Egyenes-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyenese?

Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 1. március (1 1. o.) ERDŐS PÉTER ORMOS MIHÁLY ZIBRICZKY DÁVID Egyees-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? Taulmáyuk egyrészt arra a kérdésre keresi a választ, vao helytálló-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) azo feltevése, hogy a piaci kockázat mérőszáma, a béta és a várható hozam között lieáris kapcsolat áll fe. Másrészt em tuduk, hogy megalapozott-e a kockázati mérőszám meghatározásához tett liearitási feltétel. Ha a karakterisztikus egyeesek liearitása sérül, akkor ú kockázati mértékek levezetésére va szükség. Vizsgálataikat a Stadard & Poor s agy-, közép- és kisvállalati részvéyidex-kompoesekből vett, 15 részvéyből álló véletle mitá végezzük el. Az amerikai részvéyek karakterisztikus egyeeseiek liearitása mide szokásos szigifikaciaszite elvethető, ezért szemiparametrikus kockázati mértékeket vezetük le. Írásukba megmutatuk, hogy ha a karakterisztikus egyees liearitása sérül, akkor a tőkepiaci árazási modell bétaa átlagosa szigifikása alulbecsli az értékpapír kockázatát, ezért a stadard piaci kockázati mérték em haszálható. Eredméyeik alapá megfogalmazhatuk azt az állítást, hogy a piacot csak extrém körülméyek között lehet megveri.* Joural of Ecoomic Literature (JEL) kód: C14, C51, G1, G3. A tőkepiaci árazás modelle (Capital Asset Pricig Model, CAPM) (Sharpe [1964], Liter [1965], Mossi [1966]) máig az egyik legáltaláosabba alkalmazott egyesúlyi modell a pézügyi szakirodalomba. A CAPM, illetve a stadard eszközárazási modellek lásd az arbitrált árazás elméletét (Arbitrage Pricig Theory, APT) (Ross [1976]), a háromfaktoros modellt (Fama Frech [1996]) vagy a égyfaktoros modellt (Carhart [1997]) a kockázat és a várható hozam között lieáris kapcsolatot feltételezek. Stapleto Subrahmayam [1983] a CAPM modell alapá lieáris összefüggést talált a hozam és kockázat között. Taulmáyukba a CAPM alapá a két összefüggés liearitását vizsgáluk, az egyik az értékpapírok hozama és a piaci hozam közötti viszoy (karakterisztikus egyees), a másik pedig az értékpapírok kockázata amelyet a karakterisztikus egyees meredekségével mérük és hozama közötti összefüggés (értékpapír-piaci egyees). A stadard eszközárazási próbák lieáris regressziót alkalmazak, amely helyes elárás abba az esetbe, ha a kockázat és hozam között valóba lieáris a kapcsolat. Ha ez a feltevés sérül, akkor a legkisebb égyzetek módszerével (OLS) vagy más lieáris módszerekkel becsült paraméterek torzítottak és ikozisztesek. * Köszöetüket feezzük ki Györfi László professzor úrak a kéthetekéti kozultációs lehetőségért. Erdős Péter a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem pézügyek taszékéek mukatársa. Ormos Mihály a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem pézügyek taszékéek mukatársa. Zibriczky Dávid a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem számítástudomáyi és iformációelméleti taszékéek végzős hallgatóa.

Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid A karakterisztikus egyees két becsült paramétere az alfa és a béta; az előbbi az abormális hozamot méri (lásd Jese [1968]), utóbbi pedig az értékpapír relevás kockázatát. Ha a tőkepiac egyesúlyba va, akkor a CAPM szerit az értékpapírok a kockázatukak megfelelő hozamot biztosíták, azaz az abormális hozam várható értéke ulla. A vázolt kérdéseket két iráyból áruk körül: egyrészt megvizsgáluk, hogy a CAPM alapá levezethető két összefüggés liearitás ullhipotézise feáll-e, másrészt megvizsgáluk ú kockázati mértékek ( alfa és béta ) levezetéséek lehetőségét arra az esetre, ha a ullhipotézist elvetük. Az utóbbira azért va szükség, mert ha általáosságba em áll fe a liearitás, akkor az arra épülő kockázati mértékek hibásak, és a belőlük levoható következtetések megkérdőelezhetők. Vizsgálatukat az S&P (Stadard & Poor s) agy-, közép- és kisvállalati részvéyidexkompoeseiből vett (S&P 5, S&P MidCap 4, S&P SmallCap 6) véletle mitá végezzük el az 1999 és 8 közti időszakot felhaszálva. A api hozamadatokat a Ceter for Research i Security Prices (CRSP) adatbázisából yertük. Az egyes idexekből véletle mitavételi elárással 5-5-5 vállalatot választottuk ki. A karakterisztikus egyeesek liearitáspróbáa alapá mide szokásos szigifikaciaszite elvethetük a piac liearitását. Négy értékpapír-piaci egyeest is becsültük, egyet-egyet a három méret alapá meghatározott vállalati szegmesre, egyet pedig a piac egészére. Az értékpapír-piaci egyeesek liearitása em vethető el. A kisvállalatokra illesztett értékpapír-piaci egyees meredeksége egatív, azaz eredméyeik igazolák a kisvállalati hatást (lásd például Baz [1981], Basu [1983], Fama Frech [1995]). A pézügyi irodalomba ól dokumetált megfigyelés, hogy a kisvállalatok kockázata agyobb, és emiatt várható hozamuk magasabb, azaz a piaci kockázat mellett a vállalatméret is kockázati téyező. Külö kiemelést érdemel az az eredméyük, hogy a liearitás a agyvállalati szegmesbe a karakterisztikus egyees tekitetébe mide szokásos szigifikaciaszit mellett elvethető. Mivel a kisés középvállalatok karakterisztikus egyeeséek liearitása em vethető el 95 százalékos szigifikaciaszite, ezért a kisvállalati hatás em magyarázhata a liearitás sérülését. Alkalmazott módszerta A lieáris és emlieáris regresszió közötti külöbség A statisztikába a regresszióaalízis sorá a két vagy több változó közötti kapcsolatot modellezzük. Legáltaláosabb esetbe a regresszió egy feltételes várható értéket elet, ami megadható E(Y X) = m(x) (1) formába, ahol Y a függetle, X pedig a magyarázó változó. Lieáris kapcsolat feltételezése eseté az egyszerű lieáris regressziós becslések alkalmazhatók [például legkisebb égyzetek módszere (OLS), maximum likelihood becslés, általáosított mometumok módszere (GMM)], azoba ha a liearitás sérül, akkor a lieáris becslőfüggvéyek torzított és ikozisztes paraméterbecsléshez vezetek. A bevezetőbe vázolt vizsgálatokhoz olya robusztus, eloszlástól függetle módszerre va szükségük, amely emlieáris köryezetbe is potos becsléseket yút. Az (1) egyeletet lieáris regressziókét értelmezve, a tőkepiaci árazás modellét (CAPM) a következő formába adhatuk meg: Y i, ˆ ˆ X ˆ i1, 3,,..., ; 1, 3,,..., N, () i, i,

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 3 ahol ˆ és ˆ a -edik értékpapír karakterisztikus egyeeséek tegelymetszete és meredeksége, valamit ˆ i, a regresszió hibataga. Y i, és X i, redre a -edik értékpapír és a piac kockázati prémiuma az i-edik időpotba. Esetükbe em feltételezük lieáris kapcsolatot a változók között, ezért a lieáris regresszió em megfelelő módszer az (1) egyelet becslésére. Nadaraya [1964] és Watso [1964] kidolgozott egy magfüggvéyalapú regressziós becslést, amely aélkül képes becsüli az (1) egyelőséget, hogy az Y és X közötti kapcsolat formááról bármit is felteék. A Nadaraya Watso-féle becslőfüggvéy 1 mˆ h( x) WhixYi (3) i1 formába írható fel, ahol W hi (x) az úgyevezett Nadaraya Watso-féle súlyfüggvéy, amely Kh( x Xi) Whi x 1 Kh( x X ) 1 (4) összefüggés alapá határozható meg, ahol K h (u) a magfüggvéy, h pedig egy ól választott sávszélesség. 1 A becslőfüggvéy x potra voatkozó becslése a h ablakba lévő Y i potok súlyozott átlaga. A Nadaraya Watso-becslőfüggvéy a W hi (x) súlyvektort a távolságok alapá határozza meg, azaz egy-egy Y i pot súlya aráyos az x X i távolsággal. Ha egy X i pot távol va a becsüledő pottól, Y i kisebb súlyt kap a becslésbe, és fordítva. A magfüggvéy kiválasztása Härdle és szerzőtársai [4] szerit a magfüggvéy kiválasztása csak másodlagos eletőségű, a hagsúly ikább a sávszélesség helyes megválasztásá va. Az 1. táblázat foglala össze a leggyakrabba haszált magfüggvéyeket. Az 1. táblázatba szereplő magfüggvéyek egy része I idikátort tartalmaz, amelyek értéke egységyi, ha az idikátorba szereplő feltétel telesül, egyéb esetbe az értéke zérus. Härdle és szerzőtársai [4] szerit az Epaechikov-féle magfüggvéy kovergál a leggyorsabba a becslés elméleti értékéhez. A későbbiekbe közölt eredméyeket több magfüggvéy kipróbálásával is megbecsültük, de em tapasztaltuk szigifikás külöbséget az egyes módszerek között. Ha a liearitás sérül, akkor szemiparametrikus kockázati mértékeket ( alfa és béta ) kell haszáli, amihez deriváltbecslést alkalmazuk, azaz olya magfüggvéyre va szükségük, amely mide potba differeciálható. Az idikátor haszálata sok esetbe törést okoz a függvéybe, ezért a következő feltételeket szabuk meg ezek kiküszöbölésére: 1. K(u) folytoos a [ 1, 1] zárt itervallumo,. K(u) =, K (u) = és K (u) =, u = 1, 1 potokba. A feltétel a felsorolt magfüggvéyek közül csak a harmadfokúra és a Gaussra áll fe. Mi az idikátor élküli Gauss-kerelt (Gauss-féle magfüggvéyt) alkalmazzuk, amely formába írható fel. Ku 1 1 exp u (5) 1 A sávszélesség a simítás mértékéek paramétere, lásd részletese a Sávszélesség meghatározása című alfeezetbe. A tömörség kedvéért a (4) egyeletbe felhaszáltuk, hogy K h (x X i ) = 1/h K[(x X i )/h]. Ezeket az eredméyeket itt em közölük, de kérésre redelkezésre bocsátuk.

4 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid Megevezés Kerel (redszermag) Egyeletes 1. táblázat A leggyakrabba haszált magfüggvéyek képletei Képlet K (u) 1 Iu 1 Háromszög 1 u I u 1 Epaechikov Harmadfokú Cosius Gauss 3 4 1 u Iu 1 35 3 1 u 3 Iu 1 cos u I u 1 4 1 1 exp u Megegyzés: I( ) egy idikátorfüggvéy, amelyek értéke egységyi, ha a függvéybe lévő feltétel telesül, és ulla külöbe. A sávszélesség meghatározása Mit azt említettük, a sávszélesség megválasztása fotosabb téyező, mit a magfüggvéy kiválasztása, ezért erre agyobb hagsúlyt helyezük. A h sávszélesség a simítás mértékét reprezetála, ha értéke övekszik, akkor a magfüggvéy ellaposodik (kiszélesedik), így adott pot becsléséél a közeli kiugró értékek hatása csökke, a távolabbi értékek befolyása pedig relatíve ő. Ha a sávszélességet túl agyra választuk, akkor a görbék túlsimított lesz, a torzítás mértéke ő, a becslés szórása pedig csökke, mivel kisebbek leszek a kiugrások. Túl kis sávszélesség eseté közeli X i potok hatása erősödik, így a becslés Y i - hez fog tartai, ami alulsimítottságot okoz. Ebbe az esetbe a becslés variaciáa ő, a torzítás őhet, vagy csökkehet. Az optimális sávszélességtől távolodva, midkét esetbe ő a égyzetes hiba. Az 1. ábrá ábrázoltuk az alul-/túlsimítottság eseteit, megfigyelhető, hogy ritka potsűrűség eseté (a grafiko két szélé) az alulsimított görbe a megfigyelési potoko ugrál, ami torzítottságra utal, a túlsimított görbe pedig eheze tér vissza a potokhoz, mivel a közeli potok hatása csekély. Céluk az optimális sávszélesség meghatározása, amely miimalizála a becslési hibát. A becslési hibát az átlagos égyzetes hibával (average squared error, ASE) mérük, ami 1 ASEh ASEmˆh mˆhxi mxi w Xi, (6) i1 ahol ˆm h (X i ) az (1) egyelet becsült értéke, m(x i ) pedig ugyaeek az elméleti értéke. A w(x i ) függvéyel a kiugró értékek hatását csökkethetük, a becslés sorá ezt em foguk haszáli, mivel épp az extrém értékek eleléte miatt alkalmazzuk a kerelregressziót, és emiatt kérdőelezzük meg a liearitást, eek megfelelőe mide i-re w(x i ) = 1. Mivel az ASE(h) egy valószíűségi változó, vehetük a feltételes várható értékét, hogy ez pot a torzítás égyzetéek és a variacia összege, azaz

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 5 MASE(h) = E[ASE(h) X 1 = x 1,..., X = x ] = b (h) + v(h) (7) ahol a torzítás Kh Xi X bh 1 mx mxi 1 wxi, (8) i fhx ˆ 1 1 i a variacia pedig KhXi X 1 vh 1 X w 1 fhx ˆ X i i. (9) i1 Az m( ) függvéyt em ismerük, ezért a torzítást em lehet kiszámítai, így olya módszert kell alkalmazi, ami az átlagos égyzetes hiba várható értéke (mea average squared error, MASE) közelítését ada, és kiszámítható az adatsorból. Ha miimalizáluk az ASE-t, r LOW r f 1. ábra Rossz sávszélességek alkalmazása *,1,5,5,1,8,6,4,,,4,6 r m r f Adatpot Alulsimított görbe Túlsimított görbe Optimális simítású görbe * A Lowe s (véletleszerűe választott) karakterisztikus egyeeséek becslése kerelregresszióval, a piaci hozam a piaci kapitalizációval súlyozott CRSP-idex hozama, a kockázatmetes hozam pedig az amerikai egy hóapos diszkotkicstáregyek api hozama. A modell emparametrikus CAPM, r LOW r f = ˆm h (r m r f ) + ˆ LOW formába adható meg, ahol r LOW r f a Lowe s kockázati prémium, r M r f a piaci kockázati prémium, ˆ LOW pedig a reziduum. Itt és az összes többi ábrá az optimális sávszélességet, h-t a keresztvalidációs elárással (cross validatio, CV) választottuk, a kerelregresszió sorá a Gauss magfüggvéyt és a Nadaraya Watso-féle súlyozást haszáltuk. Az ábrá az alulsimított görbe sávszélessége ötszöröse a keresztvalidációs szeriti optimálisak, míg a túlsimított az ötöde.

6 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid. ábra A kerelregresszió égyzetes hibááak miimalizálása az iterációk számáak függvéyébe külöböző kezdőértékek mellett * (égyzetes hiba lépésszám térbe) Négyzetes hiba,55 x1 4,5,45,4,35,3,5 4 6 8 1 1 14 16 18 Lépésszám Optimális érték h Silverma h Silverma Silverma 5h Silverma 7,5h Silverma * A Lowe s (véletleszerűe választott) karakterisztikus egyeeséek kerelregressziós becslésé vizsgáltuk az optimalizáció folyamatát. Az alkalmazott módszer leírását lásd az 1. ábra egyzetébe. A sávszélesség iduló értékei: a Silverma [1986] ökölszabály szeriti, illetve a Silverma-féle választás, π, 5 és 7,5-szerese. A miimalizálási problémát a szimplex keresési módszerrel oldottuk meg (Lagarias és szerzőtársai [1998]), a kezdőértékek függvéyébe redre 14, 15, 16, 1 és lépésbe. a MASE is miimális lesz. Helyettesítsük be m( ) helyére Y megfelelő értékeit a (6) összefüggésbe, így adódik, hogy 1 p(h) Y mˆ i h Xi wxi. (1) i1 A (1) közelíti MASE-t, de eek va egy hibáa, evezetese hogy ˆm h (X i )-vel Y i saát magát becsüli, így h eseté p(h) értéke tetszőlegese csökkethető, és így ˆm h ( ) az Y i iterpolációához közelítee. Härdle és szerzőtársai [4] bütetőfüggvéy haszálatával küszöbölte ki ezt a hibát. Legye G(h) 1 Y mˆ X 1 1 W X w X i h i hi i i, (11) i ahol Ξ(h) faktor h csökkeésével ő, azaz korrigála a aiv Y i ~ m h (x) közelítésből adódó hibát. Vegyük az általáosított keresztvalidációs (geeralized cross-validatio) bütetőfüggvéyt, ami Ξ GCV (u) = (1 u), (1)

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 7 3. ábra A sávszélesség optimalizálásáak lépésszáma külöböző kezdőértékekkel * (sávszélesség lépésszám térbe) Sávszélesség (h) 18 16 14 1 1 8 6 4 x1 3 4 6 8 1 1 14 16 18 Lépésszám * Lásd a. ábra egyzetét. Optimális érték h Silverma h Silverma Silverma 5h Silverma 7,5h Silverma ha ezt alkalmazzuk (11)-re, kapuk, hogy 1 CV h Y m X W X i h i 1 1 ˆ hi i, (13) i1 amit keresztvalidációs (cross-validatio, CV) függvéyek evezük. Härdle és szerzőtársai [4] bizoyítása alapá, ha CV(h) miimális, akkor az átlagos égyzetes hiba (ASE) is miimális, így a kerelregresszió sávszélessége optimális. A miimalizálási probléma megoldásához Lagarias és szerzőtársai [1998] által bemutatott szimplex keresési módszert (simplex search method) haszáluk. Ha az optimálishoz közeli kezdőértéket választuk, akkor csökkethető a lépésszám, így gyorsítható a miimalizálás. 3 A sávszélesség becslésére alkalmazhatuk a Silverma-féle ökölszabály korrigált változatát is (Silverma [1986]), ami ˆ R 1 hrot, mi 1 16 Xi X, 5 i,, (14) 1 1 134 ahol R = Q 3 (X) Q 1 (X), azaz a harmadik és az első kvartilis külöbsége. A modell aál potosabb, miél közelebb va az eloszlás a ormálishoz. Mivel a vizsgált adatsorok el- 3 Erre főleg agy adatsorok eseté va szükség, mivel a CV(h) függvéy számítási igéye 4 -el aráyosa övekszik.

8 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid oszlása em ormális, az optimális becsléshez ezt a szabályt em haszálhatuk, viszot kiválóa alkalmas a miimalizáló algoritmus egy kezdőértékéek meghatározására, amivel az algoritmus számításigéye eletőse csökkethető. 4 A. ábrá látható a égyzetes hiba agysága az iterációs folyamat lépésszámáak függvéyébe, miél közelebb va az idulóérték az optimális sávszélességhez, aál gyorsabb a kovergecia. Az ábrá látható, hogy az algoritmus a Silverma-féle szabály szerit választott sávszélességgel talála meg leggyorsabba az optimumot. Megfigyelhető, hogy em csökke mide lépésbe a égyzetes hiba, mivel az algoritmus kiküszöböli aak a lehetőségét, hogy az optimalizáció egy lokális miimumba ragado. A 3. ábrá látható, hogy az optimalizálás sorá a sávszélesség az optimális érték körül oszcillál, az amplitúdó a Silverma-féle választás eseté cseg le leggyorsabba. Az illeszkedés ósága Ahhoz, hogy eldötsük, melyik modell becsül potosabba, egy mértékre lesz szükségük. Az összevethetőség érdekébe a kerelregresszióál is a lieáris regresszióál gyakra alkalmazott R -et haszáluk az illeszkedés óságáak mérésére. Az R defiíció szerit ahol SSE Y im ˆ hx i, illetve SST Y iy i1 R SSE 1, (15) SST i1 Ez a defiíció megegyezik a lieáris regresszió legkisebb égyzetes becsléséél haszált R -tel, azzal a külöbséggel, hogy SSE-be ˆm h (X i ) helyére a parametrikus, ˆ + ˆX i becslés kerül. Mivel azoos módo számítuk a két statisztikát, így ezek öszszevethetők. 5 Kofideciasáv A kerelregresszió csak közelíti m(x)-et, így a becslés alapá teles bizoyossággal em állíthatuk semmit a valós folyamatról, a becslés értéke mide x potba egy valószíűségi változó. Kofideciasávot becslük, hogy egy adott bizoyossági szit választása mellett be tuduk határoli az elméleti összefüggés által leírt görbe elhelyezkedését. Legye K ˆ ( x) K ˆ ( x) mˆ x z, mˆ h x z hf ˆ h 1 ( x ) 1 hf ˆ h h ( x ), (16) ahol a variacia x potba. ˆ x W ( x){ Y mˆ ( x)} hi i h, (17) i1 K Gauss a Gauss-féle magfüggvéy kettes ormáa, azaz 4 A ormalitást Jarque Bera-próbával elleőriztük, ezek az eredméyek kérésre redelkezésre állak. 5 A lieáris regresszióál a obb összevethetőség érdekébe célszerű korrigált R -et haszáli, mivel a paraméterbecslés miatt elveszítük éháy szabadságfokot (a mi esetükbe kettőt). Megegyezzük, hogy eek a ele értelmezésbe csekély a eletősége, mivel viszoylag agy mitával dolgozuk.

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 9 KGauss K dx, (18) 1 ˆ f h ( x) a becsült sűrűségfüggvéy x potba, α pedig a kofideciaszit (Härdle és szerzőtársai [4]). A kofideciasáv ellemzőe kiszélesedik, ha x köryezetébe a megfigyelési potok száma csökke. Mivel a piaci hozam eloszlása em egyeletes, illetve ullától távolodva csökke a megfigyelések előfordulási valószíűsége, a karakterisztikus egyeesekél ellemzőe a szélek felé szélesedő kofideciasáv figyelhető meg (lásd később például a 4. ábrát). Hipotézisvizsgálat Hipotézisvizsgálattal foguk elleőrizi azt a feltevést, hogy a CAPM lieáris-e, mid a karakterisztikus egyees, mid az értékpapír-piaci egyees eseté. A lieáris regresszió ullhipotézisével a kerelregresszió alteratív hipotézisét állítuk szembe. PRÓBASTATISZTIKA. Legye a parametrikus modellük E(Y X = x) = m θ ( ), (19) ahol θ a becsült paraméterek vektora. A ullhipotézisüket úgy fogalmazhatuk meg, hogy X és Y közötti kapcsolat felírható parametrikus regresszió segítségével, azaz H : m(x) m θ (x), amit a H 1 : m(x) m θ (x) alteratív hipotézissel szembe tesztelük. A ˆ vektor a θ paramétervektor becslése, ami kiszámítható stadard parametrikus regressziós becslésekkel. m(x)-et em ismerük, ezért eek közelítésére ˆm h (x) kerelregressziót alkalmazzuk. Ha em tuduk elveti H -t, az azt eleti, hogy a kerelregresszió szigifikása em külöbözik a parametrikus regressziótól. A két becslés közti eltérést a h mˆ XimˆXi wxi () i1 függvéyel mérhetük. Míg az ( ) általáos feltételek mellett aszimptotikusa torzítatla és a becsült paraméterek -el kovergálak az elméleti értékükhöz, addig a em- mˆ parametrikus becslés a simításból adódóa torzított, és a kovergecia sebessége csak h. A probléma orvoslására Härdle Mamme [1993] mesterséges torzítást vezetett be a parametrikus becslésbe. Az m x helyett a súlyozott parametrikus kerelregressziót ˆ alkalmazták, azaz amiből a m X ˆˆ i 1 K X X m X h i ˆ 1 K X X h i T h m ˆ Xim ˆˆ Xi wxi i1, (1) ()

1 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid próbastatisztikát vezették le. A T-érték eloszlása em ismert, viszot wild bootstrap elárással meghatározható. A w(x i ) itt is egy súlyfüggvéy, amit tetszés szerit választhatuk. A továbbiakba w(x i ) értékét bármely X i potba egységyiek vesszük. 6 Härdle Mamme [1993]) alkalmazta először a wild bootstrap (lásd például Wu [1986]) mitageeráló elárást emparametrikus hipotézisvizsgálat eseté. A módszer a parametrikus becslés ˆ i, hibáa alapá geerál ú Y * i mitákat. Az elárás feltétele, hogy az eredeti és az ú adatsor hibatagaiak eloszlása az első három mometumukba megegyezze. A WILD BOOTSTRAP HIPOTÉZISVIZSGÁLAT MENETE 1. Határozzuk meg a ()-be defiiált T értékét!. Számítsuk ki a parametrikus regresszió hibatagait mide i-re! 3. Állítsuk elő * i, -t, az araymetszés szabálya alapá, azaz q valószíűséggel legye * i, 1 5 ˆ i,, 1 q valószíűséggel pedig legye * i, 1 5 ˆ i,, ahol q 5 5 és ˆ 1 i, a ()-be defiiált regresszió maradéktaga! 7 4. Geeráluk mide részvéyre Y * i, mˆ Xi * * i, szerit ú Yi,, Xi, i 1,..., mitát! 5. Számítsuk ki az ú mita alapá a T * * * -értéket, T hm ˆ XiYi! i1 6. Geeráluk boot darab külöböző mitát, a 3 5. lépések megismétlésével! 7. H telesül, ha T < P (1 α)1 (T * ), azaz ha T értéke T * megfelelő kvatiliséél kisebb. LINEARITÁSI PRÓBA. A bevezetőbe szó volt arról, hogy a CAPM liearitást feltételez. Vizsgáli szereték az értékpapír-piaci egyees és az egyes részvéyek karakterisztikus egyeeséek liearitását. Tegyük fel, hogy a vizsgált egyeesek ól írák le a kapcsolatot, azaz a várható hozam kockázat, illetve az értékpapír hozam piaci hozam párok lieáris kapcsolatba állak egymással. Ebbe az esetbe a lieáris regresszió haszálata a legcélszerűbb, hisze a paramétereket gyorsa, kis számítási kapacitással megbecsülhetük például a legkisebb égyzetek módszerével, azaz (19) egyeletre adódik (az egyszerűség kedvéért az idexeket elhagyva), hogy mˆxˆ ˆ x. (3) A (1) és a (3) összefüggést a ()-be helyettesítve, a T értékére kapuk, hogy T h i1 k1 k1 ahol w(x i ) = 1 bármely i-re. KhXi XkYi K X X h i k k1 K X X ˆ ˆ X h i k k k1 K X X h i k wx, (4) A liearitási próba a korábba bemutatott hétlépéses hipotézis vizsgálat alapá törtéik. Ameyibe a hipotézist elvetük, a lieáris módszerek em haszálhatók paraméterbecslésre, mivel a lieáris regresszióval becsült paraméterek torzítottak és ikozisztesek leéek. Ebbe az esetbe más módszert kell alkalmazuk. i 6 Eél az esetél is azért em haszáluk a súlyfüggvéyt, hogy a kiugró értékek (outlierek) eletőségét e csökketsük. 7 Az így geerált mita telesíti a három szükséges feltételt, azaz E * * *3 i, E i ˆ, i E i ˆ3. i

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 11 Kockázatbecslés és telesítméymérés A CAPM szeriti lieáris világba egy adott értékpapír kockázatát a karakterisztikus egyees meredekségével, a bétával tuduk méri; az abormális, egyesúlyitól eltérő telesítméyt pedig ugyaeek az egyeesek a tegelymetszetével, a Jese-alfával (Jese [1968]). Béta-becslés A relevás, em diverzifikálható kockázatot a lieáris regresszióval becsült ˆ-val, azaz a karakterisztikus egyees meredekségével ellemezhetük. Nemlieáris esetbe, ez a ˆ em haszálható, így szemiparametrikus módszerekkel próbáluk a kockázatot közelítei. Nemparametrikus módszerről lévé szó, a kerelregresszió eseté a klasszikus értelembe vett ˆ-k em adottak, így csak szemiparamterikus bétákat tuduk becsüli. Härdle és szerzőtársai [4] szerit x potba ˆ x ˆ x, ˆ x,..., ˆ T p x 1 megbecsülhető p x Yi Xix pxix 1... Khx Xi (5) i1 mimalizálásával. Ez a súlyozott legkisebb égyzetek módszere (WLS), ahol a súlyok (4)- be defiiáltak. A súlyozott legkisebb égyzetes szemiparametrikus bétabecslés T T ˆ x X WX X WX p 1 X1x X1x X x 1 p 1 X x X x X x ahol X, p 1 Xx Xx X x 1, (6) Y K 1 h x X 1 Y ahol p a regresszió fokszáma, Y, W Kh x X. Khx X Y A (6)-ba defiiált becslést lokális poliomiális regresszióak evezzük (lásd Härdle és szerzőtársai [4]). A ˆ(x) vektorak ayi eleme va, amekkora a becsült egyelet fokszáma, így például ˆ (x) az ˆm h (x) regressziós függvéy lokális kostas becslése, ami maga a Nadaraya Watso-féle kerelregresszió. ˆ 1 (x) az x pot kis köryezetébe közelíti m (x)-et, azaz a deriváltat, amiből már az átlagos meredekség meghatározható. A CAPM modell lieáris, tehát azt feltételezi, hogy a regresszió fokszáma egy, ezért mi a lokális poliomiális regresszió fokszámát egyek vesszük, és így határozzuk meg a béta szemiparamétert. Bludell Duca [1991] alapá a béta egyszerűe a becslés deriváltáak várható értéke, azaz ˆ * ˆ 1 Em ˆ h x 1X i. (7) i1

1 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid Ezzel emlieáris kapcsolat eseté is ó becslést adhatuk a piaci kockázatra. Eek a módszerek az az előye, hogy figyelembe veszi azt is, ha a karakterisztikus egyees liearitása csak bizoyos szakaszo sérül; em kíváa meg azt, hogy az adott vállalat kockázata kostas legye bármilye piaci körülméyek között, lehetőséget ad, hogy extrém piaci körülméyek között a felhaszáló tudo extrém kockázatot becsüli, ezáltal a mérték egy realisztikusabb képet fest a valós kockázatról. Alfa-becslés A ormális hozamtól való eltérést, azaz az abormális telesítméyt Jese [1968] a karakterisztikus egyees tegelymetszetével (az alfával) mérte. Abba az esetbe, ha a liearitás sérül, ez em árható út, mivel a becsült alfa torzított és ikozisztes lee. A béta-becsléshez hasolóa szemiparametrikus mértéket foguk levezeti. Az átlagos telesítméyt meghatározhatuk az átlagos kockázatak megfelelő hozam feletti többlettel, ezt evezzük alfaak vagy szemiparametrikus alfáak. Legye az alfa becslése * * ˆ ˆ ˆ * 1 E x Y i Xi, (8) i1 ahol ˆ * (7)-be defiiált. A Jese-féle alfa csak akkor ó telesítméymérték, ha a karakterisztikus egyees midehol potosa alfával va a CAPM által kielölt hozam felett, ez csak lieáris összefüggés eseté áll fe. A (8)-ba defiiált mérték ezzel elletétbe mide x potra meghatározza az abormális hozam értékét, ami potokét eltérő lehet, és ezek átlagakét adódik az átlagos telesítméy. Adatok Az elemzéshez 5-5-5 vállalatot választottuk ki véletleszerűe az S&P 5, S&P MidCap 4 és S&P SmallCap 6 idexekből. Ezek az idexek ól reprezetálák a agy-, a közepes és a kisvállalatok tőkepiaci hozamait. A piaci hozam a CRSP adatbázisába elérhető, piaci kapitalizációval súlyozott, osztalékkal korrigált idex hozama (VWRETD), amely a New York Stock Exchage (NYSE), az America Stock Exchage (AMEX) és a Nasdaq részvéyek hozamait követi. A kockázatmetes hozam a CRSP adatbázis egy hóapos amerikai diszkotkicstáregy api hozama. A regressziós elemzéshez a kockázatmetes, a piaci és a részvéyek api hozamát a szakirodalomba elfogadott, 1 éves időtartamra vettük, 1999. auár 4-től 8. december 31-ig. A felhaszált adatok túlélési torzítástól (lásd Elto és szerzőtársai [1996]) em metesek, azaz csak azok a vállalatok kerülhettek be az adatbázisba, amelyek a vizsgált időszak végé még a piaco voltak. Ez torzíthata a becsült paramétereket, hisze az átlagosál agyobb a kockázatuk azokak a vállalatokak, amelyek csődbe meek, és esetleg szigifikása alultelesítik a piacot. Meg kell egyezi, hogy a túlélési torzítás az átlagosál csekélyebb lehet azáltal, hogy a agyvállalatok mellett közép- és kisvállalatokat is bevotuk az elemzésbe. A módszerek gyakorlati illusztrálására a felhaszált adatbázisból véletleszerűe választottuk egy részvéyt, a Lowe s Compaies Ic. részvéyét (LOW), amely S&P 5 kompoes. Szité véletleszerűe választottuk egy vállalatot a Natioal Oilwell Varco Ic.-t, ami S&P 5 kompoes, amelyek a karakterisztikus egyeese em lieáris.

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 13 Eredméyek A következőkbe a véletle választással kielölt LOW részvéye illusztráluk a módszertai részbe bemutatott becsléseket és az ehhez kapcsolódó hipotézisvizsgálatot. A Lowe s vállalat karakterisztikus egyeeséek becslése a 4. ábra A) részé látható. A folytoos görbe a (3)-ba defiiált kerelregressziót, a szaggatott egyees a ()-be megadott lieáris regresszió, a potozott görbe a kerelregresszió kofideciasávát mutata. A kerelregresszió R értéke közel 4 százalékkal agyobb (,369 szembe a,356-tal), az alfa értéke szigifikása em külöbözik, égy tizdesegyre megegyezek, azoba a béta értékét a lieáris regresszió eletőse alulbecsli (1,15 versus 1,9). A 95 százalékos szigifikaciaszite em tuduk elveti a Lowe s karakterisztikus egyeeséek liearitását, amely eredméyt a kerelregresszió 95 százalékos kofideciasáva is alátámaszt. 8 Ezzel szembe az ábra B) részé, a Natioal Oilwell Varco Ic. liearitását elvetük. 4. ábra Karakterisztikus egyeesek becslése * A) Lowe s Compaies Ic. B) Natioal Oilwell Varco Ic.,1,5,5,1 r LOW r f,6,,,6 Adatpot Lieáris regresszió r NOV r f,3,,1,1, r m r f,6,,,6 Kerelregresszió 95 százalékos kofideciasáv r m r f * Az ábrá kétféleképpe becsültük meg a két vállalat karakterisztikus egyeesét: 1. kerelregresszióval, emparametrikus CAPM-két, azaz becsültük az rrf mˆhrmrf ˆ modellt, ahol r r f az adott részvéy kockázati prémiuma, r M r f a piaci kockázati prémium. Az alkalmazott módszer leírását lásd az 1. ábra egyzetébe;. lieáris regresszióval (szaggatott voal) rrf ˆ ˆ rmrf ˆ formába. ˆ és ˆ az egyes modellek reziduumai. A modellbe a piaci hozam a piaci kapitalizációval súlyozott CRSP-idex hozama, a kockázatmetes hozam pedig az amerikai egy hóapos diszkotkicstáregyek api hozama. Az ábrá potozott voallal ábrázoltuk a kerelregresszió 95 százalékos kofideciasávát. Az elemzés sorá mid a 15 darab véletleszerűe választott részvéyre elvégeztük a számításokat. Az eredméyt az idexek alapá három csoportra osztottuk. Az R alapá midhárom csoportba obba telesített a kerelregresszió. A liearitáspróba szerit a agy vállalatokál (S&P 5) 95 százalékos szigifikaciaszite az 5 részvéyből kilecél utasítható el a karakterisztikus egyees liearitása. Ez madem eléri a százalékos értéket, ami szigifikás eredméyek modható, így elvethetük az S&P 5 idex részvéyeiek hozama és a piaci hozam közötti lieáris kapcsolatot 8 A T-próba sorá a wild bootstrap elárással 5-szer geeráltuk ú mitát.

14 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid (a karakterisztikus egyees liearitását). A közép- (S&P MidCap 4) és kisvállalatokál (S&P SmallCap 6) csupá 4 százalékba, két-két esetbe vetettük el a ullhipotézist, azaz a liearitást 95 százalékos szigifikaciaszite em tuduk elveti. Megegyezzük, hogy a kis- és középvállalatok karakterisztikus egyeeséek liearitása 94 százalékos szigifikaciaszite már elvethető. Összességébe 15 részvéyből 13 (8,7 százalék) eseté utasíthatuk el a liearitást, azaz 95 százalékos szigifikaciaszit mellett elvethető az amerikai részvéyek karakterisztikus egyeeséek liearitása; az eredméyeket az F1. táblázatba foglaltuk össze. A S&P 5-vállalatok 18 százalékába, míg a teles mita 8,7 százalékába utasítuk el a liearitást, ezekbe az esetekbe a lieáris regresszió paraméterbecslése torzított, ezért a kockázatot ( bétát ) és az abormális hozamot ( alfát ) emparametrikus módszerrel kell megbecsüli. A két külöböző becslés az alfákba em mutat szigifikás külöbséget, viszot a lieáris regresszió bétái átlagosa 11 százalékba térek el a kerelregresszióétól, ami már szigifikás külöbségek modható. A kis- és középvállalatok eseté elfogaduk a liearitás ullhipotézisét, így haszálható lee a lieáris regresszió alapuló becslés is. A agyvállalatok esetébe a becsült abormális hozam a kerel- és a lieáris becslés alapá em tér el szigifikása, sem azokál a vállalatokál, ahol a liearitás elutasítható (átlagosa,5 versus,5), sem azokál, ahol em vethető el (átlagosa,4 versus,4). A béta kerelbecslése azoba a emlieáris karakterisztikus egyeesek esetébe eletőse eltér a lieáris becsléstől (átlagosa 1,31 versus 1,1), ahol a liearitást em lehet elveti, ics ilye szigifikás eltérés (átlagosa,9 versus,9). A közepes méretű vállalatok eseté sics eletős külöbség a tegelymetszetbe, a liearitás elvetése eseté átlagosa,14 versus,13, ha em tuduk elveti a ullhipotézist, akkor pedig megegyezek (átlagosa,5). A béta-becslésél itt is eletősebb az eltérés, ha a liearitást elvetük, akkor átlagosa 1,7 versus 1,39, ha em vetük el, akkor pedig átlagosa,93 versus,94. A kisvállalatok esetébe az alfa, ha a karakterisztikus görbe liearitását em tuduk elveti, akkor átlagosa megegyezik midkét becslésél (,7), a béta pedig kerelbecslés eseté 1,, míg lieáris becslés eseté,91. Ha a liearitást elvetük, az alfák akkor is megegyezek (,8), míg a béták em külöbözek szigifikása (1,33 versus 1,34). Összességébe a paraméterbecslésekről elmodható, hogy az alfa kerelbecslése szigifikása em külöbözik a lieáristól, ellebe a lieáris regresszió átlagosa alulbecsüli a bétát azokál a vállalatokál, ahol a karakterisztikus görbe liearitása elvethető. A béta átlagos agysága fordította aráyos a vállalatmérettel, megerősítve a kisvállalathatást (lásd például Baz [1981], Basu [1983]). Azokak a vállalatokak a bétáa, amelyek karakterisztikus egyeese emliearitást mutat, magasabb, ami igazola azt a feltevésüket, hogy az extrém értékek okozhaták a liearitás sérülését, mivel az extrém megfigyelések övelik a kockázatot, másfelől a kiugró értékeket esetleg a piac eheze tuda magyarázi, ezáltal a liearitás sérülhet. Meglepő eredméy, hogy ha a liearitást elvetük, akkor a bétabecslésbe em a kisvállalatok esetébe a legagyobb az eltérés a két módszer között, haem a középvállalatok esetébe, igaz, az adatbázisukba midössze csak két középvállalat eseté tuduk elveti a ullhipotézist. Ameyibe a liearitás sérül, a agyvállalatok esetébe is eletős a külöbség a két becslés között, ami az előző eredméyel együtt arra utal, hogy a liearitás ics összefüggésbe a vállalatmérettel. Az 5. ábra A) részé a Lowe s Compaies Ic. karakterisztikus egyeeséek meredekségét ábrázoltuk a piaci kockázati prémium függvéyébe. Az ábrá ól látszik, hogy a becsült relevás kockázat em álladó, a széleke ige változékoya viselkedik, ráadásul a pozitív oldalo egyértelműe övekvő kockázatot becsül. Az ábra B) részé a Natioal Oilwell Varco Ic. derivált becslése látható. A kockázat itt is hasolóa viselkedik, ormál

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 15 piaci körülméyek között agyából lieáris, azoba extrém körülméyek között ige változékoya viselkedik. 5. ábra Szemiparametrikus deriváltbecslés * (WLS, Nadaraya Watso-súlyok) A) Lowe s Compaies Ic. B) Natioal Oilwell Varco Ic. Meredekség Meredekség 6 5 4 3 1 1,6,,,6 r m r f 15 1 5 5 1 15,8,4,,6 r m r f Deriváltbecslés * Az A) és a B) részbe véletleszerűe választott részvéyek karakterisztikus egyeeseit kerelregresszióval becsültük. A modell emparametrikus CAPM, r r f m ˆ LOW h r m rf ˆ formába adható meg, ahol r r f az adott részvéy kockázati prémiuma, r M r f a piaci kockázati prémium, ˆ pedig a regresszió reziduuma. Az alkalmazott módszer leírását lásd az 1. ábra egyzetébe. Az ábrá a becsült regresszió meredekségét ábrázoltuk a piaci kockázati prémium függvéyébe. A em kostas becslések több oka is lehet, egyrészt elképzelhető, hogy a széleke sérül a liearitás, emiatt a derivált em kostas, másrészt az eloszlás szélei a megfigyelések száma lecsökke, ami miatt a becslés zaos lehet. Az eloszlás közepé a béta agyából kostasak tekithető, összhagba a CAPM-mel. A 6. ábra A) részé látható a Lowe s telesítméybecslése mide x potba. Normális piaci körülméyek között az alfa viszoylag stabil, és közel va a ullához, a piac extrém pozitív és egatív elmozdulásaira azoba már eltérőe reagál az értékpapír. A becslés alapá azt állíthatuk, hogy a egatív oldalo a részvéyárfolyam halamos lehet a piachoz képest túlreagáli a egatív elmozdulásokat. A pozitív oldalo ezzel szembe szigifikás pozitív telesítméyt mértük, miél agyobb az extrém piaci elmozdulás, aál agyobb az abormális hozam. Meg kell azoba egyezi, hogy a széleke a regresszió sokkal potatlaabbul becsül, hisze az extrém piaci mozgások valószíűsége viszoylag kicsi, a ormál szitektől távolodva a megfigyelések előfordulási valószíűsége folyamatosa csökke. Az ábra B) részé a Natioal Oilwell Varco Ic. telesítméybecslését ábrázoltuk. Itt is hasoló eredméyre utottuk, ormál piaci körülméyek között az alfa viszoylag stabil, és szigifikása em külöbözik ullától, míg extrém helyzetekbe a egatív oldalo szigifikás egatív, de a pozitív oldalo szigifikás pozitív az abormális hozam értéke. Eek az eredméyek fotos üzeete va a portfóliókezelők számára, a piacot csak extrém körülméyek között lehet megveri. Az értékpapír-piaci egyeesek felrazolásához az F1. táblázatba szereplő szemiparametrikus bétákat mit magyarázó változókat, illetve a api átlagos hozamokat mit függő változókat haszáltuk, a. táblázatba az értékpapír-piaci egyeesek paraméterei olvashatók csoportok szerit felosztva.

16 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid Abormális telesítméy,3,,1 6. ábra Szemiparametrikus telesítméybecslés * (WLS, Nadaraya Watso-súlyok) A) Lowe s Compaies Ic. B) Natioal Oilwell Varco Ic. Abormális telesítméy,1,5,1,,6,,,6 r m r f,5,1,6,,,6 r m r f Alfabecslés * A karakterisztikus egyeeseket kerelregresszióval becsültük. A emparametrikus CAPM-modell rrf mˆhrmrf ˆ formába adható meg, ahol r r f az adott részvéy kockázati prémiuma, r m r f a piaci kockázati prémium, ˆ pedig a regresszió reziduuma. Az alkalmazott módszer leírását lásd az 1. ábra egyzetébe. Az ábrá a becsült regresszió szemiparametrikus alfáát az abormális telesítméyt ábrázoltuk a piaci kockázati prémium függvéyébe.. táblázat Értékpapír-piaci egyeesek paraméterei * S&P 5 S&P MidCap 4 S&P SmallCap 6 Összes vállalat E(r) (a realizált átlagos hozam),4798,683,6749,5877 p-érték,144,78,76,688 h (sávszélesség),54 15,896 18,78 14,751 R KR,1169,1311,885,44 ˆ KR,41,17,1,54 KR ˆ,81,47,344,85 R LR,516,143,63,1 ˆ LR,19,141,957,439 LR ˆ,96,486,8,15 Megfigyelések száma 5 5 5 15 * Kétféle regresszióval számoltuk: 1. kerelregresszióval, amit az r mˆ h ˆ ˆ formába becsültük, ahol r, a -edik vállalat átlagos hozama, ˆ a -edik vállalat karakterisztikus egyeeséek szemiparametrikus módszerekkel becsült meredeksége, ˆ a reziduum. Az alkalmazott módszer leírását lásd az 1. ábra egyzetébe;. lieáris regresszióval, amit pedig az r ˆ ˆˆ ˆ formába becsültük, ahol ˆ a maradéktag. Megfigyelhető, hogy a középvállalatok értékpapír-piaci egyeeséek meredeksége a legagyobb (,47), mad ezt követik a agyvállalati részvéyek (,81). A S&P Small- Cap 6 idex esetébe ez az érték egatív (,344), azaz a agyobb kockázat kisebb

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 17 várható hozamot produkál. Ez az eredméy összefüggésbe lehet a kisvállalati hatással, azaz a kisvállalatok várható hozama magasabb (lásd például Baz [1981], Basu [1983], Fama Frech [1995], [1996]). A 15 részvéyre számított értékpapír-piaci egyees meredeksége,85. Az egyes idexekhez, valamit az összes vállalatra számított értékpapírpiaci egyeeseket lásd a 7. ábrá. A liearitáspróbák alapá úgy tűik, hogy a szemiparametrikus béta (kockázat) és a hozam között lieáris kapcsolat va. Átlagos hozam x1 3 1,5 1,,5,5 1, 1,5 7. ábra Értékpapír-piaci egyeesek A) S&P 5 B) S&P MidCap 4 Átlagos hozam x1 4,6 1, 1,4 1,8 Kockázat 15 1 5 5,5 1, 1,5, Átlagos C) S&P SmallCap 6 Átlagos D) Összes vállalat hozam hozam 3, x1 3 3, x1 3,5,5,, 1,5 1,5 1, 1,,5,5,5,5 1, 1, Kockázat 1,5,4,8 1, 1,6,,4,8 1, 1,6, Kockázat Kockázat * Lásd a. táblázat egyzetét. Lieáris regresszió Kerelregresszió 95 százalékos kofideciasáv * Eredméyeik szerit a hozam és a kockázat közti liearitás em mide esetbe áll fe, így a lieáris modellek általáosa em alkalmazhatók a karakterisztikus és értékpapírpiaci egyeesek meghatározására. Az általuk összeállított emparametrikus, illetve szemiparametrikus elárás paraméterei megbízhatóbb becslést teszek lehetővé mid a várható hozamok, mid a relevás, piaci kockázati mérőszám tekitetébe. A kutatás folytatásakét érdemes lee áttekitei, hogy vao a többfaktoros modellek Fama Frech [1996] háromfaktor-modelle, a Carhart [1997] égyfaktor-modelle egyes paraméterbecslései eseté milye mértékbe helytálló a liearitás feltételezése.

18 Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid Hivatkozások BANZ, R. W. [1981]: The Relatioship betwee Retur ad Market Value of Commo Stocks. Joural of Fiacial Ecoomics, 9. 3 18. o. BASU, S. [1983]: The Relatioship Betwee Earigs Yield, Market Value ad Retur for NYSE Commo Stocks: Further Evidece. Joural of Fiacial Ecoomics, 1. 19 156. o. BLUNDELL, R. DUNCAN, A. [1991]: Kerel Regressio i Empirical Microecoomics. Joural of Huma Resources, 33. 6 87. o. CARHART, M. M. [1997]: O Persistece i Mutual Fud Performace. Joural of Fiace, 5. 57 8. o. ELTON, E. J. GRUBER, M. J. BLAKE, C. R. [1996]: Survivorship Bias ad Mutual Fud Performace. The Review of Fiacial Studies, 9. 197 11. o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1995]: Size ad Book-to-Market Factors i Earigs ad Returs. The Joural of Fiace, 5. 131 155. o. FAMA, E. F. FRENCH, K. R. [1996]: Multifactor Explaatios of Asset Pricig Aomalies. The Joural of Fiace, 51. 55 84. o. HÄRDLE, W. MAMMEN, E. [1993]: Comparig Noparametric Versus Parametric Regressio Fits. The Aals of Statistics, 1. 196 1947. o. HÄRDLE, W. MÜLLER, M. SPERLICH, S. WERWATZ, A. [4]: Noparametric ad Semiparametric Models. Spriger Series i Statistics, 1 4. feezet. JENSEN, M. [1968]: The Performace of Mutual Fuds i the Period 1945 1964. The Joural of Fiace, 3. 389 416. o. LAGARIAS, J. C. REEDS, J. A. WRIGHT M. H. WRIGHT, P. E. [1998]: Covergece Properties of the Nelder-Mead Simplex Method i Low Dimesios. SIAM Joural o Optimizatio, 9. 11 147. o. LINTNER, J. [1965]: The Valuatio of Risk Assets ad The Selectio of Risky Ivestmets i Stock Portfolios ad Capital Budgets. The Review of Ecoomics ad Statistics, 47. 13 37. o. MOSSIN, J. [1966]: Equilibrium i a Capital Asset Market. Ecoometrica, 4. 468 483. o. NADARAYA, E. A. [1964]: O Estimatig Regressio. Theory of Probability ad Its Applicatios, 9. 141 14. o. ROSS S. A. [1976]: The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricig. Joural of Ecoomic Theory, 13. 341 36. o. SHARPE, W. F. [1964]: Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium uder Coditios of Risk. The Joural of Fiace, 19. 45 44. o. SILVERMAN, B. W. [1986]: Desity Estimatio for Statistics ad Data Aalysis. Moographs o Statistics ad Applied Probability. Chapma ad Hall, Lodo. STAPLETON, R. C. SUBRAHMANYAM, M. G. [1983]: The Market Model ad Capital Asset Pricig Theory: A Note. The Joural of Fiace, 38. 1637 164. o. WATSON, G. S. [1964]: Smooth Regressio Aalysis. Sakhya Series, 6. 359 37. o. WU, C. F. J. [1986]: Jackkife, Bootstrap ad Other Resamplig Methods i Regressio Aalysis. Aals of Statistics, 14. 161 195. o. Függelék Az F1. táblázat A), B) és C) részébe véletleszerűe választott 5 agy-, 5 közép- és 5 kisvállalat kockázati prémiumára illesztett regressziók futási eredméyei láthatók. Kétféle regresszióval számoltuk: 1. kerelregresszióval, azaz emparametrikus CAPM-modellel, amit az rrf mˆhrmrf ˆ formába becsültük, ahol r r f a -edik vállalat kockázati prémiuma, r M r f a piaci kockázati prémium, h a kerelregresszió keresztvalidációs bütetőfüggvéyel optimálisa választott sávszélessége;. lieáris regresszióval, amit pedig az rrf ˆ ˆ rmrf ˆ formába becsültük. E(r) az adott vállalat becslés időszakába realizált átlagos hozama.

Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 19 Azoosító F1. táblázat A emparametrikus és a lieáris karakterisztikus görbék futási eredméyei A) S&P 5 Megfigyelések száma E(r) p-érték h R KR ˆ KR ˆKR R LR ˆ LR ˆLR ACAS 515,1,6,39,34,,9,9, 1,9 AES 515,5,5,58,15,4 1,13,14,4 1,17 APH 515,11,5,4,34,1 1,19,33,1 1,18 BA 515,4,5,43,9,3,8,7,3,83 BAX 515,5,1 *,49,15,4,55,13,4,5 BJS 515,9,8,84,19,9,85,17,9,98 BMC 515,4, **,4,5,4 1,49,4,4 1,3 BRL 59,1,31,44,1,9,65,9,9,63 CPWR 515,1,5 **,4,3,1 1,5,,1 1,41 D 515,5,56,7,19,4,43,19,4,49 DD 515,,36,41,36,1,84,35,1,86 DHI 515,7,4,36,3,6 1,53,9,6 1,34 DOV 515,,36,38,44,1 1,1,44,1,97 FDX 515,4,4 **,39,31,3,93,3,3,87 FO 515,4,14,39,8,3,66,6,3,66 GM 515,5,47,77,9,6 1,13,8,6 1,9 HCBK 383,11,64,79,6,1,55,6,1,61 HCP 515,8,6 *,66,3,7,64,7,7,8 HPC 483,,7,37,3,,95,,,93 HSP 1175,,16,37,4,1,67,1,1,6 KFT 1898,1,6,49,,,39,,,49 LMT 515,5,48,61,13,4,44,1,4,51 LOW 515,5,,41,37,4 1,15,36,4 1,9 LSI 515,5,6 *,39,33,5 1,91,31,5 1,76 LXK 515,, ***,41,18, 1,9,17,,94 MDT 515,1,7,43,1,,61,,,64 MI 515,,19,55,4,1,93,35,1 1,1 MTW 515,5,6,6,3,5 1,1,31,5 1,5 MUR 515,9,7 *,71,3,8,6,,8,77 MWW 515,8,1,39,3,7 1,98,9,7 1,77 NOV 515,1,4 **,38,6,11 1,4,,11 1,1 NUE 515,11,3,39,36,1 1,5,34,1 1,7 ORCL 515,9, **,4,36,9 1,59,35,9 1,49 PAYX 515,4, ***,39,3,3 1,11,3,3 1,1 PG 515,3,1,56,15,,43,13,,44 QCOM 515,16,4,39,31,16 1,7,3,16 1,51 S 515,6,6 *,53,9,7 1,1,5,6 1,5 S 1565,6,6,8,17,4,9,16,4,9 SLE 515,1,14,55,1,,5,18,,56 SPG 515,7,8,7,37,6,68,3,6,9 SRE 515,5,31,51,4,4,55,1,4,6 SYMC 515,1, **,4,,1 1,7,1,1 1,19 TDC 316,15,3,63,46,4,81,4,4,85 TE 515,1,5,54,19,,58,16,,61 TGT 515,4,39,39,36,3 1,9,34,3 1,6 TLAB 515,1, ***,39,3, 1,76,8, 1,5 WFR 515,18,45,36,17,17 1,77,16,17 1,75 WLP 185,6,1,36,4,5,66,19,5,68 WLP 1486,1,7,65,6,8,45,5,8,4 ZMH 186,3,,38,,3,69,,3,65 Átlag 36,5,48,6,4,97,4,4,98

Erdős Péter Ormos Mihály Zibriczky Dávid Azoosító Megfigyelések száma B) S&P MidCap 4 E(r) p-érték h R KR ˆ KR ˆKR R LR ˆ LR ˆLR AAI 515,11,6,63,17,1 1,41,16,1 1,4 AMG 484,7,34,57,45,6 1,3,43,6 1,38 ARG 515,1,49,48,4,9,99,3,9 1,3 AVCT 118,3,6 *,53,6,4 1,5,5,4 1,44 BRO 515,8,1,47,1,7,65,,7,64 CLF 515,13,6 *,4,3,13 1,13,6,13 1,35 CMG 737,1, ***,38,9,14 1,4,4,13 1, CPT 515,5,7,83,3,4,6,7,4,76 CR 515,1,9,31,39,,94,33,,9 CWTR 515,1,16,36,15,1 1,31,13,1 1,5 CXW 515,5,51,6,7,4,71,6,4,69 DCI 515,7,68,43,31,6,8,31,6,84 ELY 515,4,41,46,,4 1,,1,4,98 ENR 168,7,1,54,18,7,71,17,7,71 FMER 515,3,38,33,4,,96,35, 1,1 FNFG 363,9,3,53,4,8,74,,8,77 FTO 515,15,1 *,37,,15,9,18,15 1,9 HBI 581,3,3,69,3,1,91,8,1 1, HE 515,3,89,6,18,,41,18,,39 HMA 515,,8 *,8,11,3,51,6,3,61 HNI 515,,5,74,5,1,84,5,1,93 HRC 515,,35,45,14,1,47,13,1,5 HRL 515,5,5,36,11,4,46,9,4,38 IDXX 515,7,63,46,16,6,77,16,6,75 IEX 515,6,68,4,35,5,9,34,5,9 IRF 515,8,7 *,35,31,8 1,71,9,8 1,51 JBHT 515,1,3,43,3,1 1,6,,1 1,1 JBLU 1673,,67,5,1, 1,,1, 1,14 KMT 515,6,1,41,38,6 1,4,37,6 1,9 LRCX 515,14, **,38,35,13,4,3,13 1,77 MEG 515,6,6 1,5,16,7,8,15,7 1,7 MRX 515,,31,4,17,1,77,16,1,8 MTX 515,,58,44,3,1,8,3,1,84 MVL 515,14,41,4,9,13,76,9,13,79 NHP 515,7,14,54,31,6,77,9,6,83 OII 515,1,15,53,18,9,86,16,1,94 ORLY 515,7,8 *,38,,6,94,,6,89 OSK 515,7,65,49,,6,94,18,6,94 PSD 515,3,43,63,13,,41,13,,38 RS 515,8,8 *,44,37,7 1,1,34,7 1,9 RYL 515,9,53,45,9,8 1,4,8,8 1,7 SKS 515,1,3,39,,1 1,9,19,1 1,5 SRCL 515,14,44,39,11,13,67,1,13,64 TECD 515,1,7,4,,1 1,19,,1 1, THG 515,,4,37,3,,93,,,93 UTHR 347,15,6,34,9,16,97,8,16,83 UTR 515,1,8,5,36,,8,3,,9 VARI 46,1,3,33,5,11 1,7,3,11 1,16 WBS 515,1,14,44,39,,93,37, 1, WOR 515,5,18,41,3,4 1,1,3,4 1,15 Átlag 4,6,48,4,6,96,,6,96

Azoosító Egyees-e a CAPM karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? 1 Megfigyelések száma C) S&P SmallCap 6 E(r) p-érték h R KR ˆ KR ˆKR R LR ˆ LR ˆLR ABM 454,6,38,4,5,3,85,3,3,8 ACLS 77,,63,54,7,3,,6,4 1,84 CASY 46,4,6 *,44,3,6 1,5,1,6,86 CCRN 1766,4,8,41,19, 1,5,18,,97 DNEX 473,6,39,5,,4,95,,4,86 EE 373,3,4,54,1,5,74,1,5,66 GFF 396,1,38,51,,3,9,,3,9 GTIV 14,1,31,4,15,16,8,13,16,7 HMSY 313,5,37,9,3,13,46,3,13,51 HOMB 67,9,36,75,3,13 1,6,8,13,81 HTLD 44,9,11,4,1,8 1,,,9,85 INT 41,4,3,77,3,13,79,19,1 1, ISYS 45,6,96,56,11,7,87,11,7,86 KNOT 19,5,84,91,4,3,68,4,3,85 MANT 1716,,4,48,11,11,94,1,11,71 MFB 85,13,65,57,31,1 1,5,3,1 1,19 MNT 461,9,8 3,31,1,9,68,4,9,48 MNT 398,1,3 1,1,1,,3,1,,19 MOH 1366,5,,9,1,3,61,1,3,7 MTH 417,1,7,7,5,14 1,56,1,14 1,48 NILE 115,14,5,57,16,5 1,3,14,5,99 NOVN 44,1,5,5,9,1 1,4,8,1,94 NPK 431,7,4,67,8,6,57,6,6,65 NSIT 478,5,65,43,19,3 1,44,18,3 1,31 NTRI 137,13,5,56,5,5 1,3,4,5,78 NWK 44,1,35,54,11,4 1,3,11,4 1,9 ONB 387,1,64,67,6,,77,5,,75 PBY 48,,31,35,1,1 1,3,19,1 1,16 PEI 397,4,3 **,86,34,1,75,8,1 1,1 PENX 396,6,35,64,8,4,65,8,4,7 PRFT 8,5,6,65,4,,94,3, 1,1 PRGS 461,9,5,4,,4 1,8,,4,99 PVTB 55,14,67,54,1,1,74,11,1,65 RADS 439,1,49,4,17,9 1,39,15,9 1,41 RBN 44,,8 *,41,1,5,9,19,5,89 SAFM 4,16,8 *,35,11,1,79,9,1,67 SKT 46,6,14,56,9,9,68,6,9,7 SLXP 1997,1,8,58,9,9 1,15,8,9,9 SNS 397,,61,64,15,1,96,15,1,8 SNS 16,11,44 1,1,5,7,51,6,7,57 SSS 434,4,36,55,34,6,68,31,6,78 SUP 464,4,54,49,6,1,87,5,1,8 SYMM 43,5,3,47,17,8 1,53,16,8 1,33 TSFG 446,5,13,38,31, 1,6,4, 1, TXRH 146,,14,3,3, 1,43,,,87 UEIC 46,,48,4,16,9 1,13,16,9 1, UNS 381,1,19,5,1,5,54,,5,61 VECO 48,,1,46,8,1 1,88,4,1 1,56 VSEA 49,,3 **,3,3,14 1,9,7,14 1,67 ZEP 87,3,54 1,,39,4 1,1,38,38 1,7 Átlag 5,7,63,19,7 1,1,17,7,9 * 9 százalékos, ** 95 százalékos, *** 99 százalékos szigifikaciaszite a ullhipotézis (a kerelregresszió em külöbözik a lieáris regressziótól) elutasítása.