Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7.

Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás............................................... Koordinátageometria......................................... 5 Térgörbék.................................................. 7 Ívhossz................................................. 7 Görbületi sugár............................................ 7 Torzió................................................. 7 Kísérő triéder............................................. 7 Érintő, kitüntetett síkok, feladatmegoldás lépései......................... 8 Feladatok............................................... 8 Kettős integrál............................................... 4 Téglalap tartományon........................................ 4 Normáltartományon......................................... 4 Integráltranszformáció........................................ 5 Szimmetriák.............................................. 5 Feladatok............................................... 5 Hármas integrál............................................... Integráltranszformáció........................................ Feladatok............................................... Felületek................................................... Paraméteres megadás........................................ Felületi görbék........................................ Érintősík........................................... 4 Felszín............................................. 4 Explicit megadás........................................... 4 Érintősík........................................... 5 Felszín............................................. 5 Érintősík és felszín, feladatmegoldás lépései............................ 5 Feladatok............................................... 5 Skalármező, vektormező.......................................... 7 Gradiens................................................ 7 ivergencia.............................................. 8 Rotáció................................................ 8 Laplace-operátor........................................... 9 Összefüggések............................................. 9 Potenciálfüggvény.......................................... Létezése............................................ Meghatározása........................................ Feladatok............................................... Vonalintegrál................................................ Kiszámítása.............................................. Potenciálos erőtér esetén....................................... Feladatok............................................... 4 Felületi integrál (fluxus).......................................... 8 Kiszámítása.............................................. 8 Feladatok............................................... 8 Stokes-tétel................................................. 4 Stokes-tétel.............................................. 4 Feladatok............................................... 4 Gauss Osztrogradszkij-tétel........................................ 44 Gauss Osztrogradszkij-tétel..................................... 44

Feladatok............................................... 45 Wolfram Alpha............................................... 49 Vektorok................................................ 49 Térgörbék............................................... 49 ifferenciálás............................................. 49 Integrálás............................................... 5 Maple.................................................... 5 A VectorCalculus csomag...................................... 5 Térgörbék............................................... 5 Kettős integrál............................................ 5 Hármas integrál............................................ 5 Felületek................................................ 5 Skalármező, vektormező....................................... 5 Vonalintegrál............................................. 5 Felületi integrál............................................ 5

Előszó Ez a gyakorlati jegyzet a Széchenyi István Egyetem mesterszakos mérnökhallgatói számára, az Analízis II. (vektoranalízis) tárgyhoz készült. Célja, hogy kidolgozott típusfeladatokon keresztül segítse a hallgatók felkészülését az évközi és vizsgazárthelyikre. A gyakorlati jegyzet legfrissebb példánya letölthető a www.sze.hu/~nemetha/ oldal oktatás menüpontja alól. Észrevételeket és az elírások, hibák bejelentését a nemetha@sze.hu címre várom. A kidolgozásra került feladatok nagy része r. Lotfi Abdelhakimtól származik, köszönet értük. Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Legyen f(x) integrálható a, b]-n, továbbá F (x) folytonos a, b]-n és F (x) f(x) minden x (a, b)-re. Ekkor: b a f(x) dx F (x)] b a F (b) F (a). Az F (x) függvény az f(x) primitív függvénye vagy határozatlan integrálja, jele F (x) f(x) dx. Alapintegrálok sin x dx cos x + C cos x dx sin x + C tg x dx ln cos x + C ctg x dx ln sin x + C cos dx tg x + C x sin dx ctg x + C x x n dx xn+ + C (n ) n + x dx ln x + C e x dx e x + C a x dx ax ln a + C sh x dx ch x + C ch x dx sh x + C th x dx ln ch x + C cth x dx ln sh x + C ch dx th x + C x sh dx cth x + C x dx arctg x + C + x dx arcsin x + C x + x x dx arsh x + C ln ( x + ) x + dx sgn x arch x + C sgn x ln + C ( x + ) x + C

Integrálási szabályok c f(x) dx c f(x) dx (f(x) ± g(x)) dx f(x) dx ± g(x) dx F (ax + b) f(ax + b) dx ha F (x) f(x) dx a f (x)f n (x) dx f n+ (x) + C (n ) n + f (x) dx ln f(x) + C f(x) f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx (parciális integrálás) an x n + a n x n + + a x + a b k x k + b k x k dx (cn kx n k + c n k x n k ) + + c x + c dx + + b x + b d d e x + f + dx + dx + + x + r x + r x + q x + s dx + e x + f x + q x + s dx + alakban áll elő, ahol ( bk x k + b k x k + + b x + b ) bk (x + r ) (x + r ) (x + q x + s ) ( x + q x + s ) (parciális törtekre bontás). Trigonometrikus és hiperbolikus függvények Hiperbolikus függvények: ch x ex + e x sh x ex e x th x sh x ch x cth x sh x ch x Inverz hiperbolikus függvények: arch x u arsh x v x ch u eu + e u x sh v ev e v (e u ) xe u + (e v ) xe v e u x + x e v x + x + arch x u ln(x + x ) arsh x v ln(x + x + ) Trigonometrikus és hiperbolikus függvények tulajdonságai: cos x + sin x ch x sh x cos( x) cos x sin( x) sin x ch( x) ch x sh( x) sh x cos x sin x sin x cos x ch x sh x sh x ch x cos(x ± y) cos x cos y sin x sin y sin(x ± y) sin x cos y ± cos x sin y cos x cos x + sin x cos x ch(x ± y) ch x ch y ± sh x sh y sh(x ± y) sh x ch y ± ch x sh y ch x ch x + sh x ch x 4

Trigonometrikus és hiperbolikus integrálok: cos x + cos x dx dx 4 sin x + x + C ( cos x dx sin x ) cos x dx sin x sin x + C ( cos 4 x dx sin x ) cos x dx 4 sin x + x sin x dx 4 4 sin x + x + cos 4x 4 sin 4x + 4 sin x + 8 x + C ( cos n x dx sin x ) cos n x dx cos n x dx + sin x cos n x( sin x) dx cos n x dx + n sin x cosn x cos x cos n x dx n n cos n x dx n n sin x cosn x + cos n x dx cos n x dx n sin x cosn x + n cos n x dx (rekurzív képlet) n Azonos elven kiterjeszthető sin x, illetve ch x és sh x hiperbolikus függvények hatványaira. Koordinátageometria Skaláris szorzat a b a b cos α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög. erékszögő koordinátarendszerben a b a x b x + a y b y + a z b z. Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (kommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vektoriális szorzat a b a b sin α, ahol α az a, b vektorok által bezárt szög, a b a, b és a, b, a b jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögő koordinátarendszerben a b (a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ). Legfontosabb tulajdonságai: a b b a (antikommutativitás) (λ a) b λ( a b) ( a + c) b a b + c b (disztributivitás) Vegyes szorzat a b c ( a b) c, a b c a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata. Előjele akkor pozitív, ha a vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak. erékszögű koordinátarendszerben a x a y a z a b c det b x b y b z. c x c y c z Legfontosabb tulajdonságai: a b c b c a c a b a c b b a c c b a 5

(λ a) b c λ( a b c) a b( c + d) a b c + a bd (disztributivitás) Egyenes egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes paraméteres egyenlete: r(t) (x + v x t, y + v y t, z + v z t). Sík egyenlete Adott r (x, y, z ) ponton áthaladó, n normálvektorú sík egyenlete: n ( r r ) n x (x x ) + n y (y y ) + n z (z z ) n x x + n y y + n z z (n x x + n y y + n z z ). Kör egyenlete Az (x, y ) középpontú és r sugarú kör egyenlete: (x x ) + (y y ) r. Ellipszis egyenlete Ellipszis egyenlete: x a + y b. Parabola egyenlete Parabola egyenlete: y αx. Hiperbola egyenlete Hiperbola egyenlete: a y b ±. +: vízszintes főtengelyű, : függőleges főtengelyű. Gömb egyenlete Az (x, y, z ) középpontú r sugarú gömb egyenlete: (x x ) + (y y ) + (z z ) r. Ellipszoid egyenlete x Ellipszoid egyenlete: x a + y b + z c. Paraboloid egyenlete Paraboloid egyenlete: Forgásparaboloid: z c x a + y b. z α(x + y ). 6

Hiperboloid egyenlete Hiperboloid egyenlete: +: egypalástú, : kétpalástú. x a + y b z c ±. Kúp egyenlete Kúp egyenlete: Körkúp: x a + y b z c. z α (x + y ). Térgörbék r : R R függvény, r(t) (x(t), y(t), z(t)) x(t) i + y(t) j + z(t) k, komponensenként deriváljuk. Görbe ívhossza Az r(t) térgörbe t paraméterének t és t értéke közötti szakaszának ívhossza Görbe görbületi sugara t t r(t) dt t t ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t) dt. Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó görbülete: és görbületi sugara g(t ) r(t ) r(t ) r(t ), ρ(t ) g(t ) r(t ) r(t ) r(t ). A görbület értéke egyenesvonalú térgörbe minden pontjában. Görbe torziója Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó torziója: Értéke síkbeli térgörbe minden pontjában. Kísérő triéder T (t ) ( r(t ) r(t ))... r (t ) r(t ) r(t ). Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó kísérő triédere a ( τ(t ), n(t ), b(t )) egységnyi hosszúságú, páronként merőleges vektorok alkotta hármas. τ tangenciális vektor érintő irányú és a t paraméter növekedésének irányába mutat n főnormális vektor a simuló kör középpontja felé mutat 7

b binormális vektor a háromél harmadik vektora. Úgy irányítjuk, hogy ( τ(t ), n(t ), b(t )) jobbsodrású vektorrendszer legyen Két vektor által kifeszített sík normálvektora a harmadik vektor. A vektorpárok által meghatározott síkok elnevezései: τ és n által kifeszített sík a simuló sík n és b által kifeszített sík a normálsík τ és b által kifeszített sík a rektifikáló sík Kísérő triéder, görbületi sugár, torzió, simuló sík, érintő egyenes meghatározása Az r(t) térgörbe t paraméterének t értékéhez tartozó mennyiségek és objektumok meghatározásának lépései:.... Az r(t), r(t), r (t) deriváltak meghatározása, az r r(t ), r(t ), r(t ),... r (t ) helyettesítési értékek számítása. Az r hossz számítása, τ r származtatása, r az érintő egyenes paraméteres egyenlete: e(t) (x + τ x t, y + τ y t, z + τ z t) vagy e(t) (x + ẋ(t ) t, y + ẏ(t ) t, z + ż(t ) t), a normálsík egyenlete: τ ( r r ) vagy r ( r r ). Az r r vektoriális szorzat elvégzése, r r hossz számítása, r r b r származtatása, r g r r r és ρ g számítása, T ( r r)... r r r számítása, a simuló sík egyenlete: b ( r r ) vagy ( r r) ( r r ) 4. n b τ származtatása, a rektifikáló sík egyenlete: n ( r r ) Ellenőrzési lehetőség ( 4. lépés): n? Példák a.) Adott az r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t sin t, cos t, 4 sin t ) r( π ) ( π,, ) r(t) ( cos t, sin t, cos t ) r( π ) (,, ) r(t) (sin t, cos t, sin t ) r( π ) (,, )... r (t) (cos t, sin t, cos t )... r ( π ) (,, 4 ) 8

r 4 + 4 + τ 4 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( π + 4 u, + 4 u, + u). A normálsík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 (,, ). r r 4 (, 7, ) r r 5 b 4 5 (, 7, ) g 5 8 ρ 8 5 T 9 4 A simuló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 4 5 (, 7, ). n b τ 5 (,, ). A rektifikáló sík egyenlete: (x π +, y, z ) 5 (,, ). b.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, 6t, 6t ) r() (, 6, 6) r(t) (, 6, t) r() (, 6, )... r (t) (,, )... r () (,, ) r 9 τ (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, + u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r 8(,, ) r r 54 b (,, ) g 7 ρ 7 T 7 A simuló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). n b τ (,, ) A rektifikáló sík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). 9

c.) Adott az r(t) (cos t, cos t sin t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π 6 pontjához tartozó simuló, normál- és rektifikáló síkjainak, valamint érintő egyenesének egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. cos t+ sin t r(t) (,, sin t) r( π 6 ) 4 (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t) r( π 6 ) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t) r( π 6 ) (,,... ) r (t) (4 sin t, 4 cos t, cos t)... r ( π 6 ) (,, ) r 7 τ 7 (,, ) Az érintő egyenlete: e(u) ( 4 7 u, 4 + 7 u, + 7 u). A normálsík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 7 (,, ). r r 4 (5,, 8) r r 9 b 9 (5,, 8) g 4 9 7 7 T 9 ρ 7 7 4 9 A simuló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) 9 (5,, 8). n b τ ( 7,, 4) A rektifikáló sík egyenlete: (x 4, y 4, z ) ( 7,, 4). d.) Adott az r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe P (,, ) pontbeli görbületét és normálsíkjának egyenletét. Határozzuk meg a kísérő triéder egységvektorait. t π r(t) ( + cos t, sin t, sin t ) r(π) (,, ) r(t) ( sin t, cos t, cos t ) r(π) (,, ) r(t) ( cos t, sin t, sin t ) r( π ) (,, ) r τ (,, ) A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). r r (,, ) r r 5 b 5 (,, ) g 5 ρ 5

n b τ 5 (,, ) e.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (t, t, t ) r() (4,, 4) r(t) (, t, t) r() (,, 4) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (4 + u, u, 4 + 4u). A normálsík egyenlete: (x 4, y, z 4) (,, 4). f.) Adott az r(t) (e t, e t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t, e t, t ) r() (,, ) r(t) (e t, e t, ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). g.) Adott az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) r() (,, ) r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) ( + u, u, + u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). h.) Adott az r(t) (t, t, t ) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t pontjához tartozó normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. i.) r(t) (t, t, t ) r() (,, ) r(t) (, t, t ) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (u,, ). A normálsík egyenlete: (x, y, z) (,, ). Adott az r(t) (, cos t, sin t) egyenletű térgörbe. Írjuk fel a térgörbe t π normálsíkjának és érintő egyenesének egyenletét. r(t) (, cos t, sin t) r() (,, ) r(t) (, sin t, cos t) r() (,, ) Normálni nem szükséges. Az érintő egyenlete: e(u) (, u, u). A normálsík egyenlete: (x, y, z ) (,, ). pontjához tartozó

j.) Számítsuk ki az r(t) (, cos t, sin t) térgörbe ívhosszát a t, π] intervallumon. r(t) (, sin t, cos t) l t t r(t) dt π + sin t + cos t dt π dt t] π π k.) Számítsuk ki az r(t) (t, 4t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, 4, t) l t t r(t) dt ] + 4 + t dt 5 + t dt (t + 5) 4 (8 7 6) l.) Számítsuk ki az r(t) (t +, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) l t (, t, t ) t r(t) dt + t + t 5 dt + 4 5 t ch u + du 5 6 t 6 u + 4 ( 5 arsh t + )] + 5 5 5 6 ( 4 t + ) dt 5 5 5 6 ] t sh u t t t ch u du ( 4 t + ) ( 4 + t + ) 5 5 5 5 m.) Számítsuk ki az r(t) (t, t, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t ) l t t r(t) dt + 4t + 4t 4 dt (t + ) dt (t + ) dt ] t + t 5 n.) Számítsuk ki az r(t) (e t, e t, t) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (e t, e t, ) l t t r(t) dt e t + e t + dt (et + e t ) dt (e t + e t ) dt e t e t] e e o.) Számítsuk ki az r(t) (t, t +, t ) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (6t,, 6t) l t t r(t) dt t 6t + + 6t dt 7t + dt u + ] t sh u t arsh 6 + t 6 6 + t 6 ch u du t 6 ch u + du

p.) Számítsuk ki az r(t) (e t cos t, e t sin t, e t ) térgörbe ívhosszát a t, ln ] intervallumon. r(t) (e t (cos t sin t), e t (sin t + cos t), e t ) l t t r(t) dt ln e t (cos t sin t) + (cos t + sin t) + dt ln e t dt e t] ln q.) Számítsuk ki az r(t) (t 4, t, t + 6) térgörbe ívhosszát a t, ] intervallumon. r(t) (, t, t) l t t r(t) dt ] t + t4 + t dt (t + ) dt (t + ) dt + t 4 r.) Mely pontban párhuzamos az r(t) ( t+, t, ) térgörbe érintője a ( 6,, ) vektorral? +t r(t) ( (t+), ( t), ( t t + (+t) ) 6 r() (,, ) ( 6,, ) r( 4) ( 9, 8, ) ( 6,, ) A keresett pont a t. ) t ± t, 4 t + s.) Mely pontban merőleges az r(t) (t +, t, t) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) ( t, t, ) r(t) (,, ) ( t, t, ) (,, ) t + t t A keresett pont a t. t.) Mely pontban merőleges az r(t) (sin t t cos t, cos t + t sin t, t + ) térgörbe érintője az (,, ) vektorra? r(t) (t sin t, t cos t, t) r(t) (,, ) (t sin t, t cos t, t) (,, ) t sin t t kπ A keresett pontok a t kπ k Z alakú pontok. u.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (t +, (t + ), (t ) ) térgörbe t és t ponthoz tartozó érintői? r(t) ( t, (t + ), (t ) ) r() (,, ) r() r() (, 4, ) r() cos α r() r() (,, ) (, 4, ) 4 r() r() 65 ( 4 A keresett szög az α arccos 65 ).

v.) Mekkora szöget zárnak be egymással az r(t) (cos t + t sin t, sin t t cos t, t + ) térgörbe t és t π ponthoz tartozó érintői? r(t) (t cos t, t sin t, t) t (cos t, sin t, ) r r () (,, ) t t () r ( π ) r ( π ) 5 (,, ) 5 t t ( r r t () π ) t cos α r t () ( r π ) (,, ) (,, ) 4 t 5 5 5 A keresett szög az α arccos ( 4 5). Kettős integrál Az f(x, y) függvény x változó szerinti primitív függvénye F (x, y), ha F x(x, y) f(x, y). Hasonlóan, az f(x, y) függvény y változó szerinti primitív függvénye G(x, y), ha G y(x, y) f(x, y). Jelölés: f(x, y) dx F (x, y) + C A tartomány feletti integrál jele: f(x, y) dx dy. Geometriai jelentése a kétváltozós függvény alatti (előjeles) térfogat. Kettős integrál téglalap tartományon Legyen T a, b] c, d] téglalap tartomány. ( b ) d f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx T a Kettős integrál normáltartományon c b a f(x, y) dy G(x, y) + C. ( d ) b G(x, y)] d c dx f(x, y) dx dy c a d c F (x, y)] b a dy Az N x tartomány x szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan a, b valósak és ϕ (x), ϕ (x) függvények, melyekre N x {(x, y) R: a x b, ϕ (x) y ϕ (x)}. Az N y tartomány y szerinti normáltartomány, ha léteznek olyan c, d valósak és ψ (x), ψ (x) függvények, melyekre N y {(x, y) R: c y d, ψ (y) x ψ (y)}. Függvény integrálja x szerinti normáltartomány felett: ( b ϕ(x) ) N x f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx a ϕ (x) Függvény integrálja y szerinti normáltartomány felett: ( d ψ(y) ) N y f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy c ψ (y) b a b a G(x, y)] yϕ(x) yϕ (x) dx. F (x, y)] xψ(y) xψ (y) dy. 4

Integráltranszformáció A helyettesítéses integrálás általánosítása kettős integrálokra. Az (x, y) koordinátákról az (u, v) koordinátákra való áttérés: f(x, y) dx dy f(x(u, v), y(u, v)) det J(u, v) du dv, ahol a Jacobi-mátrix. Áttérés polárkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: (x,y) J(u, v) x u (u, v) x v(u, v) y u(u, v) y v(u, v) x(r, ϕ) r cos ϕ y(r, ϕ) r sin ϕ r, ), ϕ, π). ] A Jacobi-mátrix és determinánsa: J(r, ϕ) x r (r, ϕ) x ϕ(r, ϕ) y r(r, ϕ) y ϕ(r, ϕ) det J(r, ϕ) r(cos ϕ + sin ϕ) r. ] cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ] Röviden: dx dy r dr dϕ x r cos ϕ y r sin ϕ. A szimmetriák kihasználása Páratlan függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx. Páros függvény szimmetrikus intervallum feletti integrálja: f( x) f(x) a a f(x) dx a f(x) dx. Periodikus függvény integrálja (több) periódus hosszúságú intervallumon: a+nt T f(x + T ) f(x) f(x) dx n f(x) dx. a Alkalmazva sin x és cos x függvények páratlan hatványainak integráljára (n Z): π π sin x dx sin n+ x dx π π cos x dx cos n+ x dx. a.) Példák Számítsuk ki az f(x, y) x ln sin y függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Az x változóban páratlan függvény integrálja az x változóban szimmetrikus tartományra. π (x ln sin y) dx dy π dy 5

b.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + x sin y + x ( + tg y) függvénynek a x, y tartomány feletti integrálját. (x y + x sin y + x ( + tg y)) dy dx + x dy dx + + (x sin y + x tg y) dy dx + x y ] y y dx x dx 4 x dx x y dx dy 4 x ] c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y) x (5 + sin y) függvénynek a x, y π tartomány feletti integrálját. Használjuk ki hogy a sin y függvény π szerint periodikus, és a teljes periódusra vett integrálja. π π ] 5π x (5 + sin y) dy dx 5x dy dx 5πx dx 4 x4 5π 4 Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. (Mindkét változóban) páratlan függvény integrálja (mindkét változóban) szimmetrikus tartományra. 4 x 4 x xy dy dx dx e.) Számítsuk ki az f(x, y) x függvénynek a x + y 4 tartomány feletti integrálját. Térjünk át polárkoordinátákra. π x dx dy r cos ϕ r dϕ dr r 4 π 4 ] 4π π cos ϕ + r dϕ dr π r dϕ dr π r dr f.) Számítsuk ki az f(x, y) xy függvénynek az y, x, y x x szerinti normáltartománynak tekintve: x ] y x xy dy dx x y dx y y y szerinti normáltartománynak tekintve: ] x xy dx dy y x dy xy x 8 dx x 4 7 ] 9 (y 9 ) y dy y 98 y4 ] tartomány feletti integrálját. 4 9 9 9 g.) Számítsuk ki az f(x, y) x y + függvény integrálját az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott tartományon. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 4 +,. x+ (x y + ) dy dx (x + )y ] yx+ y dx x yx ((x + )(x + ) (x + ) (x + )x + ) x4 ( x4 x ) x + x dx ] x 5 5 x4 x + x 9 dx 6

h.) Számítsuk ki az f(x, y) y függvény integrálját az x y és x 8 y parabolák által határolt tartományra. A metszéspontok y koordinátái: y 8 y y ±. 8 y y dx dy y x ] x8 y 8 dy y (8 y ) dy xy y y ] 5 y5 56 5 i.) Számítsuk ki az f(x, y) x y függvénynek a x + y, y tartomány feletti integrálját. y y x y dx dy ] x y y y dy ( y ) y dy ] 5 ( y ) 5 5 ( ) 5 4 j.) Számítsuk ki az x + y körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok y koordinátái: y y + y ± 4 + ± 5,. A metszéspontok: (, ), (5, 5), (5, 5). 5 x 5 x 5 + 5 x5 dy dx 5 5 ( x ) dx x5 x 5 cos u + 5 ( 5 x y] x dx x (x )) dx 5 5 x 5 du + 4 x x + arcsin ( x sin u cos u du + ) ] x5 4 sin u + ] x5 u + 4 x 5 x 5 + 4 6 + arcsin ( x ) dx x ] 5 x5 x cos u du + 4 5 x 5 sin u cos u + ] x5 u + 4 x 5 ( ) 5 + 4 ( ) 5 + 69 arcsin k.) Számítsuk ki az x + y 5 körlapból az y x parabola által kimetszett tartomány területét. A metszéspontok lehetséges y koordinátái: 5 y y + y ± + 4 6, 4 4. A metszéspontok: (, 4), (, 4). 5 x ( 5 x 5 ( dy dx y] x dx x x )) ( x ) dx 5 dx 5 x + ( x ) dx 5 x x sin u cos u du + x 5 cos u + du 6 5 x 4 sin u + ] x u x x 5 x + 5 ( x ) ] x arcsin 6 + 5 arcsin 5 x x ] x x 5 cos u du 6 x 6 5 sin u cos u + ] x u 6 x ( ) 6 6 + 5 arcsin 5 l.) Számítsuk ki az y, x + y 9, x + y 6 egyenletek által meghatározott síkidom területét. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π 4 4 π dx dy r dϕ dr rϕ] π dr πr dr r] 4 7 π ( ) 5 7

m.) Számítsuk ki az y x parabola és az y x + egyenes által közrefogott területet. A metszéspontok x koordinátái: x x + x ± 9,. x+ dy dx (x + x ) dx x + x x ] x 9 n.) Számítsuk ki az f(x, y) ln(x + y ) függvénynek az x, y, x + y 9, x + y 6 tartományra vonatkozó integrálját. Térjünk át polárkooridinátákra. 4 π ln(x + y ) dx dy (ln r )r dϕ dr π ln ( 4 6 e 7 9 ) 4 r(ln r)ϕ] π dr 4 π 4 πr ln r dr 4 r ( ln r )] o.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z, x + y < 9, x + y + z 5. A tartomány alapja: x + y 9. Térjünk át polárkoordinátákra. 5 x y dy dx π 5 r r dϕ dr π 5 r r dr π ] (5 r ) π p.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y + z 8, z x + y. A tartomány alapja: x + y z 8 x y x + y 4. A térfogat a gömbszelet és a kúp térfogatából tevődik össze. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 8 x y ) x + y dx dy π π ( 8 r r) r dϕ dr π ( 8 r ) ] r π ( ) q.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: x + y, z, z x + y +. A tartomány alapja: x + y. Térjünk át polárkoordinátákra. (x + y + ) dx dy π π ( + r cos ϕ + r sin ϕ)r dϕ dr π r dϕ dr 6π ( 8 r r) r dr r r dr 6π ] r.) Számítsuk ki az alábbi tartomány térfogatát: z x + y +, z (x + y ) +. A tartomány alapja: (x +y )+ (x +y )+ x +y 9. A térfogatot a két paraboloid térfogatának különbsége adja. Térjünk át polárkoordinátákra. (( (x + y ) + ) ( (x + y )) ) + dx dy π ( 6 r )r dϕ dr π π r ] r4 7 4 π ( r )r dr 8

s.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. t.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± 9 4 + 4 ± 5 4,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) 4 x y (x + y ) dx dy π ( 4 r r )r dϕ dr π π ] (4 r ) r4 9 6 π ( 4 r r )r dr Számítsuk ki az x + y + z és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z z z ± + ±,. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( ) x y (x + y ) dx dy π ( r r )r dϕ dr π π ] ( ( r ) 8 r4 π 5 ) ( r r )r dr u.) Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z x + y felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. v.) A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ± 4 + 4 ± 7 7. A tartomány alapja: x + y 7. A térfogatot a paraboloid és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π 7 7 π ( 4 r r )r dϕ dr ( 4 r r )r dr π ] 7 (4 r ) 4 r4 π ( 89 7 ) 7 Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A lehetséges metszéspontok z koordinátái: z 4 z z ±. A tartomány alapja: x + y. A térfogatot a kúp és a gömbszelet térfogatának összege adja. Térjünk át polárkoordinátákra. ( 4 x y (x + y )) dx dy π π ( 4 r r)r dϕ dr π (4 r ) r ] 8 π( ) ( 4 r r)r dr 9

w.) x.) Számítsuk ki az (4x + y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (, 4) és P (, 4). y szerinti normáltartománynak tekintve (4x + y + ) dx dy Számítsuk ki az határolt tartomány. 5 4 4 y+6 5 4 y 5 (4x + y + ) dx dy ( 5 (y + )(y + ) + 5 (y + ) + (y + ) ] 4 6 4 (y + )x + x ] y+6 5 4 y 5 ( (y + 6) (y 4) )) dy 4 xy dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x dy 5 (y + 5)(y + ) dy görbék által A metszéspontok y koordinátái: y y 4 y,. A görbék a (, ) és az (, ) pontokban metszik egymást. A tartományt y szerinti normáltartománynak tekintve: xy dx dy y y xy dx dy x y ] y ( dy y y y 6) dy 4 y4 ] 7 y7 56 y.) Számítsuk ki az (x + 4y + ) dx dy integrál értékét azon a háromszög tartományon, melynek csúcsai P (, ), P (4, ) és P (4, ). y szerinti normáltartománynak tekintve (x + 4y + ) dx dy 4 4 x+6 5 4 x 5 (x + 4y + ) dy dx ( 5 (x + )(x + ) + 5 5 (x + ) + (x + ) 5 ] 4 4 (x + )y + y ] x+6 5 4 x 5 ( (x + 6) (x 4) )) dx 4 65 dy 6 5 (x + )(x + ) dy z.) Számítsuk ki az határolt tartomány. x y dx dy integrál értékét, ha az y x és az y x görbék által A metszéspontok x koordinátái: 4x x x, 4. A görbék a (, ) és a (4, ) pontokban metszik egymást. A tartományt x szerinti normáltartománynak tekintve: x y dx dy 4 x x x y dy dx 4 x y ] x x dx 4 ( x 8 x4) dx 8 x4 ] 4 4 x5 5

Hármas integrál Integráltranszformáció Áttérés hengerkoordinátákra A koordináták közötti áttérés: x(r, ϕ, z) r cos ϕ y(r, ϕ, z) r sin ϕ z(r, ϕ, z) z r, ), ϕ, π), z R. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϕ, z) x ϕ(r, ϕ, z) x z(r, ϕ, z) J(r, ϕ, z) y r(r, ϕ, z) y ϕ(r, ϕ, z) y z(r, ϕ, z) z r(r, ϕ, z) z ϕ(r, ϕ, z) z z(r, ϕ, z) det J(r, ϕ, z) r(cos ϕ + sin ϕ) r. Röviden: dx dy dz r dr dϕ dz x r cos ϕ y r sin ϕ z z. Áttérés gömbi koordinátákra A koordináták közötti áttérés: cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ x(r, ϕ, ϑ) r cos ϕ sin ϑ y(r, ϕ, ϑ) r sin ϕ sin ϑ z(r, ϕ, ϑ) r cos ϑ r, ), ϕ, π), ϑ, π]. A Jacobi-mátrix és determinánsa: x r(r, ϑ, ϕ) x ϑ (r, ϕ, ϑ) x ϕ(r, ϕ, ϑ) J(r, ϕ, ϑ) y r(r, ϑ, ϕ) y ϑ (r, ϕ, ϑ) y ϕ(r, ϕ, ϑ) z r(r, ϑ, ϕ) z ϑ (r, ϕ, ϑ) z ϕ(r, ϕ, ϑ) det J(r, ϕ, ϑ) r (cos ϕ + sin ϕ)(sin ϑ + sin ϑ cos ϑ) r sin ϑ. cos ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ sin ϑ cos ϑ r sin ϑ Röviden: dx dy dz r sin ϑ dr dϕ dϑ x r cos ϕ sin ϑ y r sin ϕ sin ϑ z r cos ϑ. a.) b.) Példák Határozzuk meg az R sugarú gömb térfogatát. Térjünk át gömbi koordinátákba. dx dy dz R π π 4π R r sin ϑ dϕ dϑ dr π ] R r dr 4π r 4 πr R π r sin ϑ dϑ dr R r cos ϑ] π dr Számítsuk ki az x + y + z 4 és a z (x + y ) felületek által közrezárt kisebbik térrész térfogatát. A kúp nyílásszöge arccos dx dy dz π 6 ( )π arccos + π 6. Térjünk át gömbi koordinátákba. π r sin ϑ dϕ dϑ dr π r dr ( ] )π r π 6 r sin ϑ dϑ dr π 6 8 π r cos ϑ] π 6 dϑ dr

c.) d.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y + z ) dx dy dz π π π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π r 4 cos ϑ] π dr 4π r 4 dr π 4π 5 r5 r 4 sin ϑ dϑ dr ] 4π 5 Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y z + 5 függvénynek az x + y + z tartomány feletti integrálját. Az egyik koordinátában páratlan x, y, z tagok integrálja zérus a mindhárom koordinátában szimmetrikus téglatest tartományra integrálva, ezen tagokat így elhagyhatjuk. Térjünk át gömbi koordinátákra. (x + y z + 5) dx dy dz 5 dx dy dz π π π r cos ϑ] π dr π r dr 5r sin ϑ dϕ dϑ dr π π ] π r π r sin ϑ dϑ dr e.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x + y + z függvénynek az x + y + z, x, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x + y + z dx dy dz π π π π r cos ϑ] π r r sin ϑ dϕ dϑ dr π dr π π π r dr 4 r4] π 4 r sin ϑ dϑ dr f.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 8 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 8 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 8 dr 8 r9] dϕ dr 56 9 π g.) Számítsuk ki az f(x, y, z) zx x + y függvénynek a z, z x + y, x + y 4 felületek által határolt tartomány feletti integrálját. Térjünk át hengerkoordinátákra. zx x + y dx dy dz π π r r 6 cos ϕ dϕ dr 4 π zr cos ϕ r dz dϕ dr π r 6 (cos ϕ + ) dϕ dr π z r 4 cos ϕ ] r π r 6 dr 4 r7] dϕ dr 64 7 π

h.) Számítsuk ki az f(x, y, z) x yz függvénynek az x +y +z, x, y, z tartomány feletti integrálját. Térjünk át gömbi koordinátákra. x yz dx dy dz π ( π r 6 sin 4 ϑ cos ϑ π cos ϕ ( r 4 sin ϑ cos ϑ sin ϕ cos ϕ ) r sin ϑ dϕ dϑ dr ] π ) dϑ dr ] π r 6 5 sin5 ϑ dϑ dr ] 5 7 r7 5 i.) j.) Számítsuk ki hármas integrállal az x + y 9, z, x + z 4 felületek által határolt térrész térfogatát. Térjünk át hengerkoordinátákra. dx dy dz π 4 r cos ϕ 8π r dz dϕ dr ] r dr 8π r 6π π (4 r cos ϕ)r dϕ dr 4 π r dϕ dr Határozzunk meg az integrálás határait az f(x, y, z) dv hármas integrálban, ha a tartomány az O(,, ) A(,, ) B(,, ) C(,, ) tetraéder. A tetraéder xy síkra vett vetülete alapján megállapítható az x, y változók integrálási határai. A z változó alsó integrálási határa, felső integrálási határát az A, B, C pontokra illesztett sík egyenlete adja. f(x, y, z) dv Felületek Felület megadásának módjai: x x y explicit z f(x, y) egyenlettel implicit F (x, y, z) egyenlettel f(x, y, z) dz dy dx r(u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k vektorértékű kétváltozós függvény által, a felület pontjait az (u, v) paramétersík egy R tartományának képe adja meg Paraméteres felületek Felületi görbék, érintő egyenes egyenlete A v v illetve u u egyenletekkel leírható felületi görbék (u, v ) pontbeli érintővektorai: r u (u, v ) r v (u, v ) r(u, v) (u, v ) u r(u, v) (u, v ) v ( x(u, v) u i + ( x(u, v) u i + y(u, v) j + u y(u, v) j + u ) z(u, v) k u (u,v ) ) z(u, v) k. u (u,v ) illetve

A görbék érintő egyeneseinek egyenletei: e (u) (t) r(u, v ) + t r u (u, v ) e (v) (t) r(u, v ) + t r v (u, v ). illetve Az r(u, v) felületen haladó általános r(t) térgörbe leírható alkalmas u(t), v(t) függvények megadásával: r(t) r(u(t), v(t)) (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))). Az u(t), v(t) paraméterezésű felületi görbe érintővektora a t pontban: r(t ) r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t ), érintő egyenesének egyenlete ugyanezen pontban: e(s) r(u(t ), v(t )) + s ( r u (u(t ), v(t )) u(t ) + r v (u(t ), v(t )) v(t )). Érintősík egyenlete Az r u (u, v ), r v (u, v ) érintővektorok vektoriális szorzata megadja az (u, v ) pontbeli felületi normálist: n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ), melynek segítségével az érintősík egyenlete: ( r r(u, v )) n(u, v ). Felszínszámítás Az r(u, v) paraméterezésű F felület paramétertartomány feletti részének felszíne: ds r u (u, v) r v (u, v) du dv. F () Hengerpalást Az elemi felület nagysága r sugarú hengerpaláston: ds r ϕ (ϕ, z) r z (ϕ, z) dϕ dz ( r sin ϕ, r cos ϕ, ) (,, ) dϕ dz r dϕ dz. Gömbfelület Az elemi felület nagysága r sugarú gömbfelületen: ds r ϕ (ϕ, ϑ) r ϑ (ϕ, ϑ) dϕ dϑ ( r sin ϕ sin ϑ, r cos ϕ sin ϑ, ) (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) dϕ dϑ r sin ϑ dϕ dϑ. Explicit képlettel megadott felületek A z f(x, y) explicit egyenlet által meghatározott felület (u x, v y paramétereken keresztül) paraméteres alakja: r(x, y) (x, y, f(x, y)) x i + y j + f(x, y) k. 4

Érintősík egyenlete Az r x (x, y ) (,, f x(x, y )) és r y (x, y ) (,, f y(x, y )) érintővektorok vektoriális szorzata megadja a felület (x, y ) pontbeli felületi normálisát: n(x, y ) r x (x, y ) r y (x, y ) det ( f x(x, y ), f y(x, y ), ), mellyel kifejezve az érintősík egyenlete: Felszínszámítás i j k f x(x, y ) f y(x, y ) f x(x, y ) i f y(x, y ) j + k ( r r(u, v )) n(u, v ) (x x, y y, z f(x, y )) ( f x(x, y ), f y(x, y ), ) f x(x, y )(x x ) + f y(x, y )(y y ) + (f(x, y ) z). A r(x, y) paraméterezésű F felület tartomány feletti részének felszíne: ds r x (x, y) r y (x, y) dx dy f x (x, y ) + f y (x, y ) + dx dy. F () Érintősík- és felszínszámítás lépései. Az F felület paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r u (u, v) és r v (u, v) meghatározása. n(u, v ) r u (u, v ) r v (u, v ) kiszámítása, az u, v pontbeli érintősík n(u, v ) ((x, y, z) r(u, v )) egyenletének felírása 4. ds r u (u, v) r v (u, v) du dv kiszámítása, majd az ds r u (u, v) r v (u, v) du dv F () integrál (felszín) kiszámítása Feladatok a.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, v, u + v) u, v R paraméteres egyenlet? x + y z u + v (u + v) a paraméterezett felület az x + y z egyenletű sík. b.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) ( cos u, sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y 9(cos u + sin u) 9, z v a paraméterezett egyenlet az x + y 9 felület hengerpalást. c.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (v cos u, v sin u, v) u π, v R paraméteres egyenlet? x + y v (cos u + sin u) v, z v a paraméterezett felület az x + y z egyenletű kúp. 5

d.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (5 sin u cos v, 5 sin u sin v, 5 cos u) u π, v π paraméteres egyenlet? x + y + z 5(cos v + sin v) sin u + 5 cos u 5 a paraméterezett felület az x + y + z 5 egyenletű gömbfelület. e.) Milyen felületet határoz meg a r(u, v) (u, u, v) u, v R paraméteres egyenlet? x y, z v a paraméterezett felület az y x egyenletű z tengely irányában eltolt parabola. f.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, 4 u, v) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, 4 u, v) r(, ) (,, ) r u (u, v) (, u 4 u, ) r u(, ) (,, ) r v (u, v) (,, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, ) (,, ) (,, ) Az érintősík egyenlete: (,, ) (x, y, z ). g.) Határozzuk meg az r(u, v) ( sin u, cos u, v ) felület (π, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) ( sin u, cos u, v ) r(π, ) (,, ) r u (u, v) ( cos u, sin u, ) r u (π, ) (,, ) r v (u, v) (,, v) r v (π, ) (,, ) n(π, ) r u (π, ) r v (π, ) (,, ) (,, ) (, 6, ) Az érintősík egyenlete: (, 6, ) (x, y +, z ). h.) Határozzuk meg az r(u, v) (u, uv, v u ) felület (, ) pontbeli érintősíkjának egyenletét. r(u, v) (u, uv, v u ) r(, ) (,, 5) r u (u, v) (, v, u) r u (, ) (,, 4) r v (u, v) (, u, ) r v (, ) (,, ) n(, ) r u (, ) r v (, ) (,, 4) (,, ) (7,, ) Az érintősík egyenlete: (7,, ) (x, y +, z + 5). i.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, cos v, sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (, sin v, cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (, cos v, sin v) du dv π ds dv du π du π F 9(cos v + sin v) du dv du dv j.) Számítsuk ki az r(u, v) (cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v) síkfelület felszínét a u π, v tartományban. 6

r u (u, v) ( sin u v cos u, cos u v sin u, ) r v (u, v) ( sin u, cos u, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv ( r u (u, v) r v (u, v)) r v (u, v) du dv v( sin u, cos u, ) du dv v (cos u + sin u + ) du dv v du dv π ] v ds v du dv π dv π π F k.) Számítsuk ki az r(u, v) (u, u cos v, u sin v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (, cos v, sin v) r v (u, v) (, u sin v, u cos v) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (u(cos v + sin v), u cos v, u sin v) du dv u (cos v + sin v + ) du dv u du dv π ds u dv du πu du ] u π π F l.) Számítsuk ki az r(u, v) (u + v, u v, v) u, v π felület felszínét. r u (u, v) (,, ) r v (u, v) (,, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv (,, ) du dv + + du dv 6 du dv π ds 6 dv du 6π du 6π F m.) Számítsuk ki az r(u, v) ((a+b cos u) cos v, (a+b cos u) sin v, b sin u) u π, v π tóruszfelület felszínét ( < b < a). r u (u, v) ( b sin u cos v, b sin u sin v, b cos u) r v (u, v) ( (a + b cos u) sin v, (a + b cos u) cos v, ) ds r u (u, v) r v (u, v) du dv b(a + b cos u)(cos u cos v, cos u sin v, sin u(cos v + sin v)) du dv b(a + b cos u) cos u(cos v + sin v) + sin u du dv b(a + b cos u) du dv π π π π ds b(a + b cos u) dv du πb(a + b cos u) du πba du 4π ab F Skalármező, vektormező Gradiens A φ: R R skalármező gradiense derékszögű koordinátákban: ( grad φ φ φ x, φ y, φ ) φ z x i + φ y j + φ z k. 7

A gradiens hengerkoordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϕ e ϕ + φ z e z. A gradiens gömbi koordinátákban: grad φ φ r e r + φ r ϑ e ϑ + r sin ϑ φ ϕ e ϕ. Geometriai jelentése: iránya megadja a legnagyobb meredekség irányát, hossza megadja a legnagyobb meredekség nagyságát. Lokális szélsőértékhelyeken értéke. Legfontosabb tulajdonságai: grad(c φ) c grad φ grad(φ + φ ) grad φ + grad φ grad(φ φ ) φ grad φ + φ grad φ Iránymenti derivált A φ: R R skalármező v irányvektor menti deriváltja: ivergencia φ( r + vt) φ( r ) v φ( r ) lim v grad φ( r ). t t A v : R R vektormező divergenciája derékszögű koordinátákban: A divergencia hengerkoordinátákban: A divergencia gömbi koordinátákban: Legfontosabb tulajdonságai: div(c v) c div v div( v + v ) div v + div v div v v v x x + v y y + v z z. div v r div v r (r v r ) r div(φ v) φ div v + grad φ v div( v v ) rot v v v rot v Rotáció (rv r ) r + r v ϕ ϕ + v z z. + (v ϑ sin ϑ) + v ϕ r sin ϑ ϑ r sin ϑ ϕ. A v : R R vektormező rotációja derékszögű koordinátákban: ( rot v vz v y v ) ( y vx i + z z v ) ( z vy j + x x v ) x k. y 8

A rotáció hengerkoordinátákban: ( v z rot v r ϕ v ) ( ϕ vr e r + z z v ) z e ϕ + ( (rvϕ ) v ) r e z. r r r ϕ A rotáció gömbi koordinátákban: rot v ( (vϕ sin ϑ) r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: rot(c v) c rot v rot( v + v ) rot v + rot v rot(φ v) φ rot v + grad φ v v ) ϑ e r + ( v r ϕ r sin ϑ ϕ (rv ) ϕ) e ϑ + ( (rvϑ ) v ) r e ϕ. r r r ϑ rot( v v ) v div v v div v ( v grad) v + ( v grad) v Laplace-operátor A Laplace-operátor a nabla-operátor négyzete. A Laplace-operátor derékszögű koordinátákban: A Laplace-operátor hengerkoordinátákban: φ φ div grad φ φ x + φ y + φ z. φ r A Laplace-operátor gömbi koordinátákban: φ ( r r φ ) + r r r sin ϑ ϑ Legfontosabb tulajdonságai: (c φ) c φ (φ + φ ) φ + φ (φ φ ) φ φ + φ φ + grad φ grad φ További összefüggések Azonosságok: rot grad φ( r) φ( r) div rot v( r) ( v)( r) ( r φ ) + φ r r r ϕ + φ z. ( sin ϑ φ ) + ϑ φ r sin ϑ ϕ. rot rot v( r) ( v)( r) ( v)( r) v( r) grad div v( r) v, ahol a Laplace-operátort komponensenként értelmezzük vektormezőkre A vektormező örvénymentes, ha rotációja azonosan zérus, forrásmentes, ha divergenciája azonosan zérus. 9

Skalárpotenciál Potenciál létezése A φ skalármező a v( r) vektormező potenciálfüggvénye a R tartomány felett ha minden x pontban v( r) grad φ( r). Legyen a v( r) vektormező folytonosan differenciálható a R tartomány minden pontjában. Ekkor a v( r) vektormezőnek pontosan akkor van potenciálfüggvénye a tartományon, ha ott örvénymentes, azaz rot v( r) a tartomány minden pontjában. Potenciál meghatározása Legyen v( r) örvénymentes vektormező, azaz rot v( r). Ekkor létezik φ(x, y, z) potenciálfüggvény. A potenciálfüggvény meghatározásának lépései:. Számítsuk ki a v x függvény x szerinti integrálját: φ(x, y, z) v x (x, y, z) dx f(x, y, z) + C(y, z). Képezzük az f y deriváltat, majd számítsuk ki a v y f y függvény y szerinti integrálját: C(y, z) (vy (x, y, z) f y(x, y, z) ) dy g(y, z) + C(z). Képezzük az f z és g z deriváltat, majd számítsuk ki a v z f z g z függvény z szerinti integrálját: C(z) (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) dz h(z) + C 4. A potenciálfüggvény: φ(x, y, z) f(x, y, z) + g(y, z) + h(z) + C Amennyiben rot v( r) a g(y, z) és h(z) primitív függvényekben valóban nem jelenik meg a jelöletlen változóktól való függés, mert: (v y (x, y, z) f y(x, y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) x (v z (x, y, z) f z(x, y, z) g z(y, z)) y v y (x, y, z) f x xy(x, y, z) v y v z (x, y, z) f x xz(x, y, z) v z x (x, y, z) v x (x, y, z) y x (x, y, z) v x (x, y, z) z v z (x, y, z) f y yz(x, y, z) g yz(x, y, z) v z y (x, y, z) v y (x, y, z). z a.) Feladatok Van-e potenciálja a v( r) (xy, yz, x + y z ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (4yz 4yz, x, x) (, x, x) (,, ) A vektormező nem örvénymentes, ezért nincs potenciálfüggvénye. b.) Van-e potenciálja a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt.

rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, (6x 4z ) (6x 4z )) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (6x y 4yz ) dx x y 4xyz + C(y, z) φ y x 4xz + C y(y, z) x 4xz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z xyz + C z(z) xyz C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y 4xyz + C függvény. c.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z, x + z, y x) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z) dx x y zx + C(y, z) φ y x + C y(y, z) x + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy yz + C(z) φ z y xc z(z) y x C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y zx + yz + C függvény. d.) Adott a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, ze x y e z ) vektor-vektor függvény. Számítsuk ki a v vektormező divergenciáját és rotációját. Van-e potenciálfüggvénye a v vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. div v( r) (e x z + e y ) + (x e y e z ) + (e x y e z ) (z + )e x + (x + )e y (y + )e z rot v( r) ( ye z + ye z, ze x ze x, xe y xe y ) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + e x z + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ( ye z ) dy y e z + C(z) φ z ze x y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) z e x + x e y y e z + C függvény.

e.) Van-e potenciálja a v( r) (xy z yz, x + z xz, yz xz xy) vektortérnek? Ha igen, határozzuk meg a potenciálfüggvényt. rot v( r) (z x z + x, z y + z + y, x z x + z) (,, ) A vektormező örvénymentes, tehát van potenciálfüggvénye. φ v x dx (xy z yz) dx x y z x xyz + C(y, z) φ y x xz + C y(y, z) x xz + z C y(y, z) z C(y, z) C y(y, z) dy z dy z y + C(z) φ z zx xy + zy + C z(z) yz xz xy C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z x + z y xyz + C függvény. f.) Örvénymentes-e a v( r) (ye xy, ye xy, sin z) vektortér? rot v( r) (,, y e xy (xy + )e xy ) (,, (y xy )e xy ) A vektormező nem örvénymentes. g.) Forrásmentes-e a v( r) (x + y z, x + y + z, x y + z) vektortér? div v( r) + + A vektormező nem forrásmentes. h.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektortér divergenciáját és rotációját. div v( r) 6y + x + rot v( r) ( x, + 6xy, y xy) ( x, 6xy, y xy) i.) Számítsuk ki a v( r) (z y, yz, 4yz xy) vektortér divergenciáját és rotációját. Forrásmentes-e a vektormező? div v( r) z + 4y A vektormező nem forrásmentes. rot v( r) (4z x y, 6zy + y, z ) ( x y + 4z, y + 6yz, z ) j.) Mutassuk meg, hogy az egységnyi ponttöltés F ( r) r r div F ( r) F x x ( r) + F y y ( r) + F z z ( r) x + y + z x rot F ( r) ( Fz y F y z, F x z F z x, F y x F x y tere örvénymentes és forrásmentes. r 5 + x + y + z y r 5 + x + y + z z r 5 ) ( ) ( r) (,, ) yz yz r 5, zx zx r 5, xy xy r 5 A ponttöltés mezője tehát örvénymentes és forrásmentes a teljes értelmezési tartományban (R \ (,, )).

k.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező divergenciáját és rotációját. div v( r) + + rot v( r) ( y + z, x, 5 ) (z y, x, 7) l.) Legyen φ skalármező φ( r) x y yz. Mennyi φ és φ értéke? φ( r) grad φ( r) (xy, x z, yz ) φ( r) div grad φ( r) y + 6yz y( z) Vonalintegrál Vonalintegrál kiszámítása A v( r) vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Kiszámításának lépései: Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt.. A Γ görbe paraméterezése (amennyiben nem paraméteresen adott). r(t) meghatározása. v( r(t)) meghatározása 4. v( r(t)) r(t) skalárszorzat felírása, majd az Γ v( r) d r t t v( r(t)) r(t) dt integrál (vonalintegrál) elvégzése Potenciálos erőtér vonalintegrálja Potenciálos erőtér esetén v( r) grad φ( r) alakban áll elő, ezért a vektormező vonalintegrálja az r(t) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén: Γ v( r) d r t Kiszámításának lépései: t v( r(t)) r(t) dt t t grad φ( r(t)) r(t) dt t t dφ( r(t)) dt. rot v fennállásának ellenőrzése. Zárt Γ görbe esetén a vonalintegrál zérus. A φ( r) potenciálfüggvény meghatározása dt φ( r(t )) φ( r(t )).. A Γ görbe r A kezdő- és r B végpontjának megállapítása, majd a vonalintegrál meghatározása az v( r) d r φ( r B ) φ( r A ) Γ képlet szerint

Feladatok a.) Számítsuk ki a v( r) (x + y, 5x z, x y ) vektormező vonalintegrálját az r(t) (cos t, sin t, t π ) paraméterezésű Γ görbe t és t π közötti szakasza mentén. r(t) ( sin t, cos t, π ) v( r(t)) ( cos t + sin t, 5 cos t 4t π, cos t sin t) t π v( r) d r v( r(t)) r(t) dt ( cos t sin t sin t 5 cos t 4t π cos t π cos t + π sin t) dt t Γ π ( 4t π cos t sin t 7 ( π + ) cos t) dt π 7π 4 π π t cos t dt 7π 4 ( t π sin t ] π π 7π + 4 π ( t cos t] π π ) cos t dt 7π 6 π ( 4t π cos t 7 ) dt ) t sin t dt b.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x yz, x y ) vektor-vektor függvény x + y 9, z kör mentén vett vonalintegrálját. r(t) (cos t, sin t, ) r(t) ( sin t, cos t, ) v( r(t)) (,, cos t sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ Másképpen. π dt rot v( r) (x y x y, xy x y, xyz xyz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r Γ c.) Számítsuk ki a v( r) (6xy, + xy, z x y) vektormező vonalintegrálját az r(t) (t, t, + t ) paraméterezésű Γ görbe t és t közötti szakasza mentén. r(t) (, 4t, t) v( r(t)) (4t 5, + t, + t 6t 4 ) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ t 6 + 8 5 t5 + ] t4 + 5t 6 5 (4t 5 + 8t 4 + 8t + t + t t 5 ) dt (t 5 + 8t 4 + t + t) dt d.) Számítsuk ki a v( r) (y z, x + y z, x + y + z) vektormező A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. 4

v( r) d r v( r AB (t)) r AB (t) dt + ABC v( r BC (t)) r BC (t) dt + r AB (t) A + ( B A)t r BC (t) B + ( C B)t r CA (t) C + ( A C)t v( r CA (t)) r CA (t) dt ahol r AB (t) A + ( B A)t ( t, t, ) r AB (t) (,, ) v( r AB (t)) (t, 6 t, ) v( r AB (t)) r AB (t) dt r BC (t) B + ( C B)t (, t, t) r BC (t) (,, ) v( r BC (t)) ( 6t, t, ) v( r BC (t)) r BC (t) dt r CA (t) C + ( A C)t (t,, t) r CA (t) (,, ) v( r CA (t)) (t, 5t 9, ) ABC v( r CA (t)) r CA (t) dt v( r) d r 9 + 8 7 7 (8 8t) dt 8t 9t ] 9 6t dt 8t ] 8 (9t 8) dt ] 9 t 8t 7 e.) Számítsuk ki a v( r) (xy + z, yz + x, zx + y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) és B(4,, ) pontok között. rot v( r) (x x, z z, y y) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xy + z ) dx x y + z x + C(y, z) φ y x + C y(y, z) yz + x C y(y, z) yz C(y, z) C y(y, z) dy yz dy y z + C(z) φ z zx + y + C z(z) zx + y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y + y z + z x + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) 9 f.) Határozzuk meg az a, b állandókat úgy, hogy a v( r) (xe y + e x z, x e y ye z, aze x + by e z ) vektortérnek legyen potenciálja, majd számítsuk ki vonalintegrálját a P (,, ) és P (,, ) pontok között haladó Γ görbe mentén. 5

rot v( r) (bye z + ye z, ze x aze x, xe y xe y ) ((b + )ye z, ( a)ze x, ) A vektormezőnek örvénymentes, ezért a, b. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (xe y + e x z ) dx x e y + z e x + C(y, z) φ y x e y + C y(y, z) x e y ye z C y(y, z) ye z C(y, z) C y(y, z) dy ye z dy y e z + C(z) φ z zx y e z + C z(z) ze x y e z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x e y y e z + z e x + C függvény. P P v( r) d r φ( P ) φ( P ) e e g.) Számítsuk ki a v( r) (x y z, x yz, x y ) vektormező vonalintegrálját az A(,, ) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. rot v( r) (x y x y, x y x y, 6x yz 6x yz) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx (x y z) dx x y z + C(y, z) φ y x yz + C y(y, z) x yz C y(y, z) C(y, z) C y(y, z) dy C(z) φ z x y + C z(z) x y C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) x y z + C függvény. O A v( r) d r φ( O) φ( A) h.) Számítsuk ki a v( r) (yz, xz, xy) vektor-vektor függvény A(,, ) B(,, ) C(,, ) háromszög kerülete mentén vett vonalintegrálját. rot v( r) (x x, y y, z z) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. ABC i.) Számítsuk ki a v( r) (y cos x, y sin x + e z, ye z ) vektormező vonalmenti integrálját tetszőleges görbe mentén az A(,, ) és B(,, ) pontok között. 6

rot v( r) (e z e z,, y cos x y cos x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Számítsuk ki a potenciálfüggvényt. φ v x dx y cos x dx y sin x + C(y, z) φ y y sin x + C y(y, z) y sin x + e z C y(y, z) e z C(y, z) C y(y, z) dy e z dy ye z + C(z) φ z ye z + C z(z) ye z C z(z) C(z) C z(z) dz C A potenciálfüggvény a φ(x, y, z) y sin x + ye z + C függvény. B A v( r) d r φ( B) φ( A) e e j.) Számítsuk ki a v( r) (y, xy, z) vektormező vonalmenti integrálját az r(t) (, cos t, sin t) t π paraméterezésű Γ görbe mentén. r(t) (, sin t, cos t) v( r(t)) (cos t, cos t, sin t) t v( r) d r v( r(t)) r(t) dt t Γ π π ( sin t cos t) dt ( sin t) dt k.) Számítsuk ki a v( r) (xy z, x + z, y x) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) (, +, x x) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ l.) Számítsuk ki a v( r) (6x y 4yz, x 4xz, xyz ) vektormező vonalmenti integrálját az x + y 4, z kör mentén. rot v( r) ( xz + xz, yz + yz, 6x 4z 6x + 4z ) (,, ) A vektormező örvénymentes, ezért van potenciálfüggvénye. Potenciálos vektormező zárt görbe menti integrálja zérus, vagyis v( r) d r. Γ m.) Számítsuk ki a v( r) (x yz, x + z, xy z) vektormező vonalintegrálját az A(,, 5) pontot az origóval összekötő szakasz mentén. 7