Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 1 / 16
Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
Differenciál- és integrálszámítás dióhéjban Függvények deriváltja Legyen f : I R esetén f f (x + h) f (x) (x) := lim. h 0 h Függvények határozott integrálja Legyen f : I R esetén b Newton Leibniz-formula Ha [a, b] I, akkor a f (x)dx := lim b a n f (ξ i )(t i t i 1 ). i=1 f (x)dx = f (b) f (a) feltéve, hogy f : I R differenciálható és f korlátos és mm. folytonos (Riemann-integrál); f : I R differenciálható és f korlátos (Lebesgue-integrál); f : I R differenciálható (Kurzweil Hennstock-integrál). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. / 16
Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 3 / 16
Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 3 / 16
Sorozatok Számsorozatok Valós (komplex) számsorozat alatt egy a természetes számok halmazán értelmezett valós (komplex) értékű függvényt értünk. Jelölések: Egy a : N R sorozatot szokás (a 1, a,..., a n,... ) módon, illetve (a n ) n N -nel, vagy még egyszerűbben (ha ez nem okozhat félreértést) (a n )-nel jelölni. Pl.: (1,,..., n,... ), (n + 3n), ( n), ( 1 n ). ( 1 ) Szoros értelemben nem sorozat (mert nincs első tagja), ezért n 1 néha sorozat alatt értjük az N halmaz valamely részhalmazán értelmezett függvényeket is. Tehát, tágabb értelemben ( 5 n) is sorozat (holott csak 5 tagja van). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 3 / 16
Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 4 / 16
Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 4 / 16
Nevezetes sorozatok Számtani sorozat Ha egy (a n ) sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 + a n+1, akkor a sorozatot számtani sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 3, 4,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 + (n 1)d. Geometriai sorozat Ha egy (a n ) nemnegatív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1 a n+1, akkor a sorozatot geometriai sorozatnak nevezzük. Pl.: (1,, 4, 8,..., n,... ). Képlete: a n = a 1 q n 1 Harmonikus sorozat Ha egy (a n ) pozitív tagú sorozatra teljesül, hogy minden n > 1 esetén a n = a n 1a n+1, akkor a sorozatot harmonikus sorozatnak nevezzük. a n 1 + a n+1 Pl.: (1, 1, 1 3, 1 4,..., 1 n,... ). Képlete: a n = a 1 1+(n 1)da 1 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 4 / 16
Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n 1 + + a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 5 / 16
Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n 1 + + a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 5 / 16
Összegképletek I. A sor fogalma Adott (a n ) számsorozat esetén képezzük az s 1 := a 1, s := a 1 + a,... s n := a 1 + a + + a n,... sorozatot. Ezt az (a n ) sorozatból képzett sornak nevezzük és ( a n )-nel jelöljük. Számtani sor Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Bizonyítás: ( = n a 1 + (n 1) d ). s n = (a 1 + a + + a n 1 + a n ) + (a n + a n 1 + + a + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a + a n 1 ) + + (a n 1 + a ) + (a n + a 1 ) = n(a 1 + a n ). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 5 / 16
Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a 3 + + a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n + 1. 1 + 1 3 + + 1 n(n + 1) = 1 1 + 3 3 ( 1 = 1 ) 1 ( 1 + 1 ( 1 + + 3) n 1 ) n + 1 + + (n + 1) n n(n + 1) = 1 1 1 n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 6 / 16
Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a 3 + + a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n + 1. 1 + 1 3 + + 1 n(n + 1) = 1 1 + 3 3 ( 1 = 1 ) 1 ( 1 + 1 ( 1 + + 3) n 1 ) n + 1 + + (n + 1) n n(n + 1) = 1 1 1 n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 6 / 16
Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a 3 + + a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n + 1. 1 + 1 3 + + 1 n(n + 1) = 1 1 + 3 3 ( 1 = 1 ) 1 ( 1 + 1 ( 1 + + 3) n 1 ) n + 1 + + (n + 1) n n(n + 1) = 1 1 1 n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 6 / 16
Összegképletek II. Geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Bizonyítás: (q 1)s n = (qa 1 + qa + + qa n ) (a 1 + a + + a n ) = (a + a 3 + + a n+1 ) (a 1 + a + + a n ) = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Egy majdnem harmonikus sor teleszkópos összegzés Legyen a n := Bizonyítás: s n = 1 1 n(n + 1). Ekkor s n = n n + 1. 1 + 1 3 + + 1 n(n + 1) = 1 1 + 3 3 ( 1 = 1 ) 1 ( 1 + 1 ( 1 + + 3) n 1 ) n + 1 + + (n + 1) n n(n + 1) = 1 1 1 n + 1. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 6 / 16
A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 7 / 16
A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 7 / 16
A bizonyítások összevetése Melyik bizonyítás az általánosabb? Hogyan lehet általánosabb sorozatok összegképletét meghatározni? Van-e univerzális összegző módszer? Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 7 / 16
A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na 1 + 1 0 ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 8 / 16
A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na 1 + 1 0 ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 8 / 16
A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na 1 + 1 0 ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 8 / 16
A számtani és mértani sor a teleszkópos módszerrel Ismét a geometriai sor Ha a n = a 1 q n 1 egy geometriai sorozat és q 1, akkor s n = a 1 q n 1 q 1. Új bizonyítás: (q 1)s n = (q 1)a 1 + (q 1)a + + (q 1)a n = (a a 1 ) + (a 3 a ) + + (a n+1 a n ) Ismét a számtani sor = a n+1 a 1 = a 1 (q n 1). Ha (a n ) egy számtani sorozat, akkor s n = n a 1 + a n Új bizonyítás: s n = a 1 + (a 1 + d) + + (a 1 + (n 1)d) ( 1 = na 1 + 1 0 ) ( (n 1) n d + + ( = n a 1 + (n 1) d ). ) (n 1) (n ) d. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 8 / 16
Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 9 / 16
Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 9 / 16
Differencia-sorozat és primitív sorozat Differencia-sorozat (Diszkrét derivált) Legyen (a n ) egy számsorozat. Ekkor a a n := a n+1 a n (n N) képlettel megadott sorozatot (a n ) (első) differencia sorozatának nevesszük. Primitív sorozat (Diszkrét primitív függvény) Egy (b n ) sorozatot az (a n ) sorozat primitív sorozatának mondunk, ha b n = a n (n N). Diszkrét Newton Leibniz-tétel Ha (b n ) sorozat az (a n ) sorozat egy primitív sorozata, akkor s n = a 1 + a + + a n = (b b 1 ) + (b 3 b ) + + (b n+1 b n ) = b n+1 b 1 (n N). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 9 / 16
Sorozatok differenciálása A differencia-operátor tulajdonságai Linearitás: (a n + b n ) = a n + b n, Homogenitás: (ca n ) = c (a n ), Leibniz-szabály: (a n b n ) = a n+1 b n + b n a n. Monomiális és polinomiális sorozatok differenciálása ( ) k n k = (n + 1) k n k = n k + n k 1 + + 1 ( ) ( ) k k = n k 1 + + n + 1. 1 k 1 ( ) k n + 1 n k k 1 Így egy k-adfokú polinomiális sorozat differenciasorozata k 1-edfokú. Ezért egy k-adfokú polinomiális sorozat primitív sorozata k + 1-edfokú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 10 / 16
Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így 1 + + + n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 11 / 16
Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így 1 + + + n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 11 / 16
Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így 1 + + + n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 11 / 16
Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így 1 + + + n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 11 / 16
Polinomiális sorozat primitív sorozatának meghatározása Példa Határozzuk meg az a n = n sorozat primitív sorozatát! Keressük ezt b n = xn 3 + yn + zn alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x((n + 1) 3 n 3 ) + y((n + 1) n ) + z((n + 1) n) = n (n N), azaz Tehát x(3n + 3n + 1) + y(n + 1) + z = n (n N). 3x = 1, 3x + y = 0, x + y + z = 0. Innen x = 1 3, y = 1, z = 1 6 és b n = n3 3n + n (n 1)n(n 1) =. 6 6 Így 1 + + + n (n + 1)(n + 1)n = b n+1 b 1 =. 6 Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 11 / 16
Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 1 / 16
Exponenciális és exponenciális polinom sorozatok Exponenciális sorozatok differenciálása Legyen q R. Ekkor q n = q n+1 q n = (q 1)q n. Exponenciális polinom sorozatok differenciálása Legyen q 1 és P polinom. Ekkor q n P(n) = q n+1 P(n) + P(n) q n = q n+1 P(n) + P(n)(q 1)q n = q n (q P(n) + (q 1)P(n)) = q n Q(n). Tehát ha P egy k-adfokú polinom, akkor a q n P(n) sorozat mindig q n Q(n) alakú, ahol Q szintén k-adfokú polinom.. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 1 / 16
Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát 1 + + n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 13 / 16
Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát 1 + + n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 13 / 16
Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát 1 + + n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 13 / 16
Exponenciális polinom sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = n n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = (xn + yn + z) n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy (x(n + 1) + y(n + 1) + z) n+1 (xn + yn + z) n = n n (n N), azaz (x(n + 1) + y(n + 1) + z) (xn + yn + z) = n (n N), ahonnan x = 1, 4x + y = 0, x + y + z = 0. Így y = 4, z = 6 és b n = (n 4n + 6) n. Tehát 1 + + n n = b n+1 b 1 = ((n + 1) 4(n + 1) + 6) n+1 6 = (n n + 3) n+1 6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 13 / 16
Trigonometrikus sorozatok Differenciálás sin n = sin(n + 1) sin(n) = sin 1 cos n + cos 1 sin n sin n = sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n, cos n = cos(n + 1) cos(n) = cos 1 cos n sin 1 sin n cos n = (cos 1 1) cos n sin 1 sin n. Tehát a (α sin n + β cos n) sorozat mindig γ sin n + δ cos n alakú. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 14 / 16
Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin 1 + + sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 15 / 16
Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin 1 + + sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 15 / 16
Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin 1 + + sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 15 / 16
Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin 1 + + sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 15 / 16
Trigonometrikus sorozatok Primitív sorozat keresés Határozzuk meg az a n = sin n sorozat (b n ) primitív sorozatát. Keressük ezt b n = x sin n + y cos n alakban! A b n = a n egyenlőség azt jelenti, hogy x sin n + y cos n = sin n (n N), azaz x(sin 1 cos n + (cos 1 1) sin n) + y((cos 1 1) cos n sin 1 sin n) = sin n. Innen x(cos 1 1) y sin 1 = 1, x sin 1 + y(cos 1 1) = 0, tehát x = 1, y = sin 1 (cos 1 1). Így sin(n + 1) sin 1 sin 1 + + sin n = + sin 1(cos(n + 1) cos 1). (cos 1 1) Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 15 / 16
Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 16 / 16
Gyakorló feladatok Példák Határozzuk meg az alábbi sorozatok primitív sorozatait: a n = n sin n, b n = n n cos(n). Útmutatás Keressük a primitív sorozatokat az alábbi alakban: A n = (xn + yn + z) sin n + (un + vn + w) cos n, B n = (xn + y) n sin(n) + (un + v) n cos(n). Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten MAFIÓK, 010. aug. 6. 16 / 16