1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet, hogy egatív számokból is lehesse égyzetgyököt voi, és közbe a szokásos műveleti tulajdoságok érvéybe maradjaak. Defiíció. Legye C = (R R; +, ) a valós számpárok halmaza a következőképpe értelmezett két művelettel: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Komplex számok geometriai jeletése. potok helyvektoraiak. A komplex számok valós számpárok, ezek megfelelek a sík potjaiak, illetve a Állítás. Vektorok összegéek megfelelő komplex szám a vektorokak megfelelő komplex számok összege. Az összeadás tulajdoságai asszociativitás: z + (v + w) = (z + v) + w. Elleőrzés: z = (a, b), v = (c, d), w + (e, f). Ekkor z + (v + w) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + (c + e), b + (d + f)), másrészt (z + v) + w = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f). (Két számpár akkor és csak akkor egyezik meg, ha megegyezek midkét kompoesükbe.) (a + c) + e = a + (c + e), hisze a valós számok szorzása asszociatív. Hasolóa a második kompoesbe is. kommutativitás: z + v = v + z, ez is öröklődik a valós számoktól. A (0, 0) számpár ullelem, azaz (a, b) : (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b). Az (a, b) számpár elletettje a ( a, b) számpár, hisze (a, b) + ( a, b) = (0, 0). A szorzás tulajdoságai asszociativitás: z(vw) = (zv)w. kommutativitás: zv = vz. Elleőrzés: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc), (c, d) (a, b) = (ca db, cb + da). Az (1, 0) számpár egységelem, azaz (a, b) : (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b).
2 mide emulla elemek va iverze: ( ) ( a (a, b) a 2 + b 2, b a a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b b a 2 + b 2, a b ) a 2 + b 2 + b a a 2 + b 2 = ( a 2 + b 2 ) ab + ba = a 2, + b2 a 2 + b 2 = (1, 0) További tulajdoságok A két műveletet összekapcsoló tulajdoság a disztributivitás: z(v + w) = zv + zw. Ezzel beláttuk, hogy a C struktúra test. C-t a komplex számok testéek szokás evezi. További tulajdoságok: (a, b) : (a, b)(0, 0) = (0, 0)(a, b) = (0, 0). (1, 0) elletettje ( 1, 0), továbbá (a, b) : ( a, b) = ( 1, 0)(a, b) az (a, b) számpár elletettje. Állítás. Vektorok elletettjéek a komplex szám elletettje felel meg. R beágyazása Azoosítsuk az (a, 0) alakú számpárokat a megfelelő a valós számokkal, hisze ugyaúgy viselkedek: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). Tehát f : R C, a (a, 0) kölcsööse égyértelmű, művelettartó függvéy. f(0) = (0, 0) a ullelem, f(1) = (1, 0) az egységelem. Vegyük észre, hogy (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1), és (0, 1)(0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 1 0) = ( 1, 0). Tehát a feti azoosítás utá a (0, 1) számpár égyzete 1! Kaoikus alak (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1) Defiíció. Jelölje i a (0, 1) komplex számot. Ekkor az (a, b) komplex szám a+bi alakba írható. Ezt evezzük a komplex számok kaoikus alakjáak. Defiíció. Ha z = a + bi = a 1 + b i, akkor a = Re z a z komplex szám valós része, b = Im z pedig a képzetes (immagiárius) része. Kaoikus alakkal ugyaúgy számolhatuk, mit a valós számokkal, kifejezésekkel, csak i 2 helyére 1 íradó. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bidi = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac bd) + (ad + bc)i. Kaoikus alak (folytatás) z = a + bi elletettje (additív iverze) z = a bi. z = a + bi reciproka (multiplikatív iverze) z 1 = 1 z = a bi a 2 + b 2.
3 Osztás kaoikus alakba: 2 + 7i 3 + 4i = 2 + 7i 3 + 4i 3 4i 34 + 13i = = 34 3 4i 25 25 + 13 25 i. Kojugálás Defiíció. Az a + bi komplex szám kojugáltja az z = a bi komplex szám. Megjegyzés. Komplex szám kojugálásáak a vektorok x-tegelyre való tükrözése felel meg. Állítás. z = z z = z potosa akkor teljesül, ha z R z = v v = z z + v = z + v zv = z v Bizoyítás. zv = (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i = ac bd (ad + bc)i z v = a + bi c + di = (a bi)(c di) = ac bd + ( ad bc)i Kojugálás (folytatás) Következméy. z v = z v z/v = z/v z = (z) z + z R zz R z z tiszta képzetes szám Bizoyítás. Mivel z = (z v) + v, ezért z = z v + v. Hasolóa z = (z/v) v alapjá z = z/v v. A hatváyozásra voatkozó összefüggés adódik a szorzatra voatkozóéból, a többi pedig egyszerű számolás (HF!!!). Abszolút érték Defiíció. Az a + bi komplex szám abszolút értéke z = a 2 + b 2 = zz. Ez a valós számok abszolút értékéek általáosítása, illetve megfelel a vektorok hosszáak. Állítás. z + v z + v z v z v zv = z v z/v = z / v
4 Abszolút érték (folytatás) Bizoyítás. z + v z + v z + v 2 ( z + v ) 2 (z + v)(z + v)) zz + vv + 2 z v zv + zv 2 z v (zv + zv) 2 4zzvv (zv zv) 2 0 (zv zv) 2 0 Az utolsó összefüggés teljesül, mert egy tiszta képzetes szám égyzete egatív vagy ulla. A második összefüggéshez lássuk be, hogy z v z v és z v v z, midkettő következik az első összefüggésből. Az utolsó két összefüggés egyszerű számolással adódik a z = zz deficióból. Komplex számok trigoometrikus alakja Szorzás, osztás, hatváyozás ehézkes kaoikus alakba. a = r cos ϕ b = r si ϕ z = r(cos ϕ + i si ϕ) Ez utóbbi a z komplex szám trigoometrikus alakja: ϕ = argz, r = z. Ha z = r(cos ϕ + i si ϕ) és v = s(cos ψ + i si ψ), akkor z = v r = s és ϕ = ψ + 2kπ. Szorzás trigoometrikus alakba Ha z = r(cos ϕ + i si ϕ) és v = s(cos ψ + i si ψ), akkor Nyilvá z = r(cos( ϕ) + i si( ϕ)). zv = r(cos ϕ + i si ϕ)s(cos ψ + i si ψ) = = rs(cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ + i(cos ϕ si ψ si ϕ cos ψ)) = = rs(cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)) Láttuk, hogy azaz 1 a + bi = a bi a 2 + b 2, 1 z = 1 (cos( ϕ) + i si( ϕ)). r Ie yilvá z v = r (cos(ϕ ψ) + i si(ϕ ψ)). s
5 Hatváyozás Tétel. (Moivre-képlet) A trigoometrikus alakba adott z = r(cos ϕ + i si ϕ) komplex szám k-adik hatváya tetszőleges k egész szám eseté. z k = r k (cos kϕ + i si kϕ) Bizoyítás. A k > 0 esetbe a szorzásra voatkozó képletből idukcióval adódik az állítás. k = 0 esetbe defiíció szerit z 0 = 1, 1 = 1 = z 0 és arg1 = 0 = 0ϕ. Ha k < 0, akkor legye = k, így > 0: ( ) [ ] 1 1 z k = z = = (cos( ϕ) + i si( ϕ)) = z r = 1 r (cos( ϕ) + i si( ϕ)) = rk (cos(kϕ) + i si(kϕ)). Hatváyozás (folytatás) Ha z = 1, azaz z = cos ϕ+i si ϕ, akkor z k = cos kϕ+i si kϕ, tehát z hatváyai φ szögű elforgatással adódak, midegyikük rajta marad az egységkörö. Gyökvoás komplex számból Defiíció. A z komplex szám -edik gyökei azo w komplex számok, amelyekre w = z. Figyelem! Ebbe az értelembe a 4 komplex számak 2 és 2 is égyzetgyökei. (És egyelőre em tudjuk, hogy va-e más égyzetgyöke.) Legye z = r(cos ϕ + i si ϕ) és w = s(cos β + i si β). Ekkor a Moivre-képlet szerit s = r és ϕ = β + 2kπ (k Z). Tehát s = r és β = ϕ + 2kπ. Itt r a hagyomáyos értelembe r egyetle emegatív valós gyökét jeleti. Kaptuk tehát, hogy ( z = r cos ϕ + 2kπ + i si ϕ + 2kπ ). ( z = r cos ϕ + 2kπ + i si ϕ + 2kπ ). Mivel a si ás a cos függvyek 2π szerit periódikusak, ezért elegedő csak a k = 0, 1,..., 1 értékeket vei. Geometriailag z értékei egy z sugarú körö helyezkedek el, egy szabályos -szög csúcsai. Elleőrző kérdések
6 1. Alapműveletek kaoikus alakba. 2. Kojugálás kaoikus és trigoometrikus alakba 3. Szorzás, osztás, hatváyozás és gyökvoás trigoometrikus alakba. 4. Komplex számok egyelősége algebrai és trigoometrikus alakba.