A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció Lóczi Lajos BME Differenciálegyenlete Tanszé Konzulens: Huba Antal BME Mechatronia, Otia és Géészeti Informatia Tanszé
Jelölése, definíció Ebben a leírásban szoás szerint N := {,,,...} a természetes számoat, N + a ozitív egészeet, míg R a valós számoat jelöli. A zárt intervallumoat [a,b]-vel (a<b, a,b R), a nyíltaat (a, b)-vel jelöljü. A omlex számo halmazát C, a omlex ézetes egységet edig ı (ı = ) jelöli. Egy z=a+bı (a,b R) omlex szám valós részére a Re(z)=a, míg ézetes részére az Im(z)=b jelölést fogju használni. Az exonenciális- és az identitásfüggvény változómentes jelöléseor a megszoott ex(x) := e x és id(x) := x jelöléseet alalmazzu. Az irodalomban szoásos módon jelölje {, ha t [,+), (t) :=, ha t (,) az egységugrás- (angolul unitste), más néven Heaviside-függvényt. Egy g n : R R függvénysorozat n esetén egyenletesen onvergál egy g : R R függvényhez a H R halmazon, ha su g n (x) g(x) (n ). x H Az egyenletes onvergencia tehát azt jelenti, hogy a g függvényt a g n függvénysorozat elemei a H halmazon egyenletesen jól özelíti. (Figyeljü meg, hogy ez több annál, mintha csa azt övetelnén meg, hogy minden x H esetén ontonént lim n g n (x) = g(x) legyen: a H := (,) választás mellett a g n (x) := x n függvénysorozat éldául minden x H esetén ontonént onvergál a g(x) := függvényhez, ám a onvergencia su x (,) g n (x) g(x) = miatt nem egyenletes.) Emléeztetün végül arra, hogy egy g : R R függvényne valamely x R ontban ugrása van, ha a g függvény x-beli bal oldali határértée, g(x ) létezi és véges, hasonlóan, az x-beli jobb oldali határértée, g(x+) létezi és véges, de g(x ) g(x+).
. fejezet A Fourier-sorfejtés A sorfejtése elmélete arra eresi a választ, hogy egy adott függvényt hogyan lehet bizonyos szemontból egyszerűbb függvényeel özelíteni: a Taylor-soro elméletében a érdés éldául az, hogy egy (elegendően soszor differenciálható) függvény hogyan özelíthető olinomoal, vagyis hogyan írható fel a függvény megfelelő x-hatványo összegeént. Fourier-sorfejtés esetén egy adott (nem feltétlenül folytonos, de) eriodius függvényt trigonometrius függvénye segítségével szeretnén özelíteni: egy eriodius függvényt a legegyszerűbb eriodius függvénye összegeént felírni. Bebizonyítható, hogy ezt a célt teljes általánosságban nem lehet megoldani, ám ha a iindulási eriodius függvénye osztályát alalmasan választju meg, aor eze örében a Fourier-sorfejtés már elvégezhető. Az idő folyamán a Fourier-sorfejtés (illetve a sorfejtés ülönféle általánosításait tartalmazó Fourier-analízis) az alalmazott matematia rendívül hatéony módszercsaládjává vált. Az alábbiaban először definiálju egy függvény Fourier-sorána fogalmát, majd megvizsgálju, hogy milyen feltétele mellett onvergál a Fourier-sor az eredeti függvényhez, ezután edig a Fourier-sorfejtés legfontosabb geometriai tulajdonságaira mutatun rá. A fejezetet idolgozott feladato zárjá... A lasszius Fourier-sorfejtés és a ontonénti onvergencia érdése Legyen > rögzített szám és jelölje M az olyan f :R R mindenütt értelmezett, véges értéű, -eriódusú függvénye halmazát, amelyere az ( f(x)) dx Lebesgue-integrál is véges értéű. (A Lebesgue-integrálról itt csa annyit jegyzün meg, hogy a Riemann-integrál egyi lehetséges általánosítása.) M elemeit a továbbiaban megengedett függvényene fogju hívni. Ismert, hogy a -eriódusú folytonos vagy szaaszonént folytonos függvénye, a -eriódusú szaaszonént monoton függvénye, vagy éldául a -eriódusú és a[, ] intervallumon Riemann-integrálható függvénye
GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC mindegyie M -beli: a megengedett függvénye M halmaza tehát elegendően bő ahhoz, hogy az alalmazásoban előforduló valamennyi -eriodius függvényt tartalmazza.... DEFINÍCIÓ (A FOURIER-SORFEJTÉS n-edik SZELETE) Valamely f M függvény, n N + és x R esetén jelölje FS f,n (x) := a n ( ( ) ( )) x x + a cos + b sin = az f függvény Fourier-sorfejtéséne n-edi szeletét (más néven n-edi részletösszegét), ahol N esetén a := ( ) x f(x)cos dx és b := ( ) x f(x)sin dx. Az imént definiált a és b számoat az f függvény Fourier-együtthatóina nevezzü. Figyeljü meg, hogy az f függvény és a trigonometrius függvénye eriodius volta miatt a Fourier-együttható iszámításaor az integrálo helyett tetszőleges, -hosszúságú intervallumon vett α+ α integráloat (α R) is használhatun, gyaran éldául a [, ] intervallumon integrálun.... DEFINÍCIÓ (FOURIER-SORFEJTÉS) Az f függvény Fourier-sorfejtésén az FS f (x) := lim FS f,n (x)= a ( ( ) ( )) x x n + a cos + b sin = összeget értjü, minden olyan x R esetén, amelyre a limesz létezi és véges...3. MEGJEGYZÉS Egyszerűen belátható, hogy a fenti a és b együttható definíciója miért éen a fenti formuláal történt: ha az f függvény trigonometrius sor alajában egyáltalán előállítható, aor a sor együtthatói csa a := ( ) f(x)cos x dx és b := ( f(x)sin x valós számoal ( =,,...) előáll alaban. cos( lx ) dx lehetne. Tegyü fel ugyanis, hogy az f függvény valamely A és B ( ( ) ( )) x x f(x)= A cos + B sin = ) Ezt a feltételezett egyenlőséget valamely rögzített l N mellett szorozzu be -vel és integrálju x-szerint -től -ig. A bal oldalon nyilván f(x)cos ( lx ) dx tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 3 adódi. A jobb oldal iszámításához tegyü fel, hogy a végtelen szummát szabad tagonént integrálni, valamint használju fel a özvetlen számolással igazolható és ( ) x cos cos ( lx ( ) x sin cos ) dx= ( lx, ha =l=, ha =l, ha l ) dx= formuláat. Eor a jobb oldalból a beszorzás és integrálás után az l= esetben csa A, míg azl> esetben csa A l marad. Ezzel beláttu, hogy a fenti ét feltevés mellett A = a ésl> esetén A l = a l. Teljesen hasonlóan érvelve ( sin ( lx ) -vel beszorzás és -től -ig való integrálás után) aju, hogy l > esetén B l = b l. (Mivel sin() =, ezért a B és b együttható eleve érdetelene.) Itt csa azt ell még felhasználni, hogy ( ) x sin sin ( lx ) dx=, ha =l=, ha =l, ha l. Ezzel megmutattu, hogy az a és b Fourier-együttható lényegében csa a... definícióban megadott módon nézhetne i...4. MEGJEGYZÉS Tudju, hogy egy áros függvény Taylor-sorfejtése csa áros itevőjű x-hatványoat tartalmaz, míg áratlan függvény Taylor-sorában csa áratlan foszámú x-hatványo található. Analóg állítás igaz a Fourier-sorfejtésere is: egyszerűen bizonyítható ugyanis, hogy ha az f függvény -szerint eriodius áros függvény (vagyis f(x) = f( x) minden x-re), aor az FS f Fourier-sorfejtésben minden b ( =,,...) nullával egyenlő, vagyis a sorfejtés csa az a együtthatóat és a oszinuszfüggvényeet tartalmazza. Hasonlóan, ha f áratlan eriodius függvény (vagyis f(x) = f(x) minden x-re), aor minden a (=,,,...) nulla, és a sorfejtés csa a b együtthatóal súlyozott szinuszfüggvényeből áll. A Taylor-sorfejtése elméletéből ismert, hogy egy függvény Taylor-sora bizonyos ontoban divergálhat, illetve a Taylor-sor valamely x ontbeli onvergenciája nem feltétlenül vonja maga után, hogy a Taylor-sor összege f(x) lenne. Hasonló jelenséggel a Fourier-soro elméletében is találozhatun: előfordulhat, hogy aár végtelen so olyan x [, ] ont van, amelyre az f függvény FS f (x) Fourier-sora divergens, sőt, ez még aor is beövetezhet, ha a függvény mindenütt folytonos. Másrészt, ha valamely x ontban a Fourier-sor onvergens, aor sem biztos, hogy FS f (x)= f(x) lenne, azaz a Fourier-sor nem mindig állítja elő a függvényt. A gyaorlati alalmazáso szemontjából nagyon fontos anna eldöntése, hogy az FS f (x) = f(x) egyenlőség mely x ontoban igaz. Az alábbiaban elégséges feltételeet fogalmazun meg arra vonatozóan, hogy a Fourier-sor összege az eredeti f függvény legyen. tanonyvtar.tt.bme.hu
4 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC..5. TÉTEL Ha f M, továbbá i.) f folytonos x-ben és FS f,n (x) onvergens (ha n ), aor FS f (x)= f(x). ii.) f folytonos x-ben és = ( a + b ) onvergens, aor FS f (x)= f(x). iii.) f differenciálható x-ben, aor FS f (x)= f(x). iv.) a[, ] intervallum felosztható véges so szaaszra, amelyere leszűítve f monoton és a [, ] intervallumon f véges so ugrási hely ivételével folytonos, aor tetszőleges x R esetén FS f (x)= f(x )+ f(x+). v.) f folytonos a [, ] intervallumon és = ( a + b ) onvergens, aor az egész számegyenesen n esetén FS f,n egyenletesen onvergál f -hez. vi.) f étszer folytonosan deriválható a [, ] intervallumon, aor az egész számegyenesen n esetén FS f,n egyenletesen onvergál f -hez. Megjegyezzü, hogy a tétel valamennyi állítása érvényben marad aor is, ha a [, ] intervallumot tetszőleges mási, -hosszúságú intervallummal helyettesítjü... Fourier-sorfejtés Hilbert-tereben A Fourier-sorfejtés alavető tulajdonságai özül az alábbi ét állítást emeljü i.... TÉTEL (PARSEVAL-FORMULA) Ha f M, aor a + =(a + b )= ( f(x)) dx.... TÉTEL (A FOURIER-SORFEJTÉS MINIMUMTULAJDONSÁGA) Ha f M és n N + rögzített, aor tetszőleges λ R és µ R (=,,...,n) számo esetén az ( f(x) λ n ( ( ) ( )) ) x x λ cos + µ sin dx = integrál értée aor a legisebb, ha λ = a és µ = b a... definícióban megadott Fourier-együttható, vagyis a minimum értée ( f(x) FS f,n (x) ) dx. A fenti ét tétel mondanivalója rögtön szemléletessé váli, ha az M függvényhalmazt geometriai strutúrával ruházzu fel: az M halmaz Hilbert-térré tehető. Előészítéséen idézzü fel a özönséges háromdimenziós eulideszi tér idevágó tulajdonságait. Ha szoás szerint a,b jelöli ét térvetor (a,b R 3 ) saláris szorzatát, a az a vetor hosszát, valamint e ( =,,3) a három anonius bázisvetort (azaz e = (,,), e = tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 5 (,,) és e 3 =(,,)), aor tudju, hogy minden v=(v,v,v 3 ) R 3 esetén v = v,v, v = v,e (=,,3), vagyis v= 3 = v,e e, a bázisvetoro egységnyi hosszúságúa és merőlegese egymásra, így nyilván e,e l értée, ha =l, egyébént a saláris szorzat nulla, a Pitagorasz-tétel most v = 3 = v,e alaban is felírható. Teintsü továbbá az e és e vetoro által generált E étdimenziós alteret R 3 -ban, azaz E ={λe + µe : λ, µ R}. Felmerül a érdés, hogy valamely adott v R 3 vetor esetén melyi lesz az az E altérbeli vetor, amelyi a legjobban özelíti a v vetort, vagyis milyen λ R és µ R választás esetén lesz a v (λe + µe ) távolságnégyzet a legisebb? A legjobban özelítő E -beli vetor nyilván nem más, mint a v vetor E síra vett merőleges vetülete, ami tehát a λ = v,e és µ = v,e választás esetén adódi. Térjün most vissza az M függvényhalmazhoz. Egyszerűen bizonyítható, hogy az M halmaz a szoásos függvényösszeadással és szám-függvény szorzással vetortér, így M elemeire gondolhatun vetoroént is. (Az M vetortér dimenziója azonban végtelen.) Belátható, hogy adott f M és g M függvény esetén az f,g := f(x)g(x)dx élet saláris szorzást értelmez M -en, így az M vetorteret eulideszi térré tettü: a merőlegesség, a hossz, a távolság és a szög fogalma értelmezhetővé váli M -ben. Igazolható, hogy ez a tér teljes is, ezért M -re azt mondju, hogy Hilbert-tér. Ha egy f M vetor hosszát f (olvasd: f norma ) jelöli, aor fennáll, hogy f, f = f = ( f(x)) dx. (A vetor hosszát, mint nemnegatív számot most nem jelölhetjü az f szimbólummal, mivel f szoás szerint azt a függvényt jelöli, melyne értée minden x ontban f(x).) Az M vetortérben az e := / ( ) ( ) x x, e := cos, e + := sin definícióval (=,,...) egy bázist vezethetün be, amely ortonormált, azaz e,e l =, ha l, míg e,e = (lásd a fenti..3. megjegyzést is). Figyeljü meg, hogy =,,... esetén f,e =a és f,e + =b, valamint f,e =a /. Ebből az övetezi, hogy egy f M függvény(a,a,b,a,b,...) Fourier-együtthatói éen az f vetor oordinátái az {e } = bázisban (a esetében egy számszorzótól elteintve). Az is látható, hogy a Fourier-sorfejtés n-edi szelete (n N + ) FS f,n = f,e e + n = ( f,e e + f,e + e + ) alaban írható fel. A bázisvetoro ortogonalitását használva egyszerű megfontolásoal azt aju, hogy f = = f,e. tanonyvtar.tt.bme.hu
6 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC Ez a élet világosan mutatja, hogy a... tételbeli Parseval-formula nem más, mint Pitagorasz tétele az M Hilbert-térben. Végül a... tételbeli minimumtulajdonság geometriai szemléltetéséhez rögzített f M és n N + esetén teintsü az{e,e,...,e n,e n+ } bázisvetoro által ifeszített(n+ )-dimenziós E n+ M alteret. Ha E n+ -et az E n+ ={(λ / )e + n = (λ e + µ e + ) : λ, µ R,=,,...,n} alaban írju fel, aor azt látju, hogy a... tételbeli integrál az f vetor és az E n+ altér távolságát (ontosabban távolságnégyzeténe -szeresét) méri. A tétel megállaítja, hogy az összes lehetséges E n+ -beli g vetor özül éen a g = FS f,n E n+ választás esetén lesz az f g távolságnégyzet minimális. Ez más szavaal azt jelenti, hogy az f vetor E n+ altérre eső merőleges vetülete az FS f,n vetor..3. Néhány onrét függvény Fourier-sorfejtése Az alábbi idolgozott feladato mindegyiében a sorbafejtendő f függvényt csa egy I intervallumon adju meg élettel, f eriodius iterjesztését I-ről a teljes számegyenesre ülön nem írju fel az egyes eseteben. (Az előző jelöléseel tehát az I alaintervallum hossza, és a továbbiaban mindig úgy értjü, hogy az f függvény -eriodius, azaz f(x + ) = f(x), tetszőleges x R esetén.) A megoldáso utáni megjegyzéseben éldáat mutatun arra, hogy néhány egyszerű, nevezetes sor összegét hogyan határozhatju meg alalmas függvénye Fourier-sorfejtéséből..3.. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az { x, ha x [,), f(x) := x+, ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, előállítja-e a sor az f függvényt. MEGOLDÁS Nyilván most = és az a Fourier-együtthatóat az f(x)cos(x)dx integrálo adjá meg. Az f függvény esetszétválasztással van megadva, ezért az integráloat is ét részre bontva ellene iszámolni. Az esetszétválasztás azonban most elerülhető és a számításo némileg lerövidíthető, ha megfigyeljü, hogy a feladatbeli függvényt a [, ) tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 7 alaintervallumon egyszerűen az f(x) = x élettel értelmezhetjü (lásd a... definíció utáni megjegyzést is). Ha =, aor az előbbi észrevétel alaján tehát a = xdx = [ x / ] =. Ha >, aor arciálisan integrálva a = xcos(x)dx= ( sin() ) [ x sin(x) ] sin(x) dx= [ ] cos(x) hiszen tetszőleges egész szám esetén sin()= és cos()=cos()=. Nyilván b =. (Ez egyébént mindig igaz.) A többi b ( =,,...) együttható iszámításához integráljun ismét arciálisan: b = xsin(x)dx= [ x cos(x) ( cos() ) ] [ sin(x) ] felhasználva ismét, hogy N esetén cos()= és sin()=. Sierült f Fourier-sorát meghatároznun, azt atu tehát, hogy FS f (x)= = = sin(x). =, cos(x) =, dx= (Figyeljün arra, hogy az a együtthatót -vel el ellett osztani.) Térjün most rá a onvergencia érdésére. Az eddigieből özvetlenül nem látható, hogy az imént felírt végtelen sor mely x I ontoban onvergens, és ahol onvergens, mi a sor összege. Hívju segítségül a..5. tételt. Mivel f szaaszonént folytonos függvény, ezért f megengedett függvény, azaz f M. De f monoton is a [, ) intervallumon, ezért a..5. tétel f(x )+ f(x+) iv.) ontja szerint FS f (x) =. Mivel f folytonos [, ) belsejében, vagyis a (, ) nyílt intervallumon, ezért ezeben a ontoban nyilván f(x ) = f(x+) = f(x), azaz f(x )+ f(x+) f( )+ f(+) = f(x). Ha viszont x=, aor f( )=, f(+)=, vagyis =. Az eddigieet összefoglalva, f Fourier-sora az alábbi függvényt állítja elő: { sin(x) x, ha x (,), =, ha x=..3.. MEGJEGYZÉS A sin(x) = sor onvergenciáját és összegfüggvényét a..5. tétel i.) ontja alaján nyilván nem tudju eldönteni, illetve meghatározni. Nem segít a ii.) és v.) ont sem, hiszen = ( a + b ) = + = =. A vi.) ont azért nem alalmazható, mert f nem deriválható a -ban (hiszen ott még csa nem is folytonos). Viszont f deriválható a(,) intervallumon (hiszen lineáris), ezért itt iii.) alaján FS f (x)= f(x), ha x (,). (A iii.) ont nem alalmazható x=-ban, ám itt a sor onvergenciája és a sor összege özvetlenül megállaítható.) tanonyvtar.tt.bme.hu
8 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC.3.3. MEGJEGYZÉS A.3.. idolgozott feladat eredményéne felhasználásával önnyen iszámíthatju éldául a sin() + sin() + sin(3) 3 + sin(4) 4 +... sin(x) sor összegét, hiszen ez a végtelen összeg nem más, mint a = sor értée az x = helyen. A.3.. feladatban láttu, hogy ha x (,), aor sin(x) = = x. Ebből egyszerű átrendezéssel aju, hogy sin() = =. (A sin() = sor onvergenciáját egyébént nem tudju megállaítani sem a hányados-, sem a gyö-, sem a Leibniz-ritérium segítségével. Az ún. Dirichlet-ritérium viszont alalmazható, és azt mutatja, hogy a sor onvergens. A sor összegét ersze egyi onvergenciaritérium sem adja meg.).3.4. MEGJEGYZÉS A.3.. idolgozott feladat segítségével az 3 + 5 7 + 9 ±... sor összege szintén egyszerűen meghatározható. A Leibniz-ritérium alaján világos, hogy ( ) + a szóban forgó = sor onvergens (de nem abszolút onvergens). Láthatju, hogy a.3.. feladatban most az x = / helyettesítés a célravezető, hiszen sin(/) =, ha olyan áratlan szám, amely 4-gyel maradéosan osztva -et ad maradéul, továbbá sin(/) =, ha olyan áratlan szám, amely 4-gyel maradéosan osztva 3-at ad maradéul, míg sin(/) =, ha áros szám. Emiatt = a.3.. feladat szerint = ( ) + = = sin(/) =, vagyis = sin(/). Mivel ( ) + = 4..3.5. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az { x+, ha x [,), f(x) := x++, ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. (,), ezért MEGOLDÁS Vegyü észre, hogy ez a függvény nem más, mint a.3.. feladatbeli függvény -gyel felfelé eltolva. Jelöljü a.3.. feladatbeli függvényt f -mal, Fourier-együtthatóit tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 9 edig ã, b -mal ( =,,...). Eor f = f +. Ebből a Fourier-együttható definíciója alaján egyszerűen láthatju, hogy a / = ã /+, a = ã ( =,,...) és b = b ( =,,...), vagyis FS f (x) = FS f (x)+. Ez a tulajdonság általánosabban is igaz: ha c tetszőleges valós onstans, aor FS f+c (x)=fs f (x)+c..3.6. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Fejtsü Fourier-sorba az { x, ha x [,], f(x) := x, ha x [,) függvényt és állaítsu meg, hol állítja elő a sor f -et. MEGOLDÁS Az f függvény áros, ezért minden b együttható zérus. A idolgozott feladatban =. Mivel f esetszétválasztással van megadva, így az integráloat is ét részre bontju: a = f(x)dx= xdx+ ( x)dx= + =, továbbá N + esetén a = f(x)cos(x)dx= = (arciálisan integrálva)= xcos(x)dx+ [ cos(x) + xsin(x) ( x)cos(x)dx= [ cos(x) sin(x) + xsin(x) ] = (felhasználva, hogy sin(l) = és cos(l)=, tetszőlegeslegész szám esetén)= cos() +cos(). Ez utóbbi ifejezés áros esetén, áratlan esetén edig 4, tehát a = m és = m+ (m N) eseteet ettébontva azt nyerjü, hogy FS f (x)= 4 cos((m+)x) m= (m+). A..5. tétel iv.) ontja szerint f imént felírt Fourier-sora minden x [, ) ontban onvergens és előállítja a függvényt, vagyis FS f (x)= f(x). ] + tanonyvtar.tt.bme.hu
GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC.3.7. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az {, ha x [,), f(x) :=, ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. MEGOLDÁS Az f függvény a (, )\{} intervallumon áratlan, ezért Fourier-sorában minden a =. (A aritásvizsgálator f eriodiussága miatt az I intervallumot nyilván eltolhatju, illetve véges so ontjától elteinthetün, hiszen egy függvény integrálja nem változi meg, ha az integrálási intervallumból véges so ontot ihagyun.) Tetszőleges N + esetén b = f(x)sin(x)dx= sin(x)dx+ sin(x)dx= [ cos(x) ] + [ cos(x) Ebből az alaból láthatju, hogy áros esetén b =, míg áratlan esetén b = 4, így FS f (x)= 4 m= ] sin((m+)x). (m+) A..5. tétel iv.) ontja szerint f Fourier-sora minden x [, ) ontban onvergens és f folytonossági ontjaiban előállítja a függvényt, vagyis ha x (, ) (, ), aor FS f (x)= f(x), míg a szaadási ontoban, vagyis ha x= vagy x=, aor FS f (x)=..3.8. MEGJEGYZÉS Ezen az egyszerű éldán jól szemléltethető az ún. Gibbs Wilbrahamjelenség. Eleinte az 8-as éve másodi felében, amior a Fourier-soro onvergenciaérdései még számos onton tisztázatlano volta tévesen azt gondoltá, hogy az FS f,n Fourier-részletösszege egyenletesen onvergálna az f függvényhez anna folytonossági ontjaiban, vagyis az n-edi részletösszeg és a függvény legnagyobb eltérése l. a (, ) intervallumon -hoz tart, ha n. Noha numerius számításai nagyon ontosa volta, megleetésüre mégis azt taasztaltá, hogy a (, ) intervallumon elövetett maximális hiba, su x (,) FS f,n (x) f(x) nem tart -hoz n esetén, edig minden rögzített x (,) esetén FS f,n (x) f(x), ha n. Grafiusan ez a jelenség úgy nyilvánul meg, hogy az FS f,n függvény l. az x = onttól jobbra legözelebb eső loális maximumhelyén felvett értée nem tart -hez, amint n. Másé fogalmazva, a szaadási hely özelében a Fourier-részletösszege túlhullámozna az f függvényen és eze az oszcilláció nem halna el n esetén sem.. tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció (a) Az első hat nemnulla tag összege (b) Az első huszonhat nemnulla tag összege A numerius számításo azt mutatjá, hogy ebben a éldában az FS f,n részletösszeg maximális eltérése az f függvénytől a (, ) intervallumon egy onstanshoz, b., 7898- hoz tart, amint n. Gibbs bebizonyította, hogy a éldánban a legnagyobb túllengés értée lim su f,n (x) f(x) = n x (,) FS sin(t) dt =,7897974... t Megjegyezzü, hogy a Gibbs-jelenség általános: minden, szaaszonént folytonosan deriválható függvény ugrási helyéne özelében hasonló oszcillációt taasztalun, vagyis a Fourier-sor onvergenciája ezeben az eseteben sosem egyenletes..3.9. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I = [,). Írju fel az f(x) := x függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. MEGOLDÁS Az f függvény áros, ezért b = ( N), továbbá nyilván a = x dx= 3. A többi a együtthatót étszeres arciális integrálással számítju i: a = x cos(x)dx= [ sin(x) x ] ( ) ([ x cos(x) ] x sin(x) dx= ) cos(x) dx = tanonyvtar.tt.bme.hu
GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC [xcos(x)] [ sin(x) 4cos() ( cos()+ cos( ))= Azt atu tehát, hogy ] FS f (x)= 3 + 4 ( ) = cos(x), = [xcos(x)] = = 4 ( ). továbbá a..5. tétel iv.) ontja szerint f Fourier-sora minden x [, ) ontban onvergens és FS f (x)= f(x)..3.. MEGJEGYZÉS Mivel = ( a + b )= 3 +4 =, és ismert, hogy ez utóbbi sor onvergens, ezért (figyelembe véve f folytonosságát is) a..5. tétel v.) ontja szerint f Fourier-sora az egész számegyenesen egyenletesen onvergál az f függvényhez: ebben a feladatban tehát nem lé fel a Gibbs-jelenség..3.. MEGJEGYZÉS Az + 3 4 + 5 6 ±... sor összegét a feladatbeli függvény Fourier-sorfejtésével i tudju számítani, csuán az x = ontban ell azt iértéelni. Mivel igazoltu, hogy minden x [, ) esetén FS f (x)= f(x), ezért seciálisan FS f ()= f(), vagyis 3 + 4 = = is igaz. Ebből átrendezéssel azt nyerjü, hogy a érdéses = összeg -vel egyenlő. ( ).3.. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I = [, ). Írju fel az f(x) := x( x) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. ( ) MEGOLDÁS Az f függvény áros, tehát b = ( N). Most =, ezért a = x( x)dx= [ x ] x3 = 3 3, továbbá esetén a = x( x) cos(x)dx = (ét arciális integrálás elvégzése után) = tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 3 [ cos(x) amiből azt aju, hogy A..5. tétel iv.) FS f (x)= f(x)..3.3. MEGJEGYZÉS Az xcos(x) cos() + sin(x) 3 cos() + xsin(x) cos() =, FS f (x)= 6 cos(x) =. ] x sin(x) = ontja szerint f Fourier-sora minden x I esetén onvergens és + + 3 + 4 + 5 + 6 +... sor összegéne meghatározásához értéeljü i a feladatban nyert FS f (x)= f(x) egyenlőséget x=-ban, eor FS f ()= 6 = = f()=, s így megatu a nevezetes = = 6 összefüggést..3.4. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az { x( x), ha x [,), f(x) := ( x)( x), ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. MEGOLDÁS Az f függvény áratlan, így a = ( N), továbbá esetén az integráloat az esetszétválasztásna megfelelően ét részre bontva és a részeet étszer arciálisan integrálva az alábbi összefüggéseet írhatju fel: b = f(x)sin(x)dx= x( x)sin(x)dx+ ( x)( x)sin(x)dx= tanonyvtar.tt.bme.hu
4 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC [ cos(x) 3 xcos(x) + x cos(x) + sin(x) xsin(x) ] + [ cos(x) cos(x) 3 ( cos() 3 + 3xcos(x) x cos(x) 3sin(x) ( cos() 3 cos() + cos() + cos() 3 cos() cos() + 3 cos() 6 cos() + cos() () cos() ) + xsin(x) ) + = 4( cos()) 3, ] cos() 3 + vagyis ha N áros, aor b =, ha viszont áratlan, aor b = 8 3. Meghatároztu tehát f Fourier-sorfejtését: FS f (x)= 8 sin((m+)x) m= (m+) 3, ami a..5. tétel l. iv.) ontja szerint előállítja f -et az I intervallumon, azaz FS f (x)= f(x)..3.5. MEGJEGYZÉS Az 3 3 3 + 5 3 7 3 + 9 3 3 ±... sor összegéne iszámításához felhasználhatju a most bebizonyított FS f (x) = f (x) egyenlőséget. Ezt az x= helyen felírva a 8 sin((m+)/) m= (m+) 3 = ( ) összefüggést aju. Átrendezéssel láthatju, hogy sin((m+)/) m= (m+) 3 = 3 3. Ám m N esetén sin((m+)/) = ( ) m, tehát a bal oldali sor é a iszámítandó ifejezéssel azonos..3.6. MEGJEGYZÉS Bebizonyítható, hogy az ( ) 3 + ( 3 ) 3 + ( 5 ) 3 + ( 7 ) 3 + ( 9 ) 3 + ( ) 3+...=,579... vagy az ( ) 3+ ( ) 3+ ( 3 ) 3+ ( 4 ) 3+ ( 5 ) 3+...=,5... soro összege nem adható meg a fentiehez hasonló, egyszerű élettel..3.7. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I = (,]. Írju fel az f(x) := x függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. = tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 5 MEGOLDÁS Mivel az ( f(x)) dx= dx integrál divergens, ezért f nem megengedett x függvény, tehát f Fourier-sorát nem értelmezzü..3.8. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I = [,). Írju fel az f(x) := x függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. MEGOLDÁS Most = és nyilván a = [ xdx= 3 x 3/] = 4 3. A többi a és b (=,,...) Fourier-együttható iszámításaor azonban olyan integrálo léne fel, amelyeet elemi élettel (tehát l. az alaműveleteel, a hatvány-, a trigonometrius- és exonenciális függvénye, valamint eze inverzeine véges soszori alalmazásával) nem tudun ifejezni: az xcos(x)dx, illetve xsin(x)dx alaú rimitív függvényeet az ún. Fresnelintegráloal lehet felírni. A Fourier-együtthatóat most tehát csa numeriusan tudju iszámítani, a megfelelő integrálözelítő-összege segítségével. Az első néhány együtthatóra azt aju, hogy a,546563, a,839, a 3.56, b.46, b,367, b 3,9865. Mindenesetre a..5. tétel iv.) ontja alaján a Fourier-sor összegfüggvénye x (,) esetén megegyezi f(x)-szel, míg FS f ()=..3.9. KIDOLGOZOTT FELADAT Legyen I =[, ). Mutassu meg, hogy az { ( ( ln sin x )), ha x (,), f(x) :=, ha x= függvény Fourier-sora = cos(x). Állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. tanonyvtar.tt.bme.hu
6 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC MEGOLDÁS (. MEGOLDÁS) Mivel f nem orlátos, az sem nyilvánvaló, hogy f egyáltalán megengedett függvény-e. Látható viszont, hogy f az intervallum végontjaitól elteintve folytonos, így az f M reláció igazolásához elegendő megmutatni, hogy az ( f(x)) dx integrál véges. Az integrandus szimmetriája miatt ( f(x)) dx = ( f(x)) dx. Mivel x [,] esetén sin ( ) x ét rögzített ozitív szám (sin(/) és ) özött feszi, az integrál végességéhez elegendő belátni, hogy ln (sin(x/))dx véges. Használju most fel, hogy a (,] intervallumon az ln függvény monoton fogyó, és x [,] esetén sin(x/) > x, így ln (sin(x/))dx ln ( ) x dx. Parciális integráláso után azt nyerjü, hogy ln ( ) ( x dx = x xln x ) + xln ( ) x. Az ln ( ) x dx imrorius integrál végességéne igazolásához csa azt ell figyelembe vennün, hogy a L Hositalszabály értelmében a rimitív függvény jobboldali határértée a -ban, azaz véges. Ezzel megmutattu, hogy a feladatbeli f függvény megengedett függvény. Eze után róbálju meg iszámítani f Fourier-együtthatóit. Már az a = ( ( x ln sin dx )) együttható iszámításaor roblémába ütözün: az integrandus ugyanis (az.3.8. idolgozott feladathoz hasonlóan) ismét nem elemi függvény, a rimitív függvény nem adható meg egyszerű zárt alaban. A rimitív függvény iszámítása nélül azonban trigonometrius és logaritmius azonosságo, valamint helyettesítéses integrálás segítségével bebizonyítható, hogy a =. A többi a ( =,,...) együttható iszámításaor felléő rimitív függvény elemi függvény ugyan, azonban általános esetén nehéz őet onrét alaban felírni. A omlex exonenciális függvény és arciális integrálás felhasználásával némi számolás után megmutatható, hogy =,,... esetén a =. (Az érdelődő Olvasóna javasolju, hogy róbálja meg iszámítani az a együtthatóat.) Mivel f áros függvény, minden b együttható nyilván. Ezzel igazoltu, hogy f Fourier-sora cos(x) =. A..5. tétel iii.) ontja szerint x (,) esetén FS f (x)= f(x), az edig özvetlenül cos() látszi, hogy a Fourier-sor x = -ban divergens, hiszen FS f,n () = n =, ha n. MEGOLDÁS (. MEGOLDÁS) Közelítsü most meg fordítva a feladatot és róbálju meg először a cos(x) = sor összegét meghatározni. A omlex exonenciális függvényre vonatozó jól ismert Euler-formula szerint x R esetén e ıx = cos(x)+ısin(x). Ebből azt aju, hogy cos(x) = nem más, mint a = eıx összeg valós része, mindazon x R ontoban, ahol ez utóbbi sor onvergens. tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 7 A onvergenciahalmaz meghatározásához teintsü a omlex logaritmus Taylor-sorfejtését: az analízisből ismert, hogy tetszőleges z < (z C) esetén ln(+z)= ( ) = z. (Itt ln természetesen a omlex logaritmusna azt az ágát jelöli, amelyre ln() =.) Az Abeltétel segítségével megmutatható, hogy az imént felírt sor minden z, de z esetén is onvergens és összege szintén ln(+z). Ebből azt nyerjü, hogy z és z esetén = z = ln( z), vagyis (a z = eıx helyettesítéssel) tetszőleges x (x R) esetén = eıx = ln( e ıx ). Használju most fel, hogy a omlex logaritmus valós része az argumentum abszolút értééne valós logaritmusa. Itt e ıx = sin (x/). Ha x (,), aor tehát e ıx =sin(x/), vagyis ln( e ıx ) valós része ln(sin(x/)). Ezzel beláttu, hogy x (,) esetén = cos(x) = ln(sin(x/)). (Ha x=, aor nyilván mindét oldal +.) Más szavaal, x (,) esetén az f függvény a = sor összegeént áll elő. cos(x) cos(x) Utolsó léésént már csa azt ell tisztáznun, hogy a = összeg az f függvény Fourier-sorfejtése-e. Az. megoldásban láttu, hogy f megengedett függvény, tudju továbbá, hogy a árosság miatt minden b együttható. Elegendő tehát azt megmutatni, hogy a = és =,,... esetén a =. Ismét a..5. tétel iii.) ontjára hivatozva láthatju, hogy f -et a (,) intervallumon előállítja Fourier-sora, vagyis a... definíciója által meghatározott a ( N) együtthatóal x (,) esetén f(x)= a + a cos(x). = Ám az előbb láttu, hogy ha x (,), aor f(x)= = cos(x). Átrendezve ezeet megállaíthatju, hogy x (,) esetén c + c cos(x)=, = ahol c = a és =,,... esetén c = a. A trigonometrius soro összegfüggvényéne egyértelműségére vonatozó Cantor-tétel szerint azonban ha egy tetszőleges c,d R együtthatóal felírt c + = (c cos(x)+d sin(x)) alaú trigonometrius sor összege véges so x [,] ivételével, aor minden c és d együttható ülön-ülön is. Mivel esetünben csa ét ivételes x ont (t.i. az intervallum ét végontja) van, ezért a Cantortétel értelmében valóban a = és a = (=,,...)..3.. MEGJEGYZÉS Az.3.. idolgozott feladat utáni. megjegyzésben láttu, hogy sin() = =. Most (többe özött) meghatároztu, hogy cos() = = ln ( sin ( )). tanonyvtar.tt.bme.hu
8 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC.4. További gyaorlófeladato végeredménnyel Az alábbi néhány gyaorlófeladat részletes megoldását nem özöljü, csa a végeredményeet adju meg..4.. FELADAT Legyen I = [, ). Írju fel az f(x) := x függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. VÉGEREDMÉNY Ha x I, aor FS f (x)= = ( ) sin(x). A Fourier-sor a teljes I intervallumon onvergens. Ha x (,), aor FS f (x)= f(x), f( )+ f( +) míg ha x=, aor FS f ( )== f( )..4.. FELADAT Legyen I = [, 3 ). Írju fel az [ x, ha x f(x) :={, ], x, ha x [, 3 ) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. / 3/ VÉGEREDMÉNY Ha x I, aor FS f (x)= 4 = ( ) sin(( )x)= f(x), ( ) vagyis a Fourier-sor a teljes I intervallumon onvergens és előállítja az f függvényt..4.3. FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az f(x) := {, ha x [,),, ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. tanonyvtar.tt.bme.hu
A Fourier-sorfejtés és a Lalace-transzformáció 9 VÉGEREDMÉNY Most =. Ha x I, aor FS f (x)= 4 = sin(( )x). ( ) A Fourier-sor az I intervallumon onvergens és ha x I, de x vagy x, aor f( )+ f(+) FS f (x) = f(x). Ha x = vagy x =, aor FS f () = FS f () = = = f( )+ f(+) f()= f()..4.4. FELADAT Legyen I = [,). Írju fel az f(x) := cos(x) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. VÉGEREDMÉNY Most =. Ha x I, aor FS f (x)= 4 = sin(x) ( )(+ ). A Fourier-sor az I intervallumon onvergens és ha x (,), aor FS f (x) = f(x). Ha f( )+ f(+) x=, aor FS f ()= = f()..4.5. FELADAT Legyen I =[, ). Írju fel az { sin(x), ha x [,), f(x) :=, ha x [,) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. tanonyvtar.tt.bme.hu
3 GÉPÉSZKARI MATEMATIKA MSC VÉGEREDMÉNY Ha x I, aor FS f (x)= + sin(x) = cos(x) ( )(+ ) = f(x). A Fourier-sor az I intervallumon tehát onvergens és előállítja az f függvényt..4.6. FELADAT Legyen I = [,). Írju fel az f(x) := sin x függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. VÉGEREDMÉNY Ha x I, aor FS f (x)= 4 cos(x) = 4. A Fourier-sor az I intervallumon onvergens és előállítja az f függvényt..4.7. FELADAT Legyen I =[,). Írju fel az f(x) := sin (x) függvény Fourier-sorát és állaítsu meg, hol állítja elő a sor az f függvényt. VÉGEREDMÉNY Ha x I, aor FS f (x)= cos(x). A Fourier-sor az I intervallumon onvergens és előállítja az f függvényt. (Vegyü észre, hogy a.3.9. idolgozott feladat. megoldásána végén idézett Cantor-féle egyértelműségi tétel miatt az itteni feladatban szerelő f függvény Fourier-sorána iszámítása a triviális sin (x)= cos(x) azonossággal egyenértéű.) tanonyvtar.tt.bme.hu