3. 7. a gimnázium. és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára

Átírás

1 a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára. rész MTEMTIK a gimnázium osztálya és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára. rész Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. ISN matika 3 gym-mad- cast.indd 1 SLOVENSKÉ PEGOGIKÉ NKLTEĽSTVO :47

2

3

4 Zbyněk Kubáček a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára. rész SLOVENSKÉ PEGOGIKÉ NKLTEĽSTVO

5 Szerző utor doc. RNr. Zbyněk Kubáček, Ph. Lektorok Lektori: Mgr. Tatiana Hiková Paedr. Iveta Kohanová, Ph. Translation RNr. Horváth Géza magyar fordítást lektorálta Maďarský preklad lektorovala: Mgr. olemant Lilla, Ph. Fotó Foto Pavel Čisárik Grafikai feldolgozás Grafický dizajn SPN Mladé letá, s. r. o. orítóterv Obálka akademický maliar Peter Galvánek Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 013. március 5-én /1376:4-919 szám alatt mint matematika-tankönyvet a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára,. rész. z engedélyezési szám 5 évig érvényes. Első kiadás, 013 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod č /1376:4-919 zo dňa 5. marca 013 ako učebnicu matematiky pre 3. ročník gymnázia a 7. ročník gymnázia s osemročným štúdiom,. časť. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vydanie, 013 Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv. Zodpovedná redaktorka Judita Hollá Výtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová Technická redaktorka Eva Onderčinová Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, ratislava Vytlačil Polygraf print, spol. s r. o., Prešov ISN

6 TRTLOM TRTLOM 5. NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS / Nevezetes ponthalmazok / nevezetes ponthalmazok szerkesztése / Tükrözés, eltolás, forgatás / További feladatok / 33 EREMÉNYEK / THLÉSZ-KÖR / Thalész-kör / kerületi és a középponti szög / További feladatok / 49 EREMÉNYEK / HÁROMSZÖG NÉGY NEVEZETES PONTJ / z oldalfelező merőlegesek és a háromszög szögfelezői / magasságpont / súlyvonalak és a súlypont / További feladatok / 59 EREMÉNYEK / 6 8. SZÁMOLUNK, SZERKESZTÜNK ÉS RJZOLUNK / mikor segít a számítás / További feladatok / 71 EREMÉNYEK / MÉRÉS / Közelítő értékekkel dolgozunk / Hosszúságmérés háromszögekkel / Területszámítás / További feladatok / 106 EREMÉNYEK / 110 FELHSZNÁLT IROLOM / 10 5

7

8 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 5. NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ebben és a következő három fejezetben elsősorban szerkesztéssel és rajzolással fogunk foglalkozni. Megmutatjuk, hogy milyen fontos lehet a műszaki rajz az építész, a földmérő vagy a tengerész számára. emutatunk néhány alapszerkesztést, és azt, hogy ezek hogyan függnek össze a háromszög, a paralelogramma és a kör egyszerű tulajdonságaival. Ezek némelyike magától értetődőnek fog tűnni, ennek ellenére nem mondunk le az igazolásukról. Ezzel egyrészt az érvelési képességünket szeretnénk fejleszteni, másrészt megtudhatjuk, hogy képesek vagyunk-e meggyőzni azokat, akik kételkednek a nyilvánvaló igazságokban. Sok olyan dologgal foglalkozunk majd, amivel az ókori görög matematikusok már tisztában voltak. Nem csoda tehát, hogy többször is emlegetjük majd Eukleidész Elemek című munkáját, amely két évezreden keresztül volt a geometria tanításának alaptankönyve. (Néhány matematikus azonban nem tartja igazán jó ötletnek Eukleidész Elemeinek tankönyvi alkalmazását.) 5.1. NEVEZETES PONTHLMZOK 5.. NEVEZETES PONTHLMZOK SZERKESZTÉSE 5.3. TÜKRÖZÉS, ELTOLÁS, FORGTÁS 5.4. TOVÁI FELTOK ár napjainkban a kézi rajzolást felváltották a számítógépes rajzprogramok, ma is elmondhatjuk, hogy aki tisztában akar lenni az alapokkal, annak a kézi rajzolással kell kezdenie. körzővel, vonalzóval, szögmérővel végzett szerkesztések közben szerzett tapasztalatokat és megértést ebben a fázisban nem lehet semmiféle számítógépes programmal pótolni. Ezenfelül azt is megtudhatjuk, hogy mi mindent lehet ezzel a három rajzeszközzel megszerkeszteni Nevezetes ponthalmazok EVEZETŐÜL EGY SZERKESZTÉSI FELT Kezdjük egy jellegzetes szerkesztési feladattal! Oldd meg önállóan, majd olvasd el a mi megoldásunkat is! (Ha nem jössz rá a megoldásra, hasznosítsd a következő ismeretet: a pont helyzetét két tulajdonság határozza meg tudjuk, hogy milyen messze van az szakasztól, és hogy milyen messze van a ponttól). szerkesztést még nem kell elvégezned; azzal majd a következő fejezetben foglalkozunk. FELT milánói székesegyház ablakdíszrészlete. gótikus ornamentumok (szaknyelven: mérművek) a vonalzóval és körzővel végzett szerkesztés szép példái. EVEZETŐÜL EGY SZERKESZTÉSI FELT EGYSZERŰ NEVEZETES PONTHLMZOKT KERESÜNK VISSZ SZERKESZTÉSI FELTOKHOZ! 1. Szerkeszd meg az háromszöget, ha adott: c = 5, m c =, a = 3! MEGOLÁS Vázlat, elemzés és a szerkesztés lépései z 1. ábrán feltüntettük az háromszög ismert adatait. Szerkesztésünk során abból indulunk ki, hogy az, pontok távolsága ismert, ezért ez a két pont adottnak tekinthető. pontot keressük, amelyre két feltételnek kell teljesülnie: a = 3 m c = P c = 5 1. ábra 7

9 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 1. z m c = feltételből következik, hogy a pont távolsága az egyenestől. (Meg tudod-e ezt magyarázni az osztálytársaidnak?) pont távolsága az egyenestől annak az egyenesre merőleges P szakasznak a hossza, amely P végpontja az egyenesre illeszkedik. (Lásd az 1. ábrát!) t és egyenesek távolsága annak az egyenesre merőleges szakasznak a hossza, amelynek egyik végpontja az egyenesen, másik végpontja pedig a t egyenesen fekszik. (. ábrán az említett szakaszokat pontvonallal jelöltük.) zok a pontok, amelyek egységnyi távolságra vannak az egyenestől, a. ábrán kékkel jelölt t 1 és t egyenesek valamelyikére illeszkednek. Ezek az egyenesek párhuzamosak az egyenessel, és egységnyire vannak az egyenestől. sík egyetlen más pontja sem felel meg ennek a feltételnek ilyen tulajdonsággal csakis a t 1 és t egyenesek pontjai rendelkeznek. (Miért?) Ezért a keresett pontnak a t 1 és t egyenesek valamelyikére kell illeszkednie. (sak akkor lépj tovább, ha ezt megértetted!). z a = 3 feltételből következik, hogy a pont távolsága a ponttól 3. ponttól azok a pontok vannak ilyen távolságra, amelyek a középpontú, 3 egységnyi sugarú körvonalra illeszkednek. Ezt a ponthalmazt a. ábrán pirossal jelöltük. sík egyetlen más pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (ennek a feltételnek csakis a k körvonal pontjai felelnek meg). Ezért a keresett pontnak a k körvonalon kell lennie. t 1 m c = a = 3 m c = k t. ábra Ha a pontot a t 1, t egyenesek valamelyikén vesszük fel, akkor minden esetben olyan háromszöget kapunk, amelyben m c =. (Gondolkozz el ezen!) Ha a pont a k körvonal tetszőleges pontja (kivéve az egyenes és a kör metszéspontjait), akkor olyan háromszöget kapunk, amelyben a = 3. (Miért zártuk ki a körvonal és az egyenes metszéspontjait?) Ha azt akarjuk, hogy a háromszögünkre mindkét feltétel teljesüljön tehát, hogy a = 3 és m c =, akkor úgy kell megválasztanunk a pontot, hogy rajta legyen a k körvonalon és ugyanakkor a t 1, t egyenesek valamelyikén is. z ábrán látható, hogy négy ilyen pont is van ezeket 1 -gyel, -vel, 3 -mal és 4 -gyel jelöltük. Ebből a négy pontból négy háromszög szerkeszthető. 3. ábrán ezeket különböző színekkel jelöltük. 1 t k 3. ábra t

10 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ezek a háromszögek a feladatunk keresett megoldásai. Figyeld meg, hogy az 1 és az 3 háromszög (tükrösen) egybevágó. Ugyanez mondható el az és az 4 háromszögekről is. Megjegyzés: Két háromszög egybevágó, ha papírból kinyírva az egyik a másikra helyezhető úgy, hogy pontosan fedjék egymást. Ha az egymásra helyezéshez az egyiket meg kell fordítanunk (tehát a fonákjára kell helyeznünk), akkor tükrözéses egybevágóságról beszélünk. Ha erre nincs szükség (tehát ha az egymásra helyezéshez elég az egyiket alkalmasan eltolni vagy elforgatni), akkor valódi egybevágóságról van szó. szerkesztés lépései z háromszög szerkesztésének menete a fenti elemzésből következik. ( bal oldali oszlopban egy szóbeli leírás látható, a jobb oldaliban matematikai szimbólumokat használtunk): HOGY MIKÉPP ÍRO LE SZERKESZTÉS LÉPÉSEIT SZVKKL-E VGY SZIMÓLUMOKKL, ZT RÁ ÍZZUK. LÉNYEG: HOGY LEÍRÁS VILÁGOS ÉS EGYÉRTELMŰ LEGYEN. MTEMTIKI SZIMOLIK Z EGYIK, E NEM Z EGYETLEN OLYN LEHETŐSÉG, MIVEL LEÍRÁS EGYÉRTELMŰVÉ TEHETŐ. EHHEZ ISMERNI KELL HLMZELMÉLETI FOGLMKT ÉS SZIMÓLUMOKT, KÜLÖNEN LIGH ÉRTE MEG, HOGY PL. 4. PONTN MIÉRT ÍRTUK PONTOT KPSOS ZÁRÓJELEK KÖZÉ. Először megszerkesztjük 1. az 5 egységnyi hosszú szakaszt, 1. szakasz, = 5. majd az egyenessel párhuzamos és az egyenestől egységnyi távolságra levő t egyenest.. t egyenes t, d(t, ) = (z elemzésből tudjuk, hogy két ilyen egyenes létezik, ezeket t 1 -gyel és t -vel jelöltük.) 3. Megszerkesztjük a középpontú, 3 egységnyi sugarú k kört, 4. majd megkeressük a k körvonal és a t egyenes metszéspontját; ez a metszéspont a háromszög csúcsa. 3. k(, r = 3) kör 4. pont, {} = k t Ez úgy értendő, hogy megkeressük a k körvonal metszéspontját a. pontban megszerkesztett t 1, t egyenesekkel Ha már ismerjük mindhárom csúcs helyzetét, akkor 5. megszerkesztjük az háromszöget. 5. háromszög. Megjegyzés. szerkesztési feladatok megoldásában le szoktuk írni a megoldások számát. z 1. feladatban két lehetőség közül választhatunk: Egy szerkesztési feladat megoldásának általában négy része van: VÁZLT ÉS ELEMZÉS ( szerkesztéshez szükséges tulajdonságok és összefüggések megkeresése.) SZERKESZTÉS LÉPÉSEINEK LEÍRÁS SZERKESZTÉS HELYESSÉGÉNEK ELLENŐRZÉSE (zt ellenőrizzük, hogy a megszerkesztett síkidom rendelkezik-e az összes kívánt tulajdonsággal.) MEGVITTÁS (Megoldások száma, a megoldhatóság feltételei.) megoldhatóság feltételeiről azokban a szerkesztési feladatokban teszünk említést, amelyekben csak azt tudjuk, hogy mi van megadva, de az adott elemek konkrét nagyságát nem ismerjük. (z 1. feladat ebben a megfogalmazásban így hangzana: Szerkeszd meg az háromszöget, ha adott: a, c, m c! ) 9

11 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ha az, pontok rögzített helyzete mellett arra vagyunk kíváncsiak, hogy hány pont felel meg a feladat feltételeinek, akkor a felelet: feladatnak 4 megoldása van. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy hány különböző alakú háromszöget kapunk, amelyek megfelelnek a feladat feltételeinek, akkor az egybevágó háromszögpárokat egynek tekintve az egyik megoldás az 1 és 3, a másik pedig az és 4 háromszög lesz. Ebben az esetben a válasz: feladatnak megoldása van. Z 1. FELT MÁS MEGOLÁS z 1. feladatban adott háromszöget másképp is megszerkeszthetjük. z egyik megoldás a 64. oldalon olvasható, egy továbbit pedig itt mutatunk meg. Először a derékszögű P háromszöget szerkesztjük meg, (P a pontból a c oldalra húzott magasság talppontja; lásd az 1. ábrát!), amelynek ismerjük az a átfogóját és az egyik befogóját, az m c -t. m c = a = 3 P c = 5 1. ábra szerkesztéshez a Thalész-tételt alkalmazzuk: Ha a szakasz az l kör átmérője, és X az l körvonal -től és -től különböző pontja, akkor a X szög derékszög. ( sík egyetlen más X pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezt a 6. fejezet 4. feladataiban fogjuk igazolni.) IÉZ FEL ELŐSZÖR THLÉSZ TÉTELÉT, ÉS SK EZT KÖVETŐEN FOLYTS Z OLVSÁST! (RÉSZLETESEEN KÖVETKEZŐ FEJEZETEN FOGUNK VELE FOGLLKOZNI.) P háromszög megszerkesztése és pont helyzetét adottnak tekintjük, mert ismerjük a távolságukat. P pontot keressük, amelyre két feltételnek kell teljesülnie: 1. z m c = feltételből következik, hogy a P pont egységnyi távolságra van a ponttól, ezért a P pontnak a középpontú, egységnyi sugarú kék m körvonalra kell illeszkednie. (Lásd a 4. ábrát!). Mivel P = 90, ezért a P pont rajta van a átmérőjű piros l körvonalon. (Ez a Thalész-tételből és abból az információból következik, amelyet a tétel utáni zárójeles mondatban közöltünk.) Ezért a P pont az l és m körvonalak metszéspontja. 4. ábrán látható, hogy két pontot kapunk: a P 1 -et és a P -t. z pont megszerkesztése Ha már ismerjük a P pont helyzetét, könnyen megtaláljuk az csúcsot. PRÓÁL MEG (LEGLÁ) INNEN ÖNÁLLÓN FOLYTTNI MEGOLÁST! Z EREMÉNYT HSONLÍTS ÖSSZE MI MEGOLÁSUNKKL! 10 z pontra két feltételnek kell teljesülnie: 1. P egyenesre kell illeszkednie. (És nem eshet egybe a ponttal. Miért?). z 5. ábrán a P egyenes két lehetséges helyzete látható: ez a barnával jelölt p és r egyenes.. c = 5 feltételből következik, hogy az pont távolsága a -től 5, tehát az pont a középpontú, 5 egységnyi sugarú zöld körvonalon fekszik. (Lásd a 6. ábrát!)

12 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ezért az pontot ott kapjuk meg, ahol az n körvonal metszi a p, r egyenesek valamelyikét. 6. ábrán látható, hogy négy ilyen pontot kapunk, amelyekhez négy háromszög tartozik ( 1,, 3, 4 ). nnak ellenőrzését, hogy mindegyik háromszög megfelel-e a feladat feltételeinek, rád bízzuk. p P 1 P 1 a = 3 m c = l P m P r 4. ábra 5. ábra n p 1 c = r 6. ábra 3 6. ábrákat összehasonlítva ugyanarra a következtetésre jutottunk, mint az 1. feladat megoldása során. ( szemléletesség kedvéért a két ábra megfelelő háromszögeit ugyanolyan színnel jelöltük.) H EZZEL MÓSZERREL SZERKESZTJÜK MEG Z HÁROMSZÖGET, KKOR ELÉG GYKRN ELŐFORUL EGY HI (EZÉRT IS KÉRTÜK, HOGY MEGOLÁST ÖNÁLLÓN FEJEZ E KÍVÁNSIK VOLTUNK, HOGY TE ELKÖVETE-E). Z 1. ÁRÁN LÁTHTÓ (SZEMLÉLTETŐ) VÁZLTÓL UGYNIS ZT HELYTELEN KÖVETKEZTETÉST VONHTJUK LE, HOGY P PONTNK Z ÉS PONT KÖZÖTT KELL LENNIE, TEHÁT HOGY Z OLLHOZ TRTOZÓ MGSSÁGNK KERESETT HÁROMSZÖG ELSEJÉEN KELL LENNIE. H ÍGY GONOLKOUNK, KKOR Z PONTOT NEM Z EGÉSZ P EGYENESEN, HNEM SK KEZŐPONTÚ P FÉLEGYENESEN FOGJUK KERESNI. ÍGY MEGTLÁLJUK 6. ÁRÁN Z 1 -GYEL ÉS 3 -ML JELÖLT PONTOT, E ELKERÜLI FIGYELMÜNKET Z ÉS Z 4 PONT. 11

13 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS EGYSZERŰ NEVEZETES PONTHLMZOKT KERESÜNK 8. oldal 1. feladatának megoldásában alkalmazott eljárást röviden így jellemezhetnénk: Keressük a pontot, amelyre két feltételnek kell teljesülnie. Ezért keressük Szimbolikusan az összes olyan pontot, amelyre teljesül az első feltétel (esetünkben ezek a t 1 és t egyenesek pontjai voltak), K Ha az első feltételnek eleget tevő összes pont halmazát K-val, az összes olyan pontot, amelyre teljesül a második feltétel (megoldásunkban ezek a k körvonal pontjai voltak). L a második feltételnek eleget tevő összes pont halmazát pedig L-lel jelöljük, K L SZIMÓLUMOT ÍGY OLVSSUK: K K METSZET K METSZET L, ÉS Z ÖSSZES OLYN ELEMET ÉRTJÜK LTT, MELYEK EGYIEJŰLEG K ÉS Z L HLMZNK IS ELEMEI. keresett pontra mindkét feltétel teljesül, ezért mindkét ponthalmazra illeszkednie kell. K L akkor a két feltételnek a K L halmaz összes eleme tesz egyidejűleg eleget. FELT. eszéljétek meg, hogy le lehet-e írni ilyen módon az 1. feladat 10. oldalán olvasható megoldását is! fenti módszerrel sok szerkesztési feladat megoldható. Ha ezt az eljárást akarjuk alkalmazni, akkor tudnunk kell, hogyan néznek ki azok a ponthalmazok, amelyek eleget tesznek valamely egyszerű feltételnek. Ezeket a ponthalmazokat adott tulajdonságú pontok halmazának (nevezetes ponthalmazoknak), régebbi nevükön mértani helyeknek nevezzük. Elöljáróban figyeljük meg azokat a tulajdonságokat, amelyekkel az 1. feladat két megoldása során találkoztunk! Például: a piros k körvonal a ponttól 3 egységnyire fekvő összes (síkbeli) pont halmaza. Z L HLMZ SÍK ÖSSZES OLYN PONTJÁNK HLMZ, MELYEK TÁVOLSÁG PONTTÓL 3 EGYSÉG. FENTI MOTOT ÚGY KELL ÉRTELMEZNÜNK, HOGY Z L HLMZ MINEN PONTJ RENELKEZIK UGYNZZL TULJONSÁGGL (MINEGYIK 3 EGYSÉGNYIRE VN PONTTÓL), ÉS EGYETLEN MÁS PONT SEM RENELKEZIK EZZEL TULJONSÁGGL, TEHÁT KIZÁRÓLG Z L HLMZ PONTJI RENELKEZNEK Z OTT TULJONÁGGL. FELT 1 3. Jellemezd a fenti módon (mint a sík összes olyan pontjának halmazát, amelyek rendelkeznek ugyanazzal a tulajdonsággal) a) az 1. feladat 1. megoldásában említett t 1 és t egyenespárt; b) a második megoldás m körvonalát; c) a második megoldásban szereplő l körvonal összes pontját a és pontok kivételével!

14 Most pedig fordítsuk meg a feladatot: keressük meg azt a halmazt, amelynek minden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal! NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS FELTOK 4. dott egy e egyenes. Szerkesszünk olyan 6 cm sugarú kört, amely érinti az e egyenest! Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 6 e MTEMTIKI MEGFOGLMZÁS: KERES MEG SÍK ÖSSZES OLYN 6 EGYSÉGNYI SUGRÚ KÖRÉNEK KÖZÉPPONTJÁT, MELYEK ÉRINTENEK EGY OTT e EGYENEST! TOVÁIKN ELŐNYEN RÉSZESÍTJÜK KÖZÉRTHETŐ MEGFOGLMZÁST. 5. Szerkesztettünk egy e egyenest, és felvettünk rajta egy pontot. (Matematikailag megfogalmazva: dott egy e egyenes és az egyenesen egy pont. ) Olyan kört szeretnénk szerkeszteni, amely az e egyenest az pontban érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? e 6. Olyan körvonalat szeretnénk szerkeszteni, amely áthalad egy adott és ponton. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 7. dott egy V csúcsú hegyesszög. Olyan kört szeretnénk a szögbe szerkeszteni, amely mindkét szögszárat érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 8. Egy olyan kört szeretnénk szerkeszteni, amely érinti az egymással párhuzamos p és r egyenest. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 9. dott egy és egy pont. alapú egyenlő szárú háromszöget szeretnénk szerkeszteni. sík mely pontjai lehetnek a keresett csúcspontok? 6., 7. és 9. feladat megoldása egy-egy gyakrabban alkalmazott ponthalmaz: z szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, amely merőleges az szakaszra, és áthalad a szakasz középpontján. z szakasz felezőmerőlegese a sík összes olyan pontjának halmaza, amelyek ugyanakkora távolságra vannak az és a ponttól. (Tehát az összes olyan pont halmaza, amelyekre fennáll az = egyenlőség. 0 és 180 közti szögek szögfelezője egy olyan félegyenes, amelynek kezdőpontja a szög csúcsa, és a szöget két egybevágó szögre bontja. szögfelezőt úgy is felfoghatjuk, mint a szögön belül fekvő összes olyan pont halmazát, amelyek ugyanakkora távolságra vannak a szögszáraktól. 13

15 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS z szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, amely áthalad a szakasz O középpontján, és merőleges a szakaszra. o z összes olyan pont alkotja, amelyek egyenlő távolságra vannak az és ponttól. O Egy domborúszög (konvex szög) szögfelezője egy olyan félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre osztja. z összes olyan pont alkotja, amelyek a szögön belül fekszenek, és ugyanakkora távolságra vannak a szög p és t szögszáraitól. p o t FELTOK 10. Szerkesztettünk egy O középpontú, 5 egységnyi sugarú k kört. Olyan, cm sugarú kört szeretnénk szerkeszteni, amely a k kört a) kívülről érinti; b) belülről érinti; c) érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen m kör középpontjai? 11. dott egy O középpontú, 5 egységnyi sugarú k kör. Olyan, 7 cm sugarú kört szeretnénk szerkeszteni, amely érinti a k kört. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 1. Szerkesztettünk egy O középpontú körívet (a k körvonal részét), amelynek az és a pont a két végpontja. Egy további körívet (az m körvonal részét) szeretnénk szerkeszteni, amely a pontban törésmentesen kapcsolódik az első körívhez. Mely síkbeli pontok lehetnek az m kör középpontjai? Mit értünk az alatt, hogy az m kör köríve törésmentesen kapcsolódik a pontban a k kör körívéhez? k és az m körív a pontban érintkezik (tehát ebben a pontban közös az érintőjük), miközben a kapcsolódó körív és az körív a O egyenes ellentétes oldalán helyezkedik el. (Ez utóbbi feltételt a 8. b) ábra alapján érthetjük meg.) törésmentes kapcsolódás fogalmának megértése érdekében javasoljuk, hogy beszélgessetek el a 7. és 8. ábráról. Vegyétek észre, hogy a 8. b) ábrán ugyan közös a két körív pontba húzott érintője, de a köríveket a O egyenes nem választja el, ezért a kapcsolódásuk nem törésmentes. a) b) a) b) m m O m O O m O k k 7. ábra Példák a körívek törésmentes kapcsolódására. k k 8. ábra Két példa arra, hogy két körív a pontban nem törésmentesen kapcsolódik. 14

16 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS FELT 13. dott egy szakasz. Egy olyan körívet szeretnénk szerkeszteni, amely törésmentesen kapcsolódik hozzá a pontban. a) Mit jelent az, hogy a körív törésmentesen kapcsolódik a szakaszhoz a pontban? b) Mely síkbeli pontok lehetnek ennek a körívnek a középpontjai? VISSZ SZERKESZTÉSI FELTOKHOZ Ha már meg tudjuk keresni az egyes egyszerű tulajdonságokhoz tartozó ponthalmazokat, megpróbálkozhatunk néhány szerkesztési feladat megoldásával. Minden esetben írd le a szerkesztés lépéseit úgy, ahogy az 1. feladat megoldásának végén tettük! 15. feladatban végezd el a szerkesztést is! FELTOK 14. Írj egy adott hegyesszögbe egy egységnyi átmérőjű kört! ( feladatot így is megfogalmazhatjuk: Köss össze törésmentesen két metszőegyenest egy egységnyi átmérőjű körívvel!) 15. Köss össze törésmentesen egy adott k és egy l kört egy adott sugarú körívvel (az m kör részével)! k és l körök sugara legyen r k = 1,5 cm és r l =,5 cm, centrálisuk (középpontjaik távolsága) O k O l = 5,5 cm, a körív sugara pedig r m = 6 cm! k és l kört kösd össze először a 9., majd a 10. ábrán látható módon! 14. ÉS 17. FELTTL MŰSZKIRJZ- TNKÖNYVEKEN TLÁLKOZHTUNK. k l 9. ábra 10. ábra k l Egymást érintő körök: a sugarak és a centrális viszonya, az érintési pont helyzete 15. feladat megoldása az egymást érintő körökre vonatkozó két egyszerű ismereten alapszik (amelyekre már a 10. és 11. feladat megoldása során is szükséged volt): Ha két kör kívülről érinti egymást, akkor centrálisuk hossza a sugaraik összegével egyenlő (11. ábra). tétel megfordítása is igaz: Ha két kör centrálisának hossza a sugaraik összegével egyenlő, akkor a két kör kívülről érinti egymást. (Gondolkozz el ezen!) Ha két kör belülről érintkezik (egy kör belülről érinti a másikat), akkor centrálisuk hossza a sugarak különbségével egyenlő (1. ábra). Ebben az esetben is igaz a tétel megfordítása. (Fogalmazd meg!) Mindkét esetben az érintési pont a két kör centrálisán (a középpontokat összekötő egyenesen) fekszik. (Ellenőrizd a 11. és 1. ábrán!) 11. ábra 1. ábra 15

17 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 15. FELT MEGOLÁS továbbiakban kizárólag a 10. ábrán látható körív szerkesztésére összpontosítunk. Elemzéssel, tehát azoknak az összefüggéseknek és tulajdonságoknak a vizsgálatával kezdjük, amelyek segítségével meg tudjuk szerkeszteni a kívánt körívet. 1. k és az l kör is belülről érinti a körívet. körívre tehát két feltételnek kell teljesülnie: a körívet a k kör és az l kör is belülről érinti. Ezért a körív O középpontját úgy keressük meg, hogy megkeressük: az összes olyan 6 cm sugarú kör középpontját, amely belülről érinti a k kört, az összes olyan 6 cm sugarú kör középpontját, amely belülről érinti az l kört. keresett O pont mindkét ponthalmazon rajta van, tehát az O pont a két ponthalmaz metszete. FELHÍVJUK FIGYELMEET, HOGY 10. FELTN HSONLÓ PONTHLMZT KERESTÜNK.. Hasznosítsuk a ponthalmazok keresésekor azt az ismeretünket, amelyet a 1. ábrához tartozó megjegyzés során fogalmaztunk meg. Ebből következik, hogy: Ha (az O k középpontú és r k = 1,5 cm sugarú) k kör belülről érinti az (O középpontú és r m = 6 cm sugarú) m kört, akkor az O pont távolsága az O k ponttól: r m r k = 6 1,5 = 4,5 cm. Ez azt jelenti, hogy az O középpont 4,5 cm-re van az O k ponttól, azaz rajta van az O k középpontú, 4,5 cm sugarú k körvonalon. k körvonal minden pontja olyan 6 cm sugarú kör középpontja, amely belülről érinti a k kört. k körvonal pontjain kívül a sík egyetlen pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (ahogy ezt már megállapítottuk a 1. ábrához tartozó megjegyzésben). k' k k' m 4,5 k 3,5 l 13. ábra O 16 l' z adott tulajdonságú ponthalmazok nyelvén megfogalmazva: z (O k középpontú, 4,5 cm sugarú) k körvonal az összes olyan kör középpontjainak halmaza, amelyek sugara 6 cm, és belülről érintik a k kört. 3. Hasonló megfontolás alapján: a 6 cm sugarú és az l kört belülről érintő körök középpontjainak halmaza egy O l középpontú és 3,5 cm sugarú l körvonal. (Gondold át, hogy valóban érthető-e számodra ez a megfogalmazás!) 4. keresett körív O középpontjának a k és az l körvonalra is illeszkednie kell, a keresett pont tehát a két körvonal metszéspontja. ( 13. ábrán a két megoldás közül csupán az egyik olyan körívet ábrázoltuk, amelynek középpontja a k és az l körvonalak metszéspontja.)

18 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS nnak igazolását, hogy az O középpontú és 6 cm sugarú m kör valóban érinti a k és az l kört, (tehát a szerkesztés helyességének ellenőrzését, ami az egyenlet gyökének ellenőrzéséhez hasonlítható) vitasd meg osztálytársaiddal! Megjegyezzük, hogy az igazoláshoz nagy segítséget nyújthat, ha te magad szerkeszted meg a k kört, az l kört, valamint a köröket összekötő körívet. 70. OLL 10. FELTÁÓL KI FOG ERÜLNI, HOGY MIÉRT NEM HELYETTESÍTHETI SZERKESZTÉS IZONYÍTÁST. szerkesztés lépéseinek, tehát a szerkesztés menetének leírását is rád bízzuk. Ebben a körív középpontjának megkeresésén kívül egy rajztechnikai kérdést is meg kell oldanunk. Ha az illeszkedő körívet pontosan meg akarjuk szerkeszteni, akkor meg kell találnunk az és pontot is, amelyekben az m kör érinti a k és az l kört. megoldás bevezetőjéből már tudjuk, hogy az érintési pont az érintkező körök centrálisán fekszik. ( 13. ábrán a centrálisokat pontvonallal jelöltük.) Ezért az érintési pont a k körvonal és az OO k egyenes metszéspontja. (Két ilyen pontot is kapunk; az pontot úgy választjuk meg, hogy az OO k szakaszon kívül legyen.) z l kör esetében ugyanígy járunk el. Megjegyzés: 15. feladatban adott sugarú összekötő körívet kellett szerkesztenünk. Ez a feltétel az adott sugár kissé mesterkéltnek tűnhet. zt hihetnénk, hogy természetesebb lenne előre meghatározni azt a két pontot, amelyben a körív a k és az l körhöz csatlakozik. Ez az elképzelés azonban helytelen: az így megfogalmazott feladatnak általában nincs megoldása. z általában szó értelmét a megjegyzés végén tisztázzuk. k Nézzük az, végpontú körív szerkesztését, amelynek törésmentesen kell illeszkednie a k és l körökhöz! szerkesztést a k, l köröknek és az, pontoknak a 14. ábrán látható helyzetére oldjuk meg. O k 14. ábra O l l ITT IS ÉRVÉNYES Z, MI MÁSHOL IS EEN TNKÖNYVEN: FELTOT ELŐSZÖR PRÓÁL MEG ÖNÁLLÓN MEGOLNI, ÉS SK ZT KÖVETŐEN OLVS EL Z LÁI SOROKT! Hasznosítsuk a 15. feladat megoldásának bevezetőjében említett ismeretet: két érintkező körvonal érintési pontja a centrálisukon fekszik. keresett körívnek érintenie kell a k kört az pontban, ezért az pont az O pontot és az O k pontot összekötő egyenesen fekszik. Más szóval: az, O és O k pont ugyanazon az egyenesen fekszik, azaz az O pont rajta van az O k egyenesen; az l kört a pontban, ezért az O pontnak a O l egyenesen kell lennie. keresett O pont tehát az O k és O l egyenesek metszéspontja. (Miért?) Ha megkeressük ezt az O pontot (15. ábra), és meg akarjuk szerkeszteni az O középpontú körívet, egy akadályba ütközünk. Ugyanis nincs olyan O középpontú körív, amely egyidejűleg áthaladna az és a ponton is. (Ellenőrizd!) k O k O l l O 15. ábra EŐL PÉLÁÓL IS LÁTHTÓ, HOGY MIÉRT NEM TEKINTHETÜNK EL SZERKESZTÉSI FELT ELLENŐRZÉSÉTŐL. (VGYIS TTÓL, HOGY MEGÁLLPÍTSUK: MEGSZERKESZTETT IOM VLÓN MEGFELEL-E FELT KÍVÁNLMINK.) z O középpont keresése közben arra a következtetésre jutottunk, hogy: mennyiben az O pont a keresett körív középpontja, akkor a helyét az O k és O l egyenesek metszéspontja jelöli ki. Ezért csakis ez a metszéspont töltheti be az O pont szerepét. Mivel ez a metszéspont nem megfelelő, ezért a kívánt tulajdonságokkal rendelkező körív nem létezik. (Vitasd meg ezt a megállapítást, pl. a padszomszészoddal!) FIGYEL MEG, MENNYIRE HSONLÍT EZ FEJTEGETÉS Z EGYENLETEK MEGOLÁSÁHOZ! RENEZÉS ÉS ZONOS ÁTLKÍTÁSOK UTÁN MEGKPJUK Z EGYENLET LEHETSÉGES GYÖKEIT, MJ Z ELLENŐRZÉS SEGÍTSÉGÉVEL MEGÁLLPÍTJUK, HOGY EZEK GYÖKÖK VLÓN MEGFELELNEK-E Z EREETI EGYENLETEN TÁMSZTOTT FELTÉTELEKNEK. 17

19 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS k O k t 16. ábra O l l Mi okozza a gondot? keresett körív O középpontjának az említett két feltételen kívül (az O pont az O k és a O l egyenesre is illeszkedik) egy további feltételt is teljesítenie kell: ugyanakkora távolságra kell lennie az ponttól, mint a -től. (Miért?) z a ponthalmaz, amely megfelel ennek a tulajdonságnak, az szakasz felezőmerőlegese (a 16. ábra t egyenese). Mindhárom tulajdonsággal csupán egy olyan pont rendelkezhet, amely egyidejűleg az O k, a O l és a t egyenesen is rajta van. Mint látható a 16. ábrán, esetünkben ez nincs így. ( 13. ábrán azonban az, pontok helyzete miatt ez a hármas feltétel teljesül.) Nem nehéz belátni, hogy az állítás megfordítása is igaz: Ha egy O pont teljesíti a három feltételt, akkor létezik az O középpontú összekötő körív. (Vitasd meg ezt az állítást az osztálytársaiddal!) fentiekből következik, hogy az összekötő körív csak akkor létezik, ha az O k, a O l egyenes és az szakaszfelezője egyetlen pontban metszi egymást. Ez nyilván viszonylag ritkán fordulhat elő, de nem lehetetlen. ( 15. feladat megoldásából látható, hogy némely, pontpárhoz találunk ilyen körívet.) Ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a feladatnak általában nincs megoldása (tehát olykor előfordulhat, hogy van megoldása). FELTOK H FELTOT MOZGÁSR ÉRTELMEZZÜK: EGY e EGYENES MENTÉN GÖRGETÜNK EGY r SUGRÚ m KÖRT. SZERKESSZÜK MEG Z m PONT HELYZETÉT k KÖRHÖZ ÉRKEZÉS PILLNTÁN! 16. Egy k kört és egy e egyenest törésmentesen szeretnénk összekötni egy adott sugarú körívvel (amely egy m körvonal része), hogy a 17. ábrán látható piros görbét kapjuk. (z adott értékeket a k kört, az e egyenest és az r sugarat a 17. ábrán kék szín jelöli.) a) Írd le és indokold a körív szerkesztésének lépéseit! b) Hogy kell megválasztani az r sugár értékét, hogy a feladatnak legyen megoldása? (Feltételezzük, hogy a k és az e a 17. ábrán látható helyzetben van.) m r 17. ábra O k k e FELTOT KEVÉSÉ ELVONT MÓON IS MEGFOGLMZHTNÁNK: SZERKESSZÜNK EGY OLYN KÖRÍVET, MELY TÖRÉSMENTESEN STLKOZIK Z e EGYENESHEZ Z EGYENES PONTJÁN, ÉS ÁTHL PONTON! 17. dott egy e egyenes, az egyenesen egy, az egyenesen kívül pedig egy pont. Olyan k kört akarunk szerkeszteni, amely áthalad a ponton, és az pontban törésmentesen csatlakozik az e egyeneshez. szerkesztés lépéseinek alábbi leírásában pótold a hiányzó szövegrészeket, majd indokold a szerkesztés helyességét! 1. (z) ponton keresztül szerkesztünk egy t egyenest, amely merőleges az e egyenesre.. Megszerkesztjük a(z) szakasz -t, és megjelöljük -val/vel. 3. t és a(z) egyenes metszéspontját O-val jelöljük. Ez a pont a(z). 4. Megszerkesztjük a(z) középpontú és sugarú kört. k e 18

20 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 5.. nevezetes ponthalmazok szerkesztése z előző részben leírtuk a szerkesztések lépéseit, de a 15. feladat kivételével magát a szerkesztést nem végeztük el. Ha meg akarjuk szerkeszteni az eddig tárgyalt nevezetes ponthalmazokat, ismernünk kell néhány alapszerkesztést: egy adott egyenessel párhuzamos, egy egyenesre merőleges egyenes, a szakaszfelező merőleges és a szögfelező szerkesztését. EUKLIESZI ÉS NEM EUKLIESZI SZERKESZTÉSEK Egy szerkesztés kivitelezése attól függ, hogy milyen eszközökkel rendelkezünk. z ókori görög matematika kifejlődése óta az a szerkesztés tekinthető ideálisnak, amelyhez csak egyélű vonalzót és körzőt használunk (miközben a vonalzót csak egyenes vonalak rajzolására használhatjuk, mérésre nem). EUKLIESZI ÉS NEM EUKLIESZI SZERKESZTÉSEK MI KÖZE SZKSZ- FELEZŐNEK, MERŐLEGES EGYENESNEK ÉS SZÖG- FELEZŐNEK Z EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖGHÖZ? VÁLTÓSZÖGEK ÉS PÁRHUZMOSSÁG z athéni kadémia megalapítójának, Platónnak tulajdonítják azt a követelményt, hogy a szerkesztések csupán egyenesek és körvonalak rajzolásán alapuljanak. Platón szerint a kör tökéletes alakzat. Eukleidész, aki matematikai műveltségét valószínűleg thénban, Platón tanítványaitól szerezte, ezt a feltételt tartotta szem előtt az Elemek című művének megírásakor. Ezért a csupán egyélű vonalzóval és körzővel (mérés nélkül) kivitelezhető szerkesztéseket euklideszi szerkesztéseknek nevezzük. ( matematikus nevét magyarul Eukleidésznek írjuk, a szerkesztéseket viszont euklideszinek. fordító megjegyzése) z euklideszi szerkesztéssel kapcsolatos Eukleidész Elemek című művének első három posztulátuma: 1. ármely két pont összeköthető egy szakasszal.. ármely szakasz végtelenül meghosszabbítható. 3. ármely pontból mint középpontból tetszőleges sugarú kör szerkeszthető. Eukleidész, ahogy egy 15. századi illusztrátor képzelte. z euklideszi szerkesztések egy társasjátékhoz hasonlíthatók. (Sok matematikus valóban így fogja fel.) Egy-egy alakzat meghatározható valamilyen pontokkal (például a háromszög a három csúcspontjával), és az a célunk, hogy ezeket a meghatározó pontokat megszerkesszük. sak egyélű vonalzót és körzőt használhatunk, miközben nem mérhetünk távolságokat. z új pontokat csak két egyenes, két körvonal vagy egy egyenes és egy körvonal metszéspontjaként kaphatjuk meg. Eközben csak akkor szerkeszthetünk meg egy kört, ha ismert a középpontjának helyzete és a sugara. ( sugarát egy olyan szakasszal adjuk meg, amelynek mindkét végpontja ismert.) csak akkor szerkeszthetünk meg egy egyenest, ha adott két pontja. történelem során matematikusok sorát érdekelte, hogy mely mértani idomok szerkeszthetők meg, ha megváltoztatjuk vagy szigorítjuk az euklideszi szabályokat. holland Frans van Schooten olyan szerkesztésekkel foglalkozott, amelyekben csak vonalzót szabad használni (miközben a vonalzót csak egyenesek rajzolására és szakaszmásolásra, mérésre azonban nem vehetjük igénybe). Hasonló probléma foglalkoztatta később harles Julies rianchont ( ). z olasz Lorenzo Mascheroni ( ) velük ellentétben olyan szerkesztésekkel foglalkozott, amelyekben kizárólag körzőt lehet használni ben sikerült bebizonyítania, hogy az egyélű vonalzóval és körzővel kivitelezhető euklideszi szerkesztésekből elhagyható a vonalzó, tehát elegendő egyetlen körző is (de az egyenest megszerkesztettnek tekintjük, ha adott két pontja). sak 198-ban derült ki, hogy egy dán származású matematikus, Georg Mohr ( ) már 167-ben hasonló következtetésre jutott. FRNS VN SHOOTEN ( ) 19