PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14."

Átírás

1 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 0. február 4. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS 0. február 4. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ - -

2 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget! cos x 4cos x cos x ( pont) A cos x cos x sin x azonosság felhasználásával a jobb oldal: cos x sin x A trigonometrikus Pitagorasz-tételt felhasználva alakítjuk tovább a jobb oldalt: cos x cos x 6cos x ( pont) Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezzük: cos xcos x 0 A másodfokúra visszavezethető kifejezés gyökei: cos x ( pont) cos x Mivel a másodfokúra visszavezethető kifejezés nagyobb, vagy egyenlő, mint 0, ezért: cos x, vagy cos x Csak az első egyenlőtlenséggel haladunk tovább, hiszen a koszinusz függvény értékkészletéből adódóan -nél kisebb értéket nem vehet fel! A két hely, ahol a cos x függvény : x k ( pont) x k A két hely között találjuk azt az intervallumot, periódusonként, mely eleget tesz a fennmaradt egyenlőtlenségnek: k x k, k ( pont) (Természetesen az is jó megoldásnak számít, ha például egy periódussal későbbi megoldás intervallumot adunk meg: 7 k x k, k ) Összesen: pont - -

3 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben az f : ;9, f x x 8x függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az x 8x p egyenletnek az ;9 intervallumon? (8 pont) a) f x x 8x x 4 4 A helyes ábráért, helyes koordináta-rendszer felrajzolásáért, zérushelyek feltüntetésért jár a pont. ( pont) y O 6 9 x b) A függvény értékkészletének két szélsőértéke adódik a függvény ábrájából. A függvény minimum értéke a 0. A másik szélsőértéket megkapjuk, ha megvizsgáljuk, hogy x 9 helyen milyen értéket vesz fel a függvény (melyet azonban nem ér el): x 9 f x. Tehát f értékkészlete: 0;. c) Az ábrázolás alapján adódnak a lehetséges variációk. Ezek p értékétől függően: Ha p 0, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha p 0, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha 0 p 4, akkor 4 megoldása van az egyenletnek. Ha p 4, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha 4 p, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha p, akkor megoldása van az egyenletnek. Ha p, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 4 pont - -

4 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) Tekintse az alábbi két halmazt! A x x x B x log 7 x Adja meg az AB, A B, B \ A halmazokat! ( pont) Először tekintsük az A halmazt. Az értelmezési tartomány a gyök miatt: ; Ahhoz, hogy az egyenlőtlenség négyzetre emelése ekvivalens átalakítás lehessen, vizsgálnunk kell a jobboldalt, mivel a baloldal miatt nemnegatívnak kell lennie. Ezután a belső kikötés alapján adódik: 0;, ami a szűkebb értelmezési tartományt képviseli. A négyzetre emelés után adódik: x 4x 0 4x x A másodfokú kifejezés gyökei, és ebből adódóan az intervallum: x ; x 4 ; ; 4 Az értelmezési tartománnyal egyeztetve: A ;. A B halmaz értelmezési tartománya a logaritmus miatt: ;7. Logaritmus azonosság alapján adódik: log 7 x log 7 x log Az alapú logaritmus szigorúan monoton csökkenő, ezért elhagyhatjuk a logaritmust mindkét oldalon, úgy, hogy a relációs jel irányát megváltoztatjuk: 7 x ; Az értelmezési tartomány egyeztetésével: B ;7. Végül a halmazműveletek által képzett új halmazok a következők: A B ; AB ;7 B\ A Összesen: pont - 4 -

5 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 4) a) Adott egy a n számtani sorozat, melynek első tagja 6, differenciája pedig 4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a számtani sorozatnak az első 0 tagjából egyet véletlenszerűen kiválasztva egy olyan tagot kapunk, mely -mal osztva maradékul -öt ad? (7 pont) b mértani sorozat, melynek első tagja 6, kvóciense pedig 4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ennek a mértani sorozatnak az első 06 tagjából egyet b) Adott egy n véletlenszerűen kiválasztva egy olyan tagot kapunk, mely -mal osztva maradékul -öt ad? (6 pont) a) A számtani sorozatban az első tagtól kezdve megfigyeljük a -mal való osztás maradékát. Ezek rendre: 6, 0,,, 9, 0, 4, 8,,, 7,,,... Megfigyelhető, hogy az osztási maradékok ciklikusan váltakoznak, hiszen mindig 4-et adunk az előző számhoz. Tehát a maradékok folytatása 6, 0,,, A periódus, tehát minden. tag -mal osztva maradékul -öt ad. ( pont) Mivel a 0. tagig 0 teljes ciklus megy végig, a keresett valószínűség:. ( pont) b) A mértani sorozatban az első tagtól kezdve megint csak megfigyeljük a -mal való osztás maradékát. Ezek rendre: 6,,, 7,, 8, A maradékok ebben az esetben is ciklikusan váltakoznak, hiszen mindig 4-gyel szorozzuk az előző számot. Tehát a maradékok folytatása 6,,, A periódus 6, azaz minden 6. tag -mal osztva -öt ad maradékul. ( pont) A keresett valószínűség, mivel a 06. tagig 6 teljes ciklus meg végbe: 6. ( pont) Összesen: pont Maximális elérhető pontszám: pont - -

6 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. ) Egy átlagos magyar mezőgazdaság 780 egyedet számláló állatállománya tehenekből és szárnyasokból áll. Ezen állatok 6%-át a húsukért tartják, %-át pedig a termékeik (pl. tojás, tej) miatt. A húsukért tartott állatok és a teljes állatállomány aránya 0 -szer akkora, mint a húsukért tartott tehenek és az összes tehén számának aránya. A húsukért tartott tehenek aránya az összes tehén között 8 -szer akkora, mint amekkora ez az arány a szárnyasok között. a) Hány tehén és hány szárnyas van a mezőgazdaságban? A számításait végig pontos értékekkel végezze! ( pont) Valójában az egész mezőgazdaság csak virtuális és az interneten egy alkalmazás keretein belül létezik. Viki a játék megszállottja más ismerőseivel egyetemben aktívan egyengeti kis tanyájának életét. Egy szép délutánon Farm találkozót szerveznek, hogy élőben vitassák meg a virtuális eseményeket. Viki másik játékosra kicsit haragszik, mert azok nem küldözgetnek neki ajándék takarmányt. b) Ha a találkozó elején csak azokkal hajlandó pacsizni, akikre nem haragszik, rajta kívül viszont mindenki mindenkivel pacsizik, akkor hányan lehetnek a találkozón Vikivel együtt, ha összesen 8 pacsi születik? (4 pont) a) Jelölje t a tehenek számát, sz pedig a szárnyasok számát a mezőgazdaságban. A szárnyasok száma ekkor: sz 780 t A húsukért tartott állatok aránya a teljes állatállományban 780-nak a 6%-a, azaz 07 darab. A húsukért tartott állatok aránya a teljes állatállományban 0,6. Ennek a 0 -ad része 0,, tehát a tehenek felét tartják a húsukért. A húsukért tartott állatok száma a szárnyasok között az előző arányszámnak a 8 -szorosa: 0, 0, 687 ( pont) 8 Tehát a húsukért tartott tehenek száma 0,t. A húsukért tartott szárnyasok száma pedig 0, t. A kettő összegét ismerjük a korábbi számításunkból, így adódik az egyenlet: 0, t 0, t 07 Ezt végigoldva: 0,t 6, 6 0, 687t 07 0,87t 9, ( pont) t 6 sz Tehát a mezőgazdaságban 6 darab tehén és 64 darab szárnyas van. Ellenőrizni kell, hogy bár a végeredmények egész számok, vajon a további megkülönböztetett csoportok is egész számot adnak-e. A húsukért tartott tehenek száma 78, a húsukért tartott szárnyasok száma pedig 49, így a megoldás valóban helyes! - 6 -

7 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) A találkozón résztvevők számát jelöljük n-nel, Vikivel együtt. A feladat szövegéből tudjuk, hogy Viki n résztvevővel pacsizott, hiszen önmagával és két másik ismerősével nem érintkezett. Tudjuk továbbá, hogy a maradék n résztvevő közül mindenki mindenkivel pacsizott. Tehát fel tudjuk írni az alábbi egyenletet, az egyszerű gráf éleinek számát megadó képlet segítségével: n n n 8 (Természetesen az is jó logikai menet és jár érte a pont, ha abból indulunk ki, hogy -vel kevesebb pacsizás történt annál, mintha mindenki mindenkivel pacsizott volna. Azaz: nn 0.) Az egyenletet rendezve, és n gyökeit kiszámolva kapjuk: n n 40 0 n ; n 6 Mivel élő emberekről beszélünk, ezért a negatív gyök nem ad jó megoldást, tehát Vikivel együtt 6 résztvevő volt a találkozón. Összesen: 6 pont - 7 -

8 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 6) Adott egy egyenlőszárú háromszög, melyről tudjuk, hogy szárainak hossza 6 egység, metszéspontjuk pedig a C ; pontba esik. A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik a 4y 8 x egyenletű parabolára. a) Számítsa ki a másik két csúcs koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ez az egyenes a parabolát még egy pontban metszi (D). Határozza meg a D pont koordinátáit! (6 pont) c) Vica és Tomi matematika csoportja dolgozatot írt a fenti két feladatból. A maximálisan megszerezhető 0 pontból a diákok a következő pontszámokat érték el: 8, 6, 8, 9, 0, 6,,, 4, 9,, 9. Adja meg a pontszámokból álló adatsokaság mediánját és móduszát és értelmezze is azokat! (4 pont) a) A háromszög másik két csúcsa rajta van a C középpontú 6 egység sugarú körön. Ezen kör egyenlete: x y 6 A maradék két csúcs és a parabola metszéspontjait a kör és a parabola egyenlete által alkotott egyenletrendszer gyökei adják meg: I. x y 6 II. 4y 8 x Láthatjuk, hogy mindkét egyenletben szerepel az x kifejezés, ami a második egyenletben ki is van fejezve. Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe, majd továbbalakítjuk: y 4y 8 6 4y 8 y 0y 6 y 4y 0 A másodfokú kifejezés gyökei y 6 és y, melyek közül csak az y ad megoldást, hiszen y 6 esetén x nem esik a valós számok halmazába. Az y gyököt visszahelyettesítve a második egyenletbe adódik: x x x ; x Tehát a két pont koordinátái: ;, ; A B

9 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) Vegyük az AC szár egyenesének egyenletét a két ponton átmenő egyenes egyenletéből kiindulva: x y A zárójeleket felbontva: 7x4y 7 (A BC szár egyenesének egyenlete: 7x 4y ) A D pont koordinátáit az AC szár egyenesének és a görbe egyenletének A csúcstól különböző metszéspontja adja meg: I. 7x4y7 II. 4y 8 x Az első egyenletből y-t kifejezve és azt a második egyenletbe behelyettesítve: 7x 7 8 x x x 9x 0 0 Az egyenletrendszer A csúcstól különböző megoldáspárja: x 4 y. 4 A D csúcs koordinátái tehát: D 4; 4 (A BC szár egyenesének B csúcstól különböző metszéspontja a görbével: D ; 4 ) c) A medián meghatározásához növekvő sorrendbe rendezzük a pontszámokat. A medián a sorba rendezett sokaság középső két tagjának (6. és 7. tag) átlaga, mivel páros számú sokaságról beszélünk:, 4,,, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, Tehát Vica és Tomi matematika csoportjának diákjai által elért pontszámok egyik fele kisebb, másik fele nagyobb, mint 7 pont. A módusz egy adatsokaság leggyakrabban előforduló eleme. Az adatsokaságban a 9 pont fordul elő a leggyakrabban, tehát a módusz 9. Vica és Tomi matematika csoportjának diákjai által elért pontszámok között 9 pontos eredmény szerepelt a legtöbbször. Összesen: 6 pont - 9 -

10 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 7) Adott egy érintőnégyszög, melyről tudjuk, hogy oldalának aránya :4:7, illetve két szemben lévő oldalának összege, cm. a) Mekkorák az érintőnégyszög oldalai? ( pont) Matematika órán Péter, Olivér és Sándor megoldották a fenti példát, és vitába keveredtek, mert mindhármuknak más eredmény jött ki. A következő állításokat tették: Péter: Ilyen érintőnégyszög nem létezik! Olivér: Az érintőnégyszög egyik oldala cm hosszú! Sándor: Az érintőnégyszögnek van olyan oldala, mely, cm-nél is rövidebb! b) Melyikük állítása igaz a feltételnek megfelelő érintőnégyszögre? ( pont) a) Az érintőnégyszög-tétel alapján a szemközti oldalak összege egyenlő, így párban két-két szemközti oldal összege a négyszögnek, cm. Ha az érintőnégyszög oldalait sorrendben a, b, c, d-vel jelöljük: a c b d, A megadott arányszámok nem feltétlenül követik az oldalak sorrendjét a négyszögben, ezért három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a három arányszám közül melyik két oldal van egymással szemben. ( pont). négyszög arány egysége a b c d x 4x 7x 9x, x,,, cm 4, cm 7, 8,7 cm, 6, cm. négyszög 6y, y,87 y 7y 4y,87 7,87 4,87,7 cm, cm 7, cm,, cm nincs ilyen érintő négyszög! 4z z 7z. négyszög z, z,0 4,0 4,09 cm,0,0 cm 7,0 7,6 cm,,04 9,0 cm A (helyesen) vizsgált esetenként - pont jár. (9 pont) Tehát a. négyszög nem létezik, mivel a negyedik oldala negatív lenne, ami nem lehetséges egy síkidomnál. A másik két megoldás adódik a táblázatból. b) Mindhárman egy-egy esettel találkoztak a feladat megoldása során. Péter állítása a második esethez tartozó érintőnégyszögre igaz, Olivér állítása az első esethez tartozó érintőnégyszögre igaz, Sándor állítása pedig a harmadik esethez tartozó érintőnégyszögre igaz. Tehát a saját megoldásukat tekintve mindhármuk állításának van igazságértéke, hiszen vannak olyan érintőnégyszögek, amelyekre a fenti táblázat bizonyos esetei igazak. ( pont) (Természetesen az is jó válasznak minősül, hogy összességében egyiknek sincs igaza, hiszen egyikük sem az összes esetről tett állítást, azonban fontos kiemelnünk, hogy mindhármuknak egy adott esetet tekintve igazuk volt.) Összesen: 6 pont - 0 -

11 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 8) Katinka egy különleges kocka dobálgatásával tölti unalmas perceit. A kocka attól különleges, hogy 0% eséllyel az egyik élén áll meg, ekkor Katinka úgy veszi, mintha 0-t dobott volna. a) Katinka hatszor dob a kockával és minden egyes dobás értékét felírja egy papírra. A 6. dobás után hány különböző hatjegyű szám szerepelhet a papírlapján? ( pont) b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 6 dobásból legfeljebb kétszer párost dobott? Az eredményt tizedesjegyre kerekítve adja meg! (9 pont) c) Az előző izgalmas játék után Katinka ötvenszer egymás után dobott a kockával. Ötször azt tapasztalta, hogy az élén állt meg. Ha az előző 0 dobásból emlékezete alapján véletlenszerűen kiválaszt 0 dobást, mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott dobások közül kétszer az élén állt meg a kocka? Az eredményt tizedesjegyre kerekítve adja meg! (4 pont) a) Mivel a kocka az élére is állhat, ezzel 0-t dobván, 7 különböző értéket lehet dobni. Mivel egy hatjegyű szám nem kezdődhet 0-val (hiszen onnantól kezdve csak ötjegyű számról beszélhetünk), ezért az első helyiértékre 6 féle érték, a maradék helyiértékre 7 féle érték kerülhet , tehát különböző hatjegyű számot képezhet. b) Mivel a kockadobásoknál van esély arra, hogy az élén áll meg a kocka, és ezáltal 0-t dobott 0 Katinka, a maradék hatféle érték dobásának valószínűsége: ( pont) A páros számú értékek, amelyeket dobhat: 0,, 4, 6. Tehát annak a valószínűsége, hogy dobás során a dobott szám értéke páros: p (Ha kihagyta, vagy elfelejtette, hogy az élére is állhat a kocka, akkor nem jár az ezt megelőző 4 pont! Azonban, ha innentől a megfelelő logikai menetet követve halad tovább a következő pontok megadhatóak!) A binomiális eloszlás képletét alkalmazva adódik: k 6k 6 9 k 0 k ( pont) , ( pont) Tehát annak a valószínűsége, hogy Katinka 6 dobásából legfeljebb kétszer dobott páros értékű számot 0,. c) A hipergeometrikus eloszlás képletét alkalmazva: 4 8 0,76 0 P 0,64 0 4,70 0 ( pont) Tehát annak a valószínűsége, hogy az 0 dobásból véletlenszerűen 0-at kiválasztva a kiválasztott dobások közül kétszer az élén állt meg a kocka 0,4. Összesen: 6 pont - -

12 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. 9) Adott az alábbi függvény! f : ; ; f x x x x a) Elemezze f függvényt zérushelyei, monotonitása, valamint lokális szélsőértékeinek helye és értéke alapján a deriváltfüggvényének segítségével! ( pont) g : ; függvényt, amelynek deriváltfüggvénye f, tehát b) Adja meg azt a g f, és ezen kívül g 0 is teljesül! (4 pont) a) Az f függvény zérushelyeit megkapjuk, ha először szorzattá alakítjuk a kifejezést: x x x 0 x x x 0 x 0 Végül alkalmazzuk a másodfokú függvény megoldóképletét: x x0 x, x,79; x,79 Ügyelünk az értelmezési tartományra ( ; ), mely alapján a 0 és a,79 lesz f zérushelye! Az f függvény deriváltfüggvénye a következő: f : ; f x x x. A másodfokú megoldóképlet segítségével meghatározzuk f zérushelyeit: x x 0 x ; x. Mivel f függvény főegyütthatója pozitív, ezért tudhatjuk, hogy f értékei x esetén pozitívak, x esetén negatívak, x esetén pozitívak. Vizsgálnunk kell azt is, hogy az értelmezési tartomány két határán nincs-e a függvénynek lokális szélsőértéke! Ebben az esetben nincs. x x x x f x x x x f x f fx 0 fx 0 0 f 0 0 f szig. mon. nő lokális maximum f szig. mon. csökken lokális minimum f 7 7 szig. mon. nő Ezek alapján az f függvény menete: A ; intervallumon szigorúan monoton növekvő. Az x helyen lokális maximuma van, melynek értéke. A ; intervallumon szigorúan monoton csökkenő. 7 Az x helyen lokális minimuma van, melynek értéke. 7 A ; intervallumon szigorúan monoton növekvő. - -

13 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 0. február 4. b) Gyakorlatilag f függvény egy konkrét primitív függvényét keressük, melyet g jelöl: 4 x x x g x c c 4 Tudjuk még, hogy a g függvény az helyen a 0 értéket veszi fel, ebből kiszámoljuk c értékét: 4 g 0 c 0 4 ( pont) c Tehát a keresett primitív függvény: 4 x x x g x 4 Összesen: 6 pont Maximális elérhető pontszám: 64 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: pont - -

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 14. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. február 14. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. február 14. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Név E-mail cím Tanárok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I. 1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 18. PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 07. február 8. Studium Generale Középszintű próbaérettségi megoldókulcs MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MEGOLDÓKULCS STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Próbaérettségi

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR

1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben kitűzött

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója

Matematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003. május-június MATEMATIKA EMELT SZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 003 MATEMATIKA Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. KÖZÉPSZINT I. ) Az a n sorozat tagját! MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0 október KÖZÉPSZINT I számtani sorozat első tagja és differenciája is 4 Adja meg a a 04 ) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy AB ; ; ; 4; ;, A\ ; AB ; A ;

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 06 január 6 MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) Elvira a könyveit három polcon tárolja, az első polcon szépirodalmi könyveket, másodikon albumokat,

Részletesebben

(1 pont) (1 pont) Az összevont alak: x függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont)

(1 pont) (1 pont) Az összevont alak: x függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 014. október 14. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az 1; 3 ponton, és egyik normálvektora a 8;1 vektor! 8x y 5 ) Végezze el a következő műveleteket,

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2005. október 25., 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben