Jelek és rendszerek példatár

Átírás

1 Jelek és rendszerek példatár dr. Horváth Péter, Varga Lajos 0. május 3.

2 F (003ZHAK) Egy lineáris, invariáns FI rendszer kauzális és bármely belépő és korlátos gerjesztésre korlátos választ ad. Mit mondhatunk a rendszer h(t) impulzusválaszáról? F (003ZHAK) Egy h(t) = Aε(t)e αt, α > 0 impulzusválaszú FI rendszer gerjesztése u(t) = A(ahol A konstans). Számolja ki a rendszer válaszát (y(t) =?)! F 3 (003ZHAK3) Adja meg a következő DI jel periódusidejét: x[k] = 0cos(0, 3πk + 0, π)! F 4 (003ZHAK4) Egy integrátor szinuszos bemeneti jelének komplex amplitúdója: 0e j π 4,ω = 5 (rad/s). Adja meg az integrátor kimeneti jelének időfüggvényét! F 5 (003ZHAK5) Egy FI rendszer átviteli karakterisztikája: H(jω) = jω 0 és bemeneti jele: u(t) = 0cos ( ) 0t + π jω+0 4. Adja meg a rendszer válaszának időfüggvényét! F 6 (003ZHBK) Egy lineáris invariáns DI rendszer impulzusválasza belépő és abszolút összegezhető. Mit mondhatunk a rendszerről? F 7 (003ZHBK) Egy h[k] = Aε[k]α k, α < impulzusválaszú DI rendszer gerjesztése u[k] = A(ahol A konstans). Számolja ki a rendszer válaszát (y[k] =?)! F 8 (003ZHBK3) Adja meg a következő FI jel amplitúdóját: y(t) = x (t) x (t), ha x (t) = 3 cos ( ) 5t + π 3 és x (t) = 8 sin ( ) 5t + π 3! F 9 (003ZHBK4) Egy késleltető szinuszos DI kimeneti jelének komplex amplitúdója: 0e j π 3, θ = π (rad/s). Adja meg a késleltető bemeneti 6 jelének időfüggvényét (x[k + ])! F 0 (003ZHBK5) Egy DI rendszer átviteli karakterisztikája: H ( e jθ) = +e jθ és bemeneti jele: u[k] = 0 cos ( π k + ) π 0,5e jθ 4. Adja meg a rendszer válaszának időfüggvényét! F (0053ZHAK) Adja meg a DI rendszer gerjesztő jelét,

3 ha a rendszer válaszjele a k = 0,, időpillanatokban rendre,,, minden más k-ra 0; a rendszer átviteli függvénye H(z) = + z! F (0053ZHAK) Egy DI rendszer átviteli karakterisztikája H(e jθ = 0, 5 + 0, e jθ. Adjuk meg a rendszer ugrásválaszának értékét k = 0-ban! F 3 (0053ZHAK3) Egy f(t) FT jel spektruma F (jω) = [ε(j(ω + )) ε(j(ω ))]. Adja meg a jel energiáját! F 4 (0053ZHAK4) Adja meg az a valós paraméter azon értékeit, amelyekre az x[k] = 3 δ[k i] DI jel spektruma tisztán valós! i=a F 5 (0053ZHAK5) Rajzolja fel az f(t) = cos (ω t) cos (ω t) FI jel amplitúdóspektrumát, ha ω = Mrad/s és ω = 00 krad/s! F 6 (0053ZHAK6) Rajzolja fel az alábbi átviteli karakterisztikával adott diszkrét idejű rendszer egy kanonikus (minimális számú késleltetőt tartalmazó) jelfolyamhálózat-realizációját! F 7 (0053ZHAK7) Egy FI rendszer gerjesztése u(t) = 3 cos (4t + 0, 5), átviteli karakterisztikája H(jω) =. Adja meg a rendszer válaszjelét! jω+3 F 8 (0053ZHAK8) Adott a FI rendszer gerjesztése és válasza. Határozza meg az átviteli függvényt! u(t) = δ(t); y(t) = ε(t)e 3t 5 F 9 (0053ZHAK9) Egy DI periodikus jel alapharmonikusának körfrekvenciája θ = π. Sorolja fel a valós Fourier-sor diszkrét körfrekvenciáit! 4 F 0 (0053ZHAK0) Adott egyω max sávkorlátú x(t) jel. Mekkorára válasszuk a mintavételi frekvenciát, hogy a jel a diszkrét mintákól egyértelműen visszaállítható legyen? F (0053ZHBK) Adja meg a következő DI hálózat impulzusválaszát átviteli függvénye alapján! H(z) = + z 3z 3 F (0053ZHBK) Adott egy FI rendszer átviteli függvénye. Adja meg a rendszer impulzusválaszának + -ben felvett értékét a végértéktétel felhasználálásával! H(s) = s s +s+ F 3 (0053ZHBK3) Határozza meg a jel energiáját, ha a jel

4 spektruma a következő: F 4 (0053ZHBK4) Adja meg az x(t) = ε(t )e α(t ) jel amplitúdóspektrumának maximális értékét, ha α > 0! F 5 (0053ZHBK5) Konvolváljon három T... T hosszúságú négyszögjelet, adja meg a keletkező jel spektrumát! F 6 (0053ZHBK6) Rajzolja fel az alábbi átviteli karakterisztikával adott FI rendszer egy kanonikus (minimális számú integrátort tartalmazó) jelfolyamhálózat-realizációját! H(jω) = jω jω+ F 7 (0053ZHBK7) Egy DI rendszer bemeneti jele u[k] = 3 cos (4πk + 0, 5), átviteli karakterisztikája H(ejθ ) =. Adja meg a rendszer válaszjelét! 3+e jθ F 8 (0053ZHBK8) Egy DI rendszer gerjesztése u[k] = 0, 5δ[k], válasza y[k] = ε[k]( 0, 3) k. Adja meg a rendszer átviteli függvényét! F 9 (0053ZHBK9) Egy 3 khz-es sávszélességű jel esetén mekkora mintavételi frekvencia szükséges ahhoz, hogy a digitális mintákból a jel egyértelműen visszaállítható legyen? F 30 (0053ZHBK0) Adott f(t) = Ae j(ω 0t+φ) FI jel. Rajzolja fel f(t) amplitúdóspektrumát! F 3 (0050PZHAK) Az alábbi rendszermátrixszal adott FI rendszer b és d paraméterek mely értékeire aszimptotikusan stabilis? A = [ b d ] F 3 (0050PZHAK) Döntse el, hogy az x[k] = cos ( π k + ) π sin ( π 7 k) DI jel periodikus-e, s ha igen, adja mega a periódusát! F 33 (0050PZHAK3) A gerjesztés és az átviteli tényező ismeretében adja meg a rendszer válaszát! u(t) = 3 cos ( π4t + π 6 ), H = e j π 3 3

5 F 34 (0050PZHAK4) Egy lineáris invariáns FI rendszer kauzális és GV-stabil. Mit mondhatunk a rendszer impulzusválaszáról? F 35 (0050PZHAK5) Egy lineáris invariáns FI rendszer u (t) = ε(t, 5)3e (t,5) gerjesztésre y (t) = ε(t, 5)6e (t,5) ; u (t) = ε(t 3)e 5(t 3) gerjesztésre y (t) = ε(t 3)4e 7(t 3) választ ad. Adja meg a rendszer válaszát u(t) = ε(t)e t + e 5t gerjesztésre! F 36 (0050PZHBK) Az alábbi rendszermátrixszal adott DI rendszer a paraméter mely értékeire aszimptotikusan stabilis? A = [ a 0, 8 0, 7 0 ] F 37 (0050PZHBK) Adott a rendszer ugrásválasza g(t) = ε(t) (0e 5t 0e 4t ). Határozza meg a rendszer impulzusválaszát a lehető legegyszerűbb alakban! F 38 (0050PZHBK3) A gerjesztés és az átviteli tényező ismeretében adja meg a rendszer válaszát! u[k] = cos ( π 3k + π ), H = e j π F 39 (0050PZHBK4) Egy lineáris invariáns DI rendszer kauzális és GV stabil. Mit mondhatunk a rendszer impulzusválaszáról? F 40 (0050PZHBK5) Egy lineáris invariáns DI rendszer u [k] = ε[k ]0, 6 k gerjesztésre y [k] = ε[k ]0, 3 k ; u [k] = ε[k 5]0, k 5 (k 5) gerjesztésre y [k] = ε[k 5] 0, k 5 (k 5) választ ad. Adja meg a rendszer válaszát u[k] = ε[k]30, 6 k + k0, k gerjesztésre! F 4 (0050PZHAK) Egy L = 4 periódusú DI jel komplex Fourier-együtthatói rendre X C 0 = 5; X C = + j; X C =. Adja mega jel Fouriersorának mérnöki valós alakját! F 4 (0050PZHAK) Az x[k] DI jel Fourier-transzformáltja X(e jθ ). Adja meg az y[k] = 5x[k 4] jel Fourier-transzformáltját! F 43 (0050PZHAK3) Adja meg az alábbi hálózattal adott DI rendszer átviteli karakterisztikáját, vagy indokolja nem létezik válaszát! F 44 (0050PZHAK4) Rajzolja fel az f(t) = cos (ω t) cos (ω t) FI jel amplitúdóspektrumát, ha ω = 500 krad/s és ω = 300 krad/s! 4

6 F 45 (0050PZHAK5) Adja meg az alábbi DI jel Z-transzformáltját, ha létezik, vagy indokolja nem létezik válaszát! x[k] = 5δ[k + ] 4δ[k] + 0δ[k ] F 46 (0050PZHAK6) Adja meg az x[k] jelet, amelynek Z- transzformáltja X(z) = 5 z 0,! F 47 (0050PZHAK7) Az FI rendszer gerjesztése u(t) = 0ε(t)e t, átviteli függvénye H(s) = s+. Adja meg a rendszer válaszát! s+5 F 48 (0050PZHAK8) Rajzolja fel az alábbi átviteli karakterisztikával adott FI rendszer egy kanonikus (minimális számú integrátort tartalmazó) hálózatrealizációját! H(jω) = (jω) +3jω F 49 (0050PZHAK9) Egy FI rendszer gerjesztése u(t) = cos ( ) 3 t, átviteli karakterisztikája H(jω) =. Adja meg a rendszer válaszjelét! jω+ F 50 (0050PZHAK0) A FI rendszer impulzusválasza h(t) = 0ε(t + )e t. Adja meg a rendszer átviteli függvényét, vagy indokolja nem létezik válaszát! F 5 (0050PZHBK) Számítsa ki a következő FI jel amplitúdóspektrumát: x(t) = 0ε(t)e 5t F 5 (0050PZHAK) Az x(t) FI jel Fourier-transzformáltja X(jω). Adja meg az y(t) = 3x(t + 5) jel Fourier-transzformáltját! F 53 (0050PZHBK3) Adja meg az alábbi állapotváltozós leírással adott FI rendszer átviteli függvényét! x (t) = 5x(t) + 4u(t), y(t) = x(t) u(t) F 54 (0050PZHBK4) Adja meg az alábbi jelfolyamhálózattal adott FI rendszer átviteli függvényét! F 55 (0050PZHBK5) Egy DI rendszer átviteli karakterisztikája H(e jθ ) = 4e jθ + + 4e jθ. Adja meg a rendszer átviteli függvényét, ha létezik, vagy indokolja nem létezik válaszát! F 56 (0050PZHBK6) Rajzolja fel az alábbi átviteli karakterisztikával adott DI rendszer egy kanonikus (minimális számú integrátort tartalmazó) 5

7 hálózatrealizációját! H(e jθ ) = 3ejθ + e jθ 0, F 57 (0050PZHBK7) Adja meg a következő FI jel Laplacetranszformáltját: x(t) = ε(t)3 cos (t + π)! F 58 (0050PZHBK8) Adott a DI rendszer gerjesztése és válasza. Határozza meg az átviteli függvényt! u[k] = ε[k ](0, 6) k ; y[k] = 3, 6ε[k ](0, 3) k F 59 (0050PZHBK9) Adott az f(t) = A sin (ω 0 t + φ) FI jel. Rajzolja fel a jel amplitúdóspektrumát! F 60 (0050PZHBK0) Egy DI periodikus jel alapharmonikusának körfrekvenciája Θ = π. Összesen hány tagból áll a jel komplex Fourier-sora? 3.. Megoldások MO (F ) Korlátos gerjesztésre korlátos választ ad az impulzusválasz abszolút integrálható. Kauzális az impulzusválasz belépő. MO (F ) Megoldás konvolúcióval:. + Aε(τ)e ατ = + 0 A e ατ = A [ e ατ α ] 0 = A α MO (F 3) θ = 0, 3π = 3 00 π = 3 00 π = π M L L = 00 MO (F 4) u(t) = 0cos(5t + π) = u(t)(d)t = 0 cos(5t+ π 4 ) = sin ( ) 5t + π = cos ( 5t + π ) ( ) π 4 = cos 5t π 4 MO (F 5) Ū = 0ej π 4 H = H(jω) = jω 0 jω+0 ω=0 = 0+0j 0+0j = +j +j = e j 3π 4 e j 3π 4 = e j π = j 6

8 Ȳ = HŪ = ( π 0ej 4 + π ) y(t) = 0cos ( ) 0t + 3π 4 MO (F 6) Az impulzusválasz belépő a rendszer kauzális. Az impulzusválasz abszolút összegezhető a rendszer GV stabil. MO (F 7) y[k] = Aε[k]α i A = A i=0 i=0 α i = A α MO (F 8) X = 3e j π 3 ; X = 8e j ( π 3 + π ) ; Ȳ = 6e j π 3 8e j 5π 6 = ( (3) ) + j ( 3 (3) 4 ) ; Ȳ = 0. MO (F 9) x[k + ] = 0 cos ( π (k + ) + ) ( π 6 3 = 0 cos π (k) + ) ( π 6 = 0 sin π 6 k) MO (F 0) Ū = 0ej π 4 ; H = H ( e jθ) θ= π = +e jθ 0,5e jθ θ= π = π +e j = 0,5e j π e j π ; Ȳ = HŪ = 0ej π 4 e j π = 0e j π 4 ; y[k] = 0 cos ( π k ) π 4 MO (F ) u[0] =, u[] =, egyébként u[k] = 0 MO (F ) A rendszer átviteli függvényének felhasználásával az ugrásválasz Z- transzformáltja: G(z) = 0,5z +0, z z z A kezdetiérték-tétel felhasználásával: g[0] = lim G(z) = 0, 5 z Alternatív megoldás: a rendszer impulzusválasza h[k] = 0, 5δ[k] + 0, δ[k ] és (mivel kauzális rendszerről van szó) g[k] = k h[i], ebből közvetlenül adódik az eredmény k = 0-ra. i=0 7

9 MO (F 3) E = + π F (jω) dω = + π dω = 4 π [ω] = 8 π MO (F 4) Tisztán valós a spektrum, ha a jel páros, vagyis a = 3. MO (F 5) F {e jω0t } = πδ(ω ω 0 ) és cos(ω t) cos(ω t) = ejω t +e jω t e jω t +e jω t = ( 4 e j(ω +ω)t + e j(ω ω)t + e j(ω ω)t + e ) j(ω +ω)t alapján a szorzatjel spektruma F f(t) = (πδ(ω (ω 4 + ω )) + πδ(ω (ω ω ))+ πδ(ω ( ω + ω )) + πδ(ω ( ω ω ))) MO (F 6) vagy MO (F 7) H(j4) = j4+3 = H(j4) = 5e j0,973 = 0, 4e j0,973 y(t) = 0, 6 cos (4t 0, 473) MO (F 8) H(s) = Y (s) U(s) = 5 s+3 MO (F 9) Mivel θ = π = π L = 8. 4 L A sorfejtés általános alakja: u[k] = U 0 + M U p cos (pθk + ρ p ) + U L ( ) k L = 8 M = L = 3 Tehát összesen 5 tag szükséges: U 0, U, U, U 3, U 4. Az ezekhez tartozó diszkrét körfrekvenciák rendre: 0, π 4, π, 3π 4, π. p= 8

10 MO (F 0) Ω s = Ω max MO (F ) h[k] = δ[k] + δ[k ] 3δ[k 3] MO (F ) lim s 0 sh(s)= lim h(t) = lim s s = lim t + s 0 s +s+ s 0 s s = 0= 0 = s +s+ lim h(t) t + MO (F 3) E = [ ω 3 ω + π 3 ω] = π + π F (jω) dω = π ω dω = π [ ( ) ( )] = = π 3 6π (ω ω + )dω = MO (F 4) Általánosságban az f(t) = ε(t)e αt jel spektruma F (jω) = α+jω. Az eltolási tétel értelmében az időben eltolt jel spektruma: X(jω) = F (jω)e jω. Az amplitúdóspektrum az eltolás hatására nem változik, maximális értéke X(jω) max = α. MO (F 5) Egy négyszögjel spektruma: F (jω) = T sin(πft ) = T sin(ωt ). πft ωt Az időtartománybeli konvolúció a frekvenciatartományban szorzásnak felel meg, ezért a kérdéses jel spektruma ( ) T sin(πft ) 3 ( ) πft = T sin(ωt ) 3 ωt MO (F 6) vagy MO (F 7) H(θ = 4π) = = = 0, 5 3+e j4π 3+ y[k] = 3 cos (4πk + 0, 5) 4 MO (F 8) H(z) = z z+0,3 MO (F 9) 6 khz 9

11 MO (F 30) λ + MO (F 3) A karakterisztikus polinom: Hurwitz-kritérium alapján d + > 0 d >, innen d d b > 0 > b. b λ + d = λ + (d + )λ + d b. MO (F 3) L =, L = 4 A két periódusidő legkisebb közös többszöröse: L = 84. MO (F 33) y(t) = 6 cos ( π4t π 6 ) MO (F 34) Kauzális az impulzusválasz belépő. GV stabil az impulzusválasz abszolút integrálható. MO (F 35) u(t) = ε(t)e t + 8e 7t MO (F 36) A karakterisztikus polinom: Jury-kritérium alapján + a 0, 56 > 0 a 0, 56 > 0 0, 56 < λ + a 0, 8 0, 7 λ, innen 0, 44 > a > 0, 44. = λ + aλ 0, 56. MO (F 37) h(t) = g (t) = δ(t) (0e 5t 0e 4t ) + ε(t) ( 50e 5t + 40e 4t ) MO (F 38) y[k] = cos ( π 3k + π ) MO (F 39) Kauzális az impulzusválasz belépő. GV stabil az impulzusválasz abszolút összegezhető. MO (F 40) y[k] = ε[k]3(0, 3) k + k( 0, ) k 0

12 MO (F 4) x[k] = 5 + cos ( π k + ) π 4 + cos(πk) MO (F 4) Y (e jθ ) = 5e 4jθ X(e jθ ) MO (F 43) e jθ X = 0, 4X +, 4U X =,4U e jθ 0,4 Y = X + U =,4U + U = ejθ + U e jθ 0,4 e jθ 0,4 H(e jθ ) = +e jθ 0,4e jθ MO (F 44) MO (F 45) X(z) = 4 + 0z MO (F 46) x[k] = 5ε[k ]0, k MO (F 47) U(s) = 0 s+, így Y (s) = s+ s+5 Innen y(t) = 0ε(t)e 5t. 0 = 0. s+ s+5 MO (F 48) vagy MO (F 49) H(j ) = j = 0, 5774e j0, y(t) = 0, 5774 sin ( ) ( ) 3 t 0, 9553 = 0, 3849 sin t 0, 9553 MO (F 50) Az átviteli függvény nem létezik, mivel a rendszer nem kauzális.

13 MO (F 5) X(jω) = 0 ω +5 MO (F 5) Y (jω) = 3e jω5 X(jω) MO (F 53) sx = 5X + 4U Y = U ( 4 s+5 ) H(s) = s s+5 MO (F 54) sx = X + U Y = U ( + 0, s+ 5) H(s) = 0,5s+ s+ MO (F 55) Az átviteli függvény nem létezik, mivel a rendszer nem kauzális (az impulzusválasz 4e jθ miatt nem belépő). MO (F 56) vagy MO (F 57) x(t) = ε(t)( 3) cos (t) X(s) = 3 s s + MO (F 58) u[k] =, ε[k ](0, 6) k U(z) =, y[k] = 3, 6ε[k ](0, 3) k Y (z) = 3, 6 z z 0,3 z H(z) = 3 z 0,6 z 0,3 z z 0,6 z MO (F 59) MO (F 60) Θ = π 3 = π L L = 6, tehát 6 tagból áll a Fourier-sor.