Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei Mihály Popovics Anna Bella Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Előadás és gyakorlat TMBE21; TMBG21. Követelmények: A gyakorlaton való részvétel kötelező; háromnál több hiányzás esetén nem szerezhető érdemjegy. A félév során három dolgozat megírására kerül sor, melyek közül kettő javítható. A javító dolgozat végeredménye fölülírja a javított dolgozat eredményét. A gyakorlati jegy három dolgozat összesített pontszáma alapján születik az alábbiak szerint (százalékban megadva): elégséges (2) 5 7 közepes (3) 71 8 jó (4) 81 9 jeles (5) 91 1 A vizsga szóbeli és előfeltétele az elégtelentől különböző gyakorlati jegy. Amennyiben a húzott tételben alapvető hiányosságok mutatkoznak, vagy az alapfogalmak (tételsorban dőlt betűvel szedve) nem teljesek, úgy az érdemjegy elégtelen. A bizonyítások ismerete nélkül legfeljebb közepes érdemjegy szerezhető. Minden egyéb tekintetben, akár a szemináriumi, akár a kollokviumi számonkérést illetően, a Debreceni Egyetem Tanulmányi- és Vizsgaszabályzata valamint Etikai Kódexe a mérvadó. Félév beosztása: Első dolgozat: 215.3.19. (csütörtök) 12.. M317 Második dolgozat: 215.4.23. (csütörtök) 12. M317 armadik dolgozat: 215.5.21. (csütörtök) 12. M317 Javító dolgozat: 215.5.28. (csütörtök) 1.. M317 Javító dolgozat: 215.6.2. (kedd) 1.. M317 Kollokvium 215.6.11. (csütörtök) 9.. M326 Kollokvium 215.6.25. (csütörtök) 9.. M326 Kollokvium 215.7.9. (csütörtök) 9.. M326 Ajánlott irodalom: Székelyhidi László: Többváltozós Differenciál- és Integrálszámítás, Palotadoktor, 212. Lajkó Károly: Analízis III., www.math.klte.hu/ lajko/jegyzet/an3.pdf Lajkó Károly: Differenciálegyenletek, DE Matematikai és Informatikai Intézet, 22. A. F. Filippov: Differenciálegyenletek példatár, Nemzetei Tankönyvkiadó, Budapest, 1995. Rimán János: Matematikai analízis I., Líceum Kiadó, Eger, 1998. Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Líceum Kiadó, Eger, 1998. Bessenyei Mihály és Popovics Anna Bella Debrecen, 215. február 11.
Többváltozós analízis és közönséges differenciálegyenletek Vizsgatételsor, 214/215 tavaszi félév 1. Metrikus terek, normált terek, belsőszorzat terek. Metrika által indukált topológia. Konvergencia, folytonosság, határérték; átviteli elvek. Kompakt halmazok; kompaktság és folytonosság. Példák metrikus terekre. 2. Cauchy-sorozatok, teljes metrikus terek, Banach-terek, ilbert-terek. Kontraháló leképezések; a Banach-féle fixponttétel. Ekvivalens metrikák; véges dimenziós normált terek. Lineáris leképezések normája. Az invertálható lineáris leképezések topológikus struktúrája. 3. A differenciálhatóság fogalma, a derivált egyértelműsége. Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata; differenciálhatóság és műveletek; lánc-szabály. A Lagrange-féle középértéktétel. 4. Iránymenti és parciális differenciálhatóság; a differenciálhatóság szükséges feltétele. Folytonos (parciális) differenciálhatóság; a differenciálhatóság elegendő feltétele. A folytonos differenciálhatóság jellemzése. 5. Az inverz- és implicitfüggvény-tétel. (Opcionális.) 6. Többszöri differenciálhatóság. A Schwarz Young tétel. Taylor-tétel. A lokális szélsőérték fogalma és szükséges feltétele. A lokális szélsőérték másodrendű feltétele. 7. Téglák R n -ben. Integrálközelítő összegek, szelekció, oszcilláció. A Darboux-integrál és tulajdonságai; Darboux-tétel. A Riemann-integrál és tulajdonságai. Oszcillációs kritérium, folytonosság és integrálhatóság. 8. Műveletek integrálható függvényekkel. Középérték-tétel Riemann-integrálra. Riemannintegrál és egyenletes konvergencia. Az Arzéla Osgood tétel. A Fubini-tétel és előlemmája; az integrál kiszámítása. 9. A Jordan-mérték és tulajdonságai. Jordan nullmértékűség és Jordan-mérhetőség jellemzése. Integrálás Jordan-mérhető halmazokon. 1. Az integrál tulajdonságai: additivitás, kapcsolat a folytonossággal, műveletekkel, egyenletes konvergenciával. Fubini tétel normáltartományon. Integráltranszformáció. 11. Primitív függvény, görbementi integrál. Newton Leibniz formula görbementi integrálra; primitív függvény létezésésnek szükséges feltétele. Primitív függvény és potenciálfüggvény. Primitív függvény létezésének szükséges és elegendő feltételei. 12. A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma. Nullmértékűség Lebesgue szerint. Folytonossági modulus; pontbeli folytonosság jellemzése. A Lebesgue-kritérium néhány következménye. 13. Elsőrendű közönséges explicit differenciálegyenlet-rendszerekre vonatkozó Cauchy-feladat fogalma. Megoldás, globálisan egyértelmű megoldás. Peano tétele. Renormálás és ekvivalens integrálegyenlet. Lipschitz-feltétel; a globális egzisztencia és unicitási tétel. 14. Állandó együtthatós magasabbrendű lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó Cauchyfeladat és megoldás fogalma. Globális egzisztencia és unicitási tétel; a megoldáshalmaz struktúrája. Karakterisztikus polinom; az alaprendszer előállítása a karakterisztikus gyökökkel. 15. A variációszámítás elemei. Megengedett függvények, perturbált alapfunkcionál, differenciálhatósági lemma és a Du Bois Reymond lemma. Az Euler Lagrange differenciálegyenlet. 16. Alkalmazások: a sík és a henger geodetikusai. A Bolyai Lobacsevszkij geometria Poincréféle félsíkmodellje. A minimális felszínű forgástest; a klasszikus mechanika variációs tárgyalása. Bessenyei Mihály
Többváltozós függvények differenciálszámítása mintafeladatok az első dolgozathoz 1. Feladat. Igazolja definíció szerint, hogy az f : R 2 R függvény differenciálható a p pontban, ha f(x, y) := x 2 + 3xy, p = (1, 2); f(x, y) := y 2 3xy, p = (2, 1). 2. Feladat. Vizsgálja definíció szerint, hogy mely irányok mentén differenciálható illetve hogy differenciálható-e az f : R 2 R függvény a p = (, ) pontban, ha f(x, y) := 3 xy 2 + x 2 y; f(x, y) := 5 x 3 y 2 + x 4 y. 3. Feladat. atározza meg a g f függvény p pontbeli, v irány menti deriváltját, ha (i) g(x, y) := (x 2 + y 2 + xy, x + y 2 ), (ii) f(x, y, z) := (xz 2 + x 2 y + xyz, xy z 2 ), p := (1, 1, ) v := (1, 1, ); g(x, y, z) := (x 2 + xy, y 2 + yz, xy + yz), f(x, y) := (x 2 + xy, y 2 + xy, x + y) p := (1, ) v = (, 1). 4. Feladat. Számítsa ki a g (b) deriváltat, ha (i) x + 2y + g 1 + sin g 2 =, xy + cos g 1 + g 2 = ; (ii) b := ( 2, 2/2); g(b) := (, ) x 2 y + e g 1 + g 2 =, y + g 1 + g2 2 = 2; b := (, 3); g(b) := (, 1) 5. Feladat. Írja föl (x + 1) és (y 2) polinomjaként az alábbi polinomokat! p(x, y) = x 3 xy 2 + x 2 y; p(x, y) = xy 2 + x 2 xy + 1. 6. Feladat. Vizsgálja lokális szélsőérték szempontjából az f : R 2 R függvényt, ha f(x, y) := (x 2 + y 2 4) 2 y 2 ; f(x, y) := (x 2 + y 2 1) 2 6x 2.
Többváltozós függvények integrálszámítása mintafeladatok a második dolgozathoz 7. Feladat. atározza meg az f : I R függvény rácsfelosztás által származtatott alsó- és felső integrálközelítő összegsorozatainak zárt alakját, ha f(x, y) := x 2 + xy, I = [, 1] [, 2]; f(x, y) := y 2 + xy, I = [1, 2] [, 1]. 8. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! 1 1 1 1 x3 y 2 dydx; xy 2 sin(πx 2 )dydx; 1 1 y cos(πxy)dydx. 9. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! (x 2 + xy)d(x, y), = {(x, y) R 2 x [, 1], x 2 y x}; (y 2 + xy)d(x, y), = {(x, y) R 2 x [, 1], x y x}; sin ( π(x + y) ) d(x, y), = {(x, y) R 2 x [, 1], y x}; cos ( π(x y) ) d(x, y), = {(x, y) R 2 y [, 1], y x y}. 1. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! 1 1 2x + y 2 dydx; 1 1 2xy 1 dydx; 1 1 4x 2 + y 1 dydx. 11. Feladat. Számítsa ki az alábbi integrálok értékét! ( x 2 + (y + 1) 2) d(x, y); = conv{(, ); (, ); (, 1); (1, )}; ( (x + 1) 2 + 1 4 (y + 2)2) d(x, y); = conv{( 2, ); (, 2); (, 2); (, )}; sin ( π(x 2 + y 2 ) ) d(x, y); = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 2}; (x y) 2 d(x, y); = {(x, y) R 2 + 1 x 2 + y 2 2}. 12. Feladat. Számítsa ki az alábbi függvények adott pálya menti integrálját! ( x + 2y f(x, y) = x 2 + y, y 2x ), g(t) = (cos t, sin t), t [, 2π]; 2 x 2 + y 2 f(x, y, z) = ( yz, (x 2 + y 2 )z, xy ), g(t) = (cos t, sin t, t), t [, π/2]. 13. Feladat. atározza meg az alábbi függvények origóban eltűnő primitív függvényét! f(x, y, z) = (x, y 2, z 2 ); f(x, y, z) = (yz, xz, xy); f(x, y, z) = (2xy 3, 3x 2 y 2 + z e y, e y ).
Közönséges differenciálegyenletek mintafeladatok a harmadik dolgozathoz 14. Feladat. Oldja meg az alábbi szeparálható változójú differenciálegyenleteket! y2 + 1 = xyy ; 2x 2 yy + y 2 = 2; y xy 2 = 2xy; e y (1 + y ) = 1. 15. Feladat. Oldja meg az alábbi lineáris differenciálegyenleteket! y = x(y x cos x); (xy 1) log x = 2y; xy + (x + 1)y = 3x 2 e x. 16. Feladat. Oldja meg az alábbi Bernoulli- illetve Riccati-típusú differenciálegyenleteket! y = y 4 cos x + y tg x; xy + 2x 2 y = 4y; xy + 2y + x 5 y 3 e x = ; y 2xy + y 2 = 5 x 2 ; y + 2y e x y 2 = e 2x + e x ; xy (2x + 1)y + y 2 = x 2. 17. Feladat. Oldja meg az alábbi egzakt differenciálegyenleteket! 2x ( 1 + x 2 y ) x 2 yy = ; 1 + y 2 sin 2x 2yy cos 2 x = ; ) 3x 2 (1 + log y) (2y x3 y x = ; y sin y + 2 + (x2 + 1) cos y cos 2y 1 y =. 18. Feladat. Adja meg a következő állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! 2x 5x + 2x = ; x 4x + 5x = ; x 2x + x = ; x (4) 5x (2) + 4x = ; x (5) + 8x (3) + 16x (1) = ; x (3) x = ; x (4) + 4x = ; x (6) + 64x = ; x + x 2x = 3t e t ; x + 3x 4x = t e t ; x 3x + 2x = sin t. 19. Feladat. atározza meg a következő funkcionálok megadott feltételeknek eleget tevő extremális görbéit! 1 1 (ẋ2 (t) + x(t)ẋ(t) + 12tx(t) ) dt, x() = 1, x(1) = ; (ẋ2 (t) + x 2 (t) ) dt, x() = 1, x(1) = 1. 2. Feladat. atározza meg a következő funkcionálok megadott feltételeknek eleget tevő stacionárius görbéit! π 4 π 6 (ẋ2 (t) 4x 2 (t) + t 3) dt, x() = 1, x(π/4) = ; (ẋ2 (t) 9x 2 (t) + t 2) dt, x() =, x(π/6) = 1.