Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei

Átírás

1 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) Eletroos áraörö és hálózato, Kirchhoff törvényei gyaorlatban az eletroos ára ülönböző vezetőrendszereben folyi gen fontos, hogy az áraot fenntartó telepe iseretében a vezetőrendszere részeiben folyó áraoat száítással is eg tudju határozni, hiszen ez teszi lehetővé az áraot felhasználó eszözö egtervezését legegyszerűbb eset az, ha az áraot egyetlen zárt huroból álló áraörben ell vizsgálnun, az esete többségében azonban az eletroos ára bonyolult vezetőrendszereben ún hálózatoban folyi hálózatoban rendszerint áraelágazáso, ás néven csoóponto is vanna, a csoóponto özötti vezetőszaaszo, az ún ága pedig ülönféle áraöri eleeet (ellenálláso, telepe) tartalazna Egy hálózat vizsgálatánál ét alapvető érdés erül fel: Milyen törvény szabja eg, hogy az elágazásonál az áraerősség hogyan oszli eg az egyes ágaban? Érvényes-e az eletrosztatia alaptörvénye az áraöröben, és ha érvényes, aor enne ilyen övetezényei vanna az áraora vonatozóan? tt csa olyan áraöröel foglalozun, aelyeben az ára az áraör bárely helyén időben ne változi (ülönböző helyeen az áraerőssége lehetne eltérőe, de értéü ne változhat eg) z ilyen áraoat időben állandó- vagy stacionárius áraona nevezzü töltésegaradás törvénye időben állandó áraora, Kirchhoff törvénye tapasztalato azt utatjá, hogy egy vezetőben ülönleges örülényetől elteintve eletroos töltés ne eletezi, és ne tűni el, vagyis a töltés ennyisége egarad vezető Ebből övetezi, hogy ha egy vezetőben időben állandó ára folyi, aor a vezető egy eresztetszetén (ábra) Δ t idő alatt átent ΔQ = Δt töltéssel elvileg ét dolog történhet: töltés a többi eresztetszeten (pl a eresztetszeten) is ugyanennyi idő alatt egy át, tehát ΔQ = Δt = ΔQ = Δt Ez azt jelenti, hogy =, vagyis a vezető inden eresztetszetén ugyanaora az áraerősség töltés egy része a vezetőne az és felülete özti térfogatban arad, és a felületen isebb de időben állandó ára egy tovább lyenor az elített térfogatban a töltés ennyisége időben növeedne, a töltés ott felhalozódna ásodi lehetőség azonban ne valósulhat eg Enne oa az, hogy időben állandó ára csa aor jöhet létre, ha a vezetőben az eletroos térerősség időben állandó (~E) töltés foozatos felhalozódása azonban időben változó erőteret, és így időben változó áraot eredényezne Ezért időben állandó ára esetén a vezetőben ne lehetséges töltésfelhalozódás Ez azt jelenti, hogy arad az a tapasztalat által is egerősített lehetőség, hogy állandó ára esetén egy vezető bárely ét eresztetszetén ugyanaora az áraerősség: = 4 4

2 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) Hasonló eggondolásoat tehetün egy csoópont esetében is (ábra), ahol vezető csatlaozna egyáshoz Mivel töltésfelhalozódás ne lehetséges, itt is érvényes, hogy Δ t idő alatt a befolyó árao (, 4 ) által a csoópontba bevitt töltésne eg ell egyeznie a ifolyó (, ) árao által onnan ivitt töltéssel, Δt + 4Δt = Δt + Δt, vagyis + 4 = + Eszerint állandó árao esetén egy csoópontba befolyó árao összege egegyezi a csoópontból ifolyó árao összegével Ha az áraona előjelet adun, és a csoópontba befolyó áraoat pozitívna-, az onnan ifolyó áraoat pedig negatívna teintjü (, 4 >0 és, <0), aor az egyenlet így alaul: Eze az összefüggése terészetesen aárhány ára esetén érvényese, vagyis általánosan a n n alaba írható Ez Kirchhoff törvénye, aely a töltésegaradás törvényét fejezi i törvényne ebbe az alajába az áraoat a fenti egállapodás szerint előjeles ennyiségeént ell behelyettesíteni Kirchhoff törvénye speciális esete egy általános, indenféle áralás (transzportfolyaat) esetére érvényes törvényne, aelyhez az alábbi ódon juthatun el Tegyü fel, hogy egy térrészben valailyen ennyiség (pl töeg, töltés, energia, stb) egyi helyről a ásira árali z áraló ennyiséget jelöljü Ω-val, és az áralás jellezésére az eletroos dω áranál bevezetett jellező analógiájára vezessü be az Ω ennyiség Ω = áraerősségét és dω jω = ut árasűrűségét (itt u T az áralás irányába utató egységvetor, d N az áralás d N irányára erőleges elei felület) Válasszun i az áralásban egy tetszőleges V térfogatot, és írju fel a térfogatban felhalozódó Ω V dω ennyiség időbeli változásána V sebességét változás ét oból övetezhet be: V térfogatba befolyó vagy onnan ifolyó árao iatt V térfogatban esetleg jelenlévő forráso iatt, aelye az Ω ennyiséget tereli, vagy eltünteti (utóbbi esetben gyaran nyelőről beszélün) Először az árao hatását vizsgálju eg Láttu, hogy tetszőleges felületen átfolyó áraot az = d j Ω összefüggés adja eg Ez az összefüggés érvényes a V térfogatot határoló zárt felületre is, csupán azt ell figyelebe venni, hogy a térfogatba beáraló töltés pozitiv töltésváltozást ooz, a felületvetor ifelé irányítása iatt viszont a "j Ω d" szorzat ilyenor negatív (az ábrán pl az i-edi felületeleen) Hasonlóan: a ifolyó ára negatív töltésváltozást ooz, a "j Ω d" szorzat viszont ilyenor pozitív (az ábrán pl az -adi felületeleen) Enne egfelelően az zárt felületen átfolyó ára az d i j i V d j

3 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) árasűrűséggel ifejezve: = j Ω d Ez a ennyiség a térfogatba befolyó- és onnan ifolyó árao előjeles összegét, vagyis a térfogatban a töltésfelhalozódás sebességéne egyi összetevőjét adja eg: dω V = j Ω d z Ω ennyiség eletezéséne vagy eltűnéséne hatását aor tudju figyelebe venni, ha iserjü a V térfogaton belül a forráserősséget, vagyis az Ω ennyiség eletezéséne (eltűnéséne) forrás dωv dωv FΩ = = sebességét (az F Ω forráserősség pozitív, ha az Ω ennyiség eletezi, és negatív, ha eltűni) ét hatás eredényeént a V térfogatban beövetező változás sebességét a dωv dωv dωv = +, vagyis a dωv = Ω + FΩ j d egyenlet adja eg Ezt az áraló ennyiségre vonatozó általános összefüggést ontinuitási egyenletne nevezi Előfordul, hogy a forráso a V térfogaton belül ne egyenletesen oszlana el lyenor egy loális jellezőt vezethetün be, aely egadja egy elei térfogatban lévő forrás és az elei térfogat dfω fω = dv hányadosát, az ún forrássűrűséget forrássűrűség helyfüggését iserve egy V térfogatban a teljes forráserősség: FΩ = f Ω dv V Ezzel a ontinuitási egyenlet a dωv = f dv j Ω d + Ω V alaot ölti z általános ontinuitási egyenletből onrét áraló ennyiség esetén az adott áralásra vonatozó összefüggése apható (így lehet levezetni pl a folyadéo áralására vonatozó, isert ontinuitási egyenletet is) Mi ost az eletroos árara alalazzu az általános egyenletet, és levezetjü Kirchhoff törvényét, ait fiziai eggondoláso alapján orábban ár egaptun Eor az általános egyenletben az áraló ennyiség az eletroos töltés, tehát Ω = Q és j Ω =j, így az egyenletne erre az esetre érvényes alaja: dqv = fqdv jd + V Mivel eletroos töltést elteni és eltüntetni a tapasztalat szerint ne lehet, f Q, így az egyenletben ne szerepelhet forrás, tehát dqv = jd

4 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 4 Egyelőre csa időben állandó (stacionárius) áraoal foglalozun, eor pedig a orábbi eggondolásain szerint egy térfogatban ne lehet töltésfelhalozódás, ezért dq V Enne egfelelően az időben állandó (stacionárius) áraora a ontinuitási egyenlet a j alaban érvényes Ez azt jelenti, hogy az zárt felület által határolt térfogatba be- és ifolyó árao nagysága d azonos Enne a övetezénye az, hogy egy vezető (pl egy drót) ülönböző eresztetszetein ugyanaz az ára folyi zárt felület ost az, eresztetszeteből és az palástfelületből áll (ábra) ontinuitási egyenlet erre az esetre így alaul: d j j d = jd + jd + jd = jd + jd tt felhasználtu azt a tényt, hogy a vezető palástján az árasűrűség-vetor erőleges a felületvetorra, így j d Felhasználva az ára és az árasűrűség özött fennálló összefüggést, a fenti egyenletből a orábban apott összefüggéssel azonos eredényt apun:, + 0 = Vagyis az árao előjeles összege nulla, az egyi felületen befolyó ára a ásion ifolyi Hasonlóan járhatun el egy áraelágazásnál (ábra) tt a zárt felületne csa azoon a részein van ára, ahol vezetőt etsz át, ezért a zárt felületre vett integrál így alaul: j d = jd + jd + jd + jd +, 4 aiből övetezi, hogy Általánosan, n n vagyis egaptu a Kirchhoff törvénye néven orábban ár egisert összefüggést z eletrosztatia alaptörvénye állandó áraora, Kirchhoff törvénye Korábban egállapítottu: ahhoz, hogy egy vezetőben állandó áraot tartsun fenn, egy speciális eszözre (áraforrás, ás néven telep) van szüség, ai biztosítja a töltése örforgását (ábra) Ebben az eszözben a töltéseet az ott ialault E eletroos erőtérrel, és az általa ifejtett F el erővel szeben ell ozgatni, ai többnyire valailyen ülső hatás által végzett una árán valósítható eg Ez a ülső hatás általában az eletroosságtól idegen (pl éiai) folyaato felhasználásával űödi, ai az eletroosságtanba nehezen építhető be Ezért a telep űödését egy fitív, eletroos odellel írju le 4 4 j + telep + + anyag d - E + F el + idegen una

5 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 5 Egy q pozitív töltésne a telep egyi oldaláról a ásira történő átviteléhez szüséges W idegen unát egy idegen E eletroos térerősség unájaént fogju fel, ait a W = qe dr = qe dr ifejezéssel adun eg Látható, hogy ez a una az átvitt töltés, és egy, a telepre jellező ennyiség szorzataént írható fel telepre jellező ennyiség ebből úgy apható eg, hogy az idegen unát elosztju az átvitt töltéssel: W ε = = E dr q z így apott ε jellezőt a telep eletrootoros erejéne nevezi z elnevezés ne szerencsés, hiszen ε ne erő-, hane potenciálülönbség- (feszültség-) jellegű ennyiség, egysége V z eletrootoros erő egy áraörbe be ne apcsolt telep esetén az idegen térerősségne egfelelő feszültséget hoz létre a telep ét pólusa özött, ait az U = E dr = ε összefüggés ad eg Ezt a feszültséget gyaran generátorfeszültségne nevezi fenti definícióból iderül, hogy a ét ennyiség nagysága egegyezi, előjelü viszont ellentétes Mivel E a telep negatív pólusától a pozitív felé utat, az eletrootoros erőt aor teintjü pozitívna, ha a telepen az E -gal egy irányban vagyis a negatív pólustól a pozitív felé haladun át generátorfeszültség viszont aor pozitív, ha a telepen a pozitív pólustól a negatív felé haladun át Egy telepre apcsolt áraör rendszerint nagy ellenállású- és az ezeet összeötő, elhanyagolható ellenállású szaaszoból áll Mivel egy vezető végei özti potenciálülönbség arányos a vezető ellenállásával, az igen is ellenállású szaaszo, az ún vezetée végei özti potenciálülönbség elhanyagolható a nagy ellenállású szaaszo, az ún ellenálláso végei özti potenciálülönbsége ellett Mivel a telep az áraör része, a telep által létrehozott ára agán a telepen is átfolyi, és a telepne saját ellenállása, ún belső ellenállása is van, ait az áraör vizsgálatánál figyelebe ell venni belső ellenállás egyi övetezénye az, hogy a telep ét pólusa özött érhető feszültség nagysága eltér az eletrootoros erő nagyságától, ezért a + - telepet az áraöröben úgy odellezi, hogy az a töltésozgást biztosító ideális eletrootoros erőből ε b (ε ) és a telep ellenállását épviselő belső ellenállásból ( b ) áll (ábra) degen térerősség jelenléte esetén az Oh-törvényben is figyelebe ell venni ezt a hatást, tehát ilyen helyen az eredeti, j = γe ala helyett a j = γ ( E + E ) ifejezés lép érvénybe (γ a vezetőépesség) Ebből a valódi térerősséget ifejezve az alábbi összefüggést apju: j E = E γ Egy áraörben folyó ára és az egyes áraöri eleeen ialault feszültsége özött az Oh-törvény és az eletrosztatia alaptörvénye segítségével aphatun

6 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 6 összefüggést zt, hogy az eletrosztatia alaptörvénye érvényes-e állandó árao esetén, a tapasztalat alapján lehet eldönteni ísérlete azt utatjá, hogy az alaptörvény teljesül állandó áraú áraörö esetén is, vagyis, ha egy áraörben örbejárun, és a ért feszültségeet összeadju, aor a teljes örüljárás végén nullát apun eredényül Konrét összefüggése egtalálása érdeében alalazzu az eletrosztatia E dr L alaptörvényét egy zárt L árahurora, aelyben ellenálláso és telepe vanna (ábra) z ellenállásoat és telepeet összeötő vezetée ellenállását elhanyagolhatóna tételezzü fel, γ γ γ L ezért az integrálban ezene a is γ ellenállású szaaszona a járuléát γ γ elhanyagolhatju (itt ugyanaz az ára folyi, int ásutt, de az U G U G U G ellenállás, és így a potenciálülönbség is icsi) nagy ellenállású részeet az ellenállásoat hasábona épzeljü, aelyene hossza l, l, eresztetszete,, vezetőépessége γ, γ,, a rajtu átfolyó ára erőssége,, belső ellenállásora vonatozó, egfelelő adatoat csillaggal ülönböztetjü eg a többitől zárt huroban érvényes, hogy j Edr = E dr L L γ Ebből övetezi, hogy j dr E dr γ L L Ha az ellenállás-szaaszoat indexszel, a telepeet indexszel jelöljü, aor azt apju, hogy j j + dr dr ε γ γ ásodi összeg azért jelent eg, ert a telepene is van vezetőépessége z integrálás az indexszel jelölt szaaszoon történi Ha az L zárt hurot az árairánnyal egyező irányban járju örbe, aor vezetőben j dr, és az egyenlet így írható j j dr + dr ε γ γ Ha az áraal ellentétesen haladun, aor az összegzésben szereplő tago negatívo leszne, de ellenezőre változi az eletrootoros erő előjele is, ezért az így apott egyenlet egyenértéű a orábbival Ez ás szóval azt jelenti, hogy a örüljárás iránya önényesen egválasztható, ettől a végeredény ne függ z egyenlet tovább alaítható, ha egvizsgálju az integrálban szereplő ennyiségeet Ha az ellenállásoat egyenletes eresztetszetű, hasáb alaú vezetőszaaszona teintjü, aor az egyenlet baloldalán szereplő egy-egy vezetőszaaszra vonatozó integrálo így alaítható át:

7 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 7 j γ dr = γ j dr = γ γ l dr = γ dr = γ l tt felhasználtu, hogy egy hasáb alaú, eresztetszetű, l hosszúságú l vezetőszaasz ellenállása =, és hogy j = telepeen átfolyó árao γ jelölésénél elhagytu a csillagot, ert az egyenleteben ezeet az index ülönbözteti eg a többi áratól Mindezt figyelebe véve, a fenti egyenletből azt apju, hogy illetve = = + b ε, + b = ε Ez az összefüggés Kirchhoff törvényéne egyi alaja tt a vizsgált árahuro -adi ellenállása, a -adi ellenálláson folyó ára, ε a huro -edi telepéne eletrootoros ereje, b az -edi telep belső ellenállása törvény szerint, ha egy zárt árahuroban örbejárun, és egfelelő előjeleel összeadju az ellenállásora vonatozó szorzatoat és a telepe eletrootoros erőit, aor a ét összeg egyással egegyezi Kirchhoff törvényét gyaran a generátorfeszültségeel írjá fel, és eor figyelebe véve a ε = U összefüggést az alábbi alaot apju: + b + U törvény alalazásánál fontos az alábbia iserete: levezetés során ne tételeztü fel, hogy inden áraöri eleen ugyanaora ára folyi át, tehát a törvény bonyolult, elágazásoat is tartalazó hálózatban, tetszőlegesen iválasztott zárt hurora fennáll Láttu, hogy a törvény alalazása során a örüljárást önényesen választhatju eg z is önnyen belátható, hogy a száítás elején az árairányo is tetszőlegesen egválasztható, ert a helytelen választás ne ooz nagy probléát: az egyenletből iszáított ára(o) nagyságára ilyenor helyes értéet apun, csa a rosszul választott árairány esetén az árara negatív érté adódi Így utólag a helyes árairányoat is eg tudju állapítani örüljárás során azt az áraot teintjü pozitívna, aely a örüljárással azonos irányban folyi, az ellenező irányú ára (és így az tag is) negatív generátorfeszültség aor pozitív, ha a örbejárás során a telepen a pozitív pólusból a negatív felé haladun, fordított haladásnál a generátorfeszültség negatív (z eletrootoros erő előjele enne ellenezője) Kiutatható, hogy tetszőleges hálózat esetén annyi független egyenlet írható fel, aennyi az ága (vagyis az iseretlen árao) száa, így a telepe és az ellenálláso iseretében az árao indig iszáítható b

8 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 8 törvény alalazását olyan zárt huro esetén utatju be, aelyet egy bonyolult, elágazásoat is tartalazó hálózatban választottun i (ábra alább) hurot a csoóponto ágara bontjá Egy ágon belül az ára indenütt azonos, de a huro ülönböző ágaiban az árao eltérőe lehetne Ezért egy huroban elvileg annyiféle ára folyhat, aennyi a huro örüljárásaor érintett ága száa z ellenállásoat és a telepeet isertne tételezzü fel b 5 b U G U G U G5 U G b b4 4 U G4 4 b 4 száítás során az, illetve UG,U G, szibóluo az árao- és a generátorfeszültsége nagyságát jelöli ( > 0 és U G = U ), az előjelere elfogadott egállapodást az egyenletbe beírt előjeleel vesszü figyelebe z ágaban felvett árairányo- és a egadott örüljárás esetén az itt látható hurora a övetező egyenlet írható fel: U + U + + ( + ) U ( + ) G b G b b + UG4 + 4( ) + 4b4 + UG5 + 5( ) Ha az egyazon ágban lévő ülső- és belső ellenállásoat az összegüel helyettesítjü b + b = b, + =, = 4, = 5, aor az egyszerűbb b + b b + 4b4 UG UG UG + UG4 + UG5 egyenletet apju Vegyü észre, hogy az ára eghatározása szepontjából az egyes ágaban található ellenállásoat, aelyeen ugyanaz az ára folyi át (eze ún sorba apcsolt ellenálláso), helyettesíthetjü az ellenálláso összegével, ai az ellenálláso eredőjeént fogható fel b G Kirchhoff-törvénye alalazása lalazzu a törvényt először egy egyszerű, egyetlen árahuroból álló áraörre, aelyben egy telep, vezetée és ellenálláso vanna (ábra) Ha az áraört az ára haladásána irányában járju örbe (az ábrán a U U U U G + - ε U b b

9 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 9 szaggatott vonal jelzi a örüljárást), és az ára nagyságát, U G pedig a generátorfeszültség U G = U nagyságát jelenti (,U G >0), aor a fenti előjelegállapodás szerint az szorzato (ellenállásoon eső feszültsége) pozitíva, a telep generátorfeszültsége pedig negatív Enne egfelelően Kirchhoff törvénye az b UG illetve az U G = b alaot ölti Mivel az áraörben nincs elágazás, az ellenállásoon ugyanaz az ára folyi át (Kirchhoff törvénye) Ha bevezetjü az + + = eredő ellenállást, aor az egyenlet egyszerűbb alaba írható: U G = + b z itt bevezetett ellenállás a telepen ívüli ellenálláso összege az áraörben, ait ülső ellenállásna is nevezhetün z eredő ellenállás bevezetésével a fenti áraör egyszerűsíthető, aint az a elléelt ábrán látható z áraörre felírt egyenletből iszáíthatju az áraot: UG U = + b U telep sarai (apcsai) özti feszültséget G U + - b apocsfeszültségne nevezi, és rendszerint U K - val jelöli Ez esetünben egegyezi a ülső b ellenállás végei özötti feszültséggel, tehát U K = illetve a hurotörvény alapján U K = U G b Ebben az egyszerű esetben tehát U K < U G, vagyis a apocsfeszültség isebb, int a generátorfeszültség (eletrootoros erő) ettő csa aor egyezi eg, ha a örben ne folyi ára (=0), ert eor a fenti egyenletből azt apju, hogy U = U Bonyolultabb áraör esetén több egyenlet felírása szüséges z ábrán látható esetben pl az áraör ágból U áll Mivel egy ág inden pontján azonos az áraerősség, az a G ábrán látható esetben ülönböző áraérté lehetséges Eze U eghatározásához független egyenletre van szüség G b csoóponti törvényből a baloldali csoópontra azt apju, hogy U G ási csoópontra ugyanez az egyenlet adódi, tehát a csoópontora csa egy független egyenlet írható fel z ábrán a-val jelölt hurora az U U 0 G G = K G

10 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) 0 egyenletet, a b-vel jelölt hurora pedig az UG + + UG egyenletet apju haradi lehetséges huro az áraör ülső ontúrja lenne, de önnyen belátható, hogy az erre felírt huroegyenlet az a és b hurora felírt egyenlete összege, vagyis ne független egyenlet iseretlen ára eghatározásához tehát a váraozásna egfelelően független egyenletet tuun felírni, így az áraértée egyértelűen eghatározható Példaént száítsu i a fenti hálózatban folyó áraoat, ha = oh, = oh, = oh és UG = V,UG = V,UG = V Behelyettesítés után az egyenletrendszert apju, aine egoldása: =, =, = Mivel az árara negatív értéet aptun, enne irányát rosszul vettü fel: a özépső ágban az ára a feltételezettel ellenező irányú (nagysága a száított érté nagyságával azonos) Bonyolultabb hálózatoban általában ne igaz, hogy a apocsfeszültség indig isebb, int a generátorfeszültség Enne az az oa, hogy ilyenor egy telep belső ellenállásán ás telepe által eltett árao is átfolyna, és az így létrejött feszültség ódosítja a apocsfeszültséget Ha pl a telepen a saját áraával ellentétes irányú ára folyi át, aor a apocsfeszültség nagyobb lehet, int az eletrootoros erő Kirchhoff-törvénye segítségével száos hasznos összefüggés vezethető le Így például önnyen bebizonyítható, hogy egyással sorba- vagy párhuzaosan apcsolt ellenálláso helyettesíthető egy ellenállással, aelyen átfolyó ára és a végei özt ért feszültség azonos az eredeti ellenállásoon átfolyó áraal és az ellenállássor végei özötti feszültséggel egfelelő helyettesítő (eredő) ellenálláso az alábbi összefüggéseből apható: soros e = i = párh i e i i (a soros eredényt orábban ár beláttu) Energiaviszonyo eletroos áraörben vezetőben folyó állandó áraot a telepben zajló idegen folyaat által végzett una tartja fenn töltése ozgatására fordított energia a töltése ozgása során hővé alaul Ezt az energiaérleget az ábrán látható, egyszerű áraör vizsgálatával önnyen szászerűsíthetjü z áraörre felírva Kirchhoff törvényét, az ε = + b b ε

11 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) összefüggést apju Ebből úgy aphatun Δt időtartara vonatozó energiaérleget, hogy egszorozzu Δt -vel Eor az alábbi egyenletet apju: εδt = Δt + bδt telep hasznos elveszett baloldalon a telepben űödő idegen hatás (az ε eletrootoros erő) által Δt idő alatt végzett una (W össz ) áll, ai a jobboldalon álló unára fordítódi jobboldal első tagja a ülső ellenálláson (az ún fogyasztón) ugyanennyi idő alatt hővé alauló energia, ait hasznos unána (W h ) nevezne (ezt lehet pl világításra, fűtésre, otor hajtására használni) jobboldal ásodi tagja a telepben ugyanezen idő alatt hővé alault energia, ai ne hasznosítható, ez tehát elveszett energia (W veszt ) z energiaérleg ezeel a jelöléseel: W össz = Wh + Wveszt Hasonló összefüggést apun a teljesítényere is, ha a uná összefüggését elosztju a Δt idővel: ε = + b fenti jelöléseel a teljesítényérleg: P össz = Ph + Pveszt nnen iszáítható az energiahasznosítás hatásfoa: Ph η = = Pössz + b Látható, hogy a hatásfo aor lenne, ha a telepne ne lenne belső ellenállása Mivel ez a gyaorlatban ne valósítható eg, a hatásfo indig isebb -nél Egy telep űödéséne fontos jellezője, hogy adott ülső ellenállás esetén ennyi a belőle ivehető hasznos teljesítény Ezt a ε P ( ) h = = + b összefüggésből száíthatju i Látható, hogy a hasznos teljesítény ne csa a telep adataitól (ε, b ) függ, hane az alalazott ülső ellenállástól is: Ph = P h( ) Mivel ez a függvény nagy- és is értéenél egyaránt nullához tart, várható, hogy valailyen érténél axiua van axiuhely feltétele a differenciálhányados eltűnése: dph b = ε d ( + b ) Maxiu tehát aor van, ha = b, vagyis a legnagyobb hasznos teljesítény aor vehető i a telepből, ha a ülső ellenállás egyenlő a telep belső ellenállásával hasznos teljesítény növelése érdeében tehát a fogyasztót az ellenállás szepontjából illeszteni ell az áraforráshoz Megjegyzés: Eddig indig feltételeztü, hogy az áraöri eleeet összeötő vezetée ellenállása nulla (pontosabban: elhanyagolható) Felerül a érdés, hogy valódi, ellenállással rendelező vezetée esetén hogyan jut el az energia a fogyasztóhoz, hiszen az eletroos erőtér unája ilyenor a vezetőben terius energiává (hővé) alaul választ a vezető örül ialauló eletroos erőtér vizsgálata adja eg véges (ne nulla) ellenállású vezetőben az eletroos térerősség ne erőleges a vezető felületére, hane ahogy orábban

12 TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) egállapítottu van egy árairányú, tangenciális- és egy felületre erőleges norális oponense hővé alauló energiarész a tangenciális oponens által végzett unából szárazi, a norális oponens a töltéseen ne végez unát, és int ésőbb látni fogju az energiaszállítás éppen ezzel a norális irányú erőtérrel hozható apcsolatba