Kaotikus jelenségek dinamikai rendszerekben Előadásvázlat II. rész Készítette: Plachy Emese 2014 Nyugat-magyarországi Egyetem Természettudományi Kar Matematika, Fizika és Műszaki Intézet A kutatás a TÁMOP-4.2.4.A/2-11/1-2012-0001 Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretében zajlik. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.
Stabilitás, instabilitás Adott pontból való kis kitérítésre adott válasz. Instabil: eltávolodik. Stabil: visszatér. Semleges: az új helyzetben marad. KIS kitérések esetén! (Végül másik állapotba juthat.)
Mozgás instabil pont környékén Nyugalmi állapotból kitérítve egyre jobban eltávolodik. Instabil állapotban nincs mozgás: x = x*, v = v* 0 pont az (x,v) fázistérben Ez egy fixpont a fázistérben Legyen ez az origó (x* = 0)
Mozgás instabil pont környékén A fellépő erő taszító jellegű, a kitéréssel nő Legyen lineáris: F(x) = s02 x ahol s02 a taszítási paraméter Négyzetes forma biztosítja, hogy pozitív legyen Egységnyi tömeget használunk (m = 1), ezért nem szerepel. Súrlódás nincs, a mozgásegyenlet: x =s 2o x
Mozgás instabil pont környékén Ez egy lineáris, állandó együtthatójú, homogén differenciálegyenlet Megoldás kereshető exponenciális alakban: x = exp(λt) Ekkor arra jutunk, hogy λ2 = s02 A megoldás: x(t) = c+ exp(s0 t) + c exp(-s0 t) v(t) = c+ s0 exp(s0 t) + c s0 exp(-s0 t) Exponenciális ütemben távolodik az instabil pontból.
Mozgás instabil pont környékén Fázistérbeli görbékhez ki kell küszöbölni az időt. Írjuk fel az előzőek alapján a v - s0 x és v + s0 x mennyiségek szorzatát: v2 - s02 x2 = v2 - s02 x02 = állandó A mozgás bármely (x,v) értékére. Az egyenlet alapján a fázistérbeli trajektóriák hiperbolák. A hiperbolák aszimptotái az origón átmenő v = ± s0 x egyenesek.
Mozgás instabil pont környékén 11 Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika Hiperbolikus fixpont és környezete súrlódásmentes esetben Hiperbola trajektóriák: vékony vonal Aszimptoták: vastag vonal Hiperbolikus pontba bejutni csak az aszimptotán lehet
Mozgás instabil pont környékén Szinte bármelyik kezdőpont egy hiperboláé: nem találjuk el az egyensúlyi pontot Stabil görbék: pontos iránnyal és sebességgel (v = - s0 x) éppen az egyensúlyi pontban áll meg a mozgás Elvben végtelen ideig tart (exponenciálisan lassul) Néhányszor 1/s0 idő alatt már igen közel jut Instabil görbék: egyenesen kivezetnek az egyensúlyi pontból
Mozgás instabil pont környékén Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika Pontpárok távolodása egymástól és a fixponttól Gyors eltávolodás mindig az instabil görbe mentén, akkor is ha a kezdőpontok a stabil görbe két oldalára esnek
Mozgás instabil pont környékén Hosszú idő után a részecskék exponenciális ütemben távolodnak az instabil ponttól Eltérő kezdőpontú részecskék egymástól is exponenciálisan távolodnak Hiperbolikus fixpontok körül a rendszer mindig érzékeny a kezdőfeltételekre.
Mozgás instabil pont környékén Az instabilitás előrejelezhetetlenséggel jár Ez még nem káosz! Fixponthoz nagyon közel már nagyon kis hatásokon múlik, merre indul a rendszer Az instabilitás egy ponton áll fenn, aztán már egyértelmű, merre halad a rendszer Káosz feltétele: a mozgás mindig instabil pontok közelében haladjon Végtelen sok instabil, hiperbolikus állapot legyen
Mozgás instabil pont környékén A súrlódás hatása Disszipatív erő legyen egyszerűen F=-αv Fázistér szerkezete hasonló de az aszimptoták elfordulnak Távolodást lassítja a súrlódás Hiperbolikus fixpont nem tűnik el a súrlódás hatására A fázistér strukturálisan stabil a paraméterek kis változásaira Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Mozgás stabil pont körül Az egyensúlyi pontból kitérítve visszatér Visszahúzó erő legyen: F(x) = ω02 x ω0 : sajátfrekvencia Mozgás ω0 körfrekvenciájú harmonikus rezgés x(t) = A sin(ω0 t + δ) Fázistérbeli trajektóriák ellipszisek lesznek v2 + ω02 x2 = v2 + ω02 x02 = ω02 A2 = állandó. A középpont az elliptikus fixpont. A trajektóriák nem távolodnak el a ponttól vagy egymástól
Mozgás stabil pont körül Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika Elliptikus fixpont környéke. Mindig óramutató járásával megegyező mozgásirány (pozitív sebesség)
Mozgás stabil pont körül Súrlódás jelenlétében Mozgásegyenlet megoldása: a fixponthoz tartás Van a fázistérnek olyan része, amit minden trajektória elér A rendszer elfelejti a kezdőfeltételt Vonzást kifejtő részhalmaz: attraktor Itt: pontattraktor. A szerkezet a leggyengébb súrlódásra is módosul Strukturálisan instabil.
Mozgás stabil pont körül Ha a csillapítás gyenge: α/2 < ω0 Mozgás exponenciálisan lecsengő amplitúdójú harmonikus rezgés Spirális attraktor Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Mozgás stabil pont körül Ha a csillapítás erős: α/2 > ω0 Lecsengést nem kíséri oszcilláló mozgás Csomópontattraktor Mindkét esetben exponenciálisan lassulva tartanak a trajektóriák az attraktorhoz Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Potenciálfüggvény F(x) erőtörvény szemléletes megjelenítése Helyfüggő erő részecske potenciális energiája is helyfüggő F(x) = dv(x) / dx Ahol V(x) a potenciálfüggvény egységnyi tömegre eső potenciális energia x helyen Instabil: V(x) = - s02 x2 / 2 fordított parabola, domb Stabil: V(x) = ω02 x2 / 2 normál parabola, völgy
Stabilitásvizsgálat Nyugalmi helyzetek stabilitása Erőtörvény sosem lineáris teljesen Hol vannak fixpontok? Ahol F(x) = dv/dx = 0 Semmit nem mond a stabilitásáról Részecskét mindig érik csekély külső hatások Hogyan viselkedik az erőtörvény a fixpont kis környezetében?
Stabilitásvizsgálat Simán változó erőtörvény esetén: F(x) F'(x*) (x x*) = - V''(x*) (x x*) Taylor-féle sorfejtés első eleme Nyugalmi helyzet közelében az erő lineárisan változik F'(x) előjele határozza meg a stabilitást (In)stabilitás mértéke: F'(x*) = - V''(x*) = s02 vagy ω 2 0
instabil Stabilitásvizsgálat stabil előjel Fixpont stabilitásának függése az erőtörvény és a potenciál lokális alakjától, s az ehhez tartozó fázistérbeli szerkezet Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Stabilitásvizsgálat Lineáris közelítés érvényessége Sorfejtés második tagja meddig elhanyagolható mértékű F(x) F'(x*) (x x*) + F''(x*)/2 (x x*)2 x x* << 2 F'(x*) / F''(x*) Kitérésnek sokkal kisebbnek kell lennie, mint a jobboldali tag
Stabilitásvizsgálat Nemlineáris erőtörvény: Több nyugalmi helyzet is lehetséges Fázistérben stabil és instabil pontok egyszerre Eddigi eredmények csak lokálisan teljesülnek Fázistér, mozgások globális szerkezetét is fel kell térképezni Fixpontok körüli szerkezet vizsgálata fontos
Bistabil rendszerek Külső hatásra az eredetileg stabil rendszer átvihető bistabil állapotba Eredeti stabil pontból instabil lesz, két új stabil jelenik meg Példák: Két összenyomott rugóhoz rögzített egy sín mentén elmozduló tömegpont Gyűrű mentén elmozduló tömegpont Mágneses inga két mágnessel Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Bistabil rendszerek A két stabil helyzet egymás tükörképe F(x) = - ax (x x*)(x + x*), a > 0 A potenciál: V(x) = - a x*2 /2 x2 + a/4 x4 Potenciálnak az origóban maximuma van (instabil pont), ami két völgyet választ el (stabil pontok) s0 = 2a x* ; ω0 = a x*
Bistabil rendszerek A szimmetrikus bistabil rendszerek erőtörvényének és potenciáljának általános modellje Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Bistabil rendszerek Globális fázistér súrlódás hozzáadásával Origó: hiperbolikus pont (x*,0), (- x*,0) pontok spirális attraktorok Hogyan folytatódnak az origóból induló stabil és instabil görbék? Stabil sokaság: azon fázistérbeli pontok, amelyekből a hiperbolikus pontba lehet jutni Itt egy végtelen hosszú görbe
Bistabil rendszerek Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika Bistabil rendszer potenciálja és globális fázistér szerkezete Völgy alján egy-egy spirális attraktor, Potenciál csúcsa hiperbolikus pont Hegyre felmenő trajektória: instabil pont stabil sokasága Lecsúszó trajektória: instabil sokaság, mely a pontattraktorba vezet P1 -> (0,0); P2 -> P1 -> (0,0); P3->P2->P1->(0,0), etc.
Bistabil rendszerek Instabil sokaság: a hiperbolikus pontból kifelé vezető pontok sokasága Befutnak valamelyik attraktorba Kettéválasztható a fázistér: vonzási tartományok A vonzási tartományokat elválasztó görbék a szeparátrixok vízválasztók Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Bistabil rendszerek Kettőscsillagok nagyon hasonló rendszerek Stabil pontok: csillagok (középpontjai) Instabil pont: L1 Itt tud átáramolni az anyag egyikről a másikra
Bifurkáció Hogyan áll elő a bistabil állapot? Vegyünk egy bistabilitásra hajlamos rendszert, μ változtatható paraméterrel Kis μ-re egy stabil fixpont van, x* = x0* Növelve μ-t a stabilitása egyre csökken, majd elveszti Két új stabil fixpont jön létre μ értéknél Tovább növelve μ-t ezek távolodnak egymástól 0 Ez a folyamat a villásodás, bifurkáció Ez a típus a vasvilla-bifurkáció
Bifurkációs diagram A bifurkációs pont felé közeledve a potenciál laposodik, a sajátrezgés frekvenciája csökken: kritikus lelassulás Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Bifurkáció Nem szimmetrikus rendszerek máshogy Kritikus μ0 értéknél két új állapot jelenik meg Egy stabil, egy instabil, torzított vasvilla bifurkáció Visszafelé a stabil pont hirtelen eltűnik, a rendszer állapota ugrásszerűen változik: katasztrófa
Határciklus Periodikus erőtörvények V(x) = A cos(x) A mozgás a V(x)-szel arányos felületen való mozgással szemléltethető F(x) = A sin(x) Gödrös-dombos vonalon/felületen való haladás Kis súrlódást hozzáadva Gödrök alja spirális attraktor Dombok teteje hiperbolikus pont Súrlódás miatt a mozgás lassul, előbb-utóbb megáll
Határciklus Gödrös úton történő mozgás potenciálja és fázistérképe. Minden második attraktor vonzási tartománya besatírozva. Fázistérkép szerkezete periodikusan ismétlődik. Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Határciklus Lecsúszás gödrös lejtőn F(x) = A sin(x) + F0 V(x) = A cos(x) - F0 x F0 állandó erő pl. a gravitáció Gödrös lejtőn történő mozgás potenciálfüggvénye. Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Határciklus Lecsúszás gödrös lejtőn Súrlódással:
Határciklus Kis súrlódás esetén a gödrök alja spirális attraktor, a dombtetők hiperbolikus pontok Ha elég meredek a lejtő, a dombról lecsúszó test átjut a következő domb tetején is És utána az összes többin Emelkedőkön fékeződik: csak véges sebességig gyorsulhat Elegendő idő elteltével állandósult periodikus mozgás alakul ki Új típusú attraktor: határciklus
Határciklus Gödrös lejtőn történő mozgás fázistérképe kis súrlódás mellett A hiperbolikus instabil sokaságok egyik ága most is a gödrök aljának megfelelő attraktorokba vezet. A másik ág a súrlódás miatt korlátos sebességű lecsúszás hullámvonalához. Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Határciklus Nem a mozgás leállását, hanem fennmaradását okozza Dinamikai attraktor Állandó energiafelvétel itt helyzeti energia (gravitáció) Egyensúly: épp ennyi energiát emészt fel a mozgás Fázistérben alulról és felülről is elérhető Gyorsan induló síelő lelassul, lassan induló felgyorsul Végtelen sok fixpont is található, stabil és instabil váltakozva Instabil sokaság egyik ága is a határciklusba vezet
Általános fázistér Ha a folyamat leírható elsőrendű, autonóm (explicit időfüggés nélküli) differenciálegyenletekkel: Dx/dt = f(x) x = (x1, x2,... xn) n független koordináta: n-dimenziós fázistér Rendszert leíró x pont vándorol a fázistérben Pályája: trajektória Ha fi függvények véges deriválttal rendelkeznek (simák) Adott kezdőfeltételhez egyértelmű megoldás tartozik Trajektóriák nem metszhetik egymást! : fázistérbeli áramlás
Általános fázistér Trajektóriák a hiperbolikus pontban ütközhetnek v -> 0, végtelen idő múlva érintkeznek csak Nincs explicit időfüggés, de (elvben) minden lehetséges mozgást tartalmaz a fázistér Egy rendszert akkor nevezünk egyszerűnek, ha kevés változó jellemzi a dinamikáját, azaz a fázistere alacsony dimenziójú (gyakorlatban maximum 4-10)
Fázistérfogat Fázistér részhalmaza Egy adott kezdőpont nem feltétlen reprezentatív, ez sokkal inkább csak első lépés a mozgások statisztikai leírása felé Kezdő alakzat formája, térfogata időben változik Fázistérfogatösszehúzódási ráta: σ = - Σ( fi / xi ) = - div f Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Fázistérfogat Egyenes mentén zajló súrlódásos mozgások esetén x =F (x ) α x σ=α Súrlódás disszipáció változtatja, összehúzódik Exponenciálisan zsugorodik egy pont felé x =F (x ) x Oka: második főtétel, irreverzibilitás: időfejlődés iránya Fázistérfogat csökkenése a hiperbolikus fixpont és a spirális attraktor körül Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Fázistérfogat Tágulás (~ negatív súrlódás): rendszer jelentős mértékű energiát vesz fel a környezettől Termikus egyensúly megszűnik, átmenetileg σ > 0 Konzervatív mozgások Fázistérfogat állandó súrlódás elhanyagolható Fázistérfogat alakja jelentősen megváltozhat Teljes mechanikai energia állandó Pl. bolygómozgások
Általános kétdimenziós dinamika 2D-ben is vannak fixpontok Stabilitás: kis kitérésre adott válasz, mindkét irányban Erőtörvény linearizálva együtthatók képezik a stabilitási mátrixot Mátrixból kiszámíthatóak a stabilitási együtthatók és az összehúzódási ráta Hat lehetséges fixpont van
Általános kétdimenziós dinamika Hiperbolikus pont (instabil fixpont) Elliptikus pont (stabil fixpont) súrlódás = 0 Spirális attraktor (stabil fixpont) súrlódás > 0 Csomópontattraktor (stabil fixpont) súrlódás >> 0 Ha σ > 0 akkor a súrlódás < 0 (energiát közlünk a rendszerrel) -> taszító pontok, attraktor ellentéte Spirális repellor Csomópontrepellor
Általános kétdimenziós dinamika Globális fázistér: fixpontoktól távoli fejlődés Hiperbolikus pontok stabil és instabil sokaságai fontosak Jelentős területekre kiterjedhetnek Stabil sokaság mindig különböző attraktorokat választ szét Poincaré-Bendixson-tétel: két dimenzióban csak fixpont és határciklus attraktorok létezhetnek. Bonyolultabb attraktorok trajektóriái metszenék egymást 3D-től feljebb léteznek bonyolult, kaotikus mozgások is kialakulnak
Általános kétdimenziós dinamika Általános kétdimenziós disszipatív rendszer sematikus fázistérképe Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Gerjesztett mozgások - bevezető Az egyszerű rendszer környezete nem mindig állandó az időben Periodikus hatás a rendszerre Motorral hajtott test, évszakok, napok Környezet változása: gerjesztés Megnöveli a fázistér dimenzióját Redukció: fázistér közvetlen szemléltetése helyett leképezések bevezetése Gerjesztett rendszerekben létrejöhet káosz
Általános vonások Mozgásegyenlet: explicit függés a helytől és az időtől 2x/ t2 = a = F(x) αv + Fg (x,t) Fg gerjesztés periodikus, T idővel: Fg (x,t+t) = Fg (x,t) A rendszer nemautonóm Autonóm rendszert bármikor indítva, ugyanazt a mozgást kapjuk Mozgás lefolyása ez esetben függ a gerjesztés mértékétől: függ a kezdőidőponttól (x,v) síkbeli trajektóriák általában metszenék egymást Fázistérnek van egy harmadik dimenziója
Általános vonások Gerjesztőerő az idő helyett a fázis (φ) függvényében is felírható Ismerni kell a φ0 kezdőfeltételt A mozgást három elsőrendű differenciálegyenlet írja le: x/ t = v v/ t = F(x) αv + Fg (x,φ) φ/ t = 2π / T = Ω = áll. Ekkor a fázistér három dimenziós: x, v és φ határozza meg az állapotát
Általános vonások Gerjesztett mozgás trajektóriája a háromdimenziós fázistérben Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Általános vonások A rendszer mechanikai energiája nem marad meg Gerjesztés hatására felvesz és lead Nincsenek nyugalmi állapotok Periodikus mozgás, periodikusan felvett-leadott energiával, létezhet határciklus Legegyszerűbb: T periódussal Lehet 2T, 3T,...nT is: n-es ciklusok
Általános vonások Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Stroboszkopikus leképezés Trajektória térbeli követése helyett Pillanatfelvételek összehasonlítása a rendszerről Pl. mindig adott fázisban, T idő elteltével φ φ0 = 2π, 4π, 6π... síkbeli metszetei a fázistérnek Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Stroboszkopikus leképezés A rendszer síkokra eső pontjai közt egyértelmű kapcsolat van (xn+1, vn+1) = M (xn, vn) A diszkrét koordinátákat összekapcsoló M szabály egy leképezés Több függvényből áll xn+1 = M1 xn ; vn+1 = M2 vn Az n+1. pont az n. képe, a leképezés alkalmazása az iterálás A mozgást leíró differenciálegyenlet diszkrét idejű differenciaegyenlete Mindig létezik, bár meghatározni nehéz is lehet
Stroboszkopikus leképezés Szabályos időközönkénti pillantás a rendszerre Stroboszkópikus leképezés Fázis mindig ugyanaz: leképezés alakja független attól, melyik síkmetszetet vesszük Autonóm, M független az n diszkrét időlépéstől A gerjesztetlen rendszerek megszokott (x,v) koordinátáit használja De a mozgás nem folytonos, a trajektória egy pontsorozat
Stroboszkopikus leképezés Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Stroboszkopikus leképezés Leképezésben az alakzatok dimenziója eggyel kisebb, mint a fázistérben T periódusú határciklus fixpont a leképezésben Kevesebb információt tartalmaz, mint a fázistér Mozgás általános jellege jól követhető Elveszett információ is visszanyerhető, sok eltérő φ0 kezdőfázisú leképezés együttes vizsgálatával
Folytonos idejű gerjesztések Két nagy család Harmonikus gerjesztés - folyamatos Fg (x,t) = f0(x) cos( t + j0 ) a gerjesztés frekvenciája legegyszerűbb esetben f0(x) amplitúdó konstans Periodikus lökdösés - pillanatszerű Dv = u I(x(t)), ha t = j0 / + nt, egyébként Dv = 0
Harmonikusan gerjesztett mozgás Stabil állapot körül Gerjesztett állapot is stabil marad Folytonos mozgás (fázistér) Határciklus-attraktor létezik Tfh. f0(x) = A = konstans Térbeli csavarvonal, hélix (v,x) síkra vett vetülete ellipszis Féltengelyek nagysága: A, A Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Harmonikusan gerjesztett mozgás Stroboszkopikus leképezés esetén Határciklus fixpont Vonzó pont: attraktor Exponenciális közeledés Pontok minden lépésnél elfordulnak Spirális fixpont
Harmonikusan gerjesztett mozgás Fázistér vetülete a trajektória metszéspontjaival és a határciklussal A metszéspontok és a fixpont a leképezésben Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Harmonikusan gerjesztett mozgás Instabil állapot körül Folytonos mozgás Várakozás: instabil mozgás instabil is marad, eltávolodik De felléphet olyan fázisban érkező gerjesztés is, ami mindig visszatéríti a kezdeti állapot felé: határciklus általános megoldás exponenciális távolodást ír le Instabil határciklus
Harmonikusan gerjesztett mozgás Stroboszkopikus leképezés Hiperbolikus fixpont Létezik stabil és instabil sokasága Vonalakra eső pontok mindig a vonalakra leképeződni fognak Vonalra eső mozgás a vonalon is marad Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Harmonikusan gerjesztett mozgás Gerjesztett rendszer határciklus körüli viselkedése a stroboszkopikus leképezésen ugyanolyan, mint a gerjesztetlen rendszer nyugalmi állapota körüli mozgás. Stabil határciklus spirális attraktor Instabil határciklus hiperbolikus fixpont
Lökdösött harmonikus oszcillátor Gerjesztés pillanatszerű, adott x helyen történik Impulzusátadás a helyzetet nem változtatja meg, a sebességet viszont igen v(t) függvényben ugrások x(t) függvény folytonos, de törések vannak benne - ugrás nagysága u I(x) Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Lökdösött harmonikus oszcillátor Pillanatszerű változás a sebességben: ekkor v nem meghatározott Leképezést konzekvensen a lökés előtti vagy utáni pillanatokból érdemes létrehozni Széles paramétertartományban kaotikus Kaotikus attraktor alakja a lökdösés amplitúdófüggvényének végtelenszeres megsokszorozódásaként áll elő Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Fixpontok 2D leképezésekben Ugyanazok, mint 2D fázistérben Hiperbolikus fixpont Elliptikus fixpont Spirális attraktor Csomópontattraktor Spirális repellor Csomópontrepellor
Terület-összehúzódási arány Két lépés közti fázistérfogat-változás Ugyanaz a szerepe, mint az összehúzódási rátának a fázistérben Alak változni fog Kis változások: nem kaotikus rendszer Gyorsan szétfolyó, fraktállá váló terület: kaotikus rendszer Kiszámítás: adott pontban linearizált leképezés derivált mátrixának Jacobi-determinánsa J < 1: összehúzódás; J > 1: tágulás
Jacobi-mátrix Parciális deriváltakból képzett Jacobi-mátrix A Jacobi-mátrix determinánsának nagysága megadja, hogy adott pont környezete a transzformáció hatására hányszorosára nő vagy csökken
Terület-összehúzódási arány Leképezés a fixpontban: x1* = M1(x1*,x2*); x2* = M2(x1*,x2*) Dx1 = x1 x1*; Dx1' = m11 Dx1 + m12 Dx2 ; Ahol mjk = Mj / xk deriváltak Ebből a Jacobi-determináns: Dx2= x2 x2* kis kitérésekre linearizálva: Dx2' = m21 Dx1 + m22 Dx2 J(x1,x2) = m11 m22 m12 m21 = = M1 / x1 M2 / x2 M1 / x2 M2 / x1
Leképezések tulajdonságai Folytonos idejű diff.egyenletek invertálhatóak belőlük képzett leképezések is invertálhatóak Léteznek nem invertálható leképezések is Nem diff. egyenletből, nincs valós fizikai megfelelője Logisztikus leképezés xn+1 = 1 a xn2 inverz: xn+1 = ± 1 xn/ a Inverz leképezés nem egyértelmű Időben nem megfordítható leképezésnek nincs hiperbolikus pontja (instabil sokaság az invertált dinamika stabil sokasága) Dinamikai modell-leképezés legyen invertálható!
Pékleképezés Egyszerű modell-leképezés Disszipatív rendszerekben megjelenő kaotikus viselkedés vizsgálatához Leképezés: (xn+1, vn+1 ) = B ( xn, vn), ahol B ( xn, vn) = B_ ( xn, vn) = (a xn, 2vn ), B ( xn, vn) = B+ ( xn, vn) = (1 +a (xn 1), 1 + 2(vn 1)), ha vn > 1/2 És 0 < a < 1/2. ha vn 1/2
Pékleképezés Egységnégyzetben definiáljuk x, v 0 és 1 között Minden lépésben Függőlegesen kétszer távolabb Vízszintesen a-szor közelebb az origóhoz vagy az 1,1 ponthoz Egyik irányban nyújtás, a másikban összenyomás Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Pékleképezés Szakaszosan lineáris leképezés A függvények lineárisak, de ugrásszerűen váltanak a határon Csekély nemlinearitás elegendő a káosz megjelenéséhez (Folytonos átmenet esetén az átmeneti szakasz erősen nemlineáris lenne) A H fixpontok hiperbolikusak Ezek a kölcsönható fixpontok szervezik a káoszt
Pékleképezés Káosz tulajdonságai 1.: szabálytalanság Iteráljuk a leképezést! - nincs ismétlődés Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Pékleképezés 2.: előrejelezhetetlenség Iteráljunk két közeli kezdőpontból, és mérjük a különbséget! Növekedés exponenciális (Logaritmikus skála!) A rendszer véges: exponenciális növekedés is véges Pontok a lehető legtávolabb kerültek egymástól Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Pékleképezés 3.: fraktálszerkezet Kövessünk egyetlen trajektóriát! Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Pékleképezés Szabályos geometriai struktúra rajzolódik ki A káosz nem összevisszaság vagy zaj Kívül eső kezdőfeltételből is gyorsan megközelítette a részhalmazt Vonzó részhalmaz a fázistérben: attraktor Kaotikus attraktor
Kaotikus attraktor Egyedi trajektóriák helyett egy fázistérfogat változása: Minden esetben ugyanahhoz a részhalmazhoz konvergál Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Kaotikus attraktor Vonzási tartomány: az egész egységnégyzet Attraktor nem pont vagy vonal, hanem bonyolult alakzat Disszipáció miatt a fázistérfogat nullához tart kaotikus attraktor nullméretű halmaz fraktál Fixpontok is részei az attraktornak Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Kaotikus attraktor Hiperbolikus fixpontoknak van instabil sokasága Iterálással hosszabbodik, egyre több szakadással Az instabil sokaságok jó közelítéssel megegyeznek a kaotikus attraktorral Első iteráció második harmadik Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Többes ciklusok Kettes ciklusok - két iterálás után tér vissza ugyanoda B2(x*,v*) = B(B(x*,v*)) = (x*,v*) Kétszer iterált leképezés fixpontjai Mindkét lépés az alsó v felső térfélre esik (0,0) és (1,1) fixpontok Nemtriviális megoldás: P1, P2 Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Többes ciklusok Kettes ciklus mindkét pontja instabil fixpont Saját instabil sokaságuk van Sok iterálás után megközelítik a kaotikus attraktort Nem esnek egybe a H fixpontok sokaságával Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Többes ciklusok Magasabb rendű ciklusok Általában több független megoldás létezik Minden pont rajta van az attraktoron Hármas ciklusok: Két független megoldás Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Többes ciklusok Tetszőleges m pontú ciklus minden pontja rajta van az attraktoron Egyre nagyobb ciklusok kirajzolják magát az attraktort Összes lehetséges megoldás összes lépése: 2m pont m=8 m = 10 m = 11 Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Többes ciklusok Nm = 2m exponenciálisan növekszik a pontok száma m tetszőlegesen nagy lehet Nm ~ ehm h = topologikus entrópia h = ln 2 = 0,693... a pékleképezésre Minden ciklus hiperbolikus, végtelen pontosan kell eltalálni Kaotikus attraktor a hiperbolikus ciklusok összessége Kaotikus mozgás: bolyongás az instabil ciklusok között Időlegesen közel lehet kerülni egy-egy ciklushoz, de végül eltávolodik tőle Káosz feltétele: minden pont instabil! (vs. eldőlő ceruza)
Stabil sokaságok Hiperbolikus pontnak vannak stabil sokaságai, ahol exponenciálisan meg lehet közelíteni a pontot! Stabil sokaság magát az attraktort közelíti meg Pékleképezés egységnégyzetét végtelen sűrűn behálózzák x tengellyel párhuzamos egyenesek Nem fraktál Vonzási tartomány: a teljes egységnégyzet Stabil és instabil sokaságok metszik egymást
Stabil sokaságok Metszéspontok 2 csoportba sorolhatóak Heteroklinikus pontok: különböző cikluspontokhoz tartozó sokaságok metszéspontjai Homoklinikus pontok: azonos ciklus stabil és instabil sokaságainak metszéspontjai Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Stabil sokaságok Homoklinikus ponthoz a rendszernek egyszerre kellene közeledni és távolodni Sohasem érhetik el Homokl. pontok homokl. pontokra képződnek le Heterokl. pontok heterokl. pontokra képződnek le Mindkettőből végtelen sok van a kaotikus attraktoron Attraktor bármely pontjához tetszőlegesen közel van mindhárom-féle pont, az attraktor ezek gyűjteménye A káoszt, mint instabil pontok körüli bolyongást a het. és hom. pontok jelenléte okozza
Mitchell Feigenbaum (1944 - ) Logisztikus leképezés tanulmányozása 1975 r paramétertől függ a viselkedés mi lesz az átlagos eredmény?instabil módon ingadozik
Logisztikus leképezés
Feigenbaum szám rend és káosz közötti határtartományra koncentrált: lassú számítógép, nyomtatója nem volt kézzel írta le a számokat és hosszú percekig várt a következőre elkezdte találgatni, aztán rájött hogy nem kell találgatni geometriailag egy pont felé tartottak (~telefonpóznák) konvergencia aránya: 4.669 perióduskettőződés állandó arányban van más egyenleteknél is: pl. xn+1= r sin (π xn)
Univerzális konstansok δ = 4.6692016091... minden egydimenziós függvény, melynek egy kvadratikus maximuma van ezzel az aránnyal bifurkál a kaotikus állapotba. α = 2.5029078750... egymást követő villa-ágak szélességének aránya
Univerzalitás elmélete kezdeti bizalmatlan fogadtatás folyóiratok elutasítása előadások, preprintek révén vált népszerűvé első káosz konferencia: 1977
Majdnem intrazitív rendszerek intranzitív rendszerek több stabil megoldás külső hatás készteti az átmenetbe majdnem intranzitív (Lorenz) átlag körül ingadozik minden látható ok nélkül áttér egy másik átlag körüli ingadozásra
Jégkorszakok Milanković-elmélet Hógolyó föld hipotézis Másik stabil állapot: hó a szárazföldeken, jég az óceánokban, napsugárzás 70 százalékát visszaveri modellek hajlamosak ebbe az állapotba jutni lehetséges magyarázat: Majdnem intranzitív rendszer
Mágneses pólusváltás átlagosan 200 ezer évente következik be utoljára 780 ezer évvel ezelőtt történt. dinamóhatás instabilitások
Napfoltszám R=k(10g+s) s: napfoltok száma g: napfolt csoportok száma k: észlelőhelytől és berendezőtől függő koefficiens
Albert Libchaber kísérlete 1977-79 hélium egy kis dobozban
Libchaber-kísérlet kis belső súrlódás, érzékeny a fűtésre 0.001 C hőmérséklet különbség beindította a konvekciót teljes perióduskétszereződési sorozat megjelent átmeneti frekvenciák, időnként 3 henger Maurer & Libchaber 1979 Le Journal de Physique
Bifurkációs kísérletek Megismételték vízzel, higannyal Bifurkációs sorozat követése: elektromos oszcillátorokban lézerben kémiai reakciókban stb... 80-as évek folyadékmodellel kísérletek: különös attraktor megtalálása
Bifurkáció típusok Nyereg-csomó bifurkáció Vasvilla bifurkáció (Perióduskétszerező bifurkáció) Transzkritikus bifurkáció Hopf-bifurkáció
Nyereg-csomó bifurkáció (tangens bifurkáció) Normál alak: r < 0 két fixpont: - -r stabil és + -r instabil r = 0 bifurkációs pont r > 0 nincs fixpont
Vasvilla bifurkáció Szuperkritikus: r < 0 egy stabil fixpont x=0 r =0 bifurkációs pont r > 0 egy instabil x=0 és két stabil - r és + r Szubkritikus: r < 0 egy stabil fixpont x=0 és két instabil - r és + r r =0 bifurkációs pont r > 0 egy instabil x=0 Strogatz
Perióduskettőződés vs. nyereg-csomó bifurkáció
Transzkritikus bifurkáció Normál alak: ~ logisztikus egyenlet, de itt megengedjük, hogy r és x negatív legyen r < 0 két fixpont x=0 stabil és x=r instabil r=0 bifurkációs pont r > 0 két fixpont x=r stabil és x=0 instabil Minden paraméterre van fixpont, megváltozik a stabilitása Strogatz
Hopf bifurkáció (Poincaré-Andronov-Hopf bifurkáció) Fixpont határciklus Szuperkritikus: stabil határciklus Szubkritikus: instabil határciklus Strogatz
Utak a káoszhoz 1. Perióduskétszerező bifurkáció 2. Kváziperiodicitás 3. Intermittencia 4. Krízis
Kváziperiodicitás (Ruelle &Takens 1971) Kettő vagy több irracionális arányú periódus: sosem ismétlődik, de az idősor periodikusnak tűnik fix pont Hopf-bifurkáció határciklus + második frekvencia (ha irracionális) kváziperiodicitás (Newhouse-Ruelle-Takens (1978) harmadik frekvencia 3D tórusz kis perturbációk szétrombolják káosz
Forrás: Dr. Kazuyuki Aihara
Intermittencia (1979 Pomeau & Mannville) hosszú periodikusnak tűnő mozgások között szabálytalan időközönként kaotikus kitörések a fixpont környezetéből sok-sok iteráción keresztül jut ki, ezért a periodikusnak tűnő szakasz hosszabb mint a kaotikus
Krízis (Grebogi et al. 1982) Kaotikus tranziens közelében töltött idők egyre hosszabbak míg végül sosem hagyja el a kaotikus attraktort Pl. Hénon-leképezés akrizis = 1.080744879... b = 0.3 Kimutatható, hogy a kaotikus tranziens közelében töltött átlagos idő arányos (a-akrízis)-γ γ kritikus exponens
Tranziens káosz Szemplińska-StupnickaChaos, Bifurcations and Fractals Around Us Hétköznapi példa: bevásárlókocsi kereke Lyukas biliárd asztal: zárt biliárdasztalon a kaotikus mozgás megszűnik ha egy lyukon távoznak a golyók Első alkalmazás: akusztika: 1898 Sabine képlet térfogat/elnyelő felület = 0.16
Mágnesezett inga az inga előbb vagy utóbb valamelyik mágnes fölött állapodik meg, de előtte szabálytalan mozgást végez vonzási tartományok: fraktál fraktálhatár közelében indított mozgás hosszú ideig szabálytalan = tranziens káosz Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Ljapunov-exponens Kaotikus rendszerekben az egymáshoz közeli kezdőhelyzetből indított pályák tipikusan exponenciálisan távolodnak egymástól a fázistérben. (= kezdőfeltételekre való érzékenység) A távolodás mértékét a Ljapunov-exponens (λ) jellemzi: Alekszandr Mihajlovics Ljapunov (1857-1918)
Ljapunov-exponens Ha λ < 0 exponenciálisnál lassabb távolodás stabil fixpontba vagy stabil határciklus attraktor felé tart Aszimptotikus stabilitás (disszipatív rendszerek) Ha λ = 0 állandó állapot. Ljapunov stabilitás (konzervatív rendszerek) Ha λ > 0 exponenciális távolodás (kaotikus) lokális Ljapunov-exponens átlagos Ljapunov-exponens Lépésközönként a két pálya kezdeti eltérésére normalizálnak Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Ljapunov-exponens A fázistér különböző irányaiban λ különböző: n dimenziós gömbből n dimenziós ellipszoid i-edik Ljapunov-exponens definíció: p1(t) p1(0) p2(0) λ1> λ2 > > λn p2(t)
Ljapunov-exponens Kaotikusság feltétele: legalább egy pozitív Ljapunov-exponens elég a legnagyobb Ljapunov-exponenst kiszámtani Ljapunov-exponensek változása a krízis során
Ljapunov-exponensek Meghatározásukhoz hosszú adatsor szükséges
Ljapunov-dimenzió (Kaplan-York dimenzió) K a legnagyobb egész szám, melyre a Ljapunov-exponensek összege pozitív értéket ad (K n) (dhaussdorf dl) Példa: Lorenz-attraktor λ1 = 0.906 λ2 = 0 λ3 = -14.572 Ljapunov-dimenzió: 2+(0.906+0)/ (-14.572) =2.062
Ljapunov-idő Pályák széttartásának időbeli gyorsaságát a legnagyobb Ljapunov-exponens reciprokával szokás jellemezni: Ezen idő alatt közeli pontokból kiinduló pályák eltérése e-szeresére nő előrejelzési idő
Előrejelzési idő Példa: legyen Δr0=10-6 kezdeti pontatlanság kaotikus rendszerben az előrejelzési idő ne(kaotikus)=1/λ ln(1/δr0) nemkaotikus rendszerben: legrosszabb esetben is csak lineárisan nő a hiba, az előrejelzési idő ~ ne(nemkaotikus)=1/λ (1/Δr0) λ=1 mellett ne(kaotikus) ~ 14, ne(nemkaotikus) ~ 106 Csökkentsük a hibát 3 nagyságrenddel ne(kaotikus) ~ 21, ne(nemkaotikus) ~ 109 Kaotikus rendszerben az előrejelezhetőség lényeges javítása reménytelen
Magas dimenziójú káosz Rössler (1979) javasolt egy kifejezést az egynél több pozitív Ljapunov exponenssel rendelkező rendszerekre: hiperkáosz Második legnagyobb Ljapunov-exponens 0 fölé kerül
Determinisztikus rendszer A rendszerre ható erők ismeretében a jelenlegi állapotból kiszámítható a jövőbeli állapot E. Halley (1656-1742) ókori megfigyelések elemzésével: Jupiter közeledik, Szaturnusz távolodik Laplace (1749-1827) úgy gondolta, hogy az égitestek mozgása perturbációszámítással tetszőleges pontossággal kiszámítható perturbációszámítással (első rendig) i.e 228-as megfigyelésig visszamenőleg -> két bolygó keringési periódusa közötti 5/2-es arány látszólagos szekuláris mozgást okoz (900 éves periódusú nagy amplitúdójú perturbáció) Leverrier: Uránusz pályaháborgásaiból Neptunusz pályájának kiszámítása (1846 Galle felfedezte) Determinizmusba való hit megerősödése
Égi mechanika Problémák: Perturbációs sorok rezonanciák közelében nem konvergensek Naprendszer hosszútávú stabilitására következtetéseket levonni nem lehet Poincaré: bizonyos kezdőfeltételekre a mozgás hihetetlenül bonyolult lehet KAM elmélet: több szabadsági fokú nemlineáris rendszerek rezonanciák közeli fázisterét konvergens sorokkal leírni nem lehet Neptunusz ismeretlen eredetű perturbációi (1930 Tombaugh által felfedezett Plútó nem magyarázza)
Naprendszer Sok szabadságfokú nemlineáris rendszer, számos rezonancia fellép Kaotikus jelenségek a Naprendszer égitestjeinek mozgásában is fellépnek 1980-as évektől az égi mechanika egyik fő kutatási területe (számítástechnika fejlődése volt szükséges hozzá)
Konzervatív káosz tulajdonságai Pl. rugós inga, csigán lengő testek Poincaré-metszetek Zárt fázisgörbék 3D fázistérben: tóruszok Jellegzetes képződmények: elliptikus stabil ciklusok kis környezetében rezgőmozgás alakul ki, de a súrlódás hiánya miatt véges távolságban marad Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Tóruszok szerepe Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Tóruszok szerepe Csavarási szám: ν=ω1/ω2 ω1 a tórusz felületén való körbefordulás frekvenciája ω2 a tórusz középvonala menti körbefordulás frekvenciája Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Rezonáns tóruszok maradványai Kis perturbáció hatására az irracionális tóruszok invariáns görbéi megmaradnak, a racionális tóruszon (KAM-tórusz) felbomolhatnak (KAM tétel) sugárirányba mozdulhatnak Poincaré-Birkhoff-tétel: perturbált csavarleképezésnek páros számú fixpontja van, elliptikus és hiperbolikus fixpontok felváltva Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Rezonáns tóruszok maradványai Elliptikus fixpontok körül felvett pontok igyekeznek ott maradni Káosz a rezonanciák hiperbolikus fix pontjai közelében alakulnak ki Oka: homoklinikus pontok sűrűsödése (instabil egyensúlyi pontok stabil és instabil sokaságának metszéspontja), terület megmarad, egyre vadabbul viselkedő szeparátrixok Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Rezonáns tóruszok maradványai Elliptikus pontok környezete egyre finomabb skálákon ismétli önmagát Forrás:Tél Tamás -Gruiz Márton:Kaotikus dinamika
Tóruszok szerepe A KAM-tóruszok a 3D fázisteret független tartományokra bontják Reguláris mozgások a KAM-tóruszokon, közöttük kaotikus régió Egyik kaotikus tartományból a másikba nem lehet átjutni Magasabb dimenzióban a kaotikus tartományok összefüggnek Fázispont bolyongása alatt átjut: Arnold-diffúzió (1977. Nekhorosev), lassú folyamat (minél kisebb a perturbáció annál lassabb)
Pályaelemek fél nagytengely excentricitás inklináció pericentrum argumentuma felszálló csomó hossza pericentrum-átmenet időpontja
Perturbáció típusai Szekuláris: perturbációs függvény lineáris (évszázadnyi idő alatt válik jelentőssé) Naprendszer stabilitásának kérdésével szorosan összefügg Periodikus: perturbációs függvény periodikus Rövid periódusú: ~ keringési idő, kis amplitúdó Hosszú periódusú: nagy amplitúdó (pl. Jup-Szat) Rezonancia: nagy amplitúdójú, hosszú periódusú változásokkal jár Vegyes szekuláris perturbáció: másodrendű perturbációk esetén
Szekuláris perturbációk Laplace-Lagrange tétel (1773) Bolygópályák fél nagytengelyében nincsenek elsőrendű szekuláris perturbációk, ha a középmozgások nem összemérhetők 1809 Poisson: másodrendben sincs, de vannak vegyes szekulárisok Haretau (1855) Meffroy (1958) harmadrendben vannak (de lehet, hogy hosszú periódusú változásokká összegződnek) harmadrendnél magasabb rendű perturbációk megoldása sokáig megoldatlan volt 1976 Message: egyetlen rendben sincs, de a sorok konvergenciája nem bizonyított 1984 Burns: a sorok nem mindig konvergensek Naprendszer stabilitásának problémáját analitikus módszerekkel nem sikerült megoldani
Naprendszer stabilitása Numerikus szimulációk Külső bolygókra: 1972 Cohen et al..: 1 millió évre 1984: Kinoshita & Nakai 4 millió évre 1986 Applegate et al.: 210 millió évre 1988 Süssmann & Wisdom 875 millió évre Plútó mozgása kaotikus Belső bolygókra nehezebb (kisebb lépésköz kell, hiba megnő) 1990 Laskar 200 millió évre belső bolygók mozgása kaotikus 1992 Süssmann & Wisdom teljes Naprendszerre 200 millió évre l
Naprendszer stabilitása Külső bolygók pályaelemeinek viselkedése több száz millió év alatt hasonló marad Mozgásuk reguláris belső bolygók több száz millió éves időskálán kaotikus változások:tl= 5 millió év (Ljapunov-idő) Oka: szekuláris sajátfrekvenciák közti rezonanciák Pályák térbeli orientációjának bizonytalanságához vezet Következmény: pályamenti helyzetet nem lehet pontosan előrejelezni 10 millió évre sem Excentricitások inklinációk csak kis mértékben változnak
Rezonanciák a Naprendszerben Kritérium: Középmozgás rezonáns aránya együttállás a kisbolygó perihéliumánál Rezonanciaváltozó φ librációja a rezonancia centruma körül (ingadozás) energiától és kezdőfeltételtő függ pályaelemek librációja Perturbációs függvény R=μ'ΣScosφ Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Rezonanciák a Naprendszerben Neptunusz-Plútó: 3/2 Jupiter-holdak: Io-Europa 3/2, Europa-Ganymedes 2/1 Szaturnusz-holdak: 2/1, 4/3, 1/1 Kisbolygók között: Neptunusz-plutínók: 3/2 Jupiter-Trójai kisbolygók:1/1 Hilda-csoport-Jupiter:3/2 Kirkwood-zónák-Jupiter: 3/1, 5/2, 7/3, 2/1, (4/1) Mars-Heureka:1/1
Középmozgás-rezonanciák a Jupiterrel csoportosulások (Trójai-kisbolygók, Hilda-csoport) üres régiók: Kirkwood-zónák (Kirkwood, 1867) Kiürülés magyarázatára számos elmélet statisztikai hipotézis - csak látszólagos: kisbolygók a rezonancia körül oszcillálnak, idejük nagy részét a rezonanciáktól távol töltik gravitációs hipotézis: gravitációs perturbációk hatására kerülnek ki 1970-es években ellenőrizték, Kirkwoodzónába helyezett próbatest nem hagyta el a zónát a gravitációs perturbációk hatására ütközéses hipotézis: pályaelemek erősen változnak itt, ütközés valószínűsége nagyobb nem vizsgálták
Középmozgás-rezonanciák a Jupiterrel Áttörés: Wisdom (1982,1983): kaotikus diffúzió Excentricitás 105-106 év alatt megnő Többszöri Mars-közelítés, erős perturbációk 3/1 rezonanciát vizsgálta, fázistér szerkezetét feltérképezte folytonos rezonáns tagok helyett rövid ideig ható impulzusok numerikus integrálás helyett analitikus összefüggések iterációjával számolható az impulzusok között és alatt is,~1000-szer gyorsabb, nincs integrálási hiba
Középmozgás-rezonanciák a Jupiterrel Kis és nagy excentricitású időszakok váltakoznak szabálytalanul Nagy excentricitás: Mars-pályát metszheti Későbbi számítások: e = 0.9-ig is eljuthat Föld, Vénusz pályáját is metszhetik Nagyobb tömeg, nagyobb perturbáció, hatékonyabban járul hozzá a zónák elnéptelenedéséhez 5/2 rezonanciánál ugyanaz a mechanizmus nagy átfedésű kaotikus területek vannak a fázistérben
Szekuláris rezonanciák szerepe 7/3 esetén a Mars pálya eléréséhez nagy excentricitás kell (>0.42), de ekkorára nem növekedhet Szaturnuszt is figyelembe kell venni szekuláris rezonanciáknak komoly szerepe van: megváltoztatják a fázisszerkezetet Egész fázisteret kitöltő kaotikus tartomány e=0.7-ig nőhet (Földig akár) gyorsan kiürül Újabb számítások: óriásbolygók szekuláris rezonanciái még hatékonyabbak, mint a Mars-közelítések magukban
Szekuláris rezonanciák Pályaellipszisek vagy pályasíkok forgása közt lép fel Pl. kisbolygó pályaellipszise vagy pályasíkja körbefordulásának szekuláris frekvenciája racionális arányban van a bolygórendszer szekuláris alapfrekvenciájának valamelyik lineáris kombinációjával 3 fő szekuláris rezonancia Jupiter pályaellipszisével Szaturnusz pályaellipszisével Jupiter pályasíkjával Együtt forog velük a kisbolygóé Rezonancia-régiók kiürülnek, nincs csoportosulás
Középmozgás-rezonanciák 2/1 rezonancia fázistér lényegesen más, mint a 3/1-nél csak a Jupitert figyelembe véve nem magyarázható Szaturnusz perturbációi plusz dimenzió a fázistérben, kaotikus diffúzió lehetséges e és i is nagyon megnőhet, belső bolygók perturbációi okozzák az elnéptelenedést a diffúzió sebessége azonban kicsi, sokáig a rezonanciában maradhatnak: 6 kisbolygót ismerünk a 2/1-es Kirkwood-zónában
Középmozgás-rezonanciák 2/1 rezonancia fázistere 3/2 rezonancia fázistere reguláris tartomány kisebb, mégis sok kisbolygó van benne Hilda csoport Ok: kisebb Ljapunov-exponensek: elnéptelenedés még nem zajlott le Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Középmozgás-rezonanciák 1/1 rezonancia Trójai kisbolygók Közelítőleg a Jupiter pályáján (~12 év) L4, L5 pontok körül librálnak (145-240 év) Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Trójai kisbolygók Eredet nem egyértelmű több összetevő lehet Befogott bolygókezdemények Szökött Jupiter-holdak Befogott, kiégett üstökösök (kis valószínűség) Hasonlóak vannak köztük: ütközések fontosak lehettek 15% kaotikus pályán Szekuláris rezonanciák felszálló csomó mozgása Stabil káosz: pályaelemek csak kissé változnak, értékek pontosan nem előrejelezhető, de közelítőleg igen, hosszú időre
Kisbolygók más nagybolygók Lagrangepontjai körül Föld: Cruithne (5 km) lópatkó pálya Mars pálya keresztezés: 2500 évvel ezelőtt Föld pálya keresztezés: 2750 év múlva Vénusz pálya keresztezés: 8000 év múlva Mars L4: 1 db L5: 3 db (pl.: Eureka) Uránusz L4: 1 db Neptunusz L4: 9 db
Kisbolygók mozgása Földközeli kisbolygók Bolygóktól származó perturbációk miatt a fázistér bizonyos tartományai kaotikusak Lehetséges becsapódás, befogás, szökés egyik csoportja PHA (Potentially Hazardous Asteroids) potenciálisan veszélyes kisbolygók: 0,05 CSE (7480000 km) távolságon belül keresztezi a Föld pályáját és abszolút magnitúdója 22,0 vagy annál kisebb. ( >150 m) Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Chiron: Kisbolygók mozgása perihélium Szaturnusz pályáján belül aféliuma Uránusz pályájához közel többször megközelíti majd a nagybolygókat, különböző közeli kezdőfeltételekre más végeredmény kaotikus Valószínűségi kijelentések: 1/8 valószínűséggel kidobódik a Naprendszerből 7/8 valószínőséggel befele dobódik, Jupiter befogja 1988-ban csóvát észleltek üstökös Kentaurok közé sorolják: olyan objektumok amik átmeneti pályán vannak a Kuiper-övezetből a rövidperiódusú üstökösök Jupiter-családjába
Kisbolygók mozgása Kozai-rezonancia (névadó Kozai kisbolygó) Nagy inklinációjú földközeli kisbolygóknál a perihélium argumentuma librál, vele összhangban az excentricitás is Minimális perihéliumtávolságot magasan az ekliptika fölött érik el Pálya csomópontja a Földpályán kívül lesz Védőmechanizmus a Földdel való szoros találkozás ellen Kisbolygóövezet külső részén a Jupiter elkerülésére ugyanez a mechanizmus
Üstökösök mozgása pl. Shoemaker-Levy-9 1994 Jupiterrel való ütközés 1993-ban fedezték fel, pálya visszakövetése: Valószínűleg a Jupiter-családhoz tartozó röviperiódusú üstökös volt és valamikor ( ~1960, v. 1929±9) Jupiter körüli pályára állt ennél többet nem lehet mondani, mivel a pálya kaotikus
Plútó e=0.25 igen excentrikus pálya 3/2 középmozgás-rezonancia a Neptunusszal Plútó perihéliuma nem forog körbe a többi bolygóval ellentétben, hanem a felszálló csomótól 90 -ra lévő egyensúlyi helyzet körül 24 -kal librál, periódusa 4,1 millió év Kaotikus mozgás TL= 20 millió év (Ljapunov-idő)
Kuiper-övezet dinamikája Edgeworth 1949 Kuiper 1951 független felvetés a Jupiter-család üstököseinek problémájára kis inklinációjú rövidperiódusú üstökösök nem jöhettek az Oortfelhőből felfedezés 1992
Kuiper-övezet dinamikája Stabil és instabil tartományok Neptunusszal való középmozgás-rezonanciák stabilizálnak pl. plutínók: 3/2 rezonanciánál instabil tartományban lehetnek stabil pályák
Rezonáns találkozások Két égitest pályáinak fejlődése során rezonanciába kerülnek egymással pl. bolygó holdjainak pályái dagálysúrlódás energiavesztesége miatt pályája növekszik (impulzusmomentum állandó) holdak kifele mozognak, egymáshoz közelednek, távolodnak, eközben rezonanciák kialakulhatnak Rezonáns találkozás: rezonancia szeparátrixa közel kerül a fázistérbeli trajektóriához kimenetele két féle: befogás: tartós rezonáns pár kialakulása áthaladás
Jupiter holdjai Galilei holdak: Io, Europa, Ganymedes, Callisto Rezonanciák: Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája Együttállási konfigurációk
Szaturnusz holdak Rezonanciák: Mimas-Tethys: 2/1 Enceladus-Dione: 2/1 Titan-Hyperion: 4/3 Dione-Helena: 1/1 Tethys-Telesto: 1/1 Tethys-Calypso:1/1 Janus-Epimetheus: 1/1 Mimas Hyperion Titan Dione Calypso Helene Telesto
Koorbitálisok: közel azonos pályán, egyik lemarad a másiktól, amikor a másik megint utoléri, helyet cserélnek
Föld tengelyforgása Precessziós egyenletek (Laskar et al. 1993) Hold és a Nap forgatónyomaték hatása (luniszoláris precesszió), Hold hatása kétszerese a Napénak Bolygók perturbáló hatása (planetáris precesszió) ekliptika oszcillációk Ha valamelyik frekvencia egyezik a precessziós frekvenciával, rezonancia lép fel Jupiter-Szaturnusz közti szekuláris rezonanciától származó kis tag jelentős szerephez jut, közel van a precessziós frekvenciához
Föld tengelyforgása Precessziós frekvencia változhat, pontos rezonanciába kerülhet Föld dinamikai lapultságának változása miatt (jégkorszak) dőlésszög módosul precessziós frekvencia módosul 0-60 közötti tartomány stabil 60-90 közötti tartomány kaotikus, több planetáris precessziós frekvenciával is rezonanciába kerülhet, néhány millió év alatt a dőlésszög néhányszor tíz fokot is változhat 90-125 ismét reguláris
Föld tengelyforgása Hipotetikus eset: ha a Hold nem lenne Precessziós frekvencia harmada lenne, még több lehetséges rezonancia, ezek fedik egymást kiterjedt kaotikus zónak 5-85 közötti tartomány kaotikus, néhány millió év alatt 50 -ot változna a dőlésszög beláthatatlan következmények az éghajlat alakulására nézve Tehát a Hold stabilizáló hatású, a luniszoláris precessziós frekvenciát távol tartja planetáris precessziós frekvenciákkal való rezonanciáktól.
Bolygók tengelyforgása
Bolygók tengelyforgása Precessziós egyenletek numerikus integrálásával minden bolygóra elvégezhető a globális stabilitásvizsgálat: Merkúr: mielőtt az árapályerők stabilizálták, nagy kaotikus változásokon mehetett keresztül Vénusz: Földdel hasonló forgástengellyel keletkezhetett, kaotikus fejlődés vitte el a forgástengelyt (másik elmélet szerint fejjel lefelé keletkezett) Mars tengelyforgása jelenleg is kaotikus: tartomány 0-60 véletlenül hasonlít csak a Földére belső bolygók nullához közeli dőlésszöggel keletkezhettek, kaotikus fejlődésen mentek át, Merkúrt, Vénuszt disszipatív erők stabilizálták, a Földet pedig a Hold
Bolygók tengelyforgása Külső bolygók: Dőlésszögek stabilak Oka: pályasíkok szekuláris perturbációi jól elkülönülő frekvenciájú tagokból állnak, nincs átfedés, nincs rezonancia Kérdés, hogy a Naprendszer kialakulásának korábbi szakaszában fejlődhettek-e valamikor kaotikusan
Szabálytalan alakú holdak rotációja Hyperion kaotikus viselkedése Szaturnusz holdja, 185x140x113 km Voyager-1 mérte a fényességét, kiderült hogy a tengelyforgás szögsebessége és a forgástengely iránya kaotikusan változik Néhány keringésre előre sem lehet pontosan előrejelezni kaotikus tengelyforgás minden szabálytalan alakú holdnál fellép Oka: dagálysúrlódás, ami a tengelyforgás és a keringés szinkronizálására törekszik A tengelyforgás-keringés rezonanciát kiterjedt kaotikus zóna veszi körül a fázistérben, a szinkronizáció előtt áthaladnak ezen a tartományon Minden szabálytalan hold átesett már ezen, csak a Hyperion maradt még ebben az állapotban
Szabálytalan alakú holdak rotációja modellezés: perturbált ingával libráció: tengelyforgás-keringés rezonancia cirkuláció: hold forgó mozgása A két állapot közti átmenetnél kaotikus zóna kis perturbáció (Phobos), nagy perturbáció (Hyperion) Forrás:Érdi Bálint A Naprendszer dinamikája
Idősorok vizsgálata Periodikus idősorok vizsgálata: Fourier-analízis Nemperiodikus jelek: Idő-frekvecia módszerek Visszatérési térképek Globális áramlás-rekonstrukció Árulkodó jelek: pl. kis és nagy amplitúdók sorrendjének megváltozása
Fourier-transzformáció függvény: szinusz hullámok szuperpozíciója Fourier-paraméterek: amplitúdó, frekvencia, fázis
Fourier-spektrum
Fourier-spektrum amplitúdó a frekvencia függvényében végtelen folytonos periodikus idősor: Dirac-delta valós periodikus adatok: véges idő csúcs kiszélesedése nem folytonos összetett csúcsok nemszinuszos alak harmonikusok megjelenése zaj: fehér zaj kis amplitúdójú csúcsok az teljes spektrumon színes zaj frekvenciafüggő kis amplitúdójú csúcsok moduláció oldalcsúcsok
Fehérítési eljárás Fourier-paraméterek meghatározása a spektrumból
Moduláció Forrás: Benkő et al. 2013
Bifurkációs Fourier-spektrumok
Fourier-analízis korlátai nemperiodikus adatsorokra nem használható jól időben változó amplitúdó és/vagy frekvencia hamis csúcsokat eredményez Példa: két csatolt Rössler oszcillátor kaotikus adatsora és Fourierspektruma
Fourier-analízis korlátai Adatsor darabolással a frekvencia időbeli változása látszik
Idő-frekvencia módszerek ablakot végigcsúsztatunk az adatsoron és a benne lévő pontokat analizáljuk SFT-transzformáció (short-term Fourier transform):fix ablak, Gauss-görbével súlyozva wavelet-traszformáció: frekvenciától függő ablakszélesség
Idő-frekvencia eloszlás Napfoltszám változása
Idő-frekvencia eloszlások Aktív csillagok
Globális áramlás-rekonstrukció csillag luminozitása: g(tn) fázistérbeli áramlást reprezentáló, de dimenziójú vektor: Xn= { g(tn), g(tn- ),...,g(tn-(de-1) trajektória de beágyazási dimenzióban szomszédos pontokat F operátor (leképezés) kapcsolja össze: Xn+1=F(Xn) ahol F={F1, F2,..., Fde} a leképezés komponenseit polinomiális alakban keressük és iterálással szintetikus trajektóriákat generálunk Ezekből meghatározhatók a Ljapunov-exponensek, Ljapunovdimenzió
Globális áramlás-rekonstrukció sematikus ábra
Globális áramlás-rekonstrukció Szabad paraméterek: de : beágyazási dimenzió (4,5,6) : az időeltolás paramétere, erre érzékeny az eljárás, van egy optimális tartomány p : illesztett polinom rendje Bemenő adatsor követelményei: egyenletes mintavételezés feltétel, optimális adatsűrűség zaj szeparációja: átlagolás és simítás: (spline simítás, Gauss szűrés) tapasztalati úton
Broomhead-King projekció Szintetikus adatsorok összehasonlítása az eredetivel 1. Idősor, 2. Fourier-spektrum 3. Broomhead-King projekció: korrelációs mátrix sajátvektorainak irányába számított vetületek kaotikus periodikus
spline Δ s=0.006 4-25 s=0.005 s=0.004 s=0.003 s=0.002 s=0.001 s=0.000 w=1 w=2 w=3 w=4 w=5 Gauss szűrés Paramétertér áttekintő ábra példa w=6
Statisztikailag meghatározott tulajdonságok Ha a szintetikus adatsor hasonlít az eredetire = jó rekonstrukció Sok jó szintetikus adatsor Ljapunov-dimenziója meghatároz egy tartományt eredeti adatsor Ljapunov-dimenzója Szintetikus adatsorok tetszés szerinti hosszúságra iterálhatóak
FNN algoritmus (FNN = false nearest neighbor) beágyazási dimenzió meghatározására A trajektórián egy pont szomszédainak száma hogyan változik a dimenzió növelésével Ha túl alacsony a dimenzió: a szomszédos pontok közül sok hamis Ha a dimenzió megfelelő vagy nagyobb: a szomszédos ontok valódiak, a hamis szomszédos már nem lesznek szomszédos pontok hamis szomszédok aránya beágyazási dimenzió
TISEAN programcsomag Szabad forráskódú, Linux alatt működő Nemlineáris idősorok analíziséhez Elérhetőség: http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~tisean/ Introduction Philosophy of the TISEAN implementation Nonlinear noise reduction General computational issues Simple nonlinear noise reduction Phase space representation Locally projective nonlinear noise reduction Delay coordinates Nonlinear noise reduction in a data stream Embedding parameters Lyapunov exponents Mutual information The maximal exponent False nearest neighbors The Lyapunov spectrum Principal components Dimensions and entropies Poincaré sections Correlation dimension SVD filters Takens-Theiler estimator Visualization, non-stationarity Gaussian kernel correlation integral Recurrence plots Information dimension Space-time separation plot Entropy estimates Nonlinear prediction Testing for nonlinearity Model validation The concept of surrogate data Simple nonlinear prediction Iterative Fourier transform method Finding unstable periodic orbits General constrained randomization Locally linear prediction Measuring weak nonlinearity Global function fits
Kaotikus változócsillagok Pulzáció: csillag ritmikus összehúzódása és tágulása Ami fenntartja: Kappa-mechanizmus: csillag opacitása (átlátszatlansága) változik Részleges ionizációs zónában: Opacitás a hőmérséklettel nő, de a hőmérséklet növekedésével tágul is rekombináció, hőmérséklet csökken, opacitás csökken, összehúzódás Pulzációs frekvenciák nemlineárisan csatolódhatnak káosz
Kaotikus változócsillagok Nemlineáris dinamikai vizsgálathoz hosszú pontos és folyamatos adatsor szükséges Nagy amplitúdójú (vizuálisan is megfiyelhető) hosszú periódusú hónapos éves skálájú) változócsillagok AAVSO adatbázis (American Association of Variable Star Observers) amatőrcsillagászati megfigyelések gyűjteménye Kis amplitúdójú (nagy távcsővel megfigyelhető) rövid periódusú (perces időskálájú) változócsillagok egy vagy több helyszínről néhány éjszaka hosszú adatsorok Egyéb esetekben űrtávcsövek
Kaotikus változócsillagok Káosz detektálása: RV Tauri típusú csillagok: R Scu, AC Her Félszabályos változók: R Umi, RS Cyg, V Cvn, UX Dra, SX Her Mira típusú: R Cyg W Virginis pulzációs modell RR Lyrae pulzációs modell Perióduskétszereződés detektálása: Fehér törpék RR Lyrae csillagok BL Her pulzációs modell és csillagok
Pulzáló változók a Herzsprung-Russel diagramon
RR Lyrae fénygörbe - perióduskettőződés Forrás: Szabó et al. 2010, MNRAS, 409, 1244