Primjena nejednakosti sredina na rješavanje jednadžbi i sustava jednadžbi

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Primjena nejednakosti sredina na rješavanje jednadžbi i sustava jednadžbi"

Ottó Nemes
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Osječki mtemtički list Primje ejedkosti sredi rješvje jeddžbi i sustv jeddžbi Ilij Ilišević Sžetk Rzmtrju se primjee ejedkosti sredi rješvje jeddžbi i ejeddžbi koje su ilustrire izu zimljivih zdtk prilgođeih učeicim sredjih škol Ključe riječi: ejedkosti sredi jeddžbe sustvi jeddžbi Applictio of mes iequlities o solvig equtios d system of equtios Abstrct Applictios of mes iequlities o solvig equtios d system of equtios re cosidered These pplictios re illustrted o umber of iterestig tsks dpted for high school studets Key words: mes iequlities equtios system of equtios Nek je = d -tork pozitivih brojev Td su hrmoijsk geometrijsk ritmetičk i kvdrt sredi -torke defiire redom s H = G = A = Vrijedi K = H G A K Pri tome jedkost vrijedi ko i smo ko je = = = III gimzij Kmil Firiger 4 HR-3000 Osijek

2 8 Ilij Ilišević Nejedkosti G H A H A G K A zivmo redom: geometrijsko-hrmoijsk ritmetičko-hrmoijsk ritmetičkogeometrijsk kvdrto-ritmetičk; krće: GH-ejedkost AH-ejedkost AGejedkost KA-ejedkost Dokz vedeih ejedkosti može se vidjeti u [7] Riješimo sd ekoliko jeddžbi i sustv jeddžbi rbeći ejedkosti sredi Zdtk Riješite jeddžbu x5 + 4 x = 3 6 x3 Rješeje Očito x = 0 ije rješeje de jeddžbe Ako je x < 0 des str jeddžbe je mj od 3 lijev je već od 56 4 p z x < 0 em rješej Nek je x > 0 Rbeći AG-ejedkost dobivmo x5 + 4 x = x5 + x x5 x4 3 = 3 x5 +x x 5 x 4 3 = 3 4x3 = 3 6 x3 Jedkost vrijedi ko i smo ko je x 5 = x 4 = 3 tj ko i smo ko je x = Zdtk Riješite jeddžbu si x 4y = 5 x + 5 x Rješeje Prem AG-ejedkosti je Z lijevu stru jeddžbe vrijedi 5 x + 5 x 5 x 5 x = 0 si x 4y Kko jedkost vrijedi ko i smo ko je 5 x = 5 x i si x 4y = to je x = 0 i si y = tj x = 0 i si y = ± Iz si y = ± slijedi y = π + kπ p je y = π 4 + kπ k Z Dkle x y {0 π 4 + kπ : k Z} Zdtk 3 Riješite jeddžbu log cos xy + Rješeje Prem AG-ejedkosti je p je cos xy + log cos xy + cos = xy y 4y + 6 cos xy cos xy Jedkost vrijedi ko i smo ko je cos xy = cos xy tj ko i smo ko je cos xy = ± Kko je y 4y + 6 = y +

3 Primje ejedkosti sredi 83 to je y 4y + 6 Jedkost vrijedi ko i smo ko je y = Td je cos x = cos xy = ± p je x = kπ k Z tj x = kπ k Z Dkle x y { kπ : k Z} Zdtk 4 Riješite jeddžbu x + 6x 7 = tg xy + ctg xy 6 6 Rješeje Prem AG-ejedkosti je tg xy + ctg xy xy tg ctg xy = S druge stre je x + 6x 7 = x 6x + 7 = x 3 = x 3 + Jedkost vrijedi ko i smo ko je tg xy = ctg xy 6 6 i x 3 + = Iz x 3 + = slijedi x = 3 Td tg xy xy 6 = ctg 6 postje tg y = ctg y p je tg y = odoso tg y = ± Odtle slijedi y = π + kπ k Z Dkle x y {3 π + kπ : k Z} Zdtk 5 Odredite rele brojeve x y z tkve d vrijedi log x xy + log y yx = 4 cos z Rješeje Jso je d mor biti x y > 0 i x y Trsformirjmo lijevu stru jeddžbe: Prem AG-ejedkosti je log x xy + log y yx = + log x y + + log y x = + log x y + log y x = + log x y + log x y = + log x y + log x y Ako je log x y > 0 td je log x y + log x y log x xy + log y yx + = 6

4 84 Ilij Ilišević pri čemu jedkost vrijedi ko i smo ko je log x y = odoso x = y S druge stre je cos z p je 4 cos z 6 Jedkost vrijedi ko i smo ko je cos z = odoso z = kπ k Z Ako je log x y < 0 td je log x xy + log y yx + = pri čemu jedkost vrijedi ko i smo ko je log x y = odoso y = x S druge stre je cos z 0 p je 4 cos z Jedkost vrijedi ko i smo ko je cos z = 0 odoso z = π + kπ k Z Dkle x y z {t t kπ t t π + kπ : t R t > 0 t k Z} Zdtk 6 Odredite pozitive rele brojeve x y tko d vrijedi log + x 4 log x + log y = + log log y 4 Rješeje Njprije uočimo d mor biti x > 0 i y > 0 D jeddžb ekvivlet je redom s log + x 4 + log y 4 = log x + log y + log 0 + log Kko je prem AG-ejedkosti to je log + x y 4 = log 400x y + x y 4 = 400x y + x 4 x y 4 00y + x y 4 400x y Jedkost vrijedi ko i smo ko je x 4 = i y 4 = 0000 tj x = i y = 00 Zdtk 7 Riješite jeddžbu x + x + x x + = x x + Rješeje Mor biti x + x 0 i x x + 0 Uočimo d je i x x + 0 Prem AG-ejedkosti je Stog je x + x x + x + x x + x x + + = x + x = x x + x x + = x + x + x x + x + x + x x + = x +

5 Primje ejedkosti sredi 85 Iz x x + x + dobivmo x 0 p je x = Uvrštvje u zdu jeddžbu pokzuje d je x = zist rješeje te jeddžbe Zdtk 8 Odredite duljie stric b c trokut ko vrijedi + b c + b + c + c + b = + b + c Rješeje Nek je s = +b+c poluopseg trokut i tj x = s y = s b z = s c x = b + c y = + c b z = + b c Td je = y + z b = z + x c = x + y p d jeddžb prelzi u ekvivletu x + y + z = y + z + x + z + x + y Prem KA-ejedkosti je x + y y + z z + x x + y + z = + + x + y y + z z + x + + = x + y + y + z + x + z Jedkost vrijedi ko i smo ko je x = y = z odoso ko i smo ko je = b = c tj z jedkostriči trokut Zdtk 9 Odredite pozitive rele brojeve x y z tko d vrijedi x + y + z = + x + y + z = 8 x y z Rješeje Prem AG-ejedkosti je + x = x + y + z + x = x + y + x + z x + yx + z = z y Alogo Možejem dobivmo + y x z + z y x + x + y + z 8 x y z Jedkost vrijedi ko i smo ko je x + y = x + z = y + z tj x = y = z Td iz x + y + z = slijedi x = y = z = 3

6 86 Ilij Ilišević Zdtk 0 U skupu pozitivih relih brojev riješite sustv jeddžbi x + x + + x = x x x = 3 Rješeje Zbrjjem dih jeddžbi dobivmo x + x + x + x + + x + = 6 x Prem AG-ejedkosti je x i + x i z svki i = Slijedi 6 = x + x + x + x + + x = x }{{} p je { 3} Ako je = 3 td z svki i { 3} vrijedi x i + x i = to je ko i smo ko je x i = x i = Dkle x = x = x 3 = Z = immo sustv odoso sustv x + x = 3 + x x = 3 x + x = 3 x x = čij su rješej x = 3± 5 Z = je x = 3 i x = 3 p sustv em rješej Zdtk Odredite pozitiv rješej sustv jeddžbi x + x = 4 x + x 3 = x 3 + x 4 = 4 x 98 + x 99 = x 99 + x 00 = 4 x 00 + x = Rješeje Možejem jeddžbi ovog sustv dobivmo x + x x + x x3 3 + x4 x 98 + x 99 + x 00 + x x 99 x 00 Prem AG-ejedkosti je x + x x x 99 + x 00 x x + x 3 x99 x x 00 x 00 + x x 3 x 3 + x 4 x00 x x3 = 4 50 = 00 x 4 x 98 + x 99 x98 x 99

7 Primje ejedkosti sredi 87 Možejem ovih ejedkosti dobivmo x + x x + x x3 3 + x4 x 98 + x 99 + x 00 + x 00 x 99 x 00 Jedkost vrijedi ko i smo ko je x = x x = x 3 x 3 = x 4 x 98 = x 99 x 99 = x 00 x 00 = x Iz ovih jedkosti i dog sustv dobivmo x = x = x 3 = x 4 = x 99 = x 00 = Zdtk Nek je pozitiv rel broj Odredite rele brojeve koji zdovoljvju sustv jeddžbi x = x + x x 3 = x + x x = x + x Rješeje Ako je x x x rješeje zdog sustv od je i x x x rješeje tog sustv Stog pretpostvimo x > 0 Td je x i > 0 z svki i = Prem AG-ejedkosti je x = x + x x 3 = x + x x = x = Kko je x immo x x = x + x x + x x x x x = x = x x = x = x + x x = x = x 0 x x

8 88 Ilij Ilišević odkle slijedi x x ; pritom jedkost vrijedi ko i smo ko je x = Alogo x 3 x x x x x Zbrjjem ovih ejedkosti dobivmo x + x + + x x + x + + x Dkle x = x = = x = p je x x x { } Zdtk 3 Odredite rele brojeve x y z z koje vrijedi x + x = y y + y = z z + z = x Rješeje Iz dog sustv zključujemo d je x y z > 0 Prem AG-ejedkosti je x = z + z odkle slijedi x tj x 0 ] Alogo dobivmo d je y 0 ] i z 0 ] Stog iz prve jeddžbe sustv slijedi x = x + x x + x = y tj y x Alogo z y i x z Stog vrijedi x 8 = x 4 z 4 = z y x Nejeddžb x 8 x itervlu 0 ] im točo jedo rješeje x = p je od i y = z = Dkle x y z = je jedi trojk relih brojev koj je rješeje zdog sustv jeddžbi Zdtk 4 Odredite rele brojeve x y z z koje vrijedi x + y + z = x + y + z = 3 Rješeje Očito mor biti x y z 0 Rbeći KA-ejedkost immo redom x + y + z x + y + z 3 3 x + y + z 3 3 x + y + z 3

9 Primje ejedkosti sredi 89 Jedkost vrijedi ko i smo ko je x = y = z = 9 Zdtk 5 U skupu pozitivih relih brojev riješite sustv jeddžbi Rješeje Prem AH-ejedkosti je x + x + + x = x x x = x + x + + x x + x + + x odoso 9 odkle slijedi 9 tj { 3} Z = 3 je x = x = x 3 kko je x + x + x 3 = 9 to je x = x = x 3 = 3 Z = iz x + x = 9 i x + x = dobivmo x = 9±3 5 Z = je x = 9 i x = p sustv em rješej Zdtk 6 Odredite pozitive rele brojeve x y z tkve d vrijedi x + y + z = x y z = 8 Rješeje Iz prve jeddžbe sustv slijedi xy +yz +zx = xyz iz druge jeddžbe immo xyz xy yz zx + x + y + z = 8 odoso p je xyz xyz + x + y + z = 9 x + y + z = 9 Prem AH-ejedkosti je x + y + z = x + y + z = x + y + z x + y + 9 z pri čemu jedkost vrijedi ko i smo ko je x = y = z = 3 Dkle jedio rješeje zdog sustv je x = y = z = 3 Zdtk 7 Odredite pozitive rele brojeve x y z tkve d vrijedi x + y + z = 6 x + y + = 4 z xyz

10 90 Ilij Ilišević Rješeje Možejem jeddžbi sustv i primjeom AH-ejedkosti dobivmo 6 4 = x + y + z xyz x + y + 9 z S druge stre AG-ejedkost povlči odkle slijedi 3 x + y + z xyz = = = 9 xyz 8 Ove ejedkosti postju jedkosti ko i smo ko je x = y = z = Prem tome jedio rješeje zdog sustv je x = y = z = Litertur [] M Bombrdelli Ž Hjš Mtemtičk tjecj 000/00 Elemet HMD Zgreb 00 [] V Burj P Bero P Čerek Mtemtický koktil Sloveske pedgogické kldtelstvo Brtislv 99 [3] R Durković Mtemtičk tkmičej sredjoškolc u Jugoslviji 990 Mterijli z mlde mtemtičre svesk 8 Društvo mtemtičr Srbije Beogrd 99 [4] L Fröhlich J Ruff J Tóth 5 próbérettségi mtemtikából Mxim Kidó Szeged 006 [5] L Gerősc Mtemtik Iry z egyetem 993 [6] Z Kdelburg D Dukić M Lukić I Mtić Nejedkosti Mterijli z mlde mtemtičre sv 4 Društvo mtemtičr Srbije Beogrd 003 [7] J Pečrić Nejedkosti HMD i Elemet Zgreb 996 [8] S Rok 000 feldt z elemi mtemtik kőréből Typotex Kidó Budpest 003 [9] J Ruff J Schultz Erettsegi feldtgyűjteméy mtemtikából - évfolym Mxim Kidó Szeged 009 [0] J Švrček P Clábek Sbirk etrdičich mtemtických uloh Prometheus Sprl s r o Prh 007

Hasonló dokumentumok

Egyenletek, egyenlőtlenségek XV.

Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Trigonometrikus (nem alap) egyenletek Amennyien az egyenlet nem alapegyenlet, akkor arra törekszünk, hogy a szögfüggvények közötti összefüggések alkalmazásával egyféle