Matematika A3 összefoglalás. Írta: Katona Géza Ellenőrizte: Dr. Németh Pál

Átírás

1 Mtemtik A3 összefogllás Írt: Kton éz Ellenőrizte: Dr. Németh Pál

2 Vektorértékű függvények Térgöre megdás(k3 205.o) Egy I időszk ltt téren mozgó részecske koordinátáit z I intervllumon definiált függvényekként képzelhetjük el. x=f(t) y=g(t) z=h(t) t I Az (x,y,z)=(f(t),g(t),h(t)), t I pontok áltl lkotott görét nevezzük részecske pályájánk. Az elői egyenletek z I intervllumon prméterezik görét. Egy görét megdhtunk vektoros formán is. Az origóól P=(f(t),g(t),h(t)) pont muttó r(t)=op=f(t)i+g(t)j+h(t)k vektor részecske helyvektor t időpontn. Az f, g és h függvények helyvektor komponensei, vgy másszóvl koordinátfüggvényei. A t I időintervllumon z r(t) áltl efutott göre részecske pályáj. Vektorfüggvények htárétéke, folytonosság, differenciálhtóság Htárérték(K3 207.o) Legyen r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k egy vektorfüggvény, és L egy vektor. Azt mondjuk, hogy r htárértéke t 0 -n L, zz lim r(t) = L t t 0 h minden ε>0-hoz létezik δ>0, melyre minden t esetén 0 < t t 0 < δ r t L < ε. Folytonosság(K3 207.o) Az r(t) vektorfüggvény folytonos t=t 0 pontn, h ott értelmezve vn, és lim r(t) = r(t 0 ) t t 0 A függvény folytonos, h értelmezési trtományánk minden pontján folytonos. Derivált(K3 208.o) Az r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k vektorfüggvény deriválhtó (differenciálhtó) t-en, h f,g és h deriválhtó t-en. Ekkor vektorfüggvény deriváltj r t = dr = lim r t + Δt r(t) = df dg d i + j + Δt 0 Δt k Seességvektor, seesség, mozgásirány, gyorsulásvektor(k3 209.o) H r egy sim görén mozgó részecske helyvektor z idő függvényéen, kkor v t = dr részecske seességvektor, mely göre érintővektorávl egyező irányú. Tetszőleges t mellett v(t) irány mozgás irány, v(t) ngyság részecske seessége. Amennyien létezik, = dv részecske gyorsulásvektor. Összefogllv: 1. A seességvektor helyvektor deriváltj: v = dr. 2. A seesség seességvektor ngyság: seesség= v. 3. A gyorsulás seességvektor deriváltj: = dv = d2 r 2. 2

3 4. A v v egységvektor mozgás irány t időpillntn. Differenciálási szályok(k3 211.o) Legyen u és v t változó deriválhtó vektorfüggvényei, C egy konstns vektor, c egy tetszőleges sklár, f pedig egy deriválhtó sklárfüggvény. d 1. konstns: C = 0 2. sklárszoros: 3. összeg: 4. különség: 5. sklárszorzt: 6. vektoriális szorzt 7. láncszály: d d d d d d d cu(t) = cu(t) f(t)u(t) = f t u t + f t u t u t + v(t) = u t + v t u t v(t) = u t v t u t v(t) = u t v t + u t v t u(t) v(t) = u t v t + u t v t u(f(t)) = f (t)u(f(t)) Állndó hosszúságú vektorfüggvények(k3 212.o) H r konstns hosszúságú differenciálhtó vektorfüggvény, kkor r dr = 0. Bizonyítás: r t r t = c 2 r t = c d r t r t = 0 r t r t + r t r t = 0 2 r t r t = 0 r t r t = 0 0, h merőle gesek Htároztln integrál(k3 213.o) Az r vektorfüggvény t szerinti htároztln integrálj z r összes primitív függvények hlmz. Jelölése r t. H R z r primitív függvénye, kkor Htározott integrál(k3 213.o) r t = R t + C H r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k komponensei integrálhtók z [,] intervllumon, kkor r htározott integrálj -tól -ig r t = f t i + g t j + t k 3

4 Sim göre ívhossz(k3 228.o) Az r(t)=x(t)i+y(t)j+g(t)k, t [,] sim göre ívhossz, mennyien r pontosn egyszer járj e görét, miközen t -tól -ig növekszik: L = dx 2 + dy 2 + dz A göre P(t 0 ) kezdőpontú ívhossz prmétere(k3 229.o) t s t = (x (τ)) 2 + (y (τ)) 2 + (z (τ)) 2 dτ = v(τ) dτ t 0 Áttérés ívhossz prméterre(k3 229.o) péld Jelöljük ki t 0 =0 kezdőpontot, és számoljuk ki z r t = cos t i + sin t j + tk spirál ívhossz prméterét: t t s t = v(τ) dτ = sin τ 2 + cos τ 2 + 1dτ = 2dτ = 2t t 0 t 0 0 Az egyenletet t-re megoldv t= s dódik. Helyettesítsük ezt e z r helyvektorr 2 vontkozó egyenlete, és megkpjuk spirál ívhosszl vló prméterezését: Normált érintővektor(k3 230.o) 2 r t(s) = cos s 2 i + sin s 2 j + s 2 k Az r(t) sim göre normált (zz egységnyi hosszúságú) érintővektor: T = dr dr ds = = v ds v örület(k3 232.o) H T egy sim göre normált érintővektor, kkor göre görülete κ = dt ds. örület kiszámolás(k3 232.o) t 0 t t H r(t) egy sim göre, kkor görülete κ = 1 dt v hol T = v normált érintővektor. v Normált főnormális(k3 233.o) = v v 3 Egy olyn pontn, melyen κ 0, sim síkgöre normált főnormális N = 1 κ dt Az r(t) sim göre normált főnormális N = dt, hol T = v v érintővektor. dt ds. göre normált 4

5 Simulókör(K3 234.o) Egy síkgöre simulóköre egy olyn P pontn, melyen κ 0, egy olyn kör, mely 1. érinti görét P-en (zz ugynz z érintője, mint görének) 2. görülete megegyezik göre P-eli görületével 3. göre konkáv, vgyis első oldlán helyezkedik el A P ponteli görületi sugár simulókör sugr, melyet ρ-vl jelölünk, ρ = 1 κ. A görületi sugrt ezek szerint úgy htározhtjuk meg, hogy kiszámoljuk κ-t és vesszük reciprokát. A göre P-eli görületi középpontj simulókör közepe. Binormális(K3 238.o) B = T N E három vektor T, N és B részecskével együttmozgó josodrású derékszögű koordinát rendszert lkot, együttes nevük kísérő triéder. Torzió(K ) Legyen B = T N. A sim göre torziój x y z x y z τ = db ds N = x y z v 2 A torzió test csvrodását méri mozgás pillntnyi síkján. Integrálás vektormezőe Vonlintegrál(K3 418.o) H ki krjuk számítni f(x,y,z) integrálját egy C görén, kkor: 1. Keressük meg C-nek egy sim prméterezését, r t = g t i + t j + k t k t 2. Számítsuk ki z lái integrált Vektormező(K3 423.o) C f(x, y, z) = f(g t, t, k t ) v(t) Vektormezőnek egy olyn függvényt nevezünk, mi sík vgy tér egy trtományánk pontjihoz vektorokt rendel (pl.: vektor-vektor függvény, erőtér, ármlási tér). H háromdimenziós tér pontjihoz rendelünk háromdimenziós vektorokt, és téren már rögzítve vn egy derékszögű koordinát rendszer, kkor vektormezőt következőképp dhtjuk meg: F(x,y,z)=M(x,y,z)i+ N(x,y,z)j+P(x,y,z)k. rdiensmező (vgy potenciáltér)(k3 424.o) Egy differenciálhtó f(x,y,z) függvény grdiensmezője vgy potenciáltere f = f f f i + j + x y z k 5

6 grdiensvektort rendeli z (x,y,z) ponthoz. Munk sim göre mentén(k3 425.o) Az F=Mi+Nj+Pk erőtér áltl végzett munk z r(t) sim göre mentén t=-tól t=-ig t = W = F Tds = F dr = F dr = M dg t= t= t= = M dx dy dz + N + P Ármlási integrál, cirkuláció(k3 428.o) d dk + N + P = Mdx + Ndy + Pdz H r(t) egy sim göre egy folytonos F ármlási mezően, kkor z ármlás göre mentén t=-tól t=-ig F Tds Ezt z integrált een z eseten ármlási integrálnk hívják. H göre zárt, kkor ezt zárt göre menti integrált cirkulációnk nevezik. Útfüggetlenség, konzervtív erőtér(k3 433.o) Legyen F egy erőtér tér egy nyílt D hlmzán definiálv, és tegyük fel, hogy B ármilyen két A és B pontr D-en igz, hogy z F dr munk ugynnnyi A minden A-ól B-e vezető út mentén, mi D-n elül hld. Ekkor z F dr integrál útfüggetlen D-en, és z F erőtér konzervtív erőtér D-en. Potenciálfüggvény(K3 433.o) H F egy D-n definiált erőtér, és F= f vlmilyen f sklár függvényre D-n, kkor f-et F potenciálfüggvényének hívjuk. Feltételezett foglmk(k3 433.o) H f z F erőtér potenciálfüggvénye, kkor ármilyen A-ól B-e vezető út B B mentén, F dr = f dr = f B f A. Ehhez z lái feltételeknek A A teljesülnie kell, miket ezen túl minden göréről feltesszük. Szkszonként sim göre, zz véges sok sim göréől áll, melyek végpontjiknál cstlkoznk egymáshoz. Szintén feltesszük, hogy F-nek folytonos prciális deriváltji vnnk. H F= f, kkor z elői feltétel zt eredményezi, hogy f vegyes másodrendű prciális deriváltji megegyeznek, mi egy könnyen ellenőrizhető tuljdonság konzervtív erőtérnek. Feltesszük továá, hogy D nyílt hlmz téren. Ez zt jelenti, hogy minden pontjához vn olyn göm, minek z dott pont középpontj, és göm teljes egészéen D-en vn. Feltesszük, hogy D összefüggő, mi zt jelenti, hogy ármely két pontj összeköthető egy olyn sim görével, mi teljes egészéen D- en hld. Végül D-ről feltesszük, hogy egyszeresen összefüggő, mi zt jelenti, hogy minden hurok, mi D-en hld, összehúzhtó egy pontr úgy, hogy közen nem hgyj el D-t. 6

7 Vonlintegrálok lptétele(k3 434.o) Legyen F=Mi+Nj+Pk egy vektortér, melynek komponensei folytonosk tér egy nyílt D trtományán. Akkor és csk kkor létezik egy olyn differenciálhtó f függvény D-n, hogy F = f = f B A f f i + j + k, h D minden A és B pontjár x y z független z A-t és B-t összekötő úttól, feltéve, hogy D-en hld. F dr H z integrál független z A-ól B-e vezető úttól, kkor A B F dr = f B f(a) Integrál zárt göre menti erőtéren(k3 435.o) A következő állítások ekvivlensek: 1. F dr = 0 minden zárt göre mentén D-re 2. Az F erőtér konzervtív. Komponens-teszt konzervtivitás meghtározásár(k3 436.o) Legyen F=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k egy olyn erőtér, hol koordinátfüggvényeknek folytonos prciális deriváltji vnnk. Ekkor F kkor és csk kkor konzervtív, h P y = N z, M z = P x, N x = M y Felület felszíne(k3 452.o) Az f(x,y,z)=c felület egy korlátos és zárt T síktrtomány felett T f f p da = dς hol p T síkjánk egy egységnyi hosszú normálvektor, és f p 0. Felületi integrál(k3 454.o) H T z f(x,y,z)=c egyenlőséggel definiált S felület vetülete, és g egy folytonos függvény, mi S pontjin definiálv vn, kkor z g(x, y, z) T f f p da T integrált g S-en vett integráljánk nevezzük, mgát z integrált felületi integrálnk hívjuk. Fluxus(K3 456.o) Egy háromdimenziós F vektormező felületmenti integrálj z irányított S felület mentén n irányn S F n dς 7

8 Felületek megdás(k3 460.o) Felületek téreli megdás(k3 460.o) Explicit lk: z=f(x,y) Implicit lk: F(x,y,z)=0. Felületek prméterezése(k3 460.o) Az r(u,v) pontok egy S felületet lkotnk téren, z r(u,v) függvény S felület egy prméterezése: r(u,v)=f(u,v)i+g(u,v)j+h(u,v)k Kúp prméterezése péld(k3 461.o) z = x 2 + y 2 0 z 1 x = r cos θ, y = r sin θ, z=r 0 r 1, 0 θ 2π r(r,θ)=f(r,θ)i+g(r,θ)j+h(r,θ)k= r cos θ i + r sin θ j + rk öm prméterezése péld(k3 461.o) x 2 + y 2 + z 2 = 2 x = sin φ cos θ, y = sin φ sin θ, z = cos φ 0 φ π, 0 θ 2π u=r, v=θ helyettesítéssel r(ϕ,θ)=( sin ϕ, cos θ)i+( cos ϕ, cos θ)j+( cos ϕ)k Henger prméterezése péld(k3 461.o) x 2 + (y 3) 2 = 9 0 z 5 x = r cos θ, y = r sin θ, z=z x 2 + (y 2 6y + 9) = 9 r 2 6r sin θ = 0 r = 6 sin θ 0 θ π x = r cos θ = 6 sin θ cos θ = 3 sin 2θ y = r sin θ = 6 sin 2 θ z=z r(θ,z)=(3 sin 2θ)i+(6 sin 2 θ)j+zk 0 θ π, 0 z 5 Prméteresen dott sim felület(k3 462.o) A prméteresen dott r(u,v)=f(u,v)i+g(u,v)j+h(u,v)k felület sim, h prmétertrtomány z r u, r v prciális deriváltk folytonsk, és r u r v sehol nem nullvektor. Sim felület felszíne(k3 463.o) Az r(u,v)=f(u,v)i+g(u,v)j+h(u,v)k, u, c v d sim felület feszíne Rotáció(K3 469.o) A = c d r u r v du dv = dς c d Az F=Mi+Nj+Pk vektormező rotációvektor: rot F = P y N z M i + z P x j + N x M y k = i j k = F x y z M N P 8

9 Stokes-tétel(K3 470.o) Az F=Mi+Nj+Pk vektormező cirkulációj egy irányított S felület C htárológöréjén felület n normálvektormezőjének irányáól nézve órmuttó járásávl ellentétes körüljárássl egyenlő F n függvény S felületmenti integráljávl. C F dr = F ndς Zárt görén vett integrál 0- volt és rot F=0 közötti összefüggés(k3 475.o) S H F = 0 egy egyszeresen összefüggő D nyílt trtomány minden pontján, kkor ármely D-en hldó szkszonként sim, zárt C görére érvényes, hogy Azonosság(K3 474.o) rot grd f = 0 f = 0 Divergenci(K3 477.o) C F dr = 0 Az F=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k vektormező divergenciáj következő sklár függvény div F = M x + N y + P z uss-osztrogrdszkij-tétel(k3 478.o) Legyen S egy irányított felület, melynek n kifelé muttó egységvektorokól álló normálmezője, és D felület áltl htárolt trtomány. Ekkor z F vektormezőnek z S-en vett felületi integrálj egyenlő F D-n vett integráljávl S F ndς = F dv Komplex függvények differenciálás és integrálás Komplex függvény differenciálhtóság(komplex jegyzet.pdf 1.o) Az f függvényt z 0 T pontn differenciálhtónk nevezzük, h f z f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 komplex htárérték létezik. Ezt htárértéket z f függvény z 0 helyen vett deriváltjánk (differenciálhánydosánk) nevezzük. H f differenciálhtó T hlmz minden pontján, kkor zt mondjuk, hogy f differenciálhtó T hlmzon. D 9

10 Cuchy-Riemnn-féle differenciálegyenletek (komplex jegyzet.pdf 2.o) H f=u(x, y)+iv(x, y) differenciálhtó z 0 =x 0 +iy 0 -n, kkor u és v prciálisn differenciálhtó (x 0,y 0 )-n, továá u x x 0, y 0 = v x y 0, y 0 és v x x 0, y 0 = u y x 0, y 0. Ezeket Cuchy-Riemnn-egyenleteknek nevezzük. Ezen egyenletek teljesüléséől zonn még áltlán nem következik, hogy z f függvény differenciálhtó z x 0 +iy 0 pontn. Bizonyítás f z = u x, y + iv x, y f z 0 = lim 0 f z 0 + f z 0 f f z 0 + i f z 0 z 0 = lim 0 i = u x x 0, y 0 + i v x x 0, y 0 = v y x 0, y 0 + i u y x 0, y 0 Differenciálhtóság elégséges feltétele(komplex jegyzet.pdf 3.o) Legyen f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Ekkor z f függvény kkor és csk kkor differenciálhtó z z 0 =x 0 +iy 0 pontn (mint komplex változós függvény), h z u vlós rész és v képzetes rész függvények totálisn differenciálhtók z (x 0,y 0 ) R 2 pontn, továá z u és v prciális deriváltjir teljesülnek Cuchy- Riemnn-féle egyenletek. H f(z) differenciálhtó egy z 0 pontn, f(z)-t z 0 pontn regulárisnk nevezzük. H f(z) egy T C hlmz minden pontján differenciálhtó, f(z) reguláris T hlmzon. Példák H dott u(x,y), vn-e hozzá v, melyre u+iv reguláris. H reguláris, kkor u hrmonikus 2 u 2 0 v z u(x,y) hrmonikus társ. + 2 u x 2 y 1. u x, y = x 3 3xy 2 u x = 3x2 3y 2, 2 u x 2 = 6x u y = 6xy, 2 u y 2 = 6x Cuchy-Riemnn u x = v y v x = u y v = 0 tehát u x, y hrmonikus u x dy = 3x2 3y 2 dy = 3x 2 y y 3 + c x c(x) meghtározás: v x = 6xy c x = 6xy = u y c x = 0 c(x) C v x, y = 3x 2 y y 3 + C f x, y = u x, y + iv x, y = x 3 3xy 2 + i 3x 2 y y 3 + C f z = z 3 10

11 2. u x, y = e x cos y u x = ex cos y, 2 u x 2 = ex cos y 0 tehát u x, y hrmonikus u y = ex sin y 2 u y 2 = ex cos y Cuchy-Riemnn u x = v y v x = u y u v = x dy = ex cos y dy = e x sin y + (x) e x sin y + d dx = v x = u y = ex sin y Azonnl látszik, hogy (x) konstns, tehát v(x,y)=e x siny+c, tehát z f(x,y)=e x cosy+ie x siny+c komplex függvény differenciálhtó. Komplex elemi függvények Tylor sor(komplex jegyzet.pdf 9.o) e z = z k k! k=0 sin z = ( 1) k z 2k+1 k=0 2k + 1! z2k k cos z = ( 1) 2k! k=0 Komplex göre A z(t)=x(t)+iy(t) komplex értékű függvény egy komplex görét ír le, melynek kezdőpontj z(t 1 ) és végpontj z(t 2 ). t 1 t t 2 z 0 =0 közepű r sugrú kör z = r e it 0 t 2π z = r z 0 = közepű r sugrú kör z - = r e it Komplex integrál(komplex jegyzet.pdf 8.o) Legyen T C trtomány, egy rektifikálhtó irányított göre T trtományn, melynek kezdőpontj, végpontj, és legyen g:[α,β] C göre egy prméterezése. Legyen f : T C folytonos függvény T-n. Tekintsük göre egy P={=z 0 z 1 z n =} eosztását, zz olyn véges sok pontot görén, melyek z irányítás szerinti rendezés értelméen monoton növekvőek. A göre z k és z k+1 pontj közötti ívét z k z k+1 jelöli, eosztás finomság ltt P sup l z k z k+1 : k = 0,..., n 1 11

12 számot értjük. Válsszunk ki minden egyes ívdról egy közülső ξ k z k z k+1 pontot, ezeket röviden jelölje ξ=(ξ 0,..., ξ n-1 ). Tekintsük z n 1 s(f, ξ, P) f ξ k (z k+1 z k ) k=0 közelítő összeget. H létezik olyn I szám, hogy ármely ε>0-hoz létezik olyn δ>0, hogy h P <δ, kkor ármely ξ közülső pontrendszerre S(f,ξ,P)-I <ε, kkor z f függvény göre mentén integrálhtó, és z I számot z f függvény göre mentén vett integráljánk nevezzük és f z dz jelöljük. H göre zárt, kkor z integrálr z f z dz jelölést is hsználjuk. A göre mentén integrálhtó komplex függvényeket L()- vel jelöljük. Tuljdonságok: Legyen T C trtomány,,1,2 rektifikálhtó görék T-en, f,f1,f2:t C, c1,c2 C. 1. H f 1,f 2 L(), kkor c 1 f 1 +c 2 f 2 L(), és c 1 f 1 + c 2 f 2 dz = c 1 f 1 dz + c 2 f 2 dz 2. Legyen 1 és 2 olyn görék, hogy 1 végpontj megegyezik 2 kezdőpontjávl. Tegyük fel, hogy f L( 1 ) és f L( 2 ). Ekkor f L( ), és f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz H f L(), kkor f L(-), és f(z) dz = f(z) dz 4. H f L() és f(z) M minden z -re, kkor f(z) dz M l() hol l() ívhossz. 5. Legyen f(z)=u(x,y)+iv(x,y), hol z=x+iy, legyen koplex síkeli göre R 2 -eli megfeleltetése, zz h prméterezése g(t)=x(t)+iy(t), t [α,β], kkor legyen z (x(t),y(t)), t [α,β] prméterezéssel meghtározott sík göre. Ekkor f(z) dz = u dx v dy + v dx + u dy 12

13 Péld hol jo oldlon álló integrálok vlós vonlintegrálok. Komplex vonlintegrál kiszámítás: t=β f(z) dz = f g t g (t) t=α zdz z =1 Prméterezzük z =1 egyenletű kört. 0 t 2π, z(t)=e it, z t = ie it. És z = 1, h z z =1. Ekkor 2π 2π 1 zdz = z t = e it ie it = 2πi z(t) z =1 0 0 z =R z n dz kiszámítás: Prméterrezük z- =R egyenletű kört. 0 t 2π, z(t)=+re it, z t = Rie it. z =R h n= 1 2π = i = 2πi 0 h n 1 2π z n dz = R n +1 ie (n+1)it 0 2π = + Re it n Rie it = R n e n i t Rie it 0 = R n+1 i e(n+1)it 2π (n + 1)i 0 = 0 Mivel z e it periodikus. Reguláris függvény(komplex jegyzet.pdf 4.o) Legyen T C trtomány. H z f :T C függvény diffrenciálhtó z 0 T pontn, kkor függvényt z 0 pontn holomorfnk (vgy regulárisnk) hívjuk. H f T trtomány minden pontján differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hogy f T trtományon holomorf (reguláris). H z f függvény z 0 pontn nem differenciálhtó, kkor z f függvényt z 0 pontn szingulárisnk nevezzük, z 0 pontot pedig szinguláris pontnk hívjuk. A z 0 pontot izolált szinguláris pontnk hívjuk, h z f függvény z 0 -n szinguláris, de vn z 0 -nk olyn környezete, melyen z 0 pont kivételével minden pontn holomorf. 0 2π 13

14 Cuchy-féle integráltétel(komplex jegyzet.pdf o) Legyen T C egyszeresen összefüggő trtomány, f :T C holomorf függvény, T elsejéen hldó (nem szükségszerűen egyszerű) zárt rektifikálhtó göre. Ekkor f z dz = 0 Legyenek, 1,..., n rektifkálhtó egyszerű zárt görék. Tegyük fel, hogy 1,..., n görék mindegyike elsejéen hld, de egymásnk külsejéen vnnk. Tegyük fel, hogy z hlmz, mely pontji zárt göre elsejének és 1,..., n zárt görék külsejének metszetéől áll, része z f C C függvény holomorfitási trtományánk. Ekkor f z dz = f z dz f z dz n Péld 2z 1 z 2 z dz = K(0,2) = 2z 1 z 2 z dz = z =2 1 z z dz = z =2 2z 1 z z 1 dz = z =2 z = z 1 dz + z 1 + z z z 1 dz z =2 z = z dz = 2πi 2 = 4πi A kis kör sugr nem csk 1 lehet, lényeg z, hogy kis körök csk egy 4 szingliritást foglljnk mguk és ne metszék egymást. 14

15 Cuchy-féle integrálformul(komplex jegyzet.pdf 15.o) H f :T C holomorf T trtományon, kkor f z 0 = 1 f(z) dz 2πi z z 0 minden olyn egyszerű, pozitív irányítású zárt görére, mely elsejével együtt enne vn T-en, és mely z 0 pontot elsejée trtlmzz. Átlkítv f z z z 0 dz Áltlános Cuchy féle integrálformul: f z z z 0 n +1 dz Lurent sorok komplex jegyzet.pdf 19.o = f z 0 2πi = f (n) z 0 2πi n! H f(z) reguláris r< z-z 0 <R körgyűrűn, felírhtó htványfüggvények összegével Ezt felírhtjuk f z = k=0 f z = c k z z 0 k k= k z z k k z z k 0 z 0 z f(z) szinguláris pontj, hol nem reguláris. Legyen z 0 izolált szinguláris pontj f-nek. Ekkor z 0 egy kis környezetéen Lurentsor fejthető z f függvény. Három esetet különöztetünk meg: 1. A Lurent sorn minden c k =0, h k negtív, zz f z = c 0 + c 1 z z 0 + c 2 z z 2 0 +, 0< z-z 0 <r lkú. Ekkor f kiterjeszthető z 0 -r z f(z 0 )=c 0 értékkel, és kiterjesztett függvény holomorf lesz z 0 egy kis környezetée. Een z eseten z 0 pontot megszüntethető szinguláris pontnk nevezzük. 2. A Lurent-sorn csk véges sok negtív indexű együtthtó nem null, zz f z = c k z z k c 0 + c 1 z z 0 + c 2 z z 2 0 +, 0< z-z 0 <r lkú, hol c k 0. Ekkor z 0 pontot k-drendű pólusnk nevezzük. Az f függvénynek z 0 izolált szinguláris pontj k-drendű pólus, kkor és csk kkor, h f z = g(z) z z 0 k lkú, hol g holomorf függvény z 0 egy kis környezetée és g(z 0 ) A Lurent-sorn végtelen sok negtív indexű tg együtthtój nem null. Ekkor z 0 -t lényeges szinguláris pontnk hívjuk. Ekkor z 0 kármilyen kis környezetéen f tetszőleges értéket felvesz. k=0 15

16 Differenciál egyenletek Differenciálegyenlet(VIK/diffegy.pdf 1.o) Vlmely függvény, nnk független változói és z egyes változók szerinti deriváltji között állpít meg összefüggést Közönséges differenciálegyenlet(vik/diffegy.pdf 2.o) A függvény egyváltozós. Prciális differenciálegyenlet(vik/diffegy.pdf 2.o) A függvény töváltozós. n-edrendű differenciálegyenlet(vik/diffegy.pdf 2.o) A fellépő legmgs rendű derivált n-edrendű. Implicit lk(vik/diffegy.pdf 2.o) F x, y, y, y,, y n = 0 Explicit lk(vik/diffegy.pdf 2.o) y n = f x, y, y, y,, y n 1 Homogén differenciálegyenlet y n + n 1 y n y + 0 y = 0 Inhomogén differenciálegyenlet y n + n 1 y n y + 0 y = Q(x) Iránymező(óri jegyzet) x,y helyen (1,y ) irányú vektor z f értelmezési trtományánk pontján. Kezdeti érték prolém (k.é.p) y = f x, y, y x 0 = y 0 keressük y(x)-et. Elsőrendű differenciálegyenlet(vik/diffegy.pdf 2.o) Elsőrendű implicit differenciálegyenletnek nevezzük z olyn egyenletet, melyen z y, y és x szimólumok szerepelnek, (melyeket persze más etűkkel is jelölhetünk), és z y semmiképpen se hiányzik z egyenletől. Ezt úgy írhtjuk fel, hogy F x, y, y = 0. H eől z egyenletől z y kifejezhető, kkor elsőrendű explicit differenciálegyenletről eszélünk y = F x, y. Fixpont tétel(óri jegyzet) A differenciálegyenleteknél leképezés y(x) y = f x, y, y x 0 = y 0 y x = y 0 + f t, y t x x 0 x x 0 f t, y t 16

17 Az elsőrendű differenciálegyenlet megoldás fokoztos közelítéssel y = f(t, y t ; y x 0 = y 0 megoldás fokoztos közelítéssel y 0 x = y 0 + f t, y 0 t x x 0 y n x = y 0 + f t, y n t x 0 H f folytonos, és egyé speciális feltételeknek eleget tesz, kkor z y i sorozt konvergál differenciálegyenlet megoldásához. Bizonyítás y = f x, y y = f(x, y x dx h htárok ξ és x y ξ = η y x = c + f(t, y t x ξ ξ y ξ = η + f(t, y t ξ 0 x x y = η + f(t, y t ξ y = f x, y Szétválszthtó változójú differenciálegyenletek(vik/diffegy.pdf 9.o) A szétválszthtó változójú differenciálegyenletek speciális lkú elsőrendű differenciálegyenletek. y 0 0 = f x g y, f C (,), g C (c,d) Keressük zt z y=y(x) függvényt, melyre: y = f x g y(x), x, -re 1. H g(y 0 )=0 (y 0 (c,d), kkor y y 0 megoldás. Egyensúlyi helyzet, mivel y 0 2. H (c 1,d 1 ) (c,d)-en g(y) 0, kkor y = f x g y ekvivlens y = f(x). g(y) H y=y(x), (y(x 0 )= y 0 ) megoldás y = f(x)-nek, kkor Legyen H(y) z 1 g folytonosság mitt H 1 g(y) y (x) = f x, g(y(x)) x K x 0,δ = (y) egy primitív függvénye (c 1,d 1 )-en, tehát g(y) dh dy = 1 g(y) 17

18 Legyen F(x) z f(x) egy primitív függvénye (,)-n, tehát df dx = f(x) f folytonosság mitt F Látjuk, hogy y (x) = f x z lái lkú g(y(x)) d dx H(y x ) = d F x dx miől H y x = F x + C Mivel y(x 0 )=y 0, ezért H y x 0 = F x 0 + C C = H y x 0 F x 0 tehát C egyértelműen megdhtó. Megfordítv, h H y x = F x + C vlmilyen C-re teljesül, kkor mindkét oldlt x szerint deriválv y x y (x) = f x, vgyis y (x) = f x g(y(x)) Összefogllv: F és H meghtározásávl z ismeretlen y=y(x) függvényre H y = F x + C implicit függvénykpcsoltot kpjuk. Ezt írhtjuk lkn is. Péld 1 dy = f x dx g(y) sh 2x y = y 0 = 0 ch 3y sh 2x y = ch 3y dy sh 2x = dx ch 3y ch 3y dy = sh 2x dx Elvégezve kijelölt integrálásokt kpjuk z áltlános megoldást: 1 3 sh 3y = 1 2 ch 2x + C y = 1 3 rsh 3 ch 2x + C 2 Az y(0) = 0 kezdeti feltételt kielégítő prtikuláris megoldás: 1 3 sh 0 = 1 2 ch 0 + C, vgyis 0 = C C = 1 2 Tehát 1 3 sh 3y = 1 2 ch 2x 1 2 Homogén lineáris elsőrendű differenciálegyenlet (VIK/diffegy.pdf 16.o) 1. H φ és ψ is megoldási differenciálegyenletnek, kkor φ+ψ is megoldás. H egy φ függvény mergoldás differenciálegyenletnek, kkor ennek φ függvénynek konstnsszorosi is megoldások. Ezt röviden úgy mondhtjuk, hogy homogén lineáris elsőrendű differenciálegyenlet megoldási lineáris teret lkotnk. 18

19 2. y + g x y = 0, y x 0 = y 0 kezdetiérték prolémánk x 0 (α,β), y 0 R esetén vn z (α,β) intervllumon értelmezett megoldás. (Ezt megoldás létezését grntáló állítást egzisztenci tételnek nevezzük). 3. H φ és ψ is (α,β) intervllumon értelmezett megoldási kezdeti érték prolémánk, (vgyis ugynzon z (x 0,y 0 ) ponton hldnk át), kkor φ x = ψ x, x (α, β) (Ezt, megoldás egyértelműségét grntáló állítást unicitás tételnek nevezzük.) 4. A homogén lineáris elsőrendű differenciálegyenlet megoldási egydimenziós lineáris teret lkotnk, tehát megoldások megdhtók egy sehol se null φ elem konstnsszorosként. Inhomogén lineáris elsőrendű differenciálegyenlet (VIK/diffegy.pdf 18.o) 1. Az y + g x y = f(x) inhomogén lineáris differenciálegyenlet y Iált áltlános megoldás felírhtó homogén differenciálegyenlet y Hált áltlános és lineáris inhomogén differenciálegyenlet vlmely y P prtikuláris megoldás összegeként, tehát y Iált = y Hált + y P 2. Az y + g x y = f(x) inhomogén lineáris differenciálegyenlet egyik prtikuláris megoldás mindig megtlálhtó konstns vriálás módszerével. 3. Az y + g x y = f x x α, β, és y x 0 = y 0 inhomogén lineáris differenciálegyenletre vontkozó kezdetiérték feldt egyértelműen oldhtó meg x 0 (α,β), y 0 R esetén. Konstns vriálás(óri jegyzet) Keressük z inhomogén egy prtikuláris megoldását y P = v e P lkn. (v függvény) y P = v e P + v e P P y P +Py p =Q ehelyettesítéssel v e P + v e P P + Pv e P = Q v e P = Q v = e P Q Egzkt differenciálegyenletek(de1.pdf 12.o,gykorlt nyg) Az P x, y + Q x, y y = 0 egyenletet egzkt differenciálegyenletnek hívjuk, h létezik olyn Φ:R 2 R függvény, hogy Φ x x, y = P x, y és Φ y x, y = Q x, y, x, y R2. Az zonosságokt teljesítő Φ függvényt (P,Q) vektromező primitív függvényének nevezzük. Anlízisől ismert tétel szerint Φ:R 2 R primitív függvény pontosn kkor létezik, h P y x, y = Q x x, y, x, y R2. (Young tétel) 19

20 A láncszály szerint Φ Φ Φ x, y(x) = x, y(y) + x x x x, y y y x, ezért z egzkt differenciálegyenleteket átírhtjuk Φ x, y = 0 x lk, miől zt kpjuk, hogy z egyenlet implicit megoldás Φ x, y = c. H nem egzkt z egyenlet, de h P y Q x függvény legfelje x-nek függvénye, kkor h Q P y Q x ln M 1 (x) = dx Q úgynevezett multiplikátor M 1 x (P x, y + Q x, y y ) = 0 egyenlet egzkt. h Q x P y függvény legfelje y-nek függvénye, kkor h P Q x P y ln M 2 (y) = dy P úgynevezett multiplikátor M 2 y (P x, y + Q x, y y ) = 0 egyenlet egzkt. Másodrendű homogén lineáris differenciál egyenletek Homogén lineáris differenciálegyenletek megoldásink lineáris kominációi is megoldások (Bizonyítás, óri jegyzet) P (c 1 y 1 + c 2 y 2 ) + Q (c 1 y 1 + c 2 y 2 ) + R c 1 y 1 + c 2 y 2 c 1 y 1 +c 2 y 2 c 1 y 1 +c 2 y 2 = c 1 Py 1 + Qy 1 + Ry c 2 Py 2 + Qy 2 + Ry 2 Állndó együtthtós másodrendű lineáris homogén differenciál egyenletek(óri jegyzet) y + y + cy = 0, hol 0 és,, c R h y=e rx, y =re rx, y =r 2 e rx r 2 e rx + re rx + ce rx = 0 /: e rx r 2 + r + c = 0 krkterisztikus egyenlet. H r 1 r 2, kkor e r 1x és e r 2x független megoldások, tehát z állndó együtthtós homogén lineáris differenciálegyenlet összes megoldás y = c 1 e r1x + c 2 e r 2x lkú. H r 1 =r 2, kkor e rx és xe rx két független megoldás z állndó együtthtós homogén lineáris differenciálegyenletnek, tehát z összes megoldás y = c 1 e rx + c 2 xe rx lkú. 0 = 0 20

21 H r 12 =α±iβ és β 0, kkor e αx cos βx és e αx sin βx két lineárisn független megoldás z állndó együtthtós homogén lineáris differenciálegyenletnek, tehát z összes megoldás y = c 1 e αx cos βx + c 2 e αx sin βx lkú. Bizonyítás e λx megoldás, h λ gyök. y + y + cy = 0 t 2 + t + c = 0-nk λ gyöke. y H = e λx, y H = λe λx, y H = λ 2 e λx λ 2 e λx + λe λx + ce λx = 0 e λx λ 2 + λ + c = 0 tehát λ gyök. Másodrendű inhomogén lineáris differenciál egyenletek Inhomogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet(óri jegyzet) Tekintsük z y + y + cy = f(x) differenciálegyenletet, melyet f(x) 0 esetén inhomogén lineáris másodrendű egyenletnek nevezünk. 1. Az y + y + cy = f(x) inhomogén lineáris differenciálegyenlet y Iált áltlános megoldás felírhtó homogén differenciálegyenlet y Hált áltlános és lineáris inhomogén differenciálegyenlet vlmely y P prtikuláris megoldás összegeként, tehát y Iált = y Hált + y P 2. Az y + y + cy = f(x) inhomogén lineáris differenciálegyenlet egyik prtikuláris megoldás mindig megtlálhtó konstns vriálás módszerével. 3. Az y + y + cy = f x x α, β, és y x 0 = y 0 inhomogén lineáris differenciálegyenletre vontkozó kezdeti érték feldt egyértelműen oldhtó meg x 0 (α,β), y 0 R esetén. f(x) y prtikuláris feltétel e k Ae kx k nem gyök Axe kx k egyszeres gyök Ax 2 e kx k kétszeres gyök cos kx+ sin kx A cos kx+b sin kx ik nem gyök P(x) polinom P(x)e α cos βx+r(x)e α sin βx Ax cos kx+bx sin kx Q(x) (P-vel zonos fokú) xq(x) (P-vel zonos fokú) x 2 Q(x) (P-vel zonos fokú) S(x)e αx cos βx+t(x)e αx sin βx xs(x)e αx cos βx+xt(x)e αx sin βx hol S és T P és R fokánk mximum ik egyszeres gyök 0 nem gyök 0 egyszeres gyök 0 kétszeres gyök α+iβ nem gyök α+iβ egyszeres gyök 21

22 Konstns vriálás(vik/diffegy.pdf 18.o) Legyen dott z (x)y +(x)y +c(x)y=f(x)-hez trtozó homogén differenciálegyenlet megoldás y H = C 1 Y 1 x + C 2 Y 2 (x). (c 1 és c 2 függvény) Ekkor z inhomogén egyenlet egy prtikuláris megoldását z lái lkn keressük: y ip c 1 Y 1 x + c 2 Y 2 x c 1 Y 1 + c 2 Y 2 + c 1 Y 1 + c 2 Y 2 y ip y ip feltesszük,hogy 0 c 1 Y 1 + c 1 Y 1 + c 2 Y 2 + c 2 Y 2 Behelyettesítve z inhomogén differenciálegyenlete és (c 1,c 2,c 1,c 2 ): c 1 Y 1 + Y 1 + cy 1 + c 2 Y 2 + Y 2 + cy 2 + Y 1 c 1 + Y 2 c 2 = f(x) 0,mert Y 1 és Y 2 lprendszer tgji c 1 Y 1 + c 2 Y 2 = 0 Y 1 c 1 + Y 2 c 2 = f(x) c 1,c 2 -re z lái egyenletrendszert kpjuk: Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 W c 1 c 2 = 0 f(x) W 0, mert Y 1, Y 2 lineárisn függetlenek és L[y]=0 megoldási z egyenletrendszer egyértelműen oldhtó meg c 1,c 2 -re: c 1 = Y 1 1 Y 0 2 f(x) c 2 Y 1 Y 2 c 1,c 2 folytonosság mitt létezik c 1,c 2. (Integrációs állndó nem kell.) Euler-féle differenciálegyenletek(de2.pdf 12.o) Legyen,,c R, 0. Az x 2 y + xy + cy = 0 lkú, nem konstns együtthtós másodrendű homogén lineáris egyenletet Euler-egyenletnek nevezzük. Keressük y(x)=x r lkú megoldását z egyenletnek. Ekkor y =rx r-1 és y =r(r-1)x r-2, ezért visszhelyettesítéssel z egyenlete kpjuk r(r 1)x r + rx r + cx r = 0, mi pontosn kkor teljesül, h r teljesíti z r(r 1) + r + c = 0 lgeri egyenletet, melyet x 2 y + xy + cy = 0 egyenlet krkterisztikus egyenletének hívunk. Az egyenlet r 1 és r 2 megoldásit x 2 y + xy + cy = 0 egyenlet krkterisztikus gyökének hívjuk. A r(r 1) + r + c = 0 egyenlet átrendezhető z r 2 + ( )r + c = 0 lk. Három esetet különöztetünk meg. 1. Az egyenletnek két különöző vlós gyöke vn: r 1 és r 2. Ekkor y 1 (x) = x r 1 és y 2 (x) = x r 2 megoldás z egyenletnek. Az áltlános megoldás y x = c 1 x r 1 + c 2 x r 2 H r 1 vgy r 2 negtív, kkor megoldás vgy (0, ) vgy (-,0) intervllumon értelmezhető. 2. Az egyenletnek egy dr kétszeres vlós gyöke vn r 0 = 2. Ekkor y 0(x) = x r 0 megoldás z egyenletnek. Az áltlános megoldás y x = c 1 x r 0 + c 2 x r 0 ln x, x > 0 3. Az egyenletnek két komplex gyöke vn: r 12 =α±iβ, β 0. Ekkor x r 1 = x α+iβ = x α x iβ = x α e iβ ln x = x α (cos β ln x ) + i sin β ln x x r 2 = x α iβ = x α e iβ ln x = x α cos β ln x i sin β ln x 22

23 komplex megoldási z egyenletnek. Ahogy konstns együtthtós homogén egyenletek esetéen láttuk, itt is kpjuk, hogy komplex megoldás vlós és képzetes része megoldás z egyenletnek, zz y 1 x = x α cos β ln x és y 2 x = x α sin β ln x Kptuk tehát, hogy z egyenlet áltlános megoldás een z eseten y x = c 1 x α cos β ln x + c 2 x α sin β ln x, x > 0 Differenciálegyenlet-rendszerek Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszer (VIK/diffegy.pdf 41.o) dx = 2x + 3y + 1 x = 2 3 x dy y 1 1 y + 1 e t = x + y + et Ez egy kétváltozós elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, hol t független változó, x,y pedig z ismeretlen függvények. A fenti mátrixos lkot röviden jelölhetjük: x = A x + f t, hol x = x y, x = x y, f t = f 1(t) f 2 (t) Konstns együtthtós inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer(vik/diffegy.pdf 41.o) x = A x + f t f t 0 hol A n n-es, dott, konstns elemű mátrix. Homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer (VIK/diffegy.pdf 41.o) x = A x Az egyváltozós lineáris differenciálegyenlethez hsonlón itt is igz, hogy z inhomogén egy prtikuláris megoldás y Iált = y Hált + y P. H λ sjátértéke A-nk és egy λ-hoz trtozó sjátvektor x = A x. Prciális Differenciálegyenlet A s = λs, kkor x = e λx s megoldás z Az ismeretlen töváltozós függvény u(x,y);u(x,y,z) és z egyenleten e függvények és ennek prciális deriváltji szerepelnek. Elsőrendű prciális deriváltk(óri jegyzet) F(x, y, (u x, y, u x x, y, u y x, y ) 23

24 Lineáris másodrendű prciális deriváltk(óri jegyzet) x, y u xx x, y + 2 x, y u xy x, y + c x, y u yy x, y + d x, y u x x, y + e x, y u y x, y + f x, y u x, y = 0 x, y c x, y 2 (x, y) >0 eliptikus prciális diff.egyenlet =0 prolikus prciális diff.egyenlet <0 hiperolikus prciális diff.egyenlet 24