Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor e b = (e t e n ) = e t e n = γe t e b = γe n. T = 1/τ = γ a görbe torziója(csavarodása), τ a torzió (csavarodás) sugara. A torzió a binormális vektor és egyúttal a simulósík elfordulásának szögsebességét jellemzi. Síkgörbe esetén T 1/τ = 0. e t = e n R, (1) e n = e t R + e b τ, (2) e b = e n τ. (3)
Könnyen igazolható, hogy a Frenet-képletek feĺırhatók egységesen a D = Ge b + T e t,darboux-vektor, Jean Gaston Darboux (1842-1917) segítségével,mivel az a = D a (4) összefüggés igaz az a = e t, a = e n és a a = e b esetekben, és ezért bármely olyan a vektorra, amely a mozgó triéderhez mereven kapcsolódik.
Ha egy a vektort dϑ szöggel elforgatunk annak változása da = dϑ a vagy másként a = dϑ dl a. vagy mozgás esetén dϑ vektora nagysága D = dϑ dl, dl = dϑ dt dt dl = ω v ω = vd = v( e b R + e t τ ), ω = v G 2 + T 2 = v R, ahol ω a forgás szögsebességének 1 + ( ) 2 T. G
A torzió kifejezhető közvetlenül a helyzetvektor deriváltjaival: (??) r = e t, (1) r = e n R, (2) r = e t R 2 + ( ) 1 e n + e b R Rτ, (5) Képezzük a három derivált vegyes szorzatát: (r, r, r ) = (e t, e n, e b ) R 2 τ, ahonnan, az (e t, e n, e b ) = 1 összefüggés és (??) figyelembevételével: 1 τ = (r, r, r... ) (ṙ, r, r ) (r r = ) 2 (ṙ r) 2. Kinematikában a mozgás pályájának torziója: 1 τ = (v, a, ȧ) (v a) 2
l természetes (ívhossz) paraméter δ növekménye r = r(l + δ) r(l) a Frenet-triéder segítségével harmadrendig megközeĺıthető: r = r δ δ2 δ3 + r + r 1! 2! 3! + O(δ4 ) = ( = e t 1 G 2 ) 6 δ δ + e n (G G ) δ 2 3 δ 2 + e G b 6τ δ3 + O(δ 4 ) (6) elsőrendben az érintő irányú elmozdulás jelentkezik, míg a normálirányú elmozdulás csak másodrendben jut szerephez. A torzió egy tisztán harmadrendű hatás.
Felületek Egy háromdimenziós térbeli felület egy kétdimenziós sokaság, melyet megadhatunk különböző formában: implicit: f (x, y, z) = 0, vagy f (r) = 0. explicit: z = z(x, y) parametrikus: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), vagy r = r(u, v)
Példa 1. Sík: Implicit alak: Ax + By + Cz + D = 0. Az r0 pontra illeszkedő és m vektorra merőleges sík: (r r 0) m = 0, (7) 2. Gömb: Az r0 pontra illeszkedő valamint az a és b vektorokkal párhuzamos sík parametrikus alakja: r(u, v) = r 0 + ua + vb. x 2 +y 2 +z 2 = R 2, z = ± R 2 x 2 y 2, x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos v u [0, π v [0, 2 3. Hengerfelület: Az r 1 (u) vezérgörbéjű és a alkotó-irányú hengerfelület parametrikus alakja: r(u, v) = r 1 (u) + va
5. Kúpfelület : Az r 1 (u) vezérgörbéjű és r 0 csúcspontú kúpfelület felületegyenlete : r(u, v) = r 0 + v(r 1 (u) r 0 ). 6. Csavarfelület: z = b arctan y x, y x tan z b = 0, x = av cos u, y = av sin u, z = bu. 7. A e z tengelyirányú és ρ(z) meridiángörbéjű forgásfelület: r(u, v) = e x ρ(u) cos v + e y ρ(u) sin v + e z u. u R, v R +. 8. Az r 1 (u) vezérgörbéjű és r 2 (u) irányhatározójú vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r 1 (u) + vr 2 (u). 9. Az r 1 (u) vezérgörbéjű és ennek érintői képezte, tehát ṙ 1 (u) irányhatározójú kifejthető vonalfelület vektoregyenlete : r(u, v) = r 1 (u) + vṙ 1 (u).
Az explicit feĺırási mód nem mindig alkalmazható. Például gömb
Első alapforma Az r(u, v) felületen meghatározható egy görbe az u és v paraméterekre kiszabott újabb feltétellel. Pl: r(u, c) vagy r(c, v), c=állandó, ún. paramétervonalak. Tetszőleges felületi görbe az u és v parametrikus kapcsolása révén: r = r[u(t), v(t)]. A felületen elhelyezkedő r(u, v) pontból elmozdulunk egy tetszőlegesen közel elhelyezkedő r(u + du, v + dv) másik pontba, dr = r u du + r v dv, ahol r u r u, r v r v, (8) r u és r v a megfelelő paramétervonalak és ugyanakkor a sík érintővektorai. A két érintővektor lineárisan független ezért kifeszítik a felület r u r v irányra merőleges érintő síkját.
(7) alapján a sík egyenlete: (R r) (r u r v ) = 0. A fenti vegyesszorzat koordinátás alakja: X x Y y Z z x u y u z u x v y v z v = 0 A dr elemi elmozduláshoz tartozó ívhossznégyzet: ahonnan ahol dl 2 = dr 2 = r 2 udu 2 + 2r u r v dudv + r 2 v dv 2 dl 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2, (9) E(u, v) = r 2 u, F (u, v) = r u r v, G(u, v) = r 2 v (10) A (9) egyenletet a felület első alapformájának az E, F és G függvényeket pedig Gauss-féle elsőrendű főmennyiségeknek nevezzük.
(9) jobboldala egy pozitív definit bilineáris forma (pozitív tetszőleges du és dv-re). Sylvester-tétele alapján a megfelelő mátrixra fennáll, hogy E F F G = EG F 2 > 0. Az érintő síkra merőleges r u r v irány a felületi normális vektor. Nagysága r u r v 2 = r 2 ur 2 v (r u r v ) 2 = EG F 2. A felületi normális egységvektor tehát m = r u r v. EG F 2 Az elemi felületvektor ds = r u r v dudv = m EG F 2 dudv. A paramétertérbeli D tartományhoz tartozó felület területe: S(D) = EG F 2 dudv. D
Második alapforma Az első alapforma elsőrendű sorfejtésből lett származtatva nem alkalmas másodrendű jellemzők leírására, pl.görbület. r = r u du + r v dv + 1 2 ( ruu du 2 + 2r uv dudv + r vv dv 2) A felület metszése egy síkkal mely magába foglalja a P pontot egy felületi görbét határoz meg. Ha fenti r elmozdulás a görbe mentén történik, ( r = e t 1 G 2 ) 6 dl dl + e n G dl2 2. A felülethez a P pontban illeszkedő érintő síkhoz képest, r m mértékű elmozdulást jelent. r u, r v és e t vektorok az m-re merőleges érintő síkban helyezkednek el.
ϕ: e n és m közötti szög: cos ϕ R = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv 2 Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2. ahol, a Gauss-féle másodrendű főmennyiségek kifejezhetők mint: L = r uu m = (r uu, r u, r v ) EG F 2, M = r uv m = (r uv, r u, r v ) EG F 2, N = r vv m = (r vv, r u, r v ) EG F 2. du és dv nem függetlenek, hanem össze vannak kapcsolva a felületi görbén keresztül.
Euler-Monge ábrázolás Ha a felületet az explicit z = z(x, y) alakban adjuk meg akkor ez a parametrikus feĺırásban az u = x, v = y esetnek felel meg. Ebben az esetben r = (x, y, z(x, y)) és r u r x = (1, 0, p), r v r y = (0, 1, q), p z x, q z y. ahonnan az elsőrendű főmennyiségek E = r 2 x = 1 + p 2, F = r x r y = pq, G = r 2 y = 1 + q 2. Az felület első alapformája tehát dl 2 = (1 + p 2 )dx 2 + 2pqdxdy + (1 + q 2 )dy 2. míg a felületelem területe ds = EG F 2 dxdy = 1 + p 2 + q 2 dxdy.
Bevezetve a r z xx = p x, s z xy = p y = q x, t z yy = q y. jelöléseket, a másodrendű főmennyiségek L = r 1 + p2 + q 2, M = s 1 + p2 + q 2, N = t 1 + p2 + q 2. Ha felületet az f (x, y, z) = 0 implicit alakban írjuk fel, akkor f x + f z z x = 0, f y + f z z y = 0, ahonnan p = f x f z, q = f y f z,
Görbületek A felület egy P pontjának m normálvektorát tartalmazó sík a felületet egy görbében metszi, amelyet normálmetszetnek nevezzük.vizsgáljuk meg a P ponton átmenő normálmetszet görbületének változását, midőn a metszősík a P-beli felületi normális körül forog. Mivel cos ϕ = ±1 ± 1 R = L du2 + 2M dudv + N dv 2 E du 2 + 2F dudv + G dv 2 = L ahonnan Lξ 2 + 2Mξη + Nη 2 = ±1, ( ) 2 du +2M du dv dl dl dl +N ξ R du dl, η R dv dl. ( ) 2 dv = dl A fenti egyenlet Dupin-féle indikátrixként ismert kúpszeleteket határoz meg. Ezek a felület érintősíkjával párhuzamos, ehhez képest végtelenül kicsit eltolt sík és a felület metszéséből származó görbe egyenlete.
Főgörbületek: 1 R = Lh2 + 2Mh + N Eh 2 + 2Fh + G = f (h), f (h) = 0. h = u v másodfokú polinomiális egyenlet 1 R 2 2H 1 R + K = 0. H = 1 ( 1 + 1 ) = 1 EN 2FM + GL 2 R 1 R 2 2 EG F 2 közép görbület Gauss-féle görbület K = 1 LN M2 = R 1 R 2 EG F 2
Lokális derékszögű koordinátarendszer Az {x, y, z} descartesi koordináták: x = x(u 1, u 2, u 3 ) y = y(u 1, u 2, u 3 ) z = z(u 1, u 2, u 3 ) u 1 = u 1 (x, y, z) u 2 = u 2 (x, y, z) u 3 = u 3 (x, y, z) Koordináta transzformáció r = x(u 1, u 2, u 3 )e x + y(u 1, u 2, u 3 )e y + z(u 1, u 2, u 3 )e z = r(u 1, u 2, u 3 ) Ha u 2 = c 2 =állandó és u 3 = c 3 =állandó r = r(u 1, c 2, c 3 ) koordinátagörbe. Minden ponton keresztül három koordinátagörbe halad keresztül. (u 1, u 2, u 3 ) görbevonalú koordinátarendszer.
e u1 = H i = r r u i = u i r u i r u 1 r u 1, e u 2 = r u 2 r u 2, e u 3 = ún. Lame-együtthatók e ui = 1 H i r u i i {1, 2, 3} r u 3 r u 3.
Ha az u 3 koordinátát rögzitjük r = r(u 1, u 2, c 3 ) koordinátafelület. Két koordinátafelület metszése az egyik koordinátagörbe. e ui e uj = δ ij, ortonormált rendszer lokális ortogonális koordinátarendszer. Az elemi térfogat: ( ) r r r dv =,, du 1 du 2 du 3 = H 1 H 2 H 3 du 1 du 2 du 3. u 1 u 2 u 3 Egy D paraméter-tartomány térfogata V (D) = H 1 H 2 H 3 du 1 du 2 du 3 D Az r(u 1, c 2, c 3 ) koordinátagörbének megfelelő elemi felület ( ds 1 = r r ) du 2 du 3 = H 2 H 3 du 2 du 3, ds 2 =... u 2 u 3
Sebesség tetszőleges lokális ortogonális koordonátarendszerben A descartesi koordonátarendszerben a részecske mozgásegyenlete r(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z v(t) = dr(t) ṙ(t) = ẋ(t)e x + ẏ(t)e y + ż(t)e z. dt v x (t) = ẋ(t), v y (t) = ẏ(t), v z (t) = ż(t). v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2. Tetszőleges lokális ortogonális koordinátarendszerre v(t) = ṙ = r u 1 u 1 + r u 2 u 2 + r u 3 u 3, v = H 1 u 1 e u1 + H 2 u 2 e u2 + H 3 u 3 e u3 v ui = H i u i, i {1, 2, 3} A sebesség négyzete, figyelembe véve a vektorok ortogonalitását : v 2 = H 2 1 u 2 1 + H 2 2 u 2 2 + H 2 3 u 2 3
Gyorsulás tetszőleges lokális ortogonális koordonátarendszerben a = a i e i dv 2 dt = 2a v = 2 i Mivel v 2 az u i és u i függvénye: dv 2 = [ ] v 2 u i + v2 ü i = dt u i u i i i [ v 2 v 2 másodrendűen homogén u i -ben, tehát (11) i i a i H i u i. u i u i + d dt v 2 u i u i = 2v 2. ( v 2 u i u i [ H i u i a i 1 ( d v 2 )] v2 = 0. 2H i dt u i u i v A = 0 típusú a fenti egyenlet A = 0 vagy v A koordinátarendszertől függetlenül. Descartes-i K.R.-ben A = 0. ) ( d v 2 ) ] u i. dt u i (11)
a ui = 1 2H i [ d dt ( ) ] v 2 v2 u i u i i {1, 2, 3}