4 Lneárs csllapíalan szabad rezgés Lneárs csllapío szabad rezgés Gyenge csllapíás Ger-jesze rezgés Aplúdó rezonanca Lneárs csllapíalan szabad rezgés: Téelezzük fel hogy a öegponra a kvázelaszkus vagy közel rugalas erő ha ez a kéréssel arányos de azzal ellenées rányú: F = > Ekkor a öegpon ozgásegyenlee: = Oldjuk eg ez a ásodrendű dfferencálegyenlee az () függvényre: = Vezessük be a kövekező jelölés: ω = Ekkor az egyenle: = ω + ω = Ez egy ásodrendű hoogén lneárs állandó együhaójú és közönséges dfferencálegyenle Az álalános egoldás a ké függelen parkulárs egoldás lneárs kobnácója A parkulárs egoldások: Lneárs kobnácójuk: vagy ás alakban: = snω = cosω () = C snω + C cosω ( ω δ ) () = Asn + Az első egoldásban C és C a ásodkban pedg A és δ negrácós állandók A kérés aáls éréke az aplúdó A δ pedg a kezdőfázs ω a körfrekvenca A rezgés peródusdeje T: π T = = π ω A rezgés frekvencája: f = T A kérés dő függvény láhaó a kövekező ábrán:
A T A A rugalas erő konzervaív erő ekkor gaz hogy: F = V V a poencáls energa Egy denzóban: V F = a rugalas erő pedg: = F V = Így a poencáls energa: V = + C Válasszuk nullának a poencáls energá az egyensúly helyzeben így C = A rugalas poencáls energa ehá: V ( ) = Lneárs csllapío szabad rezgés: A öegponra a ár ser rugalas erő ha F = valan egy (folyadék) súrlódás vagy csllapíó erő aely ks sebesség eseén a sebességgel arányos de vele ellenées rányú: κ > csllapíás ényező Bevezeve a ké szokásos jelölés: S = κ = κ κ + + = κ α = ω = A hoogén lneárs ásodrendű dfferencálegyenle: + α + ω = A egoldás keressük az alább forában: = e λ λ λ λ λ e + αλe + ωe = de e λ így a karakerszkus egyenle: λ + αλ+ ω = p
Ennek a gyöke: λ = α ± α ω A háro leheséges ese: Ha α ω < akkor gyenge csllapíás ha α ω = akkor krkus csllapíás ha pedg α ω > akkor erős csllapíás esee valósul eg Aennyben a gyökök különböznek akkor a ké egyásól függelen parkulárs egoldás lneárs kobnácójá kell venn: λ λ () = Ce + Ce Gyenge csllapíás eseén vezessük be a kövekező jelölés: γ = ω α λ = α ± γ A egoldás: ( ) ( ) () Ce α + γ Ce α γ e α ( Ce γ = + = + Ce γ ) Az Euler-relácó felhasználva: ϕ e = cosϕ + snϕ α ( ) = ( cosγ + snγ ) + ( cosγ snγ ) α () = e ( C + C ) cosγ + ( C C ) snγ e C C A dfferencálegyenle álalános egoldása: α α () = e [ Acosγ + Bsnγ] = Ce sn ( γ+ δ) A folyaao a csllapodás a kvázperódkusnak nevezzük A kérés dő függvény pedg: Megjegyzés: Ha α = ω ejesül akkor a krkus csllapíásnak egfelelő egoldás: () = ( C+ C) e α Ha α > ω akkor erős csllapíás van lyenkor: ( ) β β α () = Ce + C e e ahol β = α ω Gerjesze lneárs rezgés rezonanca: Teknsünk egy olyan ozgás ahol a öegponra a ár ser ké erőn kívül egy perodkus gerjesző erő ha elynek ω a körfrekvencája F = kvázelaszkus erő A ozgásegyenle: S = κ közegellenállás F cos = F ω gerjesző erő
A jelölések: = κ + F cosω κ F α = ω = f = + α + ω = f cosω Ez egy ásodrendű lneárs állandó együhaós nhoogén dfferencálegyenle elynek álalános egoldása a hoogén egyenle álalános egoldásának és az nhoogén egyenle egy parkulárs egoldásának az összege: nhál = hoál + nhpar Mvel hoál dőben eponencálsan csökken ezér elegendő dő uán elhanyagolhaóvá válk Az állandósul állapoban nhál = nhpar A rezgés egndulásá köveő ranzens jelenségől eleknünk és az állandósul egoldás keressük Ez jelöljük -szel + α + ω= fcosω Vegyük fel az alább segédegyenlee elyben a kople egység: y+ α y+ ωy= fsnω a ké egyenlee összegezve és bevezeve az új kople válozó z = + y az alább egyenlee nyerhejük: z+ α z+ ωz = fe ω Az áírás során felhasználuk az Euler-relácó: ϕ e = cosϕ + snϕ Keressük ennek a kople egyenlenek a egoldásá a kövekező alakban: ( ) z = Ae ω δ ( ω δ) ( ω δ) ( ω δ) ω Aω e + αaωe + ωae = fe Egyszerűsísük az egyenlee az e ω aggal: δ Ae ω + αω+ ω = f A( cosδ snδ) ( ω ω ) αω = f Ez egy kople algebra egyenle elye ké valós egyenleel udunk kelégíen: A cosδ ( ω ω ) αωsn δ = f A snδ ( ω ω ) αωcosδ = Az egyenlerendszer ké serelenje A és δ és a egoldásuk: αω anδ = ω ω f A = ( ω ω ) + 4α ω A kerese egoldás valós része pedg: = Acos ω δ ( ) ( )
Az álalunk felve egoldás ehá valóban kelégí a dfferencál egyenlee ha A és δ az előbb eghaározo alakú A saconárus egoldás ehá egy egyszerű haronkus rezgés A lérejövő rezgés körfrekvencája egegyezk a gerjesző erő körfrekvencájával és az δ fázskéséssel köve A rezgés aplúdója függ a gerjesző erő aplúdójáól és körfrekvencájáól A kövekező ábra az uaja hogy a lérejövő rezgés aplúdója aáls éréke vesz fel egy bzonyos frekvencán Ez rezonanca frekvencának nevezzük A ké különböző görbe különböző csllapíásokhoz arozk Ha a csllapíás csökken a rezonancagörbe élesebbé válk A α α < α α O ω r ω Ez a egoldás a korábban alkalazunk csak a ranzens folyaa lejászódása uán írja le a rezgés Ha a ranzensre s kíváncsak vagyunk akkor ás ódszerrel kell a dfferencál egyenlee egoldan