Állapottér modelle tulajdonságai 28..22. PTE PMMK MI BSc
Kalman-féle rendszer definíció Σ (T, X, U, Y, Ω, Γ, ϕ, η) T az időhalmaz X a lehetséges belső állapoto halmaza U a lehetséges bemeneti értée halmaza Y a lehetséges imeneti értée halmaza Ω - a lehetséges bemenet időfüggvénye halmaza Γ - a lehetséges imenet időfüggvénye halmaza ϕ - az állapotátmeneti függvény η - a iolvasó függvény Állapottér modelle tul./2
Állapottér modell Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell: & y ( t) A( t) + Bu( t) ( t) C( t) + Du( t) belső állapoto vetora u bemeneti vetor y imeneti vetor A állapot-átmeneti mátri (rendszer m.) B bemeneti mátri C imeneti mátri D segédmátri Állapottér modelle tul./3
Állapottér modell - megoldhatóság induljun i a rendszeregyenletből: & A + Bu t ( ) Laplace-transzformálva ezdeti feltétele mellett: ( s) AX ( s) BU ( s) sx + átrendezve X ( s) AX ( s) BU ( s) sx + ( si A) X ( s) + BU ( s) ( ) ( ) ( ) s si A + si A BU ( s) Állapottér modelle tul./4
Állapottér modell - megoldhatóság az (si-a) - értelmezése: A ( si A) I I + + +... 2 s s s s s inverz Laplace-transzformálva: L {( ) } 2 At si A I + At + A t +... e ahol e At a mátrieponenciális és t. 2! 2 A A 2 Állapottér modelle tul./5
Állapottér modell - megoldhatóság inverz Laplace-transzformálva az X ( ) ( ) ( ) s si A + si A BU ( s) egyenletet: A ( ) ( t t ) A( t τ t e + e ) ( τ ) dτ t Bu t a imeneti egyenlet: ( t) C( t) Du( t) y + Állapottér modelle tul./6
Állapottér modell - megoldhatóság a megoldás értelmezése: A ( ) ( t t ) A( t τ t e + e ) ( τ ) dτ Bu t t pillanatnyi állapot ezdőállapottól függő tag + bemenettől függő tag Állapottér modelle tul./7
Állapottér modell - megoldhatóság ( ) A( t t ) ( τ) + ( τ) A t t e e dτ Bu az első tag írja le a ezdő állapottól való függést e A(t-t ) Φ(t t ) állapotátviteli mátri (n n-es mátri) a másodi tag írja le a bemenettől való függést t t t t e A ( t τ ) ( τ ) τ Bu d ényszerfüggvény Állapottér modelle tul./8
Állapottér modell I/O modell apcsolata induljun i az állapottér modellből: & A + Bu Laplace-transzformálju mindét egyenletet zérus ezdeti feltétel mellett és fejezzü i az első egyenletből X(s)-t: helyettesítsün be a másodi egyenletben X(s) helyére: X Y Y y C + Du ( s) ( si A) BU ( s) ( s) CX ( s) + DU ( s) ( ) B + D U ( s) ( s) C( si A) Állapottér modelle tul./9
Állapottér modell I/O modell apcsolata innen Y U ( s) ( s) C ( ) si A B + D ez pedig nem más, mint az átviteli függvény: G ( s) L L { y( t) } { u( t) } z.. f. C ( ) si A B + D azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje özött az átviteli függvény teremti meg a apcsolatot Állapottér modelle tul./
Állapottér modell megfigyelhetőség Legyen adott egy rendszer állapottér modellje: & A + Bu y C Műödés özben mérhető paramétere a bemenete u(t) és a imenete y(t). A rendszer műödéséne megismeréséhez viszont ellene az állapotváltozó tetszőleges időpontbeli értéei Állapottér modelle tul./
Állapottér modell megfigyelhetőség Definíció: Megfigyelhetőség fogalma Az & A + Bu y C modellel megadott rendszert aor nevezzü teljesen megfigyelhetőne, ha tetszőleges t időponthoz tartozó (t ) ezdőállapothoz és u(t) bementhez létezi olyan t > t időpont, hogy y(t) t (t, t ] imenet ismerete elegendő (t ) ezdőállapot megadásához. Állapottér modelle tul./2
Állapottér modell megfigyelhetőség A megfigyelhetőség teljesüléséhez az ell, hogy a y t Bu t A ( ) ( t t ) A ( ) ( t τ t e t + e ) ( τ ) dτ A( t t ) ( t ) C( t ) Ce ( t ) egyenletből (t ) iszámítható legyen. Ehhez viszont Ce A(t -t ) mátri soraina ell a vizsgált időözben lineárisan függetlenne lenniü. Állapottér modelle tul./3
Állapottér modell megfigyelhetőség Tétel: Megfigyelhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az & A + Bu y C modellel megadott rendszer aor és csa aor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból épzett O megfigyelhetőségi mátri : O n CA M n CA teljes rangú: r(o n- ) n C Állapottér modelle tul./4
Állapottér modell irányíthatóság A szabályozási feladato célja, hogy a rendszer előírt állapotba erüljön. Ez az állapottér modellenél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vetor elemei vegyene fel egy meghatározott értéet egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgálju, hogy az modell állapotváltozóit adott induló állapotból iindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba. & y A C + Bu Állapottér modelle tul./5
Állapottér modell irányíthatóság Definíció: Állapotirányíthatóság Az & y A C + Bu modellel leírt rendszert egy adott (t,t ] időintervallumon teljesen állapotirányíthatóna nevezzü, ha tetszőleges (t ) ezdőállapothoz és tetszőleges (t ) végállapothoz létezi olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a ezdőállapotból a végállapotba átviszi. Állapottér modelle tul./6
Állapottér modell irányíthatóság Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az ell, hogy az A( t t ) A( t τ) ( t ) e ( t ) + e ( τ) dτ Bu összefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az e A(t -t ) B mátri soraina lineáris függetlenségét ellene vizsgálni. Ez nyilvánvalóan nehéz feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alalmazzu. t t Állapottér modelle tul./7
Állapottér modell irányíthatóság Tétel: Irányíthatóság teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel) Az & y A C állapottér modellel leírt rendszer aor és csa aor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból épzett C irányíthatósági mátri C + Bu teljes rangú: r(c n- ) n [ B AB A B A B] 2 n n K Állapottér modelle tul./8
Állapottér modell irányíthatóság Megj.: Létezi ún. imenet-irányíthatóság is, amior y(t ) vagyis a imenet értéeire írun elő övetelményeet. egy imenetű rendszerenél triviálisan teljesül szóhasználat: irányíthatóság állapotirányíthatóság Állapottér modelle tul./9
Állapottér modell tulajdonságo megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve apcsolatba hozható más állapottér tulajdonságoal állapottér modell megfigyelhető és irányítható az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető az állapotváltozó száma minimális Állapottér modelle tul./2
Állapottér modell tulajdonságo Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető: G ( s) L L { y( t) } { u( t) } b a ( s) ( s) C ( si A) B + D ( s z )( s z2 ) K( s zm ) ( s p )( s p ) K( s p ) K 2 n a(s), b(s) polinomo relatív príme, azaz nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel. Állapotváltozó száma minimális: ha evesebb állapotváltozóval írju le a rendszert, aor nem ugyanazt a rendszert apju (nem egyezne meg az átviteli függvénye). Állapottér modelle tul./2
Állapottér modell tulajdonságo Megj.: Egy rendszer állapottér modelljéne megadása nem egyértelmű, definiálható ún. hasonlósági transzformáció, melyeel a rendszer áttranszformálható mási alara, de az átviteli függvény nem változi! Állapottér modelle tul./22
Állapottér modell stabilitás Stabilitás fogalma & A + Bu Teintsü az állapottér modellt. y C BIBO stabilitás Korlátos bemenetre orlátos imenet ülső stabilitás, a imenet viseledését vizsgálju. Belső stabilitás A modell azaz az adott együttható mátrioal leírt rendszer stabilitása, az állapotváltozó viseledését vizsgálju. Állapottér modelle tul./23
Állapottér modell stabilitás Definíció: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi állapottér modell & ( t) A( t) ( t ) t > t azaz legyen a bemenet zérus, a ezdőfeltétele pedig nullától ülönbözőe. Aor nevezzü ezt a modellt belső stabilitásúna, ha az (t) megoldás ielégíti az alábbi feltételt: lim t ( t) Állapottér modelle tul./24
Állapottér modell stabilitás Definíció: Stabilitási mátri Egy A R n n mátriot stabilitási mátrina nevezün, ha valamennyi saját értée negatív valós vagy negatív valós részű omple szám: Re{λ i (A)} <, i,, n Megj.: A sajátérté fogalma Egy A R n n mátri sajátértéei a λi - A egyenlet λ i gyöei. Az n n-es mátrina n db sajátértée van. Állapottér modelle tul./25
Állapottér modell stabilitás Tétel: A belső stabilitás teljesülése Egy adott állapottér modell aor és csa aor belső stabilitású, ha az A mátri stabilitási mátri. Tétel: Belső stabilitás és a BIBO stabilitás apcsolata A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást. (Ha egy modell belső stabilitású, aor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.) Állapottér modelle tul./26
Állapottér modell stabilitás Stabilitásvizsgálati módszere: Stabilitási mátri definíciója alapján: A mátri sajátértéeine meghatározásával (csa ma. három állapotváltozós rendszere esetében). Ljapunov ritérium Állapottér modelle tul./27
Stabilitási ritériumo Tétel: Ljapunov ritérium Egy állapottér modell rendszermátria (A mátri) stabilitási mátri, azaz Re{λ i (A)} <, i-re, aor és csa aor, ha tetszőleges pozitív definit, szimmetrius Q mátrihoz létezi olyan pozitív definit, szimmetrius P mátri, hogy A T P + PA -Q Állapottér modelle tul./28
Diszrét állapottér modell Diszrét idejű állapottér modell az időtartományban itüntetett időponto adotta a változó értéei csa ezeben a mintavételi időpontoban ismerte a diszrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható a bemenő jel(e) egy nulladrendű tartón eresztül jut(na) a rendszerbe az állapottér modell első egyenlete differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz Állapottér modelle tul./29
Diszrét állapottér modell A lineáris, időinvariáns, diszrét idejű állapottér modell: + T Φ T + Γu T ahol Φ Γ e A AT y ( AT e I )B (( ) ) ( ) ( ) ( T ) C( T ) A, B a folytonos idejű modell együttható mátriai, T a mintavételezési idő Állapottér modelle tul./3
Diszrét állapottér modell áttérés a folytonos modellről diszrétre: induljun i a folytonos eset megoldásából ( ) A( t t ) ( τ) + ( τ) A t t e e dτ Bu írju fel ezt valamely t és t + mintavételi időpontora: t + + + + A ( ) ( t+ t ) A ( ) ( t τ t e t e ) ( τ ) dτ Bu t t t Állapottér modelle tul./3
Diszrét állapottér modell állandó mintavételi időt feltételezve: t t T + onst. illetve így t τ t Θ ( t t ) ( τ t ) Θ + τ + T behelyettesítve az új változóat a megoldásba, valamint nulladrendű tartót feltételezve: T + + AT A ( ) ( ) ( T Θ t e t e ) Bu( t ) dθ Állapottér modelle tul./32
Állapottér modelle tul./33 Diszrét állapottér modell az integrálást elvégezve: azaz a diszrét állapotegyenlet: ( ) ( ) ( ) T A AT T A T t Bu e e t Bu e Θ Θ Θ Θ d d [ ] ( ) AT T A T A e I A e A e d Θ Θ Θ ( ) ( ) ( ) ( ) AT AT t Bu I e A t e t + + Φ Γ
Állapottér modelle tul./34 Diszrét állapottér modell - megoldás Legyen () a ezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, eor ( ) ( ) ( ) u Γ Φ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u u u Γ ΦΓ Φ Γ Φ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 u u u u Γ ΦΓ Γ Φ Φ Γ Φ + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + j j j u u Γ Φ Φ Γ Φ M
Diszrét állapottér modell - megoldás összevetve a folytonos időtartománybeli eredménnyel: j ( ) ( ) j T Φ T + Φ Γu( jt ) pillanatnyi állapot ezdőállapottól függő tag t A t t A t τ Bu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t e t + e τ dτ + bemenettől függő tag t Állapottér modelle tul./35
Állapottér modelle tul./36 Diszrét állapottér modell diszét átviteli fv. Diszrét idejű pulzus válasz függvény h() : Induljun i a diszrét állapottér modell előbb levezett megoldásából és helyettesítsü be a imeneti egyenletbe: ebből látható, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C y u + + Γ Φ ( ) ( ) ( ) + j j j u Γ Φ Φ ( ) ( ) ( ) + j j j u C C y Γ Φ Φ ( ) < C h Γ Φ
Diszrét állapottér modell diszét átviteli fv. A diszrét idejű átviteli függvény a diszrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz: ( z) Z( h( ) ) H illetve h ( ) Z ( H ( z) ) Állapottér modelle tul./37
Diszrét állapottér modell - megfigyelhetőség Definíció: Megfigyelhetőség Az y ( + ) Φ( ) + Γu( ) ( ) C( ) diszrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőne nevezzü, ha véges számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-imenet páro ismerete elégséges a ezdőállapot megadásához: { u( ), K,u( ), y( ), K, y( ) } ( ) Állapottér modelle tul./38
Diszrét állapottér modell - megfigyelhetőség Tétel: Megfigyelhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az y ( + ) Φ( ) + Γu( ) ( ) C( ) diszrét idejű állapottér modellel leírt rendszer aor és csa aor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból épzett W O megfigyelhetőségi mátri : teljes rangú: r(w O ) n. W O C CΦ M n CΦ Állapottér modelle tul./39
Diszrét állapottér modell - irányíthatóság Diszrét idejű rendszerenél megülönböztetün irányíthatóságot elérhetőséget Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is. Állapottér modelle tul./4
Diszrét állapottér modell - irányíthatóság Definíció: Irányíthatóság Az y ( + ) Φ( ) + Γu( ) ( ) C( ) diszrét idejű állapottér modellt irányíthatóna nevezün, ha tetszőleges () ezdőállapothoz létezi olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba: () átvihető. Állapottér modelle tul./4
Diszrét állapottér modell - elérhetőség Definíció: Elérhetőség Az y ( + ) Φ( ) + Γu( ) ( ) C( ) diszrét idejű állapottér modellt elérhetőne nevezün, ha tetszőleges () ezdőállapothoz létezi olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba () átvihető. Állapottér modelle tul./42
Diszrét állapottér modell - elérhetőség Tétel: Elérhetőség teljesülése (Kalman-féle rangfeltétel): Az y ( + ) Φ( ) + Γu( ) ( ) C( ) diszrét idejű állapottér modellel leírt rendszer aor és csa aor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból épzett W C elérhetőségi mátri WC teljes rangú: r(w C ) n [ Γ ΦΓ Φ Γ Φ Γ ] 2 n K Állapottér modelle tul./43
Diszrét állapottér modell - stabilitás Stabilitás folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjü itt is a ülső (BIBO) és a belső (állapotváltozóra vonatozó) stabilitást iindulási modell itt is a y ( ) Φ( ) + Γu( ) ( ) ( ) C( ) + diszrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell. Állapottér modelle tul./44
Diszrét állapottér modell - stabilitás Definíció: Belső stabilitás Teintsü a ( +) Φ () () azaz legyen a bemenet zérus, a ezdőfeltétele pedig nullától ülönbözőe. Aor nevezzü ezt a modellt belső stabilitásúna, ha az () megoldás ielégíti az alábbi feltételt: lim ( T ) Állapottér modelle tul./45
Diszrét állapottér modell - stabilitás Tétel: Belső stabilitás teljesülése Egy diszrét idejű állapottér modell aor és csa aor belső stabilitású, ha a Φ mátri valamennyi saját értée az egység sugarú örön belül van: λ i (Φ ) < i,, n Állapottér modelle tul./46