Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet.
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. 2. A hullámvasút vágányaira erősített szerelvény vagy merev drótra fűzött golyó mozgása. 3. Egy elhanyagolható tömegű merev rúddal összekötött két részecske mozgása. 4. Az 1. példában a lejtő vagy gömbsüveg periódikus körmozgást végez valamilyen tengely körül. Feltételezzük, hogy a korong nem hagyja el a felületet. 5. Egy edénybe zárt gáz atomjainak mozgása. A doboz falával való ütközést rugalmasnak tekintjük. 6. Egy csúcsával felfele mutató gömbsüveg külső felületén lecsúszó kis korong mozgása. 7. A 3. példában a rúd helyett használhatunk kötelet. 8. Vízszintes síkon guruló függőleges korong.
Kötések kényszererők. 1. példa: csak felület menti mozgás, meggátolja a részecske áthatolását a felületen az erő a felületre és a mozgás pályájára is merőleges irányú. A kényszerektől független erőket szabaderőknek nevezzük. m r = F + F, (1) ahol F a szabad- és F a kényszererőt jelenti. A fenti geometriai kényszert a megfelelő felület egyenlete határozza meg: típusú egyenlete határozza meg. ϕ x dx + ϕ y differenciál- vagy más néven Pfaff-alak ϕ(x, y, z) = 0 (2) ϕ dy + dz = ϕ dr = 0. (3) z
dr = (dx, dy, dz) lehetséges elmozdulás mivel kizárólag a kötéssel áll összefüggésben se a mozgásegyenletek se a kezdeti feltételek megszorításának nincs alávetve. A valós elmozdulása egy a végtelen sok lehetséges elmozdulások közül. (2) a ϕ(r) skalárfüggvény egy szintfelületét F = λ ϕ. (4) az elmozdulás, azaz a pálya, és a kényszererő ortogonális. A kényszererő által végzett munka a dr elmozdulás során dw = F dr = 0, azaz az időtől független kényszerek esetén fellépő kényszererők nem végeznek munkát. x, y, z koordináták illetve λ, időfüggését kell meghatároznunk. A (1) (3 egyenlet) és a (2) (1 egyenlet) azonos számú egyenletből meg is tehetjük.
2. példa: a görbét (hullámvasút vágánya vagy merev drót) nem hagyhatják el a rajtuk mozgó testek. Három dimenzióban görbe = két felület metszésvonala: ϕ 1 (x, y, z) = 0, ϕ 2 (x, y, z) = 0 (5) görbe két kényszer dr ortogonális mindkét függvény gradiensére ortogonális azok tetszőleges lineáris kombinációjára is. F = λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2. Öt ismeretlenre három koordináta, λ 1 és λ 2 a (1) és (5) révén azonos számú egyenlet jut.
3. példa: ϕ(x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 d 2 = 0 hat dimenzióba ágyazott öt dimenziós felület. (1) mozgásegyenletek (x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ) hat dimenziós kiterjesztése: tekinthetők, ahol ( ) F = λ 12 ϕ(r 1, r 2 ), 12 =,,,,,. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 A kötés a részecskék felcserélésével szemben szimmetrikus az F első három illetve utolsó három komponense belső erők azonos nagyságúak és ellentétes irányításúak.
4. példa: az 1. példa általánosítása időtől függő kényszerekre. alakú míg Pfaff-alakja ϕ x dx + ϕ y (4) továbbra is érvényes dy + ϕ z ϕ(x, y, z, t) = 0 dz + ϕ t ϕ dt = ϕ dr + dt = 0. (6) t elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka
elmozdulás = felület menti összetevő (mint az időtől független esetben) + a felülettel való együttmozgásból adódó összetevő (6) kényszererő és az elmozdulás már nem ortogonálisak egymásra. időtől függő kényszerek esetén a kényszererők által végzett munka nem nulla.
Virtuális elmozdulás. Virtuális munka δr, ún. virtuális elmozdulás vektor egy adott időpillanatban a kényszerrel kompatibilis végtelen kis elmozdulás. a rendszert egy másik, a kötés pillanatnyi állapotának megfelelő helyzetben képzeljük el végtelen nagy sebességgel történő elmozdulás (δt = 0). A virtuális munka. ϕ x δx + ϕ y Ha egy pontrendszer egyensúlyban van: ϕ δy + δz = ϕ δr = 0 (7) z δw = F δr = 0, (8) F i + F i = 0. δr i (9) i F i δr i = 0. (10) Virtuális munka elve Egy pontrendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a szabaderők munkája bármely virtuális elmozdulásnál nulla
(10) előnye: elkerüli a kényszererők kiszámítását. hátránya: virtuális elmozdulások bevezetése. Könnyen előálĺıthatók ha például δr i -k egymástól függetlenek az egyes F i erők eltűnnek. Általában a kényszerek kapcsolatot teremtenek a virtuális elmozdulások között δw = 0 F i = 0.
A kényszerek általános alakja N részecsk, s darab kötés. x 1, x 2,...x 3N koordináták : 3N j=1 a αj dx j + a α0 dt = 0, α = 1, s, (11) ahol a αj az összes koordináta és az idő ismert folytonos függvényei. Ha ezek valamely ϕ α (x 1, x 2,...x 3N, t) függvények parciális deriváltjai a kényszer holonom. tehát a holonom jelleg feltétele a 2 ϕ α x i x j = 2 ϕ α x j x i a αi x j = a αj x i Ha a holonom kényszerek nem függnek az időtől ( a α0 = 0, α = 1, s) a rendszer szkleronomnak Ellenkező esetben a rendszer reonomnak.
A virtuális δx j elmozdulásokra fennáll, hogy 3N j=1 és a megfelelő kényszerőkre, hogy F j = a αj δx j = 0, α = 1, s, s λ α a αj, j = 1, 3N α=1 az s darab λ α + 3N koordináta meghatározható a 3N mozgásegyenlet és s kötésből.
Szabadsági fokok Szabadon tömegpont helyzetét az x, y és z független koordinátával jellemezzük. N szabad részecske esetén 3N darab x 1, y 1, z 1,..., x N, y N, z N koordinátával. Egy asztallapon mozgo részecske leírásához két koordináta. A matematikai inga esetén egyetlen φ kitérési szög szükséges. Egy rendszer szabadsági foka alatt azon koordináták minimális számát értjük melyek egyértelműen jellemzik a rendszer állapotát.
Kényszer kapcsolat a koordináták között ezek már nem függetlenek. Például a ϕ(x, y, z) = 0 kényszer esetén egyenértékű z = z(x, y) elégséges két koordináta a kötés csökkentette egyel a szabadsági fokok számát az eredetileg háromdimenziós rendszerünk egy két dimenziós altérben mozog. Görbe esetén két kötés, azaz két egyenlet az y mint a z koordináták kiküszöbölhetők a mozgásegyenletekből és az x koordinátára kapott megoldásból a teljes háromdimenziós mozgás megadható a szabadsági fokok száma egy. Minden kötés eggyel csökkenti a szabadsági fokok számát. s darab kötésnek alávetett N részecskéből álló pontrendszer szabadsági fokainak a száma f = 3N s. (12)
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek.
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra.
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések 1. 3 0
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések 1. 3 0 2. 3 1 (távolság az első részecskétől)
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések 1. 3 0 2. 3 1 (távolság az első részecskétől) 3. 3 2 (távolság az első két részecskétől) i > 3. 3 3 (távolság korábbi három részecskétő
Egy merev test egy olyan pontrendszer melyben bármely pontpár relatív távolsága állandó: (r i r j ) 2 d ij = 0, i, j = 1, N N(N 1)/2 kötések száma > 3N mivel a kötések nem függetlenek. Egy adott pont távolsága bármely másik három, nem egyvonalban elhelyezkedő ponttól rögzített ugyanez a tulajdonság tetszőleges másik három ponthármasra. Gondolatban egyenként vigyünk be újabb és újabb részecskéket: Részecske Szabadsági fokok Kötések 1. 3 0 2. 3 1 (távolság az első részecskétől) 3. 3 2 (távolság az első két részecskétől) i > 3. 3 3 (távolság korábbi három részecskétő Összesen tehát s = 1 + 2 + 3(N 3) = 3N 6 kötésünk van. Következésképpen: Egy merev test szabadsági fokainak száma hat.
Általános koordináták A ϕ(x, y, z) = 0 implicit egyenlet általában nem írható át explicit formába, A kényszererők kiszámítása is bonyodalmas lenne. Egyenértékű parametrikus feĺırása a (holonom) kényszerfelületnek: q 1 és q 2 ún. általános koordináták. x = x(q 1, q 2 ) y = y(q 1, q 2 ) z = z(q 1, q 2 ).
R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre.
R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja.
R sugarú gömbfelületen való mozgás: ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. q 1 = θ és q 2 = φ. koordinátatranszformáció + x = x(r, θ, φ) y = y(r, θ, φ) z = z(r, θ, φ). ψ(r, θ, φ) = r R = 0, tehát r = állandó. kikötés. A kényszer által tiltott sugárirányú mozgás merőleges a felületre. Nem minden holonom feltételre x 1, x 2,..., x 3N q 1, q 2,... q 3N transzformáció, melyben a k darab kötést megfelelő számú q koordináta állandósága biztosítja. Ha a kötések nem holonómok, akkor a kötések még csak nem is vezetnek a koordináták számának csökkenéséhez.
Általános koordinátákat használunk, ha a dinamikáról feltételezzük, hogy valamely szimmetriát követ. Például ha izotróp a külső tér szférikus koordináták. Ebben az esetben a három koordináta egymástól függetlennek tekinthető.
Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) Jelölés: x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N.
Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t.
Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15)
Általánosítsuk a koordinátatranszformációt: Jelölés: r i = r i (q 1, q 2,..., q f, t), i = 1, N (13) x i = x i (q, t), i = 1, 3N, q = (q 1, q 2,..., q f ) (14) m i i = 1, 3N m 3k 2 = m 3k 1 = m 3k, k = 1, N. Egy tetszőleges f (q, q, t) függvény idő szerinti teljes deriváltja: Az f = f (q, t) sajátos esetben: d f f (q, q, t) = q r + f q r + f dt q r q r t. d dt d f f (q, t) = q r + f dt q r t. (15) q s f (q, t) = d f (q, t) q s dt azaz a kétféle deriválás sorrendje felcserélhető.
(14) és (15) alapján a sebesség: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16)
(14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i =
(14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r ( ) ] 2 xi t
(14) és (15) alapján a sebesség: A mozgási energia: x i = dx i dt = q r x i + x i q r t. (16) T = i m i 2 ẋ 2 i = [ x i x i m i q r q s + 2 x i x i q r + q r q s t q r = i = T 2 + T 1 + T 0, ( ) ] 2 xi t (17) ahol T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (18) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (19) T 0 = γ, nemnegatív fg. (20) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.
T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg.
T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben.
T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz.
T 2 = 1 2 α rs q r q s, másodrendűen homogén (kvadratikus), (21) T 1 = β r q r, elsőrendűen homogén (lineáris), (22) T 0 = γ, nemnegatív fg. (23) α rs, β r és γ az általános koordináták és idő függvényei T = T (q, q, t), q = (q 1, q 2,..., q f ) T 1 és T 0 csak nem eltűnő x i / t esetén jelenik meg. Időtől független koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia kvadratikus az általános sebességekben. Időtől függő koordinátatranszformációk esetén a mozgási energia az általános sebességben kvadratikus tag mellett (T 2 ) egy lineáris tagot (T 1 ) és egy sebességtől független tagot (T 0 ) is tartalmaz. Koordinátatranszformáció esetén a kinetikus energia kifejezése az általános sebességek mellett az általános koordinátákat is tartalmazhatja.
A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre.
A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője.
A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. ahol ṗ i tehetetlenségi erő F i + F i ṗ i = 0,
A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i :
A D Alembert elv A virtuális munka elve statikus rendszerekre alkalmazható. Kiterjesztjük dinamikai rendszerekre. Az i. részecske mozgásegyenlete: ṗ i = F i + F i, ahol F i a szabaderők és F i a kényszererők eredője. F i + F i ṗ i = 0, ahol ṗ i tehetetlenségi erő a dinamika második törvénye: egy testre ható erők eredője mindig nulla. F i δr i : (F i ṗ i )δr i = 0 (24) D Alembert elv. i