Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév
1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015. I. féléves előadásaiak jegyzete alapjá készült, melyeket Szabó Mariaa készített, amiért agy köszöet illeti. 1
2. Teljes idukció 2.1. Peao-axiómák I. A ulla természetes szám. 0 N II. Mide természetes számak egyértelműe létezik egy rákövetkezője, és ha két természetes szám rákövetkezője megegyezik, akkor a két természetes szám megegyezik. N N, m N = m = m A ulla egyetle természetes számak sem rákövetkezője. N 0 III. Ha N egy ullát is tartalmazó részhalmaza mide eleméek a rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor ez a halmaz megegyezik N-el. M N és 0 M és M eseté M M = N Legye P egy tulajdoság, tegyük fel, hogy - a ulla redelkezik ezzel a tulajdosággal, - tetszőleges természetes szám eseté, mely redelkezik ezzel a tulajdosággal, a rákövetkezője is redelkezik vele. Ekkor mide természetes szám redelkezik ezzel a tulajdosággal. 2.2. Teljes idukciós bizoyítás Olya állítás bizoyítására haszáljuk, mely természetes számtól függ. A bizoyítás lépései: 1. Bizoyítsuk = 1-re, vagy = 0-ra. 2. Feltételezzük, hogy az állítás igaz -re (idukciós feltevés). 3. Eek felhaszálásával bebizoyítjuk, hogy az állítás igaz +1-re Ezzel az állítást mide természetes számra belátjuk. 2
3. Kombiatorika 3.1. Faktoriális Tetszőleges N eseté az! számot a következő módo defiiáljuk: 3.2. Permutáció 0! = 1! = ( 1)! Egy elemű halmaz (a halmaz elemei külöbözőek) ömagára való bijektív leképezéseit ismétlés élküli permutációak evezzük. Más szavakkal, az elem egy lehetséges sorbaredezését adja meg egy ilye bijekció, melyet az elem egy ismétlés élküli permutációjáak evezük. Tegyük fel, hogy adott k 1...k m N úgy, hogy k 1 +... + k m = és most a halmaz m külöböző elemet tartalmaz oly módo, hogy az i. elemből k i szerepel bee. Eze halmaz ömagára vett egy bijektív leképezését (k 1,..., k m ) osztályú ismétléses permutációak evezzük. (Itt két keletkező függvéy között em midig tuduk külöbséget tei.) 3.3. Biomiális együtthatók és tulajdoságaik Legye, k N k, ekkor az ( ) k =! ( k)!k! módo defiiált számokat biomiális együtthatókak evezzük. Tetszőleges, k N k eseté ( ) =! ( ) 0!0! = 1 = ( ) ( ) = k k ( ) ( ) ( ) + 1 = + k + 1 k k + 1 A feti állítások bizoyítását tudi kell, de mivel em boyolult, itt elhagyjuk. 3.4. Kombiáció Legye, k N k. Az {1...k} halmaz {1...} halmazba való szigorúa mooto leképezéseit k-ad osztályú kombiációkak, a mootookat pedig k-ad osztályú ismétléses kombiációkak evezzük. 3.5. Variáció Egy k elemű halmaz egy elemű halmazba való leképezését az elem k-ad osztályú ismétléses variációjáak evezzük. Ha a leképezés ijektív, akkor az elem k-ad osztályú ismétlés élküli variációjáról beszélhetük (ekkor k ). 3
4. Számelmélet 4.1. Biomiális együtthatók tulajdoságai 2. Legye N, ekkor Bizoyítás: 2 = (1 + 1) = 4.2. Biomiális tétel Legyeek x, y R és N, ekkor k=0 k=0 (x + y) = ( ) = 2 k ( ) 1 k 1 k = k k=0 ( ) x k y k k k=0 ( ) k Kifejtve: (x + y) = ( ) x 0 y + 0 ( ) x 1 y 1 +... + 1 ( ) x y 0 Bizoyítás (teljes idukcióval): = 1 eseté: 1 k=0 ( ) 1 x k y 1 k = k (x + y) 1 = x + y ) ( ) 1 x 0 y 1 + x 1 y 0 = y + x = x + y 1 ( 1 0 4
Tegyük fel, hogy -re igaz. Bizoyítsuk + 1-re: (x + y) +1 = (x + y) (x + y) }{{} k=0 idukciós feltétel = ( ) (x + y) x k y k = k k=0 [( ) ( ] x k+1 y k + )x k y k+1 = k k k=0 ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 y + x 2 y 1 +... + x y 1 + x +1 y 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + x 0 y +1 + x 1 y +... + x 1 y 2 + x y 1 = 0 1 1 ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] + 1 y +1 + + x 1 y + + x y 1 +... 0 0 1 1 2 [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) + 1 + + x 1 y + + x y 1 + x +1 = 2 1 1 + 1 +1 ( ) + 1 x k y +1 k Ami potosa az, amit bizoyítai akartuk. k A bizoyításhoz felhaszáltuk, hogy ( ) + 1 = 0 illetve az összevoásokhoz azt, hogy [( ) ( )] + 0 1 és így tovább. 4.3. Poliomiális tétel Legyeek x 1...x m R és N, ekkor (x 1 +... + x m ) = 4.4. Oszthatóság k 1...k m N k 1+...+k m= ( ) + 1 = 1 + 1 ( ) + 1 = 1! k 1!... k m! xk1 1... xkm m At modjuk, hogy az a egész szám osztója a b egész számak, vagy b többszöröse a-ak, ha létezik olya q egész szám, hogy a q = b jele: a b 5
Ha a em osztója b-ek, azt így jelöljük: a b Ha a pozitív és a b, akkor maradékos osztásról beszélük. Ekkor va olya 0 m < a és q egész, hogy a q + m = b 4.5. Prímszám Egy p > 1 számot prímszámak (rövide prímek) evezük, ha az 1, 1, p, p számoko kívül ics más osztója. A em prím, 1-él agyobb egészeket összetett számokak evezzük. 4.6. A számelmélet alaptétele Mide 1-él agyobb pozitív egész szám felírható prímszámok szorzatakét és ez a felírás (a téyezők sorredjétől eltekitve) egyértelmű. 4.7. Prímszámtétel Jelölje π() az 1,..., között található prímek számát, ekkor π() lim = 1 log Vagyis tetszőleges ɛ > 0 eseté létezik olya 0 N, hogy ha N olya, hogy 0, akkor π() 1 < ɛ log 4.8. Legagyobb közös osztó Legyeek d,, m N, ha d és d m, akkor d-t és m közös osztójáak evezzük. Világos, hogy ez a halmaz felülről korlátos a természetes számok halmazába, tehát va legagyobb eleme, melyet és m legagyobb közös osztójáak evezük. Jele: lko(,m) 4.9. Legkisebb közös többszörös Legyeek d,, m N, ha d és m d, akkor d-t és m közös többszöröséek evezzük. Világos, hogy ez a halmaz alulról korlátos a természetes számok halmazába, tehát va legkisebb eleme, melyet és m legkisebb közös többszöröséek evezük. Jele: lkkt(,m) 4.10. Relatív prímek Ha lko(, m)= 1, akkor relatív prím m-hez, vagy, m relatív prímek. 6
4.11. Kogruecia Legyeek a, b, m Z. Azt modjuk, hogy a kogrues b-vel modulo m, ha m a b. Jele: a b (mod m) 4.12. A kogruecia, mit reláció Az egész számok halmazába a modulo m vett kogruecia ekvivalecia reláció (reflexív, szimmetrikus, trazitív). 4.13. Euklideszi algoritmus Legye a, b, Z. Ekkor létezik olya q 1, r 1, r 2 Z, r 1 < b, r 2 < r 1, hogy majd tovább folytatva az eljárást a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r i 1 = r i q i+1 + r i+1 Ha az utolsó em ulla maradékot r jelöli, akkor r 2 = r 1 q + r r 1 = r q +1 Az utolsó em ulla maradék megadja a és b legagyobb közös osztóját. 4.14. Lieáris diofatoszi egyelet Legyeek a, b, c Z, ekkor az ax + by = c egyeletet lieáris diofatoszi egyeletek evezzük. Az (x 0, y 0 ) Z 2 = Z Z pár a lieáris diofatoszi egyelet megoldása, ha ax 0 + by 0 = c. 4.15. Lieáris diofatoszi egyelet megoldásai, azok létezése A feti lieáris diofatoszi egyeletek potosa akkor va megoldása, ha lko(a, b) c. Ha az (x 0, y 0 ) az egyelet megoldása, akkor bármely z Z eseté az x 0 + z b lko(a, b) y 0 z a lko(a, b) pár is megoldása az egyeletek és az összes megoldás előáll ilye alakba. 7
4.16. Lieáris kogruecia Legyeek N, a, b Z Ekkor az ax b (mod ) kogrueciát lieáris kogrueciáak evezzük. Az u egész szám a lieáris kogruecia megoldása, ha au b (mod ). 4.17. Lieáris kogruecia megoldásai, azok létezése A feti lieáris kogrueciáak potosa akkor va megoldása, ha lko(a, ) b. Ha a feti kogrueciáak va megoldása, akkor a megoldás modulo lko(a,) egyértelműe meghatározott és modulo a megoldások száma lko(a, ). 4.18. Redukált maradékosztály, teljes és redukált maradékredszer A modulo vett maradékosztályokat 0,..., 1-sal jelöljük. Ha 0 < d < relatív prím -hez, akkor a d maradékosztályt redukált maradékosztályak evezzük. Egész számok egy halmazát modulo teljes maradékredszerek evezzük, ha a halmaz mide modulo maradékosztályból potosa egy elemet tartalmaz. Egész számok egy halmazát modulo redukált maradékredszerek evezzük, ha a halmaz mide modulo redukált maradékosztályból potosa egy elemet tartalmaz. 4.19. Euler-féle ϕ-függvéy Tetszőleges N eseté ϕ() jelöli a redukált maradékosztályok számát. Ezt a számelméleti függvéyt Euler-féle ϕ-függvéyek evezzük. 4.20. Euler-tétel Ha lko(a, ) = 1, akkor a ϕ() 1 (mod ) 4.21. Fermat-tétel Tetszőleges p prímszám és a számra, ha p a, akkor a p 1 1 (mod p) 8
5. Komplex számok 5.1. A komplex számok teste Tetszőleges (x, y), (u, v) R R eseté legye (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (x, y) (u, v) := (xu yv, xv + yu) Az így bevezetett műveletekkel R R testet alkot, mely testet a komplex számok testéek evezzük. Jele: C 5.2. Komplex számok algebrai alakja Mide z C komplex szám előáll a következő alakba: z = x + iy ahol x, y R és x-et a szám valós, y-t a szám képzetes részéek evezzük. 5.3. Komplex számok kojugáltja Legye z C, z = x + iy komplex szám. Ekkor a z = x iy számot z kojugáltjáak evezzük. Tetszőleges z, w C eseté z + w = z + w z w = z w z = z potosa akkor, ha z R z + z, z z R, sőt z z 0 5.4. Komplex számok abszolút értéke Legye z C, z = x + iy komplex szám. Ekkor a z = z z emegatív valós számot z komplex szám abszolút értékéek, vagy hosszáak evezzük. z z = (x + iy)(x iy) = x2 + y 2 Tetszőleges z, w C eseté zw = z w z = z z + w z + w 9
5.5. Komplex számok szöge Legye z C, z = 1. Ekkor létezik olya ϕ, hogy z = cosϕ + i siϕ és olya k Z, hogy 0 ϕ + 2kπ < 2π. Tetszőleges, em feltétleül 1 ormájú (abszolút értékű), z 0 komplex szám eseté a z z 1 abszolút értékű komplex számhoz az előzőek szerit megkostruálható ϕ = ϕ + 2kπ valós számot a z komplex szám szögéek evezzük. Ekkor a z komplex szám trigoometrikus alakja 5.6. Euler-formula Tetszőleges ϕ R eseté z = z (cosϕ + i siϕ) e iϕ = cosϕ + i siϕ A z C, z 0 komplex szám az előbbiből következő z = r e iϕ előállítását a z komplex szám expoeciális alakjáak evezzük. 5.7. Moivre-tétel Legye z C, z 0, z = r(cosϕ + i siϕ) és Z, ekkor z = r (cos(ϕ) + i si(ϕ)) A w C a z C. gyöke, ha w = z 5.8. Komplex számok gyöke Mide z = r(cosϕ + i siϕ) 0 komplex számak db külöböző gyöke va és ezek a következő alakba állak elő ahol k = 0,..., 1. r(cos ϕ + 2kπ + i si ϕ + 2kπ ) Az 1 komplex szám. gyökeit. egységgyökökek hívjuk. 10
6. Algebrai struktúrák 6.1. Művelet Legye G egy emüres halmaz és : G G G egy függvéy. Ekkor a leképezést G- értelmezett kétváltozós műveletek evezzük. 6.2. Félcsoport A (G, ) párt félcsoportak evezzük, ha művelet G- és asszociatív. 6.3. Csoport A (G, ) félcsoportot csoportak evezzük, ha G-ek va egységelem és mide elemek létezik G-be iverze. Ha a művelet még kommutatív is, akkor Abel-csoportról beszélük. 6.4. Gyűrű A (G,, ) hármast gyűrűek evezzük, ha (G, ) Abel-csoport, (G, ) félcsoport és disztributív a műveletre ézve. 6.5. Zérusosztó metesség Az R gyűrűt zérusosztó metesek modjuk, ha bármely két ullától külöböző elemét összeszorozva ullától külöböző elemet kapuk. 6.6. Itegritási tartomáy A kommutatív, egységelemes, zérusosztó metes gyűrűket itegritási tartomáyak evezzük. 6.7. Egység, asszociált Itegritási tartomáyba az egységelem osztóit egységekek evezzük. Egy itegritási tartomáy a és b elemét asszociáltakak evezzük, jelölésbe a b, ha a osztója b-ek és b osztója a-ak. 6.8. Valódi osztó Egy itegritási tartomáyba az a elem valódi osztója b-ek, ha a b és a b 6.9. Irreducibilitás Legye D itegritási tartomáy, a q D elemet irreducibilisek evezzük, ha em ulla, em egység és a saját asszociáltjai és az egységeleme kívül ics más osztója. 11
6.10. Prímelem Legye D itegritási tartomáy, a q D elem prímelem, ha em ulla, em egység és tetszőleges a, b D eseté, ha q ab, akkor vagy q a vagy q b. Mide prímelem irreducibilis elem, de em mide irreducibilis elem prímelem. 6.11. Euklideszi-gyűrű A D itegritási tartomáyt Euklideszi-gyűrűek evezzük, ha adott egy : D N leképezés, amely redelkezik a következő tulajdoságokkal: - 0 = 0 és mide ullától külöböző elem eseté a > 0, - ha a b és b 0, akkor a b, - tetszőleges a, b D, a 0 elemekhez létezik olya r, q D, hogy a = bq+r és r < b. A feti 3 tulajdosággal redelkező leképezést Euklideszi ormáak evezzük. 7. Poliomok 7.1. Poliomgyűrű Legye R egy tetszőleges gyűrű és jelölje R[x] az R fölötti egyhatározatlaú poliomokat, azaz az a 0 + a 1 x +... + a x alakú formális kifejezések halmazát. Legye p, q R[x] ekkor p(x) = q(x) = p(x) + q(x) = p(x) q(x) = +m l=0 a i x i i=0 m b j x j j=0 max(,m) i=0 ( 0 i 0 j m i+j=l (a i + b i )x i ) (a i + b j ) x l 12
7.2. Poliom foka, főegyütthatója Legye p(x) = a 0 + a 1 x +... + a x R[x] egy eleme úgy, hogy a 0. Ekkor a deg(p) = számot a poliom fokáak, a -t p fokáak evezzük. 7.3. Poliom zérushelye A ξ R értéket a p R[x] poliom zérushelyéek evezzük, ha p(ξ) = 0. 7.4. Horer-elredezés Legye p C[x] poliom és ξ C, ahol a... a 0 a poliom együtthatói. Ekkor a p(ξ) értéket a következőképpe számolhatjuk ki: a a 1... a 1 a 0 ξ b 1 := a b 2 = ξb 1 + a 1... b 0 := ξb 1 + a 1 p(ξ) = ξb 0 + a 0 7.5. Bézout-tétele Legye R itegritási tartomáy. Tetszőleges p R[x] poliom és ξ R eseté ξ potosa akkor gyöke p-ek, ha x ξ osztója p-ek. 7.6. Az algebra alaptétele Mide legalább elsőfokú komplex poliomak va komplex gyöke. 7.7. Gyöktéyezős alak Tetszőleges p C[x] emkostas poliom felírható p(x) = a (x ξ 1 )...(x ξ ) a, ξ 1...ξ C a 0 alakba, ahol a a poliom főegyütthatója, ξ 1...ξ pedig a gyökei. A felírás a téyezők sorredjétől eltekitve egyértelmű. 7.8. Valós poliom gyöktéyezős alakja Tetszőleges valós p poliom felírható p(x) = a (x ξ 1 )...(x ξ )(x 2 α 1 x + β 1 )...(x 2 α s x + β s ) a, ξ 1...ξ, α 1...α s, β 1...β s R ahol a a poliom főegyütthatója, a ξ 1...ξ a poliom gyökei, a másodfokú tagok diszkrimiása pedig egatív. 13
7.9. Primitív poliom Egy egész együtthatós poliomot primitívek evezük, ha az együtthatóiak legagyobb közös osztója 1. 7.10. Schöema-Eisestei tétel Legye p Z[x] legalább elsőfokú, primitív poliom. Ha létezik olya t prím, hogy t a 1... t a 1 és t a és t a 2 0, akkor p irreducibilis Z fölött. A tételbe a és a 0 szerepe felcserélhető. 8. Rekurzió 8.1. Elsőredű differeciaegyelet Legye f : N R R adott függvéy, ekkor a x m = f(, x 1 ) egyeletet elsőredű differeciaegyeletek evezzük. Ha még adott egy ξ 0 valós szám, úgy, hogy x 0 := ξ 0, akkor ezt a feti differeciaegyeletre voatkozó kezdeti feltételek evezzük. 8.2. Kostas együtthatós lieáris differeciaegyelet Legye adott egy a valós szám és egy b valós sorozat, ekkor a x = ax 1 + b 1 egyeletet kostas együtthatós lieáris differeciaegyeletek evezzük. Az egyelet megoldása az x 0 := ξ 0 kezdeti feltétel eseté 1 x = a ξ 0 + a 1 k b k k=0 Bizoyítás(teljes idukcióval): = 1-re x 1 = ax 0 + b 0 = aξ 0 + b 0 14
Tegyük fel, hogy -re igaz. Bizoyítsuk be ( + 1)-re: x +1 = a x }{{} +b = id.feltevs a +1 ξ 0 + 1 a(a ξ 0 + a 1 k b k ) + b = k=0 1 a +1 ξ 0 + a k b k + b = k=0 a 1 k b k Ami potosa az, amit bizoyítai akartuk. k=0 8.3. Egyesúlyi állapot, stabilitás Az x = f(x 1 ) autoóm egyelet x megoldását egyesúlyi állapotak (vagy stacioárius állapotak) evezzük, ha az f függvéy fixpotja, azaz f(x ) = x. Ekkor a differeciaegyelet megoldása az x = x kostas sorozat. Ha az x = ax 1 +b lieáris differeciaegyeletet tekitjük, akkor eek a 1 eseté x = b 1 a a stacioárius potja, azaz x = a (ξ 0 x ) + x ha ξ 0 x Ekkor az egyesúlyi állapottól való eltérés x x = a (ξ 0 x ) Ha a < 1, akkor x x, ha és x diverges, ha a > 1. Az első esetbe stabil, a második esetbe istabil egyesúlyi állapotról beszélük. 8.4. Másodredű homogé lieáris differeciaegyelet Legyeek a, b adott valós sorozatok, ekkor a következő egyeletet másodredű homogé lieáris differeciaegyeletek evezzük. x +2 + a x +1 + b x = 0 Az x 1, x 2 megoldásokat függetleekek evezzük, ha a ullsorozat csak triviálisa kostruálható ki belőlük, ellekező esetbe függők. Az x 1, x 2 lieárisa függetle megoldáspárt alapredszerek evezzük. Ha Az x 1, x 2 alapredszer, akkor az egyelet tetszőleges megoldása ahol c 1, c 2 tetszőleges kostasok. x = c 1 x 1 + c 2 x 2 15
8.5. Másodredű ihomogé lieáris differeciaegyelet Legyeek a, b, k adott valós sorozatok, ekkor a következő egyeletet másodredű ihomogé lieáris differeciaegyeletek evezzük. x +2 + a x +1 + b x = k Ha x 1, x 2 az ihomogé egyelethez tartozó homogé egyelet alapredszere, akkor az ihomogé egyelet tetszőleges megoldása x = c 1 x 1 + c 2 x 2 + x p ahol c 1, c 2 tetszőleges kostasok és x p az ihomogé egyelet egy tetszőleges partikuláris megoldása. 16
9. Szita-formulák 9.1. Szita-formula Legye X emüres halaz, A 1...A X, ekkor A 1... A = X + ( 1) r A 1... A =1 1 i 1<...<i r 9.2. Speciális szita-formula Legye X egy véges halmaz, A 1...A X. Ha mide 1 r természetes szám eseté tetszőleges r db halmaz metszete azoos számosságú, akkor A 1... A = X + ( ) ( 1) r A 1... A r =1 17
10. Valószíűségszámítás 10.1. Algebra, σ-algebra Legye Ω egy emüres halmaz. Azt modjuk, hogy A P egy algebra Ω-, ha - Ω A, - A zárt a komplemeterképzésre, - A zárt a véges uióképzésre. Ha a harmadik tulajdoságba a véges helyett a megszámlálható uióképzésre zárt A, akkor azt modjuk, hogy A σ-algebra Ω-. 10.2. Eseméytér Az előbbi Ω halmaz elemeit elemi eseméyekek, az A által tartalmazott részhalmazait eseméyekek evezzük. Az üres halmaz a lehetetle eseméy, Ω a biztos eseméy. Azt modjuk, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, ha A B. Két eseméy összegé az egyesítésüket, szorzatuko pedig a metszetüket értjük. 10.3. Valószíűségi mérték Legye A az Ω halmaz egy részhalmazaiból álló σ-algebra, ekkor a P : A R függvéyt valószíűségi mértékek evezzük, A -, ha - emegatív - ormált - σ-additív 10.4. Kolmogorov-féle valószíűségi mező Legye A az Ω részhalmazaiak egy σ-algebrája, P pedig egy valószíűségi mérték A -. Ekkor a (Ω, A, P) hármast Kolmogorov-féle valószíűségi mezőek evezzük. 10.5. Diszkrét valószíűségi mező Ha Ω megszámlálható halmaz és (Ω, A, P) valószíűségi mező, akkor (Ω, A, P)- t diszkrét valószíűségi mezőek evezzük. 18
10.6. Diszkrét eloszlás Megszámlálhatóa sok [0, 1]-beli valós számot diszkrét eloszlásak evezük, ha a belőlük alkotott sor koverges és az összege 1, azaz P i 0, i = 1, 2... P i = 1 10.7. A valószíűség geometriai kiszámítása Legye Ω R k véges térfogatú halmaz, úgy, hogy vol(ω) > 0. Ekkor aak a valószíűsége, hogy egy pot az A Ω halmazba esik vol(a) vol(ω) Itt az A halmaz em tetszőleges részhalmaza Ω-ak. 10.8. Feltételes valószíűség Legye A, B eseméy, B pozitív valószíűségű. Ekkor az A eseméy Bre voatkozó feltételes valószíűségé a valós számot értjük. P(A B) = P(AB) P(B) 10.9. Teljes eseméyredszer Eseméyek egy megszámlálható halmazát teljes eseméyredszerek evezzük, ha párokét diszjuktak és uiójuk a biztos eseméy. 10.10. Teljes valószíűség tétele Legye B i i = 1, 2... pozitív valószíűségű eseméyekből álló teljes eseméyredszer. Ekkor tetszőleges A eseméy eseté P(A) = P(A B i ) P(B i ) Bizoyítás: Ezt átredezve: i=1 P(A B i ) = P(AB i) P(B i ) P(AB i ) = P(A B i ) P(B i ) Majd a valószíűségi mérték σ-additivitása miatt: P(A) = P( AB i ) = P(AB i ) = P(A B i ) P(B i ) i=1 i=1 i=1 i=1 19
10.11. Bayes-formula A feltételes valószíűségből levezetve: A két egyeletből következi, hogy A Bayes-formula pedig ezt átredezve 10.12. Bayes-tétel P(A), P(B) 0 P(A B) = (P(AB)) P(B) P(B A) = P(AB) P(A) P(A B) P(B) = P(B A) P(A) P(B A) = P(A B) P(B) P(A) Legye B i, i = 1, 2... pozitív valószíűségű eseméyekből álló teljes eseméyredszer. Ekkor tetszőleges A pozitív valószíűségű eseméy eseté: P(B i A) = P(A B i) P(B i ) P(A B j ) P(B j ) j=1 A tétel a Bayes-formula és a teljes valószíűség tétele alapjá bebizoyítható: P(B i A) = P(A B i) P(B i ) P(A) = P(A B i) P(B i ) P(A B j ) P(B j ) j=1 20
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Teljes idukció 2 2.1. Peao-axiómák............................ 2 2.2. Teljes idukciós bizoyítás...................... 2 3. Kombiatorika 3 3.1. Faktoriális............................... 3 3.2. Permutáció.............................. 3 3.3. Biomiális együtthatók és tulajdoságaik............. 3 3.4. Kombiáció.............................. 3 3.5. Variáció................................ 3 4. Számelmélet 4 4.1. Biomiális együtthatók tulajdoságai 2............... 4 4.2. Biomiális tétel............................ 4 4.3. Poliomiális tétel........................... 5 4.4. Oszthatóság.............................. 5 4.5. Prímszám............................... 6 4.6. A számelmélet alaptétele....................... 6 4.7. Prímszámtétel............................. 6 4.8. Legagyobb közös osztó....................... 6 4.9. Legkisebb közös többszörös..................... 6 4.10. Relatív prímek............................ 6 4.11. Kogruecia.............................. 7 4.12. A kogruecia, mit reláció..................... 7 4.13. Euklideszi algoritmus......................... 7 4.14. Lieáris diofatoszi egyelet..................... 7 4.15. Lieáris diofatoszi egyelet megoldásai, azok létezése...... 7 4.16. Lieáris kogruecia......................... 8 4.17. Lieáris kogruecia megoldásai, azok létezése.......... 8 4.18. Redukált maradékosztály, teljes és redukált maradékredszer.. 8 4.19. Euler-féle ϕ-függvéy......................... 8 4.20. Euler-tétel............................... 8 4.21. Fermat-tétel.............................. 8 5. Komplex számok 9 5.1. A komplex számok teste....................... 9 5.2. Komplex számok algebrai alakja.................. 9 5.3. Komplex számok kojugáltja.................... 9 5.4. Komplex számok abszolút értéke.................. 9 5.5. Komplex számok szöge........................ 10 5.6. Euler-formula............................. 10 5.7. Moivre-tétel.............................. 10 21
5.8. Komplex számok gyöke........................ 10 6. Algebrai struktúrák 11 6.1. Művelet................................ 11 6.2. Félcsoport............................... 11 6.3. Csoport................................ 11 6.4. Gyűrű................................. 11 6.5. Zérusosztó metesség......................... 11 6.6. Itegritási tartomáy......................... 11 6.7. Egység, asszociált........................... 11 6.8. Valódi osztó.............................. 11 6.9. Irreducibilitás............................. 11 6.10. Prímelem............................... 12 6.11. Euklideszi-gyűrű........................... 12 7. Poliomok 12 7.1. Poliomgyűrű............................. 12 7.2. Poliom foka, főegyütthatója.................... 13 7.3. Poliom zérushelye.......................... 13 7.4. Horer-elredezés........................... 13 7.5. Bézout-tétele............................. 13 7.6. Az algebra alaptétele......................... 13 7.7. Gyöktéyezős alak.......................... 13 7.8. Valós poliom gyöktéyezős alakja................. 13 7.9. Primitív poliom........................... 14 7.10. Schöema-Eisestei tétel..................... 14 8. Rekurzió 14 8.1. Elsőredű differeciaegyelet.................... 14 8.2. Kostas együtthatós lieáris differeciaegyelet......... 14 8.3. Egyesúlyi állapot, stabilitás.................... 15 8.4. Másodredű homogé lieáris differeciaegyelet......... 15 8.5. Másodredű ihomogé lieáris differeciaegyelet........ 16 9. Szita-formulák 17 9.1. Szita-formula............................. 17 9.2. Speciális szita-formula........................ 17 10.Valószíűségszámítás 18 10.1. Algebra, σ-algebra.......................... 18 10.2. Eseméytér.............................. 18 10.3. Valószíűségi mérték......................... 18 10.4. Kolmogorov-féle valószíűségi mező................. 18 10.5. Diszkrét valószíűségi mező..................... 18 10.6. Diszkrét eloszlás........................... 19 10.7. A valószíűség geometriai kiszámítása............... 19 22
10.8. Feltételes valószíűség........................ 19 10.9. Teljes eseméyredszer........................ 19 10.10.Teljes valószíűség tétele....................... 19 10.11.Bayes-formula............................. 20 10.12.Bayes-tétel.............................. 20 23