echaika I. Statika Zalka Károl 3 q 0 3 7 6 3 5 4 4 5 8 7 6 C 9 udapest, 06
Zalka Károl, 983-06, e-kiadás Szabad ezt a kiadvát sokszorosítai, terjesztei és elektroikus vag bármel formába tároli. Tilos viszot a kiadvát bármel formába megváltoztati és bármel formába értékesítei. Lektorok: Horváth Lászlóé azakas argit okl. építőmérök Lőricz Görg PhD okl. építőmérök v.0, 06. 07. 4.
Tartalomjegzék Előszó. evezetés. lapfogalmak.. Erő.. Erőredszer 3..3 Eredő erő; erőösszetétel; erőfelbotás 3..4 Egesúl 3..5 Egeértékűség 4..6 Erő vetülete 4..7 Erő omatéka 5. statika alaptételei 5.. z első aióma 6.. második aióma 7..3 harmadik aióma 8..4 egedik aióma 9.3 Közös metszéspotú két erő összetétele 0.3. Közös hatásvoalo működő két erő összetétele 0.3. Végesbe metsződő két erő összetétele 0. Síkbeli erőredszer. Síkbeli erőredszer összetétele eredővé.. egoldás szerkesztéssel.. egoldás számítással 5..3 Gakorló feladat 9..4 Síkbeli erőredszer összetételéek külöleges esetei. Egesúlba lévő síkbeli erőredszer 8.. z egesúl feltételei 8.. z egesúl feltételi egeleteiek alkalmazása síkbeli erőredszer általáos vizsgálatára 3..3 Gakorló feladat 33.3 Síkbeli erőredszer egesúlozása 35.3. Egesúlozás eg erővel 35.3. Egesúlozás két erővel 35.3.3 Egesúlozás három erővel 38.3.4 Gakorló feladatok 4.4 Síkbeli tartók 44.4. tartó alakja 44.4. tartók alátámasztása 45.4.3 Tartószerkezetek osztálozása 47 - iii -
.4.4 terhelő erők 48.4.5 Gakorló feladatok 49 3. Rácsos tartók 59 3. evezetés 59 3. rúderők meghatározása a csomópoti módszerrel 60 3.3 Gakorló feladatok: a rúderők meghatározása a csomópoti módszerrel 63 3.4 hármas átmetszés módszere 7 3.5 Gakorló feladatok: rúderők meghatározása a hármas átmetszés módszerével 7 3.6 Rudako is terhelt rácsos tartók 79 4. Statikailag határozott geredatartók igébevételi ábrái I. 80 4. Defiíciók és előjelszabálok 80 4. lapesetek 86 4.. Középe kocetrált erővel terhelt kéttámaszú tartó 86 4.. Egeletese megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó 87 4..3 Kocetrált erővel terhelt kozoltartó 89 4..4 Egeletese megoszló teherrel terhelt kozoltartó 90 4..5 Végomatékkal terhelt kéttámaszú tartó 9 4..6 Két, ellekező előjelű végomatékkal terhelt kéttámaszú tartó 9 4..7 Két, azoos előjelű végomatékkal terhelt kéttámaszú tartó 94 4..8 egoszló teherrel szakaszosa terhelt kéttámaszú tartó 95 4..9 Két, szimmetrikusa elhelezett kocetrált erővel terhelt kéttámaszú tartó 96 4..0 ezőbe omatékkal terhelt kéttámaszú tartó 97 4.. Kozolo omatékkal terhelt kéttámaszú kozolos tartó 98 4.. Háromszög megoszlású teherrel terhelt kéttámaszú tartó 99 4..3 ásodfokú parabola megoszlású teherrel terhelt kéttámaszú tartó 0 4..4 ásodfokú parabola megoszlású teherrel terhelt kozoltartó 0 4.3 Összefüggés a teher-, a íróerő- és a omatékfüggvé között 04 4.4 Kéttámaszú tartók igébevételi ábrái 07 4.5 Kozolos tartók igébevételi ábrái 3 4.6 z előjeles összegzés (szuperpozíció) elve 5. Statikailag határozott geredatartók igébevételi ábrái II. 6 5. Csuklós többtámaszú (Gerber-féle) tartók 6 5. erde helzetű és törttegelű tartók 36 5.3 Háromcsuklós tartók 46 5.4 Gakorló feladat 6 6. Síkidomok keresztmetszeti téezői 65 6. evezetés 65 6. ásodredű omatékok 66 6.3 Gakorló feladatok 70 Irodalom 75 - iv -
Előszó z építő- és építészméröki mechaikai taulmáaik sorá hatalmas ismeretaagot kell elsajátítai. Ez az aag elosztható ég félévre és eek megfelelőe ég jegzetre. Jele jegzet tárga a echaika I. (Statika), amel merev testek statikájával foglalkozik. ( echaika II. a szilárdságtat, a echaika III. a határozatla tartókat, a Tartók statikája pedig a statika éhá válogatott fejezetét tárgalja.) echaika I. (Statika) által ismertetett aag em tekithető külöösebbe ehézek. Sok hallgatóak mégis godot okoz a tárg teljesítése. Eek valószíűleg az a fő oka, hog a középfokú oktatásból a felsőfokú oktatásba átkerült hallgatók talá figelme kívül hagják azt a tét, hog a középfokról a taulás tekitetébe is felsőfokra kell(ee) váltai. Ez külööse igaz a mechaika tárg esetébe, amikor a gakra szorosa egmásra épülő aagrészek megkövetelik a folamatos taulást és az elsajátított tudás redszeres gakorlását. echaika I. (Statika) kurzus elsődleges feladata a mechaikai alapfogalmak ismertetése. jegzet a statika alaptételeiek tárgalása utá síkbeli erőredszerek vizsgálatáak legfotosabb kérdéseit tárgalja. gakra alkalmazott tartószerkezeteik közül azokkal foglalkozik, amelek a határozott tartókra voatkozó már megszerzett ismeretek birtokába viszolag egszerűe kezelhetők. emutatjuk íg a rácsos tartók számítási módszereit és megismerkedük a határozott geredatartókra voatkozó általáos elvekkel, valamit a geredatartók egszerűbb gakorlati eseteivel. jegzet befejező fejezete síkidomok keresztmetszeti téezőivel foglalkozik és ismerteti a szilárdságtai taulmáaik sorá ol fotos szerepet játszó első és másodredű keresztmetszeti téezők számítási módszereit. jegzet alapvető feladata jeleségek bemutatása és alapelvek ismertetése. végső cél azoba az, hog a megszerzett ismeretek gakorlati alkalmazáshoz vezethesseek. tárg íg a gakorlati alkalmazásokhoz is igekszik hátteret biztosítai és ehhez a célhoz több tucat részletese kidolgozott számpélda bemutatásával járul hozzá. echaika I. (Statika) jegzet a égrészes jegzetsorozat első tagja, amel érdekes módo sorredbe utolsóak készült el elektroikus formába. lektorok Horváth Lászlóé azakas argit és Lőricz Görg voltak, akik már más, korábba elkészült jegzetek lektorálása sorá is ige ag és haszos mukát végeztek. Godos és lelkiismeretes mukájukért ezúto is szeretém hálás köszöetemet kifejezi. udapest, 06 július Zalka Károl - -
evezetés mechaika eg ige széles tartomát lefedő tudomá. oglalkozik kiematikával, amikor a mozgások puszta leírása a cél, és foglalkozik diamikával, amikor a vizsgálatok a mozgások okaiak feltárására kocetrálak. diamika ismét két fotos területet érit. Ezek a kietika és a statika. kietika téleges mozgásokat vizsgál, a statikai vizsgálatok sorá pedig ugalmi állapotot tételezük fel. Ez összhagba va az építő-/építészméröki gakorlattal, amikor is alapvető fotosságúak tekitjük azt a követelmét, hog tartószerkezeteik mide körülméek között ugalomba maradjaak. Tartószerkezeteik terheket hordaak és külöböző hatásokak vaak kitéve. terhek és hatások következtébe a tartószerkezetekbe igébevételek keletkezek. eladatuk eze igébevételekek a meghatározása. z első megközelítésbe azt tételezzük fel, hog a vizsgált tartószerkezet merev testkét viselkedik. merev testeket az jellemzi, hog méret- és alakváltozásokat em szevedek. áshoga megfogalmazva, a merev testek esetébe a test bármel két potjáak távolsága álladó. Ez uga szigorúa véve em igaz, de az alakváltozások méröki szerkezeteik esetébe kicsiek, íg a közelítés hibája kicsi, és merevek feltételezett szerkezetek esetébe viszolag egszerű vizsgálatokhoz jutuk. Szilárdságtai taulmáaik sorá (a következő félévbe) majd foglalkozuk azzal a téel, hog a szerkezetek alakváltozást szevedek.. lapfogalmak Taulmáaik sorá ismetelte szükség lesz éhá alapfogalomra. Ezeket a következő potokba foglaljuk össze... Erő terhek és hatások jellemzése sorá az erő fotos szerepet játszik. zt a hatást, amel a test mozgásállapotát (irá vag agság szerit) megváltoztatja, erőek evezzük. szerkezetekre ható erők lehetek kocetráltak, illetve megoszlóak. kocetrált erők viszolag kis felülete hatak, olaira kis felülete, hog a hatás helét pottal adhatjuk meg (. ábra). Ez a pot az erő támadáspotja. kocetrált erőt vektorral jellemezzük és ég adattal egértelműe megadhatjuk. Ezek a következők: agság (N, kn vag N dimezióval), támadáspot (két koordiátával), hatásvoal (amel az erő támadáspotjá meg át), irá (értelem), amelet előjellel aduk meg. hatásvoal megadása sorá gakra haszáljuk a hatásvoal valamelik koordiátategellel például az tegellel bezárt (például φ-vel jelölt) hajlásszögét. kocetrált erőket lati agbetűkkel szokás jelöli, például az (az agol orce omá),,, C, G ( Gravit ) és R ( Resultat ) betűkkel. z./c ábrá ábrázolt három erő például az alábbiak szerit adható meg az - koordiáta-redszerbe:
5 ϕ + kn, 4m, 0, 0 3 ϕ kn, 0, 5m, 90 kn, 5.5m, 6m, 30 3 4 3 3 ϕ3 3 3 i i+ erő hatásvoala 3 φ 3 erő támadáspotja a) b) c).. Erőredszer. ábra. Kocetrált erő: a) felülete, b) merev testet támadva, c) megadása. Két vag több erő egüttesét erőredszerek evezzük. z erőredszer síkbeli, ha az erőredszert alkotó erők eg közös síkba hatak. Ha ics ile közös sík, akkor az erőredszert térbeliek evezzük. z erőredszerek jelölése úg törtéik, hog az erőredszert alkotó erőket vesszővel elválasztva egmás mellé írjuk, majd az egészet zárójelek közé tesszük. z./b és./c ábrá látható, illetve 3 erőből álló erőredszer esetébe például: (,, 3,... i,... ) és (,, 3 ) z erőredszerek eg gakori esete a megoszló erőredszer. Jelölése általába lati kisbetűkkel, például q, p és g betűkkel törtéik. Itt megkülöböztetük voal meté, felület meté és térbe megoszló erőredszereket. Gakorlati esetekbe geredák esetébe a voal meti, lemezekél pedig a felület meti megoszló erőredszerrel találkozuk. térbe megoszló erőredszerre a mágeses vozás eg jellegzetes példa...3 Eredő erő; erőösszetétel; erőfelbotás z eredő erő az az erő, amel mide voatkozásba helettesít az erőredszert. Jelölése gakra a ag R (Resultat) betűvel törtéik. z eredő meghatározása sorá gakra erőösszetételről beszélük, amikor az erőredszert alkotó összetevőket (vag kompoeseket vag alkotókat) helettesítjük az eredővel. z erőösszetétel elletétes iráú folamata az erőfelbotás, amelek sorá eg erőt két vag több erővel helettesítük...4 Egesúl statika ige fotos fogalma az egesúl. z általáos megfogalmazás szerit, ha valamel aagi test mozgásállapota a rá ható erőredszer hatására em változik meg, akkor az 3
erőredszert egesúli erőredszerek evezzük. z építőméröki gakorlatba kiemelt szerepet játszaak a ugalomba lévő testek. z ezekre voatkozó megfogalmazás szerit, ha a ugalomba lévő test a rá ható erők hatására ugalomba marad, akkor a testre működő erők redszere egesúlba lévő erőredszert alkot. z egesúl jelölése például eg erőből álló erőredszer esetébe a (,, K ) & 0 formába törtéik. z egelőség jel felett lévő pot a jelüket megkülöbözteti a matematikai egelőség jelétől...5 Egeértékűség Gakra bizoul szükségesek, hog két erőredszert összehasolítsuk, abból a célból, hog megállapítsuk, egeértékűek-e. Két erőredszert akkor moduk egeértékűek, ha ugaazo aagi test mozgásállapota midkettő hatására ugaúg változik meg. áshoga megfogalmazva: két erőredszer akkor egeértékű, ha midkettő egesúlozásához ugaazt az erőredszert kell felhaszáluk...6 Erő vetülete z erők a gakorlatba természetese tetszőleges irába működhetek. Vizsgálataik sorá célszerűségi szempotból az erőket gakra derékszögű koordiáta-redszerbe ábrázoljuk, illetve vizsgáljuk, és a ferde erőket vetületeik segítségével kezeljük. Szükségessé válik tehát eg erő vetületéek előállítása. Ezt a feladatot az erő kezdő- és végpotjáak merőleges vetítésével oldjuk meg (./a ábra). Eg tetszőleges iráú t tegel esetébe eg erő t tegelre voatkoztatott vetületét az t cosα összefüggés szolgáltatja, ahol α a t tegel és az erő hatásvoala által közbezárt szög. t α t.. α α a) b) c). ábra. a) erő vetülete tetszőleges t tegelre, b) ferde erő és tegelre voatkoztatott vetülete, c) vektorháromszög. statikai feladataik megoldása sorá gakra a merev testet támadó ferde erő koordiátategel iráú az./b ábrá vázolt esetbe és iráú vetületeire va szükségük. Ezeket az cosα 4
és si α képletek szolgáltatják. z./c ábrá vázolt vektorháromszög alapjá érvéesek még az + és ta α összefüggések is...7 Erő omatéka statikai vizsgálatok sorá fotos szerepet játszik az erő omatéka. z erő potra voatkoztatott omatékát (.3 ábra) az a összefüggéssel defiiáljuk, ahol az a az pot és az erő hatásvoaláak távolsága. omaték akkor pozitív, ha az erő a pot körül az óramutató járásával azoos értelemmel forgat (mit például az.3 ábrá). Zérus a omaték, ha az erő értéke zérus, vag ha az erő pottól mért merőleges távolsága zérus ez utóbbi eset akkor fordul elő, amikor az erő hatásvoala átmeg a poto.. a.3 ábra. z erő potra voatkoztatott omatéka. Gakra fordul elő, hog több erő eg adott potra voatkozó omatékára va szükségük. feti képlet ismételt alkalmazásával ekkor összegezzük az erők omatékait, vagis erő esetébe az i a ± a ± a ± K± a i i képlethez jutuk. otos megjegezi, hog az összegzés előjelhelese törtéik.. statika alaptételei mechaika a természetbe megállapítható tapasztalati téekből idul ki. Ezekből a téekből általáosítással alapvető tételek állíthatók fel. Ezeket az alapvető tételeket alaptételekek vag aiómákak evezzük. z aiómákat az jellemzi, hog őket bizoítai em szükséges és a belőlük levoható következtetések a természet törvéeivel em ellekezek. merev testek statikáját ég aiómára építjük fel. 5
.. z első aióma z első aióma ősidők óta ismert. zt modja ki, hog két erő akkor és csakis akkor va egesúlba, ha hatásvoaluk közös, értelmük elletétes és agságuk egelő. z és erők egesúlát az első aióma szerit a (, ) & 0 módo fejezzük ki. Ha két ile erőt eg ugalomba lévő merev testre működtetük, azt tapasztaljuk, hog a merev test továbbra is ugalomba marad. z aióma feti megfogalmazásába em szerepel az erő támadáspotja. Eek fotos következmée va: z erő támadáspotjáak ics szerepe két erő egesúláak vizsgálata sorá. Ez azt is jeleti, hog merev testek esetébe az erők a hatásvoaluk meté szabado eltolhatók. (Ezt az állítást egébkét a harmadik aióma segítségével szemléletese is bizoíthatjuk.) Eek megfelelőe egarát egesúlba va az.4/a ábrá látható és húzóerőkkel támadott és az.4/b ábrá vázolt és omóerőkkel támadott merev test, ha teljesül az feltétel. a) b).4 ábra. Egesúlba lévő merev test a) húzóerők, b) omóerők esetébe. Nem teljesül az.5 ábrá vázolt erőredszerek esetébe az első aiómába megfogalmazott három feltétel valamelike, ezért ezek az erőredszerek icseek egesúlba. > a) b) c).5 ábra. Nem teljesül az egesúl három feltétele. a) az erők értelme em elletétes, b) az erők em egelő agságúak, c) az erők hatásvoala em közös. Jele jegzet csak méret- és alakváltozást em végző merev testek statikájával foglalkozik, de már most megemlítjük, hog az erők hatásvoal meté törtéő szabad eltolásával 6
kapcsolatos feti megjegzés csak merev testek esetébe érvées, szilárd (méret- és alakváltozásra is képes) testek esetébe em. z.6 ábrá látható két, alakváltozásra is képes rúd viselkedéséek vizsgálata látváosa szemlélteti ezt a tét. rudak aaga szilárd, vagis a rudak alakváltozásra képesek..6 ábra. Egesúlba lévő, alakváltozásra képes rúd, a) húzóerők, b) omóerők esetébe. Tételezzük fel, hog midkét rudat egesúlba lévő erőredszer támadja és a terhelő erők agságát zérus értékről folamatosa öveljük. két rúd viselkedése alapvetőe külöböző. húzott erőkkel terhelt rúd (.6/a ábra) az alakváltozás létrejötte (a rúd megúlása) sorá végig egees tegelű marad. omóerőkkel terhelt rúd (.6/b ábra) eleite tegeliráú összeomódást szeved, majd eg bizoos erőagság elérése utá meggörbül. Ez a meggörbülés a rudat jóval veszélesebb helzetbe hozza, mitha a tegele egees marada. jeleség azt is mutatja, hog szilárd testek vizsgálata sorá az erők támadáspotja a hatásvoaluk meté em tolható el... második aióma a) b) második aióma potos származási ideje em ismert, de azt tudjuk, hog már a középkor boltozatépítői is ismerték és alkalmazták. zt modja ki, hog három erő akkor és csakis akkor va egesúlba, ha hatásvoalaik közös potba metszik egmást és vektoraikból ílfoltoos, zárt háromszög szerkeszthető (.7 ábra). három erő (, és 3 az.7 ábrá) egesúlát a második aióma szerit a ( 3,, ) & 0 módo fejezzük ki. Ha három egesúlba lévő erőt eg ugalomba lévő merev testre működtetük, azt tapasztaljuk, hog a merev test továbbra is ugalomba marad. 3 3.7 ábra. Három erővel terhelt merev test és az erők vektorháromszöge. Nics viszot egesúlba az.8/a ábrá vázolt három erő, mert a vektoraikból szerkesztett zárt háromszög em ílfoltoos. z.8/b ábrá látható három erő sics egesúlba, mert vektoraikból em szerkeszthető zárt háromszög. Ez a párhuzamos és 3 erők miatt em lehetséges. 7
3 3 3 3 a) b).8 ábra. három erő em lehet egesúlba. a) a ílfoltoosság hiáa miatt, b) em szerkeszthető zárt vektorháromszög...3 harmadik aióma harmadik aiómát eges források szerit Pierre Varigo (654-7) fracia matematikus 685-ba fogalmazta meg. harmadik aióma azt modja ki, hog egesúlba lévő erőredszerhez az egesúl megzavarása élkül lehet hozzátei ola erőket, amelek ömagukba is egesúlba vaak, továbbá valamel egesúlba lévő erőredszerből ugacsak az egesúl megzavarása élkül lehet eltávolítai ömaguk között egesúlba lévő erőket. harmadik aióma felhaszálásával szemléletese bizoíthatjuk az első aióma tárgalásakor már megfogalmazott állítást, amel szerit a merev testre ható erők saját hatásvoaluko bárhova elcsúsztathatók (vagis a támadáspotjuk a hatásvoalo bárhol felvehető). bizoításhoz tekitsük az.9/a ábrá vázolt merev testet, amelet az (, és 3 ) egesúlba lévő erőredszer támad. 3 3 3 a) b) c).9 ábra. z erő a hatásvoala meté az egesúl megzavarása élkül elcsúsztatható. djuk az egesúlba lévő erőredszerhez eg másik egesúlba lévő erőredszert. Ez a másik egesúlba lévő erőredszer két erőt tartalmaz, amelek a potba támadják a merev testet (.9/b ábra). két erő agsága, értelmük elletétes és hatásvoaluk közös. Ez a közös hatásvoal megegezik az eredeti három erőből álló redszer erejéek hatásvoalával. Íg eg öt erőből álló erőredszerhez jutuk, amel erőredszer a harmadik aióma szerit egesúlba va. harmadik aióma szerit ebből az egesúlba lévő erőredszerből az egesúl megzavarása élkül elvehetük eg egesúlba lévő erőredszert. Ez az erőredszer álljo a potba balra mutató és az potba jobbra mutató erőből. két erő elvétele utá az.9/c ábrá látható, három erőt tartalmazó egesúlba lévő redszerhez jutuk. z.9/a és.9/c ábrát összehasolítva 8
azt látjuk, hog az eredetileg az potba működő erőt gakorlatilag áttoltuk a potba. ivel ebbe a helzetbe úg jutottuk, hog a harmadik aiómát alkalmaztuk (kétszer), bebizoítottuk azt az állítást, hog a merev testre ható erő a hatásvoala meté szabado eltolható...4 egedik aióma egedik aiómát Isaac Newto (643-77) 687-be fogalmazta meg. egedik aióma azt modja ki, hog két merev test által egmásra kifejtett erők midig párokét fordulak elő, közös hatásvoalúak, elletett értelműek és egelő agságúak. egedik aióma a hatás-ellehatás és az akció-reakció törvée éve is ismert. Egszerű példa a egedik aiómára a földö, vízszites síko ugalomba lévő goló esete (.0 ábra). két merev test ekkor a föld és a goló. goló G súlát az alátámasztásba keletkező, vele azoos agságú és elletett értelmű Gʹ reakcióerő egesúlozza. két erő közös hatásvoalú. G G'.0 ábra. G hatás (akció) és Gʹ ellehatás (reakció) a egedik aiómáak megfelelőe. Általáosabb helzet áll elő, ha a goló em vízszites síko helezkedik el, haem két ferde síkú, egmással derékszöget bezáró megtámasztó felület biztosítja a goló mozdulatla, ugalmi állapotát (./a ábra). z erőjáték vizsgálatához ekkor a második és egedik aiómát haszáljuk fel és alkalmazzuk az erő felbotására voatkozó ismereteiket (az..3 pot szerit). G G G G (G,, ) 0 (G, ) 0 a) b). ábra. a) erde síkú felületekkel megtámasztott goló, b) sarokhelzet. G hatást (a goló súlát) ekkor két összetevőjével helettesíthetjük, amelek merőlegesek a megtámasztó síkokra (szaggatott vektorok az./a ábrá). két összetevő (hatás) egekét ellehatást vált ki: ezek az és erők. három erő egesúlát a G-- vektorháromszög szemlélteti. z elredezés vízszites és függőleges síkú megtámasztások eseté az./b ábrá vázolt speciális sarokhelzetet eredméezi. Ha ekkor az előzőek szerit eljárva a G erőt a megtámasztó felületekre merőleges iráú összetevőkre botjuk, akkor azt találjuk, hog a vízszites összetevő zérus és az egesúl a G és erőkkel biztosítható. Ezzel gakorlatilag visszajutuk az.0 ábrá vázolt helzethez. 9
echaika taulmáaik sorá a megtámasztások fotos szerepet játszaak, amikor a tartószerkezeteike működő terheket a megtámasztások segítségével adjuk át az alátámasztó szerkezetekre redszerit a földre. egedik aióma az akció-reakció törvéekét ekkor a gakorlati alkalmazás fotos eszköze..3 Közös metszéspotú két erő összetétele ielőtt a gakorlati esetekbe általáosa előforduló erőredszerekkel foglalkozuk, ebbe a potba bemutatjuk, hog hoga tuduk két közös metszéspotú erőt eredő erővé összetei..3. Közös hatásvoalo működő két erő összetétele Tekitsük az./a ábrá vázolt két erőt. z és erők közös hatásvoalo működek. eladatuk a két erő helettesítése egetle erővel. 50 kn 30 kn R 0 kn 30 kn 30 kn a) b) c). ábra. Közös hatásvoalo működő két erő összetétele. a) az és erő, b) egesúlba lévő két erő, c) az R eredő erő. Vegük el az - erőredszerből eg egesúlba lévő (zérus értékű) erőredszert. Ezt az egesúlba lévő erőredszert úg választjuk meg, hog két 30 kn agságú erőből áll (./b ábra). z eredmé az./c ábrá látható R 0 kn agságú erő, amel erő egbe az eredeti erőredszer eredője..3. Végesbe metsződő két erő összetétele Határozzuk meg az.3/a ábrá látható két erő eredőjét. E E E R R a) b) c) d) e).3 ábra. Közös metszéspotú két erő összetétele. a) az és erő, b) egesúlozás, c) az E egesúlozó erő, d) az R eredő előállítása, e) az, és R ílütközéses vektorháromszöge. z első lépésbe a második aióma felhaszálásával meghatározzuk a két erőt egesúlozó erőt, vagis azt a harmadik erőt amellel egütt a három erő egesúlba va. 0
Ezt az erőt E-vel jelöljük. második aióma szerit eljárva, ílfoltoos, zárt háromszöget kell szerkesztei. z íg létrehozott E erő (.3/b ábra) a keresett egesúlozó erő, amel át kell meje a két erő metszéspotjá (.3/c ábra). második lépésbe az első aiómát alkalmazzuk és előállítjuk az E erőt egesúlozó erőt, amel egbe az és erők R eredője (.3/d ábra). etiek szerit az R eredő erővel kapcsolatba megállapíthatjuk, hog átmeg a két erő ( és ) metszéspotjá és az és erők felhaszálásával ílütközéses vektorháromszög szerkesztésével állíthatjuk elő (.3/e ábra). z R eredő erő természetese mide szempotból helettesíti az eredeti két erőt.
Síkbeli erőredszer Tartószerkezeteiket redszerit több erőhatás éri és a terhelés gakra erőredszerek formájába jeletkezik. Ez a fejezet ile, több erőből álló erőredszerek vizsgálatával foglalkozik.. Síkbeli erőredszer összetétele eredővé Sokszor szükséges vag a vizsgálat sorá célravezető a sok erőből álló erőredszert egetle erővel az eredővel helettesítei. feladatot szerkesztéssel és számítással is egszerűe megoldhatjuk. ár úg tűik, hog apjaikba a szerkesztéses megoldások gakra háttérbe szorulak, a szerkesztéses megoldást is bemutatjuk, mert szemléletessége agmértékbe hozzásegít a statikai érzék fejlesztéséhez... egoldás szerkesztéssel szerkesztés sorá felhaszáljuk a két erővel kapcsolatba az.3. potba összefoglalt taulságokat és lépésekét járuk el. z eljárást a./a ábrá vázolt, ég erőből álló erőredszer esetére mutatjuk be. z első lépésbe az és erőt összetesszük az R - eredővé. z R - eredőt a./b ábrá látható vektorábra segítségével szerkesztjük meg, majd ábrázoljuk a./a ábrá is, ahol az R - erő átmeg az és erők metszéspotjá. Iráát a vektorábráról vesszük: párhuzamos az ott megszerkesztett R - erővel. Ezzel a lépéssel az és erőket kiiktattuk a további vizsgálatokból, hisze helettesíthetjük őket az R - eredőjükkel. R R - R - R --3 4 3 R --3 R 4 3 a) b). ábra. Erőredszer helettesítése eredővel és egesúlozása eg erővel. a) az - - 3-4 erőredszer és az R eredője, b) vektoridom. következő lépésbe az R - erő és az 3 erő R --3 eredőjét szerkesztjük meg a./b vektorábra segítségével, majd ábrázoljuk a./a ábrá is. Itt az R --3 erőt úg helezzük el, hog átmeje az R - erő és az 3 erő hatásvoalaiak metszéspotjá és párhuzamos lege a vektorábrá megszerkesztett erővel. Íg már csak két erők maradt: az R --3 erő és az 4 erő. Ezek eredője az R eredő, amel egbe az egész erőredszer eredője. Nagságát és
iráát a vektorábra szolgáltatja, helét pedig a./a ábra segítségével kapjuk meg: át kell meie az R --3 erő és az 4 erő hatásvoalaiak a metszéspotjá. szerkesztést taulmáozva megállapíthatjuk, hog az R eredő agságát eg lépésbe is megkaphatjuk az,, 3 és 4 erők vektoridoma segítségével, ha az erő vektoráak kezdőpotját összekötjük az 4 erő vektoráak végpotjával. fet bemutatott szerkesztés csak akkor alkalmazható, ha az erők metszéspotja kezelhető helre (vagis a rajzlap területére) esik. z alábbiakba bemutatuk eg alteratív szerkesztést, arra az esetre, amikor ez a feltétel em teljesül. Párhuzamos vag közel párhuzamos erők esetébe csak ez a szerkesztés alkalmazható../a ábrá vázolt,, 3 és 4 erőkből álló erőredszer esetébe az eredő meghatározása sorá az okozza a problémát, hog ha megpróbáluk a fet bemutatott módo eljári, akkor azt tapasztaljuk, hog már az első lépést sem tudjuk megtei, mert em tudjuk elhelezi az és erők eredőjét. Eek az az oka, hog az és erők metszéspotja (amele keresztül mee az eredőjük) az erőket ábrázoló rajztól ago távol kerül. Ezt a problémát eg egszerű fogással megoldhatjuk. djuk az erőredszerhez eg S segéderőt, ol módo, hog az S erő és az erő metszéspotja köe ábrázolható helre kerüljö. (Ezt az S erőt az utolsó lépésbe majd el fogjuk vei az erőredszerből.) S S S 3 3 S 4 S 5 4 S S S 3 3 S 4 S 5 4 a) b). ábra. lteratív szerkesztés párhuzamos (vag közel párhuzamos) erőredszer esetébe. a) az S - - - 3-4 erőredszer, b) vektoridom. Il módo eljárva eg S,,, 3 és 4 erőkből álló erőredszerhez jutuk. z előzőekbe elmodottak szerit az eredeti szerkesztés lépéseit követve meghatározzuk az öt erő eredőjét, amit S 5 -el jelölük: ( S & S,,, 3, 4 ). ábrá az S az S és, az S 3 az S és és az S 4 az S 3 és 3 eredője. problémák az, hog a most megszerkesztett S 5 eredő az eredeti,, 3 és 4 erőkö kívül tartalmazza a em kívát S segéderőt is. Eze a problémá köe segíthetük: kivojuk az S 5 erőből az S erőt és íg potosa az eredeti (,, 3 és 4 ) erőredszer R eredőjéhez jutuk: Ezt a szerkesztést a.3 ábrá találjuk. ( 5 S, S ) & R 5 3
-S S 5 -S R S 5 R a) b).3 ábra. a) az S 5 és -S erők eredője az eredeti - - 3-4 erőredszer R eredőjét adja, b) vektoridom. Végül a gakorlati végrehajtás céljára egetle ábrá foglaljuk össze a szerkesztés meetét (.4 ábra). z erőredszer eredőjét úg kapjuk meg, hog az erőkből vektoridomot képezük, majd az első erő kezdőpotját összekötjük az utolsó erő végpotjával (.4/b ábra). 3 4 5 4 m 3 3 R 3 4 Ω 5 4 R a) b).4 ábra. szerkesztés végrehajtása a gakorlatba. a) erőredszer, b) vektoridom. Ezt a vektoridomot haszáljuk fel az eredő heléek meghatározásához. vektoridom mellett felveszük eg Ω póluspotot. póluspot hele tetszőleges és célszerűe úg vesszük fel, hog a következőkbe részletezett szerkesztés végrehajtása miél egszerűbb lege, illetve a szerkesztés kéelmese elférje az erőredszer rajzá. póluspotot összekötjük az első erő kezdőpotjával és mide erő végpotjával. Ezeket az ú. húrokat haszáljuk fel a szerkesztéshez. z erőredszert ábrázoló.4/a ábrá először az első (. jelű) húrral húzuk párhuzamost, úg, hog a voal metssze az első erőt. (Erre az első voalra a szerkesztés befejezésekor ismét szükség lesz majd.) Ezutá a második (. jelű) húrral húzuk párhuzamost, úg, hog ez a voal átmeje az első voal és az első erő metszéspotjá. Il módo mide húrral párhuzamost húzuk. z utolsó (esetükbe 5. jelű) párhuzamost meghosszabbítjuk ol módo, hog metszésbe kerüljö az első (. jelű) párhuzamossal. Ez az m metszéspot határozza meg az eredő helét. z eredő átmeg eze a poto és párhuzamos a vektoridomba már megszerkesztett R erő hatásvoalával. Nem ehéz észrevei, hog a szerkesztéshez felhaszált --3-4-5 jelű húrok valójába az S i segéderőkek felelek meg. szerkesztést léptékheles ábra segítségével végezzük el. léptéket pl. cm () kn 4
úg állapítjuk meg, hog az erők kéelmese elférjeek a redelkezésre álló rajzterülete és az eredméeket redszerit erőket megfelelő potossággal tudjuk az ábráról leolvasi... egoldás számítással számítás végrehajtásához redszerit derékszögű (pl. ) koordiáta-redszert haszáluk. z eljárás sorá két fotos tételt alkalmazuk. következőkbe ezt a két tételt ismertetjük. tételeket először két erő esetére bizoítjuk, majd általáosítjuk őket több erőre. Vetületi tétel Tekitsük a.5/a ábrá vázolt merev testet, amelre az és erők hatak. Állítsuk elő a két erő eredőjét: (, ) & R,,, R, R R a) b).5 ábra. a) erev test két erővel, b) ábrázolás az koordiáta-redszerbe. Helezzük el a két erőt és az eredőjüket vektoridom formájába az derékszögű koordiáta-redszerbe (.5/b ábra). Állítsuk elő az erők vetületeit. Ha az iráú erőket tekitjük, akkor felírható, hog R, +, eti egelet általáosabb formába is megfogalmazható, hisze köű beláti, hog erő esetébe az erőket kettesével összetéve az R i i egelethez jutuk. Ez az. vetületi tétel. tétel azt modja ki, hog az eredő erő vízszites vetülete egelő az összetevők vízszites vetületeiek algebrai (előjeles) összegével. Hasolóképpe eljárva az iráú erők esetébe, a összefüggés az, +,, R 5
R i i. vetületi tételhez vezet, vagis az eredő erő függőleges vetülete egelő az összetevők függőleges vetületeiek algebrai (előjeles) összegével. Nomatéki tétel Szorozzuk meg az. vetületi tételhez vezető feti, +, R egeletet -val:, +,, R.6 ábra taúsága szerit az egelet baloldala az és erőkből álló erőredszer omatéka az potra, a jobboldal pedig az eredő omatéka az potra, vagis elírható tehát az általáos alakú + R i egelet. Ez a omatéki tétel, amel azt modja ki, hog az eredő omatéka a sík valamel potjára egelő az összetevők ugaeze potra felírt omatékaiak algebrai (előjeles) összegével. i R, R R O,,, R.6 ábra. z erőredszer omatéka az potra. vetületi és omatéki tételek ismeretébe végül összefoglaljuk a számítás meetét. számítás meete általáos elredezésű erők esetébe Tekitsük a.7 ábrá vázolt,... erőkből álló erőredszert. eladatuk az eredő meghatározása. számítás előkészítéséhez először felveszük eg koordiáta-redszert. Ez általába eg derékszögű koordiáta-redszer. koordiáta-redszer elhelezése tetszőleges, íg redszerit célszerűségi szempotok alapjá választjuk ki a kezdőpotot és a tegelek iráítottságát: például párhuzamos erők eseté az egik tegel lege az erőkkel párhuzamos. z erőket a kiválasztott koordiáta-redszerbe agságukkal, hajlásszögükkel és a támadáspotjuk két koordiátájával adjuk meg:, α,, ). z eredőt akkor i( i i i i 6
tekitjük ismertek, ha előállítottuk a agságát, hajlásszögét és eg potjáak két koordiátáját: R( R, ϕ,, ). Szokásos alteratív megadási forma az eredő megadásakor, ha ez a pot az eredő metszéspotja az egik koordiátategellel (például az tegellel): R R, ϕ, ). ( 0 következőkbe ezt az eljárást hat lépésbe összefoglalva mutatjuk be. ) z erők felbotása és iráú összetevőkre: i, i cosαi és i, i si i ) z eredő iráú összetevőjéek meghatározása az. vetületi tétellel: α R i, i cos α i, +, + K +, i i 3) z eredő iráú összetevőjéek meghatározása a. vetületi tétellel: R i, i si α i, +, + K+, i i otos megjegezi, hog az erők összetevői előjeles meiségek!,,, α O α,, α,.7 ábra. z,... erőkből álló erőredszer az koordiáta-redszerbe. 4) z eredő meghatározása a két összetevőjéek segítségével törtéik (.8/a ábra): R + R R 5) z eredő hajlásszöge a vízszitessel: ta ϕ R R 6) z eredő hatásvoala eg potjáak meghatározása Ezt a potot általába az eredő és az tegel metszéspotjakét választjuk ki (.8/b ábra). 7
R φ 0 R R O R φ 0 R R a) b).8 ábra. a) z eredő és összetevői, b) az eredő eg potjáak R( 0 ; 0) meghatározása. 3. omatéki tétel alkalmazásával felírhatjuk, hog az eredő omatéka a koordiátaredszer O kezdőpotjára egelő az erőredszer összetevőiek ugaerre a potra felírt omatékával R O i i O vagis R O i ( i, i + i, i ) z ( 0,0) potba összetevőire felbotott eredő esetébe ez az egelet az alakot ölti, ahoa 0 R, +, + K +, +, +, + K+, Érvéesek továbbá a ta ( + ) i, i i, i i 0 R 0 ϕ és 0 0 taϕ 0 összefüggések (.8/b ábra). Ha az eredő helét az eredő és az tegel metszéspotjával kívájuk megadi, akkor eg a fetihez hasoló levezetés az 8
összefüggést eredméezi (.9 ábra). ( + ) i, i i, i i 0 R 0 O R φ 0 R R R φ R R a) b).9 ábra. a) z eredő és összetevői, b) az eredő eg potjáak R(0; 0 ) meghatározása. gakorlati esetek többsége a fet leírt módo az eredő meghatározását tűzi ki feladatul. Vaak azoba ú. iverz feladatok is, amelek sorá pl. adott, illetve előírt az eredő hele. Ile esetekbe úg jutuk megoldáshoz, hog eg vag több erő agságát (vag helét) úg határozzuk meg, hog teljesüljö az eredő helére voatkozó feltétel...3 Gakorló feladat Határozzuk meg a.0 ábrá vázolt, ég erőt tartalmazó erőredszer eredőjét. O, 45 50 kn, 0 kn m 4 30 kn m 3, 3, 60 3 30 kn.0 ábra. Erőredszer a gakorló feladathoz. 9
feladatot a fet felsorolt hat lépésbe összefoglalva oldjuk meg. ) z erők felbotása és iráú összetevőkre: 50si 45 35.36 kn és 50cos 45 35. 36 kn,, 30cos60 5.0 kn és 30si 60 5. 98 kn 3, 3, ) z eredő iráú összetevőjéek meghatározása az. vetületi tétellel: R i i, 0 35.36 5 30.36 kn ( ) 3) z eredő iráú összetevőjéek meghatározása a. vetületi tétellel: R i i, 35.36 5.98 30 0.6 kn ( ) 4) z eredő meghatározása a két összetevőjéek segítségével törtéik (./a ábra): R R + R 30.36 + 0.6 346.9 36.7 kn 5) z eredő hajlásszöge a vízszitessel: R 0.6 ta ϕ 0.679 ie φ 34.8 R 30.36 6) z eredő hatásvoala eg potjáak meghatározása z eredő hajlásszögéek ismeretébe tételezzük fel, hog az eredő az - síkegedbe a./b ábrá látható módo helezkedik el. R O R R R az eredő hatásvoala φ R 0 a) b). ábra. a) z erőredszer eredője, b) az eredő metszéspotja az tegellel. 0
lkalmazzuk a omatéki tételt, amel szerit az eredő omatéka a sík valamel potjára (esetükbe a koordiáta-redszer O kezdőpotjára) egelő az összetevők ugaeze potra felírt omatékaiak algebrai összegével R O i i O z eredőt az ( 0 ; 0) potba felbotva felírható tehát, hog z ismert adatokat behelettesítve és ie R 0 i 0.6 0 0 + 35.36 3+ 5 5.98 5 30 43.8 0.6 0 i O.3 m z 0 -ra kapott pozitív előjel azt jeleti, hog a számítás elejé jól tételeztük fel az eredő elhelezkedését. Gakorlásképpe határozzuk meg az eredő metszéspotját az tegellel is. Eél a számításál az eredőt a (0; 0 ) potba botjuk fel összetevőire (. ábra). R R 0 O az eredő hatásvoala. ábra. z eredő metszéspotja az tegellel. omatéki tétel alkalmazásával most a R 0 i i O
illetve a egeleteket kapjuk, ahoa 30.36 0 0 + 35.36 3+ 5 5.98 5 30 43.8 30.36 0.44 m..4 Síkbeli erőredszer összetételéek külöleges esetei Néhá speciális esetbe az eredő meghatározása a fet bemutatott általáosa érvées eljárásál egszerűbbe is végrehajtható. Közös hatásvoalo működő erők Tekitsük az.3/a ábrá vázolt erőredszert. z,... erőkből álló erőredszer erői közös hatásvoalo működek. Határozzuk meg az erőredszer eredőjét és az eredő helét. O R a a) b).3 ábra. a) Közös hatásvoalo működő erők, b) eredő szerkesztése. z eredő szerkesztését a.3/b ábrá találjuk, ahol az erők közös hatásvoaláak következtébe eg elfajuló vektoridomot látuk. z R eredőt úg kapjuk meg, hog az első erő ( ) kezdőpotját összekötjük az utolsó erő ( ) végpotjával. számítást a.. potba leírtak szerit hajtjuk végre. z eredő két összetevőjét a két vetületi tétel segítségével kapjuk meg: R i, 0 és R i, + i i z eredő helét a omatéki tétel felhaszálásával kapjuk meg. z eredő omatéka a koordiáta-redszer kezdőpotjára megegezik az erőredszer omatékával ugaerre a potra: Ie: R 0 a + a a ( + ) a R a
a 0 rra a számítás előtt már látható eredmére jutottuk, hog az eredő hatásvoala az erők közös hatásvoalával azoos. Közös metszéspotú erők.4/a ábra eg ég erőből álló erőredszert mutat. z erők közös metszéspoto, az poto meek át. eladatuk az eredő meghatározása. R O R 4 3 R 3 - φ --3 4 R a) b).4 ábra. a) Közös metszéspotú erőkből álló erőredszer, b) az eredő szerkesztése. z eredő szerkesztését a.4/b ábra mutatja. z R eredőt úg kapjuk meg, hog az első erő ( ) kezdőpotját összekötjük az utolsó erő ( 4 ) végpotjával. Ha a szerkesztést kettesével (az -, --3 csoporteredők segítségével) hajtjuk végre, akkor az eredő hele is adódik: mide csoporteredő, és íg az eredő is a közös metszéspoto meg át. Ez a té a omatéki tétel alkalmazásával is belátható: z erők omatékösszege zérus az potra, íg az eredőé is zérus kell hog lege, vagis az eredő is átmeg az poto. z eredő két összetevőjét számítással a két vetületi tétel szolgáltatja: R i, és R i i két összetevő segítségével az eredő vízszitessel bezárt hajlásszöge is meghatározható: i, ta ϕ R R Párhuzamos erők Gakori eset, hog tartószerkezeteik terhe párhuzamos erőkből áll. Tekitsük a.5/a ábrá vázolt erőredszert, amel öt párhuzamos erőt tartalmaz. eladatuk az erőredszer eredőjéek meghatározása. közös hatásvoalo működő erők esetéhez hasolóa az erők vektoraiból szerkesztett 3
vektorábra most is elfajuló vektoridomhoz vezet. z első erő vektoráak kezdőpotját az utolsó erő vektoráak végpotjával összekötve megkapjuk az eredő agságát (.5/b ábra). z eredő helét a.. potba bemutatott módo végrehajtott szerkesztés segítségével kapjuk meg. z erők vektoridomától jobbra felveszük eg Ω póluspotot. póluspotból az erők kezdő-, illetve végpotjaihoz húzott húrokkal (.5/b ábra) párhuzamosa lácgörbét szerkesztük az erőkre (.5/a ábra). z első (S jelű) és utolsó (S 6 jelű) húrokat meghosszabbítjuk és a metszéspotjuk kijelöli az eredő helét. z eredő természetese párhuzamos az erőkkel. S S S 3 3 S 4 4 S 5 R S S S 3 Ω S 6 O 0 3 S 4 S 6 a a 5 5 4 S 5 a 3 a 5 4 R a) b).5 ábra. a) Párhuzamos erőkből álló erőredszer, b) az eredő szerkesztése. számításhoz az - koordiáta-redszert úg vesszük fel, hog az tegel párhuzamos az erőkkel és egbeesik az erő hatásvoalával. z eredő összetevőit a vetületi tételekkel határozzuk meg: R i, 0 és R R i, + + 3 + 4 5 i z eredő helét a omatéki tétel segítségével kapjuk meg: Ie: i 0R a + 0 + a33 + a44 a55 a + a33 + a4 R a 4 5 5 0 Erőpár Érdekes, speciális és ige fotos esettel találkozuk a.6/a ábrá látható két erő esetébe. két erő azoos agságú, egmással párhuzamos és elletétes iráú. z első aióma két erő egesúlára voatkozó feltételei közül csak eg em teljesül: a két erő em közös hatásvoalú. Ez eg új, speciális eset, amelek sorá a két erő erőpárt alkot. Ha két egmással párhuzamos erő elletétes iráú és azoos agságú, akkor a két erő 4
egüttesét erőpárak evezzük. két erő közötti merőleges távolság az erőpár karja. O a t a) b).6 ábra. a) Erőpár: a két párhuzamos (de em közös hatásvoalú) erő azoos agságú és elletétes iráú, b) a két erő vektoridoma. két vetületi tétel taúsága szerit az eredő erő két összetevője zérus R 0 és R 0 i, i i, i és íg az eredő erő is zérus: R 0. égsem beszélhetük egesúlról (hisze a két erő hatásvoala em közös). omatéki tétel ismételt alkalmazásával azt látjuk, hog az erőpár omatéka a sík tetszőleges potjára álladó; az, és O potokra felírt omatéki egelet szerit ez az érték: t, t, O a + ( a + t) t Ez a omaték az erőpár eredője, amelet úg kapuk, hog az erőpárt alkotó két erő értékét megszorozzuk az erők között mért merőleges távolsággal. z erőpár megadása ezek szerit egetle adattal törtéhet és ez az adat a omaték előjeles agsága. szokásos dimezió [Nmm], vag [knm], vag [kncm], jelölése pedig (pozitív előjel eseté):. Erő és erőpár összetétele Tekitsük a.7/a ábrá vázolt erőredszert. z erőredszer három erőből áll: a két erőből álló t erőpárt eg Q erő egészíti ki. eladatuk az erőredszer eredőjéek meghatározása. S O Q S S 3 R t S 4 R S S S 3 Q S 4 Ω T a 0 a) b).7 ábra. a) Erő és erőpár R eredője, b) a vektoridom. 5
három erő vektorát tartalmazó vektoridom most is szolgáltatja az R eredőt, amelet az első erő kezdőpotjáak és az utolsó erő végpotjáak összekötésével kapuk (.7/b ábra). z erők elhelezéséek sorredje a vektorábrába tetszőleges és íg célszerűségi szempotok döteek, például az, hog az ábra áttekithető lege, illetve hog az eredő heléek meghatározására szolgáló szerkesztés kéelmese elférje az ábrá. Esetükbe a sorred a következő: : a jobbra/felfelé mutató erő, : a Q erő, és 3: a balra/lefelé mutató erő. z eredő heléek megszerkesztéséhez szükségük va az S, S, S 3 és S 4 húrokra (.7/b ábra), ameleket az Ω póluspot és az erők vektoraiak kezdő-, illetve végpotjaiak összekötésével kapuk meg. z Ω póluspot felvétele tetszőleges: helét célszerű úg megválasztai, hog a szerkesztés a redelkezésre álló hele kéelmese elvégezhető lege. z S, S, S 3 és S 4 húrok ismeretébe megszerkesztjük a lácgörbét: az első erőt az S, húrral hozzuk metszésbe, majd a metszéspotból idítjuk az S húrt amelek a Q erő hatásvoalát metsző potjából idítjuk az S 3 húrt, amellel elmetsszük a harmadik erőt. Ebből a metszéspotból idítjuk az S 4 húrt az S húr iráába. Végül az S és S 4 húrok metszéspotjá keresztül behúzzuk az eredőt, amel párhuzamos a vektoridomba már megszerkesztett vektorral. számítás sorá az eredő összetevőit a vetületi tételekkel határozzuk meg: R 0 és R Q + Q i i, i, i z eredő tehát a Q erővel azoos agságú és iráú és vele párhuzamos erő: R R z eredő helét a omatéki tétel segítségével határozzuk meg. omatéki tétel szerit az erőredszer eredőjéek omatéka a sík valamel potjára egelő az erőredszer tagjaiak ugaeze potra felírt omatékaiak algebrai (előjeles) összegével. omatéki tételt a T potra alkalmazva (.7/a ábra) az egelethez jutuk. z eredő hele tehát: Q R aq + t 0 aq + t aq + 0 a + R Q Q erő és az R eredő közötti távolság ie a 0 Q z erő és erőpár eredője tehát az adott erővel megegező iráú, azoos agságú, de ahhoz képest /Q távolsággal párhuzamosa eltolt erő. Előállhat eg ola helzet, amelek sorá eg adott erőt eg erővel és eg omatékkal kell helettesítei. Ez a feti feladat megfordításáak tekithető, amelek sorá az adott erőt eg másik potba helezük át (eg omaték kíséretébe). z eljárást a.8 ábrá vázoljuk. Első lépésbe az egetle erőből álló erőredszerhez (.8/a ábra) hozzáaduk eg egesúlba lévő erőredszert, amel két, - és agságú erőből áll (.8/b ábra). két erő közös hatásvoala párhuzamos az eredeti poto átmeő erő hatásvoalával és attól Q 6
t távolságra va. z íg előálló három erőből álló erőredszer két erője a - erő és a jobboldali erő eg t agságú erőpárt alkot (.8/c ábra). Ezzel az potba működő erőt helettesítettük az O potba működő erő és az erőpár egüttesével. áshoga megfogalmazva: az potba működő erőt eg t erőpár kíséretébe átheleztük az O potba. - O O t t a) b) c).8 ábra. Erő helettesítése erővel és erőpárral. z erő áthelezése az - derékszögű koordiáta-redszerbe a.9 ábrá vázolt módo törtéik, ahol érvéesek az X Y cosα si α összefüggések. O α O Y α X.9 ábra. Erő helettesítése erővel és erőpárral az - derékszögű koordiáta-redszerbe. Erőredszer esetébe a fetiek szeriti lépésekbe járuk el az X Y i i X i i Y i i i, i, 7
i i i ( i i, + i i, ) összefüggések szerit, ahol az erőredszert alkotó erők száma.. Egesúlba lévő síkbeli erőredszer Ebbe a potba egesúlba lévő erőredszer általáos vizsgálatával foglalkozuk. Először megadjuk az egesúl feltételeit, majd vázoljuk a feltételi egeletek gakorlati alkalmazását. Végül számpéldát mutatuk be a gakorlati alkalmazásra... z egesúl feltételei Tekitsük a.0/a ábrá vázolt merev testet. z első lépésbe a merev testre az, és 3 erőket működtetjük. Nilvávaló, hog a három erő ics egesúlba. Ezt a három erőre szerkesztett vektoridom is bizoítja: az - - 3 vektoridom em zárt (.0/c ábra). második lépésbe megszerkesztjük az, és 3 erők R eredőjét. 3 3 Ω E 4 R R 3 4 a) b) c).0 ábra. a) az, és 3 erőkkel terhelt merev test, b) az,, 3 és 4 erőkkel terhelt, egesúlba lévő merev test, c) vektoridom. következő lépésbe az eredeti, és 3 erőket kiegészítjük az R eredő E elletettjével, amit 4 -el jelölük (.0/c ábra). Ezzel biztosítottuk, hog az,, 3 és 4 erők egesúlba lévő erőredszert alkotak:,, 3, ) & 0 ( 4 feti szerkesztés tehát azt mutatja, hog eg erőredszer egesúláak az a feltétele, hog a redszert alkotó erők vektoraiból zárt és ílfoltoos vektorsokszög lege szerkeszthető. következőkbe az egesúl számítási feltételeit fogalmazzuk meg..0/b ábrá vázolt erőredszert vizsgáljuk, amelet az, és 3 erők kiegészítésével hoztuk létre, ol módo, hog a három erőhöz úg adtuk hozzá az 4 erőt, hog a ég erő egesúlba lévő redszert alkosso..0/c ábra E és R vektoraival kapcsolatba az első aióma alapjá felírhatjuk, hog E & R 8
ivel R az, és 3 erők eredője, vagis ( 3,, ) & R és az E egesúlozó erőre bevezettük az 4 jelölést, az iráú erőkre voatkoztatott. vetületi tétel alapjá vagis Átredezve: 4, R 4, (, +, + 3, ), +, + 3, + 4, 0 Hasolóképpe eljárva, az iráú erőkkel kapcsolatba az illetve az összefüggések írhatók fel, ahoa 4, R 4, (, +, + 3, ), +, + 3, + 4, 0 3. (omatéki) tétel alapjá mivel E és R közös hatásvoalo hatak, csak elletétes irába felírható hog E R ahol a sík eg tetszőleges potja. jobboldalo és baloldalo szereplő erőket részletezve: Ie: + 4 3 ( + 3 4 + + + etiek alapjá rögzíthetjük az egesúl három feltételét az - derékszögű koordiátaredszerbe, általáos elredezésű, erőt tartalmazó síkbeli erőredszer esetébe. I. z erők vízszites vetületeiek algebrai összege zérus: i i, II. z erők függőleges vetületeiek algebrai összege zérus: 0 ) 0 9
i i, III. z erők omatékösszege a sík bármel potjára zérus: 0 i i 0 három függetle egeletből három ismeretle határozható meg. Ez szétszórt síkbeli erők esetébe midig megoldást jelet. z egeletek felírásáak sorredje tetszőleges; a sorredet célszerűségi szempotok alapjá állapítjuk meg. Általáos esetbe tetszőleges elredezésű szétszórt erők esetébe a három egeletre szükség is va az egértelmű megoldás érdekébe. bba a speciális esetbe amikor az erők párhuzamosak, vag közös metszéspotúak, két egelet elegedő az egértelmű megoldáshoz. Közös voalo működő erők egesúláak vizsgálata sorá egetle egelet is megoldáshoz vezet. z egesúl feltételeit a feti I., II. és III. egeletek felhaszálásával más formába is megfogalmazhatjuk. Ekkor azoba kiegészítő feltételek teljesülése is szükséges. szétszórt síkbeli erőredszer a i i i i, i i 0 0 0 feltételek teljesülése eseté is egesúlba lehet. z első egelet azt fejezi ki, hog az erők vízszites vetületeiek algebrai összege zérus. második egelet az erők omatékösszegéek az potra voatkoztatott zérusértékét fejezi. Hasoló módo, a harmadik egelet az erők omatékösszegéek a potra kiszámított zérusértékét követeli meg. otos kiegészítő feltétel viszot, hog az vetületi tegel em lehet merőleges a omatéki potok összekötő egeesére! Ekkor ugais a három feltétel teljesülése eseté is létezhete eg ola eredő, amel az és poto is átmeg és merőleges az tegelre (./a ábra). O R C R a) b). ábra. három feltétel teljesül, még sics egesúl. a) az eredő átmeg az és poto és merőleges az tegelre, b) az eredő átmeg az, és C poto. 30
szétszórt síkbeli erőredszer egesúlát a i i i i i C i 0 0 0 feltételek teljesítésével is biztosíthatjuk. z első egelet azt fejezi ki, hog az erők omatékösszege az potra zérus. második egelet az erők omatékösszegéek a potra voatkoztatott zérusértékét fejezi ki. Hasoló módo, a harmadik egelet az erők omatékösszegéek a C potra kiszámított zérusértékét követeli meg. otos kiegészítő feltétel viszot, hog a három pot em eshet eg egeesre! Ekkor ugais a három feltétel teljesülése eseté is létezhete eg ola eredő, amel az, és C poto is átmeg (./b ábra)... z egesúl feltételi egeleteiek alkalmazása síkbeli erőredszer általáos vizsgálatára hoga a megfogalmazás is jelzi, az egesúl feltételi egeleteit túlomórészt arra haszáljuk, hog eldötsük, eg adott erőredszer egesúlba va-e. Eze túlmeőe, a feltételredszer alkalmazásával azt is el tudjuk dötei, hog ha eg erőredszer ics egesúlba, akkor az erőredszer eredője eg erő vag eg omaték. z egesúli feltételredszer előző potba bemutatott három formáját alkalmazva a következőkbe ezt mutatjuk be. Vizsgálat két vetületi és eg omatéki egelet segítségével vizsgálathoz két tetszőleges vetületi tegelt és eg tetszőleges omatéki potot választuk (./a ábra). két vetületi tegel általába a derékszögű koordiáta-redszer vízszites és függőleges tegelei. z a pot, amelre az erők omatékát felírjuk, gakra a koordiáta-redszer kezdőpotja. vizsgálat elvégzéséhez elő kell állítai a i i,, i i,, i i értékeket. vizsgálat eredméeképpe három megállapítást tehetük. Ha a két vetületösszeg és a omatékösszeg is zérus, vagis i i i, i, i i akkor a vizsgált erőredszer egesúlba va. Ha legalább az egik vetületösszeg zérustól külöböző, vagis 0 3
i 0 vag 0 i, i i, akkor az erőredszer eredő erővel redelkezik. Ha a két vetületösszeg zérus értékű és a omatékösszeg zérustól külöböző, vagis i 0 és 0 és i 0 i, i i, akkor az erőredszer eredője erőpár (omaték). i α 90 C i i+ i i+ i i+ a) b) c). ábra. Vizsgálat a) két vetületi és eg omatéki, b) eg vetületi és két omatéki, c) három omatéki egelet segítségével. Vizsgálat eg vetületi és két omatéki egelet segítségével vizsgálathoz eg vetületi tegelt és két omatéki potot választuk. Ezek lehetek például az tegel és az és potok (./b ábra). választott vetületi tegel em lehet merőleges a omatéki potok összekötő egeesére! vizsgálat elvégzéséhez elő kell állítai a i i,, i i, i i értékeket. vizsgálat eredméeképpe három megállapítást tehetük. Ha a vetületösszeg és a két omatékösszeg is zérus, vagis i i i i, i i akkor a vizsgált erőredszer egesúlba va. Ha a vetületösszeg zérustól külöböző, vagis vag ha teljesül a i i, 0 0 3
i i i i egelőtleség, akkor az erőredszer eredő erővel redelkezik. Ha a vetületösszeg zérus, a két omatékösszeg azoos, de zérustól külöböző értékű, vagis i i i 0 és 0 i, akkor az erőredszer eredője erőpár (omaték). Vizsgálat három omatéki egelet segítségével i vizsgálathoz három omatéki potot választuk, például az, és C potokat (./c ábra). három pot em eshet eg egeesre! vizsgálat elvégzéséhez elő kell állítai a i i, i i i, i C i értékeket. vizsgálat eredméeképpe három megállapítást tehetük. vizsgált erőredszer egesúlba va, ha midhárom omatékösszeg zérus, vagis i i i i i i C 0 z erőredszer eredője erő, ha teljesül a i i i i vag a i i i i C egelőtleség. z erőredszer eredője erőpár (omaték), ha a három omatéki összegzés zérustól külöböző azoos értéket ad, vagis ha i i i i i i C 0..3 Gakorló feladat Vizsgáljuk meg az.3 ábrá látható, hat erőt tartalmazó erőredszert és állapítsuk meg, hog az erőredszer egesúlba va-e. Ha ics, akkor határozzuk meg az erőredszer eredőjét. számítást az ábrá vázolt - koordiáta-redszerbe végezzük el. számítás sorá szükség lesz az 3 és 6 ferde erők és iráú összetevőire: 8.8 cos45 0 kn és 8.8 si 45 0 kn 3, 3, 30 si 30 5kN és 30 cos30 6 kn 6, 6, 33
feladatot először két vetületi és eg omatéki egelet segítségével hajtjuk végre, majd gakorlásképpe a vizsgálatot elvégezzük a másik két egeletredszer felhaszálásával is. 0 kn 6 kn 3 8.8 kn 3, 0 kn O 45 3, 0 kn m 6, 5 kn 4 35 kn 6 30 kn 30 6, 6 kn m m 4 m 5 30 kn.3 ábra. Erőredszer a gakorló feladathoz. Vizsgálat két vetületi és eg omatéki egelet segítségével Lege a két vetületi tegel az és tegel, omatéki potak pedig a koordiátaredszer O kezdőpotját választjuk. szükséges egeletek redre i i i, 0 35 + 5 0 i, 0 + 6 + 0 30 6 0 i O i 6 + 0 6 + 35 6 30 5 3 knm két vetületi egelet egarát zérust ad, a omatéki egelet omatékösszege pedig zérustól külöböző. Ez azt jeleti, hog az erőredszer eredője erőpár, mégpedig eg 3 knm agságú omaték. Vizsgálat eg vetületi és két omatéki egelet segítségével vizsgálathoz vetületi tegelkét az tegelt, a két omatéki potkét pedig a koordiáta-redszer O kezdőpotját és az potot választjuk (.3 ábra). z a feltétel, hog a választott vetületi tegel em lehet merőleges a omatéki potok összekötő egeesére, teljesül. szükséges egeletek redre 34