Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t cos(t) (d) y 3y 4y = 3e t + sin t 8t cos(t) (e) y 3y 4y = e t Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: (a) y y 3y = 3e t (b) y + y + 5y = 3 sin(t) (c) y y 3y = 3te t (d) y + y + y = e t 3 Határozzuk meg a kezdetiérték probléma megoldását: y + 4y = t + 3t, y(0) = 0, y (0) = 4 Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + 4y = 3 csc t, (csc t = 1/ sin t) 5 Határozzuk meg az alábbi két differenciálegyenlet megoldását a konstans variációs módszerrel majd a próba függvény módszerrel is (a) y 5y + 6y = e t (b) 4y 4y + y = 16e t/ 6 Határozzuk mega következő differenciálegyenlet általános megoldását: y + y = tan t, 0 < t < π 1
7 Határozzuk mega következő differenciálegyenlet általános megoldását: 4y + y = sec(t/), π < t < π (sec t = 1/ cos t) 8 Tekintsük a következő differenciálegyenletet: t y t(t + )y + (t + )y = t 3, t > 0 Először ellenőrizzük le, hogy az Y 1 = t, Y = te t függvények a megfelelő t y t(t+)y +(t+)y = 0 homogén egyenlet fundamentális megoldását adják Ezek után határozzuk meg az eredeti inhomogén egyenlet általános megoldását! 1 Mivel Eredmények ezért először a homogén részt oldjuk meg: y i,alt = + (1) Y 3Y 4Y = 0 A karakterisztikus egyenlet r 3r 4 = 0 Ennek gyökei: Az általános megoldás r 1 = 1, r = 4 () = c 1 e t + c e 4t (3) Vegyük észre, hogy a baloldal és így a homogén rész általános megoldása közös a következő 5 feladatban 1a Mivel nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek ezért az y = partikuláris megoldást y = c e t alakban keressük A c konstans meghatározásához az y = c e t függvényt vissza helyettesítjük az y 3y 4y = 3e t egyenletbe Ehhez először kiszámoljuk: y = ce t, y = 4ce t
Vissza helyettesítés után kapjuk: (4c 3 c 4 c) e t = 3e t Innen c = 1/ Vagyis y = = 1 et Ez és (3) együttesen azt adja, hogy y i,alt = c 1 e t + c e 4t 1 et 1b Csak az y = partikuláris megoldást meghatározása van hátra, hiszen az megoldást már előbb meghatároztuk Az y = megoldást keressük y = A cos t + B sin t alakban Vagyis meg kell határozni az A és B konstansokat úgy hogy y = A cos t + B sin t egy megoldása legyen az y 3y 4y = sin t (4) egyenletnek deriváltját: Ehhez kiszámoljuk az y = A cos t + B sin t első és második y = A cos t + B sin t, y = A cos t B sin t A (4) egyenletbe való vissza helyettesítés után: ( 5A 3B) cos t + (3A 5B) sin t = sin t A cos t és a sin t együtthatói mindkét oldalon meg kell hogy egyezzenek: 5A 3B = 0 3A 5B = Tehát: A = 3/17 és B = 5/17 Ezért = 3 17 cos t 5 sin t 17 3
Ez, (1) és (3) együttesen adja, hogy y i,alt = c 1 e t + c e 4t + 3 17 cos t 5 17 sin t 1c Meg kell határoznunk az A, B konstansokat úgy, hogy = Ae t cos(t)+ Be t sin(t) az y 3y 4y = 8t cos(t) differenciálegyenlet egy megoldása legyen Ehhez kiszámoljuk az első és második deriváltat: y = (A + B) e t cos(t) + ( A + B) e t sin(t), y = ( 3A + 4B) e t cos(t) + ( 4A 3B) e t sin(t) Vissza helyettesítve az y 3y 4y = 8t cos(t) egyenletbe kapjuk, hogy 10A + B = 8 A 10B = 0 A megoldások: A = 10/13 and B = /13 Tehát Ez, (1) és (3) együttesen adja, hogy: = 10 13 et cos(t) + 13 et sin(t) y i,alt = c 1 e t + c e 4t + 10 13 et cos(t) + 13 et sin(t) 1d Vegyük észre, hogy az egyenlet jobboldala az előző három egyenlet jobboldalainak az összege Használva, hogy az egyenletünk lineáris ez azt jelenti, hogy az általános az előző három egyenlet partikuláris megoldásainak megoldásainak összegeként kapjuk ezen egyenlet egy partikuláris megoldását: = 1 et + 3 17 cos t 5 17 Tehát az általános megoldás: sin t + 10 13 et cos(t) + 13 et sin(t) y i,alt = c 1 e t + c e } {{ 4t 1 + } et + 3 17 cos t 5 10 sin t + 17 13 et cos(t) + 13 et sin(t) 4
1e Használva ()-et látjuk, hogy a 1 egyszeres gyöke a karakterisztikus polinomnak Ezért egy partikuláris megoldást y = (At + B)e t alakban keresünk Vagyis meg kell találnunk az A és B konstansokat, melyekre az y = (At + B)e t függvény az y 3y 4y = e t egyenletnek megoldása lesz Először kiszámoljuk a deriváltakat: y = (A B)e t Ate t, y = ( A + B)e t + Ate t Vissza helyettesítés után adódik, hogy A = /3, B = 0 Így az y 3y 4y = e t egyenlet egy partikuláris megoldása Ez, (1) és (3) együttesen adja, hogy: = 3 te t y i,alt = c 1 e t + c e } {{ 4t + } 3 te t a y = c 1 e 3t + c e t e t b y = c 1 e t cos(t) + c e t sin(t) + 3 1 sin(t) cos(t) 17 17 cy = c 1 e 3t + c e t 3 16 te t + 3 8 t e t dy = c 1 e t + c te t + t e t 3 y = 7 19 sin(t) cos(t) + 1 10 40 4 t 1 + 3 8 5 et 4Az általános megoldást a y i,alt = + (5) formula adja mivel az egyenlet lineáris Az egyenlet homogén része: Y + 4Y = 0 Ennek karakterisztikus polinomja r + 4r = 0 A karakterisztikus polinom gyökei: r 1 = i, r = i A homogén rész általános megoldása: = c 1 cos(t) + c sin(t) (6) 5
Az y = partikuláris megoldás meghatározásához a konstans variációs módszert kell használnunk Vagyis meg kell határozni azon c 1 (t), c (t) konstansokat, melyekre: y = c 1 (t) cos(t) + c (t) sin(t) (7) egy megoldása az y + 4y = 3 csc t egyenletnek Ehhez a következő algebrai egyenletet kell megoldanunk: Az első egyenletből adódik, hogy c 1(t) cos(t) + c (t) sin(t) = 0 c 1(t) sin(t) + c (t) cos(t) = 3 csc t c (t) = c 1(t) cos(t) sin(t) Ezt a második egyenletbe vissza helyettesítve: c 3 csc t sin(t) 1(t) = Ezt az utolsó előtti egyenletbe vissza írva: Integrálás után kapjuk: = 3 cos t c (t) = 3 csc t 3 sin t c 1 (t) = 3 sin(t), c (t) = 3 ln csc t cot t + 3 cos t (Az integráláskor adódó konstansokat elhagyjuk mert csak egyetlen partikuláris megoldásra van szükségünk) Ezért y = = ( 3 sin(t)) cos(t) + ( 3 ln csc t cot t + 3 cos t) sin(t) Használva az (5) és a (6) formulákat kapjuk, hogy y i,alt = c 1 cos(t) + c sin(t) + ( 3 sin(t)) cos(t) + ( 3 ln csc t cot t + 3 cos t) sin(t) 5a y = c 1 e t + c e 3t + e t 5b y = c 1 e t/ + c te t/ + t e t/ 6 y = c 1 cos t + c sin t (cos t) ln(tan t + sec t) 7 y = c 1 cos(t/) + c sin(t/) + t sin(t/) + [ln cos(t/)] cos(t/) 8 y = c 1 t + c te t t 6