esetről tett állítást, azonban fontos kiemelnünk, hogy mindhármuknak egy adott esetet tekintve igazuk volt.) Összesen: 6 pont - 0 -
11 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 8) Katinka egy különleges kocka dobálgatásával tölti unalmas perceit. A kocka attól különleges, hogy 0% eséllyel az egyik élén áll meg, ekkor Katinka úgy veszi, mintha 0-t dobott volna. a) Katinka hatszor dob a kockával és minden egyes dobás értékét felírja egy papírra. A 6. dobás után hány különböző hatjegyű szám szerepelhet a papírlapján? ( pont) b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 6 dobásból legfeljebb kétszer párost dobott? Az eredményt tizedesjegyre kerekítve adja meg! (9 pont) c) Az előző izgalmas játék után Katinka ötvenszer egymás után dobott a kockával. Ötször azt tapasztalta, hogy az élén állt meg. Ha az előző 0 dobásból emlékezete alapján véletlenszerűen kiválaszt 0 dobást, mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott dobások közül kétszer az élén állt meg a kocka? Az eredményt tizedesjegyre kerekítve adja meg! (4 pont) a) Mivel a kocka az élére is állhat, ezzel 0-t dobván, 7 különböző értéket lehet dobni. Mivel egy hatjegyű szám nem kezdődhet 0-val (hiszen onnantól kezdve csak ötjegyű számról beszélhetünk), ezért az első helyiértékre 6 féle érték, a maradék helyiértékre 7 féle érték kerülhet , tehát különböző hatjegyű számot képezhet. b) Mivel a kockadobásoknál van esély arra, hogy az élén áll meg a kocka, és ezáltal 0-t dobott 0 Katinka, a maradék hatféle érték dobásának valószínűsége: ( pont) A páros számú értékek, amelyeket dobhat: 0,, 4, 6. Tehát annak a valószínűsége, hogy dobás során a dobott szám értéke páros: p (Ha kihagyta, vagy elfelejtette, hogy az élére is állhat a kocka, akkor nem jár az ezt megelőző 4 pont! Azonban, ha innentől a megfelelő logikai menetet követve halad tovább a következő pontok megadhatóak!) A binomiális eloszlás képletét alkalmazva adódik: k 6k 6 9 k 0 k ( pont) , ( pont) Tehát annak a valószínűsége, hogy Katinka 6 dobásából legfeljebb kétszer dobott páros értékű számot 0,. c) A hipergeometrikus eloszlás képletét alkalmazva: 4 8 0,76 0 P 0,64 0 4,70 0 ( pont) Tehát annak a valószínűsége, hogy az 0 dobásból véletlenszerűen 0-at kiválasztva a kiválasztott dobások közül kétszer az élén állt meg a kocka 0,4. Összesen: 6 pont - -
12 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 9) Adott az alábbi függvény! f : ; ; f x x x x a) Elemezze f függvényt zérushelyei, monotonitása, valamint lokális szélsőértékeinek helye és értéke alapján a deriváltfüggvényének segítségével! ( pont) g : ; függvényt, amelynek deriváltfüggvénye f, tehát b) Adja meg azt a g f, és ezen kívül g 0 is teljesül! (4 pont) a) Az f függvény zérushelyeit megkapjuk, ha először szorzattá alakítjuk a kifejezést: x x x 0 x x x 0 x 0 Végül alkalmazzuk a másodfokú függvény megoldóképletét: x x0 x, x,79; x,79 Ügyelünk az értelmezési tartományra ( ; ), mely alapján a 0 és a,79 lesz f zérushelye! Az f függvény deriváltfüggvénye a következő: f : ; f x x x. A másodfokú megoldóképlet segítségével meghatározzuk f zérushelyeit: x x 0 x ; x. Mivel f függvény főegyütthatója pozitív, ezért tudhatjuk, hogy f értékei x esetén pozitívak, x esetén negatívak, x esetén pozitívak. Vizsgálnunk kell azt is, hogy az értelmezési tartomány két határán nincs-e a függvénynek lokális szélsőértéke! Ebben az esetben nincs. x x x x f x x x x f x f fx 0 fx 0 0 f 0 0 f szig. mon. nő lokális maximum f szig. mon. csökken lokális minimum f 7 7 szig. mon. nő Ezek alapján az f függvény menete: A ; intervallumon szigorúan monoton növekvő. Az x helyen lokális maximuma van, melynek értéke. A ; intervallumon szigorúan monoton csökkenő. 7 Az x helyen lokális minimuma van, melynek értéke. 7 A ; intervallumon szigorúan monoton növekvő. - -
13 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) Gyakorlatilag f függvény egy konkrét primitív függvényét keressük, melyet g jelöl: 4 x x x g x c c 4 Tudjuk még, hogy a g függvény az helyen a 0 értéket veszi fel, ebből kiszámoljuk c értékét: 4 g 0 c 0 4 ( pont) c Tehát a keresett primitív függvény: 4 x x x g x 4 Összesen: 6 pont Maximális elérhető pontszám: 64 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: pont - -
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ
STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. február 14. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. február 14. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Név E-mail cím Tanárok
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.
1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
Részletesebben1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
Részletesebben2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!
1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.
RészletesebbenMatematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT
Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebbenc.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
Részletesebben2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.
1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
Részletesebben= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)
Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenV. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam
01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenI. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja!
Feladatsor I. rész Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Adja meg az alábbi állítások
RészletesebbenMegoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.
1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
Részletesebben1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. október 5. EMELT SZINT 1) Egy háromszög két csúcsa A B I. 8; ; 1;5 a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y 6x 4y 1 0. a) Adja meg a
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.
1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenPróbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:
Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen:
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 18.
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 07. február 8. Studium Generale Középszintű próbaérettségi megoldókulcs MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Próbaérettségi
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.
1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer
RészletesebbenI. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?
1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
Részletesebbentörtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont
1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. október 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! lg x+ 7 + lg x+ = (5 pont) a) b) x x (6 pont) a) A logaritmus azonosságait és a 0-es alapú
RészletesebbenM/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24
OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Részletesebben1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR
1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenIV. Felkészítő feladatsor
IV. Felkészítő feladatsor 1. Az A halmaz elemei a (-7)-nél nagyobb, de 4-nél kisebb egész számok. B a nemnegatív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! I. 2. Adott a
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben