Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R R 2 prméteres előállítását, h z egyenes z x tengely. Vizsgáljuk regulritási feltételt, keressük meg szinguláris pontokt. (b) Számítsuk ki ciklois ívhosszát, miközben kör egy teljes fordultot tesz. 2. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. Írjuk fel kör középpontjától d távolságr elhelyezkedő, körhöz képest rögzített helyzetű M pont pályájánk prméteres előállítását. (d < : zsugorított ciklois, d > nyújtott ciklois.) 3. Egy r sugrú kör csúszás nélkül gördül egy R sugrú körön, mindig kívülről/belülről érintve zt. Írjuk fel gördülő kör rögzített kerületi pontj áltl leírt pály prméteres előállítását. (epiciklois/hipociklois.) Vizsgáljuk z r = R ill. R = 4r, R = 2r speciális eseteket. 4. Adott z OA = 2 átmérőjű kör és z A pontbeli v érintője. Az r = OC félegyenesre mérjünk fel kkor OM szkszt, mekkor z OC félegyenesen kör és v közé esik. H z r z O körül forog, z M z ún. Dioclész-féle cisszoidot írj le. () O-t origónk, z OA egyenest x tengelynek válsztv, bizonyítsuk be, hogy Dioclészféle cisszoid prméteres előállítás ( ) 2t 2 c(t) = 1 + t, 2t 3, t R, 2 1 + t 2 hol t z x tengely és r szögének tngense. (b) Bizonyítsuk be, hogy z origó cisszoid szinguláris pontj. (c) Htározzuk meg c és sebességvektor htárértéket, h t ±. 5. Az M pont egyenletes sebességgel hld z O kezdőpontú r félegyenesen ( kezdőponttól távolodv), miközben r állndó szögsebességgel forog z O körül. M pályáját rchimédeszi spirálnk nevezzük. Írjuk fel z rchimédeszi spirál egy prméteres előállítását! 6. Az O kezdőpontú r félegyenes állndó szögsebességgel forog O köröl, ugynkkor z M pont z OM távolsággl rányos sebességgel mozog r-en (O-tól távolodv). Írjuk fel M pályájánk egy prméteres előállítását. (Logritmikus spirál.) 1
7. Tekintsük c(t) = ( exp(bt) cos(t), exp(bt) sin(t)), t R > 0, b < 0 konstnsok prmetrizált görbét. Bizonyítsuk be, hogy t lim c (t)) dt t + t 0 véges, (zz [t 0, ] intervllumon c ívossz véges). 8. Legyen c: (0, π) R 2, (trktix). c(t) = (sin(t), cos(t) + log tn t 2 ), () Bizonyítsuk be, hogy c egyetlen szinguláris pontj t = π/2 prméterértékű pont. (b) Bizonyítsuk be, hogy trktix egy érintőjének z érintési pont és z y tengely közé eső szksz mindig 1 hosszúságú. 9. Állndó, 2 hosszúságú szksz A és B végpontji derékszögű koordinát-rendszer tengelyein mozognk. Az origóból z AB szkszr bocsátott merőleges tlppontj legyen M. Írjuk fel z így nyert pontok hlmzánk prméteres előállítását. (négyszirmú rózs.) 10. Egy mozdultln, kör lkú tárcsár szorosn feltekert fonlt feszesen trtv legombolyítunk. Írjuk fel fonál (mozgó) végpontjánk prméteres előállítását. 11. Legyen c: ( 1, + ) R 2, c(t) = ( ) 3t 1 + t, 3t 2. 3 1 + t 3 Igzoljuk: () t = 0-bn c érintője z x tengely. (b) H t +, kkor c (0, 0), c (t) (0, 0). (c) Vegyük : c 1 : (, 1) R 2, c 1 (t) = ( ) 3t 1 + t, 3t 2 3 1 + t 3 görbét. Htározzuk meg lim t 1+ c(t)-t és lim t 1+ c (t)-t, lim t 1 c 1 (t)-t és lim t 1 c 1(t)-t. (Descrtes-féle levél.) 2
2. sorozt 1. Legyen c: I R 3 prmetrizált görbe. Legyen [, b] I, továbbá c() = p, c(b) = q. () Mutssuk meg, hogy minden w R 3 rögzített egységvektorr teljesül, hogy (b) Legyen Mutssuk meg, hogy (q p) w = c (t) w dt w = c() c(b) q p q p. (Azz két pont között legrövidebb z egyenes".) 2. Tekintsük egy síkgörbe polárkoordinátás előállítását: r : [, b] R 2, θ r(θ). c (t) dt. c (t) dt. (Azz c(θ) = (cos θ r(θ), sin θ r(θ)).) Bizonyítsuk be, hogy görbe ívhossz: r(θ)2 + r (θ) 2 dθ. 3. Htározzuk meg z r(θ) = θ rchimédészi spirál első menetének z ívhosszát! 4. Írjuk fel c(t) = (t, sin t) (t R) szinuszgörbe érintőjének és normálisánk z egyenletét z origóbn. (Normális ltt c(t) + L(N(t)) egyenest értjük.) 5. Az y = x 2 prbol melyik pontjához trtozó érintője zár be π/4 mértékű szöget z x tengellyel? 6. Írjuk fel z r(θ) = θ rchimédészi spirál θ szöghöz trtózó érintőjének és normálisánk z egyenletét. 7. Bizonyítsuk be, hogy c(t) = ((cos t + t sin t), (sin t t cos t)), t R görbe (körevolvens) összes normálisánk z origótól vló távolság egyenlő. 8. Bizonyítsuk be, hogy z r(θ) = θ rchimédészi spirál érintőjének z érintési pont helyzetvektorávl bezárt szöge π/2-höz trt, h θ. 3
9. Bizonyítsuk be, hogy z r(θ) = b θ ( > 0) logritmikus spirál érintőjének z érintési pont helyzetvektorávl bezárt szöge állndó. 10. Bizonyítsuk be, hogy csk logritmikus spirálnk és körnek vn meg z előző feldtbn megfoglmzott tuljdonság. 11. Htározzuk meg szinuszgörbe görbületi függvényét. 12. Htározzuk meg körevolvens görbületét. 13. Bizonyítsuk be, hogy θ r(θ) polárkoordinátás lkbn dott görbe görbülete: κ = 2r 2 rr + r 2 (r 2 + r 2 ) 3/2. 14. Htározzuk meg z rchimédészi spirál és logritmikus spirál görbületi függvényét. 15. Legyen α: I R 2 prmetrizált síkgörbe, mely κ görbületéről feltesszük, hogy egyetlen pontbn sem null. A β : I R 2, β(t) = α(t) + 1 κ(t) N(t) görbét z α evolútájánk nevezzük. Mutssuk meg, hogy z evolút t-beli érintője megegyezik z eredeti görbe t-beli normálisávl. 16. Legyen α: t α(t) = (t, cosh t), t R. Számítsuk ki α görbületét és írjuk fel z evolútájánk prméteres előállítását. 17. Bizonyítsuk be, hogy ciklois evolútáj z dott görbével egybevágó ciklois. 18. Bizonyítsuk be, hogy z r(θ) = c θ logritmikus spirál evolútáj logritmikus spirál. Htározzuk meg z prmétert úgy, hogy görbe önmg evolútáj legyen. 4
3. sorozt 1. Tekintsük hengeres csvrvonl következő prméterezését: ( c(s) = cos s c, sin s ) c, bs, s R, c hol c 2 = 2 + b 2, > 0, b 0. () Mutssuk meg, hogy c természetes prméterezésű. (b) Htározzuk meg z s T (s) (s R) prmetrizált görbét! (c) Mutssuk meg, hogy z érintő és z tengely áltl bezárt szög konstns, zz nem függ prméterértéktől. (d) Mutssuk meg, hogy c(s) + L(F (s)) z tengelyt konstns szög ltt metszi. (e) Írjuk fel c(s)-beli simulósík/normálsík/rektifikálósík egyenletét. Htározzuk meg z s = π/2 prméterértékhez trtozó simulósík és koordináttengelyek szögét. (f) Számítsuk ki c görbületét és torzióját. 2. Vivini-féle görbének nevezzük z R sugrú gömbfelületnek és egy olyn körhengerfelületnek metszésvonlát, melyek egy lkotój áthld gömb középpontján, és átmérője gömb sugrávl egyenlő. () Adjuk meg görbe prméteres előállítását. (b) Írjuk fel görbe egy pontjábn z érintő egyenletrendszerét és normálsík egyenletét. 3. Egy-egy forgáshenger tengelye z x és y tengely, sugruk egyenlő. Írjuk fel metszésvonlként dódó görbe prméteres előállítását. 4. Milyen görbét lkotnk c(t) = (t, t 2, t 3 ) (t R) görbe érintőinek xy síkkl vló metszéspontji? 5. Mutssuk meg, h egy térgörbe () mindegyik normálsíkj áthld egy rögzített ponton, kkor görbe gömbfelületen helyezkedik el. (b) mindegyik simulósíkj áthld egy rögzített ponton, kkor ez görbe síkgörbe. 6. Legyen Ω = τ T +κb ( szokáos jelöléseket lklmzv.) Igzoljuk, hogy Frenet formulák átírhtók következő lkb: T = Ω T, N = Ω N, B = Ω B. 7. Számítsuk ki c(t) = (t cos t, t sin t, t) ( 0) kúpos csvrvonl görbületét z origóbn. 8. írjuk fel c(t) = ( cosh t, sinh t, t) ( 0) görbe természetes egyenletrendszerét. 5
9. Legyen c: I R 3 bireguláris térgörbe és tegyük fel, hogy Im c z origó középpontú r sugrú gömbfelületre illeszkedik. Bizonyítsuk be, hogy t I : κ(t) 1 r. 6