Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok alsó és felső határa.. Sorozatok fogalma, korlátos sorozatok, mooto sorozatok. Kovergecia két defiíciója, uicitási tétel. Kovergecia és korlátosság kapcsolata. 3. Részsorozat defiíciója. Koverges sorozat részsorozatáak kovergeciájára voatkozó tétel. Divergecia defiíciója. Tágabb értelembe koverges sorozatok. 4. Sorozatok műveleti tulajdoságai. Összeg, szorzat, kostasszoros, háyados határértéke. 5. Nullsorozat fogalma. Korlátos sorozat és ullsorozat szorzatáak határértéke. Határérték mootoitására voatkozó tétel. 6. Redőr elv. Koverges sorozat abszolút értékéek kovergeciájára voatkozó tétel. Mooto sorozat kovergeciájára voatkozó tétel. Tágabb értelembe vett határérték esetére is. 7. Bolzao-Weiestrass-féle kiválasztási tétel. Cauchy-féle kovergecia kritérium. Függvéyek határértéke, folytoossága: 8. Néháy evezetes függvéy. Abszolútérték-függvéy egészrész-függvéy, törtrészfüggvéy, előjel-függvéy, valós rész függvéy. Poliomok, racioális törtfüggvéyek. 9. Számhalmaz torlódási potja. Függvéy határértéke I. Végesbe véges határérték defiíciója, példa. Végesbe végtele határérték defiíciója, példa. 10. Függvéy határértéke II. Végtelebe véges határérték defiíciója, példa. Végtelebe végtele határérték defiíciója, példa. 11. Átviteli elv. Műveletek határértékkel. 1. Poliomok határértéke. Gyökfüggvéyek határértéke. Trigoometrikus függvéyek határértéke. A si ( \{ 0} függvéy határértéke. 13. Folytoosság defiíciója, kapcsolata a határértékkel. Folytoosságra voatkozó műveleti tulajdoságok. Átviteli elv. Szakadási helyek osztályozása, példák. 14. Folytoos függvéyek tulajdoságai (5 tétel bizoyítás élkül. 15. Epoeciális és logaritmusfüggvéyek.
16. Sius függvéy és iverze. Cosius függvéy és iverze. Tages függvéy és iverze. Cotages függvéy és iverze. Differeciálszámítás: 17. Derivált értelmezése, geometriai, fizikai jeletése. Differeciálhatóság szükséges feltétele. 18. A differeciálhatóság defiíciójáak egy ekvivales átfogalmazása. Összeg, szorzat, háyados differeciálhatóságára voatkozó tétel. Közvetett függvéy differeciálhatóságára voatkozó tétel. Iverz függvéy differeciálhatóságára voatkozó tétel. 19. Lokális mootoitás defiíciója, lokális mootoitásra voatkozó tétel. Lokális szélsőérték defiíciója. Szélsőérték létezéséek szükséges feltétele. 0. Rolle-tétele. Lagrage-tétele. Cauchy-tétele, 1. Itervallumo való mootoitás és a derivált közötti kapcsolat. Darbou-tétele.. 0 0 típusú és típusú határértékre voatkozó L Hospital-szabály. 3. Többször differeciálható függvéyek. Taylor-formula, és aak következméye. 4. Kove, kokáv halmaz, függvéy defiíciója. Koveitás szükséges és elegedő feltételei. 5. Szélsőérték létezéséek elégséges feltételei. 6. Ifleiós pot defiíciója. Ifleiós pot létezéséek szükséges és elégséges feltétele. 7. Aszimptota defiíciója, kiszámítása, függvéyvizsgálat lépései. Itegrálszámítás: 1. Primitív függvéy defiíciója, tulajdoságai. Műveleti tulajdoságok.. Parciális itegrálás szabálya. Helyettesítéses itegrálás szabálya. 3. Racioális törtfüggvéyek itegrálása. 4. A határozott itegrál fogalma. 5. Riema itegrálra voatkozó műveleti-tulajdoságok. Riema itegrál mootoitására voatkozó tétel. Itegrálható függvéy abszolút értékéek Riema itegráljára voatkozó becslés. 6. Itegrálható függvéyek. Newto-Leibiz formula.
7. Itegrálfüggvéy defiíciója, és a rá voatkozó tétel. Itegrálfüggvéy és primitív függvéy kapcsolata. Határozott itegrálra voatkozó parciális itegrálás. Határozott itegrálra voatkozó helyettesítéses itegrálás. 8. Itegrálszámítás alkalmazásai I. Síkidomok területe, kör területe. Görbe ívhossza, kör kerülete. 9. Itegrálszámítás alkalmazásai II. Forgástest térfogata. Gömb térfogata. Forgásfelület felszíe, gömb felszíe. Differeciálegyeletek: 10. Differeciálegyelet fogalma. Szétválasztható változójú differeciálegyeletek. Elsőredű lieáris differeciálegyeletek. 11. Homogé másodredű, kostas együtthatós differeciálegyeletek. Ihomogé másodredű, kostas együtthatós differeciálegyeletek. Végtele sorok: 1. Numerikus sorok defiíciója, sorok kovergeciája, divergeciája. Nevezetes sorok. 13. Cauchy-féle kovergecia-kritérium sorokra. Kovergecia egy szükséges feltétele. Műveletek végtele sorokkal. 14. Összehasolító kritérium. Improprius itegrálok defiíciója. Itegrálkritérium. 15. Leibiz-kritérium. Cauchy-féle gyökkritérium. D Alambert-féle háyadoskritérium. Többváltozós függvéyek: 16. Többváltozós függvéyek. (Defiíció, megadás, ábrázolás. -beli potsorozatok kovergeciája. 17. Halmaz, potsorozat korlátossága -be. Kovergecia és korlátosság kapcsolata -be. Torlódási pot fogalma -be, Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. 18. Többváltozós függvéy határértéke, műveleti tulajdoságok. Többváltozós függvéyek határértékéek kapcsolata az iterált határértékekkel. 19. Többváltozós függvéy folytoossága. Kétváltozós függvéy parciális deriváltja. Parciális deriválhatóság és folytoosság kapcsolata, geometriai jeletés. 0. Kétváltozós függvéyek differeciálhatósága. Parciális differeciálhatóság és differeciálhatóság közötti kapcsolat. 1. Kétváltozós függvéy szélsőértéke. Szükséges feltétel, elégséges feltétel. Feladatok Sorozatok:
1. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozatok határértékét! = c, a ( b 1, =. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozatok határértékét! ( 1 =, a ( α b ( =, ( α > 0 3. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozatok határértékét! a ( = a,, a b ( =, + 4. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozat határértékét! a =,, a! 5. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozat határértékét! ( =!, 6. Vizsgálja meg a következő sorozat kovergecia szempotjából! 1 = 1 +, 7. Határozza meg defiíció alapjá az alábbi sorozat határértékét! ( = q, ( q Függvéyek differeciálhatósága: 8. Kostas függvéy, idetikus leképezés deriváltja. 9. Hatváyfüggvéy deriváltja. 10. Sius függvéy deriváltja. 11. Cosius függvéy deriváltja. 1. Logaritmusfüggvéy deriváltja. 13. Epoeciális függvéy deriváltja. 14. Iverz trigoometrikus függvéyek deriváltja. 15. Valós kitevőjű hatváyfüggvéy értelmezése, deriváltja. g 16. f alakú függvéyek differeciálása.
Itegrálszámítás: 17. A + B ( a + b + c ( 4 < 0,,,,,, d b ac A B a b c A + B d b ac A B a b c a + b + c 18. ( 4 < 0,,,,, ( 19. si d, cos d kiszámítása. 1 1 0. d, d ( si cos kiszámítása. 1. ( tg, ( ctg, ( si,cos kiszámítása. kiszámítása. R d R d R d itegrálok kiszámítása.. P( e α d; R( e d; P( ld itegrálok kiszámítása. 3. ( ( R, d; itegrálok kiszámítása., ;, a + R a b d R b + d itegrálok kiszámítása. c + d 4. ( R a b c d itegrál kiszámítása trigoometrikus helyettesítéssel. 5. (, + + 6. f (, [ 0, ] = 1 függvéy Riema itegrálja defiíció alapjá. 1 7. d( α > 0 improprius itegrál létezéséek vizsgálata. 1 α