Szimmetriák, pontcsoportok, Bravais-rácsok

Átírás

1 Szmmetrák, pontcsoportok, Bravas-rácsok 3D krstály: olyan anyag, mely rendelkezk 3 olyan nem koplanárs vektorral (rácsvektorral), melyekkel eltolva a krstályt, önmagát kapjuk. Legyenek az elem rácsvektorok a 1, a és a 3! Egy rácsvektor elem rácsvektor, ha nncs olyan természetes szám, mellyel osztva a rácsvektort smét rácsvektort kapnánk. Egy krstály elem rácsvektor-hármasa nem egyértelmű. Az elem rácsvektorok által kfeszített paralelleppedont elem cellának nevezzük. Az elem cella prmtív elem cella, ha az elem cella csak a csúcsaban tartalmaz atomot. Mnden krstály szmmetrája a transzlácó, vagys az eltolás, mert bármely R n a n a n a alakú vektorral eltolva smét a krstály kapjuk vssza. n, n, n Pontrács: pontok olyan elrendeződése, melyben mndegyk pont környezete mnden szempontból megegyezk bármely másk pont környezetével. Krstályszerkezetet kapunk ebből, ha a pontok helyére atomokat vagy molekulákat teszünk. Egy krstálynak az alább szmmetrá lehetnek még az eltoláson kívül 1. forgatás: ha ϕ szöggel való forgatás szmmetra (azaz a rendszer elforgatottja az eredet rendszerrel ekvvalens), akkor ϕ szöggel való forgatás s szmmetra. Tekntsük az ábrát! Először az 1-es atom körül elforgatva a -es atomot kapjuk -t, majd 1- es körül elforgatva kapjuk 1 -t. Mvel a 1 elem rácsvektor, a rendszert néhányszor eltolva -s atomnak 1 -sbe kell kerülne, m. m a 1 kfejezhető ϕ -vel és a 1 -gyel, melyekből adódk, hogy, 3 -os, 45 -os, 6 os, 9 -os, 1 -os és 18 -os forgatás szmmetrák lehetségesek.. nverzó, vagys tértükrözés, rr 3. csúszósík: egy síkra vett tükrözés, majd eltolás a síkkal párhuzamos rányban való smétlődés hosszának felével 4. csavartengely: egyenesre vett tükrözés (avagy 18 -os forgatás) és eltolás A szmmetraműveletek csoportot alkotnak, ahol a csoportszorzás a szmmetraműveletek elvégzésének egymásutánja. Trváls, hogy két szmmetraművelet elvégzésének egymásutánja s szmmetraművelet.

2 A fent 4 szmmetraműveletből némelyeket kválasztva, összesen 3 féle olyan szmmetraművelet-halmazt választhatunk k, melyek eleme csoportot alkotnak, és ezek a csoportok nem ekvvalensek egymással. Egy lyen csoport a pontcsoport. A pontcsoportokhoz ha hozzávesszük, hogy eltolás szmmetra s létezk, akkor 3 féle, ún tércsoportot kapunk. 14 féle elem cella létezk, melyekkel a 3D tér ktölthető hézag és átfedés mentesen, ezeket nevezzük Bravas-celláknak. A Bravas-cellák közül némelyek makroszkopkusan nem különböztethetőek meg, vagys a krstály alakjából, töréséből nem különböztethetőek meg (pl FCC és BCC). Makroszkopkusan 7 félét lehet megkülönböztetn. Ezen 14 közül nagyon nevezetes a tércentrált köbös, a lapcentrált köbös, az egyszerű köbös, a hexagonáls és a tetragonáls. Recprokrács-vektorok: ab πδ. k k a a a a a a b b b, így π π π a, a, a a, a, a a, a, a Dffrakcó Ha egy sugárzás hullámhossza az egy rács pontjanak távolságának környékére esk, elhajlás keletkezk, a sugárzás hullámtermészete megnylvánul. A röntgensugárzás hullámhossza összemérhető a rácsállandóval, így a röntgensugárzás szóródk a krstályon. Intenztás maxmumok lesznek, mvel a krstály mnt egy 3D-s optka rács fog vselkedn. Ennek leírására használjuk a szórás knematkus modelljét, melyben feltesszük, hogy a szórás rugalmas, a beérkező hullámok koherensek. k. k r r P O. kr k A fent haladó hullámhoz képest a lent levő fázskésést szenved. Bevezetve a Kk k vektort, a k rányba szórt sugárzás ampltúdója az alább alakban írható fel: k kr Kr A k Ae Ae, (.1) ahol A a bejövő ntenztástól és a szórás erősségétől függ. Több szórócentrum együtteseként az eredő ampltúdó az egyes szórócentrumok ampltúdójának összegeként írható, mely egyszerű átalakítások után, N darab elem cellát és cellánként P darab atomot feltételezve

3 N P Ak A Se p e n1p1 Krp KRn, (.) formában írható, ahol az n-edk elem cella p-edk atomjának helyvektora rnp, Rnr p, vagys egy konkrét atom helyvektorát előállítjuk az elem cellájának R n helyvektorának és az atom elem cellán belül r p helyvektorának összegeként, S p az elem cella p. atomjának szórását jellemző mennység (más néven atom formafaktor), mely az anyag mnőségen kívül függ a szórás rányától. Bevezetve az FK Se p P p1 Kr p jelölést, felírhatjuk az ntenztást: n k k K KR I A A F e N n1. (.3) Látható, hogy ennek maxmuma van akkor, ha K vektorra teljesül, hogy KRn π m, m. Írjuk fel R -et az elem rácsvektorokkal, a 1 -gyel, a -vel és a 3 -mal! Ekkor Rn m1a1 mam3a, ahol 3 n m -k egészek. Láthatjuk, hogy csak olyan K vektorok esetén lesz maxmuma az ntenztásnak, melyek Khb1 kblb alakban írhatóak, ahol h, k és l egészek, lletve 3 a bj πδ j. Ekkor b -k konstruktívan megadhatók a j -kel: aa3 a3a1 a1a1 b1 π b π b3 π. (.4) a, a, a a, a, a a, a, a Vagys a recprokrács-vektorok. Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy olyan rányokban van ntenztásmaxmum, melyre teljesül az alább ktétel: Kkk hb1 kblb3 g. (.5) : Belátható, hogy a rácssík-seregek távolságára d π / g gaz, ahol számhármas egy síksereget jelöl. Ennek felhasználásával az (1.5) egyenlet feltétele más formában s felírható, az ún. Bragg-egyenletben, mely megadja, hogy mely θ - val jellemzett rányokban van az ntenztásoknak maxmuma: d k k k g GF kk π λ λ snθ FE k d π d (.6) Elektron- és röntgendffrakcó

4 Röntgensugárzást az elektronok extrém gyorsításával lehet elérn, pl röntgencsővel, vagy részecskegyorsítónál kanyarodás közben, vagy gyors elektron útjába a haladásra merőleges mágneses teret csnálunk (sznkrotronsugrázás). Röntgencső vázlatos rajza az ábrán látható. Az zzó katódsugárról elektronok lépnek k, melyeket a kondenzátor két lemeze közt elektromos tér gyorsít. A céltárgyba (anód) becsapódó elektronok hrtelen lassulnak le, ezért sugároznak. Ha elég nagy energájú a becsapódás, akkor gerjeszthetk az anód héjelektronjat, és így az anódra jellemző sugárzás, ún karaktersztkus sugárzás s lesz. A réz gyakran használt anód. Az elektronnal való látást többféle módon lehet kvtelezn: nézhetjük pl a vsszaszórt sugárzást vagy az anyagon áthaladó elektronokat (transzmsszós elektronmkroszkópa, TEM). Egy TEM még annál s vázlatosabb rajza látható. Az optka eszközök hátránya, hogy a sugárzás hullámhossza túl nagy, elektronmkroszkóp esetében az elektronok hullámtermészetével alkotunk képet. Az elektron de-brogle hullámhossza λ h/ p, mely értéket kszámítva adódk, hogy az atom rácsméret töredéke, vagys nem lehet probléma a túl nagy hullámhossz. Az elektronmkroszkópnál a lencsék szerepét tekercsek és kondenzátor lemezek játszák, melyekkel nehéz az elektronokat pontosan rányítan, ezért csak kcs, rossz lencséket tudnak csnáln. Továbbá a mntának vékonynak kell lenne (transzmsszós elektronmkroszkóp esetén). A vékony mnta kalakítása pedg nem könnyű. Ewald-szerkesztés: mnt láttuk korábban, kell, hogy kk recprokrács legyen. Nézzük az ábrát! k adott, mlyen k esetén lesz a különbségük épp rácsvektorny? A választ egy kör (3D-ben gömb) szerkesztésével adhatjuk meg. Tehát olyan rányokban lesz erősítés, melynél a kör ÉPPEN metsz egy másk recprokrácspontot. Ez persze sosem történne meg. Röntgen esetében ezért van módszer. Pordffrakcó esetén a mnta rácspontjaból ksmlló van, és összevssza állnak, így rögzített recprokrács-pont esetén a többek e körül körökön (gömbhéjakon) fognak elhelyezkedn. Így már garantált a metszés. Laue-módszer esetében k nem rögzített, hanem egy ntervallumban változhat, vagys nem monokromatkus (hanem folytonos) a bejövő sugárzás. Ilyen pl a fékezés röntgensugárzás. Ekkor egy körgyűrű lesz a körből, így megnt garantálható a metszés. Elektrondffrakcó esetén az elektron hullámhossza nagyon kcs, tehát k nagyon nagy. Ha fgyelembe vesszük, hogy a mnta vékony,

5 akkor az azt eredményez, hogy a recprokrács-pontok 1 rányba kszélesednek, a másk kterjedés rányokhoz képest szonyatosan (nem így az ábrán). Ekkor az Ewald-gömb egy egész síksereget telbekap, és a képet legfőképp csak néhány sík alkotja, az egyk sík (a mnta egy metszete). Ez pont azt jelent, hogy a mélységélesség roppant kcs. Ha a lencse deálsan vékony, vagy csak a tárgy- (t) és képtávolságot (k) jól defnáljuk, akkor gaz az elektronmkroszkópra s a leképzés törvény: 1/ k1/ t1 / f. Ha t f, akkor a kép a végtelenben keletkezk, vagys a Fourer-transzformáltját látjuk a lemezen, ekkor van dffrakcó. Rácsrezgések termkus hatása Krstályos anyag elem gerjesztése a fononok, amk bozonok, és energájuk pont így számolható: E ω n / 1, ahol n az egyes ω frekjű fononok száma. Tudjuk stafzből a várható értékét: 1 n. Ezt beírva az energába, megkapjuk az energa várható értékét. Átalakítás után e β ω 1 ω ω kapjuk, hogy E cth kt, am nagy T-re vett sorfejtésből kjön, hogy konstans, E 3 NkT, kcs T-re meg (okos ember megmondta), hogy baj van, mert a szummázást nem tudjuk csak úgy elvégezn, mert az ω -k különbözőek. Tehát ks T-re más megoldás kell. Erre jó a Debyefajhős közelítés. ω ω Debye-fajhő: írjuk át a szummát ntegrállá: EE E Dωdω β ω β ω e, ahol 1 e 1 Dω a körfrekvenca-módussűrűség, alakja gen különböző lehet, lásd a rajzot. De tudjuk, hogy összesen 3N van belőle, vagys Dωdω 3 N, és tegyük fel, hogy csak egy tartományban nem, és ott pedg négyzetesen függ ω -tól, mnt ahogy azt golyós-rugós rendszereknél vett közelítésnél megszokhattuk (nézd az ábrát), vagys ha módussűrűség négyzetes. Ekkor ω Debye Debye... ω ω ω3 ω D d N N D ω c k, akkor a. Ezt vsszaírjuk az energába, ωd ω 4 E E... ω dωe...kt β ω, vagys a fajhő T 3 e 1 -bel megy. Ezt tapasztaljuk a valóságban s. Ks energákra tehát T köbös, nagy energákra meg konstans. Hőtágulás: az rácson levő atomok az őket körülvevő potencálban rezegnek. Ha nagyobb az energájuk, akkor magasabb sznten rezegnek. Vszont ha tt nézzük a hely várható értékét, kjjebb tolódk. Ez azt okozza, hogy az onok statsztkusan távolabb lesznek egymástól, és vagys megnő a rácsparaméter.

6 Bloch-tétel, adabatkus szétcsatolás Ha kszámoljuk az elektronok Ferm energájából az elektronok sebességét, akkor azt kapjuk, hogy sokkal nagyobb az onok sebességénél. Az elektronok mnt egy felhőt alkotnak a kb álló onok körül. Ez a motvácója a szétcsatolásnak, vagys hogy az on-elektron rendszert leíró hullámfüggvényt szorzat alakban keressük, vagys Ψ, φ ψ, relektronok Ronok Ronok relektronok R onok. Tovább numerkus számolás könnyítés, hogy a HΨ EΨ egyenletbe H-nál másk Hamlton összegét vesszük: az onok mozgása saját potencáljukban, lletve az elektronok mozgása saját, és az onok terében. Beírva ezt az előző egyenletbe, 3 tagra esk szét az egyenlet, az ún. elektronproblémára, az onrács-problémára, és a kettejük kölcsönhatására. r rr n, ahol R n tetszőleges rácsvektor. Ekkor a megoldások s mutatják az eltolás szmmetrát, vagys a hullámfüggvényt eltolva azzal egyenértékűt kapunk, vagys φrcφrr n, ahol c egységny φ φ 13,,. Legyen az egész rács A Hamlton-operátornak krstályrácsban van eltolás-szmmetrája, vagys H H abszolútértékű komplex szám. Például r r a, perodkus, egyes rányokban c N atom legyen! Ekkor p N c e π np np np π N N N 1 3 kr e e n n1, n, n3 N N1 φrφr a 1 φra φr, ahol p 1 és p N, ugyanígy a másk 1 1 p1 p p3 két rányra. Így φrr φr φr, ahol k b b b. N N N Sávszerkezet Tapasztalat tény, hogy az anyagokban az elektronok csak dszkrét energasznteken lehetnek. Ez szorosan összefügg a vezetés és szgetelés tulajdonsággal. Ha azt írjuk fel, hogy az elektronok szabadon mozoghatnak, nem alakulna k sávszerkezet. Kéthullám közelítésben, mkor az elektron hullámfüggvénye tartalmaz részt a Broulln-zónán kívül részt s, ~ kr φ e e Kr r, akkor ezt bírva a Scrödnger egyenletbe, az energát kfejezve k -val azt kapjuk, hogy nem mnden energasznthez tartozk hullámszám-vektor, vagys adott energájú szntek nem léteznek. Pontosabb számolás eljárások hasonló eredményre vezetnek, az energában csak bzonyos sávok esetén létezk hozzájuk hullámszám-vektor. Rendszernt egy sáv betöltött, és ezek az elektronok hullámfüggvénye azt mutatják, hogy csak a saját celláján belül tartózkodk. Ekkor az anyag szgetelő lesz, mert az olyan állapotok, melyek több cellára kterjednek, fentebb helyezkednek el, ahhoz vszont, hogy az elektron oda jusson, sok energa kell. Energát külső tér rákapcsolásával adhatunk, ez esetben az elektronnak a cellán belül fel kell gyorsulna eléggé, hogy a következőbe átjuthasson. Vagys adott feszültség értékg nem történk vezetés. Ha egy sáv nncs teljesen betöltve, akkor ks energabefektetés (már ks térerősség) esetén s feljebb kerülhet az elektron, egy olyan állapotban, melyben már átmehet a szomszédos cellára.