3. 7. a gimnázium. és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. 7. a gimnázium. és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára"

Átírás

1 a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára. rész MTEMTIK a gimnázium osztálya és a nyolcosztályos gimnázium osztálya számára. rész Publikácia bola hradená z finančných prostriedkov Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. ISN matika 3 gym-mad- cast.indd 1 SLOVENSKÉ PEGOGIKÉ NKLTEĽSTVO :47

2

3

4 Zbyněk Kubáček a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára. rész SLOVENSKÉ PEGOGIKÉ NKLTEĽSTVO

5 Szerző utor doc. RNr. Zbyněk Kubáček, Ph. Lektorok Lektori: Mgr. Tatiana Hiková Paedr. Iveta Kohanová, Ph. Translation RNr. Horváth Géza magyar fordítást lektorálta Maďarský preklad lektorovala: Mgr. olemant Lilla, Ph. Fotó Foto Pavel Čisárik Grafikai feldolgozás Grafický dizajn SPN Mladé letá, s. r. o. orítóterv Obálka akademický maliar Peter Galvánek Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 013. március 5-én /1376:4-919 szám alatt mint matematika-tankönyvet a gimnázium 3. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 7. osztálya számára,. rész. z engedélyezési szám 5 évig érvényes. Első kiadás, 013 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod č /1376:4-919 zo dňa 5. marca 013 ako učebnicu matematiky pre 3. ročník gymnázia a 7. ročník gymnázia s osemročným štúdiom,. časť. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vydanie, 013 Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv. Zodpovedná redaktorka Judita Hollá Výtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová Technická redaktorka Eva Onderčinová Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, ratislava Vytlačil Polygraf print, spol. s r. o., Prešov ISN

6 TRTLOM TRTLOM 5. NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS / Nevezetes ponthalmazok / nevezetes ponthalmazok szerkesztése / Tükrözés, eltolás, forgatás / További feladatok / 33 EREMÉNYEK / THLÉSZ-KÖR / Thalész-kör / kerületi és a középponti szög / További feladatok / 49 EREMÉNYEK / HÁROMSZÖG NÉGY NEVEZETES PONTJ / z oldalfelező merőlegesek és a háromszög szögfelezői / magasságpont / súlyvonalak és a súlypont / További feladatok / 59 EREMÉNYEK / 6 8. SZÁMOLUNK, SZERKESZTÜNK ÉS RJZOLUNK / mikor segít a számítás / További feladatok / 71 EREMÉNYEK / MÉRÉS / Közelítő értékekkel dolgozunk / Hosszúságmérés háromszögekkel / Területszámítás / További feladatok / 106 EREMÉNYEK / 110 FELHSZNÁLT IROLOM / 10 5

7

8 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 5. NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ebben és a következő három fejezetben elsősorban szerkesztéssel és rajzolással fogunk foglalkozni. Megmutatjuk, hogy milyen fontos lehet a műszaki rajz az építész, a földmérő vagy a tengerész számára. emutatunk néhány alapszerkesztést, és azt, hogy ezek hogyan függnek össze a háromszög, a paralelogramma és a kör egyszerű tulajdonságaival. Ezek némelyike magától értetődőnek fog tűnni, ennek ellenére nem mondunk le az igazolásukról. Ezzel egyrészt az érvelési képességünket szeretnénk fejleszteni, másrészt megtudhatjuk, hogy képesek vagyunk-e meggyőzni azokat, akik kételkednek a nyilvánvaló igazságokban. Sok olyan dologgal foglalkozunk majd, amivel az ókori görög matematikusok már tisztában voltak. Nem csoda tehát, hogy többször is emlegetjük majd Eukleidész Elemek című munkáját, amely két évezreden keresztül volt a geometria tanításának alaptankönyve. (Néhány matematikus azonban nem tartja igazán jó ötletnek Eukleidész Elemeinek tankönyvi alkalmazását.) 5.1. NEVEZETES PONTHLMZOK 5.. NEVEZETES PONTHLMZOK SZERKESZTÉSE 5.3. TÜKRÖZÉS, ELTOLÁS, FORGTÁS 5.4. TOVÁI FELTOK ár napjainkban a kézi rajzolást felváltották a számítógépes rajzprogramok, ma is elmondhatjuk, hogy aki tisztában akar lenni az alapokkal, annak a kézi rajzolással kell kezdenie. körzővel, vonalzóval, szögmérővel végzett szerkesztések közben szerzett tapasztalatokat és megértést ebben a fázisban nem lehet semmiféle számítógépes programmal pótolni. Ezenfelül azt is megtudhatjuk, hogy mi mindent lehet ezzel a három rajzeszközzel megszerkeszteni Nevezetes ponthalmazok EVEZETŐÜL EGY SZERKESZTÉSI FELT Kezdjük egy jellegzetes szerkesztési feladattal! Oldd meg önállóan, majd olvasd el a mi megoldásunkat is! (Ha nem jössz rá a megoldásra, hasznosítsd a következő ismeretet: a pont helyzetét két tulajdonság határozza meg tudjuk, hogy milyen messze van az szakasztól, és hogy milyen messze van a ponttól). szerkesztést még nem kell elvégezned; azzal majd a következő fejezetben foglalkozunk. FELT milánói székesegyház ablakdíszrészlete. gótikus ornamentumok (szaknyelven: mérművek) a vonalzóval és körzővel végzett szerkesztés szép példái. EVEZETŐÜL EGY SZERKESZTÉSI FELT EGYSZERŰ NEVEZETES PONTHLMZOKT KERESÜNK VISSZ SZERKESZTÉSI FELTOKHOZ! 1. Szerkeszd meg az háromszöget, ha adott: c = 5, m c =, a = 3! MEGOLÁS Vázlat, elemzés és a szerkesztés lépései z 1. ábrán feltüntettük az háromszög ismert adatait. Szerkesztésünk során abból indulunk ki, hogy az, pontok távolsága ismert, ezért ez a két pont adottnak tekinthető. pontot keressük, amelyre két feltételnek kell teljesülnie: a = 3 m c = P c = 5 1. ábra 7

9 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 1. z m c = feltételből következik, hogy a pont távolsága az egyenestől. (Meg tudod-e ezt magyarázni az osztálytársaidnak?) pont távolsága az egyenestől annak az egyenesre merőleges P szakasznak a hossza, amely P végpontja az egyenesre illeszkedik. (Lásd az 1. ábrát!) t és egyenesek távolsága annak az egyenesre merőleges szakasznak a hossza, amelynek egyik végpontja az egyenesen, másik végpontja pedig a t egyenesen fekszik. (. ábrán az említett szakaszokat pontvonallal jelöltük.) zok a pontok, amelyek egységnyi távolságra vannak az egyenestől, a. ábrán kékkel jelölt t 1 és t egyenesek valamelyikére illeszkednek. Ezek az egyenesek párhuzamosak az egyenessel, és egységnyire vannak az egyenestől. sík egyetlen más pontja sem felel meg ennek a feltételnek ilyen tulajdonsággal csakis a t 1 és t egyenesek pontjai rendelkeznek. (Miért?) Ezért a keresett pontnak a t 1 és t egyenesek valamelyikére kell illeszkednie. (sak akkor lépj tovább, ha ezt megértetted!). z a = 3 feltételből következik, hogy a pont távolsága a ponttól 3. ponttól azok a pontok vannak ilyen távolságra, amelyek a középpontú, 3 egységnyi sugarú körvonalra illeszkednek. Ezt a ponthalmazt a. ábrán pirossal jelöltük. sík egyetlen más pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (ennek a feltételnek csakis a k körvonal pontjai felelnek meg). Ezért a keresett pontnak a k körvonalon kell lennie. t 1 m c = a = 3 m c = k t. ábra Ha a pontot a t 1, t egyenesek valamelyikén vesszük fel, akkor minden esetben olyan háromszöget kapunk, amelyben m c =. (Gondolkozz el ezen!) Ha a pont a k körvonal tetszőleges pontja (kivéve az egyenes és a kör metszéspontjait), akkor olyan háromszöget kapunk, amelyben a = 3. (Miért zártuk ki a körvonal és az egyenes metszéspontjait?) Ha azt akarjuk, hogy a háromszögünkre mindkét feltétel teljesüljön tehát, hogy a = 3 és m c =, akkor úgy kell megválasztanunk a pontot, hogy rajta legyen a k körvonalon és ugyanakkor a t 1, t egyenesek valamelyikén is. z ábrán látható, hogy négy ilyen pont is van ezeket 1 -gyel, -vel, 3 -mal és 4 -gyel jelöltük. Ebből a négy pontból négy háromszög szerkeszthető. 3. ábrán ezeket különböző színekkel jelöltük. 1 t k 3. ábra t

10 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ezek a háromszögek a feladatunk keresett megoldásai. Figyeld meg, hogy az 1 és az 3 háromszög (tükrösen) egybevágó. Ugyanez mondható el az és az 4 háromszögekről is. Megjegyzés: Két háromszög egybevágó, ha papírból kinyírva az egyik a másikra helyezhető úgy, hogy pontosan fedjék egymást. Ha az egymásra helyezéshez az egyiket meg kell fordítanunk (tehát a fonákjára kell helyeznünk), akkor tükrözéses egybevágóságról beszélünk. Ha erre nincs szükség (tehát ha az egymásra helyezéshez elég az egyiket alkalmasan eltolni vagy elforgatni), akkor valódi egybevágóságról van szó. szerkesztés lépései z háromszög szerkesztésének menete a fenti elemzésből következik. ( bal oldali oszlopban egy szóbeli leírás látható, a jobb oldaliban matematikai szimbólumokat használtunk): HOGY MIKÉPP ÍRO LE SZERKESZTÉS LÉPÉSEIT SZVKKL-E VGY SZIMÓLUMOKKL, ZT RÁ ÍZZUK. LÉNYEG: HOGY LEÍRÁS VILÁGOS ÉS EGYÉRTELMŰ LEGYEN. MTEMTIKI SZIMOLIK Z EGYIK, E NEM Z EGYETLEN OLYN LEHETŐSÉG, MIVEL LEÍRÁS EGYÉRTELMŰVÉ TEHETŐ. EHHEZ ISMERNI KELL HLMZELMÉLETI FOGLMKT ÉS SZIMÓLUMOKT, KÜLÖNEN LIGH ÉRTE MEG, HOGY PL. 4. PONTN MIÉRT ÍRTUK PONTOT KPSOS ZÁRÓJELEK KÖZÉ. Először megszerkesztjük 1. az 5 egységnyi hosszú szakaszt, 1. szakasz, = 5. majd az egyenessel párhuzamos és az egyenestől egységnyi távolságra levő t egyenest.. t egyenes t, d(t, ) = (z elemzésből tudjuk, hogy két ilyen egyenes létezik, ezeket t 1 -gyel és t -vel jelöltük.) 3. Megszerkesztjük a középpontú, 3 egységnyi sugarú k kört, 4. majd megkeressük a k körvonal és a t egyenes metszéspontját; ez a metszéspont a háromszög csúcsa. 3. k(, r = 3) kör 4. pont, {} = k t Ez úgy értendő, hogy megkeressük a k körvonal metszéspontját a. pontban megszerkesztett t 1, t egyenesekkel Ha már ismerjük mindhárom csúcs helyzetét, akkor 5. megszerkesztjük az háromszöget. 5. háromszög. Megjegyzés. szerkesztési feladatok megoldásában le szoktuk írni a megoldások számát. z 1. feladatban két lehetőség közül választhatunk: Egy szerkesztési feladat megoldásának általában négy része van: VÁZLT ÉS ELEMZÉS ( szerkesztéshez szükséges tulajdonságok és összefüggések megkeresése.) SZERKESZTÉS LÉPÉSEINEK LEÍRÁS SZERKESZTÉS HELYESSÉGÉNEK ELLENŐRZÉSE (zt ellenőrizzük, hogy a megszerkesztett síkidom rendelkezik-e az összes kívánt tulajdonsággal.) MEGVITTÁS (Megoldások száma, a megoldhatóság feltételei.) megoldhatóság feltételeiről azokban a szerkesztési feladatokban teszünk említést, amelyekben csak azt tudjuk, hogy mi van megadva, de az adott elemek konkrét nagyságát nem ismerjük. (z 1. feladat ebben a megfogalmazásban így hangzana: Szerkeszd meg az háromszöget, ha adott: a, c, m c! ) 9

11 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ha az, pontok rögzített helyzete mellett arra vagyunk kíváncsiak, hogy hány pont felel meg a feladat feltételeinek, akkor a felelet: feladatnak 4 megoldása van. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy hány különböző alakú háromszöget kapunk, amelyek megfelelnek a feladat feltételeinek, akkor az egybevágó háromszögpárokat egynek tekintve az egyik megoldás az 1 és 3, a másik pedig az és 4 háromszög lesz. Ebben az esetben a válasz: feladatnak megoldása van. Z 1. FELT MÁS MEGOLÁS z 1. feladatban adott háromszöget másképp is megszerkeszthetjük. z egyik megoldás a 64. oldalon olvasható, egy továbbit pedig itt mutatunk meg. Először a derékszögű P háromszöget szerkesztjük meg, (P a pontból a c oldalra húzott magasság talppontja; lásd az 1. ábrát!), amelynek ismerjük az a átfogóját és az egyik befogóját, az m c -t. m c = a = 3 P c = 5 1. ábra szerkesztéshez a Thalész-tételt alkalmazzuk: Ha a szakasz az l kör átmérője, és X az l körvonal -től és -től különböző pontja, akkor a X szög derékszög. ( sík egyetlen más X pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Ezt a 6. fejezet 4. feladataiban fogjuk igazolni.) IÉZ FEL ELŐSZÖR THLÉSZ TÉTELÉT, ÉS SK EZT KÖVETŐEN FOLYTS Z OLVSÁST! (RÉSZLETESEEN KÖVETKEZŐ FEJEZETEN FOGUNK VELE FOGLLKOZNI.) P háromszög megszerkesztése és pont helyzetét adottnak tekintjük, mert ismerjük a távolságukat. P pontot keressük, amelyre két feltételnek kell teljesülnie: 1. z m c = feltételből következik, hogy a P pont egységnyi távolságra van a ponttól, ezért a P pontnak a középpontú, egységnyi sugarú kék m körvonalra kell illeszkednie. (Lásd a 4. ábrát!). Mivel P = 90, ezért a P pont rajta van a átmérőjű piros l körvonalon. (Ez a Thalész-tételből és abból az információból következik, amelyet a tétel utáni zárójeles mondatban közöltünk.) Ezért a P pont az l és m körvonalak metszéspontja. 4. ábrán látható, hogy két pontot kapunk: a P 1 -et és a P -t. z pont megszerkesztése Ha már ismerjük a P pont helyzetét, könnyen megtaláljuk az csúcsot. PRÓÁL MEG (LEGLÁ) INNEN ÖNÁLLÓN FOLYTTNI MEGOLÁST! Z EREMÉNYT HSONLÍTS ÖSSZE MI MEGOLÁSUNKKL! 10 z pontra két feltételnek kell teljesülnie: 1. P egyenesre kell illeszkednie. (És nem eshet egybe a ponttal. Miért?). z 5. ábrán a P egyenes két lehetséges helyzete látható: ez a barnával jelölt p és r egyenes.. c = 5 feltételből következik, hogy az pont távolsága a -től 5, tehát az pont a középpontú, 5 egységnyi sugarú zöld körvonalon fekszik. (Lásd a 6. ábrát!)

12 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS Ezért az pontot ott kapjuk meg, ahol az n körvonal metszi a p, r egyenesek valamelyikét. 6. ábrán látható, hogy négy ilyen pontot kapunk, amelyekhez négy háromszög tartozik ( 1,, 3, 4 ). nnak ellenőrzését, hogy mindegyik háromszög megfelel-e a feladat feltételeinek, rád bízzuk. p P 1 P 1 a = 3 m c = l P m P r 4. ábra 5. ábra n p 1 c = r 6. ábra 3 6. ábrákat összehasonlítva ugyanarra a következtetésre jutottunk, mint az 1. feladat megoldása során. ( szemléletesség kedvéért a két ábra megfelelő háromszögeit ugyanolyan színnel jelöltük.) H EZZEL MÓSZERREL SZERKESZTJÜK MEG Z HÁROMSZÖGET, KKOR ELÉG GYKRN ELŐFORUL EGY HI (EZÉRT IS KÉRTÜK, HOGY MEGOLÁST ÖNÁLLÓN FEJEZ E KÍVÁNSIK VOLTUNK, HOGY TE ELKÖVETE-E). Z 1. ÁRÁN LÁTHTÓ (SZEMLÉLTETŐ) VÁZLTÓL UGYNIS ZT HELYTELEN KÖVETKEZTETÉST VONHTJUK LE, HOGY P PONTNK Z ÉS PONT KÖZÖTT KELL LENNIE, TEHÁT HOGY Z OLLHOZ TRTOZÓ MGSSÁGNK KERESETT HÁROMSZÖG ELSEJÉEN KELL LENNIE. H ÍGY GONOLKOUNK, KKOR Z PONTOT NEM Z EGÉSZ P EGYENESEN, HNEM SK KEZŐPONTÚ P FÉLEGYENESEN FOGJUK KERESNI. ÍGY MEGTLÁLJUK 6. ÁRÁN Z 1 -GYEL ÉS 3 -ML JELÖLT PONTOT, E ELKERÜLI FIGYELMÜNKET Z ÉS Z 4 PONT. 11

13 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS EGYSZERŰ NEVEZETES PONTHLMZOKT KERESÜNK 8. oldal 1. feladatának megoldásában alkalmazott eljárást röviden így jellemezhetnénk: Keressük a pontot, amelyre két feltételnek kell teljesülnie. Ezért keressük Szimbolikusan az összes olyan pontot, amelyre teljesül az első feltétel (esetünkben ezek a t 1 és t egyenesek pontjai voltak), K Ha az első feltételnek eleget tevő összes pont halmazát K-val, az összes olyan pontot, amelyre teljesül a második feltétel (megoldásunkban ezek a k körvonal pontjai voltak). L a második feltételnek eleget tevő összes pont halmazát pedig L-lel jelöljük, K L SZIMÓLUMOT ÍGY OLVSSUK: K K METSZET K METSZET L, ÉS Z ÖSSZES OLYN ELEMET ÉRTJÜK LTT, MELYEK EGYIEJŰLEG K ÉS Z L HLMZNK IS ELEMEI. keresett pontra mindkét feltétel teljesül, ezért mindkét ponthalmazra illeszkednie kell. K L akkor a két feltételnek a K L halmaz összes eleme tesz egyidejűleg eleget. FELT. eszéljétek meg, hogy le lehet-e írni ilyen módon az 1. feladat 10. oldalán olvasható megoldását is! fenti módszerrel sok szerkesztési feladat megoldható. Ha ezt az eljárást akarjuk alkalmazni, akkor tudnunk kell, hogyan néznek ki azok a ponthalmazok, amelyek eleget tesznek valamely egyszerű feltételnek. Ezeket a ponthalmazokat adott tulajdonságú pontok halmazának (nevezetes ponthalmazoknak), régebbi nevükön mértani helyeknek nevezzük. Elöljáróban figyeljük meg azokat a tulajdonságokat, amelyekkel az 1. feladat két megoldása során találkoztunk! Például: a piros k körvonal a ponttól 3 egységnyire fekvő összes (síkbeli) pont halmaza. Z L HLMZ SÍK ÖSSZES OLYN PONTJÁNK HLMZ, MELYEK TÁVOLSÁG PONTTÓL 3 EGYSÉG. FENTI MOTOT ÚGY KELL ÉRTELMEZNÜNK, HOGY Z L HLMZ MINEN PONTJ RENELKEZIK UGYNZZL TULJONSÁGGL (MINEGYIK 3 EGYSÉGNYIRE VN PONTTÓL), ÉS EGYETLEN MÁS PONT SEM RENELKEZIK EZZEL TULJONSÁGGL, TEHÁT KIZÁRÓLG Z L HLMZ PONTJI RENELKEZNEK Z OTT TULJONÁGGL. FELT 1 3. Jellemezd a fenti módon (mint a sík összes olyan pontjának halmazát, amelyek rendelkeznek ugyanazzal a tulajdonsággal) a) az 1. feladat 1. megoldásában említett t 1 és t egyenespárt; b) a második megoldás m körvonalát; c) a második megoldásban szereplő l körvonal összes pontját a és pontok kivételével!

14 Most pedig fordítsuk meg a feladatot: keressük meg azt a halmazt, amelynek minden pontja rendelkezik az adott tulajdonsággal! NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS FELTOK 4. dott egy e egyenes. Szerkesszünk olyan 6 cm sugarú kört, amely érinti az e egyenest! Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 6 e MTEMTIKI MEGFOGLMZÁS: KERES MEG SÍK ÖSSZES OLYN 6 EGYSÉGNYI SUGRÚ KÖRÉNEK KÖZÉPPONTJÁT, MELYEK ÉRINTENEK EGY OTT e EGYENEST! TOVÁIKN ELŐNYEN RÉSZESÍTJÜK KÖZÉRTHETŐ MEGFOGLMZÁST. 5. Szerkesztettünk egy e egyenest, és felvettünk rajta egy pontot. (Matematikailag megfogalmazva: dott egy e egyenes és az egyenesen egy pont. ) Olyan kört szeretnénk szerkeszteni, amely az e egyenest az pontban érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? e 6. Olyan körvonalat szeretnénk szerkeszteni, amely áthalad egy adott és ponton. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 7. dott egy V csúcsú hegyesszög. Olyan kört szeretnénk a szögbe szerkeszteni, amely mindkét szögszárat érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 8. Egy olyan kört szeretnénk szerkeszteni, amely érinti az egymással párhuzamos p és r egyenest. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 9. dott egy és egy pont. alapú egyenlő szárú háromszöget szeretnénk szerkeszteni. sík mely pontjai lehetnek a keresett csúcspontok? 6., 7. és 9. feladat megoldása egy-egy gyakrabban alkalmazott ponthalmaz: z szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, amely merőleges az szakaszra, és áthalad a szakasz középpontján. z szakasz felezőmerőlegese a sík összes olyan pontjának halmaza, amelyek ugyanakkora távolságra vannak az és a ponttól. (Tehát az összes olyan pont halmaza, amelyekre fennáll az = egyenlőség. 0 és 180 közti szögek szögfelezője egy olyan félegyenes, amelynek kezdőpontja a szög csúcsa, és a szöget két egybevágó szögre bontja. szögfelezőt úgy is felfoghatjuk, mint a szögön belül fekvő összes olyan pont halmazát, amelyek ugyanakkora távolságra vannak a szögszáraktól. 13

15 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS z szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, amely áthalad a szakasz O középpontján, és merőleges a szakaszra. o z összes olyan pont alkotja, amelyek egyenlő távolságra vannak az és ponttól. O Egy domborúszög (konvex szög) szögfelezője egy olyan félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre osztja. z összes olyan pont alkotja, amelyek a szögön belül fekszenek, és ugyanakkora távolságra vannak a szög p és t szögszáraitól. p o t FELTOK 10. Szerkesztettünk egy O középpontú, 5 egységnyi sugarú k kört. Olyan, cm sugarú kört szeretnénk szerkeszteni, amely a k kört a) kívülről érinti; b) belülről érinti; c) érinti. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen m kör középpontjai? 11. dott egy O középpontú, 5 egységnyi sugarú k kör. Olyan, 7 cm sugarú kört szeretnénk szerkeszteni, amely érinti a k kört. Mely síkbeli pontok lehetnek egy ilyen kör középpontjai? 1. Szerkesztettünk egy O középpontú körívet (a k körvonal részét), amelynek az és a pont a két végpontja. Egy további körívet (az m körvonal részét) szeretnénk szerkeszteni, amely a pontban törésmentesen kapcsolódik az első körívhez. Mely síkbeli pontok lehetnek az m kör középpontjai? Mit értünk az alatt, hogy az m kör köríve törésmentesen kapcsolódik a pontban a k kör körívéhez? k és az m körív a pontban érintkezik (tehát ebben a pontban közös az érintőjük), miközben a kapcsolódó körív és az körív a O egyenes ellentétes oldalán helyezkedik el. (Ez utóbbi feltételt a 8. b) ábra alapján érthetjük meg.) törésmentes kapcsolódás fogalmának megértése érdekében javasoljuk, hogy beszélgessetek el a 7. és 8. ábráról. Vegyétek észre, hogy a 8. b) ábrán ugyan közös a két körív pontba húzott érintője, de a köríveket a O egyenes nem választja el, ezért a kapcsolódásuk nem törésmentes. a) b) a) b) m m O m O O m O k k 7. ábra Példák a körívek törésmentes kapcsolódására. k k 8. ábra Két példa arra, hogy két körív a pontban nem törésmentesen kapcsolódik. 14

16 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS FELT 13. dott egy szakasz. Egy olyan körívet szeretnénk szerkeszteni, amely törésmentesen kapcsolódik hozzá a pontban. a) Mit jelent az, hogy a körív törésmentesen kapcsolódik a szakaszhoz a pontban? b) Mely síkbeli pontok lehetnek ennek a körívnek a középpontjai? VISSZ SZERKESZTÉSI FELTOKHOZ Ha már meg tudjuk keresni az egyes egyszerű tulajdonságokhoz tartozó ponthalmazokat, megpróbálkozhatunk néhány szerkesztési feladat megoldásával. Minden esetben írd le a szerkesztés lépéseit úgy, ahogy az 1. feladat megoldásának végén tettük! 15. feladatban végezd el a szerkesztést is! FELTOK 14. Írj egy adott hegyesszögbe egy egységnyi átmérőjű kört! ( feladatot így is megfogalmazhatjuk: Köss össze törésmentesen két metszőegyenest egy egységnyi átmérőjű körívvel!) 15. Köss össze törésmentesen egy adott k és egy l kört egy adott sugarú körívvel (az m kör részével)! k és l körök sugara legyen r k = 1,5 cm és r l =,5 cm, centrálisuk (középpontjaik távolsága) O k O l = 5,5 cm, a körív sugara pedig r m = 6 cm! k és l kört kösd össze először a 9., majd a 10. ábrán látható módon! 14. ÉS 17. FELTTL MŰSZKIRJZ- TNKÖNYVEKEN TLÁLKOZHTUNK. k l 9. ábra 10. ábra k l Egymást érintő körök: a sugarak és a centrális viszonya, az érintési pont helyzete 15. feladat megoldása az egymást érintő körökre vonatkozó két egyszerű ismereten alapszik (amelyekre már a 10. és 11. feladat megoldása során is szükséged volt): Ha két kör kívülről érinti egymást, akkor centrálisuk hossza a sugaraik összegével egyenlő (11. ábra). tétel megfordítása is igaz: Ha két kör centrálisának hossza a sugaraik összegével egyenlő, akkor a két kör kívülről érinti egymást. (Gondolkozz el ezen!) Ha két kör belülről érintkezik (egy kör belülről érinti a másikat), akkor centrálisuk hossza a sugarak különbségével egyenlő (1. ábra). Ebben az esetben is igaz a tétel megfordítása. (Fogalmazd meg!) Mindkét esetben az érintési pont a két kör centrálisán (a középpontokat összekötő egyenesen) fekszik. (Ellenőrizd a 11. és 1. ábrán!) 11. ábra 1. ábra 15

17 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 15. FELT MEGOLÁS továbbiakban kizárólag a 10. ábrán látható körív szerkesztésére összpontosítunk. Elemzéssel, tehát azoknak az összefüggéseknek és tulajdonságoknak a vizsgálatával kezdjük, amelyek segítségével meg tudjuk szerkeszteni a kívánt körívet. 1. k és az l kör is belülről érinti a körívet. körívre tehát két feltételnek kell teljesülnie: a körívet a k kör és az l kör is belülről érinti. Ezért a körív O középpontját úgy keressük meg, hogy megkeressük: az összes olyan 6 cm sugarú kör középpontját, amely belülről érinti a k kört, az összes olyan 6 cm sugarú kör középpontját, amely belülről érinti az l kört. keresett O pont mindkét ponthalmazon rajta van, tehát az O pont a két ponthalmaz metszete. FELHÍVJUK FIGYELMEET, HOGY 10. FELTN HSONLÓ PONTHLMZT KERESTÜNK.. Hasznosítsuk a ponthalmazok keresésekor azt az ismeretünket, amelyet a 1. ábrához tartozó megjegyzés során fogalmaztunk meg. Ebből következik, hogy: Ha (az O k középpontú és r k = 1,5 cm sugarú) k kör belülről érinti az (O középpontú és r m = 6 cm sugarú) m kört, akkor az O pont távolsága az O k ponttól: r m r k = 6 1,5 = 4,5 cm. Ez azt jelenti, hogy az O középpont 4,5 cm-re van az O k ponttól, azaz rajta van az O k középpontú, 4,5 cm sugarú k körvonalon. k körvonal minden pontja olyan 6 cm sugarú kör középpontja, amely belülről érinti a k kört. k körvonal pontjain kívül a sík egyetlen pontja sem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal (ahogy ezt már megállapítottuk a 1. ábrához tartozó megjegyzésben). k' k k' m 4,5 k 3,5 l 13. ábra O 16 l' z adott tulajdonságú ponthalmazok nyelvén megfogalmazva: z (O k középpontú, 4,5 cm sugarú) k körvonal az összes olyan kör középpontjainak halmaza, amelyek sugara 6 cm, és belülről érintik a k kört. 3. Hasonló megfontolás alapján: a 6 cm sugarú és az l kört belülről érintő körök középpontjainak halmaza egy O l középpontú és 3,5 cm sugarú l körvonal. (Gondold át, hogy valóban érthető-e számodra ez a megfogalmazás!) 4. keresett körív O középpontjának a k és az l körvonalra is illeszkednie kell, a keresett pont tehát a két körvonal metszéspontja. ( 13. ábrán a két megoldás közül csupán az egyik olyan körívet ábrázoltuk, amelynek középpontja a k és az l körvonalak metszéspontja.)

18 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS nnak igazolását, hogy az O középpontú és 6 cm sugarú m kör valóban érinti a k és az l kört, (tehát a szerkesztés helyességének ellenőrzését, ami az egyenlet gyökének ellenőrzéséhez hasonlítható) vitasd meg osztálytársaiddal! Megjegyezzük, hogy az igazoláshoz nagy segítséget nyújthat, ha te magad szerkeszted meg a k kört, az l kört, valamint a köröket összekötő körívet. 70. OLL 10. FELTÁÓL KI FOG ERÜLNI, HOGY MIÉRT NEM HELYETTESÍTHETI SZERKESZTÉS IZONYÍTÁST. szerkesztés lépéseinek, tehát a szerkesztés menetének leírását is rád bízzuk. Ebben a körív középpontjának megkeresésén kívül egy rajztechnikai kérdést is meg kell oldanunk. Ha az illeszkedő körívet pontosan meg akarjuk szerkeszteni, akkor meg kell találnunk az és pontot is, amelyekben az m kör érinti a k és az l kört. megoldás bevezetőjéből már tudjuk, hogy az érintési pont az érintkező körök centrálisán fekszik. ( 13. ábrán a centrálisokat pontvonallal jelöltük.) Ezért az érintési pont a k körvonal és az OO k egyenes metszéspontja. (Két ilyen pontot is kapunk; az pontot úgy választjuk meg, hogy az OO k szakaszon kívül legyen.) z l kör esetében ugyanígy járunk el. Megjegyzés: 15. feladatban adott sugarú összekötő körívet kellett szerkesztenünk. Ez a feltétel az adott sugár kissé mesterkéltnek tűnhet. zt hihetnénk, hogy természetesebb lenne előre meghatározni azt a két pontot, amelyben a körív a k és az l körhöz csatlakozik. Ez az elképzelés azonban helytelen: az így megfogalmazott feladatnak általában nincs megoldása. z általában szó értelmét a megjegyzés végén tisztázzuk. k Nézzük az, végpontú körív szerkesztését, amelynek törésmentesen kell illeszkednie a k és l körökhöz! szerkesztést a k, l köröknek és az, pontoknak a 14. ábrán látható helyzetére oldjuk meg. O k 14. ábra O l l ITT IS ÉRVÉNYES Z, MI MÁSHOL IS EEN TNKÖNYVEN: FELTOT ELŐSZÖR PRÓÁL MEG ÖNÁLLÓN MEGOLNI, ÉS SK ZT KÖVETŐEN OLVS EL Z LÁI SOROKT! Hasznosítsuk a 15. feladat megoldásának bevezetőjében említett ismeretet: két érintkező körvonal érintési pontja a centrálisukon fekszik. keresett körívnek érintenie kell a k kört az pontban, ezért az pont az O pontot és az O k pontot összekötő egyenesen fekszik. Más szóval: az, O és O k pont ugyanazon az egyenesen fekszik, azaz az O pont rajta van az O k egyenesen; az l kört a pontban, ezért az O pontnak a O l egyenesen kell lennie. keresett O pont tehát az O k és O l egyenesek metszéspontja. (Miért?) Ha megkeressük ezt az O pontot (15. ábra), és meg akarjuk szerkeszteni az O középpontú körívet, egy akadályba ütközünk. Ugyanis nincs olyan O középpontú körív, amely egyidejűleg áthaladna az és a ponton is. (Ellenőrizd!) k O k O l l O 15. ábra EŐL PÉLÁÓL IS LÁTHTÓ, HOGY MIÉRT NEM TEKINTHETÜNK EL SZERKESZTÉSI FELT ELLENŐRZÉSÉTŐL. (VGYIS TTÓL, HOGY MEGÁLLPÍTSUK: MEGSZERKESZTETT IOM VLÓN MEGFELEL-E FELT KÍVÁNLMINK.) z O középpont keresése közben arra a következtetésre jutottunk, hogy: mennyiben az O pont a keresett körív középpontja, akkor a helyét az O k és O l egyenesek metszéspontja jelöli ki. Ezért csakis ez a metszéspont töltheti be az O pont szerepét. Mivel ez a metszéspont nem megfelelő, ezért a kívánt tulajdonságokkal rendelkező körív nem létezik. (Vitasd meg ezt a megállapítást, pl. a padszomszészoddal!) FIGYEL MEG, MENNYIRE HSONLÍT EZ FEJTEGETÉS Z EGYENLETEK MEGOLÁSÁHOZ! RENEZÉS ÉS ZONOS ÁTLKÍTÁSOK UTÁN MEGKPJUK Z EGYENLET LEHETSÉGES GYÖKEIT, MJ Z ELLENŐRZÉS SEGÍTSÉGÉVEL MEGÁLLPÍTJUK, HOGY EZEK GYÖKÖK VLÓN MEGFELELNEK-E Z EREETI EGYENLETEN TÁMSZTOTT FELTÉTELEKNEK. 17

19 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS k O k t 16. ábra O l l Mi okozza a gondot? keresett körív O középpontjának az említett két feltételen kívül (az O pont az O k és a O l egyenesre is illeszkedik) egy további feltételt is teljesítenie kell: ugyanakkora távolságra kell lennie az ponttól, mint a -től. (Miért?) z a ponthalmaz, amely megfelel ennek a tulajdonságnak, az szakasz felezőmerőlegese (a 16. ábra t egyenese). Mindhárom tulajdonsággal csupán egy olyan pont rendelkezhet, amely egyidejűleg az O k, a O l és a t egyenesen is rajta van. Mint látható a 16. ábrán, esetünkben ez nincs így. ( 13. ábrán azonban az, pontok helyzete miatt ez a hármas feltétel teljesül.) Nem nehéz belátni, hogy az állítás megfordítása is igaz: Ha egy O pont teljesíti a három feltételt, akkor létezik az O középpontú összekötő körív. (Vitasd meg ezt az állítást az osztálytársaiddal!) fentiekből következik, hogy az összekötő körív csak akkor létezik, ha az O k, a O l egyenes és az szakaszfelezője egyetlen pontban metszi egymást. Ez nyilván viszonylag ritkán fordulhat elő, de nem lehetetlen. ( 15. feladat megoldásából látható, hogy némely, pontpárhoz találunk ilyen körívet.) Ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a feladatnak általában nincs megoldása (tehát olykor előfordulhat, hogy van megoldása). FELTOK H FELTOT MOZGÁSR ÉRTELMEZZÜK: EGY e EGYENES MENTÉN GÖRGETÜNK EGY r SUGRÚ m KÖRT. SZERKESSZÜK MEG Z m PONT HELYZETÉT k KÖRHÖZ ÉRKEZÉS PILLNTÁN! 16. Egy k kört és egy e egyenest törésmentesen szeretnénk összekötni egy adott sugarú körívvel (amely egy m körvonal része), hogy a 17. ábrán látható piros görbét kapjuk. (z adott értékeket a k kört, az e egyenest és az r sugarat a 17. ábrán kék szín jelöli.) a) Írd le és indokold a körív szerkesztésének lépéseit! b) Hogy kell megválasztani az r sugár értékét, hogy a feladatnak legyen megoldása? (Feltételezzük, hogy a k és az e a 17. ábrán látható helyzetben van.) m r 17. ábra O k k e FELTOT KEVÉSÉ ELVONT MÓON IS MEGFOGLMZHTNÁNK: SZERKESSZÜNK EGY OLYN KÖRÍVET, MELY TÖRÉSMENTESEN STLKOZIK Z e EGYENESHEZ Z EGYENES PONTJÁN, ÉS ÁTHL PONTON! 17. dott egy e egyenes, az egyenesen egy, az egyenesen kívül pedig egy pont. Olyan k kört akarunk szerkeszteni, amely áthalad a ponton, és az pontban törésmentesen csatlakozik az e egyeneshez. szerkesztés lépéseinek alábbi leírásában pótold a hiányzó szövegrészeket, majd indokold a szerkesztés helyességét! 1. (z) ponton keresztül szerkesztünk egy t egyenest, amely merőleges az e egyenesre.. Megszerkesztjük a(z) szakasz -t, és megjelöljük -val/vel. 3. t és a(z) egyenes metszéspontját O-val jelöljük. Ez a pont a(z). 4. Megszerkesztjük a(z) középpontú és sugarú kört. k e 18

20 NÉHÁNY LPSZERKESZTÉS 5.. nevezetes ponthalmazok szerkesztése z előző részben leírtuk a szerkesztések lépéseit, de a 15. feladat kivételével magát a szerkesztést nem végeztük el. Ha meg akarjuk szerkeszteni az eddig tárgyalt nevezetes ponthalmazokat, ismernünk kell néhány alapszerkesztést: egy adott egyenessel párhuzamos, egy egyenesre merőleges egyenes, a szakaszfelező merőleges és a szögfelező szerkesztését. EUKLIESZI ÉS NEM EUKLIESZI SZERKESZTÉSEK Egy szerkesztés kivitelezése attól függ, hogy milyen eszközökkel rendelkezünk. z ókori görög matematika kifejlődése óta az a szerkesztés tekinthető ideálisnak, amelyhez csak egyélű vonalzót és körzőt használunk (miközben a vonalzót csak egyenes vonalak rajzolására használhatjuk, mérésre nem). EUKLIESZI ÉS NEM EUKLIESZI SZERKESZTÉSEK MI KÖZE SZKSZ- FELEZŐNEK, MERŐLEGES EGYENESNEK ÉS SZÖG- FELEZŐNEK Z EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖGHÖZ? VÁLTÓSZÖGEK ÉS PÁRHUZMOSSÁG z athéni kadémia megalapítójának, Platónnak tulajdonítják azt a követelményt, hogy a szerkesztések csupán egyenesek és körvonalak rajzolásán alapuljanak. Platón szerint a kör tökéletes alakzat. Eukleidész, aki matematikai műveltségét valószínűleg thénban, Platón tanítványaitól szerezte, ezt a feltételt tartotta szem előtt az Elemek című művének megírásakor. Ezért a csupán egyélű vonalzóval és körzővel (mérés nélkül) kivitelezhető szerkesztéseket euklideszi szerkesztéseknek nevezzük. ( matematikus nevét magyarul Eukleidésznek írjuk, a szerkesztéseket viszont euklideszinek. fordító megjegyzése) z euklideszi szerkesztéssel kapcsolatos Eukleidész Elemek című művének első három posztulátuma: 1. ármely két pont összeköthető egy szakasszal.. ármely szakasz végtelenül meghosszabbítható. 3. ármely pontból mint középpontból tetszőleges sugarú kör szerkeszthető. Eukleidész, ahogy egy 15. századi illusztrátor képzelte. z euklideszi szerkesztések egy társasjátékhoz hasonlíthatók. (Sok matematikus valóban így fogja fel.) Egy-egy alakzat meghatározható valamilyen pontokkal (például a háromszög a három csúcspontjával), és az a célunk, hogy ezeket a meghatározó pontokat megszerkesszük. sak egyélű vonalzót és körzőt használhatunk, miközben nem mérhetünk távolságokat. z új pontokat csak két egyenes, két körvonal vagy egy egyenes és egy körvonal metszéspontjaként kaphatjuk meg. Eközben csak akkor szerkeszthetünk meg egy kört, ha ismert a középpontjának helyzete és a sugara. ( sugarát egy olyan szakasszal adjuk meg, amelynek mindkét végpontja ismert.) csak akkor szerkeszthetünk meg egy egyenest, ha adott két pontja. történelem során matematikusok sorát érdekelte, hogy mely mértani idomok szerkeszthetők meg, ha megváltoztatjuk vagy szigorítjuk az euklideszi szabályokat. holland Frans van Schooten olyan szerkesztésekkel foglalkozott, amelyekben csak vonalzót szabad használni (miközben a vonalzót csak egyenesek rajzolására és szakaszmásolásra, mérésre azonban nem vehetjük igénybe). Hasonló probléma foglalkoztatta később harles Julies rianchont ( ). z olasz Lorenzo Mascheroni ( ) velük ellentétben olyan szerkesztésekkel foglalkozott, amelyekben kizárólag körzőt lehet használni ben sikerült bebizonyítania, hogy az egyélű vonalzóval és körzővel kivitelezhető euklideszi szerkesztésekből elhagyható a vonalzó, tehát elegendő egyetlen körző is (de az egyenest megszerkesztettnek tekintjük, ha adott két pontja). sak 198-ban derült ki, hogy egy dán származású matematikus, Georg Mohr ( ) már 167-ben hasonló következtetésre jutott. FRNS VN SHOOTEN ( ) 19

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!... 9 2. HOZZÁRENDELÉS, FÜGGVÉNY... 69 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ............................................................ 7 1. GONDOLKOZZ ÉS SZÁMOLJ!............................. 9 Mit tanultunk a számokról?............................................

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

11. Geometriai transzformációk

11. Geometriai transzformációk 11. Geometriai transzformációk I. Elméleti összefoglaló Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ha a transzformáció

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra

Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/4365-1/008. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Geometriai példatár 2.

Geometriai példatár 2. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi

Részletesebben

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4.

Geometria. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László. 2015. augusztus 4. Geometria 9 10. évfolyam Szerkesztette: Hraskó András, Surányi László 2015. augusztus 4. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1.

4. Lecke. Körök és szabályos sokszögek rajzolása. 4.Lecke / 1. 4.Lecke / 1. 4. Lecke Körök és szabályos sokszögek rajzolása Az előző fejezetekkel ellentétben most nem újabb programozási utasításokról vagy elvekről fogunk tanulni. Ebben a fejezetben a sokszögekről,

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building.

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_ of_gambrel-roofed_building. A manzárdtetőről Az építőipari tanulók ácsok, magasépítő technikusok részére kötelező gyakorlat a manzárdtetőkkel való foglalkozás. Egy manzárd nyeregtetőt mutat az. ábra.. ábra Forrás: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/drawing_in_perspective_

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 10. tétel Milyen mérési feladatokat kell elvégeznie a kördiagram megszerkesztéséhez? Rajzolja meg a kördiagram felhasználásával a teljes nyomatéki függvényt! Az aszinkron gép egyszerűsített kördiagramja

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Nagy Erika. Matekból Ötös. 5. osztályosoknak. www.matek.info

Nagy Erika. Matekból Ötös. 5. osztályosoknak. www.matek.info Nagy Erika Matekból Ötös 5. osztályosoknak www.matek.info 1 Készítette: Nagy Erika 2009 Javított kiadás 2010 MINDEN JOG FENNTARTVA! Jelen kiadványt vagy annak részeit tilos bármilyen eljárással (elektronikusan,

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Dr. Engler Péter. Fotogrammetria 2. FOT2 modul. A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Engler Péter Fotogrammetria 2. FOT2 modul A fotogrammetria geometriai és matematikai alapjai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás 12. évfolyam Osztályozó vizsga 2013. augusztus Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás Ismerje a számsorozat

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Geometria. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András. 2015. december 6.

Geometria. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András. 2015. december 6. Geometria 7 8. évfolyam Szerkesztette: Fazakas Tünde, Hraskó András 2015. december 6. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. 9. ÉVFOLYAM Gondolkodási módszerek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok

I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok 15. modul: SÍKIDOMOK 7 I. Síkgeometriai alapfogalmak, szögek, szögpárok Módszertani megjegyzés: A jelen modult többnyire kibővített ismétlésnek szántuk, és fő célja az alapfogalmak és az alapismeretek

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK... 9

TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK... 9 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ.......................................................... 7 1. SZÁMOK ÉS MŰVELETEK................................. 9 Számok írása, olvasása, ábrázolása...................................

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben