TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) Muna és energia mozgásegyenlet megoldásáoz a tömegpontra ató erő időfüggéséne ismerete szüséges ami igen omoly neézségeet ooz z erőatásoat megadó erőtörvénye ugyanis általában az erő elyfüggését adjá meg így az erő időfüggéséne megadásáoz ismerni ellene a elyvetor időfüggését vagyis tudni ellene a mozgásegyenlet megoldását probléma megoldását az teszi leetővé ogy az erő elyfüggéséne ismeretében bevezetető egy olyan mennyiség amelyre (bizonyos feltétele mellett) megmaradási törvény érvényes Eez a mennyiségez a muna bevezetésével jutatun el muna fogalma Egy tömegpontra ató F erő aor végez munát a az erő műödése özben (de nem feltétlenül anna izárólagos atására) a tömegpont elmozdul végzett elemi munát ( ) egy elemi r elmozdulás során az erő és az elmozdulás saláris szorzataént definiálju (baloldali ábra): = F r Látató ogy mecaniai definíciója szerint a muna előjeles mennyiség továbbá mecaniai értelemben egy erő nem végez munát a nincs elmozdulás vagy a az elmozdulás merőleges az erőre r i F α r F T =Fcosα r F i F Véges elmozdulásnál az elmozdulás során változat az erő nagysága és iránya is ezért az elmozdulást elemi szaaszora ell bontani (jobboldali ábra) és a munát özelítőleg az elemi muná összege adja meg muna pontos értéét úgy apju meg ogy a felosztást finomítva megeressü az összeg atárértéét: = lim Fi ri = r 0 i F Enne a atárérténe a jelölésére szolgál a fenti integrál amelyet az erő görbére vonatozó vonalintegráljána nevezne Állandó erő és egyenes pályán történő s nagyságú elmozdulás (út) esetén ebből megapju az egyszerűbb özismert = Fscosα alaot aol α az erő- és elmozdulásvetor által bezárt szög Munatétel mozgási energia Ha egy tömegpontra erő at aor enne eredményeént a tömeg gyorsulni fog és az erő özben munát végez muna fogalmána asznossága aor derül i a megnézzü milyen összefüggés van az erő munája és a test sebessége özött?
TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) Számítsu i ogy meora munát végez egy tömegponton a rá ató erő F e eredője a a tömegpont az elyzetből egy elyzetbe megy át mozgásegyenletet és a saláris szorzat oordinátás alaját felasználva azt apju ogy t v = dv e = m vdt = m dt t v F vdv = mv mv vagyis az eredő erő munája az mv mennyiség megváltozásával egyenlő z összefüggés fordítva is érvényes: a felgyorsított test (ideális esetben) ugyanaora munát tud elvégezni a leféeződése árán mint ameora munával felgyorsítottu Más szóval a befetetett muna visszanyerető a test a muna révén jól megatározott munavégző épességre tett szert z Em = mv mennyiséggel egyértelműen megatározott munavégző épességet a tömegpont mozgási energiájána nevezzü Ezzel a definícióval élve teát azt mondatju ogy a tömegpontra ató eredő erő munája a tömeg mozgási energiájána megváltozásával egyenlő: Ezt a törvényt gyaran munatételne nevezi Konzervatív erőtér a elyzeti energia e = F = E e Egy tömegpontna munavégző-épessége nem csa a mozgása öveteztében leet anem egy ülső erőtér jelenléte miatt is Közismert például ogy a neézségi erőtér atására egy tömeg felgyorsulat és enne öveteztében munát tud végezni Ezt a munavégző-épességet a jelenlévő ülső erőtér által a tömegen végzett muna teszi leetővé munavégző-épességről azonban csa aor beszéletün a az egyértelműen megadató Ha egy tömeget a neézségi erőtérben az pontból (ábra) állandó sebességgel függőlegesen felemelün a magasságban lévő P pontba aor F=F z =mg nagyságú felfelé mutató erőt ell ifejtenün és eözben z z P = Fz = mg = mg P P 0 0 munát végzün a neézségi erő ellenében Ugyanaor a lefelé mutató neézségi erő (z-omponense G z =-F z =-mg) az emelés özben F P P ne = = mg G munát végez tömeget a P pontban elengedve a neézségi erő az eredetileg általun végzett munával azonos nagyságú munát végez a testne az pontba való visszatérése özben és a veszteségetől elteintve a tömeg P P = P = mv ne ne = mozgási energiára tesz szert Eszerint a neézségi erőtérben a iszemelt vonatoztatási pontoz viszonyítva magasságra emelt tömegne megatározott munavégző épessége energiája van az erőtér jelenléte miatt példából az is iderül ogy ez az energia az utolsó egyenletben szereplő bármelyi munával megadató az egyértelműség övetelménye miatt azonban jobb az erőtér által végzett munát asználni (a tömeget az erőtérrel szemben m
TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) 3 elmozdító erő leet nagyobb is mint az erőtér által ifejtett erő így a folyamat során a tömeg mozgási energiára is szert teet) Egy testne ilyen munavégző épessége természetesen más erőtér esetén is leet z egyedüli övetelmény az ogy adott pontban lévő testez egyértelműen ozzárendelető legyen az erőtér által végzett muna Ez a fenti példa alapján azt jelenti ogy a vonatoztatási pont és a tömegpont elye özötti elmozdulásnál az erőtér munája nem függet az úttól (ez nem minden erő esetén teljesül: pl súrlódási erő) z ilyen erőet (erőtereet) amelyenél a munavégzés csa az elmozdulás ezdő és végpontjától függ és így független az úttól onzervatív erőne (erőterene) nevezzü z elnevezés onnan származi ogy mint látni fogju ilyen erőtérben mozgó tömeg teljes mecaniai energiája megmarad "onzerválódi" Konzervatív erőtérben (F ) teát általánosan bevezetetjü egy pontszerű testne egy vonatoztatási pontoz viszonyított energiáját tetszőleges P pontban az alábbi módon: P E ( P)= = F d r Ez az energia a testne a vonatoztatási pontoz viszonyított elyzetétől függ ezért elyzeti (vagy potenciális) energiána (E ) nevezi neézségi erőtér a tapasztalat szerint onzervatív így az általános definíció alapján a vonatoztatási pontoz épest magasságban az m tömeg elyzeti energiája (a bevezetőben mutatott példával összangban) E P = ne = mg = 0 P mg fentieből itűni ogy a elyzeti energia a mozgási energiával szemben egy állandó erejéig atározatlan iszen nagysága a vonatoztatási pont megválasztásától függ vonatoztatási ponttól való függés azonban gyaorlatilag nem ooz problémát mert a fiziai folyamato leírásánál általában az energia megváltozása fontos a elyzeti energia megváltozása pedig nem függ a vonatoztatási pont megválasztásától Ezt az állítást az alábbi ábra alapján a övetezőéppen látatju be elyzeti energia megváltozása az elmozdulás során: ( ) = = E E ( ) E ( ) = F F Konzervatív erőtér munája azonban nem függ az úttól ezért a özvetlen elmozdulás során végzett muna ugyanaz mint az úton végzett muna: F = F + F d r Ezt az összefüggést figyelembe véve azt apju ogy E = F F + F = F vagyis a elyzeti energia megváltozása csa az és ponto elyzetétől függ és nem függ az vonatoztatási ponttól z általános energia-muna összefüggés az energiamegmaradás tétele tömegpontra Ha a tömegpont onzervatív (F )- és nem onzervatív (F n ) erő együttes atása alatt mozdul el az pontból a pontba aor a munatétel szerint íratju ogy
TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) 4 ( n) F + F = F + Fn = + n = Em aol és n a onzervatív- illetve nem onzervatív erő munája Tudju viszont ogy a onzervatív erő munájára fennáll ogy = E teát az alábbi egyenletet apju: n = Em + E vagyis a elyzeti- és mozgási energia megváltozásána összege a nem onzervatív erő munájával egyenlő Mivel a elyzeti (E )- és mozgási (E m ) energia E = Em + E összegét rendszerint a tömegpont teljes (mecaniai) energiájána nevezi a fenti állítás így is megfogalmazató: E = n vagyis a tömegpont teljes energiájána megváltozása a nem onzervatív erő munájával egyenlő Ha a tömegpontra csa onzervatív erő atna vagy a rá ató nem onzervatív erő munája nulla aor a tömegpont mecaniai energiája nem változi meg: E = 0 Ez az energia-megmaradás törvénye tömegpontra Példá és alalmazáso Erő és elyzeti energia Egy pontszerű test elyzeti energiája a elyne egyértelmű függvénye Vizsgáljun először egy egyszerű egydimenziós esetet amior a elyzeti energia csa -irányban változi Ebben az esetben a elyzeti energia elyfüggését az E de () () F = E = E() függvény adja meg (ábra) Egy elemi elmozdulás során a elyzeti energia megváltozása de de = Ugyanaor tudju ogy a elyzeti energia megváltozása a + onzervatív erő (esetünben a neézségi erő) munájával is ifejezető: de = F ét ifejezés összeasonlításából látató ogy de( ) F = vagyis az erő -omponense a elyzeti energia-görbe meredeségéből megapató ****************************************************** Általános (árom dimenziós) esetben tetszőleges erőtérben a test elyzeti energiája az E = E( y z) függvénnyel adató meg amine elemi megváltozása egy (dy) elemi elmozdulásnál F T de
TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) 5 de + y dy + z = Másrészt a elyzeti energia megváltozása ifejezető a onzervatív erő elemi munájával is: de = F = ( F + Fy dy + Fz) ét ifejezés összeasonlításából apju ogy F = Fy = Fz = y z vagyis az erő a elyzeti energia elyfüggéséne ismeretében iszámítató ****************************************************** Homogén gravitációs térben lévő m tömeg elyzeti energiája a magasság függvénye Ez a függvény függőlegesen felfelé irányított z-tengely esetén: E ( z ) = mgz tömegpontra ató erő z-omponense a fentie szerint: de ( z ) Fz = = mg (a) ábra alább) ami valóban a lefelé mutató gravitációs erőt adja Megfeszített rugóoz rögzített tömegpont elyzeti energiája a az tengely nullpontja a tömegne a rugó megfeszítetlen állapotáoz E (z)=mgz E tartozó elyzetében van: ()=D / ) ( D ) = 0 E ( = D Természetesen a elyzeti energia deriváltja most is visszaadja az erőt: de ( ) F = = D (b) ábra) z -tengely mentén rezgő pont esetén az energia mozgási energiából és rugalmas elyzeti energiából áll: Em = mv E = Ha az energia megmarad aor Em + E = E = állandó E=E +E m Mivel az ma = maimális itérésnél a rezgő tömegpont sebessége nulla eor a teljes energiája elyzeti energia: E E = = Enne ismeretében a elyzeti energiagrafionból megállapítató a elyzeti- és mozgási energia E () E m megoszlása bármilyen itérésnél (ábra) E elyzeti energia elyfüggése alapján azt is megállapítatju ogy egy test ol leet egyensúlyi elyzetben és ez az egyensúly milyen jellegű (stabilis vagy labilis) Tegyü fel ogy egy pontszerűne teintető test mindig azonos irányban (pl Kelet felé) alad emeledő és süllyedő szaaszoból álló pályán (pl egy dombos vidéen aladó autó) Vegyü fel a oordinátarendszerünet úgy ogy az -tengely a aladási irányba α tgα=mg z a) b) tgα=d α
TÓTH : Mecania/4 (ibővített óravázlat) 6 (Kelet) mutasson Eor a neézségi erőtérben a test elyzeti energiája az -oordináta függvényében pontosan az emeledésene és süllyedésene megfelelően változi (ábra) iszen a elyzeti energia de() arányos a magassággal F = = 0 Ha a testre (a ényszererőn ívül) E () csa a neézségi erő at aor a leetséges egyensúlyi elyzetei a elyzeti energia elyfüggését megadó görbéről leolvasató Egyensúlyban az eredő erő - omponenséne nullána ell lenni azaz: de( ) 3 4 F = = 0 vagyis ezeen a elyeen a görbéne szélsőértée van elátató ogy az ábrán páratlan számmal jelölt elyeen (maimumo aol d E ( ) < 0 ) az egyensúly labilis vagyis a testet imozdítva az egyensúlyból a fellépő erő az egyensúlyi elyzetből elviszi a testet a páros számú elyeen d E ( ) (minimumo aol > 0 ) pedig az egyensúly stabilis a imozdításor fellépő erő a testet visszaviszi az egyensúlyi elyzetbe