BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar MSc szakos hallgatósága számára ProfDr Zobory István egyetem tanár BUDAPEST
Változó együtthatós lneárs homogén dfferencálegyenletek, Bessel-féle dfferencálegyenlet A műszak feladatok széles spektruma vezet az alább szerkezetű változó együtthatós másodrendű közönséges lneárs homogén dfferencálegyenletre: ν y ( ) y ( ) ( ) y( ) = A fent másodrendű dffegyenletet ν-edrendű Bessel-féle dfferencálegyenletnek nevezzük A jelzett ν paraméteres dfferencálegyenlet-sereg eleme közül elsőnek a ν =, esetet azaz a zérórendű Bessel-féle dfferencálegyenletet tekntjük: y ( ) y ( ) y( ) = Az így adódott dfferencálegyenlet végtelen sok megoldása közül most azon partkulárs megoldást keressük, amely eleget tesz az y() = a és y () = a kezdet feltételeknek Ezen kezdet feltételeket fgyelembe véve az a együtthatóra azonnal adódk, hogy az csak zéró értéket vehet fel, hszen ellenkező esetben esetén a másodk tag szngulartást mutatna A jelzett kezdet feltételeknek eleget tevő partkulárs megoldást végtelen hatványsor alakú kísérletező feltevéssel (Ansatz-cal) keressük: Derválva: y a a a a a 4 ( ) 4 y ( ) a a a 4a 5 a y ( ) a a 4a 54 a 5 4 5 4 5 Az a = feltételt fgyelembe véve, és behelyettesítve a dfferencálegyenletbe, a következő felírás érvényes: a a a a ( 4 a a 4 a4 5 a5 ) = ( 4 4 54 5 ) 4 ( a a a a4 ), A megkívánt azonosan zérus eredményhez szükséges, hogy az azonos -hatványt tartalmazó tagok összevonása és az -hatványok kemelése után adódó hatványsor mnden együtthatója zérus legyen Így egy végtelen egyenletrendszert szolgáltat az egyelőre smertetlen együtthatók meghatározására és ez szolgáltatja a megoldásként felvett hatványsor együtthatót: a a a a = a = 6a a = a = a a4 4a4 a = a 4 = 4 stb A fentek alapján az adott y() = a és y () = a = kezdet feltételeket kelégítő egyparaméteres megoldás-sereg végtelen hatványsor összegeként adódk:
4 6 ya (, ) = a( ) 4 4 6 A továbbakban ebből a függvényseregből az a = választással adódó partkulárs megoldásnak adunk fontos szerepet, ez lesz a ν = hoz tartozó azaz zérusrendű elsőfajú Bessel-függvény: def 4 6 J( ) = ( ) 4 4 6 Tekntettel arra, hogy a másodrendű dfferencálegyenlet általános megoldását jelentő kétparaméteres megoldássereget két lneársan független partkulárs megoldás lneárs kombnácójaként állíthatjuk elő, most az J ( ) függvényhez egy tőle lneársan független másk partkulárs megoldás meghatározása szükséges A szóban forgó másk partkulárs megoldást az állandó varálásának módszerével határozzuk meg Ismeretes, hogy bármely homogén lneárs dfferencálegyenlet valamely partkulárs megoldásával együtt annak konstansszorosa s megoldás, azaz a zérórendű J ( ) Bessel-függvénnyel együtt tetszőleges u valós konstans esetén az Y ( ) = u J ( ) függvény s megoldása a tekntett Bessel-féle dfferencálegyenletünknek Ahhoz, hogy a J ( ) -től lneársan független Y ( ) megoldást nyerhessünk az állandó varálása keretében az eddg konstansként említett c valós együtthatót az változó függvényének tekntjük, és keressük tehát a dfferencálegyenletünk másk megoldását Y ( ) = uj ( ) ( ) Alakban egyelőre smeretlen u() függvény szerepeltetésével Az u() meghatározásához kétszer derváljuk a szorzatfüggvény derválás szabálya szernt a felvett Ansatz -alakzatot: Y ( ) = u ( ) J( ) u( ) J ( ) Y ( ) = u ( ) J( ) u ( ) J ( ) u ( ) J ( ) u( ) J ( ) A nyert derváltakat vssza kell helyettesítenünk az eredet Bessel-féle dfferencálegyenletbe: Tovább rendezve: Y ( ) Y ( ) Y( ) = = u ( ) J( ) u ( ) J ( ) u ( ) J ( ) u( ) J ( ) [ u ( J ) ( ) uj ( ) ( ) ] uj ( ) ( ) = u( )( J ( ) J ( ) J( )) u ( ) J( ) u ( ) J ( ) u ( ) J ( ) u ( ) J ( ) = Az összeg első tagjában az smeretlen u() függvény mellett zárójeles kfejezés azonosan zérus, hszen épp az eredet Bessel-féle dfferencálegyenlet bal oldala szerepel a zárójelben és J ( ) az eredet Bessel-féle dfferencálegyenlet egy partkulárs megoldása a szereplő záró-
jeles kfejezés azonosan zérus Ennek fgyelembe vételével az smeretlen u() függvény másodk derváltja eplcte kfejezhető és az u()-re vonatkozóan egy másodrendű változó együtthatós lneárs dfferencálegyenletet kapunk: J ( ) u ( ) = ( ) u ( ) J( ) Vezessük be a q() = u ( ) helyettesítést, ezzel a fent dfferencálegyenletből az elsőrendű J ( ) q ( ) = ( ) q( ), J( ) lletve a dq J ( ) = ( ) d q J( ) szeparált alakú elsőrendű változó együtthatós dfferencálegyenlet adódk Az utóbb egyenlet mndkét oldalát ntegrálva a saját változója szernt a q() függvényre a ln q ( ) = ln J( ) ln ln c kfejezést kapjuk, amelynek utolsó tagja a belépett tetszőleges ntegrálás konstans célszerű (logartmkus kfejezéssel megadott) alakban való megjelenítésével szerepel Ilyen elrendezést tekntve a jobb oldal tagokat közös logartmus alá víve és mnkét oldalt e alapra hatványozva, c tetszőleges konstans szerepeltetésével a q(,c) megoldássereget kapjuk: c q ( ) = J ( ) Ezzel a keresett q()= u ( ) derváltra a fent függvénysereg adódott, melynek ntegrálásával előáll az állandó varálásakor bevezetett u() függvény: u ( ) = c d A, a J ( ) Itt c, a és A tetszőleges konstansok Ezzel a keresett másk, uj ( ) ( ) alakú partkulárs megoldás felírható (feltesszük, hogy A és c nem zérus): Y( ) = AJ( ) cj( ) d a J ( ) Bzonyítan kell, hogy a kapott Y ( ) megoldás lneársan független a kndulás J ( ) megoldástól Tekntsük evégből a két megoldásfüggvény fgyelembevételével adódó Wronsk de- termnánst: J ( ) AJ ( ) cj ( ) d J ( ) Y ( ) J ( ) W( ) = = = J ( ) Y ( ) d J AJ cj d cj d J ( ) d J ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) a a 4
= J () d AJ( ) J( ) cj( ) d J ( ) cj( ) d a J( ) d - a J( ) ( J ( ) AJ() J() cj() d a J () ) = c, ha c Mvel a két tekntett partkulárs megoldással készített Wronsk-determnáns nem zérus, így a lneárs függetlenség fennáll, tehát a vzsgált másodrendű dfferencálegyenlet két tetszőleges konstanst tartalmazó általános megoldása a következő alakban írható fel: yc (,, C) = CJ( ) CY( ) o A zérus rendű Bessel-függvényeket az ábra szemléltet ábra A zérus rendű Bessel-függvények Magasabb rendű Bessel-függvények származtatása A ν > - értékek esetén a ν y ( ) y ( ) ( ) y( ) = dfferencálegyenlet megoldásat a ν-edrendű Bessel függvények adják Az elsőrendű Bessel függvények azonban kapcsolatban állnak a nulladrendű Bessel függvényekkel az J ( ) = J ( ), Y( ) = Y ( ), összefüggések szernt Az ½ rendű és a -½ rendű Bessel függvények specáls tulajdonsága, hogy kfejezhetők elem függvényekkel Az elsőfajú függvények alakja a sn cos J/( ) = és J /( ) = π π 5
összefüggéspárral, míg a másodfajúak az Y/( ) = cos( π ) J/( ) J /( ) = J /( ) π sn Y /( ) = cos( π ) J /( ) J/( ) = J/( ) π sn( ) képletekkel adódnak A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozatát a ábra mutatja be ábra A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozata A másodfajú Bessel-függvények alakulását ν =,, rendszámokra a ábrán szemléltetjük ábra Másodfajú Bessel-függvények ν =,, rendszámokra 6
A Bessel függvények körében érvényesülő ortogonaltás A ν > - értékek esetén a lényeges szerepet kapnak a ν -edrendű első- és másodfajú Besselfüggvények zéróhelye Tekntsük a fentek szernt megengedett ν értékekre a Jν ( ) = egyenlet gyöket Ezek a < λ < λ < < λ n < sorozatba rendezhetők A nyert gyökök segítségével a Jν ( ) függvényből egy függvénysorozat generálható a J ( λ ), J ( λ ),, J ( λ ), ν ν ν Bzonyítható, hogy ezen függvénysorozat eleme a (,) ntervallumon a súlyfüggvényre nézve ortogonáls tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől függően kontrakcóval vagy dlatácóval képzett) sorozatelemek skalárszorzata a következőképp vselkednek: Jν( λ), Jν( λ j) d =, j, A Kronecker féle szmbólum alkalmazásával pedg még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre s kterjesztett eredmény adódk: Jν( λ), Jν( λj) d= δj J ( λ) d, j ν Ez az eredmény másképp azt jelent, hogy a { ν } = n J ( λ ) függvénysorozat a (,) ntervallum felett teljes ortogonáls rendszert képez, és segítségével a (,) felett értelmezett négyzetesen ntegrálható függvények sorba fejthetők az ortogonáls rendszert képező J ( λ ) függvénysorozat elemenek lneárs kombnácójaként, ez adja a Bessel függ- { ν } = vényekbe való sorfejtés alapesetét Az lyen ortogonáls sort Bessel-Fourer sornak nevezzük, mely az f() függvény esetében az ntegrál létezése és végessége esetén az f( ) d f ( ) = aj ν ( λ) konkrét formát ölt A sorkfejezésbe belépett együtthatókat az [ J ( λ )] ν = a = f( ) J ( λ ) d ; =,, képlet sorozattal kapjuk Tovább lehetőséget ad a Dn-féle ortogonáls függvényrendszer bevezetése a A p > - értékek esetén a lényeges szerepet kapnak a p -edrendű elsőfajú Bessel-függvények és a az utóbbak első derváltjaból felépített zéróhelye Tekntsük a fentek szernt megengedett p értékekre a aµ J p( µ ) b, J p( µ ) = egyenlet gyöket Ezek a < µ < µ < < µ n < sorozatba rendezhetők A nyert gyökök segítségével a J p( ) függvényből egy függvénysorozat generálható a ν 7
J ( µ ), J ( µ ),, J ( µ ), p p p n Bzonyítható, hogy ezen függvénysorozat eleme s a (,) ntervallumon a súlyfüggvényre nézve ortogonáls tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől függően kontrakcóval vagy dlatácóval képzett) sorozatelemek skalárszorzata a következőképp vselkednek: J p( µ ), J p( µ ) d =, j, A Kronecker féle szmbólum alkalmazásával pedg még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre s kterjesztett eredmény adódk: J ( µ ) A kapott { p } J p( µ ), J p( µ j) d= δ j J ( µ ) d,, j p = függvénysorozat a (,) ntervallumon smét teljes ortogonáls rendszert (nem normált!) képez A kapott függvényrendszer segítségével a (,) felett értelmezett J ( µ ) függvénysorozat négyzetesen ntegrálható f() függvények sorba fejthetők a { p } elemenek lneárs kombnácójaként, ez az ortogonáls sor adja az f() függvény Dn-Bessel- Fourer sorát A tekntett f() függvény esetében a Dn-Bessel-Fourer sor a f ( ) = bj p( µ ) = konkrét formát ölt, ahol a belépett együtthatókat a µ b = ( ) ( ) ;,, f J p µ d = µ J p( µ ) ( µ p ) J p( µ ) képlet sorozat szolgáltatja = 8