SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,.
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy keretében hllgtók megismerkednek z informtiki lpokkl, mjd z Ecel tábláztkezelő hsználtát sjátítják el. Ez feldtgyűjtemény összefogllj e tárgy keretében okttott, Ecellel kpcsoltos főbb témköröket, ismertnek tekintve z lpvető tábláztkezelői műveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrás. Az Ecel további lklmzási területeivel Számítástechnik II. tárgy fogllkozik. A példtár szerkezete: témkörönként rövid elméleti összefoglló, kidolgozott péld, mjd gykorlásr jánlott feldtok, melyek megoldás példtár végén megtlálhtók. Jelen példtár Dr. Molnár Sándor Számítástechnik I. tárgy keretében trtott elődásir épül. A példtár hsználtát megkönnyíti Dezső Ottó, Dr. Csikós Miklósné: Számítástechnik II. jegyzetének ismerete, mely Szent István Egyetemen jelenik meg évente. Ez feldtgyűjtemény kézirt, lehetséges, hogy még trtlmz hibákt. Minden egyes, először jelzett hibáért pontjutlmt d szerző. Trtlomjegyzék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS. MÁTRIXMŰVELETEK 8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA. FELADATOK EREDMÉNYE 8
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Ecel függvényt megdó mtemtiki összefüggés lpján nem tudj közvetlenül függvény görbéjét lerjzolni, de síkbeli (térbeli) pontokt dott koordinátákkl meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás főbb lépései: A függvény néhány pontjánk meghtározás: pontok koordinátáit trtlmzó táblázt. A pontok ábrázolás digrmvrázsló segítségével Pont (y), vgy Felület típusú digrmml, ttól függően, hogy függvény egy-, vgy kétváltozós. Függvényábrázolás Descrtes-féle koordinátrendszerben Kidolgozott feldt Ábrázolj z f ( ) ln sin függvényt z [;] intervllumon.-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény rdiánt hsznál z Ecelben.) Kidolgozás
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Függvényábrázolás polárkoordinát rendszerben A polárkoordinát rendszerben megdott függvényt először át kell írni Descrtes-féle koordinát rendszerbe, mjd zt z előzőekhez hsonlón lehet ábrázolni: Kidolgozott péld Ábrázolj z r ϕ függvényt [;ϕ ] intervllumon! Kidolgozás
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kétváltozós függvény ábrázolás Kidolgozott feldt: Ábrázolj f(,y) y függvényt [-;] intervllumon! Kidolgozás Felület típusú digrm lklmzásávl: Egyenlet megoldás grfikusn Feldt: f()g() meghtározás Egy digrmon ábrázolv f() és g() függvényeket görbék metszéspontjánk leolvsásávl z egyenlet közelítő megoldás meghtározhtó. Kidolgozott péld sin,? [-;] intervllumon.
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Kidolgozás Az egyenlet megoldás ±, Egyenlet megoldás Célérték-kereséssel Egyenlet megoldásár z Ecel beépített lehetősége Célérték-keresés. Főbb lépések Az egyenlet konstnsr rendezése Az egyenlet ismeretlent trtlmzó oldlánk celláb vitele Ecel képletként, kezdeti érték felvételével Eszközök menü Célérték-keresés Csk kezdeti értékhez legközelebbi gyököt tlálj meg, többit más kezdeti értékhez trtozó Célérték-kereséssel lehet meghtározni. Érdemes ezért először grfikusn meghtározni gyökök számát és körülbelüli értékét. Kidolgozott péld Oldj meg ln sin, egyenletet z [;] intervllumon, Az egyenlet bl oldlánk ábrázolás megdott intervllumon gyökök szám:, gyökök közelítő helye, ;, 6 ; 6, ld.. oldlon görbét. 6
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék A három különböző gyökre külön-külön Célérték-keresés: Célcell: képletet trtlmzó cell (egyenlet bl oldl) Célérték: milyen értéke legyen képletnek (egyenlet jobb oldl). Mindig egy vlós szám! Módosuló cell: hol változó vn. (Az értékét trtlmzó cell, mire képletben hivtkozunk.) Eredmény módosuló cellábn olvshtó le: A8,87 A másik két kezdeti értékre is lefutttv Célérték-keresést:,96997,,769 Feldtok. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [;] intervllumon!. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;] intervllumon,-es lépésközzel!. cos( ) Ábrázolj z h ( ) függvény görbéjét [-;] intervllumon! sin. Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon!. Ábrázolj z r( ϕ ) sin( ϕ / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon.6 Ábrázolj f (, y) sin cos y függvényt [-;] intervllumon! 7
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. MÁTRIXMŰVELETEK Összedás, kivonás Mátriok összedás, kivonás: megfelelő elemek összege (különbsége), csk zonos méretű mátriokkl végezhető műveletek. Kidolgozott péld A B?, h Főbb lépések A kiindulási mátriok Ecel tábláztb, tömbbe írás, mátri minden egyes eleme külön celláb kerül. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B:D7 tömb. Szerkesztőlécen képlet beírás: két tömb összege ( tömbök megfelelő celláink összege) A B Az eredménynek több cellábn kell megjelennie (többértékű függvényt lklmztunk), ezért nem Enter-rel, hnem Ctrl Shift Enter együttes lenyomásávl zárjuk szerkesztést. (Érdemes z Enter-t utoljár lenyomni, miközben másik két billentyűt benyomv trtjuk.) Az eredmény: Mátri szorzás konstnssl Kidolgozott péld: Htározz meg B c A mátriot, h c! A megoldás menete z összevonáshoz hsonló: A kiindulási dtok bevitele. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B:D7 tömb. Szerkesztőlécen képlet beírás: G*B:D Ctrl Shift Enter Az eredmény: 8
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Mátriok szorzás Két mátri összeszorozhtó, h méretükre igz: z első mátri oszlopink szám megegyezik második mátri sorink számávl. Az eredménymátri sorink szám z első mátri sorink számávl, z oszlopink szám második mátri oszlopink számávl egyenlő. A fentiekből következik, hogy tényezők sorrendje csk speciális esetben cserélhető fel. Mátriszorzás lépései Ecelben: A mátriok tábláztr vitele. Eredménymátri tömbjének kijelölése. Beépített függvény hsznált mszorzt(tömb;tömb) Ctrl Shift Enter Kidolgozott péld AB?, h A B Lépések: A mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, mszorzt(b:d6;g:h), Ctrl Shift Enter Eredmény: 9
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Mátri trnszponálás A mátri trnszponálás megfelelő sorok és oszlopok felcserélése. Kidolgozott péld Állíts elő z A mátri trnszponáltját! A Megoldás menete mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, trnszponálás(b:d) Ctrl Shift Enter Mátri determináns Az A négyzetes mátri determináns: det A, egy vlós szám. H det A, kkor z A mátri sori, oszlopi lineárisn függetlenek, zz egyik sor (oszlop) sem állíthtó elő többi sor(ok) (oszlop(ok)) vlmelyikeinek lineáris kombinációjként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, z egyik oszlop - szorosként, stb ). H det A, kkor éppen ellenkezőleg, z A mátri sori, oszlopi lineárisn összefüggők. (Pl. egyik sor előállíthtó másik két sor különbségének -szöröseként, stb ) Kidolgozott péld det A?, h A 7 Megoldás menete mátri tábláztb vitele után: Eredmény cellájánk kijelölése, mdeterm(tömb), Enter, mivel z eredményt egyetlen cellábn kell kiírtni.
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Mátri inverze Az A mátri inverze z mátri, mellyel bármely oldlról megszorozv z eredmény egységmátri: Fontos tudnivlók * A * A A A E Csk négyzetes mátrink vn inverze, h determináns nem null. Az inverz mátri z eredeti mátriszl zonos méretű. Az egységmátri mindig négyzetes, főátlóbn egyeseket, másutt nullákt trtlmz. (Jelen esetben mérete mátri méretével zonos.) Kidolgozott péld: A?, h A 7 Megoldás menete A mátri tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, inverz.mátri(tömb), Ctrl Shift Enter Eredmény: Feldtok:. Adottk következő mátriok: A 8 B 7 6 C D Végezze el z lábbik közül z elvégezhető műveleteket Ecel segítségével! ) A D b) B C c) d) A B e) ( B C) det( B) f) D C T A D
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris trnszformációk (eltolás, tükrözés, ngyítás, forgtás) megvlósíthtók egyegy lklmsn megválsztott trnszformációs mátri és síkbeli lkzt jellemző pontjiból lkotott mátri szorztként. Az eltolás mátri mitt szükséges z-es síkbn levő síkidomokt trnszformálni. Kidolgozott péld Forgss el z ABC háromszöget fokkl, ábrázolj z eredeti és trnszformált lkztot ugynbbn koordinát-rendszerben, h A(,), B(6,), C(,7). A háromszöget kkor tudjuk ábrázolttni, h feltüntetjük z összekötendő pontokt, ezért z A pont koordinátái kétszer szerepelnek mátribn. Az Ecel szögfüggvényei rdiánt hsználnk szögek mértékegységeként.
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kidolgozás
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Az eredeti és z elforgtott háromszög: Forgtás fokkl 9 8 -,8988, 8,67786 7, 7 6,696,,9876 Adtsor Adtsor 6,,88,,866, - 6 7 Feldtok. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;;), D(;7;)!. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-;;), B(;;), C(;;)
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer áltlános lkj.. n n......... m m nm m m m b b b n Feldt: dott ij és b i i,, n, j,,.m esetén j meghtározás b esetén. Lineáris egyenletrendszer megoldás z együtthtómátri inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírhtó mátriszorzás szbályink megfelelően z lkbn: Ab, hol A : n n oszlopvektor,... m... m z együtthtómátri : z ismeretlenek... m nm b b : z egyenletrendszer jobb oldlából képzett oszlopvektor. b n Az inhomogén egyenletrendszer ( b ) megoldhtó z lábbi lkbn, h z egyenletek lineárisn függetlenek egymástól, zz, h det A : A - *b A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges műveletek: det A érvényességének megvizsgálás A - meghtározás szükséges mátriszorzás elvégzése (sorrend fontos!)
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Kidolgozott péld Oldj meg z lábbi egyenletrendszert: 7 7 8 A már megismert műveletekkel z Ecelben megoldás: Egyenletrendszer megoldásár z Ecel beépített lehetősége SOLVER. Lineáris egyenletrendszer megoldás Solver segítségével Az előbbi feldt megoldás Eszlözök /Solver segítségével: (H menüben SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni Solver.l-r, mjd el kell indítni, vgy Eszközök/Bővíménykezelő menüpontbn be kell jelölni Solvert. A Solver lklms szélsőéték-feldtok megoldásár, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldásár, lineáris progrmozási feldt megoldásár ld. később.) Szükséges lépések: Az egyenletrendszert lkotó egyenletek konstnsr rendezése. Az ismeretlenek számár egy-egy cell kijelölése, célszerűen egy tömbben, kezdeti értékek megdásávl. Pl.:. Az egyes egyenletek ismeretlen trtlmzó oldlánk egy-egy celláb vitele képlet formájábn. Solver párbeszédblk kitöltése: Célcell: egyik egyenlet bl oldl, Célérték: z előbbi egyenlet jobb oldl (konstns!!!), Módosuló cell: Ismeretlenek tömbje, Korlátozó feltételek: többi egyenlet. 6
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kidolgozás Megoldás gomb megnyomás után Solver eredményeket z eredeti tábláztbn kérve z egyenletrendszer megoldás zb:d tömbben jelenik meg. (; -; ) Feldtok. Oldj meg z lábbi egyenletrendszereket z ismertetett módszerekkel: ) b) 8 6 d c b d c b d c b c b z y z y y c) w v u w u v u 7
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. FELADATOK EREDMÉNYE. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [,] intervllumon! f() 6 6. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;] intervllumon,-es lépésközzel! g() 8 6. Ábrázolj z cos( ) h ( ) függvényt [-;] intervllumon! sin h(),,,, -6 - - -, 6 8
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon! rsin(fi),,,, - -, - -, -,,,. Ábrázolj z r( ϕ ) sin( ϕ / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon rsin(fi/)^,8,6,, -, - -, -,, -, -,6 -,8.6 Ábrázolj f (, y) sin cos függvényt [-;] intervllumon! f(,y)sin cos,, -, - -, S S 9 7 S 9
SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok.. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;;), D(;7;)! A forgtás mátri O körül forgt, így feldt csk több lépésben oldhtó meg: Az lkzt eltolás úgy, hogy z A csúcs z origób kerüljön, mjd trnszformált lkzt elforgtás, s végül z elforgtott lkzt vissztolás, hogy z A csúcs z eredeti helyére kerüljön.
Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-,,), B(,,), C(,,) Tükrözés mátrii koordinát-tengelyre tükröznek, ezért több trnszformációs lépésben oldhtó meg feldt.. ) b) 8 6 d c b d c b d c b c b z y z y y c) w v u w u v u ) b c d b) Nincs egyértelmű megoldás, mert z együtthtómátri determináns null. c) u - v w